birth and death process

Birth and Death Processparth 1

OutlineMarkov ProcessesDiscrete Time Markov ChainHomogeneous, Irreducible,

Transient/Recurrent, Periodic/AperiodicErgodicStationary ProbabilityTransient BehaviorBirth-Death Process

Estu Sinduningrum, ST, MT

Markov ProcessesX(t) adalah suatu Markov Process jika

memenuhi Markov (Memoryless) Property

X(t) hanya tergantung pd kondisi (state) saat ini

Sejarah masa lalu summarized pada kondisi (state) saat ini


Dari Markov Processes …Discrete Time Markov Process:

Perubahan state terjadi pd titik-titik integerContinuous Time Markov Process:

Perubahan state terjadi pd sembarang waktu


Dari Markov Processes …Markov Chain:

Discrete State Space Markov ProcessDiscrete Time Markov Chain:

Perubahan state (discrete state) terjadi pd titik-titik integer

Continuous Time Markov ChainPerubahan state (discrete state) terjadi pd sembarang waktu


Discrete Time Markov Chains

Dapat berada pada satu Discrete state (position) dan diizinkan untuk berubah state pada Waktu discrete


Discrete Time Markov Chains


Discrete Time Markov ChainsDari initial probability dan one-step

transition probability,Kita dapat mencari probability of being

in various states at time n


Homogeneous Markov ChainJika transition probabilities adalah

independent thd n, maka disebut Homogeneous Markov Chain

Let pij ≡ P[Xn = j | Xn-1= i ]Kita ada pada state i dan akan menuju

pada state j pada langkah berikutnyaState transition probabilitas Hanya akan

tergantung pada initial probability dan transition probability, tidak tergantung pada transition time


Homogeneous Markov Chainm-step transition probabilities adalah:


Homogeneous Markov Chain


Irreducible Markov Chain

Suatu Markov Chain adalah irreducible jika setiap state dapat dicapai dari setiap state lain dlm jumlah step yang terbatas/finite


Not Irreducible Markov ChainKasus 1

Utk A = set semua states dlm suatu Markov chain

A1 ⊂ AJika tidak ada satu one-step transition dari

state A1 ke A1c

A1 didefinisikan sebagai “Closed”


Not Irreducible Markov ChainKasus 2

Untuk A = set semua states pada suatu Markov chain

A1 ⊂ AJika A1 terdiri dari satu atau lebih state Ei

dimana begitu berada pada state Ei, proses tidak dapat bergerak ke state-state lain

Ei disebut “Absorbing State”pii = 1


Transient atau Recurrent States

fj(n) = P[proses pertama-tama kembali ke state j

setelah meninggalkan state j pd n steps]fj = P[proses kembali ke state j setelah

meninggalkan state j]

Mj = Mean recurrence time dari state j


Transient atau Recurrent StatesJika fj < 1

State Ej disebut “Transient State”

Jika fj = 1State Ej disebut “Recurrent State”Jika Mj = ∞

State Ej disebut “Recurrent Null State”

Jika Mj < ∞State Ej disebut “Recurrent Nonnull State”


Periodic atau AperiodicMis β = integerJika step-step yg hanya mungkin

proses kembali ke state Ei adalah β, 2β, 3β, …Jika β > 1 dan β adalah integer terbesar

State Ei disebut “Periodic”Recurrence time untuk state Ej mempunyai period β

Jika β = 1State Ei disebut “Aperiodic”


ErgodicityEj = Ergodic jikaEj = Aperiodic dan Recurrent

Nonnullfj = 1, Mj < ∞, dan β = 1Suatu Markov Chain adalah ergodic jika semua states dari Markov Chain

adalah ergodic Jika jumlah states adalah

terbatas/finite dan semua states dari Markov Chain adalah aperiodic, dan irreducible


Teorema 1States dari suatu irreducible Markov

Chain adalahsemua transient atausemua recurrent non null atausemua recurrent null

Jika periodic, maka semua states mempunyai Perioda sama β


DefinisiMis j

(n) = P[menemukan sistem pd state Ej pd step ke-n]

j(n) = P[Xn = j]

Mis j = Stationary Probability

= P[ada pd state j pd sembarang waktu]= limiting state probabilities


Teorema 2Pada suatu irreducible dan aperiodic,

homogeneous Markov Chain,Limiting state probabilities [j] selalu eksis dan

independent dari initial state probability distribution [j

(0)]


Teorema 2ApakahKasus (a)

Semua state adalah transient atauSemua state adalah recurrent null

j = 0 j Tdk ada stationary distribution eksis

Atau kasus (b)Semua state adalah recurrent nonnull

j > 0 j Stationary distribution eksis j = 1/Mj


Solusi untuk j


Contoh Markov ChainMengendarai mobil dari kota ke kota


Contoh Markov ChainMis P = Matriks transition probability

= [pij]

Mis = [0, 1, 2, …]dari Balance equation

= P


Contoh Markov Chain


Contoh Markov Chain

Ini adalah stationary (equilibrium) state probability

Ini adalah ergodic Markov ChainJumlah state terbatasIrreducible


Transient Behavior

Transient BehaviorTransient / Steady State

Transient behavior : Suatu tipikal kelakuan

sistem yang tergantung pada kondisi inisial

(mis. booting up atau recovering dari suatu

kegagalan komponen)

Steady state behavior : kelakuan operasi

normal dari sistem independent terhadap

kondisi inisial


Birth and Death Process

Konsep Birth and Death Process dan Teorema Kedatangan Trafik

Konsep terpenting untuk memahami perilaku trafik telekomunikasi, yaitu point process dan arrival process.

Prinsip utama pemodelan trafik telekomunikasi adalah mengacu pada point process , dimana kedatangan atau selesai dilayaninya paket-paket digambarkan pada waktu yang berbeda.

Konsep kedua dalam rekayasa trafik telekomunikasi adalah birth and death process yang sering dimanfaatkan untuk menurunkan persamaan fungsi distribusi trafik telekomunikasi.

Birth and death process adalah Teknik penurunan persamaan fungsi densitas trafik telekomunikasi yang paling sederhana.


Birth-Death ProcessSuatu Markov ProcessHomogeneous, aperiodic, dan irreducibleDiscrete time / Continuous timePerubahan state hanya dapat terjadi antar

tetangga

Birth-Death ProcessUkuran populasi

Sistem ada dlm state Ek jika terdiri dari k anggota

Perubahan dlm ukuran populasi terjadi paling banyak satu

Ukuran bertambah satu “Birth”Ukuran berkurang satu “Death”

Transition probabilities pij tdk berubah dg waktu

Birth-Death Process

Birth-Death Processi = death (berkurang satu dlm ukuran

populasi)0 = 0 (tdk ada population no death)

λi = birth (bertambah satu dlm populasi)

λi > 0 (birth dibolehkan)Pure Birth = tdk ada pengurangan/

decrement, hanya penambahan/incrementPure Death = tdk ada penambahan/

increment, hanya pengurangan/ decrement

Model Teori AntrianPopulasi = pelanggan/customers dlm

sistem antrianDeath = satu pelanggan meninggalkan

sistemBirth = stau pelanggan datang ke sistem

Matriks Transisi

Densitas traffic(Kepadatan trafik)

Kepadatan adalah pengukuran terhadap kondisi arus lalu

lintas yang didefinisikan sebagai jumlah kendaraan yang

menempati suatu ruas jalan tertentu atau jalut, yang

biasanya dinyatakan dalam satuan kendaraan per

kilometer (smp per kilometer per lajur.

Kepadatan sulit untuk mengukur secara langsung,

biasanya diperlukan titik ketinggian yang cukup sehingga

kendaraan dapat diamati dalam suatu ruas tentu. Namun

demikian kepadatan dapat dihitung dari kecepatan dan

volume. Estu Sinduningrum, ST, MT

F = S x DD = F : SDengan : F = Arus lalu lintas (smp/jam atau

kend/jam),S = Kecepatan tengah berdasarkan ruang

(km/jam),D = Kepadatan (smp/km atau kend/km).

Densitas traffic(Kepadatan trafik)


Diagram Transisi State dari Birth and death process


State (i-1), (i) dan (i+1) menyatakan situasi dan kondisi saat ada sejumlah (i-1), atau (i) atau (i+1) paket atau layanan telekomunikasi sedang dilayani oleh server.

Adanya kedatangan satu paket atau layanan yang baru, dianalogikan sebagai suatu kelahiran dengan rate sebesar koefisien kelahiran.

Adanya satu paket atau layanan yang selesai dilayani dianalogikan sebagai suatu kematian dengan rate sebesar koefisien kelahiran.

Birth and death process Birth and death process pada trafik

telekomunikasi, adalah proses bertambahnya

suatu paket atau layanan yang datang atau

minta dilayani yang dianalogikan sebagai

kelahiran, sementara selesai dilayaninya oleh

server, suatu paket atau layanan dianalogikan

dengan kematian.


Global balance

Asumsi terjadi keseimbangan statistik terjadi , maka berlaku prinsip global balance, berlaku 2 persamaan:

1. Node equations : Situasi yang terjadi pada saat awal kesetimbangan statistik, dimana kita hanya memperhatikan state 0, yang berarti belum ada paket atau layanan yang datang. Maka hanya ada dua kemungkinan yang terjadi:

a. State 0 akan bertransisi menjadi state l dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state 0 {= p(0)} dikalikan koefisien kelahiran (0) = {bc(0) = birth coefficient (0)) , dan

b. State 1 akan bertransisi menjadi state (0) dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state 1 {= p(1)} dikalikan koefisien kematian (1) {dc(1) = death coefficient (1)}.

Dengan asumsi terjadi kesetimbangan statistik maka dua kemungkinan tersebut haruslah sama besar, sehingga bisa dituliskan dalam bentuk persamaan:


2. Cut Equations; pengamatan pada node secara random, yaitu state (i). pada saat terjadi kesetimbangan statistic pada state (i), terdapat empat kemungkinan:

a. State (i) akan bertransisi menjadi state (i+1) dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state I {= p(i)} dikalikan koefisien kelahiran (i) = {bc(i) = birth coefficient (i)),

b. state (i) akan bertransisi menjadi state (i-1)) dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state I {= p(i)} dikalikan koefisien kematian ke (i) {dc(i) = death coefficient (i)},

c. State (i-1) akan bertransisi menjadi state (i) dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state (i-1) {= p(i-1)} dikalikan koefisien kelahiran (i-1) = {bc(i-1) = birth coefficient (i-1)} dan

d. state (i+1) akan bertransisi menjadi state (i)) dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state (i+1 {= p(i+1)) dikalikan koefisien kematian ke (i+1) {dc(i+1) = death coefficient (i+1)}.


Global balance

Dengan asumsi terjadi kesetimbangan statistik maka jumlah 2 buah

probabilitas yang menunjukkan transisi dari state (i) harus sama

dengan jumlah 2 buah probabilitas yang menunjukkan transisi

menuju sta (i) sehingga bisa dituliskan dalam bentuk persamaan:

bc = Birth Coeffisien

dc = Death Coeffisien

p = ProbabilitasPersamaan kesetimbangan statistik merupakan interpretasi dari

teorema kedatangan (arrival theorem)Estu Sinduningrum, ST, MT

Implementasi Birth and Death Process pada penurunan Formula Erlang B

Salah satu implementasi Birth and Death Process pada bidang rekayasa trafik telekomunikasi yang paling pertama adalah dalam penurunan rumus atau formula Erlang B.

Formula Erlang-B sangat terkenal di era telephony-circuit switching. selama hampir seratus tahun formula Erlang B telah digunakan dalam perhitungan rakayasa trafik di jaringan telekomunikasi.

Hasil perhitungan menggunakan formula Erlang-B ternyata sangat akurat bila dibandingkan dengan hasil pengukuran secara nyata pada jaringan telepon berbasis loss-system atau yang dikenal juga sebagai/Loss call creared (LCC).


Dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death Process

Ada dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death Process sebagai model trafik dijaringan telekomunikasi, secara ringkas adalah sebagai berikut:

1) Yang pertama adalah menentukan asumsi atas trafik yang datang. Formula Erlang-B yang digunakan pada jaringan telepon adalah mengacu trafik adalah call telepon yang datang mengikuti point process.

Laju kedatangan call rata -rata adalah λ dan laju pelayanan rata - rata adalah μ.

Trafik yang datang dan dilayani di system telekomunikasi diasumsikan merupakan suatu PCT-1 (Pure Chance Traffic Type 1).

Pada trafik PCT-1 dapat dibenarkan untuk menggunakan nilai rata-rata sebagai dasar perhitungan, atau yang sudah dikenal dengan istilah PASTA (Poisson Arrival See lime Arrival). Trafik yang datang bisa dinyatakan dengan satuan erlang dan ditulis dengan notasi A = λ/ μ Estu Sinduningrum, ST, MT

2) Yang kedua adalah kita harus mampu

menggambarkan diagram transisi dari state.

Untuk itu kita harus tahu berapa jumlah state

dan berapa koefisien kelahiran maupun

koefisien kelahiran di setiap state.


Dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death Process

Dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death

1. Process Penentuan jumlah state

Untuk jaringan jaringan telepon berbasis circuit switching dan loss system atau yang dikenal juga sebagai loss call cleared (LCC), maka jumlah state adalah sama dengan jumlah kanal telepon di jaringan tersebut.

Ini bisa dimaklumi, karena titik perhatian kita pada jaringan tersebut adalah probabilitas sejumlah kanal sedang holded State 0 merepresentasikan tidak ada kanal yang sedang holded, State 1 menyatakan ada 1 kanal yang holded dan seterusnya.

Mudah dimaklumi, bahwa pada situasi ini, jumlah state maksimum adalah sama dengan n, yaitu sebesar jumlah kanal di jaringan telekomunikasi yang sedang kita amati. Adanya sejumlah (i) call yang holded di kanal telepon direpresentasikan dengan state (il. Jadi n adalah terbatas. Estu Sinduningrum, ST, MT

Dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death

2. Penentuan koefisien kelahiran dan koefisien

Agar dapat menentukan koefisien kelahiran dan

koefisien kematian kita harus memahami terlebih

dahulu mekanisme yang terjadi di jaringan ketika

menangani trafik.

Jika kita Paham betul mekanisme yang terjadi,

barulah kita bisa menentukannya. Sangat penting

untuk diingat, bahwa saat ini kita tergantung pada

asumsi.


Asumsi Erlang

Asumsi Erlang ketika menurunkan formula Erlang B ada tiga, yaitu:

1. Asumsi pertama: telephone call/ datang mengacu pada konsep point process dengan laju kedatangan call rata - rata adalah sama dengan 1. Dengan demikian koefisien kerahiran dari state 0 menuju state 1 adalah sama dengan λ.

2. Asumsi kedua: untuk telephone Call yang sedang holded di kanal telekomunikasi, keberadaannya di kanal diakhiri dengan laju layanan sebesar μ. Dengan demikian koefisien kematian dari state (1) menuju state (0) adalah sama dengan μ.

3. Asumsi ketiga: jumlah pelanggan sangat banyak dibandingkan dengan jumlah kanal di jaringan.


State Transition Diagram untuk Penurunan Formula Erlang-B

State 0 : λ.p(0) = μ.p(1) λ.p(0) = μ.p(1)State 1 : λ.p(1) + μ.p(1) = λ.p(0) + 2μ.p(2) λ.p(1) = 2μ.p(2)State 2 : λ.p(2) + 2μ.p(2) = λ.p(1) + 3μ.p(2) λ.p(2) = 3μ.p(2)…………………………… …………………..State (i-1) λ.p(i-1) = (i)μ.p(i)State (i) λ.p(i) = (i+1)μ.p(i)State (i+1) λ.p(i+1) = (i+2)μ.p(i+1)


Kelahiran (probabilitas pelanggan yg

datang).Kematian

(probabilitas pelanggan yg

selesai telpon).Jumlah kanal Server

Model Jaringan telepon yang berbasis circuit switching dan Loss Call Cleared

akan menjadi?

Pada Kondisi Jaringan telpon di circuit switched-loss call cleared : dimana λ/μ = Offered traffic =AMaka Persamaan-persamaan bisa dituliskan

menjadip(0) = p(0)p(1) =A.p(0)p(2) = (A/2) p(1) (A2/2)p(0)………………………… ……………..

.……………………….. ……………..


Kita bisa menghitung p(i) hanya sebagai fungsi A dan i saja, dengan cara mensubstitusikan p(0) ke dalam persamaan yang hanya melibatkan A dan i saja. Untuk itu , kita harus mengingat kembali prinsip teori probabilitas pada situasi ini : jumlah dari seluruh probabilitas p(0) + p(1) + p(2) + P(n) =1.


Maka dapat dirurunkan formulasi Erlang-B untuk loss system, atau sudah terkenal dengan sebutan Formulasi Erlang-B

Fungsi perbaikan Jaringan Loss

Pada jaringan Loss, Fungsi perbaikan Fn(A)

adalah jumlah trafik yang tidak jadi hilang,

seandainya jumlah saluran ditambah satu,

dari semula = n ditambah menjadi (n+1).

Jadi Fn(A) = Y(n+1) – Yn,dapat diturunkan

dari trafik yang ditawarkan dan probabilitas

blocking.


Contoh Soal (1) Suatu trunk-network terdiri dari 10 kanal melayani trafik dengan

karakteristik sbb:

a) Struktur grup-kanal bersifat homogen & full accesibility

b) (b)Trafik dilayani secara LCC=Lost Call Cleared

c) Kedatangan trafik merupakan suatu Poisson arrival process yang memiliki rate kedatangan = λ = 500 call/detik, dan

d) Waktu layanan terdistribusi eksonential yang memiliki intensitas = μ = 100 detik/call.

Hitunglah:

(a)Time congestion, call congestion & traffic congestion

(b)Offered traffic, loss traffic & carried traffic

(c)Pendapatan pada satu hari bila rate kedatangan rata-rata selama 23 jam yang bukan jam sibuk = 0,75 rate kedatangan pada jam sibuk, dan jika setiap call rata-rata memberikan pemasukan sebesar Rp 500,-

(d)Utilisasi rata-rata jika pemilihan kanal menggunakan teknik Random hunting, dan jika menggunakan teknik Sequential hunting

(e)Jika untuk menambah satu kanal, diperlukan biaya jaringan end-to-end sebesar 200 juta rupiah, apakah perlu ditambah satu kanal, jika trafik tetap seperti di soal? Jika jawabannya belum perlu, pada saat trafik meningkat menjadi berapa, penambahan satu kanal baru dilakukan?.


Jawab


Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara

eksplisit.

Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan

obyek tersebut dengan menggunakan dirinya

sendiri. E Time CongestionC Traffic terhadap ErlangB Call

Jawab

c) Call congestion = B = 0,0184 dan l. = 500 call/detik ) jumlah call yang terlayani (carried-call) selama l jam (3600detik) sibuk=500*(1-B)x3600 = 1766908

Jumlah call carried selama satu hari =23*0.75*1766908+1766908= 32246067 pendapatan satu hari = Rp16.123.033.432.

d) Random hunting-utilisation =

Utilisasi rata-rata jika pemilihan kanal menggunakan teknik Random hunting =4,9081/10 = 0,49081erlang/kanal = Utilisasi rata-rata jika pemilihan kanal menggunakan teknik Sequential hunting


e) Jika jumlah kanal ditambah satu adalah

Improvement factor

E11(A)= 0,0083 ) pendapatan satu hari =

Rp16.288.879.973 kenaikan pendapatan =

Rp165.846.541 adalah lebih kecil dibanding

biayanya belum perlu ditambah satu kanal.


Jawab

Thank You

Cont Next Week

birth and death process

Documents