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Basic ModelTheory
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Studies in Logic, Language and Information
The Studies in Logic, Language and Informationbook series is the officialbook series of the European Association for Logic, Language and Infor-mation (FoLLI).
The scope of the book series is the logical and computational foun-dations of natural, formal, and programming languages, as well as thedifferent forms of human and mechanized inference and informationprocessing. It covers the logical, linguistic, psychological andinformation-theoretic parts of the cognitive sciences as well as math-ematical tools for them. The emphasis is on the theoretical and inter-disciplinary aspects of these areas.
The series aims at the rapid dissemination of research monographs,lecture notes and edited volumes at an affordable price.
Managing editor: Robin Cooper, University of Gothenburg
Executive editor: Maarten de Rijke, University of Warwick
Editorial board:
Peter Aczel, Manchester University
Nicholas Asher, The University of Austin, Texas
Jon Barwise, Indiana University, Bloominton
John Etchemendy, CSLI, Stanford UniversityDov Gabbay, Imperial College, London
Hans Kamp, Universitt Stuttgart
Godehard Link, Universitt Mnchen
Fernando Pereira, AT&T Bell Laboratories, Murray Hill
Dag Westersthl, Stockholm University
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Copyright 1996CSLI PublicationsCenter for the Study of Language and InformationLeland Stanford Junior UniversityPrinted in the United States00 99 98 97 96 5 4 3 2 1
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Doets, Kees.Basic model theory / Kees Doets p. cm.Includes bibliographical references (p. 119121) and indexes.
ISBN 1-57586-049-X (hardcover : alk. paper). ISBN 1-57586-048-1 (pbk : alk. paper)
1. Model theory. I. Title. QA9.7.D64 1996
511.3dc20 96-20327 CIP
The acid-free paper used in this book meets the minimumrequirements of the American National Standard for InformationSciencesPermanence of Paper for Printed Library Materials, ANSIZ39.48-1984.
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C o n t e n t s
I n t r o d u c t i o n v i i
1 B a s i c N o t i o n s 1
2 R e l a t i o n s B e t w e e n M o d e l s 1 1
2 . 1 I s o m o r p h i s m a n d E q u i v a l e n c e 1 1
2 . 2 ( E l e m e n t a r y ) S u b m o d e l s 1 3
3 E h r e n f e u c h t - F r a s s e G a m e s 2 1
3 . 1 F i n i t e G a m e s 2 1
3 . 2 T h e M e a n i n g o f t h e G a m e 2 7
3 . 3 A p p l i c a t i o n s 3 4
3 . 4 T h e I n n i t e G a m e 4 4
4 C o n s t r u c t i n g M o d e l s 5 1
4 . 1 C o m p a c t n e s s 5 1
4 . 2 D i a g r a m s 5 5
4 . 3 U l t r a p r o d u c t s 6 0
4 . 4 O m i t t i n g T y p e s 6 6
4 . 5 S a t u r a t i o n 7 2
4 . 6 R e c u r s i v e S a t u r a t i o n 7 5
4 . 7 A p p l i c a t i o n s 8 2
A D e d u c t i o n a n d C o m p l e t e n e s s 9 3
A . 1 R u l e s o f N a t u r a l D e d u c t i o n 9 4
A . 2 S o u n d n e s s 1 0 0
A . 3 C o m p l e t e n e s s 1 0 1
B S e t T h e o r y 1 0 9
B . 1 A x i o m s 1 0 9
B . 2 N o t a t i o n s 1 0 9
B . 3 O r d e r i n g s 1 1 0
B . 4 O r d i n a l s 1 1 1
B . 5 C a r d i n a l s 1 1 2
v
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v i
/ C o n t e n t s
B . 6 A x i o m o f C h o i c e 1 1 2
B . 7 I n d u c t i v e D e n i t i o n s 1 1 2
B . 8 R a m s e y ' s T h e o r e m 1 1 5
B . 9 G a m e s 1 1 6
B i b l i o g r a p h y 1 1 9
N a m e I n d e x 1 2 3
S u b j e c t I n d e x 1 2 5
N o t a t i o n 1 2 9
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Introduction
This text is written for an audience with some working knowledge of propo-sitional and first-order logic. To make it more self-contained, a naturaldeduction system and a proof of the completeness theorem are given inAppendix A. Set-theoretic preliminaries are summed up in Appendix B.
The goal of this text is to provide a speedy introduction into what isbasic in (mostly: first-order) model theory.
Central results in the main body of this field are theorems like Com-pactness, Lowenheim-Skolem, Omitting types and Interpolation. From thiscentral area, the following directions sprout:
model theory for languages extending the first-order ones, abstractmodel theory,
applied model theory: non-standard analysis, algebraic model theory,model theory of other special theories,
recursive model theory,
finite-model theory,
classification theory.
There are occasional hints at the first and the fourth, leaving the otherslargely untouched.
Languages other than first-order discussed below are the following.
First-order with restricted number of variables,
(monadic) second-order, admitting quantification over sets of indi-viduals etc.,
infinitary logic, admitting infinite conjunctions and disjunctions,
fixed-point logic, which can refer to least fixed points of definablemonotone operators.
A short proof of Lindstroms famous characterization of first-order logicconcludes this introduction.
By then, the ideal student, but hopefully the not-so-ideal student aswell, should be comfortable with the standard model theoretic notions
vii
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viii / Basic Model Theory
introduced here, have some idea concerning the use of Ehrenfeuchts gamein simple, concrete situations, and have an impression as to the applicabilityof some of the basic model theoretic equipment.
Exercises have been printed in smaller font. Some of these require more
of the student than he might be prepared for. Usually, this is indicated bya .
Digressions from the main text are indented and printed in a smallerfont.
The bible for the model theory of first-order languages for more thantwenty years now is the book Model Theoryby Chang and Keisler 1990,the last edition of which has been updated. The newer Hodges 1993, thatcarries the same title, might well rise to the same level of popularity in the
near future. These are the books to look for more. For a multitude of ref-erences, see Vol. III (Model Theory) of the -Bibliography of MathematicalLogicEbbinghaus 1987, which is the reason that a detailed bibliography isomitted here.
These notes were originally written to accompany a course during theLisbon 1993 edition of the European Summer School in Logic, Languageand Information. (The presence of a course in finite-model theory thereaccounts for the rather large amount of space devoted to the Ehrenfeuchtgame in Chapter 3.) Since then, the material has been expanded and used
a couple of times for the courses on logic and model theory given at theMathematics Department, University of Amsterdam.
Acknowledgments
I thank Dag Westerstahl and an anonymous referee for their valuable criti-sism of an earlier version of the text, and Maarten de Rijke for his excellenteditorial help.
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B a s i c N o t i o n s
T h i s c h a p t e r r e c a l l s t h e b a s i c d e n i t i o n s o f r s t - o r d e r m o d e l t h e o r y . I t i s
a s s u m e d t h a t t h e r e a d e r h a s h a d s o m e p r e v i o u s c o n t a c t w i t h t h e s e n o t i o n s .
T h u s , t h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s m a i n l y t o x t h e n o t a t i o n a n d t o s e t
t h e c o n t e x t f o r t h e r e m a i n i n g o n e s .
L e tA
b e a s e t .
Ri s a n
n- a r y r e l a t i o n
o v e r A ( n 1 ) i f
R A
n
t h a t i s , f o r a l l
a
1
: : : a
n
2 Ai t i s i n s o m e w a y d e t e r m i n e d w h e t h e r t h e s t a t e m e n t t h a t
R ( a
1
: : : a
n
) i s t r u e o r f a l s e.
fi s a n
n- a r y f u n c t i o n o v e r
A ( n 1 ) i f
f : A
n
! A t h a t i s ,
f ( a
1
: : : a
n
) i s a n e l e m e n t o f A
w h e n e v e r a
1
: : : a
n
2 A .
R o u g h l y , a m o d e l i s a c o m p l e x A
= ( A R : : : f : : : a : : : ) c o n s i s t i n g o f
a n o n - e m p t y s e t A
( t h e u n i v e r s e o f t h e m o d e l ) p l u s a n u m b e r o f r e l a t i o n s
R : : : a n d f u n c t i o n s f : : : o v e r A
a n d s o m e d e s i g n a t e d e l e m e n t s ( c o n s t a n t s )
a : : : f r o m A
. A m o r e e x p l i c i t , v o c a b u l a r y - r e l a t e d d e n i t i o n i s t o f o l l o w i n
D e n i t i o n 1 . 4 .
I t i s a l w a y s a s s u m e d t h a t A
i s t h e u n i v e r s e o f A
, t h a t B
i s t h e o n e o f
B , Mt h e o n e o f
M, e t c .
E x a m p l e s o f m o d e l s a r e t h e f a m i l i a r s t r u c t u r e o f t h e n a t u r a l n u m b e r s
N= (
N <
+ 0 ) (
N = f 0 1 2 : : : g t h i s m o d e l h a s o n e b i n a r y r e l a t i o n
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2/ B a s i c M o d e l T h e o r y
T h e n o n - l o g i c a l s y m b o l s c o m p r i s e :
5 . r e l a t i o n s y m b o l s ,
6 . f u n c t i o n s y m b o l s ,
7 . c o n s t a n t s y m b o l s o r ( i n d i v i d u a l ) c o n s t a n t s .
T h e l o g i c a l s y m b o l s a r e x e d f o r e v e r y r s t - o r d e r l a n g u a g e ( a l t h o u g h s o m e -
t i m e s i t i s a s s u m e d t h a t n o t a l l l o g i c a l o p e r a t i o n s a r e p r e s e n t ) , b u t t h e
n o n - l o g i c a l s y m b o l s v a r y . T h e s e t o f n o n - l o g i c a l s y m b o l s i s t h e v o c a b u l a r y
o f t h e l a n g u a g e .
T h e d i e r e n t c a t e g o r i e s o f s y m b o l s a r e a s s u m e d t o b e p a i r w i s e d i s j o i n t ,
a n d t o e v e r y r e l a t i o n a n d f u n c t i o n s y m b o l i s a s s o c i a t e d a p o s i t i v e n a t u r a l
n u m b e r : t h e a r i t y o f t h e s y m b o l . ( Y o u m a y w a n t t o v i e w c o n s t a n t s y m b o l s
a s 0 - a r y f u n c t i o n s y m b o l s . )
G i v e n a v o c a b u l a r y L
, y o u c a n f o r m e x p r e s s i o n s : n i t e s e q u e n c e s o f
L- s y m b o l s . T w o c l a s s e s o f e x p r e s s i o n s a r e s i n g l e d o u t : t h e
L -t e r m s a n d
t h eL -
f o r m u l a s.
1 . 1 T e r m s . A l l v a r i a b l e s a n d a l l i n d i v i d u a l c o n s t a n t s o f t h e v o c a b u l a r y
L( c o n s i d e r e d a s l e n g t h - 1 e x p r e s s i o n s ) a r e
L- t e r m s . I f
f 2 Li s a n
n- a r y
f u n c t i o n s y m b o l a n d t
1
: : : t
n
a r eL
- t e r m s , t h e n t h e s e q u e n c e f ( t
1
: : : t
n
)
( o b t a i n e d b y w r i t i n g t h e t e r m s t
1
: : : t
n
o n e a f t e r t h e o t h e r , s e p a r a t i n g
t h e m b y c o m m a s , e n c l o s i n g t h e r e s u l t b y p a r e n t h e s e s , a n d p u t t i n g f
i n
f r o n t ) i s a n L
- t e r m .
M o r e p r e c i s e l y , t h e s e t o f L
- t e r m s i s t h e s m a l l e s t c o l l e c t i o n c o n t a i n i n g
a l l v a r i a b l e s a n d c o n s t a n t s t h a t i s c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n o f f o r m i n g
a c o m p l e x e x p r e s s i o n f ( t
1
: : : t
n
) o u t o f e x p r e s s i o n s t
1
: : : t
n
. S o , w h a t
y o u h a v e h e r e i s a n i n d u c t i v e d e n i t i o n , w i t h a n a c c o m p a n y i n g i n d u c t i o n
p r i n c i p l e :
T e r m I n d u c t i o n . I fX
i s a s e t o f L
- t e r m s t h a t ( i ) c o n t a i n s a l l v a r i a b l e s
a n d i n d i v i d u a l c o n s t a n t s f r o m L
a n d ( i i ) c o n t a i n s a t e r m f ( t
1
: : : t
n
)w h e n -
e v e r fi s a n
n- a r y
L- f u n c t i o n s y m b o l a n d
t
1
: : : t
n
2 X, t h e n
Xc o n t a i n s
a l lL
- t e r m s .
S e e S e c t i o n B . 7 f o r i n f o r m a t i o n o n i n d u c t i v e d e n i t i o n s i n g e n e r a l a n d
E x e r c i s e 1 f o r a r s t a p p l i c a t i o n o f t e r m i n d u c t i o n .
N e x t t o i n d u c t o n t e r m s , i t i s a l s o p o s s i b l e t o r e c u r s i v e l y d e n e o p -
e r a t i o n s o n t h e m . ( T h e p r o p e r j u s t i c a t i o n f o r t h i s r e l i e s o n a u n i q u e
r e a d a b i l i t y r e s u l t . ) A n i m p o r t a n t r e c u r s i o n i s t h e o n e o f D e n i t i o n 1 . 6
b e l o w . A n o t h e r o n e i s t h e n o t i o n o f a s u b t e r m . I n t u i t i v e l y , a t e r m s
i s a
s u b t e r m o f t h e t e r m t
i fs
o c c u r s a s a s u b s e q u e n c e o f c o n s e c u t i v e s y m b o l s
i nt .
S u b t e r m s . T h e s e t S u b t ( t
) o f s u b t e r m s o f t
i s r e c u r s i v e l y d e n e d b y t h e
f o l l o w i n g c l a u s e s .
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B a s i c N o t i o n s / 3
1 . i f t
i s a v a r i a b l e o r a c o n s t a n t s y m b o l , t h e n S u b t ( t
) =f t g ,
2 . i f t = f ( t
1
: : : t
n
) , t h e n S u b t ( t
) =f t
g S u b t ( t
1
) S u b t
( t
n
) .
1 . 2 F o r m u l a s . ( F i r s t - o r d e r ) L
- f o r m u l a s a r e e x p r e s s i o n s o f o n e o f t h e f o l -
l o w i n g f o r m s . 1 . s = t
( w h e r e s
a n dt
a r eL
- t e r m s ) , 2 . r ( t
1
: : : t
n
) ( w h e r e
r 2 Li s a n
n- a r y r e l a t i o n s y m b o l a n d
t
1
: : : t
n
a r eL
- t e r m s ) , 3 . c o m b i n a -
t i o n s o f o n e o f t h e f o r m s : '
, ('
) , ('
) , (' !
) , (' $
) ,8
x ',
9x ' , w h e r e
'a n d
a r e
L- f o r m u l a s ( t h o u g h t o f a s f o r m e d e a r l i e r ) a n d
xi s
a v a r i a b l e .
F o r m u l a s o f t h e f o r m t
1
= t
2
a r e c a l l e d e q u a l i t i e s e q u a l i t i e s a n d f o r m u l a s
o f t h e f o r m r ( t
1
: : : t
n
) a r e c a l l e d a t o m s . : '
i s t h e n e g a t i o n o f'
, ('
) ,
( ' ) , (
' ! ) a n d (
' $ ) a r e t h e c o n j u n c t i o n
,d i s j u n c t i o n
,i m p l i c a t i o n
a n d e q u i v a l e n c e o f'
a n d 8
x ' a n d9
x ' a r e ( u n i v e r s a l a n d e x i s t e n t i a l )
q u a n t i c a t i o n s o f'
w i t h r e s p e c t t o t h e v a r i a b l e x .
A g a i n , t h i s s h o u l d b e r e a d a s a n i n d u c t i v e d e n i t i o n , w i t h a n a c c o m -
p a n y i n g i n d u c t i o n p r i n c i p l e .
F o r m u l a I n d u c t i o n . E v e r y s e t o f L
- f o r m u l a s t h a t c o n t a i n s t h e L
- a t o m s
a n d i s c l o s e d u n d e r t h e l o g i c a l o p e r a t i o n s ( f o r m a t i o n o f n e g a t i o n s , c o n j u n c -
t i o n s , d i s j u n c t i o n s , i m p l i c a t i o n s , e q u i v a l e n c e s a n d q u a n t i c a t i o n s ) c o n t a i n s
a l l f o r m u l a s .
E v e r y n o w a n d a g a i n , v a r i a t i o n s o f t h i s t y p e o f i n d u c t i o n a r e u s e d . I n
e v e r y c a s e , s u c h a n i n d u c t i o n c a n b e v i e w e d a s ( t h e \ s t r o n g f o r m " o f )
m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f l o g i c a l
c o n s t a n t s .
I n w r i t i n g t e r m s a n d f o r m u l a s , p a r e n t h e s e s ( e s p e c i a l l y , o u t e r o n e s ) w i l l
b e d r o p p e d i f t h i s d o e s n o t l e a d t o c o n f u s i o n . I f i s a ( n i t e ) s e q u e n c e o r
s e t o f f o r m u l a s , t h e n
V
a n d
W
c a n b e u s e d t o d e n o t e t h e c o n j u n c t i o n
a n d d i s j u n c t i o n , r e s p e c t i v e l y , o f t h e s e f o r m u l a s ( f o r m e d i n a n y o r d e r ) .
I n a d d i t i o n t o p e r f o r m i n g i n d u c t i o n o n f o r m u l a s , i t i s p o s s i b l e t o r e -
c u r s i v e l y d e n e o p e r a t i o n s o n t h e m . A p r o m i n e n t e x a m p l e o f t h i s t y p e o f
r e c u r s i o n i s D e n i t i o n 1 . 7 . A n o t h e r o n e i s t h e d e n i t i o n o f t h e n o t i o n o f a
s u b f o r m u l a t h a t p a r a l l e l s t h e o n e o f s u b t e r m .
S u b f o r m u l a . T h e s e t S u b f ( '
) o f s u b f o r m u l a s o f t h e f o r m u l a '
i s r e c u r -
s i v e l y d e n e d b y t h e f o l l o w i n g c l a u s e s .
1 . I f '
i s a t o m i c , t h e n S u b f ( '
) =f ' g ,
2 . S u b f ( : '
) = f :'
g S u b f ( '
) , S u b f ( 8
x ' ) = f 8 x ' g S u b f ( '
) ( a n d
s i m i l a r l y f o r e x i s t e n t i a l q u a n t i c a t i o n s ) ,
S u b f ( '
) =f '
g S u b f ( ' )
S u b f (
) ( a n d s i m i l a r l y f o r d i s -
j u n c t i o n s , i m p l i c a t i o n s a n d e q u i v a l e n c e s ) .
T h e s co p e o f t h e o c c u r r e n c e o f a l o g i c a l c o n s t a n t i n a f o r m u l a c o n s i s t s o f
t h e s u b f o r m u l a ( s ) t o w h i c h t h e c o n s t a n t i s a p p l i e d . A q u a n t i e r b i n d s a l l
-
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4/ B a s i c M o d e l T h e o r y
o c c u r r e n c e s o f i t s v a r i a b l e i n i t s s c o p e | e x c e p t w h e n s u c h a n o c c u r r e n c e i s
a l r e a d y b o u n d b y a n o t h e r q u a n t i e r i n t h a t s c o p e . F o r i n s t a n c e , t h e s c o p e
o f t h e q u a n t i e r 8 x
i n t h e f o r m u l a 8 x ( r
1
( x )^ 9
x r
2
( x) ) i s t h e s u b f o r m u l a
r
1
( x )^ 9
x r
2
( x) . I t b i n d s t h e o c c u r r e n c e o f
xi n t h e s u b f o r m u l a
r
1
( x) . I t
d o e s n o t b i n d t h e o c c u r r e n c e o f x
i nr
2
(x
) : t h i s o c c u r r e n c e i s b o u n d a l r e a d y
b y t h e q u a n t i e r 9 x .
A v a r i a b l e o c c u r r e n c e t h a t i s n o t b o u n d i s f r e e.
A s t o s u b s t i t u t i o n ( r e p l a c e m e n t o f ( f r e e ) o c c u r r e n c e s o f a v a r i a b l e b y
a t e r m ) , s u b s t i t u t a b i l i t y o f a t e r m f o r ( t h e f r e e o c c u r r e n c e s o f ) a v a r i a b l e
i n a f o r m u l a ( m e a n i n g t h a t n o v a r i a b l e i n t h e t e r m b e c o m e s b o u n d a f t e r
s u b s t i t u t i o n ) , s e e E x e r c i s e s 3 a n d 4 .
1 . 3 S e n t e n c e s . A nL
- s e n t e n c e i s a n L
- f o r m u l a i n w h i c h n o v a r i a b l e o c c u r s
f r e e l y .
T h e m o r e e x p l i c i t d e n i t i o n o f t h e n o t i o n o f a m o d e l i s t h e f o l l o w i n g .
1 . 4 M o d e l s . L e tL
b e a v o c a b u l a r y . A n L
- m o d e l i s a p a i r A
c o n s i s t i n g o f
a n o n - e m p t y s e t A
, t h e u n i v e r s e o fA
, a n d a n o p e r a t i o n 7
; !
A
d e n e d
o n a l l n o n - l o g i c a l s y m b o l s
o fL
i n s u c h a w a y t h a t
i f
r 2 Li s a n
n- a r y r e l a t i o n s y m b o l , t h e n
r
A
i s a n n
- a r y r e l a t i o n o v e r
A ,
i f
f 2 Li s a n
n- a r y f u n c t i o n s y m b o l , t h e n
f
A
i s a n n
- a r y f u n c t i o n
o v e r A, a n d
i f
c 2 Li s a c o n s t a n t s y m b o l , t h e n
c
A
2 A .
T h e c a r d i n a l i t y o f a m o d e l i s t h e c a r d i n a l i t y o f i t s u n i v e r s e . A m o d e l i s
p u r e l y r e l a t i o n a l i f i t s v o c a b u l a r y c o n s i s t s o f r e l a t i o n s y m b o l s o n l y .
T h e o b j e c t
A
i s t h e i n t e r p r e t a t i o n o r m e a n i n g o f
i nA
, a n d
a l s o i s
c a l l e d a n a m e o f
A
.
F r o m a c e r t a i n s t a g e o n , s y m b o l s a n d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s s h a l l u s u a l l y
b e c o n f u s e d .
O f t e n , a n L
- m o d e l A
o v e r a u n i v e r s e A
, w h e r e L = f r : : : f : : : c : : : g ,
w i l l b e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m A
= ( A r
A
: : : f
A
: : : c
A
: : : ) . A n d t h i s i s
t h e r e l a t i o n w i t h t h e d e s c r i p t i o n o f t h e n o t i o n o f a m o d e l o n p a g e 1 .
T o b e a b l e t o i n t e r p r e t f o r m u l a s i n a m o d e l , y o u n e e d a s s i g n m e n t s f o r
t h e i r f r e e v a r i a b l e s t h a t s p e c i f y t h e i r ( t e m p o r a r y ) m e a n i n g :
1 . 5 A s s i g n m e n t s . L e tA
b e a m o d e l . A n A
- a s s i g n m e n t i s a f u n c t i o n
f r o m t h e s e t o f a l l v a r i a b l e s i n t o t h e u n i v e r s e A
o fA .
I n t h e c o n t e x t o f a m o d e l A
, a t e r m s t a n d s f o r a n e l e m e n t i n A
: i t s
v a l u e , w h i c h i s c a l c u l a t e d ( w i t h t h e h e l p o f s o m e a s s i g n m e n t ) f o l l o w i n g t h e
w a y i n w h i c h t h e t e r m h a s b e e n b u i l t . ( C o m p a r e t h e w a y p o l y n o m i a l s a r e
e v a l u a t e d i n a l g e b r a . )
1 . 6 V a l u e o f a T e r m . L e tL
b e a v o c a b u l a r y , A
a nL
- m o d e l a n d
a n
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
13/141
B a s i c N o t i o n s / 5
A- a s s i g n m e n t . F o r e v e r y t e r m
t, a n e l e m e n t
t
A
] 2 A, t h e v a l u e o f
ti n
A
u n d e r
, i s d e n e d b y t h e f o l l o w i n g r u l e s :
1 . I f t
i s a v a r i a b l e x : t
A
] =
( x) ,
2 . i f t
i s a c o n s t a n t s y m b o l c : t
A
] =
c
A
,
3 . i f t
h a s t h e f o r m f ( t
1
: : : t
n
) , w h e r e f
i s a f u n c t i o n s y m b o l a n d
t
1
: : : t
n
a r e t e r m s : t
A
] =
f
A
( t
A
1
] : : : t
A
n
] ) .
T h u s , t h e v a l u e o f t
i s c o m p u t e d b y t a k i n g a v a r i a b l e t o s t a n d f o r t h e
e l e m e n t g i v e n b y t h e a s s i g n m e n t a n d u s i n g t h e m e a n i n g o f c o n s t a n t s a n d
f u n c t i o n s y m b o l s a s s u p p l i e d b y t h e m o d e l .
N e x t c o m e s t h e f a m o u s \ T a r s k i d e n i t i o n " o f t h e s a t i s f a c t i o n r e l a t i o n
j= t h a t a s s i g n s m e a n i n g s t o f o r m u l a s : s t a t e m e n t s a b o u t t h e g i v e n m o d e l .
1 . 7 S a t i s f a c t i o n o f F o r m u l a s . L e tL
b e a v o c a b u l a r y , A
a nL
- m o d e l
a n d
a nA
- a s s i g n m e n t . F o r e v e r y f o r m u l a '
, t h e s t a t e m e n t A j= '
] ,'
i s s a t i s e d b y
i nA
, i s d e n e d b y t h e f o l l o w i n g r u l e s :
A j = (s = t
) ] , s
A
] =
t
A
]
A j= r ( t
1
: : : t
n
) ] , r
A
( t
A
1
] : : : t
A
n
] )
A j= : ' ]
, A 6j = ' ]
A j = ('
) ]
, A j= '
] a n d A j= ]
( s i m i l a r l y f o r t h e o t h e r c o n n e c t i v e s ) ,
A j= 9
x ' ] ,
f o r s o m e a 2
A A j= '
x
a
]
( s i m i l a r l y f o r t h e 8
- c a s e ) .
I n t h e l a s t c l a u s e , t h e n o t a t i o n
x
a
s t a n d s f o r t h e m o d i c a t i o n o f
t h a t
s e n d s t h e v a r i a b l e x
t oa
( b u t i s o t h e r w i s e t h e s a m e a s
) .
O n t h e u s e o f 1 . 6 a n d 1 . 7 . A l t h o u g h t h e s e s t i p u l a t i o n s a r e c a l l e d
d e n i t i o n s , t h e y a r e o f c o u r s e n o t a s a r b i t r a r y a s t h i s w o r d m a y s u g g e s t .
O n t h e c o n t r a r y , g i v e n t h e i n t e n d e d m e a n i n g o f t h e s y m b o l s , t h e y a r e r e a l l y
u n a v o i d a b l e . H o w e v e r , i n c o n c r e t e , s i m p l e s i t u a t i o n s , y o u w i l l n e v e r n e e d
t o u s e t h e m : t h e v a l u e o f a s i m p l e t e r m a l w a y s i s o b v i o u s , a s i s t h e m e a n i n g
o f a c o n c r e t e f o r m u l a t h a t i s n o t t o o c o m p l i c a t e d . T h e u s e o f 1 . 6 a n d 1 . 7
i s i n c a r r y i n g o u t g e n e r a l a r g u m e n t s t h a t n e e d t h e p r i n c i p l e s o f t e r m o r
f o r m u l a i n d u c t i o n . T h e r s t s p o t w h e r e s u c h a u s e i s m a d e i s i n E x e r c i s e 2 .
1 . 8 D e n i t i o n s , C o n v e n t i o n s a n d N o t a t i o n s . I f i n a g i v e n c o n t e x t
x
1
: : : x
n
i s a s e q u e n c e o f v a r i a b l e s a n d t
a t e r m a l l o f w h o s e v a r i a b l e s o c c u r
i n t h e s e q u e n c e , t h e n t h i s c a n b e i n d i c a t e d b y w r i t i n g t
a st ( x
1
: : : x
n
) .
S i m u l t a n e o u s l y r e p l a c i n g t h e s e v a r i a b l e s w h e n e v e r t h e y o c c u r i n t
b y t e r m s
t
1
: : : t
n
, t h e r e s u l t i n g t e r m i s t h e n w r i t t e n a s t ( t
1
: : : t
n
) .
S i m i l a r l y , a f o r m u l a '
w i t h f r e e v a r i a b l e s a m o n g x
1
: : : x
n
c a n b e w r i t -
t e n a s ' ( x
1
: : : x
n
) r e p l a c i n g t h e f r e e o c c u r r e n c e s o f t h e s e v a r i a b l e s i n '
b yt
1
: : : t
n
, t h e f o r m u l a o b t a i n e d w i l l b e w r i t t e n a s ' ( t
1
: : : t
n
) .
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
14/141
6/ B a s i c M o d e l T h e o r y
T h e r e s u l t o f E x e r c i s e 2 p e r m i t s t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n . I f
i s t h e A -
a s s i g n m e n t t h a t s e n d s x
i
t oa
i
( 1 i n
) , t h e n t h e n o t a t i o n s t
A
a
1
: : : a
n
]
a n d A j= ' a
1
: : : a
n
] a r e s h o r t h a n d f o r t
A
] a n d A j
= ' ] , r e s p e c t i v e l y .
T h e s y m b o l j
= i s u s e d i n a n u m b e r o f d i e r e n t w a y s .
T h e n o t a t i o n A j
= 'i s u s e d i f
'i s s a t i s e d i n
Ab y
e v e r y a s s i g n m e n t .
I n t h a t c a s e , w e s a y t h a t '
i s t r u e i n A
, t h a t A
s a t i s e s '
, o r t h a t A
i s a m o d e l o f '
. ( I t i s t h i s u s e o f t h e w o r d m o d e l t h a t i s r e s p o n s i b l e
f o r t h e t e r m m o d e l t h e o r y . )
T h e n o t a t i o n
j = ' | 'i s l o g i c a l l y v a l i d | i s u s e d w h e n
'i s t r u e i n
e v e r y m o d e l . F o r m u l a s a r e l o g i c a l l y e q u i v a l e n t i f t h e i r e q u i v a l e n c e i s
l o g i c a l l y v a l i d .
F i n a l l y , i f ; i s a s e t o f f o r m u l a s , t h e n o t a t i o n ;
j = ' | 'f o l l o w s l o g i -
c a l l y f r o m ; | i s u s e d i n t h e c a s e t h a t '
i s s a t i s e d b y a n a s s i g n m e n t
i n a m o d e l w h e n e v e r a l l f o r m u l a s o f ; a r e .
F r o m n o w o n , t h e u s e o f n o t a t i o n s s u c h a s t
A
] a n d A j
= ' ] p r e s u p p o s e s
t h a t A , t
a n d'
h a v e ( o r c a n b e a s s u m e d t o h a v e ) t h e s a m e v o c a b u l a r i e s
a n d t h a t
i s a n A
- a s s i g n m e n t .
F r o m t i m e t o t i m e , l o g i c s e x t e n d i n g t h e r s t - o r d e r o n e s w i l l b e c o n s i d -
e r e d . T h e r e f o r e , f r o m n o w o n , t h e t e r m s f o r m u l a a n d s e n t e n c e a l w a y s s h a l l
m e a n r s t - o r d e r f o r m u l a a n d s e n t e n c e , r e s p e c t i v e l y , u n l e s s t h e c o n t r a r y i s
e x p r e s s l y i n d i c a t e d .
E x e r c i s e s
1S u p p o s e t h a t
ti s a t e r m . L e t
n
i
b e t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f i
- a r y
f u n c t i o n s y m b o l s i n t ( i
= 1 2 3 : : :
) . S h o w t h a t t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s
o f v a r i a b l e s a n d i n d i v i d u a l c o n s t a n t s i n
te q u a l s 1 +
n
2
+ 2n
3
+ 3n
4
+
( = 1 +
P
i
( i ;1 )
n
i
) .
H i n t . U s e t e r m i n d u c t i o n .
2T h e v a l u e o f a t e r m a n d t h e m e a n i n g o f a f o r m u l a d e p e n d o n l y o n t h e
v a l u e s t h a t a r e a s s i g n e d t o v a r i a b l e s t h a t ( f r e e l y ) o c c u r . M o r e p r e c i s e l y ,
s u p p o s e t h a t A
i s a m o d e l ,
a n d
a r eA
- a s s i g n m e n t s , t
i s a t e r m a n d '
i s
a f o r m u l a . S h o w t h a t i f f o r a l l v a r i a b l e s x
t h a t o c c u r i n t
a n d f r e e l y o c c u r
i n' , ( x
) = ( x
) , t h e n
1 .t
A
] =
t
A
] ,
2 . A j= ' ]
, A j= '
] .
H i n t . A p p l y t e r m a n d f o r m u l a i n d u c t i o n , r e s p e c t i v e l y .
3( S u b s t i t u t i o n a n d v a l u e o f a t e r m . ) S u p p o s e t h a t
sa n d
t = t ( x) a r e
t e r m s , A
a m o d e l , a n d
a nA
- a s s i g n m e n t . L e t t ( s
) b e t h e e x p r e s s i o n
o b t a i n e d f r o m t
b y r e p l a c i n g a l l o c c u r r e n c e s o f x
b ys .
S h o w t h a t t ( s
) i s a t e r m .
N e x t , s u p p o s e t h a t a = s
A
] . S h o w t h a t
t ( s )
A
] =
t
A
x
a
] .
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
15/141
B a s i c N o t i o n s / 7
4 |( S u b s t i t u t i o n a n d t r u t h o f a f o r m u l a . ) S u p p o s e t h a t
si s a t e r m ,
' = ' ( x) a f o r m u l a ,
Aa m o d e l , a n d
a n
A- a s s i g n m e n t . L e t
' ( s) b e t h e
e x p r e s s i o n o b t a i n e d f r o m '
b y r e p l a c i n g a l l f r e e o c c u r r e n c e s o f x
b ys .
S h o w t h a t ' ( s
) i s a f o r m u l a .
N e x t , s u p p o s e t h a t a = s
A
] . S h o w t h a t i f
si s s u b s t i t u t a b l e f o r
xi n
'( t h a t i s : n o f r e e o c c u r r e n c e o f
xi n
'i s i n t h e s c o p e o f a q u a n t i e r t h a t
b i n d s a v a r i a b l e f r o m s
) , t h e n A j= ' ( s
) ]
, A j= '
x
a
] . G i v e a n e x a m p l e
t h a t s h o w s t h e s u b s t i t u t a b i l i t y c o n d i t i o n t o b e n e c e s s a r y .
5S u p p o s e t h a t
Ai s a m o d e l i n w h i c h
a
1
: : : a
n
2 Aa r e t h e i n t e r p r e t a t i o n s
o f t h e i n d i v i d u a l c o n s t a n t s c
1
: : : c
n
a n d' = ' ( x
1
: : : x
n
) i s a f o r m u l a
w i t h x
1
: : : x
n
f r e e . S h o w t h a t A j= ' a
1
: : : a
n
] i A j= ' ( c
1
: : : c
n
) .
T h u s , i n a s e n s e , s a t i s f a c t i o n i s d e n a b l e f r o m t r u t h .
6S u p p o s e t h a t
' = ' ( x) a f o r m u l a a n d
sa t e r m t h a t i s s u b s t i t u t a b l e
f o rx
i n'
. L e t ' ( s
) b e t h e f o r m u l a o b t a i n e d f r o m '
b y r e p l a c i n g a l l f r e e
o c c u r r e n c e s o f x
b ys
. S h o w t h a t
1 .8
x 'j = ' ( s
) ,
2 .' ( s ) j = 9
x '.
H i n t . U s e E x e r c i s e 4 .
7A s s u m e t h a t t h e i n d i v i d u a l c o n s t a n t
cd o e s o c c u r n e i t h e r i n
'n o r i n
( x) . S h o w t h e f o l l o w i n g :
1 . i f ' j = ( c
) , t h e n ' j = 8
x ( x
) ,
2 . i f ( c ) j = '
, t h e n 9
x ( x ) j = ' .
H i n t . A s s u m e t h a t ' j = ( c
) a n d A j= '
. L e t a 2 A
b e a r b i t r a r y . Y o u
h a v e t o s h o w , t h a t A j= a
] . E x p a n d A
t o a m o d e l ( A
a ) f o r a l a r g e r
v o c a b u l a r y i n c l u d i n g c
t h a t i n t e r p r e t s c
a sa
. O f c o u r s e , i t i s s t i l l t r u e
t h a t ( A
a) j = '
. S i n c e ( A
a ) i s a m o d e l f o r t h e v o c a b u l a r y o f ( c
) , i t n o w
f o l l o w s t h a t ( A
a) j = ( c
) . T h u s , b y E x e r c i s e 4 , A j= a
] .
8( A n a l t e r n a t i v e n o t i o n o f l o g i c a l c o n s e q u e n c e . ) S o m e t i m e s , l o g i c a l c o n -
s e q u e n c e i s d e n e d b y : ; j =
'i
'i s t r u e i n e v e r y m o d e l o f ; .
S h o w t h a t i f ; j = '
, t h e n ; j =
', a n d g i v e a n e x a m p l e s h o w i n g t h a t t h e
c o n v e r s e i m p l i c a t i o n c a n f a i l . S h o w t h a t i f a l l e l e m e n t s o f ; a r e s e n t e n c e s ,
t h e n ; j =
'i ;
j = ' .
1 . 9 D e n a b i l i t y a n d u n d e n a b i l i t y o f s a t i s f a c t i o n . ( T h e s e e x p l a n a t i o n s
a r e n o t n e e d e d f o r m o s t o f w h a t f o l l o w s . ) I n w h a t w a y d o t h e c l a u s e s o f 1 . 7
d e n e s a t i s f a c t i o n ? F i r s t o f a l l , t h e y c a n c l e a r l y b e s a t i s e d b y j u s t o n e r e l a t i o n
j= o n l y . ( T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f f o r m u l a i n d u c t i o n . ) T h i s f a c t c a n b e u s e d
t o s h o w t h a t , i f a s t r u c t u r e h a s a m e a n s t o c o d e f o r m u l a s a n d n i t e s e q u e n c e s
o f i t s e l e m e n t s ( w h i c h i s t h e c a s e f o r m o d e l s o f a r i t h m e t i c a n d s e t t h e o r y ) , t h e
s a t i s f a c t i o n r e l a t i o n f o r r s t - o r d e r f o r m u l a s c a n b e s e c o n d - o r d e r ( s e e 3 . 3 3 ) d e -
-
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8/ B a s i c M o d e l T h e o r y
n e d o v e r i t . A s t h e y s t a n d , t h e c l a u s e s o f 1 . 7 c a n b e u s e d o n l y t o t r a n s l a t e a
g i v e n f o r m u l a i n t o a s t a t e m e n t a b o u t t h e m o d e l u n d e r c o n s i d e r a t i o n . T h e u s u a l
m a t h e m a t i c a l e n v i r o n m e n t ( t h e \ m e t a - t h e o r y " ) f o r d o i n g m o d e l t h e o r y i s s e t
t h e o r y . ( I n C h a p t e r 4 , t h i s e n v i r o n m e n t c o m e s i n t o p l a y w i t h t h e s u b j e c t i n a
s e r i o u s w a y . ) E x i s t e n c e o f t h e s a t i s f a c t i o n r e l a t i o n i n f o r m a l s e t t h e o r y s h o u l d
f o l l o w f r o m a r e c u r s i o n t h e o r e m , a n d o n e c a n w o n d e r a s t o t h e p r e c i s e f o r m o f
t h e r e c u r s i o n t h a t i s g o i n g o n . E v e r y r e c u r s i o n e m p l o y s a w e l l - f o u n d e d r e l a t i o n .
A b o u t t h e w e l l - f o u n d e d r e l a t i o n t h i s r e c u r s i o n i s u s i n g t h e r e i s n o d o u b t : t h i s
i s t h e s u b f o r m u l a r e l a t i o n . S o w h a t s h o u l d b e r e c u r s i v e l y d e n e d , i s , f o r e v e r y
f o r m u l a '
, t h e s e t o f A
- a s s i g n m e n t s k ' k = k ' k
A
t h a t s a t i s f y '
. I f y o u v i e w
f o r m u l a s a s s e t - t h e o r e t i c o b j e c t s , t h i s r e c u r s i o n t a k e s t h e f o l l o w i n g f o r m . L i k e
1 . 7 , i t d i s t i n g u i s h e s a s t o t h e f o r m o f t h e f o r m u l a . S
i s t h e s e t o f A
- a s s i g n m e n t s .
k s = t k = f 2 S j s
A
] =
t
A
] g
k r ( t
1
: : : t
n
) k = f 2 S j r
A
( t
A
1
] : : : t
A
n
] )
g
k :' k = S
; k' k
k ' k = k 'k \ k
k
k 9 x 'k = f 2 S
j 9a 2 A (
x
a
2 k' k ) g :
S u c h a s e t - t h e o r e t i c f o r m a l i s a t i o n o f t h e s a t i s f a c t i o n d e n i t i o n a l l o w s a c o m -
p a r i s o n w i t h t h e c l a u s e s o f 1 . 7 , w h e r e t h e s e a r e v i e w e d a s a m e a n s t o t r a n s l a t e
f o r m u l a s i n t o s t a t e m e n t s a b o u t t h e m o d e l . W h a t i s o b t a i n e d t h e n i s a p r o o f
t h a t f o r e v e r y i n d i v i d u a l f o r m u l a '
t h e t w o w a y s ( t r a n s l a t i o n a n d d e n i t i o n ) o f
a s s i g n i n g m e a n i n g a m o u n t t o t h e s a m e t h i n g .
T a r s k i ' s a d e q u a c y r e q u i r e m e n t . F o r e v e r y A
- a s s i g n m e n t ,
2 k' k
A
i
A j= ' ] .
( T o e x p l a i n w h a t t h i s r e q u i r e m e n t i s a b o u t , T a r s k i u s e d t h e e x a m p l e t h a t t h e
s e n t e n c e ` s n o w i s w h i t e ' s h o u l d b e t r u e i , i n d e e d , s n o w i s w h i t e . )
T h u s , y o u c a n n o w s i m p l y d e n e t h e r e l a t i o n j
= t h a t a c c o m p l i s h e s t h e r e -
q u i r e d j o b b y p u t t i n g A j= '
] :
2 k' k .
T h e r e a s o n f o r i n s i s t i n g t h a t t h e u n i v e r s e o f a m o d e l b e a s e t i s n o w o b v i o u s : i f
Aw o u l d b e a p r o p e r c l a s s , t h e v a l u e s o f t h e o p e r a t i o n k k
A
w o u l d b e c o m e p r o p e r
c l a s s e s a s w e l l a n d t h e u s u a l s e t - t h e o r e t i c i n s t r u m e n t s w o u l d n o t b e s u c i e n t a n y
l o n g e r t o g u a r a n t e e i t s e x i s t e n c e .
T h a t i s n o t t o s a y t h a t w e n e v e r s h o u l d c o n s i d e r s t r u c t u r e s o v e r a p r o p e r
c l a s s ( t h e 2
- s t r u c t u r e o v e r t h e p r o p e r c l a s s o f a l l s e t s i s t h e m a i n s u b j e c t i n s e t
t h e o r y ) . I n f a c t , i t i s n o t t r u e t h a t y o u n e v e r c a n d e n e t r u t h i n s u c h a s t r u c t u r e .
F o r i n s t a n c e , C o r o l l a r y 3 . 3 9 s h o w s t h a t t h e o r d e r i n g o f t h e c l a s s o f a l l o r d i n a l s
h a s a d e n a b l e n o t i o n o f t r u t h . H o w e v e r , i t i s i m p o s s i b l e t o d e n e t r u t h f o r t h e
u n i v e r s e o f a l l s e t s . T h a t ( t h e m o r e g e n e r a l ) s a t i s f a c t i o n r e l a t i o n o f a s t r u c t u r e
c a n n e v e r b e d e n e d o v e r t h a t s t r u c t u r e i s i n f a c t a v e r y e a s y a p p l i c a t i o n o f t h e
R u s s e l l a r g u m e n t ( i n t h e f o l l o w i n g , r e a d (
x y ) a sy 2 x
) :
P r o p o s i t i o n . S u p p o s e t h a t A
i s a n L
- s t r u c t u r e a n d t h a t v
m a p s t h e s e t o f a l l
L- f o r m u l a s
' = ' ( x )i n t h e o n e f r e e v a r i a b l e
xi n t o
A. T h e r e i s n o
L- f o r m u l a
= (x y
)t h a t d e n e s s a t i s f a c t i o n f o r s u c h f o r m u l a s , i . e . , s u c h t h a t f o r e v e r y
-
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B a s i c N o t i o n s / 9
' = ' ( x )a n d a l l
a 2 A :
A j= ' a ]
, A j= v ( ' )
a] :
P r o o f . S u p p o s e t h a t (
x y ) s a t i s e s t h i s e q u i v a l e n c e . C o n s i d e r t h e f o r m u l a '
: =
: (x x ) a n d l e t
a: =
v ( ') . T h e n A j
= ' a] , a c c o r d i n g t o t h e s e d e n i t i o n s , w o u l d
b e t a n t a m o u n t t o A j= : v ( ' )
a ] , w h e r e a s , a c c o r d i n g t o t h e e q u i v a l e n c e , i t
s h o u l d m e a n t h a t A j= v ( ' )
a ] .a
F r o m t h i s y o u c a n d e d u c e t h e f a m o u s T a r s k i r e s u l t t h a t t r u t h c a n n o t b e
d e n e d e i t h e r , o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e v
- t r a n s l a t e d n o t i o n o f s u b s t i t u t i o n i s
d e n a b l e . ( T h i s a s s u m p t i o n i s s a t i s e d f o r t h e s t a n d a r d s t r u c t u r e s o f a r i t h m e t i c
a n d s e t t h e o r y a n d f o r a n y r e a s o n a b l e \ G o d e l n u m b e r i n g " v
. )
N o t e t h a t G o d e l ' s r s t i n c o m p l e t e n e s s t h e o r e m i s a c o r o l l a r y o f t h i s u n d e n -
a b i l i t y r e s u l t . F o r i n s t a n c e , i t i s ( t e d i o u s b u t ) n o t p a r t i c u l a r l y d i c u l t t o v e r i f y
t h a t d e r i v a b i l i t y f r o m a ( a r i t h m e t i c a l l y ) d e n a b l e s y s t e m o f a x i o m s i s ( a r i t h -
m e t i c a l l y ) d e n a b l e a n d h e n c e d i e r s f r o m ( a r i t h m e t i c a l ) t r u t h . T h u s , f o r a n y
g i v e n d e n a b l e a x i o m s y s t e m ( P e a n o a r i t h m e t i c , Z e r m e l o - F r a e n k e l s e t t h e o r y ,
: : : ) t h e r e w i l l b e a r i t h m e t i c a l t r u t h s t h a t a r e n o t d e r i v a b l e ( u n l e s s t h e s y s t e m i s
i n c o n s i s t e n t ) .
-
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-
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2
R e l a t i o n s B e t w e e n M o d e l s
T h i s c h a p t e r d i s c u s s e s s e v e r a l b a s i c r e l a t i o n s t h a t c a n e x i s t b e t w e e n t w o
m o d e l s : i s o m o r p h i s m , ( e l e m e n t a r y ) e q u i v a l e n c e a n d ( e l e m e n t a r y ) e m b e d -
d a b i l i t y .
2 . 1 I s o m o r p h i s m a n d E q u i v a l e n c e
2 . 1 I s o m o r p h i s m . T h eL
- m o d e l s A
a n dB
a r e i s o m o r p h i c , n o t a t i o n :
A
=
B, i f t h e r e e x i s t s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e m t h a t i s : a b i j e c t i o n
h : A ! Bb e t w e e n t h e i r u n i v e r s e s t h a t \ p r e s e r v e s s t r u c t u r e " :
1 . f o r e v e r y n
- a r y r e l a t i o n s y m b o l r 2 L
a n da
1
: : : a
n
2 A :
r
A
( a
1
: : : a
n
) ), r
B
( h ( a
1
) : : : h ( a
n
) )
2 . f o r e v e r y n
- a r y f u n c t i o n s y m b o l f 2 L
a n da
1
: : : a
n
2 A :
h ( f
A
( a
1
: : : a
n
) ) =f
B
( h ( a
1
) : : : h ( a
n
) )
3 . f o r e v e r y i n d i v i d u a l c o n s t a n t c 2 L : h ( c
A
) =c
B
.
A f u n c t i o n h : A ! B
i s a h o m o m o r p h i s m f r o m A
t oB
i f i t s a t i s e s
c o n d i t i o n s 2 a n d 3 a n d t h e )
- h a l f o f c o n d i t i o n 1 .
A n a u t o m o r p h i s m o fA
i s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n A
a n dA
i t s e l f .
I s o m o r p h i s m i s a f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l , n o n - l o g i c a l c o n c e p t . T h e
o n l y r o l e o f t h e v o c a b u l a r y L
i n t h e d e n i t i o n i s t o h a v e a c o r r e s p o n d e n c e
b e t w e e n r e l a t i o n s , f u n c t i o n s a n d c o n s t a n t s o f t h e t w o m o d e l s . I s o m o r p h i c
m o d e l s a r e t o t a l l y i n d i s t i n g u i s h a b l e i n t e r m s o f t h e i r s t r u c t u r e a l o n e . T h e
n e x t d e n i t i o n i n t r o d u c e s r s t - o r d e r l o g i c a l i n d i s t i n g u i s h a b i l i t y .
2 . 2 E q u i v a l e n c e . L
- m o d e l s A
a n dB
a r e ( e l e m e n t a r i l y o r r s t - o r d e r)
e q u i v a l e n t , i f t h e y h a v e t h e s a m e t r u e L
- s e n t e n c e s i . e . , i f f o r e v e r y L -
s e n t e n c e ' :
A j= '
i B j= '
. N o t a t i o n : A B.
H e r e c o m e s t h e r s t t h e o r e m .
2 . 3 T h e o r e m . I fA
=
B, t h e n A B
.
P r o o f . T h i s i s t h e s p e c i a l c a s e o f L e m m a 2 . 4 . 2 w h e r e '
i s a s e n t e n c e . a
1 1
-
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1 2 / B a s i c M o d e l T h e o r y
2 . 4 L e m m a . I fh : A ! B
i s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n A
a n dB
, t h e n , f o r
e v e r y t e r m t
, f o r m u l a '
a n dA
- a s s i g n m e n t :
1 .h ( t
A
] ) =
t
B
h
] ,
2 . A j= ' ]
, B j= '
h ] .
P r o o f . N o t e t h a t h , t h e c o m p o s i t i o n o f h
a n d
t h a t s e n d s a v a r i a b l e x
t oh ( ( x
) ) , i s a B
- a s s i g n m e n t .
1 . T h i s i s p r o v e d b y t e r m i n d u c t i o n .
I ft
i s a v a r i a b l e x
, t h e n ( b y 1 . 6 . 1 ) h ( x
A
] ) =
h ( ( x) ) =
x
B
h ] .
I ft
i s a c o n s t a n t s y m b o l c
, t h e n ( b y 1 . 6 . 2 a n d 2 . 1 . 3 ) h ( c
A
] ) =
h ( c
A
) =
c
B
= c
B
h ] .
F i n a l l y , i f t = f ( t
1
: : : t
n
) a n d ( i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ) h ( t
A
i
] ) =
t
B
i
h
]
( i= 1
: : : n ) , t h e n
h ( t
A
] ) =
h ( f ( t
1
: : : t
n
)
A
] )
= h ( f
A
( t
A
1
] : : : t
A
n
] ) )
( b y 1 . 6 . 3 )
= f
B
( h ( t
A
1
] )
: : : h ( t
A
n
] ) )
( b y 2 . 1 . 2 )
= f
B
( t
B
1
h
] : : : t
B
n
h ] ) )
( b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s )
= t
B
h
] ( a g a i n , b y 1 . 6 . 3 ) .
2 . T h i s i s p r o v e d b y f o r m u l a i n d u c t i o n .
F o r a n i d e n t i t y s = t
w e h a v e :
A j = (s = t
) ] , s
A
] =
t
A
] ( b y 1 . 7 )
, h ( s
A
] ) =
h ( t
A
] )
( s i n c e
hi s a n i n j e c t i o n )
, s
B
h ] =
t
B
h
] ( b y p a r t 1 )
, B j= s = t
h ]
( a g a i n , b y 1 . 7 ) .
F o r a n a t o m r ( t
1
: : : t
n
) :
A j= r ( t
1
: : : t
n
) ] , r
A
( t
A
1
] : : : t
A
n
] )
( b y 1 . 7 )
, r
B
( h ( t
A
1
] )
: : : h ( t
A
n
] ) )
( b y 2 . 1 . 1 )
, r
B
( t
B
1
h
] : : : t
B
n
h ] )
( b y p a r t 1 )
, B j= r ( t
1
: : : t
n
) h ]
( a g a i n , b y 1 . 7 ) .
F o r p r o p o s i t i o n a l c o m b i n a t i o n s , t h e i n d u c t i o n s t e p s a r e r a t h e r t r i v i a l . F o r
i n s t a n c e , a s s u m i n g t h e e q u i v a l e n c e s f o r '
a n d
b y w a y o f i n d u c t i o n h y -
p o t h e s i s ,
A j = ('
) ]
i ( b y 1 . 7 ) A j= '
] a n d A j= ]
i ( b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ) B j= '
h ] a n d
B j=
h ]
i ( a g a i n b y 1 . 7 ) B j = ('
) h ] :
-
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R e l a t i o n s B e t w e e n M o d e l s / 1 3
F i n a l l y , a s s u m i n g t h e e q u i v a l e n c e f o r '
a s a n i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ( w i t h
r e s p e c t t o a n a r b i t r a r y a s s i g n m e n t ) , h e r e f o l l o w s t h e e q u i v a l e n c e f o r 9
x ':
A j= 9
x '
] i ( b y D e n i t i o n 1 . 7 ) f o r s o m e a 2 A ,
A j= '
x
a
]
i ( b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ) f o r s o m e a 2 A ,
B j= '
h
x
a
]
i ( s i n c e h
i s a s u r j e c t i o n ) f o r s o m e b 2 B ,
B j= '
h
x
b
]
i ( a g a i n b y 1 . 7 ) B j= 9
x '
h ] : a
T h e c o n v e r s e o f T h e o r e m 2 . 3 i s v e r y
f a l s e , e x c e p t f o r t h e f o l l o w i n g .
2 . 5 P r o p o s i t i o n . I f A B a n dA
i s n i t e , t h e n A
=
B .
P r o o f . B y P r o p o s i t i o n 3 . 9 a n d T h e o r e m 3 . 1 8 b e l o w . H o w e v e r , y o u s h o u l d
c a r r y o u t t h e d i r e c t p r o o f i n d i c a t e d i n E x e r c i s e 1 0 n o w. a
E x e r c i s e s
9S h o w t h a t a n o r d e r i n g o f t y p e
!+ 1 i s n o t i s o m o r p h i c t o o n e o f t y p e
! + !
?
.
H i n t . U s e L e m m a 2 . 4 .
1 0 P r o v e P r o p o s i t i o n 2 . 5 .
H i n t . S u p p o s e t h a t A B, A = f a
1
: : : a
n
g, b u t A 6
=
B. W r i t e d o w n
a r s t - o r d e r s e n t e n c e E
n
t h a t d o e s n o t u s e n o n - l o g i c a l s y m b o l s w i t h t h e
p r o p e r t y t h a t f o r e v e r y m o d e l C ,
C j= E
n
i C
h a s p r e c i s e l y n
e l e m e n t s .
T h u s , E
n
i s t r u e o f A
, t r u e o f B
, a n d t h e r e f o r e B
h a sn
e l e m e n t s a s w e l l
a n d t h e r e a r e n
! b i j e c t i o n s b e t w e e n A
a n dB
. S h o w t h a t ( s i n c e A 6
=
B) f o r
e v e r y s u c h b i j e c t i o n h : A ! B
t h e r e e x i s t s a f o r m u l a '
h
= '
h
( x
1
: : : x
n
)
t h a t i s a t o m i c o r n e g a t e d a t o m i c s u c h t h a t A j= '
h
a
1
: : : a
n
] a n d B j=
: '
h
h ( a
1
) : : : h ( a
n
) ] . N o w t h e s e n t e n c e
9 x
1
: : : x
n
0
@
i < j
x
i
6= x
j
h
'
h
1
A
i s t r u e i n A
b u t f a l s e i n B
, c o n t r a d i c t i n g A B.
2 . 2 ( E l e m e n t a r y ) S u b m o d e l s
2 . 6 S u b m o d e l . T h eL
- m o d e l A
i s a s u b m o d e l o f t h e L
- m o d e l B
, a n d B
a n e x t e n s i o n o r a s u p e r m o d e l o fA
, n o t a t i o n : A B , i f
1 .A B
, a n d
2 . a . r
A
= r
B
\ A
n
w h e n e v e r r 2 L
i s a n n
- a r y r e l a t i o n s y m b o l ,
b .f
A
= f
B
j A
n
( t h e r e s t r i c t i o n o ff
B
t oA
) w h e n e v e r f 2 L
i s a n
n- a r y f u n c t i o n s y m b o l ,
c .c
A
= c
B
w h e n e v e r c 2 L
i s a c o n s t a n t s y m b o l .
E x a m p l e . ( N +
< 0
1 ) ( Q +
< 0
1 ) ( R +
< 0
1 ) .
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
22/141
1 4 / B a s i c M o d e l T h e o r y
F r o m t h e d e n i t i o n o f a s u b m o d e l i t f o l l o w s t h a t , i f B
i s a m o d e l a n d
A B, t h e n
Ai s t h e u n i v e r s e o f a ( u n i q u e ) s u b m o d e l
Ao f
Bi
Ai s c l o s e d
u n d e r t h e f u n c t i o n s o f B
a n d c o n t a i n s e v e r y c o n s t a n t o f B
. I fA
d o e s n o t
s a t i s f y t h e s e c l o s u r e c o n d i t i o n s , t h e r e a l w a y s i s a s m a l l e s t s e t A
0
s u c h t h a t
A A
0
Bt h a t d o e s s a t i s f y t h e m : s e e L e m m a 2 . 1 2 .
2 . 7 L e m m a I f A B a n d
i s a n A
- a s s i g n m e n t , t h e n
1 . f o r e v e r y t e r mt , t
A
] =
t
B
] ,
2 . f o r e v e r y q u a n t i e r - f r e e f o r m u l a' ,
A j= ' ]
, B j= ' ] .
P r o o f . E x e r c i s e 1 2 . a
N o t e t h a t t h e c o n d i t i o n t h a t '
b e q u a n t i e r - f r e e i n 2 . 7 . 2 i s n e c e s s a r y .
F o r i n s t a n c e , ( N
; f0 g
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
23/141
R e l a t i o n s B e t w e e n M o d e l s / 1 5
2 . 1 1 E x a m p l e . ( Q
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
24/141
1 6 / B a s i c M o d e l T h e o r y
f o r e v e r y ' ( x
0
: : : x
k
) a n d a
0
: : : a
k ; 1
2 A
n
,
i f B j= 9 x
k
' a
0
: : : a
k ; 1
] , t h e n t h e r e e x i s t s a 2 A
n + 1
s u c h t h a t
B j= ' a
0
: : : a
k ; 1
a ] .
P u tA
: =
S
n
A
n
. Ah a s p o w e r
, i s c l o s e d u n d e r t h e f u n c t i o n s o f
Ba n d
c o n t a i n s t h e c o n s t a n t s o f B
. T h u s , A
i s t h e u n i v e r s e o f a s u b m o d e l A
o fB .
I n t h i s s i t u a t i o n , T a r s k i ' s c r i t e r i o n i s s a t i s e d .
H e r e a r e s o m e d e t a i l s . A s s u m e t h a t A
0
A
1
A
n
o f p o w e r h a v e
b e e n f o u n d s a t i s f y i n g t h e r e q u i r e m e n t s . B y E x e r c i s e 1 7 , o v e r a v o c a b u l a r y
o f p o w e r
t h e r e a r e a t m o s t
f o r m u l a s , a n d s i n c e t h e r e a r e a t m o s t
n i t e s e q u e n c e s o f e l e m e n t s f r o m
A
n
, t h e c o n d i t i o n o f t h e c o n s t r u c t i o n
r e q u i r e s c o n s i d e r a t i o n o f a t m o s t =
c o m b i n a t i o n s o f a n e x i s t e n t i a l
f o r m u l a a n d a n a s s i g n m e n t f o r i t s f r e e v a r i a b l e s i n A
n
. I n e v e r y c o m b i n a -
t i o n w h e r e t h e f o r m u l a h a p p e n s t o b e s a t i s e d b y t h e a s s i g n m e n t , b y t h e
A x i o m o f C h o i c e p i c k o n e s a t i s f y i n g e l e m e n t f o r t h e e x i s t e n t i a l l y q u a n t i e d
v a r i a b l e . T h e n e w s e t A
n + 1
c o n s i s t s o f t h e s e e l e m e n t s p l u s t h o s e i n A
n
. I t
f o l l o w s t h a t A
n + 1
h a s p o w e r
a s w e l l . A s b e f o r e , t h e u n i o n A =
S
n
A
n
a l s o h a s p o w e r .
N e x t , i t m u s t b e s h o w n t h a t A
c o n t a i n s t h e c o n s t a n t s f r o m B
a n d i s
c l o s e d u n d e r t h e f u n c t i o n s f r o m B
. L e t c
b e a c o n s t a n t s y m b o l . C o n s i d e r -
a t i o n o f t h e f o r m u l a 9 x
0
( x
0
= c) a n d t h e e m p t y a s s i g n m e n t s h o w s t h a t
c
B
a l r e a d y b e l o n g s t o A
1
. F u r t h e r m o r e , l e t f
b e ak
- a r y f u n c t i o n s y m b o l , a n d
l e ta
0
: : : a
k ; 1
b e a s e q u e n c e o f a r g u m e n t s f o r t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n
f
B
f r o m A
. F i n d n
s o l a r g e t h a t t h e s e a r g u m e n t s a l r e a d y b e l o n g t o A
n
.
C o n s i d e r a t i o n o f t h e f o r m u l a 9 x
k
( x
k
= f ( x
0
: : : x
k ; 1
) ) a n d t h e a s s i g n -
m e n t s a
0
: : : a
k ; 1
f o r i t s f r e e v a r i a b l e s s h o w s t h a t f
B
( a
0
: : : a
k ; 1
) i s i n
A
n + 1
.
F i n a l l y , T a r s k i ' s c o n d i t i o n h o l d s . I n d e e d , i f w e h a v e t h a t
B j= 9 x
k
' a
0
: : : a
k ; 1
]
( w h e r e
a
0
: : : a
k ; 1
2 A) , t h e n , f o r s o m e
n , a
0
: : : a
k ; 1
2 A
n
. T h u s ,
b y t h e c o n s t r u c t i n g c o n d i t i o n t h e r e e x i s t s a 2 A
n + 1
s u c h t h a t B j=
' a
0
: : : a
k ; 1
a ] .a
2 . 1 4 ( E l e m e n t a r y ) E m b e d d i n g s . A n e m b e d d i n g (
e l e m e n t a r y e m b e d -
d i n g ) o fA
i n t o B
i s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n A
a n d a s u b m o d e l ( a n e l e -
m e n t a r y s u b m o d e l ) o f B .
2 . 1 5 L e m m a . A s s u m e t h a t h
m a p s t h e u n i v e r s e o f A
i n t o t h a t o f B
. T h e
f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e e q u i v a l e n t :
1 .h
i s a n e m b e d d i n g ( e l e m e n t a r y e m b e d d i n g ) o f A
i n t o B ,
2 . f o r a l l a t o m i c | e q u i v a l e n t l y : f o r a l l q u a n t i e r - f r e e | ( f o r a l l ) f o r -
m u l a s '
a n dA
- a s s i g n m e n t s :
A j= ' ]
, B j= '
h ] .
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
25/141
R e l a t i o n s B e t w e e n M o d e l s / 1 7
P r o o f . T h a t 1 i m p l i e s 2 i s i m m e d i a t e ( f o r t h e e m b e d d i n g - c a s e , u s e L e m m a s
2 . 4 a n d 2 . 7 ) . F o r t h e o t h e r d i r e c t i o n , s e e E x e r c i s e 2 0 . a
2 . 1 6 C h a i n s . L e t
b e a l i m i t o r d i n a l . A s e q u e n c e ( A
j < ) o f m o d e l s
o f l e n g t h
i s a c h a i n ( a n e l e m e n t a r y c h a i n ) i f f o r a l l < < w e h a v e
t h a t A
A
( A
A
) .
S
<
A
, t h e l i m i t o f t h e c h a i n , i s t h e ( u n i q u e ) m o d e l w i t h u n i v e r s e
S
<
A
t h a t i s a s u p e r m o d e l o f a l l m o d e l s o f t h e c h a i n . ( S e e E x e r c i s e 2 1 . )
I n t h e e a r l y d a y s o f m o d e l t h e o r y , l i m i t s o f e l e m e n t a r y c h a i n s u s e d
t o b e p o p u l a r . S u c h c o n s t r u c t i o n s a r e n o w o f t e n r e p l a c e d b y s a t u r a t i o n
a r g u m e n t s .
2 . 1 7 E l e m e n t a r y C h a i n L e m m a . T h e l i m i t o f a n e l e m e n t a r y c h a i n
e l e m e n t a r i l y e x t e n d s a l l m o d e l s o f t h e c h a i n .
P r o o f . A s s u m e t h a t A
i s t h e l i m i t o f t h e e l e m e n t a r y c h a i n o f m o d e l s ( A
j
< ) . U s i n g i n d u c t i o n w i t h r e s p e c t t o '
, v e r i f y t h a t f o r a l l < a n d
a
0
: : : a
k ; 1
2 A
:
A
j = ' a
0
: : : a
k ; 1
], A j
= ' a
0
: : : a
k ; 1
] :
T h e o n l y p o i n t o f i n t e r e s t i s t h e i n d u c t i o n s t e p f o r 9
a n d(
: a s s u m e t h a t
a
0
,: : :
, a
k ; 1
2 A
a n d A j= 9 x
k
' a
0
: : : a
k ; 1
] . T h e n a 2 A
e x i s t s s u c h
t h a t A j= ' a
0
: : : a
k ; 1
a ] . S a y , a 2 A
. W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , i t
m a y b e a s s u m e d t h a t > . B y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , w e h a v e t h a t
A
j = ' a
0
: : : a
k ; 1
a ]
a n d h e n c e , t h a t A
j = 9 x
k
' a
0
: : : a
k ; 1
] . H o w e v e r , A
A
. I t f o l l o w s
t h a t A
j = 9 x
k
' a
0
: : : a
k ; 1
] .a
E x e r c i s e s
1 1 F o r e v e r y t w o p a i r s o f m o d e l s A
a n dB
f r o m t h e f o l l o w i n g l i s t , d e c i d e
w h e t h e r ( i ) A B , ( i i ) A
=
B, ( i i i )
Ai s ( e l e m e n t a r i l y ) e m b e d d a b l e i n
B :
( N ) , (
Z ) , (
N
+
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
26/141
1 8 / B a s i c M o d e l T h e o r y
1 6 S h o w t h a t ( N
+
1 2 3 : : : ) ( N 1 2 3 : : : ) . (
N
+
i s t h e s e t o f p o s i -
t i v e n a t u r a l n u m b e r s . T h e v o c a b u l a r y o f t h e s e m o d e l s h a s n o r e l a t i o n o r
f u n c t i o n s y m b o l s a n d i n n i t e l y m a n y c o n s t a n t s y m b o l s f o r t h e e l e m e n t s o f
N
+
. )
H i n t . T h i s i s s i m i l a r t o E x e r c i s e 1 5 . N o t e t h a t a f o r m u l a c o n t a i n s o n l y
n i t e l y m a n y c o n s t a n t s y m b o l s .
1 7 L e tL
b e a v o c a b u l a r y . S h o w t h a t t h e r e a r e a t m o s t j L j + @
0
L- t e r m s
a n dL
- f o r m u l a s .
1 8 V e r i f y t h e c l a i m s f r o m t h e p r o o f o f L e m m a 2 . 1 2 . I n p a r t i c u l a r , w h y d o
t h e t h r e e d e s c r i p t i o n s o f t h e s e t A
a l l r e f e r t o t h e s a m e t h i n g ?
1 9 S u p p o s e t h a t ' = ' ( x
0
: : : x
k
) . A S k o l e m f u n c t i o n f o r9 x
k
'i n
B
i s a f u n c t i o n f o v e r B
s u c h t h a t f o r e v e r y a
0
: : : a
k ; 1
2 B, i f B j
=
9 x
k
' a
0
: : : a
k ; 1
] , t h e n B j= ' a
0
: : : a
k ; 1
f( a
0
: : : a
k ; 1
) ] . U s i n g t h e
A x i o m o f C h o i c e y o u c a n c o n s t r u c t S k o l e m f u n c t i o n s f o r e v e r y e x i s t e n -
t i a l f o r m u l a . S h o w t h a t , u s i n g t h i s , T h e o r e m 2 . 1 3 b e c o m e s a c o r o l l a r y t o
L e m m a 2 . 1 2 .
2 0 P r o v e t h e r e m a i n i n g h a l v e s o f L e m m a 2 . 1 5 .
2 1 P r o v e t h a t c h a i n s o f m o d e l s d o h a v e l i m i t s i n t h e s e n s e o f D e n i -
t i o n 2 . 1 6 .
N e x t f o l l o w s o m e s e t - t h e o r e t i c a p p l i c a t i o n s f o r s t u d e n t s f a m i l i a r w i t h t h e s e t -
t h e o r e t i c c u m u l a t i v e h i e r a r c h y
f V
g
2 O R
a n d t h e c o n s t r u c t i b l e h i e r a r c h y
f L
g
2 O R
:
S e e A p p e n d i x B f o r e x p l a n a t i o n s . H e r e , A
Bm e a n s t h a t e v e r y f o r m u l a o f
i s s a t i s e d b y a g i v e n A
- a s s i g n m e n t i n A
i t h i s i s t h e c a s e i n B
. I f i s c l o s e d
u n d e r s u b f o r m u l a s , i . e . , i f e v e r y s u b f o r m u l a o f a f o r m u l a i n a g a i n b e l o n g s t o
, t h e n t h e E l e m e n t a r y C h a i n L e m m a 2 . 1 7 h o l d s w h e n
i s r e p l a c e d b y
.
2 . 1 8 T h e R e e c t i o n P r i n c i p l e . S u p p o s e t h a t
i s a n i t e s e t o f s e t - t h e o r e t i c
f o r m u l a s , c l o s e d u n d e r s u b f o r m u l a s . Z F p r o v e s t h a t t h e c l a s s e s o f o r d i n a l s
f o r
w h i c h ( V
2 )
(V
2 )a n d
( L
2 )
(L
2 ), a r e c l o s e d a n d u n b o u n d e d .
2 2|
P r o v e t h e R e e c t i o n P r i n c i p l e 2 . 1 8 . N o t e t h a t t h e r e a r e b u t t w o p r o p e r t i e s
o f t h e s e h i e r a r c h i e s t h a t a r e n e e d e d f o r t h e p r o o f , n a m e l y : < ) V
V
,
a n d , f o r l i m i t s , V
=
S
<
V
( a n d s i m i l a r l y f o r t h e L
) .
2 3 A s s u m e t h a t < a r e o r d i n a l s s u c h t h a t ( V
2 ) ( V
2) . S h o w t h a t
( V
2 ) j =Z F
.
H i n t . F i r s t , s h o w t h a t
i s a l i m i t , t h a t > ! , a n d t h a t ( V
2) i s a m o d e l o f
t h e C o l l e c t i o n S c h e m a 8 x 2 a 9
y ' ! 9b 8 x 2 a 9 y 2
b '( b
n o t f r e e i n '
) .
2 4|
A s s u m e t h a t t h e i n i t i a l n u m b e r
h a s s t r o n g l y i n a c c e s s i b l e c a r d i n a l i t y .
S h o w t h a t f
< j ( V
2 ) ( V
2 ) gi s c l o s e d a n d u n b o u n d e d i n
.
-
7/25/2019 Basic Model Theory Dotes
27/141
R e l a t i o n s B e t w e e n M o d e l s / 1 9
S h o w t h a t i f > ! i s u n c o u n t a b l e a n d r e g u l a r , t h e n f
< j ( L
2 )
( L
2 ) gi s c l o s e d a n d u n b o u n d e d i n
.
H i n t s . ( F i r s t p a r t . ) C l o s e d : u s e t h e E l e m e n t a r y C h a i n T h e o r e m . U n b o u n d e d :
i f
0
< , d e n e t h e c h a i n V
0
A
0
V
1
A
1
V
s u c h t h a t
n + 1
: =
T
f j A
n
V
g , j V
n
j = j A
n
j, (
A
n
2 ) ( V
2) ( L o w e n h e i m - S k o l e m -
T a r s k i n o t e t h a t
n
< ) n o w c o n s i d e r
S
n
V
n
.
T h e f o l l o w i n g e x e r c i s e i n d i c a t e s t h a t t h e r e l a t i o n
b e t w e e n m o d e l s ( V
2 )
i s v e r y m u c h w e a k e r t h a n .
2 5 S h o w t h a t f r o m t h e Z F a x i o m s i t f o l l o w s t h a t a n u n b o u n d e d c o l l e c t i o n C
o f
o r d i n a l s e x i s t s s u c h t h a t f o r a l l 2 C
, (V
2 ) ( V
2) .
H i n t . I f y o u m a p a l l o r d i n a l s i n t o s o m e s e t , t h e n a n u n b o u n d e d c o l l e c t i o n o f t h e m
w i l l b e m a p p e d t o t h e s a m e e l e m e n t . A p p l y t h i s Z F \ p i g e o n - h o l e p r i n c i p l e " t o
t h e m a p t h a t s e n d s a n o r d i n a l
t o t h e s e t o f s e n t e n c e s t r u e i n ( V
2) . T h u s ,
t h e o n l y \ l o g i c a l " i n g r e d i e n t o f t h e a r g u m e n t i s t h e f a c t t h a t a l l s e t - t h e o r e t i c
s e n t e n c e s f o r m a s e t .
B i b l i o g r a p h i c R e m a r k s
T h e D o w n w a r d L o w e n h e i m - S k o l e m T h e o r e m 2 . 1 3 , a s w e l l a s t h e m a t e r i a l
o n e l e m e n t a r y s u b m o d e l s , i s f r o m T a r s k i a n d V a u g h t 1 9 5 7 . T h e h i s t o r y o f
t h i s t h e o r e m d a t e s b a c k t o L o w e n h e i m 1 9 1 5 a n d S k o l e m 1 9 2 2 .
A n o l d s o u r c e o f r e s u l t s o n t h e \ n a t u r a l " m o d e l s ( V
2) i s M o n t a g u e
a n d V a u g h t 1 9 5 9 .
-
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-
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29/141
3
E h r e n f e u c h t - F r a s s e G a m e s
T h e n o t i o n o f a n E h r e n f e u c h t - F r a s s e g a m e p r o v i d e s a s i m p l e c h a r a c t e r -
i z a t i o n o f e l e m e n t a r y e q u i v a l e n c e w i t h s t r a i g h t f o r w a r d g e n e r a l i z a t i o n s t o
s e v e r a l l a n g u a g e s o t h e r t h a n r s t - o r d e r , w h i c h , f o r s i m p l e m o d e l s ( l i n e a r
o r d e r i n g s , t r e e s , : : : ) , i s e a s y t o a p p l y . B e s i d e s , i t i s a l m o s t t h e o n l y t e c h -
n i q u e a v a i l a b l e i n n i t e - m o d e l t h e o r y ( w h e r e C o m p a c t n e s s a n d L o w e n h e i m -
S k o l e m a r e o f n o u s e ) .
3 . 1 F i n i t e G a m e s
I n o r d e r t o g e t n e a t r e s u l t s , t h e f o l l o w i n g i s a s s u m e d :
3 . 1 P r o v i s o . I n t h i s s e c t i o n , a l l v o c a b u l a r i e s a r e n i t e a n d d o n o t c o n t a i n
f u n c t i o n s y m b o l s .
W a r n i n g . I n l a t e r s e c t i o n s , p r o o f s a r e o f t e n g i v e n u s i n g t h e m a t e r i a l o f
t h i s o n e . S o t h e r e s u l t s t h e r e m a y f a l l u n d e r t h i s p r o v i s o a s w e l l , e v e n
t h o u g h t h i s r e s t r i c t i o n o n t h e v o c a b u l a r y c a n o f t e n b e l i f t e d .
F o r r e a s o n s o f u n i f o r m i t y , t h i s c h a p t e r a d m i t s m o d e l s t h a t h a v e a n
e m p t y u n i v e r s e .
F i r s t a p r e l i m i n a r y d e n i t i o n , x i n g t e r m i n o l o g y i n t h e c o n t e x t o f s h i f t -
i n g v o c a b u l a r i e s .
3 . 2 E x p a n s i o n s . I fL
a n dL
0
a r e v o c a b u l a r i e s s u c h t h a t L L
0
, t h e n L
0
i s a n e x p a n s i o n o fL
a n dL
i s a r e d u c t o fL
0
.
I fL L
0
, Ai s a n
L- m o d e l , a n d
Bi s a n
L
0
- m o d e l s u c h t h a t A = B
a n d t h e i n t e r p r e t a t i o n s o f L
- s y m b o l s i n A
a n dB
c o i n c i d e , t h e n B
i s a n
L
0
- e x p a n s i o n o fA
a n dA
i s t h e L
- r e d u c t o fB
n o t a t i o n : A =
B jL .
I fL
0
; Lc o n s i s t s o f c o n s t a n t s y m b o l s o n l y , t h e c o r r e s p o n d i n g e x p a n s i o n s
a r e c a l l e d s i m p l e .
I fA
i s a n L
- m o d e l a n d L
0
= L f
c
1
: : : c
n
g, t h e n t h e s i m p l e
L
0
-
e x p a n s i o n o f A
t h a t i n t e r p r e t s c
i
a sa
i
2 A( 1
i n) i s d e n o t e d b y
( A a
1
: : : a
n
) .
2 1
-
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2 2 / B a s i c M o d e l T h e o r y
S e e E x e r c i s e 5 t o s e e h o w s a t i s f a c t i o n i n A
b ya
1
: : : a
n
2 Ac a n b e r e d u c e d
t o t r u t h i n t h e s i m p l e e x p a n s i o n ( A
a
1
: : : a
n
) , u s i n g i n d i v i d u a l c o n s t a n t s
t o r e f e r t o t h e s e e l e m e n t s .
N o t e t h a t i f '
i s a n L
- s e n t e n c e , L L
0
, a n d A
a nL
0
- m o d e l , t h e n '
i s
a nL
0
- s e n t e n c e a s w e l l a n d w e h a v e t h a t A jL j = '
i A j= ' .
3 . 3 L o c a l I s o m o r p h i s m s . A
l o c a l i s o m o r p h i s m b e t w e e n m o d e l s A
a n d
Bo f t h e s a m e v o c a b u l a r y i s a n i t e r e l a t i o n
f ( a
1
b
1
) : : : ( a
n
b
n
)g
A B
s u c h t h a t t h e s i m p l e e x p a n s i o n s ( A
a
1
: : : a
n
) a n d ( B
b
1
: : : b
n
) s a t i s f y
t h e s a m e a t o m i c s e n t e n c e s .
E v e r y l o c a l i s o m o r p h i s m i s a ( n i t e ) i n j e c t i o n . O f t e n , t h e m o d e l s i n -
v o l v e d a r e p u r e l y r e l a t i o n a l ( i . e . , t h e r e a r e n o i n d i v i d u a l c o n s t a n t s i n t h e
v o c a b u l a r y ) . I n t h a t c a s e , a l o c a l i s o m o r p h i s m i s t h e s a m e a s a n i s o m o r -
p h i s m b e t w e e n n i t e s u b m o d e l s . S e e E x e r c i s e 2 6 .
3 . 4 E x a m p l e s .
1 . T h e e m p t y f u n c t i o n i s a l o c a l i s o m o r p h i s m b e t w e e n a n y t w o p u r e l y
r e l a t i o n a l m o d e l s .
2 . E v e r y r e s t r i c t i o n o f a ( l o c a l ) i s o m o r p h i s m i s a l o c a l i s o m o r p h i s m .
3 . T h e n i t e i n j e c t i o n f
( 0
0 )
( 2 e)
( 5 ) g
i s a l o c a l i s o m o r p h i s m b e -
t w e e n ( Z
-
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E h r e n f e u c h t - F r a
s s
e G a m e s / 2 3
T h e i d e a o f t h e g a m e i s b e s t e x p l a i n e d b y r e v e a l i n g s o m e p e c u l i a r i t i e s
a b o u t t h e c h a r a c t e r s o f t h e p a r t i c i p a n t s t h a t b e c o m e a p p a r e n t a f t e r p l a y i n g
a c o u p l e o f e x a m p l e g a m e s . T h u s , D is e e s
d i e r e n c e s a l l a r o u n d e a c h o f
h e r m o v e s i s a c c o m p a n i e d b y s o m e e x c l a m a t i o n \ h e y , S y , l o o k : h e r e I ' v e
f o u n d a n e x t r a o r d i n a r y e l e m e n t i n t h i s m o d e l y o u c a n ' t n d t h e e q u a l o f
i n t h e o t h e r o n e ! " . O n t h e o t h e r h a n d , t o S y e v e r y t w o m o d e l s a p p e a r t o
b e s i m i l a r a n d e v e r y m o v e o f D i i s c o u n t e r e d w i t h s o m e \ o h y e a h ? t h e n
w h a t a b o u t t h i s o n e ! "
I n t h e p u r e l y r e l a t i o n a l c a s e , S y i m m e d i a t e l y w i n s e v e r y g a m e E ( A B
0 )
o f l e n g t h 0 , s i n c e t h e e m p t y r e l a t i o n i s a l o c a l i s o m o r p h i s m . I f o n e o f t h e
m o d e l s i s e m p t y a n d t h e o t h e r o n e i s n o t , t h e n D i c a n w i n a n y l e n g t h
n o n - 0 g a m e b y p i c k i n g a n e l e m e n t f r o m t h e n o n - e m p t y m o d e l , s i n c e t h i s
c a n n o t b e c o u n t e r e d b y S y . H o w e v e r , i f b o t h m o d e l s a r e e m p t y , S y w i n s
a u t o m a t i c a l l y e v e n i f n > 0 .
3 . 6 E x a m p l e . C o n s i d e r t h e l e n g t h - 3 g a m e o n t h e m o d e l s
: = (Z
-
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2 4 / B a s i c M o d e l T h e o r y
p l a y s o f E ( A B
n ) a n d E ( B C
n ) r e s p e c t i v e l y , i n w h i c h t h e S y - m o v e s a r e
e x e c u t e d b y
a n d
, r e s p e c t i v e l y . S u p p o s e t h a t D i s t a r t s b y p l a y i n g a n
e l e m e n t a
f r o m A
. T o t h i s m o v e , S y a p p l i e s
, a s t h o u g h i t w e r e a r s t m o v e
i n t h e g a m e E ( A B
n ) . T h e a n s w e r b
p r o d u c e d b y
i s g i v e n a s a n i n p u t t o
a s t h o u g h i t w e r e a r s t m o v e i n E ( B C
n ) . F i n a l l y , t h e a n s w e r c
g i v e n
b y
i s r e t u r n e d b y S y a s h i s r e a l a n s w e r i n t h e g a m e E ( A C
n ) . A s i m i l a r
p r o c e d u r e i s c a r r i e d o u t b y S y w h e n D i m o v e s i n C
. ( I n t h a t c a s e , t h e m o v e
i s g i v e n t o ,
' s a n s w e r t o , a n d
' s a n s w e r i s t a k e n a s t h e r e a l a n s w e r b y
S y i nE ( A C
n ) . ) E v e n t u a l l y , t h e r e l a t i o n s b u i l t b y t h e w i n n i n g s t r a t e g i e s
a n d
m u s t b e l o c a l i s o m o r p h i s m s b e t w e e n
Aa n d
B, r e s p e c t i v e l y ,
Ba n d
C. T h e r e f o r e , t h e i r c o m p o s i t i o n w i l l b e a l o c a l i s o m o r p h i s m a s w e l l , a n d
h e n c e S y w i n s t h e p l a y f r o m E ( A C
n ) .
F o r t h e r e m a i n i n g p a r t s , s e e E x e r c i s e 3 1 . a
B y T h e o r e m 3 . 1 8 t h e f o l l o w i n g i m p l i e s P r o p o s i t i o n 2 . 5 .
3 . 9 P r o p o s i t i o n . A s s u m e t h a t A
h a sn
e l e m e n t s .
1 . I f S y( A B
n)
, t h e n t h e r e e x i s t s a n e m b e d d i n g o f A
i n t o B ,
2 . i f S y( A B
n + 1 ) , t h e n A
=
B .
P r o o f . S e e E x e r c i s e 3 2 . a
B e l o w , t h e g a m e i s p l a y e d o n l i n e a r o r d e r i n g s . T h e n , a r g u m e n t s c a n
o f t e n b e g i v e n b y i n d u c t i o n v i a t h e f o l l o w i n g S p l i t t i n g L e m m a .
T h i s u s e s t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n . I f
-
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E h r e n f e u c h t - F r a
s s
e G a m e s / 2 5
w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e r e m a i n i n g n
- m o v e g a m e E ( A B
n + 1 ) t h a t f o l l o w s
t h e p a i r o f m o v e s ( a b ) . I n d e e d , a m o v e i n a #
o r i n b #
w i l l b e a n s w e r e d b y
, w h e r e a s
w i l l t a k e c a r e o f m o v e s i n
a "o r
b " . a
F o r ( n o t a t i o n s o f ) o r d e r i n g s a n d t h e i r t y p e s , a n d s u m s a n d p r o d u c t s ,
s e e S e c t i o n B . 3 ( p a g e 1 1 0 ) .
3 . 1 1 E x a m p l e . F o r e v e r y n
w e h a v e t h a t S y(
n ) .
P r o o f . T h i s i s b y i n d u c t i o n w i t h r e s p e c t t o n
, u s i n g L e m m a 3 . 1 0 a n d t h e
f a c t t h a t f o r =
o r =
, e v e r y c h o i c e o f a n e l e m e n t i n
s p l i t s i t a s
= + 1 + . N o t e t h e p e c u l i a r i t y t h a t t h e w i n n i n g s t r a t e g y d o e s n o t
d e p e n d o n t h e l e n g t h o f t h e g a m e h e r e . a
P a r t 1 o f t h e f o l l o w i n g l e m m a s h o u l d b e c o m p a r e d t o E x e r c i s e 2 8 . 1
s i m i l a r l y , f o r p a r t 2 , c o m p a r e E x e r c i s e 2 8 . 3 . T h e s e r e s u l t s w i l l b e u s e d i n
S e c t i o n 3 . 3 .
3 . 1 2 L e m m a .
1 . k m 2
n
; 1 )S y
( k m n
) ,
2 .m 2
n
; 1 )S y
( ! + !
?
m n
) .
P r o o f . 1 . W e a r g u e b y i n d u c t i o n w i t h r e s p e c t t o n
, u s i n g L e m m a 3 . 1 0 .
B a s i s . n
= 0 .
T h i s c a s e i s t r i v i a l : t h e m o d e l s u n d e r c o n s i d e r a t i o n a r e p u r e l y r e l a t i o n a l ,
t h e r e f o r e , t h e e m p t y r e l a t i o n i s a l o c a l i s o m o r p h i s m .
I n d u c t i o n s t e p .
I n d u c t i o n h y p o t h e s i s : a s s u m e t h e i m p l i c a t i o n h o l d s f o r n .
N o w s u p p o s e t h a t k m 2
n + 1
;1 . I n o r d e r f o r S y
( k m n + 1 ) t o h o l d , i t
s u c e s ( b y L e m m a 3 . 1 0 ) t o s h o w t h a t f o r e v e r y e l e m e n t i
i n t h e u n i v e r s e
f 0 : : : k ; 1 go f t h e l i n e a r o r d e r i n g
kt h e r e e x i s t s a n e l e m e n t
ji n t h e
u n i v e r s e f 0 : : : m ; 1 g
o fm
s u c h t h a t S y( i #
j#
n ) e n S y( i "
j"
n ) , a n d
c o n v e r s e l y . T h e r e f o r e , a s s u m e t h a t 0
i < k . N o t e t h a t i # = i
a n d
i " = k ; i ;1 . D i s t i n g u i s h t h r e e c a s e s a s t o t h e l o c a t i o n o f
i : ic a n b e
l o c a t e d \ i n t h e m i d d l e " , \ a t t h e b e g i n n i n g " o r \ a t t h e e n d " o f k .
( i ) ( \ I n t h e m i d d l e . " ) i k; i ; 1 2
n
;1 .
C l a i m . T h e r e e x i s t s j
, 0
j < m s u c h t h a t j m; j ; 1 2
n
;1 .
P r o o f . m 2
n + 1
, a n d 2
n + 1
;1 = ( 2
n
;1 ) + 1 + ( 2
n
;1 ) .
a
T a k e s u c h a j
. B y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s w e h a v e t h a t S y( i #
j#
n ) a n d
S y( i "
j"
n ) .
( i i ) ( \ A t t h e b e g i n n i n g . " ) i
-
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2 6 / B a s i c M o d e l T h e o r y
( i i i ) ( \ A t t h e e n d . " ) k ; i ; 1
-
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E h r e n f e u c h t - F r a
s s
e G a m e s / 2 7
a n d t h a t t h e r e l a t i o n R
i s s y m m e t r i c . S h o w t h a t S
i s s y m m e t r i c a s
w e l l .
2 . G i v e a n e x a m p l e s h o w i n g t h a t i n t h e a b o v e \ s y m m e t r i c " c a n n o t b e
r e p l a c e d b y \ d e n s e " .
3 . H o w e v e r , t h e p h e n o m e n o n d o e s
h o l d f o r \ d e n s e " i f y o u a s s u m e t h a t
S y h a s a w i n n i n g s t r a t e g y f o r E
( ( A R) (
B S)
3 ) .
4 . S a m e q u e s t i o n s f o r \ t r a n s i t i v e " .
S o l u t i o n f o r 1 . S u p p o s e t h a t b
1
S b
2
. T o s h o w t h a t b
2
S b
1
h o l d s a s w e l l ,
l e t D i a n d S y p l a y t h e g a m e E
( ( A R) (
B S)
2 ) . L e t S y u s e h i s w i n n i n g
s t r a t e g y , w h e r e a s D i p l a y s b
1
a n db
2
( w i t h o u t p a y i n g a t t e n t i o n t o t h e m o v e
o f S y ) . S u p p o s e t h a t t h e w i n n i n g s t r a t e g y o f S y r e t u r n s t h e a n s w e r s a
1
a n da
2
f r o m A
. S i n c e t h e s t r a t e g y i s w i n n i n g , f ( a
1
b
1
) ( a
2
b
2
) gi s a l o c a l
i s o m o r p h i s m . B y t h e f a c t t h a t b
1
S b
2
, w e t h e r e f o r e a l s o h a v e t h a t a
1
R a
2
.
H o w e v e r , R
i s s y m m e t r i c . T h u s , a
2
R a
1
. B u t t h e n , b
2
S b
1
, a s w e l l .
3 0 S u p p o s e t h a t A
i s a l i n e a r o r d e r i n g , a n d t h a t S y h a s a w i n n i n g s t r a t e g y
f o r t h e g a m e E ( A B
3 ) . S h o w t h a t B
a l s o i s a l i n e a r o r d e r i n g .
S h o w t h a t i t d o e s n o t s u c e f o r t h i s t o a s s u m e t h a t S y( A B
2 ) .