beginning algebra workbook 3rd edition - amazon s3€¦ · ab a b a+b benjamin etgen 6 diamonds 1...
TRANSCRIPT
���������������������������
������������������������
�����������������������������������������
�������������������
�
�������������������������������������� ������ ����!�������"#$�#��%
�����������������������������������������������������������������������������������
���� !!���������������"!��������!�#���!���!
�������&���
�������� $�����#%�&������������&��������������'��
���������$�����(%������)��%���&�����&������������������
*�&�������)��'��"���&�����
�����'�����$���������"������������������&��%�����&����������������������%���&�
��&�������)�����"���'������&��������#�&��������#�����������������%�������������#�
'�#��������""�������������������&�����#����#��������
$��������(��� $������#���������������������)���������������������
�����������$��)�#������(%������)��%�������&�����������������%�#�������&����������
#�����������������&�����������������������������"�����
+����������&������&��"�����
���!��%���#�)������������&�������������'����&��)�#��"�������������)�������
��#��"�����&���
)'��(�*�����%�+���������'�������#�)�������������������������������&�������&���
�������������'%���������������������'�#��))����&��#�������������
+����� �����%������'�#�������#�)�����)��'��"���"�����))����&��#������������
, ����)����&�����"���)����������"���%���������������������#��"����(����������&�
����������-
, .��������/���������"���-
, 0�"������������������#��������������������'��������)�������'�����'���������&������
�����������#���������#���"���
.������������������&�����������#�)�����)������"����&��'���������������&��������)��'��"�
*01 ����� !!���������������"!��������!�#������!���!��"���&�
�
�������������� ����������������
��������������������������������������������������������������������������
������������
����������������������������� ��!���������"��������������������������������"���
��������������������������������"��������������������������������"�����������
������#��������!�2���3���4���2��
$������������������������"%�&����������������������%
'�������������������� �������������� ������(����������������������������
'������������������ �������������������������"��
'�)���������������������������������������������������������������
*
A
B
L
LR
)��+��������#�������������������������������������������
Go
Doing
2� �� 3� �� 4� �� 2�
�2 �� �3 �� �4 �� �2 Return
Undoing
(������������������������������������������������������ �����������������������*��
��������������������������������
� $������������������������������������,��������������������
$����������#��������������������������������(�����������������"���������
�����������������#������������������
Go
Doing
Return
Undoing
-
A
B
� $�������+����������.
�������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������� ��������������!��������������������������
����������"����������#���������������������������������$�������������������������
������������������������������������%�������������������������������&���������
'��������������������!�������������!���#
(�������������������!���������������������������
/�����#���������������������"���������������������"!
$�����������������������������������������������"�
0
Aunt’s
House
1�������������������"������������������������������"�����������������"�������
��"�������������
������������������������2��������!�3���5��3�����������������������������������
����"�����������������������������("�����������(�������"�������4��������������
��������������������������*����������������1����������������������������� ����
3���5�3�3��5���5��6��(����������������������������������������������������
���"���������-����50��3������������������������������������������������
�����������������"��������������������������������"������������������5��%�
(������������������������
'�������������������� �������������� ������(��������������������������5���
'�����������������������������������
'������������������������� ��������� ��������������������������������������
����������
Arithmetic
Take the
square root
�
Multiply
by 2
�
Subtract 9
�
Take the
square
�
Divide
by 2
�
Add 9
�Algebra
1����������5��������������������������������������%������������������������
������������������6��5�2�2����������� ������������2�
3 �6��������������"��������
�4�����63�36������������ ���������������0�
(������"����������0�����������2��������!�3�36�5�3�6��5�2��5�2��1�������
�������������
���7������� ��������������������!�3���5�2��(�����������������36�
8
1������������� �������������������� ������(�������� �����������������������
���������������������������9�������������������������������������������
����!
������������� ��������4�����������
�������������� �2��������� ����������
�� ����� �����������4����������������
�� �������������������
��������� ��������������
� ��������������2���������4 �3�7��/�������������8���������������������
�������������� ����������2���������
/�����#����������������������������:��������������;�9�����������������
:����������;����������������������������������������
Arithmetic
Algebra
$����������������������������4�������!�1����������5��������8<������
�����������������������%
(�����4 �3�7�89��������:::: �
=
�������������� �������������������
� 6
23� 2
�
7
8� 4
2�
� 6 � 2 7 � 4
� 3
44� 6
45
�
62�
28
96
� 3 � 6 �
�28
<
6
67�27
56
9
66� 3
77
6 � 27 9 � 3
�
52�
9
84
6
223�
5
9�
�
�9
6
�5
6
������������� ��������������������
>2�����������������������������������������������!
26
2�4� 8
52
�26
2224�
8
724
�26
22247
7�
8
72422
22
�267
72224�
822
72224
�2�6�88
72224
�45
72224
�424
72224
�4
722
� 4
77
�
�
*
-
0
8
=
�?
������������� ������������������
� ,��������������������"������������������������������5*%
$������)���
@�����5*����*� �����:���;
A�������5*�������������������������������
,����5*���������������B*�
>2! ��6�7������0� �����:��;����=� �����:���;�
�������%�CCCCCCCCC
9����������%�CCCCCCCCC
�6�7�:::::::::
>2! ��65�49�
�������%�CCCCCCCCC
9����������%�CCCCCCCCC
�65�49�:::::::::
>2! ��9��22�
�������%�CCCCCCCCC
9����������%�CCCCCCCCC
�9��22�:::::::::
� ,��������������������"������������������
��4 9���������B*�������������D
���4 ���� �������������B*�
(�����������������������������������"������������������������������������
��
>2! �6�7���������������6�::::����CCCCC�
>2! �9��9��������������CCCCCCCC����CCCCC�
� ������������� �������������� ��������� �%
5* 5* 5* 5* 5* 5* 5*
� - * � � ? 5� 5�
�
>2! �6 ��7�����CCCCC� >2! �3�4�����CCCCC�
� &�������2
3�������0%��������������������������������������������!
� � * - 0 8 = < 6 �?
6�2
3 � 2
3�2
3 ��2
3 4 2
3�2
3 4�2
3 3 2
3�2
3 3�2
3 2 2
3�2
3 2�2
3
2
3�2
3
E�������/�������������,� �����!�6�2
3�2�
>2! &�������3
4�������<%�::::�::::�::::
>2! &�������2
6��������%�::::�::::�::::
>2! 23� 2
4��"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;
>2! 6�6
7 ��"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;
>2! 873����"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;
� � * - � �?? �?� �?� � �
873�� 873�� 873�� 873�� � 873�� 873�� 873�� � 873��
>2! 873������CCCCCCCCCCCCCC�
��
� >2�������������������������������������
>2! 74�777�:::::
>2! ��7�4���7���7���7��:::::
>2! �74��777�:::::
>2! ��26�3���26���26��:::::
>2! �263��2626�:::::
A������������������
�������F��������F��������! �3�6�7�3��3��3�3
�������9���������>2������! �3��3�3��3���
���G������������! �3�����9�
� (���F��������F��������!
���H��������/������!
����������������I������������J��K������������L�����������KI��JL�
/��������������������
&���������������������� �������������������������������
� ����&��)����
�����&��)�����
���>2���������
*��G����������������,� �����������)���5��5E�����
-��������������/���������������)���5��5E�����
�*
>2! (����������� �����4��6��3�!
>2! > �����4��6��3�!
>2! > �����8�5
4����������������!
�����!�8�5�4�::::
�������!��8�5��4�::::
���������������������������������
�������������������������������������������� !��
����������������������������"����#$��%&'#�&()'*�
>���������������������������������!
�8�5 �;<���������=���#>�4�;<���������=���#>::::
+ ��������!��A�����!����*��0��=�������*���=���6���*���6��*���*=��-���-*��-=���0*��
06��8���8=��=���=*��=6��<*��<6��6=���?����?*���?=���?6����*����=���*����*=����
�� G�������������(���� >2!�-0 >2!���
�� E����!�>2!�=0 >2!�*�? >2!��*�
*� A�����!�>2!��<= >2!�-?* >2!��=�6
�-
, E�����
>2!��48�::::��������::::�48�
>2!��223�::::����������������������CCCCCCCCCC�����������
>2!��2��:::::::::::::�
�- A���������!��??M�NCCCCC
>2!��0M >2!���*M >2!���0M
>2!�?��0� >2!�?�0 >2!��=
�� :���;���������������������
�� ��������������������� �3��������������������������������3� ��
�0
�����
2��������
�������
�� /�� ��)�����>4������
>2! 6 ��9�7
>2! �7 ���6��32
�8
�� /�� �������4���������������������������������������������"�
>2! �28
5��
�
4 �6
4��� >2!
�2
5�
6
3 ��� 3
4 �� 2
4�
�� /�� �������4���������������������������������������������"�
>2!6
��
26
7>2!
�
8�
24
�3
�=
�+ /�� �������4���������������������������������������������"�
>2!7
8�
�
4���
4
3��3���
4
3 � >2!2
4��
35
8�3� �
4��
3
4 �
�<
�
�
��
/�� ���������������
.��/�"�&0� ��1 (�����������������������������
*-���������(���������������������������������������
&01 (�����������������������������8?�������(���
���������6�����������������������
'�/�����!�����������2�� ��3
��3 ��3 ��3 ��3
'�/�����!�����������/��4��3�(�����������������
��4� ���� ��23 �
'�/����*!���!������������"���������������������3
4��3�23��3
'�/����-!���5�������4�����3
4��3��3
2��3
�6
'�/����0!�����/������������������4��3
��3�23��3�6��3��2��4�
(������������0��������
�6 (�����������������������������8?�������(������������6�����������������������
�6
��3 ��3
(����������������������������������������
����������!�����������������������������������������
����������
�, ��������������������������� �������������"����2����(��������������*�
��2�����������������������"���(��������� �������2�������������������
���� ����&���������2������������������%
�?
/�� ���������������
.��/�"�&0� ��1 (�����������������������������8?���������(�������������<�����������������������������������������������������
&01 (�����������������������������08������(����������������������������������������������������������������
'�/�����!�����������2�� ��3
��3 ��3 ��3 ��3
'�/�����!�����������/��4��3�(�����������������
��8�.������"���
�
����
9��������9
����������'����&��&&����
����'�&���
���9
��::::::::.���'�&���::::::::
����
3�����3
����������::::::::
�������"���::::::::
'�/����*!���!������������"���������������������3
8��3��9��3
'�/����-!���5�������4�����3
8��3�28�3
8����28
����
�22
'�/����0!�����/������������������4��3
��3�25��3�22��49�33�8�
(��������������6���������������������������
�������
�- (�����������������������������08������(�������������������������������
���������������������������������
��
�� ����������������"������4�������?��#��������������"�����#������"�����&���
�������������������������4����������"���0����"���%
�� �����������"������������N�-�����������N�6����������������
��
::::: � �?����
���������������@������
��������������
�������������
::::: �
/�� ��������� ���������� � � ��"���� �
������
2
3������
������������� ���� ��������������!�"����
&03�� /�� �� ��2
3 ������ �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
3 ���� �� ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�*
/�� ��������� ���������� � � ��"���� �
���
������
2
3������
&03�� /�� �� �� 2
3������ �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
3������ ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�-
/�� ��������� ���������� � ��"���� �
��
2
4 ��
&03�� /�� �� ��2
4 �� ���������(�������������������������� ����������������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
4 �� ��(�����
�������������������������� ����������������"������� ������������������������
����������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�0
���������� � � ��"���� �
&03�� /�� �� ��2
6 �3����� �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 2
6 �3����� ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�8
���������� � � ��"���� �
&03�� /�� �� ��9����� �������
/�������������� ���������������������������������������������������� 9 ���� � ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�=
���������� � � ��"���� �
&03�� /�� �� ����6��3�� �������
/�������������� ���������������������������������������������������� ��6 ��3�� ��
(������������������������������� ����������������"������� �������������������
��������������������������� ��������������
/����������������������������������������� �����������������������������������������
�<
������������� ��#�$���������%���������&����������
'�&�����������������������������%CCCCCCC������CCCCCC���
'�������7��������������������%�
'�����������������������%CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�&����������������������������������%CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�(�����������"�����������������������#�������CCCCCC����������CCCCCCCCCCC�
�6
'�&���������������������������������������������������%
CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
)��&�����������������������
'�&��������������������������������������������������������%
CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�(��������������������������������%�
CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����
'�������7����������������� ����������%�
*?
'�(�����7������������������������������������������������������������������%
��
��
'�����������������������"�������������%
'�(��������������������������������������������������������������������������%
��
��
'�1��������������������������������������������������CCCCCCCCC������9��������
CCCCCCCC�������������������������������������������������CCCCCCCC���������
����������������������"�������������������������������������������������������
���������������������������������������%
*�
������������� ��#�$�����������������
��������
:@����;������:����������������;
::::::���
::::::�����������
::::::�)�
������
���(������������������H������>4�����
���/��������������H� ���1���������
*��/�� ������"
-�����������/��������>4�����
0��/��������������P�����������/�� �
8��/��������������������3����
*�
:,�������;�����������������
:1� ������;����:����������;���������
�����������
:Q������;������:���������������;
&0�� ��������� ��������������������!����������!�!��������������������������*��������
��������������������!�!�������������������������������������!�!����!�����������
����������������+,,������������������������!������������ �������������������
!�!�����-������������������������������.+�����!�!����!������������������
���������������������������������#
�7����������������������������&�������
.���������)�'�����������&��#��������
���������
&������#�����������
��������A�����)�����&��������)����������� 3
�7���!��������������5���8�2�� �����
����������������������������������!�!����!���������������������������+,,�
�����������������������!������������ �������������������!�!�����-�������
�:::::::: ���� ��::::::::
$������������������������������������������ �����������������������������������
��������������+���������������������������������%�9�����������������������.
�7���5��2����
�7�9��"����������2���&�������
�6�668�3
�7���!������������(����������"���5�
����������������������.+�����!�!����!������������������������������������
���������������#
��23 ���� �6�668233�6�6682���::::::::
�7�����������'��4���4����)����
(������������������������<??�����������������������������������
**
� (������4�������������������� �������������������������������������� �����
�� ���������������������(���������������������� ����������������������������������
�����������������/���������������������?�80�������� �������-�*�������������������
�������4��������������������?�0��������� �%
*-
� (���������������������������������� �����7������������������������������
�4������������������/���������???5�������� ��������00�������������������
���������8�����������������������������������������������80����%
*0
� (�����������������5�����������������������������������������������������
������� �����7������������������������������������������ ���������������������
��������������1��<?�???���������������������������������������-??�����������
�������������������=?�???�����??�???�������������������������������������
�������������������0?�???����=0�???���������0?����������%
*8
������������� ��'��������� �������%�(����������
����������������������>����������������������������!
�7�&� �������0����4��"�3���������������������������������/ �����������������������������������������������
)��"�����:1����������������������;������������������
>2�!�1���� ������������������������������������������ ��8�
9������!��� ��������������������������� ��8�
>2�!� 1��G�����"���<��������������������������������������������������������0?����������������������������&����������������� �������������%
9������!�>������"����������������������0?����"��������������������������:G�������CCCC����������������������������;�
�7�*��/�2�������!������������:2���� 73
'�:��;���������N���'�:�����������;���������R���'�:�����������;���������S
�7�*��/�2��������;;;;;;��23�
��� ��� �9����E����������:��;�������������������
>��������������������!�������������9��
(������������������ (����������������������������(���������������������������� (���4������������� �������������������������
>2�!� ������� ��������
*=
��
������CCCCCC���
'��
��
��������
(����������������
>��������������������
�7�*��/�2����4����"���!��������3
'�:��������������;�'�:�"�������;�'�:��������;
��������������������������������
���������������9���
����9�������������
�7 *���������������������� ���"����2�����&����������� ���3������2������:������;�:�����;�:�����������;�����:��;�������������������������������������������>��������������
(������������� ����!
��������� ����/���4��������% ��������� ����/���2�� ������%
(����������������!
�������������� �� ����������������������� ��
�������������������� � ��������������� �
*<
$���!�:���������;����:��������;�����������������(�������$F(����������������������
������������� ��'��������� �������%�(����������
����������������������������/���������������������2�������������4������
�� (�������������������������������������������������������������
�� >���������������������������5������������������
*� �������������������������������4������������������������������ ������
-�� (���4���������������������������������������������2�
*6
�� �� ������������������������������������������������
��� �� ����������������������������������������������������������������
*�� 1�������������������������������������������������������� ����������������#����
-�� 1����2������������������������������� �������������������������������������
0�� 1���� ������������������������������������������������������������������
8�� 1������4�������������������������������������������������������4�������������������������������
-?
������������� ��'��������� �������%�(�����
>2�!�(��������8�<�����������������/��������E���(�����������������06�*0?�
���������
�������"�����������������������������������06�*0?������������:$���������
/�������;���������������:(���;�����������������������06�*0?�
$��������/�������
�E�
/��
(��� 06�*0?
�������"��������������������������������������������E�������������������
������(������������:$���������/�������;���������������:�E�;����������������
�������(�
$��������/�������
�E� (
/��
(��� 06�*0?
-�
�*�����"��������/������8�<��������������������E������1���������������:(���
���������������������/������8�<������������������������������������E��;�E����
����:��������;�����������������������������������(�����/������(�5�8�<��������
����:$���������/�������;���������������:/��;�����������������������(�5�8�<�
$��������/�������
�E� (
/�� (�5�8�<
(��� 06�*0?
�-��$��������������������������������"����������������4����������1����������������������4����������������:$���������/�������;���������E������������������������������������������������!
.����������)����&���������0���
��&��
.����������)����&��������������839
����
����������������)����&������6546�
�0��(����� ��� ��839��6546� �������� ��������������4�����!
3 ��839�6546�
3 ��65579
��35595
�8��(���������������6�6<6�������������E��
-�
������������� ��'��������� �������%� &��
>2�����(��������8�������������������������������������������������(��������
���������08����������
'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
�*����� �����
/��������
E�������
(��� 08
>2�����(���������������������������������������������������(������������������<
����
'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
�������
���������
(���
>2��*��(��������8������������������������������������(�����������������--������
�����������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
(���
-*
>2��-��(���������������������������������������+������(�����������������0�������
�����������������������������(������������������*���������������������������
�������(����������� �������������������*��������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
(���
>2��0��(��������������������7�������������(��������-��������
'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
Q���A����
A����A����
(���
>2��8��(�������� 3
4 ���������������������������������(���������?0�������
'���������������� 3
4 ���%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
/�����9����
)����9����
(���
--
>2��=��(�������������"���������� 3
6 ��������������������������������(��������
���������������?��4���������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2��<��(�������� 6
9 ������������7����������������7����������(���������08�
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2��6��(�������� 5
3 ��������������������5���������(��������--�����������
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
-0
>2���?��/�������"����<����������/���������������������������������������������/����������-���������������������������������&�������������������������������������%
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2������������������������?�������������������������?�*���������� �����������������������������1������������������������������������������������%
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
>2������G���������>������������������� ����������������������������������������&������7���������������������������������������������&�����"�������*0�������&����������������������7��%
'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC
-8
������������� ��'��������� �������%�)�������
(������������������������������������<?T�
������29�
>2� (������������������������������*���������������
����������������(�����������������*?�������������
�������������������������������������������������
>2� (������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������
-=
������������� *������������+�,����
A����������!�����/������������������ ��%�� ����������� ��*��
�����
�
>2!�A��������������!����*����?�5�����50�5=������50�-�
-<
:�������4������������� ������;�U�����2����������� �������
������������������U��������� �
'��!���� ��� �����
F�������A�� � A����
)�����>4����� � )���
�����������������������������������������4��������������
� ����������������������
(�������������������������������������������4������������� �������
� (��������������������������������������
1����������������������#�����������?�?�����
�����������������������4������
� 1����������������������#�������������
������������������������������
-6
>2!�H���� ��3 ��4��������������������������������������!
( �
5� ����� ���3 �� ��3��3��4�::::::::::
? ����� ��� �� ��3����4�::::::::::
�
0
A��������������������������������������������������������3�������������������
����"�
0?
������������� *�*� ��-�
/��������������������� ���������������������:���������;����������
F���������!�����������"������ �������������������
$���� ��/����V����/����
A����� ��/���� 3���������/����
0�
������������������������������������������������������(���������������������
CCCCCCCCCC������������������������
�����������������������������������������
�����������(��������������������
CCCCCCCCCC�������������������������
0�
(��������������������������������������
/��������
/�������
(��������������������������������������
�B������#�<��������
�������������������
���������#�<��������
$������!
3 ���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�3��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�3��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�2��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�
�������������������������
������������������������������������������������!
>2! 0�����
>2! *����5-
>2! 5=����5*
0*
H��������������������������������!
/����!� ������
����������������
��
������
������������
��������������������������������!
/����!� ���3� �2
�3��2
� ������������������� ��2 � �2� ���� ��3 � �3� �
����������������������������������������������������!
>2! �5��*������-��� >2! �0�*������0���
0-
H�����������������������������������������������������������5��-������8�5<��
�H������������������������!
� �� �
������������������������!
� �� �
>2! �=�*������-�*� >2! �?�=������-�5*�
00
������������� *�.� ��-�/0������-������
,��� �����������5������������������������������������������?��������(�����
����������������������� ��������������������������5���������!� �����
���
08
>2!�3��������������������������4�������������������
>2!������������������������������ �����������4������ ��3
4��6�
>2!�H��������������� �����������4������ ���2
4��2�
0=
>2!�H��������������� �����������4������ ��4 ��
>2!�H��������������� �����������4������ ��4
6��3�
0<
>2!������������������������������ �����������4������6 ��4 ��32�
>2!������������������������������ �����������4��������� ��6�
06
������������� *�.��������1�,������2&������
)������4�����������������������������������������������������������������
������
/����5���������������������
/����������
H��������������� �����!
���2
3 ��4
��������!
�������!���������������������!
�5������������!
����������������������5����������
���A���������5�������������������
*�������������������������� �������
-��������������������������������������
���������������
��3 ���
(5������������!
�5������������!
��������������!
����"!
���/������������N�?�������������(5����������
���/����������(�N�?��������������5����������
*��A�������������������������������������
-��������:�����������;�������������
0������"����������������������������������
�4����������������������
8?
H��������������� �����!
���3 �
��������!
�������!���������������������!
�5������������!
3 ��4 ���
(5������������!
�5������������!
���������������!
��������������!���������������"!
��4 ���
��������!
�5������������!
3 ��6 ���2�
(5������������!
�5������������!
��������������!���������������"!
8�
������������� *�.�3���4��������+�$�������
H���������4��������������������������������"����������&���#�������� ����������������������������#���������������������!
@�������)����!(�N��
������������������
&���#�����)����!��N��
���������#���
����������������������������������������������2�����!
� H��������������� ����������4������(�N�*
/����������������������������� ��������������������� �����������������(�N�*�
� ����������4��������������������������������������5���*������0��*��
/����������5 �����������������������������������4�����������������#��������������N�*�
� ����������4�������������������������������������=��0�������������#����
/������������������#��������"������������ �������#�����������(����4�������������#�������������������������N����/����������5 �������0������������N�0�
8�
�52��
(52��
������������� *�5������/ ��-������
,��� �����������5����������������������������������������� ��2 � �2� ���� �� � �� �
����������������������������2���� ��2 � �2� ��������������� ������ �� � �� �!
���� �2
���2
8*
����������4�����������������D
>2!������������������������W����W�0����������������N��!
>2!�����������������������-��W������������������N��4
3!
>2!��������������������������W������������������N��!
>2!�����������������������5=��6����������������N�?!
>2!�����������������������5=��6�������������������������!
8-
������������� *��������������+����-��+��&���
(�����������2�����3��������������
�2��3�
$������!��2��3
(�����������4���������������������������
�������������!����������������������������������������������������������������������
��2��2
�3
�
$������!��4� ��
(���!��2�3��2
����������4�����������������D
>2!���������������*��������������� ��7
6����
���/�������!�������������������������������������������A��������������!
*��>4�����������������!
80
>2!��������������������6 ��4 ��7����������5*�<��
���/�������!�������������������������������������������A��������������������!
*��>4�����������������!
88
������������� )��-����� &�����
9'���1
/����51��������! �����!
A����5/����! �����!
/���������������! �����!
/������H���������!
(���������������������� �2 �����3 ���!
����������CCCCCCCCCCCCCCC�
����������������CCCCCCCCCCCCCCC��(�����!�
&���#�����)����!�/��������CCCCCCCCCC��>4�����!�CCCCCCCCCC
@�������)����!�/��������CCCCCCCCCC��>4�����!�CCCCCCCCCC
(���������������������������7������� ��2 � �2� ���� ��3 � �3� ���!
8=
<=$�&>)=&�1
��5��1 '�/�"�2��1
(���A�����! /����!��2 � �2� ���� ��3 � �3�
H���!
>4�������������!
A��������/������� /����!�H� ��
H���!
>4�������������!
������ /����!
H���!
>4�������������!�H� ��
������� /����!
H���!
>4�������������!�H� ��
8<
������������� �������������������������������
��� ���������������������������������
��� ����������������������������� ������ ���
��� ���
�������������
� �
� �����������
� �����������
��� ���
��������������������
��������
������������
��� ������������������������������
����
�� �� ����
���� ����
�������������
� �
� �����������
� �����������
����
����
��������������������
��������
������������
��
��� ����������������������������� �������
����
��� ����
�������������
� �
� �����������
� �����������
�� �
����
��������������������
��������
������������
��� ������������������������������ ���� �� ���
� �� ���
�������������
� �
� �����������
� �����������
���� ���
��������������������
��������
������������
��� ��������������������������� �� ������� ���
����
� �� ����
�������������
� �
� �����������
� �����������
��� ���
�������������
� �
� �����������
� �����������
�
������������� �����������������������������������
��� �����������������������������
���� ������ ���
��� �����������������������������
������� �
� ��� ����
��� �����������������������������
�����
����
����
����
��� �����������������������������
��� ����� ���
��� �����������������������������
���� ��������
��� �����������������������������
���� ���� �� ���
�
��� �����������������������������
��
��� �
���
�
��
��
�
���
�
��� �����������������������������
��
����
����
�
��
���� ���
�
������������� ���������������������������������
��� ����������������������������
��� ����������������������������
�� ��� ����� ��� ����
��� ����������������������������
�� �� ����� ��� ���
��� ����������������������������
�� ��� ���� ��� ���
��� ����������������������������
�� ���� ��� ��� ���
�
��� ����������������������������
��
��
�
��
�
��� �
���
��� ����������������������������
�� ���� �
� �� ���
�
������������� ��������� ���������������!�"�������
����������
����� �������������� ���������!����������������������������
������ ��������� ����������
�
���
"����
���#� ���������� ����������������� ������$�����!�������������
������
�
���
"����
���%� �����������������&��# ��� ��������������� ����� ����������$�'�����&���������������(
������ ��������� ����������
�
���
"����
�
��������
)���������� ������������������ �
����� "'������������)*�������������������������������������������"����������������&��������������������&������������������������+���������������������������
���� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
����� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
�
���#� "'������������)*������������������������������"������������������, ���-'���������������������% ����"�����������������������&������������$�'�����&������������������������������� ����������(
���� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
����� ������������������
���������
�������������
�����
�������
"����
��������
)���������� ���������������������������� �
����� .���������'�������������������������&��/!�� ������������������ 0������%� 0�$�'����'��������������������(
���� ����������������
�����������
���������
���������������
0
%� 0
"����
����� ����������������
�����������
���������
���������������
0
%� 0
"����
�
���#� .���������'�������������������������&�%#���%��������������������������#���������������������������� 0���������������������������1���'�����������(
���� ����������������
�����������
���������
���������������
$���)���
2�')���
"����
����� ����������������
�����������
���������
���������������
$���)���
2�')���
"����
�
������������� ��������������#�������
������"����������+ ������������������������������������������������
������������������&�����������������+/����$�'�����&���������������
����������������������(
)��� "��� 3�������
�������
2����
�����"��������4��&��� ����������'��4�&��, ��������$����������������������'��4�������4����1��4���������������'�������������4��$�'&���������'��4������������4�(
)��� "��� 3�������
1��4
5�4�
/�
�����6������6�������������������������������'����������������������'��������������4�������"������#�����������'�������������6����������,���&���������6���6������������#����$�'�����������������(
)��� "��� 3�������
6���
6��
"����
�����"'�����������������)*������������������������������"��7/#������� ���������&������7�������������������&���������%����������'���������������%������������$�'&�������������������(
)��� "��� 3�������
7/#
7�
"����
/�
�������
)����������base × percent = amount�
����� ������������'����������8�������������������������������&��&&�������9����:�"�������������;� �������&�����<���&��������������! 0�����������������# 0����������� �����������&���! 0���������������# 0���������$�'�����������&�����������������������������(
"��������=================�"����������==================�
���� ����������
�����������
������������
! 0
# 0
"����
����� ����������
�����������
������������
! 0
# 0
"����
/#
���#� ����������������������9���9����������&�������<���������%�0�������'������������������#�0�"�������������������#�������&��������$�'�����&���������'������(
"��������===============�"����������================�
���� ���������
�����������
�����������
%�0
#�0
"����
����� ���������
�����������
�����������
%�0
#�0
"����
/%
������������� ���������$��%� ��������!��������
�����"������&�'�����������+�"����&&���������'���������������#��1����������'��������(*���4�������'���
�����"�������������-1�����������'���&&������������$���������,+;������� ��������, ��������"����������������������;#����������������������+/����$�'����'���������������(
���� )��� "��� 3�������
�������"����
2����"����
"����
����� )��� "��� 3�������
�������"����
2����"����
"����
/,
�������������������������������4����������"����������������,��%;�"������4����� 0'����������������%� 0�$�'����'����������������(
����
�����
/
�����$�'�����������&# 0�������������������������'����#0��������������������%�������&� 0��������������(
����
�����
/+
���������������������������&���������� ��������������������������������������������&����������%����������������������������&�/��������������������&�����������������������������1�����������'�������������
����
�����
/!
������������� ���������&%%��������'�(����� �������
)����������base × percent = amount�
����� ������������'����������8�������������������������������&��&&�������9����:�"��������������!�������&�����<���&����������������0�����������������# 0�����������%�����������&���# 0�����������������0���������$�'�����������&�����������������������������(
"��������=================�"����������==================�
���� ����������
�����������
������������
����� ����������
�����������
������������
//
���#����������������������&���������������������&���������������������������#!0�������'�������&���������;0�"�������������������� �%������&��������$������'������������&�����������������$�'�����&���������'������(
"��������=================�"����������==================�
���� ���������
�����������
�����������
����� ���������
�����������
�����������
/;
���%� $�'����������&�%0���������������������������'���#�������&���0��������������������!0���������
"��������=================�"����������==================�
���� ���������
�����������
�����������
����� ���������
�����������
�����������
;�
���,� "�����&��������������������#0�����>�����$�'������������&��������'���#�0�����>�����������������/��������&��������'���!0�����>���������������&������������������(
"��������=================�"����������==================�
���� �����������
�����������
�������������
����� �����������
�����������
�������������
;�
������������� ���������$��%� ��������!�)�����
� ������������������#+��������������'����!?'������������������'�����#?�"�������������&������������#� !�$�'�����&����(
������ ��������� ����������
!?
�#?
�����
�������9������8�:�===============================================� <���������-���������������&���'�����5���������������.����4
����#���������������#/ ������������������+ ���-'����5���������+�����$�'����'�������������������(
���� ���� ��������
�����
5��
�����
�������9������8�:�===============================================� �����������������������������������&�#0����������$�'����
��������&#�0������������������������4��,0�����(
���� ���������� ������
�#0
#�0
�,0
�������9������8�:�===============================================� ������&��'��������'�'��������������.�&��'&��!������������'���
����#�����'������'����������������-�! ������.������������ # ��������������$�'&���'�����'���(
���� ���� ��������
1���
.���
�����
�������9������8�:�===============================================
;#
� ���������������@%�-# ������4�&&���/0'��������������������&&�������%0����'�����������@�/� �1������������������������������(
��������� ���� ��������
5��4
*����
�����
�������9������8�:�===============================================� ���������������@%�-# ������4�&&���/0'��������������������&&���
����%0�$���������,0������������&��&�������1�����������������������������(
��������� ���� ��������
5��4
*����
�����
�������9������8�:�===============================================� ������������������������������������&�����������������/0��������
<�������#�0������������������������0�����������$�'�����&������������������������������(
���� ���������� ������
5��)�����
�������
������
�������9������8�:�===============================================� ������'�����&�/������������&�������8����� ����������:�"��
4����������������'����-�&�����������������'�����&�������������
������ ��������� ����������
�
���
�����
�������9������8�:�===============================================
;%
������������� ���������$��%� ��������!�*�%�
������������ !�����"��!�#
.&���'��'����������'��������������&�������������-����������'�4��'���������������������
��������������������������������������������������������������� �������������������!�
��������������������"��#$%����������������&��������'���������������������������(
�4��'�������������9�����������4�������9���������
�:1����&���������4���'���������4���($�'����'������������������(
#:"���A�����������$�'�������'��������(
%:$�'��������������������4��(
,:$�'������������4�����������������4��������&&������'�A���������(
:.&����������������4���'�������-��'����4��A����4���'�������(
;,
;
������������� �������������������
����� "'�������������������������4������������&����������-�������4����������� 0���������������������%0���������������"�����������������������������; �
��������� ���� ���� ��������
����4�
5����
"����
����� �������&� ���������������������&����������������&����������-���������&��������������+0����������������������� �+0���������������"����������������������������#; �
��������� ���� ���� ��������
B����������
�������
"����
��
������������� ���������+�����"���(�������
C���� ������&�����������������������������
����� ����� ����� ����� ����� ����� ����
����������������� ������������������
"���-����������������������� ������������������������
D������)�����������
���C��������
��������������������������
��� �������������������������
C��� ����������
D�'��)�������������C����������������������������������������
��� �������������������������
�������������
C��� ���
D�'��)������5�������� ������
�
C��������� ������ �������� ����������������������������
��� ����������� ��� ��� ����
C��� � ����� ���������
�
E�������)�����
�
����
���
����)���������"����������*��������������""��������"���������������
C���������
�����������������
�
���������
��������
���
��
�
���
�����
����
� ���
C����
��
�� �
��
*�����������)�����
��
�
���
��
����
����
-'������������
#+����������������"��������������������������������������(
%+�&������������(
,������-���
���
����������
��
����
�����
����
���
�����
����
���
�� �
���
������
��
F���D�'��)��������G.�����/����������������0�#������"��1
C�����������
�������������
������-��������� �
��� � �
� ��
� ��� ����
��� � ����� � �
����
���� �
�
�
C�������D�'��)����� ����������������� ����������
����
����������������������
�
��������/��������������������������*��������������������������
C����������������
��
���������������������
-������
�������������������
��� ��� ���
� �������
� �� ���
����
�����
)���&������������� �
� ��
��
�
��C���������� �
�
���� �� �� ���� �������������� � �� �
�
� ���� ��
�
� ���� �
�
� � ��
�� �
�
�
��
�������
�������
�����4�G$�'����&��������.����(H
���������-��� ����
��
����� �
� ��
��
�
���������������G������������������������
���������������H
��
��
���
��
����
����
-'�������������4��
�:������������&���������������������������������(
#:$�'��������(
�I��������������������������������������������������
�����������������-���-����������������������'���������-
�
���
���
������������� ���������&� ��,�%����"���(�������
$!%������!�!�����&�%���'�����23�����������4����+�
���������������(��������������������(%���)���*��'���(�������
���������
+�"�%���*�)��%�����������������)'�*�)��%�����'����(������
��� ������
�
�,���!������������������������%���%����������!����%�����'���
�(������
� �� ��
��
�
��
+'�%�)���
J2��4&��������������
� ���
�
��
� ��
��
���
��
���
��
������������������������������������������
�������������������������������������������
������������������������������������������
�������������������������������������
+�)�������!�!�����-�.��!"���(������2,�����/��5��������4����+
����������.��!"���(����������%�)!(%�)����*��'�����������'��(��!�!"��
�(������
��� ���
���� ��
�����!���'������%���%�/�%������!����%0��������.��!"���(�������������������'��(��!�!"���(������!���'�������!����%�/�%�����%���%0�
���� �
����
�
���
���
+'�%�)���
J2��4&��&������'���������������������
���
���
��
�
��
���������������������������������
�����������������������������������
������������������������������������
���������������������������
�����������������
���
����� �����������!������"�����������������#�����26����7����4����+
�(%���)�'�������������������������
����������*��'���(�������
�������������������
�
�������������������
��
�������������������
�������������������
+'�%�)���
J2��4&��&�������&����������������
���������84��������������������&���
�����������:�
���
�
���
��
����
����
������������������������������������
�������������������������������
�����������
$����� �����������!������"�����%����������$��������"���26����7����4����+
�,���!���'�������������������������
������!**�%��)���*��'���(�������
�����������������
�����������������
�
��������������������������������
�
+'�%�)���
J2��4&��&�������&��������������
��&&����������
B���&���������������������
�������
��������
������������������
�
B���&�����������������������
��������
�������
��
�����������������
�%����������������������������������
�������������������������������&�
'������������&�
������������'��������������������&���'������������������������-����������������������������������������&�������&�������������
��������1�%���(����������� ����
�����'���������(����������������&�� ���� �
���
�� ���
��
�� ��
� � ���
����
��� �� ������ �
��
���
��� �� ����� ����
��� ���� ��� ���
���
������������� �����,�����-�,�.�������
���� ��������
���� ��������
���� ��������
���� ��������
����� ���������
����� ���������
����� ���������
����� ���������
���
Scienti�c Notation has the form:
±___ . ___ ___ ___ ×10± ___
0
positive -> largersmaller <- negative
1
<- near zero ->
-1
far from zero -><- far from zero
Negative Exponent Positive ExponentPositive Exponent
Positive or Negative Near or Far from Zero
One Nonzero Digit
*������������������������&��C������������������
�����������
�������������
��������������
*����������������������������������&��C��������
������ !�K
���#-�, -% /K
���������/�;%K
1����'����������������
�������������������
�����������������
�����������������������
������������
������������
����������
������������
���������
����������
���
������������� ����/��������� ����������
D��������������G����������H
� �������
�� �������
� ������
������� C�����&D�����������
B������������� ��
5������������� ��
"������������� ���� ��
*��&&������ % �!
*�������
3����� % # � �
*�������
��� �� ���� ������ ��� ���
��� � ���� ���������� ���� �����
��� �� ���� ������� ���� �����
��
������������� ����'����������� ����������
������������������������ �� ���� � �� ������� ���!�����
���� ���"!��
��� ��
��� � ������ ����
��� �� �� ��� �� ����
��� � ���� ���� ���� ��� �� ���� ��� ����
��� ���������� ���� ��� � ������ �������
���� ��� � ������� ��������� ��� � ������� ���
���
�
��������&�������������&����������
���������������&
��������������������
����� <���� .���� 2���
������ �������� ������� ��������
��� �� ����� ��� ��� ������
L���������������������&�<.2�
������������%����������������������&;�9����������
.���������������������������"����������������
�����������������������'������������������������������&� ��
"���-��9����'������������������������������ ����
���
�
�
� ��
�� ��
�
�
� �
��� �� �����
��� ������ ��� � ��������� ����
���
������������� ��0����,���� ��%�,��
)���&���9�������������������� ������� �����
��� �������� ����� �� ��� ���
��� �� ��� ����� �������� ����� ������ ������
��� � ��������� �������� ��� �� ������ ��� ���
)���&�����������&&����������� ������������
��� ���� �� ������ ��� ���� ��� ���
��� �� �� �
���� �� �
���� ������� ������
��� � ����� ������ ���� ���
���
������������� ����1���������-� ����������
3�������������������
��� �
���� ����
� ��
� ��������
����� �
����� �
��� ���� �
�� �
3�������'�������������������������������
�� ������� ���������� �� �� ����� �
�� ������ ��� ����
��#
83�������'����������������:
�� ���� ���������� ���
���#� ���� � ��������
���#� ���� ���� ��� �
�� ���� ��� ���������� ���
���#� ���� ��� � ��������
���#� ���� ���� ��� �
)��������&��'��������������&������������������������
���)�'�����
����������������
"�������������������������������������������������������������������
�
����
�
��%
83�������'��������������:
�� �� ���� �
�� ��� ����������
������ #�� �
��� ��� ��� �
�� � ���� ��� ���������� ���
���#�� ���� ��� �
��,
ab
ba
a+b
Benjamin Etgen 6 Diamonds
1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as
a product of two integers. For example, 20=4⋅5 , 20=−4⋅−5 , 20=2⋅10 ,
20=−2⋅−10 , 20=1⋅20 , 20=−1⋅−20 .
(a) 8 (b) 16 (c) 15 (d) 21 (e) 23 (f) 36
2 Find two numbers such that their product is the number in the top diamond
and their sum is the number in the bottom diamond.
Example: Complete the diamond by determining two factors of 3 that have
a sum of -4. Since 3=1⋅3 and 3=−1⋅−3 are the ways of rewriting 3 as a
product of two integers, we must chose the two whose sum is -4. Since we
−1+−3=−4 chose the pair -1 and -3.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
115
18
9
18
-9
-12
1
54
15
-12
-1
3
-4
9
10
3
-3-1
-4
-15
2
-15
-2
Benjamin Etgen Factoring
116
117
Benjamin Etgen 6§1 Factoring
When we rewrite 6=3×2, we are factoring.
To factor out the a common factor, we use the distributive property in reverse:
Distributive Property: 3(x+7)=3 x+21
Factoring: 3 x+21=3 (x+7)
Factor out the Greatest Common Factor (GCF), if possible.
(a) 5x + 15 (b) 8x −12 (c) 14x2−21x
(d) 9x2+3x (e) 45z + 3 (f) 5m + 3n
(g) 8x3y2−12x
2 (h) 15x
3yz−20x
2y3z2
(i) 6s2t5−4s
2t2
(j) 8x3y2−12x
2+14x
3y (k) 21x
2y2−35xy
3+7y
2
118
Benjamin Etgen 6§2 Factoring By Grouping
(l) 2x(x+3)+5(x+3) (m) x(2x−1)+(2x−1)
(n) −x2−x+3xy+3y (o) −3x+xy
2−x
2y+3y
(p) −5x+x2y+5xy−25 (q) −5x+3xy−15xy−25
(r) x−y3−y2+xy (s) −5x+xy−7y+35
119
Benjamin Etgen 6§3 Factoring One-Sum-Product
Factor the following trinomials. Then, check by multiplying.
(a) 1 x2+8 x+12 (b) 1 x
2+2 x−15 (c) 1 x2−11 x+28
(d) x2−2 x−15 (e) x
2+5 x−14 (f) x2+10 x−21
120
12
8
-15
2
28
-11
Benjamin Etgen 6§4 Factoring Trinomials
Factor the following trinomials. Then, check by multiplying.
(a) 3 x2+8 x+5 (b) 6 x
2+13 x+6
(3 x2+___ x)+(___ x+5) (6 x
2+___ x)+(___ x+6)
(c) 2 x2+2 x−12 (d) 8 x
2−18 x−18
2( x2+x−6) 4 (4 x2−9 x−9)
4 x2___ x | ___ x−9
121
Benjamin Etgen 6§5 Factoring Special Products
Difference of Squares: x2− y
2=(x+ y )(x− y)
In general: (A )2−(B )2=(A+B )( A−B)
Ex: x2− 1
4=( )2−( )2=( + )( − )
Ex: 2 x2−50=
Ex: 4 x2−49=
Ex: x2+25
Perfect Square Trinomial: x2+2 xy+ y
2=(x+ y )2
In general: (A )2+2(A )(B )+(B)2=(A+B)2 and (A )2−2(A )(B)+(B)2=(A−B)2
Ex: 16 x2+56 x+49
1) ( )2+2( )( )+( )2 Find A and B.
2) ( )2+2( )( )+( )2 Check that 2AB is the linear term.
3) ( + )2 Use the rule to factor.
Ex: 9 x2−42 x+49
122
Difference of Cubes: x3− y
3=(x− y)(x2+xy+ y2)
In general: (A )3−(B )3=(A−B)((A )2+(A )(B)+(B)2)
Ex: 8 x3−1=( )3−( )3=
Ex: 64 x3− y3=( )3−( )3=
Sum of Cubes: x3+ y
3=(x+ y )(x2−xy+ y2)
In general: (A )3+(B)3=(A+B )((A )2−(A )(B)+(B)2)
Ex: x3+1=( )3+( )3=
Ex: 27 x3+125=( )3+( )3=
123
Benjamin Etgen 6§7 Solve by Factoring
Zero Factor Property
Ex: (9 x+7)(3 x−8)(2 x+1)=0
Zero: ✔
Factor: ✔
Property:
Ex: x2+2 x−8=0
Zero: ✔
Factor:
Property:
124
a⋅b=0
a=0 b=0
Ex: Solve (x−3)(x+2)=0
x−3=0
x=3
x+2=0
x=−2
Ex: 49 x2=9
Zero:
Factor:
Property:
Ex: 49 x2=3(10 x−3)
Zero:
Factor:
Property:
Ex: x (6 x−1)=2
Zero:
Factor:
Property:
125
Benjamin Etgen 7 Simplifying Rational Expressions
Compare the way we simplify a fraction with the way we simplify a rational expression:
Ex. 1: Simplify Same as fractions!
2 x2+7 x+3
4 x2−1
385
1001
• Step 1: Factor the numerator and the denominator.
(x+3)(2 x+1)(2 x+1)(2 x−1)
11⋅7⋅5
11⋅7⋅13
• Step 2: Cancel the common factors.
x+3
2 x−1
5
13
Ex. 2: Determine where the rational expression is undefined.
x2−2 x−15
x−4
• Step 1: Set the denominator equal to zero.
x−4=0
• Step 2: Solve the resulting equation.
x=4
Same as fractions!
When x=4 ,
x2−2 x−15
x−4=
−7
0
Recall that you can
not divide by zero.
126
Ex. 3: Multiply the rational expressions. Same as fractions!
( 9 x2−1
x2−2 x−15 )( x
2−5 x
3 x2+10 x+3 ) 15
14⋅
22
35
• Step 1: Factor all numerators and denominators.
(3 x+1)(3 x−1)(x+3)( x−5)
⋅x(x−5)
(3 x+1)(x+3)3⋅5
2⋅7⋅
2⋅11
5⋅7
• Step 2: Cancel any common factors.
x(3 x−1)(x+3)(x+3)
3
7⋅
11
7
• Step 3: Perform any remaining multiplication.
3 x2−x
x2+6 x+9
33
49
Ex. 4: Divide the rational expression.
Same as fractions!
x+3
x2+5 x
÷x
2−9
x+5
3
10÷
21
5
• Step 1: Multiply by the reciprocal.
x+3
x2+5 x
⋅x+5
x2−9
3
10⋅
5
21
• Step 2: Multiply the rational equation.
x+3
x(x+5)⋅
x+5
(x+3)( x−3)=
1
x (x−3)=
1
x2−3 x
3
2⋅5⋅
5
3⋅7=
1
2⋅7=
1
14
127
Ex. 5: Combine the rational expressions. Same as fractions!
x+9
x2−3 x−10
−x+5
x2−5 x
15
143−
6
91
• Step 1: Factor denominators.
x+9
(x−5)(x+2)−
x+5
x(x−5)15
11⋅13−
6
7⋅13
• Step 2: Multiply numerator and denominator
by the missing factors of each term separately.
x
x⋅
x+9
(x−5)( x+2)−
x+5
x (x−5)⋅(x+2)(x+2)
7
7⋅
15
11⋅13−
11
11⋅
6
7⋅13
• Step 3: Combine.
x(x+9)−(x+5)(x+2)x (x−5)(x+2)
7⋅15−11⋅6
7⋅11⋅13
• Step 4: Simplify the numerator.
(multiply, then combine like terms)
(x2+9 x)−(x2+7 x+10)x (x−5)(x+2)
=2 x−10
x (x−5)(x+2)105−66
7⋅11⋅13=
39
7⋅11⋅13
• Step 5: Factor the numerator.
2( x−5)x(x−5)(x+2)
3⋅13
7⋅11⋅13
• Step 6: Cancel any common factors.
2
x(x+2)=
2
x2+2 x
3
7⋅11=
3
77
128
Benjamin Etgen 7§1 Simplify Rational Expressions
Evaluate 4 x+7
3 x+9 at…
… x=2
… x=−4
… x=−3
What values make the rational expression undefined?
Ex:3 x
x2+6 x+8
Ex:2 x+6
x2−9
129
Simplify:
Ex:x
2−1
1−xEx:
12 x2−3
8 x−4
Ex:x
2+3 x
x2−9
Ex:x
2−4 x−5
x2+x
130
Benjamin Etgen 7§2 Multiply Or Divide Rational Expressions
Ex:2 x
2+7 x+3
x2−9
⋅x
2−3 x
2 x2+11x+5
Ex:x
2+4 x−5
x2+7 x+10
÷x−1
x+5
131
Benjamin Etgen 7§3 Least Common Denominator
Ex:7
10+
1
25LCD is:
Ex:9
8 x4+
11
12 x6
LCD is:
Ex:6
x2−4 x
+3 x−1
x2−16
LCD is:
Ex:12
x−3+
5
3−xLCD is:
132
Benjamin Etgen 7§4 Combining Rational Expressions
Ex:5 x
x−1−
x+5
x−1Ex:
−2
x+1+
4 x
x2−1
Ex:x
x−2+
−8
x2−4
Ex: 1+2
x+2
133
Ex:x+47
x2+4 x−5
+x+12
x2+11 x+30
134
2x−7
x2−2 x−8
+ x−3
x2−6 x+8
135
Benjamin Etgen 7§7 Solving Rational Equations
Worked Example 1: Solve. Check your answer.
1
x−1+ x+4
x+3= 1
x+3
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
1
x−1+ x+4
x+3= 1
x+3
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x−1)(x+3)
1
x−1(x−1)(x+3)+ x+4
x+3(x−1)(x+3)= 1
x+3(x−1)(x+3)
(x+3)+(x+4)(x−1)=x−1
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
(x+3)+(x2+3 x−4)=x−1 Since this equation is quadratic, we will use the
Zero Factor Property (ZFP).
x2+3 x=0 becomes x(x+3)=0 so x=0 or x=−3 .
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
When x=0 the equation is solved, 1
3=1
3 .
When x=−3 the equation is undefined.
Thus, x=0 is the only solution.
136
Ex 1: Solve. Check your answer.
10
x−2− x+3
x+2= 2
x+2
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
10
x−2− x+3
x+2= 2
x+2
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: x−2( )x+2( )
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
137
Worked Example 2: Solve. Check your answer.
1
x+2+ x+1
x2+x−2
= 1
x−1
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)= 1
x−1
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x+2)(x−1)
1
x+2(x+2)( x−1)+ x+1
(x+2)(x−1)(x+2)(x−1)= 1
x−1( x+2)(x−1)
(x−1)+(x+1)=x+2
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
2 x=x+2 Since this equation is linear, we will isolate the variable.
x−2=0 becomes x=2 .
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
When x=2 the equation is solved, 1=1 .
138
Ex 2: Solve. Check your answer.
−4
x+2+ x−4
x2+7 x+10
= 3
x+5
• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor
the denominators.
−4
x+2+ x−4
(x+5)(x+2)= 3
x+5
• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x+5)(x+2)
• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.
139
Benjamin Etgen Solving Rational Equations
Solve. Check your answer.
1
x+2+ x+1
x2+x−2
= 1
x−1
• Step 1: When solving we need the
least common denominator. First we
factor the denominators.
1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)= 1
x−1
• Step 2: Then, multiply each term by
the LCD.
In this case the LCD is: (x+2)(x−1)
(x−1)+(x+1)=x+2
• Step 3: Solve the resulting equation.
Ask yourself, if the equation is linear or
quadratic.
2 x=x+2 Since this equation is linear,
we will isolate the variable.
x−2=0 becomes x=2 .
• Step 4: Check the proposed solutions
in the original equation.
When x=2 the equation is solved,
1=1 .
Combine the rational expressions.
1
x+2+ x+1
x2+x−2
• Step 1: Factor denominators.
1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)
• Step 2: Multiply numerator and
denominator by the missing factors of
each term separately.
x−1
x−1⋅ 1
x+2+ x+1
(x+2)(x−1)
• Step 3: Combine.
(x+1)+(x−1)( x+2)(x−1)
• Step 4: Simplify the numerator.
(multiply, then combine like terms)
2 x
(x+2)(x−1)
• Step 5: Factor the numerator.
• Step 6: Cancel any common factors.
2 x
(x+2)(x−1)
140
Benjamin Etgen 8 Roots And Radicals
1 Complete the following pairs of squares and square roots.
(a) 22=___ and √___=2 (b) 3
2=___ and √___=3
(c) 42=___ and √___=4 (d) 5
2=___ and √___=5
(e) 62=___ and √___=6 (f) 7
2=___ and √___=7
(g) 82=___ and √___=8 (h) 9
2=___ and √___=9
(i) 102=___ and √___=10 (j) 11
2=___ and √___=11
(k) 122=___ and √___=12 (l) 13
2=___ and √___=13
(m) 142=___ and √___=14 (n) 15
2=___ and √___=15
2 Complete the following pairs of cubes and cube roots.
(a) 23=___ and
3√___=2 (b) (−2)3=___ and 3√___=−2
(c) 33=___ and
3√___=3 (d) (−3)3=___ and 3√___=−3
(e) 43=___ and
3√___=4 (f) (−4)3=___ and 3√___=−4
(g) 53=___ and
3√___=5 (h) (−5)3=___ and 3√___=−5
(i) 63=___ and
3√___=6 (j) (−6)3=___ and 3√___=−6
141
Benjamin Etgen 8§1 Square Roots
Operations come in pairs with their inverses:
3+5=8 is undone with 8−5=3
7⋅6=42 is undone with 42÷6=7
42=16 is undone with √16=4
√16 is the “square root” of 16.
The square (like all other even powers) looses the sign. The square of 5 and -5 are
both 25.
Since there is no information about the sign remaining after squaring, we can not
know if a positive or a negative was squared. This means that there are two square
roots of 25, both 5 and -5.
We use the sign to tell us which square roots we want:
Ex: √16=______ Ex: −√81=______
Ex: ±√4=______ and ______ Ex: √49=______
142
52
25(−5)2
5
−5±√25
5
and
−5square 25 square root
5
and
−5
Since the product of fractions is simply the product of the numerators and the
product of the denominators, taking the square roots of fractions is the same as
taking the square root of the numerator and the denominator separately.
Ex: √ 25
196=
since ( )
2
=
.
Ex: −√ 36
49=−
Because the square of all (real) numbers are positive (or zero), negative numbers
do not have square roots.
Taking the square root of a negative requires finding a number that is negative
when you square it.
Suppose that there was a number x that was the square root of -9, √−9=x . Then,
that would mean that x2=−9 . Since there is no (real) number that makes this true,
then √−9 is not a real number. (In intermediate algebra √−9=3 i .)
Ex: √9 Ex: −√9 Ex: √−9 Ex: −√−9
Product Rule:
(No Sum Rule! Both √x+ y and √x+√ y can not be simplified.)
Simplify: √28 Simplify: −7√75
Simplify: √145
143
If we know that x is positive, then √x2=x . (In intermediate algebra √x
2=|x| .)
All variables are positive:
Simplify: −3√72 x y2z
3
Simplify: √x4y
5z
6
144
Benjamin Etgen 8§2 Higher Roots
33= (−3)3=
Since the cube of a positive is positive and the cube of a negative is negative, the
cube keeps its sign. Thus, the cube root of a negative is a real number.
Ex: 3√27=______ since ______
3=______ .
Ex: 3√−27=______ since ______
3=______ .
Ex: 3√−8=______ Ex:
3√375=______
Ex: 3√72 x
2y
3z
4=______ Ex: 3√189 x
6y
7z
10=______
145
3 cube 27 cube root 3
−3 cube −27 cube root −3
Benjamin Etgen 8§3 Combining Radicals
Ex: 2 x−5 x= Ex: 2 x−5 y=
Ex: 2√3−5√3= Ex: 2√3−5√6=
Recall that √x+√ y can not be simplified.
Ex: x−2 x= Ex: √6+√7=
Ex: √17−2√17= Ex: 5√3+√12=
Ex: 3√27+2√3−√12= Ex: −33√16+2
3√2=
146
Benjamin Etgen 8§4 Multiply and Divide Radicals
...just like multiplying polynomials. Because of the product rule, we can distribute,
FOIL and use the multiplication algorithm.
Product Rule: √x⋅√ y=√x⋅y
Ex: √2⋅√5= Ex: 3√5⋅7 √2=
Ex: x√2⋅3√ y= Ex: √6⋅√15=
When we are squaring, it is easier to not use the product rule:
Ex: √72= Ex: √3 x+7
2=
Ex: √2⋅√2= Ex: √x+5⋅√x+5=
When we have a special product, it is easier to not use the product rule:
Rule for a sum and difference: (A+B )(A−B)=A2−B2
(√5+3)(√5−3)=√52−32=5−9=−4
Ex: (√7+√2)(√7−√2) Ex: (2√3−1)(2√3+1)
Rule for squaring binomials: (A+B )2=A2+2 AB+B2
(√5+2)2=(√5)2+2(√5)(2)+(2)2=5+4 √5+4=9+4 √5
Ex: (√10−5)2 Ex: (√15−√6)2
147
Distribute:
Ex: 2√5(3+√2)= Ex: 6 √15(2√3−7√5)=
FOIL:
Ex: (√2+1)(√5+3)= Ex: (2√6+3)(3 √6+7)=
Quotient Rule: √ x
√ y=√ x
y
Recall that the same number can be written in different ways:2
3=
4
6=
6
9=⋯ and √75=√25⋅√3=5⋅√3=5 √3
When we simplify radicals involving fractions, we want:
1) no radicals in the denominator, and
2) no fractions in radicals.
We don’t actually divide!
148
Ex: √5
6=√5
√6=√5
√6⋅√6
√6=√5⋅√6
√6⋅√6=√5⋅6
√62=√30
6.
Ex: √12
√3= Ex:
√5
√45=
Ex: 1
√3= Ex:
2
3 √5=
Ex: √ 7
11= Ex: √ 3
100=
149
Benjamin Etgen 8§5 Rationalize Radicals
Ex: √5⋅______=5 Ex: 3√2⋅______=2
Ex: √18⋅______=6 Ex: 3√4⋅______=2
Ex: (√3−5)(________)=3−25=−22 Ex: (2√5+3)(________)=
What is the conjugate of 3√5+3 ?
Ex: 1
2√6= Ex:
1
2+√6=
150
Ex: 5 √7−10
5= Ex:
2√3
√3+1=
Ex: √3+3
√3−1= Ex:
13√4 x
2y
3z
4=
151
Benjamin Etgen 9§1 Solving with Radicals
Looking at the equation √x+5=3 it is natural to square both sides in order to
undo what was done to x. However, squaring loses the sign.
Look at what happens to this false statement when we square both sides:
5=−5
(5)2=(−5)2
25=25
Squaring made this false statement look like a true statement because it lost the
sign. For this reason we MUST CHECK when we square both side of an equation.
Ex: √x+5=3 Ex: √x+5=31) Isolate a radical:
2) Square both sides:
3) Simplify and solve:
4) Check:
152
5
and
−5square 25 square root
5
and
−5
Ex: √10 x−8=3√x Ex: √3 x−5=√2 x+1
Ex: 7 x=√49 x2+2 x−10 Ex: √2 x+4=x
153
Benjamin Etgen 9§1 Solving Equations With Two Radical Terms
Ex. 1:Solve. Check your answer.
√x+4−√x−1=1
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides. (Repeat as needed.)
isolate: √x+4=1+√x−1 square: (√x+4)2=(1+√x−1)
2
The resulting equation, x+4=2√x−1+x , still has a radical we perform step 1
again:
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides.
isolate: 2√ x−1=4 square: (2√ x−1)2=(4)2
• Step 2: The resulting equation, 4 (x−1)=16 , no longer has a radical term. We
solve the equation. In this case the equation is linear, so we isolate the variable.
x−1=4 becomes x=5 .
• Step 3: Check the proposed solutions in the original equation.
When x=5 the equation is solved, 1=1 .
154
Ex. 2:Solve. Check your answer.
√2 x+3=√x+13+1
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides. (Repeat as needed.)
isolate: A radical is already isolated. square: (√2 x+3)2=(√ x+13+1)
2
The resulting equation, 2 x+3=2√x+13+x+14 , still has a radical we perform
step 1 again:
• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides.
isolate: 2√ x+13=x−11 square: (2√ x+13)2=( x−11)2
• Step 2: The resulting equation, 4 (x+13)=x2−22 x+121 , no longer has a radical
term. We solve the equation. In this case the equation is quadratic, so we use the
ZFP.
0=x2−26 x+69 becomes 0=( x−23)(x−3) so x = 23 or x = 3.
• Step 3: Check the proposed solutions in the original equation.
When x = 23 the equation is solved, 1 = 1.
When x = 3 the equation is not solved, -1 = 1.
Thus, x = 23 is the solution to the radical equation.
155
Solve the radical equation.
Ex.1: √x+3−√x−1=2
156
Benjamin Etgen 9§2 Solving with Exponents
Looking at the equation (x+5)2=25 it is natural to take the square root of both
sides in order to undo what was done to x. However, the there are two square roots.
When we take the square root, we must remember that there is both a positive and
negative root:
(x+5)2=25
√(x+5)2=±√25
x+5=±5
x+5=5 or x+5=−5
x=0 or x=−10
Remembering that we MUST HAVE BOTH ROOTS is called the Square Root
Property.
We should not be surprised that there are two solutions, since we found two
solutions when we used the Zero Factor Property.
Zero Factor Property
x2=81
x2−81=0
(x+9)(x−9)=0
x+9=0 or x−9=0
x=−9 or x=9
Square Root Property
x2=81
√x2=±√81
x=±9
157
5
and
−5square 25 square root
5
and
−5
Solving for x Arithmetic: ↓ Algebra: ↑
x2
5 x2
5 x2+4
Ex: x2=80 Ex: (3 x+2)2=49
The Square Root Property is how we started the semester, using the inverse
operation in the opposite order from the order of operations.
Solve 5 x2+4=8
Since algebra undoes arithmetic, we do the inverse of each step and in the opposite
order.
158
Ex: x2+5=0 Ex: 3 x
2+1=73
Ex: 5 x2=80 Ex: (2 x+1)2+3=21
159
Benjamin Etgen 9§3 Solving Equations By Completing The Square
Solve x2−10 x−11=0 by completing the square.
We need (1) the variables on one side and (2) the leading coefficient to be “1”.
x2−10 x+___=11
b:
-10→
half:
-5→
square:
25
We add the square of the half, 25, to both sides.
x2−10 x+25=11+25
To factor the left side, a perfect square trinomial, we use the half.
x2−10 x+25⏟( x−5)2
=11+25⏟36
(x−5)2=36
The square root property will allow us to solve for x.
√(x−5)2=±√36
x−5=±6
x−5=6
x=6+5
x=11
Check:
x−5=−6
x=−6+5
x=−1
160
Ex. 1 x2−4 x=60
b:
____→
half:
____→
square:
____
x2−4 x+___=60+___
(x ____)2=___
√(x ____)2=±√___
x ____=±___
Ex. 2 x2+4 x=117
b:
____→
half:
____→
square:
____
x2+4 x+___=117+___
(x ____)2=___
√(x ____)2=±√___
x ____=±___
Ex. 3 x2−2 x=8
b:
____→
half:
____→
square:
____
x2−2 x+___=8+___
(x ____)2=___
√(x ____)2=±√___
x ____=±___
161
Solve the equation by
completing the square. Make
notes to yourself in the margin.
Be sure to explain to yourself
when to use the half and the
square.
Benjamin Etgen 9§4 Quadratic Formula
Completing the square on the general quadratic equation, ax2+bx+c=0 , we
derive the quadratic formula:
x=−b±√b
2−4 ac
2a
Ex: x2+12 x−13=0
Ex: 2 x2+12 x=−5
162
Ex: 2 x2+x+5=0
Ex: 4 x2−x+4=x+7
163
Benjamin Etgen 9§7 Rectangles
Ex: In a landscape plan, a rectangular flowerbed is designed to be 4 meters longer
than it is wide. If 60 square meters are needed for the plants in the bed, what
should the dimensions of the rectangular bed be?
Ex: A rectangular lot is 20 yards longer than it is wide and its area is 2400 square
yards. Find the dimensions of the lot.
164
Ex: The area of a rectangle is 48 sq-ft and its perimeter is 32 ft. Find its length and
width.
165
Benjamin Etgen 9§8 Teamwork
Ex. 1: Lea can pack for a summer vacation in Monterey in 3 hours while Chris
takes 6 hours. Complete the table to approximate how long it will take
them working together.
Lea takes 3 hours to pack: Chris takes 6 hours to pack:Working
together:
time
(hours)
fraction of
the job
time
(hours)
fraction of
the job
fraction of
the job
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
t t
Now, write the equation for the time it will take them to pack when working
together. Solve:
166
Ex. 2: Jill can paint a room in 12 hours while Carl takes only 8 hours. How long
it will take them working together?
Ex. 3: Working together, Ellen and Dianna can plant the garden in 3 hours.
Working alone would take Ellen 12 hours. How long would it take
Dianna working alone?
Ex. 4: Working together, Steve and Peter can trim the bushes in 4 hours.
Working alone would take Steve 15 hours. How long would it take Peter
working alone?
167
Benjamin Etgen 9§11 Graphs of Quadratics
Ex: Graph y=x2
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ex: Graph y=−x2+4
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
168
Ex: Graph y=(x+3)2
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
169
Ex: Graph y=x2+2 x−3
x-intercept:
y-intercept:
x-vertex:
y-vertex:
Vertex:
170
Ex: Graph y=x2+2 x
x-intercept:
y-intercept:
x-vertex:
y-vertex:
Vertex:
171