beginning algebra workbook 3rd edition - amazon s3€¦ · ab a b a+b benjamin etgen 6 diamonds 1...
TRANSCRIPT
![Page 1: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/1.jpg)
���������������������������
������������������������
�����������������������������������������
�������������������
�
![Page 2: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/2.jpg)
�������������������������������������� ������ ����!�������"#$�#��%
�����������������������������������������������������������������������������������
���� !!���������������"!��������!�#���!���!
�������&���
�������� $�����#%�&������������&��������������'��
���������$�����(%������)��%���&�����&������������������
*�&�������)��'��"���&�����
�����'�����$���������"������������������&��%�����&����������������������%���&�
��&�������)�����"���'������&��������#�&��������#�����������������%�������������#�
'�#��������""�������������������&�����#����#��������
$��������(��� $������#���������������������)���������������������
�����������$��)�#������(%������)��%�������&�����������������%�#�������&����������
#�����������������&�����������������������������"�����
+����������&������&��"�����
���!��%���#�)������������&�������������'����&��)�#��"�������������)�������
��#��"�����&���
)'��(�*�����%�+���������'�������#�)�������������������������������&�������&���
�������������'%���������������������'�#��))����&��#�������������
+����� �����%������'�#�������#�)�����)��'��"���"�����))����&��#������������
, ����)����&�����"���)����������"���%���������������������#��"����(����������&�
����������-
, .��������/���������"���-
, 0�"������������������#��������������������'��������)�������'�����'���������&������
�����������#���������#���"���
.������������������&�����������#�)�����)������"����&��'���������������&��������)��'��"�
*01 ����� !!���������������"!��������!�#������!���!��"���&�
�
![Page 3: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/3.jpg)
�������������� ����������������
��������������������������������������������������������������������������
������������
����������������������������� ��!���������"��������������������������������"���
��������������������������������"��������������������������������"�����������
������#��������!�2���3���4���2��
$������������������������"%�&����������������������%
'�������������������� �������������� ������(����������������������������
'������������������ �������������������������"��
'�)���������������������������������������������������������������
*
A
B
L
LR
![Page 4: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/4.jpg)
)��+��������#�������������������������������������������
Go
Doing
2� �� 3� �� 4� �� 2�
�2 �� �3 �� �4 �� �2 Return
Undoing
(������������������������������������������������������ �����������������������*��
��������������������������������
� $������������������������������������,��������������������
$����������#��������������������������������(�����������������"���������
�����������������#������������������
Go
Doing
Return
Undoing
-
A
B
![Page 5: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/5.jpg)
� $�������+����������.
�������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������� ��������������!��������������������������
����������"����������#���������������������������������$�������������������������
������������������������������������%�������������������������������&���������
'��������������������!�������������!���#
(�������������������!���������������������������
/�����#���������������������"���������������������"!
$�����������������������������������������������"�
0
Aunt’s
House
![Page 6: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/6.jpg)
1�������������������"������������������������������"�����������������"�������
��"�������������
������������������������2��������!�3���5��3�����������������������������������
����"�����������������������������("�����������(�������"�������4��������������
��������������������������*����������������1����������������������������� ����
3���5�3�3��5���5��6��(����������������������������������������������������
���"���������-����50��3������������������������������������������������
�����������������"��������������������������������"������������������5��%�
(������������������������
'�������������������� �������������� ������(��������������������������5���
'�����������������������������������
'������������������������� ��������� ��������������������������������������
����������
Arithmetic
Take the
square root
�
Multiply
by 2
�
Subtract 9
�
Take the
square
�
Divide
by 2
�
Add 9
�Algebra
1����������5��������������������������������������%������������������������
������������������6��5�2�2����������� ������������2�
3 �6��������������"��������
�4�����63�36������������ ���������������0�
(������"����������0�����������2��������!�3�36�5�3�6��5�2��5�2��1�������
�������������
���7������� ��������������������!�3���5�2��(�����������������36�
8
![Page 7: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/7.jpg)
1������������� �������������������� ������(�������� �����������������������
���������������������������9�������������������������������������������
����!
������������� ��������4�����������
�������������� �2��������� ����������
�� ����� �����������4����������������
�� �������������������
��������� ��������������
� ��������������2���������4 �3�7��/�������������8���������������������
�������������� ����������2���������
/�����#����������������������������:��������������;�9�����������������
:����������;����������������������������������������
Arithmetic
Algebra
$����������������������������4�������!�1����������5��������8<������
�����������������������%
(�����4 �3�7�89��������:::: �
=
![Page 8: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/8.jpg)
�������������� �������������������
� 6
23� 2
�
7
8� 4
2�
� 6 � 2 7 � 4
� 3
44� 6
45
�
62�
28
96
� 3 � 6 �
�28
<
![Page 9: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/9.jpg)
6
67�27
56
9
66� 3
77
6 � 27 9 � 3
�
52�
9
84
6
223�
5
9�
�
�9
6
�5
6
![Page 10: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/10.jpg)
������������� ��������������������
>2�����������������������������������������������!
26
2�4� 8
52
�26
2224�
8
724
�26
22247
7�
8
72422
22
�267
72224�
822
72224
�2�6�88
72224
�45
72224
�424
72224
�4
722
� 4
77
�
�
*
-
0
8
=
�?
![Page 11: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/11.jpg)
������������� ������������������
� ,��������������������"������������������������������5*%
$������)���
@�����5*����*� �����:���;
A�������5*�������������������������������
,����5*���������������B*�
>2! ��6�7������0� �����:��;����=� �����:���;�
�������%�CCCCCCCCC
9����������%�CCCCCCCCC
�6�7�:::::::::
>2! ��65�49�
�������%�CCCCCCCCC
9����������%�CCCCCCCCC
�65�49�:::::::::
>2! ��9��22�
�������%�CCCCCCCCC
9����������%�CCCCCCCCC
�9��22�:::::::::
� ,��������������������"������������������
��4 9���������B*�������������D
���4 ���� �������������B*�
(�����������������������������������"������������������������������������
��
![Page 12: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/12.jpg)
>2! �6�7���������������6�::::����CCCCC�
>2! �9��9��������������CCCCCCCC����CCCCC�
� ������������� �������������� ��������� �%
5* 5* 5* 5* 5* 5* 5*
� - * � � ? 5� 5�
�
>2! �6 ��7�����CCCCC� >2! �3�4�����CCCCC�
� &�������2
3�������0%��������������������������������������������!
� � * - 0 8 = < 6 �?
6�2
3 � 2
3�2
3 ��2
3 4 2
3�2
3 4�2
3 3 2
3�2
3 3�2
3 2 2
3�2
3 2�2
3
2
3�2
3
E�������/�������������,� �����!�6�2
3�2�
>2! &�������3
4�������<%�::::�::::�::::
>2! &�������2
6��������%�::::�::::�::::
>2! 23� 2
4��"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;
>2! 6�6
7 ��"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;
>2! 873����"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;
� � * - � �?? �?� �?� � �
873�� 873�� 873�� 873�� � 873�� 873�� 873�� � 873��
>2! 873������CCCCCCCCCCCCCC�
��
![Page 13: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/13.jpg)
� >2�������������������������������������
>2! 74�777�:::::
>2! ��7�4���7���7���7��:::::
>2! �74��777�:::::
>2! ��26�3���26���26��:::::
>2! �263��2626�:::::
A������������������
�������F��������F��������! �3�6�7�3��3��3�3
�������9���������>2������! �3��3�3��3���
���G������������! �3�����9�
� (���F��������F��������!
���H��������/������!
����������������I������������J��K������������L�����������KI��JL�
/��������������������
&���������������������� �������������������������������
� ����&��)����
�����&��)�����
���>2���������
*��G����������������,� �����������)���5��5E�����
-��������������/���������������)���5��5E�����
�*
![Page 14: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/14.jpg)
>2! (����������� �����4��6��3�!
>2! > �����4��6��3�!
>2! > �����8�5
4����������������!
�����!�8�5�4�::::
�������!��8�5��4�::::
���������������������������������
�������������������������������������������� !��
����������������������������"����#$��%&'#�&()'*�
>���������������������������������!
�8�5 �;<���������=���#>�4�;<���������=���#>::::
+ ��������!��A�����!����*��0��=�������*���=���6���*���6��*���*=��-���-*��-=���0*��
06��8���8=��=���=*��=6��<*��<6��6=���?����?*���?=���?6����*����=���*����*=����
�� G�������������(���� >2!�-0 >2!���
�� E����!�>2!�=0 >2!�*�? >2!��*�
*� A�����!�>2!��<= >2!�-?* >2!��=�6
�-
![Page 15: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/15.jpg)
, E�����
>2!��48�::::��������::::�48�
>2!��223�::::����������������������CCCCCCCCCC�����������
>2!��2��:::::::::::::�
�- A���������!��??M�NCCCCC
>2!��0M >2!���*M >2!���0M
>2!�?��0� >2!�?�0 >2!��=
�� :���;���������������������
�� ��������������������� �3��������������������������������3� ��
�0
�����
2��������
�������
![Page 16: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/16.jpg)
�� /�� ��)�����>4������
>2! 6 ��9�7
>2! �7 ���6��32
�8
![Page 17: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/17.jpg)
�� /�� �������4���������������������������������������������"�
>2! �28
5��
�
4 �6
4��� >2!
�2
5�
6
3 ��� 3
4 �� 2
4�
�� /�� �������4���������������������������������������������"�
>2!6
��
26
7>2!
�
8�
24
�3
�=
![Page 18: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/18.jpg)
�+ /�� �������4���������������������������������������������"�
>2!7
8�
�
4���
4
3��3���
4
3 � >2!2
4��
35
8�3� �
4��
3
4 �
�<
![Page 19: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/19.jpg)
�
�
��
/�� ���������������
.��/�"�&0� ��1 (�����������������������������
*-���������(���������������������������������������
&01 (�����������������������������8?�������(���
���������6�����������������������
'�/�����!�����������2�� ��3
��3 ��3 ��3 ��3
'�/�����!�����������/��4��3�(�����������������
��4� ���� ��23 �
'�/����*!���!������������"���������������������3
4��3�23��3
'�/����-!���5�������4�����3
4��3��3
2��3
�6
'�/����0!�����/������������������4��3
��3�23��3�6��3��2��4�
(������������0��������
�6 (�����������������������������8?�������(������������6�����������������������
�6
��3 ��3
(����������������������������������������
����������!�����������������������������������������
����������
![Page 20: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/20.jpg)
�, ��������������������������� �������������"����2����(��������������*�
��2�����������������������"���(��������� �������2�������������������
���� ����&���������2������������������%
�?
![Page 21: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/21.jpg)
/�� ���������������
.��/�"�&0� ��1 (�����������������������������8?���������(�������������<�����������������������������������������������������
&01 (�����������������������������08������(����������������������������������������������������������������
'�/�����!�����������2�� ��3
��3 ��3 ��3 ��3
'�/�����!�����������/��4��3�(�����������������
��8�.������"���
�
����
9��������9
����������'����&��&&����
����'�&���
���9
��::::::::.���'�&���::::::::
����
3�����3
����������::::::::
�������"���::::::::
'�/����*!���!������������"���������������������3
8��3��9��3
'�/����-!���5�������4�����3
8��3�28�3
8����28
����
�22
'�/����0!�����/������������������4��3
��3�25��3�22��49�33�8�
(��������������6���������������������������
�������
�- (�����������������������������08������(�������������������������������
���������������������������������
��
![Page 22: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/22.jpg)
�� ����������������"������4�������?��#��������������"�����#������"�����&���
�������������������������4����������"���0����"���%
�� �����������"������������N�-�����������N�6����������������
��
::::: � �?����
���������������@������
��������������
�������������
::::: �
![Page 23: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/23.jpg)
/�� ��������� ���������� � � ��"���� �
������
2
3������
������������� ���� ��������������!�"����
&03�� /�� �� ��2
3 ������ �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
3 ���� �� ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�*
![Page 24: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/24.jpg)
/�� ��������� ���������� � � ��"���� �
���
������
2
3������
&03�� /�� �� �� 2
3������ �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
3������ ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�-
![Page 25: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/25.jpg)
/�� ��������� ���������� � ��"���� �
��
2
4 ��
&03�� /�� �� ��2
4 �� ���������(�������������������������� ����������������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
4 �� ��(�����
�������������������������� ����������������"������� ������������������������
����������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�0
![Page 26: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/26.jpg)
���������� � � ��"���� �
&03�� /�� �� ��2
6 �3����� �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
6 �3����� ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�8
![Page 27: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/27.jpg)
���������� � � ��"���� �
&03�� /�� �� ��9����� �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 9 ���� � ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�=
![Page 28: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/28.jpg)
���������� � � ��"���� �
&03�� /�� �� ����6��3�� �������
/�������������� ���������������������������������������������������� ��6 ��3�� ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�<
![Page 29: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/29.jpg)
������������� ��#�$���������%���������&����������
'�&�����������������������������%CCCCCCC������CCCCCC���
'�������7��������������������%�
'�����������������������%CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�&����������������������������������%CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�(�����������"�����������������������#�������CCCCCC����������CCCCCCCCCCC�
�6
![Page 30: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/30.jpg)
'�&���������������������������������������������������%
CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
)��&�����������������������
'�&��������������������������������������������������������%
CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�(��������������������������������%�
CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�������7����������������� ����������%�
*?
![Page 31: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/31.jpg)
'�(�����7������������������������������������������������������������������%
��
��
'�����������������������"�������������%
'�(��������������������������������������������������������������������������%
��
��
'�1��������������������������������������������������CCCCCCCCC������9��������
CCCCCCCC�������������������������������������������������CCCCCCCC���������
����������������������"�������������������������������������������������������
���������������������������������������%
*�
![Page 32: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/32.jpg)
������������� ��#�$�����������������
��������
:@����;������:����������������;
::::::���
::::::�����������
::::::�)�
������
���(������������������H������>4�����
���/��������������H� ���1���������
*��/�� ������"
-�����������/��������>4�����
0��/��������������P�����������/�� �
8��/��������������������3����
*�
:,�������;�����������������
:1� ������;����:����������;���������
�����������
:Q������;������:���������������;
![Page 33: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/33.jpg)
&0�� ��������� ��������������������!����������!�!��������������������������*��������
��������������������!�!�������������������������������������!�!����!�����������
����������������+,,������������������������!������������ �������������������
!�!�����-������������������������������.+�����!�!����!������������������
���������������������������������#
�7����������������������������&�������
.���������)�'�����������&��#��������
���������
&������#�����������
��������A�����)�����&��������)����������� 3
�7���!��������������5���8�2�� �����
����������������������������������!�!����!���������������������������+,,�
�����������������������!������������ �������������������!�!�����-�������
�:::::::: ���� ��::::::::
$������������������������������������������ �����������������������������������
��������������+���������������������������������%�9�����������������������.
�7���5��2����
�7�9��"����������2���&�������
�6�668�3
�7���!������������(����������"���5�
����������������������.+�����!�!����!������������������������������������
���������������#
��23 ���� �6�668233�6�6682���::::::::
�7�����������'��4���4����)����
(������������������������<??�����������������������������������
**
![Page 34: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/34.jpg)
� (������4�������������������� �������������������������������������� �����
�� ���������������������(���������������������� ����������������������������������
�����������������/���������������������?�80�������� �������-�*�������������������
�������4��������������������?�0��������� �%
*-
![Page 35: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/35.jpg)
� (���������������������������������� �����7������������������������������
�4������������������/���������???5�������� ��������00�������������������
���������8�����������������������������������������������80����%
*0
![Page 36: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/36.jpg)
� (�����������������5�����������������������������������������������������
������� �����7������������������������������������������ ���������������������
��������������1��<?�???���������������������������������������-??�����������
�������������������=?�???�����??�???�������������������������������������
�������������������0?�???����=0�???���������0?����������%
*8
![Page 37: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/37.jpg)
������������� ��'��������� �������%�(����������
����������������������>����������������������������!
�7�&� �������0����4��"�3���������������������������������/ �����������������������������������������������
)��"�����:1����������������������;������������������
>2�!�1���� ������������������������������������������ ��8�
9������!��� ��������������������������� ��8�
>2�!� 1��G�����"���<��������������������������������������������������������0?����������������������������&����������������� �������������%
9������!�>������"����������������������0?����"��������������������������:G�������CCCC����������������������������;�
�7�*��/�2�������!������������:2���� 73
'�:��;���������N���'�:�����������;���������R���'�:�����������;���������S
�7�*��/�2��������;;;;;;��23�
��� ��� �9����E����������:��;�������������������
>��������������������!�������������9��
(������������������ (����������������������������(���������������������������� (���4������������� �������������������������
>2�!� ������� ��������
*=
��
������CCCCCC���
'��
��
��������
(����������������
>��������������������
![Page 38: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/38.jpg)
�7�*��/�2����4����"���!��������3
'�:��������������;�'�:�"�������;�'�:��������;
��������������������������������
���������������9���
����9�������������
�7 *���������������������� ���"����2�����&����������� ���3������2������:������;�:�����;�:�����������;�����:��;�������������������������������������������>��������������
(������������� ����!
��������� ����/���4��������% ��������� ����/���2�� ������%
(����������������!
�������������� �� ����������������������� ��
�������������������� � ��������������� �
*<
$���!�:���������;����:��������;�����������������(�������$F(����������������������
![Page 39: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/39.jpg)
������������� ��'��������� �������%�(����������
����������������������������/���������������������2�������������4������
�� (�������������������������������������������������������������
�� >���������������������������5������������������
*� �������������������������������4������������������������������ ������
-�� (���4���������������������������������������������2�
*6
![Page 40: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/40.jpg)
�� �� ������������������������������������������������
��� �� ����������������������������������������������������������������
*�� 1�������������������������������������������������������� ����������������#����
-�� 1����2������������������������������� �������������������������������������
0�� 1���� ������������������������������������������������������������������
8�� 1������4�������������������������������������������������������4�������������������������������
-?
![Page 41: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/41.jpg)
������������� ��'��������� �������%�(�����
>2�!�(��������8�<�����������������/��������E���(�����������������06�*0?�
���������
�������"�����������������������������������06�*0?������������:$���������
/�������;���������������:(���;�����������������������06�*0?�
$��������/�������
�E�
/��
(��� 06�*0?
�������"��������������������������������������������E�������������������
������(������������:$���������/�������;���������������:�E�;����������������
�������(�
$��������/�������
�E� (
/��
(��� 06�*0?
-�
![Page 42: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/42.jpg)
�*�����"��������/������8�<��������������������E������1���������������:(���
���������������������/������8�<������������������������������������E��;�E����
����:��������;�����������������������������������(�����/������(�5�8�<��������
����:$���������/�������;���������������:/��;�����������������������(�5�8�<�
$��������/�������
�E� (
/�� (�5�8�<
(��� 06�*0?
�-��$��������������������������������"����������������4����������1����������������������4����������������:$���������/�������;���������E������������������������������������������������!
.����������)����&���������0���
��&��
.����������)����&��������������839
����
����������������)����&������6546�
�0��(����� ��� ��839��6546� �������� ��������������4�����!
3 ��839�6546�
3 ��65579
��35595
�8��(���������������6�6<6�������������E��
-�
![Page 43: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/43.jpg)
������������� ��'��������� �������%� &��
>2�����(��������8�������������������������������������������������(��������
���������08����������
'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
�*����� �����
/��������
E�������
(��� 08
>2�����(���������������������������������������������������(������������������<
����
'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
�������
���������
(���
>2��*��(��������8������������������������������������(�����������������--������
�����������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
(���
-*
![Page 44: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/44.jpg)
>2��-��(���������������������������������������+������(�����������������0�������
�����������������������������(������������������*���������������������������
�������(����������� �������������������*��������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
(���
>2��0��(��������������������7�������������(��������-��������
'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
Q���A����
A����A����
(���
>2��8��(�������� 3
4 ���������������������������������(���������?0�������
'���������������� 3
4 ���%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
/�����9����
)����9����
(���
--
![Page 45: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/45.jpg)
>2��=��(�������������"���������� 3
6 ��������������������������������(��������
���������������?��4���������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2��<��(�������� 6
9 ������������7����������������7����������(���������08�
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2��6��(�������� 5
3 ��������������������5���������(��������--�����������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
-0
![Page 46: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/46.jpg)
>2���?��/�������"����<����������/���������������������������������������������/����������-���������������������������������&�������������������������������������%
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2������������������������?�������������������������?�*���������� �����������������������������1������������������������������������������������%
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2������G���������>������������������� ����������������������������������������&������7���������������������������������������������&�����"�������*0�������&����������������������7��%
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
-8
![Page 47: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/47.jpg)
������������� ��'��������� �������%�)�������
(������������������������������������<?T�
������29�
>2� (������������������������������*���������������
����������������(�����������������*?�������������
�������������������������������������������������
>2� (������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������
-=
![Page 48: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/48.jpg)
������������� *������������+�,����
A����������!�����/������������������ ��%�� ����������� ��*��
�����
�
>2!�A��������������!����*����?�5�����50�5=������50�-�
-<
![Page 49: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/49.jpg)
:�������4������������� ������;�U�����2����������� �������
������������������U��������� �
'��!���� ��� �����
F�������A�� � A����
)�����>4����� � )���
�����������������������������������������4��������������
� ����������������������
(�������������������������������������������4������������� �������
� (��������������������������������������
1����������������������#�����������?�?�����
�����������������������4������
� 1����������������������#�������������
������������������������������
-6
![Page 50: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/50.jpg)
>2!�H���� ��3 ��4��������������������������������������!
( �
5� ����� ���3 �� ��3��3��4�::::::::::
? ����� ��� �� ��3����4�::::::::::
�
0
A��������������������������������������������������������3�������������������
����"�
0?
![Page 51: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/51.jpg)
������������� *�*� ��-�
/��������������������� ���������������������:���������;����������
F���������!�����������"������ �������������������
$���� ��/����V����/����
A����� ��/���� 3���������/����
0�
![Page 52: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/52.jpg)
������������������������������������������������������(���������������������
CCCCCCCCCC������������������������
�����������������������������������������
�����������(��������������������
CCCCCCCCCC�������������������������
0�
(��������������������������������������
/��������
/�������
(��������������������������������������
�B������#�<��������
�������������������
���������#�<��������
![Page 53: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/53.jpg)
$������!
3 ���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�3��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�3��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�2��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�������������������������
������������������������������������������������!
>2! 0�����
>2! *����5-
>2! 5=����5*
0*
![Page 54: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/54.jpg)
H��������������������������������!
/����!� ������
����������������
��
������
������������
��������������������������������!
/����!� ���3� �2
�3��2
� ������������������� ��2 � �2� ���� ��3 � �3� �
����������������������������������������������������!
>2! �5��*������-��� >2! �0�*������0���
0-
![Page 55: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/55.jpg)
H�����������������������������������������������������������5��-������8�5<��
�H������������������������!
� �� �
������������������������!
� �� �
>2! �=�*������-�*� >2! �?�=������-�5*�
00
![Page 56: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/56.jpg)
������������� *�.� ��-�/0������-������
,��� �����������5������������������������������������������?��������(�����
����������������������� ��������������������������5���������!� �����
���
08
![Page 57: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/57.jpg)
>2!�3��������������������������4�������������������
>2!������������������������������ �����������4������ ��3
4��6�
>2!�H��������������� �����������4������ ���2
4��2�
0=
![Page 58: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/58.jpg)
>2!�H��������������� �����������4������ ��4 ��
>2!�H��������������� �����������4������ ��4
6��3�
0<
![Page 59: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/59.jpg)
>2!������������������������������ �����������4������6 ��4 ��32�
>2!������������������������������ �����������4��������� ��6�
06
![Page 60: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/60.jpg)
������������� *�.��������1�,������2&������
)������4�����������������������������������������������������������������
������
/����5���������������������
/����������
H��������������� �����!
���2
3 ��4
��������!
�������!���������������������!
�5������������!
����������������������5����������
���A���������5�������������������
*�������������������������� �������
-��������������������������������������
���������������
��3 ���
(5������������!
�5������������!
��������������!
����"!
���/������������N�?�������������(5����������
���/����������(�N�?��������������5����������
*��A�������������������������������������
-��������:�����������;�������������
0������"����������������������������������
�4����������������������
8?
![Page 61: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/61.jpg)
H��������������� �����!
���3 �
��������!
�������!���������������������!
�5������������!
3 ��4 ���
(5������������!
�5������������!
���������������!
��������������!���������������"!
��4 ���
��������!
�5������������!
3 ��6 ���2�
(5������������!
�5������������!
��������������!���������������"!
8�
![Page 62: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/62.jpg)
������������� *�.�3���4��������+�$�������
H���������4��������������������������������"����������&���#�������� ����������������������������#���������������������!
@�������)����!(�N��
������������������
&���#�����)����!��N��
���������#���
����������������������������������������������2�����!
� H��������������� ����������4������(�N�*
/����������������������������� ��������������������� �����������������(�N�*�
� ����������4��������������������������������������5���*������0��*��
/����������5 �����������������������������������4�����������������#��������������N�*�
� ����������4�������������������������������������=��0�������������#����
/������������������#��������"������������ �������#�����������(����4�������������#�������������������������N����/����������5 �������0������������N�0�
8�
�52��
(52��
![Page 63: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/63.jpg)
������������� *�5������/ ��-������
,��� �����������5����������������������������������������� ��2 � �2� ���� �� � �� �
����������������������������2���� ��2 � �2� ��������������� ������ �� � �� �!
���� �2
���2
8*
![Page 64: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/64.jpg)
����������4�����������������D
>2!������������������������W����W�0����������������N��!
>2!�����������������������-��W������������������N��4
3!
>2!��������������������������W������������������N��!
>2!�����������������������5=��6����������������N�?!
>2!�����������������������5=��6�������������������������!
8-
![Page 65: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/65.jpg)
������������� *��������������+����-��+��&���
(�����������2�����3��������������
�2��3�
$������!��2��3
(�����������4���������������������������
�������������!����������������������������������������������������������������������
��2��2
�3
�
$������!��4� ��
(���!��2�3��2
����������4�����������������D
>2!���������������*��������������� ��7
6����
���/�������!�������������������������������������������A��������������!
*��>4�����������������!
80
![Page 66: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/66.jpg)
>2!��������������������6 ��4 ��7����������5*�<��
���/�������!�������������������������������������������A��������������������!
*��>4�����������������!
88
![Page 67: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/67.jpg)
������������� )��-����� &�����
9'���1
/����51��������! �����!
A����5/����! �����!
/���������������! �����!
/������H���������!
(���������������������� �2 �����3 ���!
����������CCCCCCCCCCCCCCC�
����������������CCCCCCCCCCCCCCC��(�����!�
&���#�����)����!�/��������CCCCCCCCCC��>4�����!�CCCCCCCCCC
@�������)����!�/��������CCCCCCCCCC��>4�����!�CCCCCCCCCC
(���������������������������7������� ��2 � �2� ���� ��3 � �3� ���!
8=
![Page 68: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/68.jpg)
<=$�&>)=&�1
��5��1 '�/�"�2��1
(���A�����! /����!��2 � �2� ���� ��3 � �3�
H���!
>4�������������!
A��������/������� /����!�H� ��
H���!
>4�������������!
������ /����!
H���!
>4�������������!�H� ��
������� /����!
H���!
>4�������������!�H� ��
8<
![Page 69: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/69.jpg)
������������� �������������������������������
��� ���������������������������������
��� ����������������������������� ������ ���
��� ���
�������������
� �
� �����������
� �����������
��� ���
��������������������
��������
������������
��� ������������������������������
����
�� �� ����
���� ����
�������������
� �
� �����������
� �����������
����
����
��������������������
��������
������������
��
![Page 70: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/70.jpg)
��� ����������������������������� �������
����
��� ����
�������������
� �
� �����������
� �����������
�� �
����
��������������������
��������
������������
��� ������������������������������ ���� �� ���
� �� ���
�������������
� �
� �����������
� �����������
���� ���
��������������������
��������
������������
��� ��������������������������� �� ������� ���
����
� �� ����
�������������
� �
� �����������
� �����������
��� ���
�������������
� �
� �����������
� �����������
�
![Page 71: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/71.jpg)
������������� �����������������������������������
��� �����������������������������
���� ������ ���
��� �����������������������������
������� �
� ��� ����
��� �����������������������������
�����
����
����
����
��� �����������������������������
��� ����� ���
��� �����������������������������
���� ��������
��� �����������������������������
���� ���� �� ���
�
![Page 72: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/72.jpg)
��� �����������������������������
��
��� �
���
�
��
��
�
���
�
��� �����������������������������
��
����
����
�
��
���� ���
�
![Page 73: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/73.jpg)
������������� ���������������������������������
��� ����������������������������
��� ����������������������������
�� ��� ����� ��� ����
��� ����������������������������
�� �� ����� ��� ���
��� ����������������������������
�� ��� ���� ��� ���
��� ����������������������������
�� ���� ��� ��� ���
�
![Page 74: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/74.jpg)
��� ����������������������������
��
��
�
��
�
��� �
���
��� ����������������������������
�� ���� �
� �� ���
�
![Page 75: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/75.jpg)
������������� ��������� ���������������!�"�������
����������
����� �������������� ���������!����������������������������
������ ��������� ����������
�
���
"����
���#� ���������� ����������������� ������$�����!�������������
������
�
���
"����
���%� �����������������&��# ��� ��������������� ����� ����������$�'�����&���������������(
������ ��������� ����������
�
���
"����
�
![Page 76: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/76.jpg)
��������
)���������� ������������������ �
����� "'������������)*�������������������������������������������"����������������&��������������������&������������������������+���������������������������
���� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
����� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
�
![Page 77: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/77.jpg)
���#� "'������������)*������������������������������"������������������, ���-'���������������������% ����"�����������������������&������������$�'�����&������������������������������� ����������(
���� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
����� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
![Page 78: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/78.jpg)
��������
)���������� ���������������������������� �
����� .���������'�������������������������&��/!�� ������������������ 0������%� 0�$�'����'��������������������(
���� ����������������
�����������
���������
���������������
0
%� 0
"����
����� ����������������
�����������
���������
���������������
0
%� 0
"����
�
![Page 79: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/79.jpg)
���#� .���������'�������������������������&�%#���%��������������������������#���������������������������� 0���������������������������1���'�����������(
���� ����������������
�����������
���������
���������������
$���)���
2�')���
"����
����� ����������������
�����������
���������
���������������
$���)���
2�')���
"����
�
![Page 80: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/80.jpg)
������������� ��������������#�������
������"����������+ ������������������������������������������������
������������������&�����������������+/����$�'�����&���������������
����������������������(
)��� "��� 3�������
�������
2����
�����"��������4��&��� ����������'��4�&��, ��������$����������������������'��4�������4����1��4���������������'�������������4��$�'&���������'��4������������4�(
)��� "��� 3�������
1��4
5�4�
/�
![Page 81: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/81.jpg)
�����6������6�������������������������������'����������������������'��������������4�������"������#�����������'�������������6����������,���&���������6���6������������#����$�'�����������������(
)��� "��� 3�������
6���
6��
"����
�����"'�����������������)*������������������������������"��7/#������� ���������&������7�������������������&���������%����������'���������������%������������$�'&�������������������(
)��� "��� 3�������
7/#
7�
"����
/�
![Page 82: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/82.jpg)
�������
)����������base × percent = amount�
����� ������������'����������8�������������������������������&��&&�������9����:�"�������������;� �������&�����<���&��������������! 0�����������������# 0����������� �����������&���! 0���������������# 0���������$�'�����������&�����������������������������(
"��������=================�"����������==================�
���� ����������
�����������
������������
! 0
# 0
"����
����� ����������
�����������
������������
! 0
# 0
"����
/#
![Page 83: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/83.jpg)
���#� ����������������������9���9����������&�������<���������%�0�������'������������������#�0�"�������������������#�������&��������$�'�����&���������'������(
"��������===============�"����������================�
���� ���������
�����������
�����������
%�0
#�0
"����
����� ���������
�����������
�����������
%�0
#�0
"����
/%
![Page 84: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/84.jpg)
������������� ���������$��%� ��������!��������
�����"������&�'�����������+�"����&&���������'���������������#��1����������'��������(*���4�������'���
�����"�������������-1�����������'���&&������������$���������,+;������� ��������, ��������"����������������������;#����������������������+/����$�'����'���������������(
���� )��� "��� 3�������
�������"����
2����"����
"����
����� )��� "��� 3�������
�������"����
2����"����
"����
/,
![Page 85: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/85.jpg)
�������������������������������4����������"����������������,��%;�"������4����� 0'����������������%� 0�$�'����'����������������(
����
�����
/
![Page 86: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/86.jpg)
�����$�'�����������&# 0�������������������������'����#0��������������������%�������&� 0��������������(
����
�����
/+
![Page 87: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/87.jpg)
���������������������������&���������� ��������������������������������������������&����������%����������������������������&�/��������������������&�����������������������������1�����������'�������������
����
�����
/!
![Page 88: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/88.jpg)
������������� ���������&%%��������'�(����� �������
)����������base × percent = amount�
����� ������������'����������8�������������������������������&��&&�������9����:�"��������������!�������&�����<���&����������������0�����������������# 0�����������%�����������&���# 0�����������������0���������$�'�����������&�����������������������������(
"��������=================�"����������==================�
���� ����������
�����������
������������
����� ����������
�����������
������������
//
![Page 89: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/89.jpg)
���#����������������������&���������������������&���������������������������#!0�������'�������&���������;0�"�������������������� �%������&��������$������'������������&�����������������$�'�����&���������'������(
"��������=================�"����������==================�
���� ���������
�����������
�����������
����� ���������
�����������
�����������
/;
![Page 90: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/90.jpg)
���%� $�'����������&�%0���������������������������'���#�������&���0��������������������!0���������
"��������=================�"����������==================�
���� ���������
�����������
�����������
����� ���������
�����������
�����������
;�
![Page 91: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/91.jpg)
���,� "�����&��������������������#0�����>�����$�'������������&��������'���#�0�����>�����������������/��������&��������'���!0�����>���������������&������������������(
"��������=================�"����������==================�
���� �����������
�����������
�������������
����� �����������
�����������
�������������
;�
![Page 92: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/92.jpg)
������������� ���������$��%� ��������!�)�����
� ������������������#+��������������'����!?'������������������'�����#?�"�������������&������������#� !�$�'�����&����(
������ ��������� ����������
!?
�#?
�����
�������9������8�:�===============================================� <���������-���������������&���'�����5���������������.����4
����#���������������#/ ������������������+ ���-'����5���������+�����$�'����'�������������������(
���� ���� ��������
�����
5��
�����
�������9������8�:�===============================================� �����������������������������������&�#0����������$�'����
��������&#�0������������������������4��,0�����(
���� ���������� ������
�#0
#�0
�,0
�������9������8�:�===============================================� ������&��'��������'�'��������������.�&��'&��!������������'���
����#�����'������'����������������-�! ������.������������ # ��������������$�'&���'�����'���(
���� ���� ��������
1���
.���
�����
�������9������8�:�===============================================
;#
![Page 93: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/93.jpg)
� ���������������@%�-# ������4�&&���/0'��������������������&&�������%0����'�����������@�/� �1������������������������������(
��������� ���� ��������
5��4
*����
�����
�������9������8�:�===============================================� ���������������@%�-# ������4�&&���/0'��������������������&&���
����%0�$���������,0������������&��&�������1�����������������������������(
��������� ���� ��������
5��4
*����
�����
�������9������8�:�===============================================� ������������������������������������&�����������������/0��������
<�������#�0������������������������0�����������$�'�����&������������������������������(
���� ���������� ������
5��)�����
�������
������
�������9������8�:�===============================================� ������'�����&�/������������&�������8����� ����������:�"��
4����������������'����-�&�����������������'�����&�������������
������ ��������� ����������
�
���
�����
�������9������8�:�===============================================
;%
![Page 94: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/94.jpg)
������������� ���������$��%� ��������!�*�%�
������������ !�����"��!�#
.&���'��'����������'��������������&�������������-����������'�4��'���������������������
��������������������������������������������������������������� �������������������!�
��������������������"��#$%����������������&��������'���������������������������(
�4��'�������������9�����������4�������9���������
�:1����&���������4���'���������4���($�'����'������������������(
#:"���A�����������$�'�������'��������(
%:$�'��������������������4��(
,:$�'������������4�����������������4��������&&������'�A���������(
:.&����������������4���'�������-��'����4��A����4���'�������(
;,
![Page 95: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/95.jpg)
;
![Page 96: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/96.jpg)
������������� �������������������
����� "'�������������������������4������������&����������-�������4����������� 0���������������������%0���������������"�����������������������������; �
��������� ���� ���� ��������
����4�
5����
"����
����� �������&� ���������������������&����������������&����������-���������&��������������+0����������������������� �+0���������������"����������������������������#; �
��������� ���� ���� ��������
B����������
�������
"����
��
![Page 97: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/97.jpg)
������������� ���������+�����"���(�������
C���� ������&�����������������������������
����� ����� ����� ����� ����� ����� ����
����������������� ������������������
"���-����������������������� ������������������������
D������)�����������
���C��������
��������������������������
��� �������������������������
C��� ����������
D�'��)�������������C����������������������������������������
��� �������������������������
�������������
C��� ���
D�'��)������5�������� ������
�
C��������� ������ �������� ����������������������������
��� ����������� ��� ��� ����
C��� � ����� ���������
�
![Page 98: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/98.jpg)
E�������)�����
�
����
���
����)���������"����������*��������������""��������"���������������
C���������
�����������������
�
���������
��������
���
��
�
���
�����
����
� ���
C����
��
�� �
��
*�����������)�����
��
�
���
��
����
����
-'������������
#+����������������"��������������������������������������(
%+�&������������(
,������-���
���
����������
��
����
�����
����
���
�����
����
���
�� �
���
������
��
![Page 99: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/99.jpg)
F���D�'��)��������G.�����/����������������0�#������"��1
C�����������
�������������
������-��������� �
��� � �
� ��
� ��� ����
��� � ����� � �
����
���� �
�
�
C�������D�'��)����� ����������������� ����������
����
����������������������
�
��������/��������������������������*��������������������������
C����������������
��
���������������������
-������
�������������������
��� ��� ���
� �������
� �� ���
����
�����
)���&������������� �
� ��
��
�
��C���������� �
�
���� �� �� ���� �������������� � �� �
�
� ���� ��
�
� ���� �
�
� � ��
�� �
�
�
��
![Page 100: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/100.jpg)
�������
�������
�����4�G$�'����&��������.����(H
���������-��� ����
��
����� �
� ��
��
�
���������������G������������������������
���������������H
��
��
���
��
����
����
-'�������������4��
�:������������&���������������������������������(
#:$�'��������(
�I��������������������������������������������������
�����������������-���-����������������������'���������-
�
���
���
![Page 101: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/101.jpg)
������������� ���������&� ��,�%����"���(�������
$!%������!�!�����&�%���'�����23�����������4����+�
���������������(��������������������(%���)���*��'���(�������
���������
+�"�%���*�)��%�����������������)'�*�)��%�����'����(������
��� ������
�
�,���!������������������������%���%����������!����%�����'���
�(������
� �� ��
��
�
��
+'�%�)���
J2��4&��������������
� ���
�
��
� ��
��
���
��
���
��
������������������������������������������
�������������������������������������������
������������������������������������������
�������������������������������������
+�)�������!�!�����-�.��!"���(������2,�����/��5��������4����+
����������.��!"���(����������%�)!(%�)����*��'�����������'��(��!�!"��
�(������
��� ���
���� ��
�����!���'������%���%�/�%������!����%0��������.��!"���(�������������������'��(��!�!"���(������!���'�������!����%�/�%�����%���%0�
���� �
����
�
���
���
+'�%�)���
J2��4&��&������'���������������������
���
���
��
�
��
���������������������������������
�����������������������������������
������������������������������������
���������������������������
�����������������
���
![Page 102: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/102.jpg)
����� �����������!������"�����������������#�����26����7����4����+
�(%���)�'�������������������������
����������*��'���(�������
�������������������
�
�������������������
��
�������������������
�������������������
+'�%�)���
J2��4&��&�������&����������������
���������84��������������������&���
�����������:�
���
�
���
��
����
����
������������������������������������
�������������������������������
�����������
$����� �����������!������"�����%����������$��������"���26����7����4����+
�,���!���'�������������������������
������!**�%��)���*��'���(�������
�����������������
�����������������
�
��������������������������������
�
+'�%�)���
J2��4&��&�������&��������������
��&&����������
B���&���������������������
�������
��������
������������������
�
B���&�����������������������
��������
�������
��
�����������������
�%����������������������������������
�������������������������������&�
'������������&�
������������'��������������������&���'������������������������-����������������������������������������&�������&�������������
��������1�%���(����������� ����
�����'���������(����������������&�� ���� �
���
![Page 103: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/103.jpg)
�� ���
��
�� ��
� � ���
����
��� �� ������ �
��
���
![Page 104: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/104.jpg)
��� �� ����� ����
��� ���� ��� ���
���
![Page 105: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/105.jpg)
������������� �����,�����-�,�.�������
���� ��������
���� ��������
���� ��������
���� ��������
����� ���������
����� ���������
����� ���������
����� ���������
���
Scienti�c Notation has the form:
±___ . ___ ___ ___ ×10± ___
0
positive -> largersmaller <- negative
1
<- near zero ->
-1
far from zero -><- far from zero
Negative Exponent Positive ExponentPositive Exponent
Positive or Negative Near or Far from Zero
One Nonzero Digit
![Page 106: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/106.jpg)
*������������������������&��C������������������
�����������
�������������
��������������
*����������������������������������&��C��������
������ !�K
���#-�, -% /K
���������/�;%K
1����'����������������
�������������������
�����������������
�����������������������
������������
������������
����������
������������
���������
����������
���
![Page 107: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/107.jpg)
������������� ����/��������� ����������
D��������������G����������H
� �������
�� �������
� ������
������� C�����&D�����������
B������������� ��
5������������� ��
"������������� ���� ��
*��&&������ % �!
*�������
3����� % # � �
*�������
��� �� ���� ������ ��� ���
��� � ���� ���������� ���� �����
��� �� ���� ������� ���� �����
��
![Page 108: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/108.jpg)
������������� ����'����������� ����������
������������������������ �� ���� � �� ������� ���!�����
���� ���"!��
��� ��
��� � ������ ����
��� �� �� ��� �� ����
��� � ���� ���� ���� ��� �� ���� ��� ����
��� ���������� ���� ��� � ������ �������
���� ��� � ������� ��������� ��� � ������� ���
���
![Page 109: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/109.jpg)
�
��������&�������������&����������
���������������&
��������������������
����� <���� .���� 2���
������ �������� ������� ��������
��� �� ����� ��� ��� ������
L���������������������&�<.2�
������������%����������������������&;�9����������
.���������������������������"����������������
�����������������������'������������������������������&� ��
"���-��9����'������������������������������ ����
���
�
�
� ��
�� ��
�
�
� �
![Page 110: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/110.jpg)
��� �� �����
��� ������ ��� � ��������� ����
���
![Page 111: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/111.jpg)
������������� ��0����,���� ��%�,��
)���&���9�������������������� ������� �����
��� �������� ����� �� ��� ���
��� �� ��� ����� �������� ����� ������ ������
��� � ��������� �������� ��� �� ������ ��� ���
)���&�����������&&����������� ������������
��� ���� �� ������ ��� ���� ��� ���
��� �� �� �
���� �� �
���� ������� ������
��� � ����� ������ ���� ���
���
![Page 112: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/112.jpg)
������������� ����1���������-� ����������
3�������������������
��� �
���� ����
� ��
� ��������
����� �
����� �
��� ���� �
�� �
3�������'�������������������������������
�� ������� ���������� �� �� ����� �
�� ������ ��� ����
��#
![Page 113: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/113.jpg)
83�������'����������������:
�� ���� ���������� ���
���#� ���� � ��������
���#� ���� ���� ��� �
�� ���� ��� ���������� ���
���#� ���� ��� � ��������
���#� ���� ���� ��� �
)��������&��'��������������&������������������������
���)�'�����
����������������
"�������������������������������������������������������������������
�
����
�
��%
![Page 114: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/114.jpg)
83�������'��������������:
�� �� ���� �
�� ��� ����������
������ #�� �
��� ��� ��� �
�� � ���� ��� ���������� ���
���#�� ���� ��� �
��,
![Page 115: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/115.jpg)
ab
ba
a+b
Benjamin Etgen 6 Diamonds
1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as
a product of two integers. For example, 20=4⋅5 , 20=−4⋅−5 , 20=2⋅10 ,
20=−2⋅−10 , 20=1⋅20 , 20=−1⋅−20 .
(a) 8 (b) 16 (c) 15 (d) 21 (e) 23 (f) 36
2 Find two numbers such that their product is the number in the top diamond
and their sum is the number in the bottom diamond.
Example: Complete the diamond by determining two factors of 3 that have
a sum of -4. Since 3=1⋅3 and 3=−1⋅−3 are the ways of rewriting 3 as a
product of two integers, we must chose the two whose sum is -4. Since we
−1+−3=−4 chose the pair -1 and -3.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
115
18
9
18
-9
-12
1
54
15
-12
-1
3
-4
9
10
3
-3-1
-4
-15
2
-15
-2
![Page 116: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/116.jpg)
Benjamin Etgen Factoring
116
![Page 117: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/117.jpg)
117
![Page 118: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/118.jpg)
Benjamin Etgen 6§1 Factoring
When we rewrite 6=3×2, we are factoring.
To factor out the a common factor, we use the distributive property in reverse:
Distributive Property: 3(x+7)=3 x+21
Factoring: 3 x+21=3 (x+7)
Factor out the Greatest Common Factor (GCF), if possible.
(a) 5x + 15 (b) 8x −12 (c) 14x2−21x
(d) 9x2+3x (e) 45z + 3 (f) 5m + 3n
(g) 8x3y2−12x
2 (h) 15x
3yz−20x
2y3z2
(i) 6s2t5−4s
2t2
(j) 8x3y2−12x
2+14x
3y (k) 21x
2y2−35xy
3+7y
2
118
![Page 119: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/119.jpg)
Benjamin Etgen 6§2 Factoring By Grouping
(l) 2x(x+3)+5(x+3) (m) x(2x−1)+(2x−1)
(n) −x2−x+3xy+3y (o) −3x+xy
2−x
2y+3y
(p) −5x+x2y+5xy−25 (q) −5x+3xy−15xy−25
(r) x−y3−y2+xy (s) −5x+xy−7y+35
119
![Page 120: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/120.jpg)
Benjamin Etgen 6§3 Factoring One-Sum-Product
Factor the following trinomials. Then, check by multiplying.
(a) 1 x2+8 x+12 (b) 1 x
2+2 x−15 (c) 1 x2−11 x+28
(d) x2−2 x−15 (e) x
2+5 x−14 (f) x2+10 x−21
120
12
8
-15
2
28
-11
![Page 121: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/121.jpg)
Benjamin Etgen 6§4 Factoring Trinomials
Factor the following trinomials. Then, check by multiplying.
(a) 3 x2+8 x+5 (b) 6 x
2+13 x+6
(3 x2+___ x)+(___ x+5) (6 x
2+___ x)+(___ x+6)
(c) 2 x2+2 x−12 (d) 8 x
2−18 x−18
2( x2+x−6) 4 (4 x2−9 x−9)
4 x2___ x | ___ x−9
121
![Page 122: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/122.jpg)
Benjamin Etgen 6§5 Factoring Special Products
Difference of Squares: x2− y
2=(x+ y )(x− y)
In general: (A )2−(B )2=(A+B )( A−B)
Ex: x2− 1
4=( )2−( )2=( + )( − )
Ex: 2 x2−50=
Ex: 4 x2−49=
Ex: x2+25
Perfect Square Trinomial: x2+2 xy+ y
2=(x+ y )2
In general: (A )2+2(A )(B )+(B)2=(A+B)2 and (A )2−2(A )(B)+(B)2=(A−B)2
Ex: 16 x2+56 x+49
1) ( )2+2( )( )+( )2 Find A and B.
2) ( )2+2( )( )+( )2 Check that 2AB is the linear term.
3) ( + )2 Use the rule to factor.
Ex: 9 x2−42 x+49
122
![Page 123: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/123.jpg)
Difference of Cubes: x3− y
3=(x− y)(x2+xy+ y2)
In general: (A )3−(B )3=(A−B)((A )2+(A )(B)+(B)2)
Ex: 8 x3−1=( )3−( )3=
Ex: 64 x3− y3=( )3−( )3=
Sum of Cubes: x3+ y
3=(x+ y )(x2−xy+ y2)
In general: (A )3+(B)3=(A+B )((A )2−(A )(B)+(B)2)
Ex: x3+1=( )3+( )3=
Ex: 27 x3+125=( )3+( )3=
123
![Page 124: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/124.jpg)
Benjamin Etgen 6§7 Solve by Factoring
Zero Factor Property
Ex: (9 x+7)(3 x−8)(2 x+1)=0
Zero: ✔
Factor: ✔
Property:
Ex: x2+2 x−8=0
Zero: ✔
Factor:
Property:
124
a⋅b=0
a=0 b=0
Ex: Solve (x−3)(x+2)=0
x−3=0
x=3
x+2=0
x=−2
![Page 125: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/125.jpg)
Ex: 49 x2=9
Zero:
Factor:
Property:
Ex: 49 x2=3(10 x−3)
Zero:
Factor:
Property:
Ex: x (6 x−1)=2
Zero:
Factor:
Property:
125
![Page 126: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/126.jpg)
Benjamin Etgen 7 Simplifying Rational Expressions
Compare the way we simplify a fraction with the way we simplify a rational expression:
Ex. 1: Simplify Same as fractions!
2 x2+7 x+3
4 x2−1
385
1001
• Step 1: Factor the numerator and the denominator.
(x+3)(2 x+1)(2 x+1)(2 x−1)
11⋅7⋅5
11⋅7⋅13
• Step 2: Cancel the common factors.
x+3
2 x−1
5
13
Ex. 2: Determine where the rational expression is undefined.
x2−2 x−15
x−4
• Step 1: Set the denominator equal to zero.
x−4=0
• Step 2: Solve the resulting equation.
x=4
Same as fractions!
When x=4 ,
x2−2 x−15
x−4=
−7
0
Recall that you can
not divide by zero.
126
![Page 127: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/127.jpg)
Ex. 3: Multiply the rational expressions. Same as fractions!
( 9 x2−1
x2−2 x−15 )( x
2−5 x
3 x2+10 x+3 ) 15
14⋅
22
35
• Step 1: Factor all numerators and denominators.
(3 x+1)(3 x−1)(x+3)( x−5)
⋅x(x−5)
(3 x+1)(x+3)3⋅5
2⋅7⋅
2⋅11
5⋅7
• Step 2: Cancel any common factors.
x(3 x−1)(x+3)(x+3)
3
7⋅
11
7
• Step 3: Perform any remaining multiplication.
3 x2−x
x2+6 x+9
33
49
Ex. 4: Divide the rational expression.
Same as fractions!
x+3
x2+5 x
÷x
2−9
x+5
3
10÷
21
5
• Step 1: Multiply by the reciprocal.
x+3
x2+5 x
⋅x+5
x2−9
3
10⋅
5
21
• Step 2: Multiply the rational equation.
x+3
x(x+5)⋅
x+5
(x+3)( x−3)=
1
x (x−3)=
1
x2−3 x
3
2⋅5⋅
5
3⋅7=
1
2⋅7=
1
14
127
![Page 128: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/128.jpg)
Ex. 5: Combine the rational expressions. Same as fractions!
x+9
x2−3 x−10
−x+5
x2−5 x
15
143−
6
91
• Step 1: Factor denominators.
x+9
(x−5)(x+2)−
x+5
x(x−5)15
11⋅13−
6
7⋅13
• Step 2: Multiply numerator and denominator
by the missing factors of each term separately.
x
x⋅
x+9
(x−5)( x+2)−
x+5
x (x−5)⋅(x+2)(x+2)
7
7⋅
15
11⋅13−
11
11⋅
6
7⋅13
• Step 3: Combine.
x(x+9)−(x+5)(x+2)x (x−5)(x+2)
7⋅15−11⋅6
7⋅11⋅13
• Step 4: Simplify the numerator.
(multiply, then combine like terms)
(x2+9 x)−(x2+7 x+10)x (x−5)(x+2)
=2 x−10
x (x−5)(x+2)105−66
7⋅11⋅13=
39
7⋅11⋅13
• Step 5: Factor the numerator.
2( x−5)x(x−5)(x+2)
3⋅13
7⋅11⋅13
• Step 6: Cancel any common factors.
2
x(x+2)=
2
x2+2 x
3
7⋅11=
3
77
128
![Page 129: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/129.jpg)
Benjamin Etgen 7§1 Simplify Rational Expressions
Evaluate 4 x+7
3 x+9 at…
… x=2
… x=−4
… x=−3
What values make the rational expression undefined?
Ex:3 x
x2+6 x+8
Ex:2 x+6
x2−9
129
![Page 130: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/130.jpg)
Simplify:
Ex:x
2−1
1−xEx:
12 x2−3
8 x−4
Ex:x
2+3 x
x2−9
Ex:x
2−4 x−5
x2+x
130
![Page 131: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/131.jpg)
Benjamin Etgen 7§2 Multiply Or Divide Rational Expressions
Ex:2 x
2+7 x+3
x2−9
⋅x
2−3 x
2 x2+11x+5
Ex:x
2+4 x−5
x2+7 x+10
÷x−1
x+5
131
![Page 132: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/132.jpg)
Benjamin Etgen 7§3 Least Common Denominator
Ex:7
10+
1
25LCD is:
Ex:9
8 x4+
11
12 x6
LCD is:
Ex:6
x2−4 x
+3 x−1
x2−16
LCD is:
Ex:12
x−3+
5
3−xLCD is:
132
![Page 133: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/133.jpg)
Benjamin Etgen 7§4 Combining Rational Expressions
Ex:5 x
x−1−
x+5
x−1Ex:
−2
x+1+
4 x
x2−1
Ex:x
x−2+
−8
x2−4
Ex: 1+2
x+2
133
![Page 134: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/134.jpg)
Ex:x+47
x2+4 x−5
+x+12
x2+11 x+30
134
![Page 135: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/135.jpg)
2x−7
x2−2 x−8
+ x−3
x2−6 x+8
135
![Page 136: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/136.jpg)
Benjamin Etgen 7§7 Solving Rational Equations
Worked Example 1: Solve. Check your answer.
1
x−1+ x+4
x+3= 1
x+3
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
1
x−1+ x+4
x+3= 1
x+3
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x−1)(x+3)
1
x−1(x−1)(x+3)+ x+4
x+3(x−1)(x+3)= 1
x+3(x−1)(x+3)
(x+3)+(x+4)(x−1)=x−1
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
(x+3)+(x2+3 x−4)=x−1 Since this equation is quadratic, we will use the
Zero Factor Property (ZFP).
x2+3 x=0 becomes x(x+3)=0 so x=0 or x=−3 .
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
When x=0 the equation is solved, 1
3=1
3 .
When x=−3 the equation is undefined.
Thus, x=0 is the only solution.
136
![Page 137: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/137.jpg)
Ex 1: Solve. Check your answer.
10
x−2− x+3
x+2= 2
x+2
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
10
x−2− x+3
x+2= 2
x+2
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: x−2( )x+2( )
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
137
![Page 138: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/138.jpg)
Worked Example 2: Solve. Check your answer.
1
x+2+ x+1
x2+x−2
= 1
x−1
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)= 1
x−1
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x+2)(x−1)
1
x+2(x+2)( x−1)+ x+1
(x+2)(x−1)(x+2)(x−1)= 1
x−1( x+2)(x−1)
(x−1)+(x+1)=x+2
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
2 x=x+2 Since this equation is linear, we will isolate the variable.
x−2=0 becomes x=2 .
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
When x=2 the equation is solved, 1=1 .
138
![Page 139: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/139.jpg)
Ex 2: Solve. Check your answer.
−4
x+2+ x−4
x2+7 x+10
= 3
x+5
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
−4
x+2+ x−4
(x+5)(x+2)= 3
x+5
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x+5)(x+2)
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
139
![Page 140: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/140.jpg)
Benjamin Etgen Solving Rational Equations
Solve. Check your answer.
1
x+2+ x+1
x2+x−2
= 1
x−1
• Step 1: When solving we need the
least common denominator. First we
factor the denominators.
1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)= 1
x−1
• Step 2: Then, multiply each term by
the LCD.
In this case the LCD is: (x+2)(x−1)
(x−1)+(x+1)=x+2
• Step 3: Solve the resulting equation.
Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
2 x=x+2 Since this equation is linear,
we will isolate the variable.
x−2=0 becomes x=2 .
• Step 4: Check the proposed solutions
in the original equation.
When x=2 the equation is solved,
1=1 .
Combine the rational expressions.
1
x+2+ x+1
x2+x−2
• Step 1: Factor denominators.
1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)
• Step 2: Multiply numerator and
denominator by the missing factors of
each term separately.
x−1
x−1⋅ 1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)
• Step 3: Combine.
(x+1)+(x−1)( x+2)(x−1)
• Step 4: Simplify the numerator.
(multiply, then combine like terms)
2 x
(x+2)(x−1)
• Step 5: Factor the numerator.
• Step 6: Cancel any common factors.
2 x
(x+2)(x−1)
140
![Page 141: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/141.jpg)
Benjamin Etgen 8 Roots And Radicals
1 Complete the following pairs of squares and square roots.
(a) 22=___ and √___=2 (b) 3
2=___ and √___=3
(c) 42=___ and √___=4 (d) 5
2=___ and √___=5
(e) 62=___ and √___=6 (f) 7
2=___ and √___=7
(g) 82=___ and √___=8 (h) 9
2=___ and √___=9
(i) 102=___ and √___=10 (j) 11
2=___ and √___=11
(k) 122=___ and √___=12 (l) 13
2=___ and √___=13
(m) 142=___ and √___=14 (n) 15
2=___ and √___=15
2 Complete the following pairs of cubes and cube roots.
(a) 23=___ and
3√___=2 (b) (−2)3=___ and 3√___=−2
(c) 33=___ and
3√___=3 (d) (−3)3=___ and 3√___=−3
(e) 43=___ and
3√___=4 (f) (−4)3=___ and 3√___=−4
(g) 53=___ and
3√___=5 (h) (−5)3=___ and 3√___=−5
(i) 63=___ and
3√___=6 (j) (−6)3=___ and 3√___=−6
141
![Page 142: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/142.jpg)
Benjamin Etgen 8§1 Square Roots
Operations come in pairs with their inverses:
3+5=8 is undone with 8−5=3
7⋅6=42 is undone with 42÷6=7
42=16 is undone with √16=4
√16 is the “square root” of 16.
The square (like all other even powers) looses the sign. The square of 5 and -5 are
both 25.
Since there is no information about the sign remaining after squaring, we can not
know if a positive or a negative was squared. This means that there are two square
roots of 25, both 5 and -5.
We use the sign to tell us which square roots we want:
Ex: √16=______ Ex: −√81=______
Ex: ±√4=______ and ______ Ex: √49=______
142
52
25(−5)2
5
−5±√25
5
and
−5square 25 square root
5
and
−5
![Page 143: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/143.jpg)
Since the product of fractions is simply the product of the numerators and the
product of the denominators, taking the square roots of fractions is the same as
taking the square root of the numerator and the denominator separately.
Ex: √ 25
196=
since ( )
2
=
.
Ex: −√ 36
49=−
Because the square of all (real) numbers are positive (or zero), negative numbers
do not have square roots.
Taking the square root of a negative requires finding a number that is negative
when you square it.
Suppose that there was a number x that was the square root of -9, √−9=x . Then,
that would mean that x2=−9 . Since there is no (real) number that makes this true,
then √−9 is not a real number. (In intermediate algebra √−9=3 i .)
Ex: √9 Ex: −√9 Ex: √−9 Ex: −√−9
Product Rule:
(No Sum Rule! Both √x+ y and √x+√ y can not be simplified.)
Simplify: √28 Simplify: −7√75
Simplify: √145
143
![Page 144: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/144.jpg)
If we know that x is positive, then √x2=x . (In intermediate algebra √x
2=|x| .)
All variables are positive:
Simplify: −3√72 x y2z
3
Simplify: √x4y
5z
6
144
![Page 145: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/145.jpg)
Benjamin Etgen 8§2 Higher Roots
33= (−3)3=
Since the cube of a positive is positive and the cube of a negative is negative, the
cube keeps its sign. Thus, the cube root of a negative is a real number.
Ex: 3√27=______ since ______
3=______ .
Ex: 3√−27=______ since ______
3=______ .
Ex: 3√−8=______ Ex:
3√375=______
Ex: 3√72 x
2y
3z
4=______ Ex: 3√189 x
6y
7z
10=______
145
3 cube 27 cube root 3
−3 cube −27 cube root −3
![Page 146: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/146.jpg)
Benjamin Etgen 8§3 Combining Radicals
Ex: 2 x−5 x= Ex: 2 x−5 y=
Ex: 2√3−5√3= Ex: 2√3−5√6=
Recall that √x+√ y can not be simplified.
Ex: x−2 x= Ex: √6+√7=
Ex: √17−2√17= Ex: 5√3+√12=
Ex: 3√27+2√3−√12= Ex: −33√16+2
3√2=
146
![Page 147: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/147.jpg)
Benjamin Etgen 8§4 Multiply and Divide Radicals
...just like multiplying polynomials. Because of the product rule, we can distribute,
FOIL and use the multiplication algorithm.
Product Rule: √x⋅√ y=√x⋅y
Ex: √2⋅√5= Ex: 3√5⋅7 √2=
Ex: x√2⋅3√ y= Ex: √6⋅√15=
When we are squaring, it is easier to not use the product rule:
Ex: √72= Ex: √3 x+7
2=
Ex: √2⋅√2= Ex: √x+5⋅√x+5=
When we have a special product, it is easier to not use the product rule:
Rule for a sum and difference: (A+B )(A−B)=A2−B2
(√5+3)(√5−3)=√52−32=5−9=−4
Ex: (√7+√2)(√7−√2) Ex: (2√3−1)(2√3+1)
Rule for squaring binomials: (A+B )2=A2+2 AB+B2
(√5+2)2=(√5)2+2(√5)(2)+(2)2=5+4 √5+4=9+4 √5
Ex: (√10−5)2 Ex: (√15−√6)2
147
![Page 148: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/148.jpg)
Distribute:
Ex: 2√5(3+√2)= Ex: 6 √15(2√3−7√5)=
FOIL:
Ex: (√2+1)(√5+3)= Ex: (2√6+3)(3 √6+7)=
Quotient Rule: √ x
√ y=√ x
y
Recall that the same number can be written in different ways:2
3=
4
6=
6
9=⋯ and √75=√25⋅√3=5⋅√3=5 √3
When we simplify radicals involving fractions, we want:
1) no radicals in the denominator, and
2) no fractions in radicals.
We don’t actually divide!
148
![Page 149: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/149.jpg)
Ex: √5
6=√5
√6=√5
√6⋅√6
√6=√5⋅√6
√6⋅√6=√5⋅6
√62=√30
6.
Ex: √12
√3= Ex:
√5
√45=
Ex: 1
√3= Ex:
2
3 √5=
Ex: √ 7
11= Ex: √ 3
100=
149
![Page 150: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/150.jpg)
Benjamin Etgen 8§5 Rationalize Radicals
Ex: √5⋅______=5 Ex: 3√2⋅______=2
Ex: √18⋅______=6 Ex: 3√4⋅______=2
Ex: (√3−5)(________)=3−25=−22 Ex: (2√5+3)(________)=
What is the conjugate of 3√5+3 ?
Ex: 1
2√6= Ex:
1
2+√6=
150
![Page 151: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/151.jpg)
Ex: 5 √7−10
5= Ex:
2√3
√3+1=
Ex: √3+3
√3−1= Ex:
13√4 x
2y
3z
4=
151
![Page 152: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/152.jpg)
Benjamin Etgen 9§1 Solving with Radicals
Looking at the equation √x+5=3 it is natural to square both sides in order to
undo what was done to x. However, squaring loses the sign.
Look at what happens to this false statement when we square both sides:
5=−5
(5)2=(−5)2
25=25
Squaring made this false statement look like a true statement because it lost the
sign. For this reason we MUST CHECK when we square both side of an equation.
Ex: √x+5=3 Ex: √x+5=31) Isolate a radical:
2) Square both sides:
3) Simplify and solve:
4) Check:
152
5
and
−5square 25 square root
5
and
−5
![Page 153: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/153.jpg)
Ex: √10 x−8=3√x Ex: √3 x−5=√2 x+1
Ex: 7 x=√49 x2+2 x−10 Ex: √2 x+4=x
153
![Page 154: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/154.jpg)
Benjamin Etgen 9§1 Solving Equations With Two Radical Terms
Ex. 1:Solve. Check your answer.
√x+4−√x−1=1
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides. (Repeat as needed.)
isolate: √x+4=1+√x−1 square: (√x+4)2=(1+√x−1)
2
The resulting equation, x+4=2√x−1+x , still has a radical we perform step 1
again:
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides.
isolate: 2√ x−1=4 square: (2√ x−1)2=(4)2
• Step 2: The resulting equation, 4 (x−1)=16 , no longer has a radical term. We
solve the equation. In this case the equation is linear, so we isolate the variable.
x−1=4 becomes x=5 .
• Step 3: Check the proposed solutions in the original equation.
When x=5 the equation is solved, 1=1 .
154
![Page 155: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/155.jpg)
Ex. 2:Solve. Check your answer.
√2 x+3=√x+13+1
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides. (Repeat as needed.)
isolate: A radical is already isolated. square: (√2 x+3)2=(√ x+13+1)
2
The resulting equation, 2 x+3=2√x+13+x+14 , still has a radical we perform
step 1 again:
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides.
isolate: 2√ x+13=x−11 square: (2√ x+13)2=( x−11)2
• Step 2: The resulting equation, 4 (x+13)=x2−22 x+121 , no longer has a radical
term. We solve the equation. In this case the equation is quadratic, so we use the
ZFP.
0=x2−26 x+69 becomes 0=( x−23)(x−3) so x = 23 or x = 3.
• Step 3: Check the proposed solutions in the original equation.
When x = 23 the equation is solved, 1 = 1.
When x = 3 the equation is not solved, -1 = 1.
Thus, x = 23 is the solution to the radical equation.
155
![Page 156: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/156.jpg)
Solve the radical equation.
Ex.1: √x+3−√x−1=2
156
![Page 157: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/157.jpg)
Benjamin Etgen 9§2 Solving with Exponents
Looking at the equation (x+5)2=25 it is natural to take the square root of both
sides in order to undo what was done to x. However, the there are two square roots.
When we take the square root, we must remember that there is both a positive and
negative root:
(x+5)2=25
√(x+5)2=±√25
x+5=±5
x+5=5 or x+5=−5
x=0 or x=−10
Remembering that we MUST HAVE BOTH ROOTS is called the Square Root
Property.
We should not be surprised that there are two solutions, since we found two
solutions when we used the Zero Factor Property.
Zero Factor Property
x2=81
x2−81=0
(x+9)(x−9)=0
x+9=0 or x−9=0
x=−9 or x=9
Square Root Property
x2=81
√x2=±√81
x=±9
157
5
and
−5square 25 square root
5
and
−5
![Page 158: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/158.jpg)
Solving for x Arithmetic: ↓ Algebra: ↑
x2
5 x2
5 x2+4
Ex: x2=80 Ex: (3 x+2)2=49
The Square Root Property is how we started the semester, using the inverse
operation in the opposite order from the order of operations.
Solve 5 x2+4=8
Since algebra undoes arithmetic, we do the inverse of each step and in the opposite
order.
158
![Page 159: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/159.jpg)
Ex: x2+5=0 Ex: 3 x
2+1=73
Ex: 5 x2=80 Ex: (2 x+1)2+3=21
159
![Page 160: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/160.jpg)
Benjamin Etgen 9§3 Solving Equations By Completing The Square
Solve x2−10 x−11=0 by completing the square.
We need (1) the variables on one side and (2) the leading coefficient to be “1”.
x2−10 x+___=11
b:
-10→
half:
-5→
square:
25
We add the square of the half, 25, to both sides.
x2−10 x+25=11+25
To factor the left side, a perfect square trinomial, we use the half.
x2−10 x+25⏟( x−5)2
=11+25⏟36
(x−5)2=36
The square root property will allow us to solve for x.
√(x−5)2=±√36
x−5=±6
x−5=6
x=6+5
x=11
Check:
x−5=−6
x=−6+5
x=−1
160
![Page 161: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/161.jpg)
Ex. 1 x2−4 x=60
b:
____→
half:
____→
square:
____
x2−4 x+___=60+___
(x ____)2=___
√(x ____)2=±√___
x ____=±___
Ex. 2 x2+4 x=117
b:
____→
half:
____→
square:
____
x2+4 x+___=117+___
(x ____)2=___
√(x ____)2=±√___
x ____=±___
Ex. 3 x2−2 x=8
b:
____→
half:
____→
square:
____
x2−2 x+___=8+___
(x ____)2=___
√(x ____)2=±√___
x ____=±___
161
Solve the equation by
completing the square. Make
notes to yourself in the margin.
Be sure to explain to yourself
when to use the half and the
square.
![Page 162: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/162.jpg)
Benjamin Etgen 9§4 Quadratic Formula
Completing the square on the general quadratic equation, ax2+bx+c=0 , we
derive the quadratic formula:
x=−b±√b
2−4 ac
2a
Ex: x2+12 x−13=0
Ex: 2 x2+12 x=−5
162
![Page 163: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/163.jpg)
Ex: 2 x2+x+5=0
Ex: 4 x2−x+4=x+7
163
![Page 164: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/164.jpg)
Benjamin Etgen 9§7 Rectangles
Ex: In a landscape plan, a rectangular flowerbed is designed to be 4 meters longer
than it is wide. If 60 square meters are needed for the plants in the bed, what
should the dimensions of the rectangular bed be?
Ex: A rectangular lot is 20 yards longer than it is wide and its area is 2400 square
yards. Find the dimensions of the lot.
164
![Page 165: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/165.jpg)
Ex: The area of a rectangle is 48 sq-ft and its perimeter is 32 ft. Find its length and
width.
165
![Page 166: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/166.jpg)
Benjamin Etgen 9§8 Teamwork
Ex. 1: Lea can pack for a summer vacation in Monterey in 3 hours while Chris
takes 6 hours. Complete the table to approximate how long it will take
them working together.
Lea takes 3 hours to pack: Chris takes 6 hours to pack:Working
together:
time
(hours)
fraction of
the job
time
(hours)
fraction of
the job
fraction of
the job
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
t t
Now, write the equation for the time it will take them to pack when working
together. Solve:
166
![Page 167: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/167.jpg)
Ex. 2: Jill can paint a room in 12 hours while Carl takes only 8 hours. How long
it will take them working together?
Ex. 3: Working together, Ellen and Dianna can plant the garden in 3 hours.
Working alone would take Ellen 12 hours. How long would it take
Dianna working alone?
Ex. 4: Working together, Steve and Peter can trim the bushes in 4 hours.
Working alone would take Steve 15 hours. How long would it take Peter
working alone?
167
![Page 168: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/168.jpg)
Benjamin Etgen 9§11 Graphs of Quadratics
Ex: Graph y=x2
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ex: Graph y=−x2+4
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
168
![Page 169: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/169.jpg)
Ex: Graph y=(x+3)2
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
169
![Page 170: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/170.jpg)
Ex: Graph y=x2+2 x−3
x-intercept:
y-intercept:
x-vertex:
y-vertex:
Vertex:
170
![Page 171: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/171.jpg)
Ex: Graph y=x2+2 x
x-intercept:
y-intercept:
x-vertex:
y-vertex:
Vertex:
171
![Page 172: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042219/5ec52c9a29ddee037a18b1f4/html5/thumbnails/172.jpg)