Universitatea POLITEHNICA Bucuresti Facultatea de Energetica

Modelarea numerica a incintelor

Raport 1 al tezei: Contributii la modelarea numerica acladirilor

Conducator de Doctorat Prof. Dr. Ing. Adrian Badea DOCTORAND Ing. Tudor Baracu

Aprilie, 2013

Cuprins Cuprins 2 Introducere 3 1. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri 4 2. Parametrii fizici ai climatului unei cldiri 19 3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii 29 4. Teoria circuitelor termice 38 5. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii 45 6. Punti termice 47 Bibliografie 48

1

Introducere

Modelarea numerica cat si simularea energetica a cladirilor este un domeniu in deplina maturitate dar in acelasi timp in plina dezvoltare beneficiind de noile tehnici computerizate si de automatizare care se extind tot mai mult in chiar cele mai banale sectoare de activitate. Problema este ca prin aportul tehnicii computerizate exista riscul pentru majoritatea beneficiarilor sa uite sensul fenomenelor care stau la baza asigurarii pentru ei a unui climat placut in cladiri; in schimb pentru proiectantul sistemelor este un domeniu ce aduce noi provocari si noi cai de rezolvare optimizata a problemelor. Un al doilea risc care il poate da dezvoltarea tehnicii pentru oameni il poate reprezenta enclavizarea stiintei doar pentru anumite centre private de cercetare si de promovare produse specifice, care sub protectie de patent sau copyrights (care in ziua de azi mai mult blocheaza dezvoltarea stiintei decat sa o promoveze) pastreaza doar in interiorul lor in mod ezoteric anumite rezultate de cercetare in scopul fructificarii comerciale al lor. In acest sens, lucrarea de fata isi propune sa trateze bazele fundamentale modelarii numerice a fenomenelor de transfer energetic la nivelul cladirilor, in mod explicit, expunand atat modele matematice cat si modele descriptive. Optimizarea energiei in cladiri este facuta pentru oameni, deci se pleaca de la necesitatile lor legate de microclimat acceptabil, iar rezultatele cercetarii trebuie sa convearga catre aceste necesitati

2

1. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri

Se stie ca in utilizarea metodei diferentelor finite majoritatea expunerilor tind sa prezinte aceasta metoda considerand gridul uniform, fiind situatia cea mai simpla din punct de vedere matematic. Trebuie insa subliniat faptul ca modelele geometrice complexe deja cer si un aparat matematic mai complex, in consecinta un tip de grid mai elaborat, mai flexibil pe geometria corpului modelat.

Conditii ce trebuie sa le indeplineasca o analiza numerica pentru a fi considerate valida:

Consistenta discretizarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale trebuie sa fie facuta in sensul tinderii la zero a meshului (deci eroarea de truncare trebuie sa fie redusa cat mai mult)

Stabilitate erorile generate in rezolvarea ecuatiilor discretizate nu trebuie sa se amplifice Convergenta Solutia numerica trebuie sa fie in preajma solutiei exacte a ecuatiei diferentiale

sis a convearga spree a pe masura ce meshul tinde la zero Conservare - Legile de conservare aflate la baza trebuie sa fie respectate si la nivel de domeniu

discret (surse artificiale de valori sau gropi trebuie sa fie evitate de exemplu la analiza solidului rigid trebuie evitati concentratorii artificiali de tensiuni)

Marginire cantitati cum ar fi masa, densitatea, temperature trebuie sa apara strict positive in orice fel de rezultate

Repetabilitate modelul construit si analizat intr-un loc sa dea aceleasi rezultate cu un model construit cu aceleasi conditii initiale in alt loc

Sunt mai multe modalitati de calcul numeric al transferului de caldura, dar cele mai importante sunt: metoda diferentelor finite se porneste de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul ajungandu-se in

urma discretizarii si stabilirii conditiilor de margine la un sistem de ecuatii banal metoda elementului finit se porneste tot de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul la scara

intregului, ulterior in urma discretizarii forma ecuatiei inca se recunoaste la nivelul elementelor finite rezultate, fiecare element finit este reprezentat de o matrice, iar matricea globala a intregului studiat este insumarea tuturor matricelor elementelor finite.

Metoda volumelor finite Metoda spectrala

Metoda diferentelor finite in schimbul de caldura

In figura de mai sus este prezentat un element de volum tridimensional centrat in nodul (i,j,k). Laturile acestuia sunt , , . Variatia numarului de nod I, j, k in cazul nostru se face dupa directiile x, y, respectiv z.

i,j,k i+1,j,k

i,j,k

i,j,k+1 i,j+1,k

i-1,j,k

i,j-1,k

3

In elaborarea metodei diferentelor finite se pleaca de la desfasurarea functiei in serie Taylor, anume:

() = (0) + 11! ( 0) + 12!22 ( 0)2 + 13!33 ( 0)3 + 14!44 ( 0)4 + Sunt trei concepte care se aplica in diferentiere, in functie de conjunctura studiului care se urmeaza sa se faca, anume:

diferentierea inainte

= +1

+ () diferentierea centrala (din punct de vedere pur matematic cea mai riguroasa)

= +1 12 + (2)

diferentierea inapoi

= 1

+ ()

Dupa cum se vede, apare termenul () care se cheama eroare de truncare si apare datorita faptului ca in exprimarea cu diferente finite a unei functii sau diferentialei acesteia se face in limitele unei erori acceptate ca urmare a faptului ca termenii de grad superior ai seriei Taylor sunt neglijati. Se observa ca prin diferentierea centrala eroarea de truncare este cea mai mica dintre cele trei variante, anume porneste abia de la 2 , fiind (2). Oricare din cele trei metode folosite da rezultate asemanatoare, problema alegerii uneia dintre ele este doar de convenienta sau functie de anumite rigori ce le impune modelul studiat. Trebuie sa prezentam mai pe larg cum se pleaca de la seria Taylor pentru a se ajunge la formulele de diferentiere:

( + ) () + ()1! + ()2! 2( ) () ()1! + ()2! 2

() = ( + ) ( )2

() = ( + ) 2 () + ( )2

Se obtin astfel diferentele finite: Derivata partiala de ordin 1 centrala in nodul (i,j,k)

,,

= +1,, 1,,2 ; ,, = ,+1, ,1,2 ; ,, = ,,+1 ,,12 Derivarea de ordin 2 in mod central in nodul (i,j,k)

2,,2

= +1,, 2 ,, + 1,,2

2Ti,j,ky2 = ,+1, 2 ,, + Ti,j1,k2 2Ti,j,kz2 = ,,+1 2 ,, + Ti,j,k12

Ecuatia de transfer de caldura stationar de-a lungul sistemului discretizat va fi: Ti+1,j,k + 1,, + ,+1, + Ti,j1,k + ,,+1 + Ti,j,k1 2 Ti,j,k = 0 In forma unidimensionala: Ti+1 + 1 2 Ti Practic in forma matriceala aceasta ecuatie are forma (intr-un studiu unidimensional, ): [] [] = [] care dezvoltata inseamna:

4

11 12 13 0 0 0 0 00 21 22 23 0 0 0 00 0 31 32 33 0 0 0 0 0 0 0 2,4 2,3 2,2 0 00 0 0 0 0 1,3 1,2 1,1 00 0 0 0 0 ,2 ,1 ,

1

2

3

2

1

=

10

20

30

2,01,00

Ca sa fie rezolvabila aceasta ecuatie matriceala atunci numarul de linii trebuie sa fie egal cu numarul de coloane. Se observa ca pe fiecare linie sunt maxim 3 termeni, acest lucru rezultand din faptul ca in cadrul ecuatiei apar pentru fiecare directie termenii a 3 noduri succesive. In general aceasta relatie matriceala implica foarte multe grade de libertate si atunci rezolvarea acesteia pe cale analitica implica un consum mare de resurse de calcul cat si de timp de rezolvare, ca atare sunt preferate tehnicile de rezolvare prin iteratii, intre care este si metoda Gauss Seidel. Exactitatea solutiilor este cu atat mai mare cu cat numarul de noduri rezultate din discretizarea modelului este mai mare. O mare atentie in rezolvarea acestui sistem de ecuatii trebuie acordata conditiilor de margine. La regim nestationar derivata partiala (diferenta inainte) a temperaturii in raport cu timpul in nodul u este:

= (+1) ()

Relationari pentru regim nestationar si tridimensional ,,

= +1,, 1,,2 ; ,, = ,+1, ,1,2 ; ,, = ,,+1 ,,12

T,,u

= T,,u+1 T,,u2

2T,,u2

= T+1,,u 2 T,,u + T1,,u2

2T,,u2

= T,+1,u 2 T,,u + T,1,u2

2T,,u2

= T,,+1u 2 T,,u + T,,1u2

In acest moment avand stabilite toate diferentialele functiei T, poate fi scrisa complet ecuatia Fourier de transmitere a caldurii. Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

2

2+ 22

+ 22

= 0 Este aplicata in nodul quadridimensional (u, i, j, k)

,,

2T,,u2

+ 2T,,u2

+ 2T,,u2

= 0 Si are ca exprimare in diferente finite expresia:

,,+1 ,, +1,, + 1,, + ,+1, + i,j1,k + ,,+1 + i,j,k1 6 i,j,k = 0 in care = ()2 este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

5

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

1()2 + 1()2 + 1()2 12

Relatia (prin metoda diferentelor inainte) de regim tranzitoriu este: ,,+1 ,, +1,, + 1,, + ,+1, + i,j1,k + ,,+1 + i,j,k1 + (1 2 ) i,j,k =0 In forma combinata in care intra in considerare o pondere, care este o derivatie intre metodele diferentelor inainte si inapoi se poate utiliza relatia dupa schema lui Crank-Nicolson:

,,+1 ,, +1,,+1 + 1,,+1 + ,+1,+1 + i,j1,k+1 + ,,+1+1 + i,j,k1+1 6 i,j,k+1

(1 ) +1,, + 1,, + ,+1, + i,j1,k + ,,+1 + i,j,k1 6 i,j,k = 0 unde este un coeficient de pondere, 0 1. In regim nestationar vom avea o relatie matriceala de genul: [] [+1] = [] [] + [] Conditii de margine

Schimbul de caldura pe zona de frontiera este caracterizat de relatia:

= ( ) + 22

In diferente finite, relatia de mai sus capata forma:

+1

= ( ) + T+1u 2 Tu + T1u2

= ( )

Nodul s1 1 1

+ 1 1 = 0

Nodul 1

2 1

+ 1 1 = 0 Nodul n

1

+ = 0 Nodul sn

+ = 0

= + =

= ( ) + = ( ) + =

1 1 1 2 1

6

= ( ) + + 22 Metoda volumelor finite in transferul de caldura in cladiri

Din punct de vedere istoric metoda volumelor finite a fost introdusa in analiza numerica a dinamicii fluidelor in mod independent de catre Mc Donald (1971) si de catre MacCormac si Paully (1972) pentru solutia bidimensionala si dependenta de timp a ecuatiilor Euler si care a fost extinsa la nivel tri-dimensional de csatre Rizzi si Inouye (1973).

Datorita generalitatii ei, metoda volumelor finite poate aborda orice tip de mesh, structurat sau nestructurat.

In timp ce metoda diferentelor finite se bazeaza pe discretizarea ecuatiilor de conservare in forma diferentiala ce stau la baza unui fenomen, metoda volumelor finite se bazeaza pe discretizarea formei integrale a ecuatiilor de conservare.

Sa luam in considerare ecuatia de conservare de mai jos:

+ =

+

Pentru a discretiza aceasta ecuatie integrala, la fel ca si in metoda diferentelor finite va trebui sa discretizam spatiul fizic in retele discrete de celule.

Doua tipuri de meshuri vor corespunde tipurilor structurat si nestructurat de mesh.

In figura de mai sus avem reprezentate:

a) celula centrala in mesh structurat cu volum finit b) celula muchie in mesh structurat cu volum finit c) celula centrala in mesh nestructurat cu volum finit d) celula muchie in mesh nestructurat cu volum finit

Meshurile nestructurate sunt acelea formate din elemente triunghiulare (2D) sau quadrilatere (2D) cat si piramidale (3D) sau hexaedrice (3D). Ele nu pot fi identificate prin axe de coordonate (i,j), ci vor fi

7

numerotate individual intr-o anumita ordine fiecare element de volum. Ca urmare a acestui fapt, desi vor fi mai utile in studiul ecuatiilor, totusi folosirea de mesh nestructurat va cere mai multa memorie de computer si mai mai mult timp de procesare.

In timp ce meshurile nestructurate sunt recomandate pentru geometrii complexe, meshurile structurate in schimb sunt recomandate pentru geometrii simple. Studiul transmiterii caldurii prin metoda elementului finit La baza studiului cu element finit se afla la scara cea mai larga de folosire aparatul matematic elaborat de Boris Grigoryevich Galerkin (1871 1945) metoda Galerkin.

Se stie ca o diferenta semnificativa intre metoda elementelor finite si metoda diferentelor finite este faptul ca in cazul MEF forma ecuatiei matematice specifica fenomenului studiat ramane recognoscibila atat la nivelul elementului finit in urma discretizarii cat si la nivelul ansamblului.

Daca metoda diferentelor finite porneste de la o ecuatie diferentiala, in urma diferentierii pe noduri se obtine o relatie de recurenta generala in care se pierde semnificatia relatiei diferentiale, totul se reduce doar la rezolvarea unui sistem de ecuatii banal dupa ce au fost stabilite bineinteles si conditiile de frontiera.

Un domeniu de studiu D este discretizat in n elemente finite (subdomenii). Ecuatia generala ce sta la baza intregului domeniu studiat va fi folosita ca aplicare si la nivelul fiecarui element finit parte a intregului. Fiecare element finit va avea o ecuatie matriceala aferenta rezultata din ecuatia diferentiala ce sta la baza fenomenului studiat. Ulterior intregul domeniu D va avea o matrice globala rezultata din asamblarea matricelor fiecarui element finit. Astfel, de la ecuatia adaptata generalizat la nivelul fiecarui element finit obtinandu-se o ecuatie matriceala pentru fiecare, se ajunge la o ecuatie matriceala globala a intregului domeniu D. De exemplu, pentru un domeniu D unidimensional, in urma discretizarii, fiecare element finit va avea o ecuatie in care va interveni o functie N de interpolare intre nodurile elementului finit.

() = () + () In care () = + este functie liniara de x. De asemenea intervine o functie de pondere . Ecuatia unidimensionala a caldurii fara surse de caldura va avea forma:

2

2+ = 0

Echivalent in relatie matriceala se obtine:

=

8

Matriceala elementara are forma:

111 12

1

211 22

1 12 = 11

21

11 12

21 22

= 1 11 1 Ecuatia matriceala globala va capata forma:

Evident, fiecare matrice a elementului finit corespunzator va fi pozitionata in matricea globala corespunzator locatiei legaturilor acestuia de ansamblu (de exemplu elementul 2 are nodurile cu temperaturile 2 si 3 prin care se leaga de ansamblu, iar zona ramasa goala din jurul matricei elementului finit in cadrul matricei globale este zona fara legaturi, deci termenii sunt nuli. Matricea emulata a matricei elementului 2 la dimensiunea matricei globale este:

111 12

1 0 0 0 0211 22

1 + 112 122 0 0 00 212 222 0 0 0 0 0 0 0 0 111 121 00 0 0 211 221 + 11 120 0 0 0 21 22

1

2

3

2

1

=

1

2

3

2

1

9

0 0 0 0 0 00 112 122 0 0 00 212 222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Ecuatia matriceala elementara in forma prezentata mai sus este rezultatul prelucrarii ecuatiei caldurii prin utilizarea unor functii de interpolare. () = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 + 2

1 = 1 =

=

+ = () + () = + = ( )

unde = ( ) este functie a formei in elementul finit in care + = 1

=

+ = 1 1

Relatia matriceala este: [] [] = [] In elemente bidimensionale

= + + = ( )

+ + = 1 = 12

1

unde ( ) = ( )+1( )+2 ( )+2( )+1 ( ) = ( )+1 ( ) ( ) = ( )+1 ( )

=

+ + = 2 + 2 + 2

=

+ + = 2 + 2 + 2

j

k

i

y

x

10

= 12 Criterii de stabilitate a solutiilor numerice

Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.

In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.

Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care sau invers.

Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.

Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.

Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.

Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative. Pornim de la forma Cranck-Nickolson:

+1 = +1 + (1 2 ) + 1

in care = ()2 este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

Substituind component generala Fourier = in relatia de mai sus, obtinem: +1 = (+1) + (1 2 ) + (1)

Se obtine: +1

= (1 2 ) + + = 1 2 + 2

= 1 4 2 2

Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier. Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:

+1

1

Deci in consecinta

1

3 2

11

1 4 2 2 1 adica |1 4 | 1 sau 1 4 1 daca 1 4 > 0

1 + 4 1 daca 1 4 0

deci 0

1

2 sau 0 12 rezultand astfel ()2 12

Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:

()22

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

2

2+ 22

+ 22

= 0 ,,

2T,,u2

+ 2T,,u2

+ 2T,,u2

= 0 are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia

,,+1 ,, +1,, + 1,, + ,+1, + i,j1,k + ,,+1 + i,j,k1 6 i,j,k = 0 In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

1()2 + 1()2 + 1()2 12

Metoda spectrala

In metoda spectrala se face aproximarea functiei pe baza unei serii truncate (finite) a unor functii ortogonale.

De exemplu seriile Fourier sunt folosite pentru probleme ce implica periodicitate. Pentru problem ce implica valori de granite polinoamele Cebyshev sau Legendre sunt folosite ca functii de baza.

Aproximarea poate fi scrisa in forma de mai jos:

() = ()=0

In care sunt valori ce vor fi determinate. Consideram conditiile de granita:

= pentru < < () = 0 () = 0

Metoda Galerkin in cazul de fata consta in anularea reziduului = in sens de formulare slaba: (,) = = 0 pentru = 0

Unde w este functia de pondere asociata cu ortogonalitatea functiilor de baza, iar valorile satisfac conditiile de granite. Aceste asocieri sunt valide doar prin serii Fourier unde conditiile de granite sunt inlocuite de periodicitate, iar pe de alta parte pentru rezolvarea problemelor de granite nu se pot

12

folosi polinoame Cebyshev sau Legendre decat daca metoda Galerkin este modificata de la forma ei in metoda tau.

Metoda tau consta in considerarea doar a primelor n-1 ecuatii ale sistemului (,) care este deci pentru i=0n-2 si adaugarea conditiilor de granita:

() = 0

() = 0

Metoda colocatiei este de asemenea o metoda spectral ace consta in anularea reziduului pentru un set de puncte ], [. Atunci conditiile de granite sunt adaugate:

= 0, = 0 1() = 0 () = 0

Punctele de colocare xj sunt in general extremele polinoamelor Cebyshev si Legendre de grad n. Aceasta alegere este dictate in principal de convergenta aproximarii. De fapt metoda colocatiei se bazeaza pe cautarea solutiei problemei ca polinom de gradul n care satisfice exact ecuatia diferentiala in punctele date xj unde aceste polinoame iau valorile . Astfel expandarea seriei truncate poate fi reinterpretata ca un polinom de interpolare Lagrange:

() = ()()=0

unde = vor fi usor determinate. Prin diferentierea lui () vom scrie derivatele in orice punct al termenilor la toate punctele de colocare. Obtinand un system de ecuatii pentru determinarea valorilor () mai degraba decat a . Aceasta strategie pentru metoda colocatiei este larg folosita in aplicatii.

Principalul interes in metoda spectrala este gradul ei inalt de acuratete. Se poate arata ca eroarea dintre functia data u(x) si aproximanta ei () este:

Unde este numarul de derivate continui ale u(x).

Este interesant de observat ca pentru un numar de puncte sufficient de mare gradul de precizie este reglementat de regularitatea solutiei in sine in special, deci pentru o funcie infinit derivabil eroare este mai mic orice putere de 1/n (deci precizie exponentiala). Acest lucru este complet diferit fata de metoda diferentelor finite sau metoda elementului finit in care daca p este numarul de noduri al schemei de mesh eroarea este de ordinul 1/np si care este un numar finit.

13

Criterii de stabilitate a solutiilor numerice

Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.

In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.

Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care sau invers.

Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.

Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.

Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.

Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative.

Pornim de la forma Cranck-Nickolson:

+1 = +1 + (1 2 ) + 1

in care = ()2 este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

Substituind component generala Fourier = in relatia de mai sus, obtinem: +1 = (+1) + (1 2 ) + (1)

Se obtine:

+1

= (1 2 ) + +

= 1 2 + 2

= 1 4 2 2

1

3 2

14

Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier.

Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:

+1

1

Deci in consecinta

1 4 2 2 1 adica |1 4 | 1 sau 1 4 1 daca 1 4 > 0

1 + 4 1 daca 1 4 0

deci 0

1

2 sau 0 12 rezultand astfel ()2 12

Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:

()22

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

2

2+ 22

+ 22

= 0 ,,

2T,,u2

+ 2T,,u2

+ 2T,,u2

= 0 are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia

,,+1 ,, +1,, + 1,, + ,+1, + i,j1,k + ,,+1 + i,j,k1 6 i,j,k = 0

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

1()2 + 1()2 + 1()2 12

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Evident, in urma discretizarii domeniului analizat, vor rezulta cu atat mai multemecuatii de rezolvat cu cat numarul de noduri este mai mare, deci cu cat discretizarea este mai fina.

Problema se pune de a rezolva foarte repede aceste sisteme de ecuatii care necesita resurse computationale destul de ridicate. In acest sens sunt de evidentiat cateva metode.

15

Aceste metode sunt clasificate astfel:

metode exacte o metoda Cramer din puct de vedere strict mathematic este ideala intrucat rezultatele sunt

exacte, nu exista erori de metoda, doar erori de computare numerica primara. Dezavantaj: necesita resurse de calcul uriase, mai ales ca este vorba de mii de ecuatii de rezolvat intr-un system.

o Metoda de eliminare Gauss este de asemenea o metoda exacta care de asemenea nu da erori de metoda ci doar de computatie, se bazeaza pe o serie de pasi succesivi de rezolvare a sistemului de ecuatii. Dezavantaj: din punct de vedere computational este mai rapida decat metoda Cramer pentru sisteme de multe ecuatii intrucat prin faptul ca are niste pasi succesivi se apropie de ideologia computatiei, anume iteratia. Totusi nu e satisfacatoare pe deplin in privinta resurselor computationale cerute si a timpului efectiv de rezolvare a sistemelor de ecuatii. Aceasta metoda are si o derivata a ei cum ar fi metoda Gauss cu strategie de pivotare, dar surplusul de rapiditate care il ofera nu este mare

o Metoda Choleski este bazata pe descompunerea matricei coeficientilor sistemului de ecuatii in doua matrici triunghiulare respective triunghiular superioara si triunghiular inferioara

Metode iterative o Metoda Jacobi se numeste si metoda deplasarilor simultane pentru ca initial se

porneste de la un set de valori initiale date arbitrar necunoscutelor si la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia precedenta. Ciclul de iteratii inceteaza cand este atinsa o relatie de convergenta. Metoda este satisfacator de rapida, dar are in acelasi timp dezavantajul ca nu se poate aprecia timpul de rezolvare al sistemului, anume cand va fi atinsa relatia de convergenta.

Metoda Gauss-Seidel se bazeaza la fel ca si metoda Jaciobi pe pornirea de la un set de valori initiale arbitrare ale necunoscutelor, si la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia precedent la care se adauga un termen de relaxare cuprins intre 1 si 2 care va relaxa la zero reziduul ecuatiei din iteratia curenta, si are rolul de a accelera gasirea solutiei. Este o metoda iterative mai rapida decat Jacobi. Are si aceasta metoda un dezavantaj in sensul ca nu se poate stabili initial o valoare optima pentru termenul de relaxare incat numarul de iteratii sa fie minim. Aceasta metoda este cea mai larg folosita in rezolvarea prin iteratii a sistemelor de ecuatii. Tehnici de grid (mesh)

Trebuie evidentiat de asemenea ideea folosirii unui grid neuniform, in care doua ochiuri vecine sau din puncte diferite ale gridului sa nu aiba acelasi pas de tranzitie intre noduri.

Oricum, indiferent de situatie, este recomandat ca fiecare element din grid sa fie cat mai ortogonal posibil si de asemenea raporturile relative intre dimensiunile laturilor sa fie cat mai apropiate de 1.

Constrangerile care pot impune ca gridul sa fie neuniform pot fi de doua feluri, anume:

constrangeri geometrice in care datorita unor forme geometrice foarte complicate (colturi, suprafete neliniare, discontinuitati)

constrangeri ale distributiei fenomenului in sensul ca este recomandat ca gridul prin forma lui sa cloneze aproximativ forma campurilor de distributie a marimilor studiate. Acest lucru este recomandat pentru a obtine rezultate de mare acuratete pentru fenomenul studiat.

16

In exemplul prezentat mai sus de grid neuniform, profilul de viteze se suprapune cu gridul in sensul ca in zona stratului limita in care viteza are scadere accentuata pe masura apropierii de perete, in consecinta si gridul este mai dens.

Avem formula lui Prandtl pentru grosimea stratului limita laminar:

~

=

Este de asemenea stiut ca raportul intre gradientii vitezelor pe cele doua directii este de asemenea functie de Re:

/

= ~ Astfel pentru a echilibra variatiile intre noduri pe ambele directii, avand consecinta unei acurateti mai bune a rezultatelor, gridul se va construi deci in zona stratului limita la nivelul fiecarei celule cu un raport / luat dupa relatia:

~ 1

In figura de mai sus este prezentat un exemplu unidimensional de variatie a dimensiunii de baza a gridului.

Atunci cand trebuie sa fie modelata o granita de geometrie neliniara, aceasta va fi aproximata cu un model de scara, treapta cu treapta meshatura suprapunandu-se prin nodurile ei pe curba ce trebuie urmata.

17

Cand tot modelul este imersat intr-o meshatura carteziana, atunci la nivel de granita este elaborata o metoda numerica de partitionare a marimii pe granita pe partea interioara si pe partea exterioara a acesteia.

In cazul meshaturilor carteziene (uniforme) are loc intersectie intre laturile celulelor de mesh cu granita domeniului studiat, rezultand forme arbitrare de celule de mesh. Aceste celule se vor numi celule de taietura (cut-cells). Acest lucru va cere aplicarea metodei volumului finit de discretizare pe celulele de taietura.

Etape ale analizei numerice

Fixarea problemei adunare cat mai multe informatii despre curgere Modelul matematic stabilire ecuatii cu derivate partiale, conditii initiale, de granita si de limita Generare model noduri, cellule, instanturi de timp Discretizare spatiala Discretizare a timpului relevarea modelului algebraic linear At=b Rezolvantul iterativ valori ale functiilor discrete Utilizare soft de mecanica fluidelor computationala implementarea tuturor conditiilor

modelului de cercetat Rularea simularii relevare parametrii, criteria de convergenta Postprocesare vizualizare si analiza date Verificarea validare model si ajustari

18

2. Parametrii fizici ai climatului unei cldiri In aceasta sectiune se vor trata modalitatile de cercetare numerica privind influenta factorilor fizici de mediu. Factorii care determina confortul termic sunt urmatorii:

Temperatura aerului Umiditatea aerului Nivelul de caldura radianta propagata prin incinta Viteza de miscare a curentilor de aer

Mai departe vor fi dezbatute in special problemele legate de circulatia aerului incluzand temperatura si viteza de miscare Temperatura aerului In cadrul comfortului ambiental participa temperatura aerului aflat in jurul corpului si ea influenteaza fluxul de cadura transmis prin convectie si conductie intre corp si mediu, fluxul radiativ fiind exclus considerandu-se ca persoana sta departe de sursele de radiatie termica. Variatiile de temperatura destul de fine sunt usor sesizate de corpul uman care se va manifesta prin reactii fiziologice involuntare in primele momente (tremuraturi, senzatia de rece, incretire piele). n perioada de iarn, cnd pentru obinerea unei anumite valori a temperaturii aerului interior se folosesc instalaiile de nclzire, apar o serie de fenomene asociate transferului de cldur (apare o convecie natural) care fac ca repartiia temperaturii aerului interior pe verticala incintei s nu mai fie uniform. Distribuia temperaturii aerului interior pe verticala incintei depinde esenial de tipul instalaiilor de nclzire utilizate vezi figura. Variaia temperaturii pe verticala incintei: a. variatia ideala; b. nclzirea cu aer cald; c. nclzirea cu sobe de teracot; d. nclzirea central; e. nclzirea prin plafon; f. nclzirea prin pardoseal. La realizarea confortului termic o importana deosebit o are i distribuia temperaturii n planul orizontal incintei vezi figura. Dac incinta are zone difer cu mai mult de 2 3 grd., trecerea de la zonele calde, la cele mai puin calde, devine suprtoare pentru om, datorit necesitii unui timp de aclimatizare.

a b16 20 24 28 ti[C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

c. d e f.

23

22

21

2019 20

21

2223

25

a. b. 19

Distribuia temperaturii aerului interior ntr-o incint: a. cazul nclzirii centrale; b. cazul nclzirii prin plafon.

Se observ c, n centrul ncperilor, repartiiile temperaturilor aerului sunt foarte apropiate, indiferent

de tipul de nclzire, iar lng perei (interiori sau exteriori) repartiiile difer foarte mult. Plaja de confort a temperaturilor de confort este ntre 20 si 24C, n funcie de activitatea depus n acea camera. Cu ct efortul depus de ocupani este mai mare, cu att va scdea valoarea temperaturii de confort (pentru starea de repaus temperatura de confort este n jurul valorii de 22-23C, pentru starea de activitate uoar, munca de birou, valoarea acesteia este de aproximativ 21C, pentru munca fizic grea temperatura de confort este de cca 17-18C, iar n cazurile de munc fizic grea valoarea poate fi chiar de 10C). Temperatura exterioara

O variatie importanta a temperaturii exterioare este variatia diurnal de-a lungul celor 24 de ore.In cursul zilei temperature variaza sinusoidal de o parte si de alta a unei temperature medii.

Variatia zilnica a temperaturii exterioare: 1 zi de iarn; 2 zi de primavera/toamna; 3 zi de vara Daca temperatura exterioara variaza sinusoidal, aceasta variatie va ajunge in interior cu un anumit decalaj in timp si cu amplitudinea redusa datorita inertiei termice si a acumularilor de caldura din pereti.

Pentru a mentine temperatura din interior constanta intrucat trebuie indeplinita conditia de confort termic, sistemul de incalzire va fi determinat sa reactioneze de asemenea sinusoidal fata de variatia sesizata, cu un decalaj de timp si o amplitudine specifice.

Variaiile zilnice corelate ale temperaturii exterioare, ale necesarului de cldur

+12 +16 +20 +24

+32

te

0 4 8 12 16 20 [h]

-12 -8 -4 0

+4 +8

+28

-16

2

3

1

te

[C]

ti

qi

0

0

0 6 12 18 24

[h]

[h]

[h]

1

2

3

4

2 Ate

2 Ati

20

pentru nclzire i ale temperaturii interioare: 1 variaia zilnic a temperaturii exterioare in jurul unei valori medii; 2 variaia zilnic a fluxului termic din sistemul de nclzire in jurul valorii medii fara efectul ineriei termice a cldirii; 3 variaia zilnic a fluxului termic din sistemul de nclzire in jurul aceleiasi valori medii pentru nclzire plus efectul ineriei termice a cldirii; 4 variaia zilnic a temperaturii interioare in jurul unei valori medii si intr-o

banda admisibila de confort. Daca se neglijeaza efectul ineriei termice a cldirii, variaia zilnic a necesarului de cldur pentru nclzire este practic invers variaiei zilnice a temperaturii exterioare. Trebuie remarcat ca daca variatia temperaturii exterioare este permanenta, sistemul de incalzire se va adapta acestei variatii permanent incercand sa o anuleze in virtutea mentinerii in cladire a unei temperaturi constante. Dar intotdeauna va fi un decalaj in timp intre cele doua (sistemul de incalzire reactioneaza cu o anumita intarziere data atat de pragul de sensibilitate al senzorilor, cat si unul dat de reglarea regimurilor sale interne de functionare) cat si o diferenta de amplitudine. Cel mult cele doua temperaturi (exterioara si interioara) pot varia cu aceeasi pulsatie. Prin urmare echilibrul nu v-a fi atins in aceste conditii niciodata, in schimb putem vorbi de o banda de echilibru. Astfel, la o variatie sinusoidala a temperaturii din exterior, in urma raspunsului sistemului de incalzire va apare efectul ca temperatura interioara va varia numai intr-o banda limitata de valori care este de dorit sa fie in interiorul zonei de confort termic. Se poate face comparatia intre o incinta neincalzita si una incalzita, ca in figurile de mai jos.

Variaiile temperaturii interioare ntr-o ncpere: a. ncpere nenclzit; b. ncpere nclzit (flux de cldur constant).

Se observa ca incinta neincalzita are un comportament termic docil variatiilor din exterior, temperatura medie de echilibrul fiind apropiata celei din exterior. In cazul in care in incinta se asigura o incalzire in flux termic constant, temperatura medie de echilibru din aceasta incepe sa difere semnificativ de cea din exterior. Ca urmare:

diferenele dintre temperaturile interioare i cele exterioare devin maxime n cazul ncperilor nclzite. Dac n cazul ncperilor nenclzite cele dou temperaturi oscileaz zilnic practic n jurul aceleai valori medii, n cazul ncperilor nclzite cele dou temperaturi oscileaz zilnic n jurul unor valori medii foarte diferite;

ntre variaiile temperaturilor interioare i celor exterioare apar diferene att ca amplitudine, ct i ca alur existnd decalaje ntre momentele atingerii extreme

In figura de mai jos se prezinta raspunsul unei constructii experimentale neincalzite la schimbarile de temperatura ale mediului exterior de-a lungul unui an.

Comportmentul termic al unei constructii experimentale neincalzite - Universitatea Tohoku (Japonia)

0 12 24

Ti, Te

[C]

2Ati 2Ate

Te

Ti

a.

Ti, Te

[C]

0 12 24

2Ati

2Ate

ti

Te

b.

21

Din figura de mai sus se observa ca oscilatiile externe de temperatura sunt urmate de oscilatii de temperatura la o amplitudine mai redusa a cladirii. De asemenea se observa si un anumit defazaj dat de inertia termica a cladirii. Anvelopa oscilatiilor externe se intersecteaza cu cea a oscilatiilor de temperatura interne in perioadele de tranzitie din an (primavara si toamna), practic in acele puncte temperatura exterioara si cea din cladire sunt in unda. Se mai constata de asemenea ca la inceputul sezonului cald, dupa o acumulare a caldurii in peretii cladirii, la un moment dat temperatura medie de oscilatie a cladirii urca brusc. Aceasta panta de crestere a temperaturii medii de oscilatie la inceputul sezonului cald este mai abrupta decat panta de descrestere de la inceputul sezonului rece. Se pare ca o influenta o are aici si temperatura solului. Cand in cladire este prezent un sistem de incalzire activ, comportamentul termic al acesteia se modifica semnificativ. Practic temperatura medie din aceasta oscileaza de-a lungul intregului an in jurul unei temperaturi medii de 20 0C.

Un alt exemplu este prezentat in figura de mai jos, in care cele sunt prezentate in paralel cele 2 situatii de incalzire a cladirii:

Cladirea cu sistem de incalzire fara termoreglare activa (la flux de caldura constant) Cladirea cu sistem de incalzire cu termoreglare activa

Se observa ca in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa varfurile de oscilatie ale temperaturii din exterior tind sa fie urmate de temperatura interna din cladire. In cazul sistemului de incalzire cu termoreglare activa varfurile de oscilatie tind sa fie taiate. Datorita acelor variatii mari ale temperaturii din interiorul cladirii in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa consecinta este un consum de combustibil mai mare, respectiv un confort termic mai scazut. Inertia termica a cladirii

Pentru caracterizarea unui element de construcie sau a unei cldiri din punctul de vedere al ineriei termice se folosete o mrime adimensional denumit indice de inerie termic D.

Pentru un element de construcie omogen indicele de inerie termic D este:

22

24sRD = unde R este rezistena termic a elementului de construcie, n m2K/W; iar s24 coeficientul de asimilare termic a elementului de construcie respectiv pentru oscilaii ale fluxului termic cu perioade de 24 ore, n W/m2K. Coeficientul de asimilare termic a unui element de construcie omogen se determin cu relaia:

pcs

=

24

2

n care 24 este perioada oscilatiei diurne de temperatura, n s; cp cldura specific a materialului de construcie, n J/kg.K; coeficientul de conductivitate termic, n W/mK; iar densitatea materialului, n kg/m3. Pentru un element de construcie neomogen format din mai multe straturi, indicele de inerie termic D este:

=

=n

1iiDD

unde Di este indicele de inerie termic a stratului omogen i. In cazul un element de construcie neomogen format din mai multe zone distincte , indicele de inerie termic D se determin cu relaia:

=

=

=

n

1ii

n

1iii

S

DSD

n care Di este indicele de inerie termic a zonei distincte i omogene sau neomogene; iar Si suprafaa zonei distincte i. Se recomand urmtoarele valori limit ale necesare pentru realizarea confortului termic:

pentru nclzirea cu sobe (nclzire intermitent): D 2,5 pentru nclzirea central (centrale termice, cogenerare): 1.5 D 2.0

Stabilitatea termica a elementelor de construcie este influentata de proprietile termofizice ale materialelor de constructic i de alcatuirea lor. Stabilitatea termica a anvelopei cladirii este descrisa de parametrii:

Coeficientul de amortizare a amplitudinii oscilatiei temperaturii aerului exterior ca raport intre amplitudinea de oscilatie a temperaturii de calcul a aerului exterior si amplitudinea de oscilatie a temperaturii suprafetei interioare a anvelopei cladirii

Defazarea oscilatiilor temperaturilor mediului inconjurator reprezinta timpul pe care maximul unui front de unda de temperatura il parcurge de la o fata a peretelui la cealalta.

Amortizarea undei de temperatura din exterior Amortizarea undei de temperatura arata in ce raport scade amplitudinea de variatie temperatura exterioara cand tranziteaza peretele si ajunge atenuata la suprafata interioara a acestuia. Coeficientul de amortizare al undei de temperatura este

=

unde Ae i Ai sunt amplitudinile de oscilaie ale temperaturii exterioare, respectiv interioare Cldirile de locuit sunt caracterizate de coefiecieni de amorizare cu valori de circa 15 30. Avnd n vedere c amplitudinea oscilaiilor temperaturii exterioare este n cursul iernii in medie de 6 8 grd., oscilaiile temperaturii interioare vor fi de aproximativ:

Cti0)53,0...20,0(

)30...15()8...6(

==

respectnd condiia impus de realizarea confortului termic care prevede c valoarea acestei amplitudini nu trebuie sa depeasc 1 grad.

23

Defazarea undei de temperatura din exterior Unda de temperatura din exterior cand strabate peretele pana la suprafata interioara a acestuia suporta si o defazare. Defazajul este de asemenea o consecinta a ineriei termice si are o valoare de 4 12 ore. O formula care aproximeaza acest defazaj al undei de temperatura la trecere printr-un perete este:

= 11540.5 atan + 2 atan + 2 unde este grosimea peretelui, D este inersia termica, iar ,coeficientii de convectie pe suprafata interioara si exterioara. Rezumand, la trecerea prin perete undele termice sufera un proces de atenuare ca amplitudine si un proces de defazare cu intarziere a oscilatiei, lungimea de unda pastrandu-se. In cazul incintelor, coeficientul de amortizate a undei de temperatur i defazajul se pot determina prin calculul transferului termic n regim nestaionar folosind metode numerice (diferene sau elemente finite). Practic orice variatie externa de temperatura ce cauta sa influenteze temperatura din interior suporta urmatoarele transformari:

1. Este atenuata in amplitudine (deci aplatizata) si decalata in timp de inertia termica a peretilor externi ai cladirii

2. Este sesizata de senzorii sistemului de incalzire care va ridica temperatura aerului din interior suplimentar fata de momentul initial pentru a preintampina aceasta variatie

3. Sistemul de incalzire dupa ce ridica temperatura la un anumit prag se opreste, surplusul de temperatura transmis in interior va urma sa fie cedat catre exterior datorita variatiei sesizate de acolo

4. Va fi cedata caldura catre exterior pana cand sistemul sesizeaza ca temperatura din interior scade sub cea stabilita atingand pragul de toleranta

5. Sistemul de incalzire se va declansa din nou Astfel fluxul de caldura pentru nclzire trebuie livrat la o valoare medie zilnic, corespunztoare temperaturii exterioare medii zilnice, fr ca abaterile temperaturii interioare de la condiiile de confort termic s depeasc limitele admisibile. Daca sistemul de incalzire nu functioneaza in virtutea acestor principii in acest caz nu este garantat nici confortul termic, si in plus sistemul poate duce la consumuri de energie nejustificate pentru incalzire. Viteza aer din interior Oamenii sunt sensibili in general la curentii de aer din ambient. Astfel, este de dorit sa existe o circulatie dar slaba a aerului in incinte. Daca aerul este prea stagnant in conditiile in care temperatura este destul de ridicata, apare senzatia de inabusire. Daca aerul circula cu viteza mare apare mai usor senzatia de frig deoarece fluxul convectiv corp-ambient creste. Activitatile fizice din cladiri au influenta in viteza generala a aerului din incinte. Daca viteza aerului in incinta distribuita si foarte eterogen, existand curenti de aer predominanti si care sunt sesizabili acest lucru poate genera nu doar disconfort termic, ba chiar si inbolnavire (raceli, dureri de cap, etc). Oamenii au sensibilitati destul de diferite la curentii de aer si de multe ori intr-un spatiu comun apar multe opinii divergente si la acest lucru (situatii de usi deschise, ferestre deschise, porniri ale aparatelor de ventilatie si aer conditionat, etc)

24

Gradientul de deplasare al aerului in incinta la diverse ore intr-o zi obisnuita de iarna

Sectiunea de masura din incinta

Se considera ca o viteza de 0.15 0.25 m/s a aerului este optima pentru confortul termic. Viteza vantului de calcul Viteza vantului de calcul vas ta la baza stabilirii coeficientului de convective a suprafetei exterioare. Este stabilit prin prelucrarea statistic a vitezelor vntului, nregistrate pe perioade lungi de timp (20 30 de ani), simultane cu temperaturile exterioare cele mai coborte. De regula temperaturile exterioare cele mai sczute nu corespund cu vitezele cele mai ridicate ale vntului. Este adevarat de asemenea ca la o temperatura exterioara scazuta vantul detemina o amplificare a perceptiei de frig datorita intensificarii convectiei. Pe baze statistice, referitoare la concomitena vnt - temperatur, s-au adoptat valori de calcul ale vitezei vntului, care determin 4 zone eoliene pe teritoriul rii ( SR 1907-1). Zonarea climatic fcut dup temperatura exterioar de calcul nu este identic cu zonarea eolian. Valorile vitezelor de calcul ale vntului, n m/s, valabile n Romnia

Zona eolian Amplasamentul cldirii n localiti n afara localitii

I 8,0 10,0 II 5,0 7,0 III 4,5 6,0 IV 4,0 4,0

25

Radiatia solara Energia radiaiilor provine din energia intern a corpurilor i difer de la o radiaie la alta. Toate

corpurile emit i absorb radiaii n proporii diferite i pe lungimi de und caracteristice, sau pe toat gama lungimilor de und. Radiaia difer de conducie i convective in principal prin urmtoarele:

nu necesit prezena substanei ca mediu de propagare puterea termic transferat prin radiaie este proporional cu puterea a patra a temperaturilor

corpurilor implicate n schimbul termic. Radiaia termic reprezint acea parte a radiaiei electromagnetice care transfer cldur. Aceasta este definit de intervalul lungimilor de und cuprins ntre 10-7 m i 10-4 m, adic domeniul infrarou i parial cel ultraviolet, inclusiv spectrul ngust al radiaiei vizibile, respectiv: (3,9.10-7......7,8. 10-7)

Spectrul radiatiei solare este divers, dar cea mai mare parte a energiei acesteia este concentrate in

jurul lungimii de unda de 0.5 m. De exemplu intregul spectru cuprinde de la raze X (100 m) dar 99.9% din energia totala este continuta inauntru intervalului 0.22 10.94 m.

Spectrul radiatiei solare

Duratele medii de strlucire a soarelui, determinate prin prelucrarea statistic a datelor meteorologice, difer n funcie de localitate i de luna anului. n tabelul urmtor se dau sumele medii ale duratelor de strlucire a soarelui, n ore pe lun, pentru unele localiti din Romnia. Durate medii de strlucire a soarelui, n ore/lun

Localitatea Ianuarie

Mai

Iulie

Septembrie

Galai 76

250

307

230

Constana

78

254

330

243

Craiova 64

252

310

208

Cluj 83

219

236

201

Radiaia solar global [W/m2] se compune din:

26

Radiaie directa depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia directa in unde scurte este cea mai importanta componenta a radiatiei globale si are aportul cel mai mare in bilantul energetic

Radiaie difuz (datorat aerului atmosferic i norilor) nu depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia difuza este imprastiata din razele solare de catre aer si aerosoli (particule de praf, resturi de vegetatie, etc)

Radiatia reflectata este in principal datorita neregularitatilor din teren si are un aport mai mare in special in zonele muntoase

Pe cer senin radiaia direct este maxim i cea difuz minim, iar pe cer nnorat, invers.

Radiaia solar global este diferit n funcie de ora zilei. La calculul radiatiei solare asupra unei cldiri trebuie avute n vedere particularitile amplasamentului referitoare la vecinti i la efectele umbririi cauzate de vegetaie i alte cldiri.

Tipurile de radiatie solara: a) directa; b) difuza; c) reflectata

In general graficul de radiatie solara de-a lungul unui an este dupa caracteristica prezentata mai jos:

Radiatia solara (I) este rata de la care energia radiant este incidenta pe unitatea de suprafata. Daca cerul este senin se poate calcula de asemenea o component difuza a radiatiei care este si izotropica. In conditii de cer noros sau partial noros de asemenea exista o radiatie difuza dar care de data aceasta nu mai este izotropica. Daca intensitatea de radiatie soseste pe suprafata de pamant dintro directive data, atunci cantitatea de radiatie incident pe unitatea de suprafata de-a lungul directiei zenith este:

= 27

unde este unghiul azimuthal intre normal la suprafata si directia razei.

O formula de calcul a intensitatii radiatiei solare pentru o anumita data din an, este prezentata mai jos:

= 0 1 + 0.033 360 365 unde este numarul de ordine al zilei din an.

Orbita Pamantului in jurul Soarelui

Unghiurile specifice radiatiei solare

28

3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii Calculul termotehnic al componentelor cladirii are in principal urmatoarele ratiuni:

Asigurarea confortului interior al cladirii Reducerea consumului de energie Evitarea aparitiei condensului fie pe suprafetele elementelor de constructive fie in interiorul

acestora Transferul de caldura in interiorul unui perete din doua panouri radiante

Q = 100 (4 4) = 1004 ( + )(2 + 2) ( ) = ( )Rr

Prin urmare rezistenta termica in cazul radiatiei este: Rr = 0.1 103 ( + )(2 + 2) In cazul convectiei rezistenta termica este: Rconv = 1 Aplicand regulile circuitelor termice se obtine: Rconv = Rconv1 + Rconv2 1R = 1Rconv + 1Rr R = Rr + RconvRr Rconv

1 2

29

Calculul termotehnic al ferestrelor

Din punct de vedere al energiei, ferestrele sunt elementele prin care se poate pierde multa energie daca nu este adoptata o solutie constructiva satisfacatoare a acestora. Cu geamuri conventionale practic o mare cantitate de energie este pierduta in exterior. In case tipice cu astfel de ferestre conventionale pierderile de caldura pot ajunge pana la 1/3 din energia termica pentru incalzirea cladirii. Ferestrele prin constructia lor furnizeaza izolare termica dar si captare de energie din radiatia solara. In general geamurile transmit 75-80% din radiatia solara catre incapere, absorb 10-20% si reflecta inapoi in exterior 10-20%. Pentru intreaga fereastra se calculeaza un coeficient global de schimb de caldura echivalent incluzand pe cel al geamului, cadrului si tocului.

= + + + +

In care suprafata totala de calcul va fi = + + Pentru o intensitate de radiatie solara I incidenta pe geam, o parte I este reflectata, o alta parte I este absorbita in geam, si o alta parte I este transmisa catre interior.

+ + = 1 Radiatia transmisa spre interior se considera absorbita total prin efectul de cavitate, intrucat marea majoritate din razele radiante ce trec de geamuri parcurg mai departe drumul pana sunt absorbite de pereti, cantitatea rezultata din reflectia din suprafata interioara a geamului respectiv din peretii incaperii inapoi la geam fiind nesemnificativa.

0 = (1 ) Daca este versorul radiatiei I0 care va parcurge peretele, atunci:

=

= 0

0

(1 )

30

Atunci cand = se obtine ca:

= 0 Deci cantitatea de caldura absorbita de geam este:

0 = 0 1 Si fractiunea de absorbtie este deci:

= 0 0

= 1

= (1 )0 Fluxul de radiatie transmisa prin geam va fi (1 ) In prezenta radiatiei solare, fluxul termic total prin geam este:

= ( ) + + Unde este diferenta cu care a crescut temperatura geamului. In situatie fara radiatie caldura transferata este:

= = = = ( ) = 11

+ + 1

La existenta radiatiei mai apare un flux de caldura provenit radiatie convertita in caldura si un flux de radiatie ramasa astfel incat caldura schimbata este:

= =

= ( ) Deci:

= = + = + ( + ) Rezulta ca

= + = ( + ) Practic ( + ) = + = + Deci

= ( + ) Se obtine o noua expresie a schimbului total de caldura:

= ( ) ( + ) Deci castigul de caldura din radiatie este:

31

= ( + ) + Mai departe vom explicita legatura dintre termenii , si .

= + + = + + = (1 ) + (1 )(1 ) + (1 )(1 )(1 ) = (1 ) + (1 )(1 ) + (1 )(1 )2+. .. = (1 )[1 + (1 ) + 2(1 )2+. . . ] = (1 ) lim1+1(1)+1

1(1) = (1)

1(1) = + (1 )2(1 )2 + 3(1 )2(1 )4 + = {1 + (1 )2(1 )2[1 + 2(1 )2 + ]} = 1 + (1 )2(1 )2 lim12+2(1)2+2

12(1)2 = 1 + (1)2(1)2

12(1)2 = (1 )2(1 ) + 2(1 )2(1 )3 + 4(1 )2(1 )5+. .. = (1 )2(1 )[1 + 2(1 )2 + 4(1 )4+. . . ] = (1 )2(1 ) lim12+2(1)2+2

12(1)2 = (1)2(1)

12(1)2 Elemente de calculul termotehnic al fundatiei cladirii La nivelul fundatiei cladirii are loc transfer de caldura ce are rolul practic de a diminua variatiile de temperatura din incinta. Se remarca urmatoarele situatii:

Iarna daca cladirea este neincalzita toate variatiile de temperatura din cladire sunt amortizate de schimbul de caldura cu pamantul de sub fundatie. Daca cladirea este neincalzita iarna, apar perioade de transfer de caldura de la cladire spre fundatie (incalzire brusca a vremii), dar pot fi si perioade cand fundatia cedeaza caldura catre cladire (racire brusca a vremii).

Iarna daca cladirea este incalzita se cedeaza permanent caldura catre pamantul de sub fundatie.

32

Vara datorita faptului ca cladirea are inertie termica mult mai mica decat pamantul,ea se incalzeste mai mult si apare un flux de caldura de la cladire spre pamantul de sub ea. Practic pamantul de sub cladire vara are un efect de racorire a acesteia.

La nivelul pamantului de sub fundatie transferul de caldura se produce dupa directii perpendiculare pe izotermele ce se stabilesc la nivelul solului.

Daca ne uitam la formaa izotermelor din pamantul fundatiei, vom vedea o diferentiere alurii curburii in perioada rece fata de cea calda de-a lungul anului, deci apare o diferenta a fluxurilor atat ca marime cat si ca directie.

33

O privire mai de ansamblu asupra profilului termic al solului functie de sezon este data in figura de mai jos:

Datorita inertiei termice mari, solul de sub fundatie si implicit fundatia vor avea un raspuns intarziat si cu atenuare la variatiile exterioare de temperatura.

34

In figura de mai jos se prezinta caracteristicile de temperatura ale solului la diferite adancimi. Cu cat adancimea este mai mare schimbarile de temperatura ale aerului de afara sunt resimtite mai putin. Practic la 5 m adancime variatiile de temperatura de la suprafata nu mai sunt resimtite.\

Pentru o fundatie pbisnuita se vor folosi materialele ca in tabelul de mai jos.

Material Grosime, [mm] Densitatea, [Kg/m3]

Conductivitatea termica, [W/mK]

Caldura specifica, Cp [J/Kg K]

Pardoseala beton 10 2400 1.500 1000 Radier beton 200 2400 1.500 1000 Pietris 100 2000 2.000 812 Izolatie termica 50 40 0.029 1.21 Pamant - 1.000

In figura de mai jos este prezentata o schita a modelului de studiat

35

Intreaga fundatie se considera o placa asezata pe sol. Caldura pierduta prin suprafata planseului:

() =

Conditia de frontiera la interior:

/ = Conditia de frontiera la exterior:

() = 0 + 1 2 1 Unde e este temperatura externa, 0 temperatura medie anuala, 1 amplitudinea de temperatura, perioada de variatie de un an de zile, iar 1 este faza de timp in care se pozitioneaza datele initiale incat graficul de variatie sa se suprapuna pe variatia din realitate. Pentru rezolvarea distributiei temperaturilor si fluxurilor in sol, descrierea fenomenului de transfer de caldura este dupa ecuatia Laplace:

in flux stationar de caldura: 2

2+ 22

+ 22

= 0 in flux tranzitoriu de caldura: 1

= 22

+ 22

+ 22

Aceasta ecuatie diferentiala cu derivate partiale se va putea rezolva prin metoda diferentelor finite sau prin metoda elementului finit. Un exemplu relevant pentru cazul unidimensional de schimb de caldura il vom prezenta mai jos: 1

= 22

Bazat pe aceasta ecuatie, se poate alege o functie care satisface atat aceasta ecuatie, dar care acopera in buna masura datele experimentale de variatie a temperaturii exterioare de-a lungul anului. O astfel de solutie este de exemplu pentru un caz particular:

(, ) = 0 0 365 0.5 2365 0 2 365 0.5 In ecuatie apare marimea care este difuzivitatea termica a solului, iar 0 este constanta de faza care ajusteaza fprmula la variatia reala a temperaturii. Daca modelul de fundatie se discretizeaza cu elemente finite, atunci in urma rularii modelului rezultatele vor arata ca in figura de mai jos.

36

Un model de simulare al pierderii de caldura prin radierul de fundatie in luna ianuarie este prezentat de asemenea mai jos.

37

4. Teoria circuitelor termice

Atat in transformari in regim stationar cat si nestationar procesele de transfer de caldura pot fi

asimilate cu procesele si relationarile din circuite electrice, in sensul ca se pot face unele analogii ce vor facilita studierea lor. Astfel, Marimea Termica Marmea Electrica Temperatura, T [K] Potentialul electric, U [V] Flux termic, Q [W/s] Intensitatea curentului, I [A] Rezistenta termica, = 1

[ K/W] Rezistenta Electrica, R []

Capacitatea termica a fluidui, C [/ ] Capacitatea electrica, C [F] Se pot face unele analogii in privinta aparatelor specifice domeniilor termic si electric Aparat termic Aparat Electric Perete Configuratie Rezistor+Condensator Suprafete radiante paralele Condensator electric Volum de gaz Condensator electric Schimbator de caldura Transformator electric

In forma Laplace generalizata in coordonata s fiecare componenta are urmatoarele marimi omoloage corespunzatoare imaginii transformatei Laplace: Element Marime specifica Impedanta specifica Rezistor Condensator 1

Inductanta 1

.Ca o observatie, inca nu s-a gasit un omolog pentru inductanta electrica in circuitele termice.

Impedanta este marimea ce poate ingloba si caracteristica de rezistor si e cea de condensator, deci este exact marimea ce poate exprima de una singura comportamentul unui perete sau al masei de aer dintr-un compartiment.

= + Unde R este rezistenta componentei respectiv X este reactanta acesteia.

= 2 + 2 Unde = cos() , = sin() , =

Aplicand toate aceste analogii, vom studia mai departe cateva exemple tipice de transfer de caldura in analogie cu circuitele electrice. Circuitul termic al unui perete simplu

1 2 ,1 ,2

, , ,

,

,

, 38

Fiecare componenta din circuitul termic se calculeaza dupa formulele: Capacitatea: = = Rezistenta convectiva: Rconv = 1 Rezistenta radiativa:

Rr = 0.1103 (+)2+2 Rezistenta conductiva: Rcond = 1

Circuit RC cu constanta de timp al unei incinte

In aceasta situatie se considera incinta avand caldura stocata sub forma de energie interna in condensatorul sau de capacitate C. Lasand sistemul sa functioneze si interactioneze liber, din condensator incepe sa fie emis un flux de caldura Q prin peretele de rezistenta termica globala R. Deci oricum pentru a modela inertia termica a unui element trebuie folosit modelul de condensator cu capacitatea sa de stocare.

=

+ Daca = + + si = atunci:

+ = 0

Aceasta ecuatie are solutia generala:

() = (0) Se ia constanta de timp = care este o constanta ce caracterizeaza modul in care sistemul

filtreaza unda termica ce trece prin el. Astfel, sistemul are specifica si o frecventa de taiere:

= 12 Aceasta frecventa de taiere inseamna ca pana la o anumita frecventa sistemul atenueaza unda termica,

si de la o frecventa in sus sistemul tinde sa amplifice semnalul. Cu cat constanta de timp a unei cladiri este mai mare, cu atat aceasta are inertia termica mai mare,

adicdureaza mai mult sa fie incalzita sau racita. Daca insa fluxul de caldura Q este unul variabil in timp, atunci solutia generala a ecuatiei este:

() = (0)0 + () 0

In care () = 0()+ ()

Din pacate circuitul RC nu este suficient pentru tot ceea ce este propus. El trateaza cladirea ca si cand

toate masele termice sunt in interior, intotdeauna la aceeasi temperatura ca aerul interior. In cladiri de fapt implicarea termica a maselor este mult mai complicata.

Pentru aplicatiile cu termostat modelul RC poate da rezultate acceptabile daca se alege o capacitate C corespunzatoare.

39

Circuitul termic RC extins al unei incinte

In acest tip de circuit termic practic mai este introdus un parametru, anume pe langa capacitatea termica cu care participa anvelopa cladirii, mai este introdusa o capacitate termica a interiorului cladirii (in care sunt inclusi pereti, plansee, aer interior). Avand aceasta adaugire modelul de calcul este mult mai fidel realitatii fenomenelor. Ecuatiile sistemului termic sunt:

=

+

=

+

Vom cauta sa scapam de variabila intermediara urmand sa obtinem modelul matematic doar in temperaturile si . In urma unor transformari se obtine ecuatia diferentiala de ordinul 2:

22 + + + + + + = 0 Consideram cazul special in care si sunt constante. Atunci facand substitutia:

() = () + Se obtine modelul simplificat al ecuatiei:

22 + + + + = 0 Plecand de la solutia particulara a ecuatiei diferentiale:

() = (0) Vom obtine ecuatia de grad 2 pe care trebuie sa o satisfaca constanta de timp :

2 + + + = 0

Solutiile sunt:

,1 = 12 + + 1 + 1 4 + + 2 ,2 = 12 + + 1 1 4 + + 2

Succint, avand 2 constante de timp ale sistemului, solutia generala este:

() = 1 ,1 + 2 ,2 Unde coeficientii 1 si 2 sunt determinati din conditiile initiale pentru (0) si (0). Dupa cum se vede la inertia termica a sistemului participa doua constante de timp fapt care in regimurile dorite de functionare duce la aplatizarea variatiilor. Un model cu 2 noduri are doua constante de timp, iar un model cu n noduri va avea in consecinta n constante de timp. Pentruintreaga cladire este o constanta de timp care este rezultanta tuturor constantelor de timp date de fiecare nod. Aceasta constanta de timp globala a cladirii este mult mai mare decat toate celelalte. Aceasta constanta de timp globala determina raspunsul cladirii la variatii lente de temperatura.

40

Elemente de teoria sistemelor aplicate transferului de caldura in cladiri Consideram ecuatia Fourier de transfer a caldurii unidimensionala si tranzitorie:

= 2

2

Transformata Laplace a functiei (, ) este: (, ) = (, ) = (, )

0

Aplicand proprietatile transformatei Laplace ecuatiei caldurii, se obtine ecuatia in p: 2(,)

2

(,) + 1

(, 0) = 0

Se foloseste apoi teorema de inversare a transformatei Laplace:

(, ) = 1[(,)] = (,) +

Solutia obtinuta va fi:

(,) = cosh

12 (0,) sinh 12

12

(0,) In acelasi timp ecuatia fluxului de caldura este:

(, ) = (, )

Aplicand si aici teorema de inversare a transformatei Laplace:

(,)

+ (,) (0,) = 0 Se obtine:

(,) = (, )

=

12 sinh

12 (0,) + cosh

12 (0,)

Se observa ca exista relatia matriceala pentru 0

Legarea in cascada a aparatelor termice Imprumutand modelul matematic al circuitelor electrice in configuratie de cuadripoli conectati in cascada, avem urmatoarea schema:

in care:

= [] +1+1 , , +1+1 = [+1] ++

Prin substitutii succesive obtinem:

= [] [+1] [+1] ++

sau

= ,+ ++

unde ,+ = [] [+1] [+1] este matricea de transformare globala in tre nodurile i si i+n. De remarcat ca fiecare bloc Ai, Ai+1, ...., Ai+n-1 se comporta pe principiul cutiei negre, anume nu conteaza ce este in interiorul lor, ci doar marimile de input si de output. Element pur rezistiv 1 = + 1 =

11

= 1 0 1 Element pur capacitiv

1 = 1 = + 11 = 1 0 ( ) 1

Se face o conventie matematica pentru exprimarea temperaturii, anume:

= 0 Deci:

....

+1 +2 +n-1 + +1 +2 +n-1 +n

+1 +1

1 1

Element pur capacitiv

1 1

Element pur rezistiv

42

= 0 = In acest caz

1 = 1 = + 11 = 1 0 1

Circuit termic cu proprietati rezistive si capacitive (circuit RC)

Avand o legatura in cascada a 3 aparate termice, atunci va fi valabila relatia:

11

= 1 10 1 1 0 1 1 20 1 Un astfel de circuit poate fi aplicat de exemplu pentru situatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu printr-un perete, ca in figura de mai jos. Reducerea unui model la unul echivalent

O configuratie de aparate termice poate fi reprezentata printr-un circuit termic. Prin intermediul acestui circuit termic se pot determina nu doar diversi parametri termici ai aparatelor, dar si proprietati ale

intregului ansamblu de aparate.

1

= 1 10 1 1 01 1 1 10 1 1 2

= 1 20 1 1 02 1 1 20 1 2 Sau

1

= 1 + 11 1 + 1 + 1111 1 + 11 1 2

= 1 + 22 2 + 2 + 2222 1 + 22 2 Astfel, daca pe fiecare ramura de circuit:

1

= 11 1221 22 1 2

= 11 1221 22 2 Atunci ecuatia de transformare pentru intregul ansamblu este:

2 1 1

1 1

2 2

1

2

Circuit termic de baza

Circuit termic echivalent

43

1 + 2 = 11 1221 22 1 + 2 Unde:

11 = 1112 + 111212 + 12 12 = 121212 + 12

21 = (21 + 21) (11 11)(22 22)12 + 12 21 = 1222 + 122212 + 12

Din matricea ansamblului se evidentiaza ca 12 reprezinta capacitatea termica a ansamblului, 21 rezistivitatea ansamblui, iar 11 si 22 sunt termeni ce reprezinta proprietati combinate capacitive si rezistive ale ansamblului cat si aspecte legate de configuratia circuitului termic. Perete supus unei variatii de temperatura pe una din fete

Procesul tranzitoriu din figura are descrierea:

La cresterea temperaturii pe fata i in intervalul de timp 0 Stratul limita de pe fata i tinde sa expandeze In primele momente liniile de temperatura sunt concave deoarece peretele nu are timp sa

absoarba variatia de temperatura in prima faz. Ulterior pe masura ce unda de variatie strabate peretele incepand de la un anumit punct din

grosimea peretelui (punct de inflexiune) incepe sa isi piarda din intensitate, peretele incepe sa absoarba din aceasta variatie, iar liniile de temperatura devin convexe.

Dupa ce incepe sa se simta variatia de temperatura pe cealalta fata, si aici stratul limita tinde sa expandeze

La incetarea fenomenului tranzitoriu de crestere a temperaturii pe fata i, curbele de temperatura din zona superioara vor tinde sa se stabilizeze luind forma unei drepte corespunzatoare regimului stationar de transfer de caldura.

Ecuatia dmatriceala de transfer de caldura specifica acestui perete va fi:

= 1 ,0 1 1 /20 1 1 01 1 1 /20 1 1 ,0 1

0

1

0

1

0

2

``

44

5. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii La baza unui system de control al incalzirii sunt urmatoarele component:

Senzori de temperature Controller integreaza toate informatiile din sistemul termic si il controleaza Actuator este dispozitivul controlat (motor electric sau bobina) ce asigura inchiderea-

deschiderea totala sau partiala a unei valve reglandu-se astfel fie debitul de circulatie al fluidului de incalzire, fie debitul combustibilului

Sistemul sensor controller actuator este un system de reglare cu bucla inchisa sau feedback. Daca nu ar exista senzorul atunci sistemul controller actuator ar fi doar in bucla deschisa acest caz nefiind bineinteles de interes. Actiunile de reglare care le ia controller-ul sunt:

Pozitie dubla on-off Proportional Integral Derivative

Variabila s este variabila functiei imagine din transformata Laplace:

= O functie de transfer specifica unui aparat este functia ce defineste raportul dintre marimea globala de intrare si marimea globala de iesire din aparat.

= () ()

O functie de transfer globala a unor aparate in cascada (in serie) este produsul functiilor de transfer al fiecarui aparat in parte. O astfel de functie de transfer mai este numita si functie de transfer de bucla deschisa.

= 1 2 Eroarea de reglare este rezultatul compararii intre temperatura setata si temperatura citita si transmisa de senzor pentru un anumit ciclu de timp:

= Functia de transfer pentru camera

= 1 + Functia de transfer pentru controller

= ()() = + + Functia de transfer pentru termostat incluzand latenta sa specifica, este:

TFtermostat

TFcamera TFcontroller Tsetare Tcamera +

_

45

= 1 + In care de exemplu latenta de timp este de ordinul a 30 40 secunde, iar constanta de timp este de ordinul a cateva minute. Ca urmare in schema noastra functia globala de transfer este:

= Functia de transfer pentru bucla controllerului

= ()1 + () () Ecuatia caracteristica a intregului sistem de control este: 1 + () () = 0 Avand toate aceste functii determinate, practic autoreglarea sistemului este rezolvata. Stabilitatea sistemelor de control La stabilitatea sistemelor de control ale incalzirii cladirilor se pune problema daca acestea sunt stabile pentru impune si mentine temperatura setata. In acest sens, se folosesc diverse criterii de verificare ale stabilitatii, cum ar fi criteriul Routh. Astfel, un sistem este stabil cand toate radacinile ecuatiei caracteristice au partea reala negativa a variabilei complexe s. Doua conditii necesare pentru stabilitate:

Toate puterile lui s trebuie sa fie prezente in ecuatia caracteristica de la 0 la cel mai inalt ordin Toti coeficientii ecuatiei caracteristice trebuie sa aiba acelasi semn

Acestea doua conditii sunt necesare dar nu suficiente. Criteriul lui Routh este o metoda algebrica pentru a investiga stabilitatea mai departe. Un algoritm simplu este utilizat pentru constructia matricei din coeficientii ecuatiei caracteristice. Apoi prima coloama este examinata pentru schimbarile de semn. Numarul de schimbari de semn din aceasta prima coloana este egala cu numarul de radacini pozitive. O singura parte reala pozitiva a vreunei radacini va insemna instabilitate.

46

6. Punti termice Punile termice reprezint zone ale unui perete cu rezistenta termica relativ redusa fata de imprejur. Puntile termice sunt practic zone de scurtcircuit pe care fluxul termic tinde sa le urmeze, deci au un efect de deviere convergenta spre ele. Practic liniile de flux termic devin mai dense in zonele de punte termica si se raresc in afara acestora. Sunt doua principale tipuri de punti termice:

punti termice rezultate din neomogenitati interioare ale peretilor, insertii de alte materiale, anizotropii

punti termice rezultate din configuratia geometrica a peretilor: zone de colt, zone de grosime diferita

Colurile ncperilor sunt puni termice (ale configuratiei geometrice) deoarece: forma geometric a colului face ca suprafata exterioara sa fie mai mare decat cea interioara ceea

ce face ca in masa peretelui sa prevaleze temperatura exterioara (temperatura peretelui la suprafaa interioar este mai redus n dreptul colului dect pe restul suprafeei);

datorit faptului ca in dreptul coltului sunt blocate doua grade de libertate in miscarea aerului, acesta va deveni mai static, ca urmare coeficientul de convectie scade, deci in consecinta temperatura din interior influenteaza mai putin temperatura peretelui.

Exemple de punti termice detectate prin termografie sunt prezentate in figurile de mai jos.

Doua dificultati care le creeaza puntile termice:

Pierderi de caldura crescute Favorizare condens datorita diferentelor de temperatura aparute intre diverse zone

Puni termice in situatii practice:

la perei: armatura, tencuiala, stlpi, grinzi, centuri, coluri la planeele: streini, couri, ventilaii; la radierul fundatiei: zona de racordare cu soclul

a) b) Exemple de punti termice: a) punte termica din neomogenitati interioare; b),c) punte termica din configuratie geometrica

c)

47

Bibliografie 1. Blumenfeld, Maty - Introducere in metoda elementelor finite (ET 1995) 2. Bratianu Constantin - Metode numerice (ET 1996) 3. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 4. Blumenfeld Maty - Metoda elementelor finite (IPB 1992) 5. Berbente C., etc - Metode numerice (ET 1998) 6. Calbureanu M - Metode numerice in transferul de caldura (2004) 7. Cook R D - Finite Element Modeling For Stress Analysis - Wiley 1995 8. Hoffman, K. - Computational fluid dynamics (4th edition) 9. Hatton D V - Mcgraw Hill-Fundamental Of Finite Element Analysis (2004) 10. Lelea Dorin - Metode numerice avansate in transferul de caldura (2007) 11. Pascu, Adrian - Metoda elementului finit (MEF) 12. Reddy - An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis 13. Abdullatif E. Nakhi - Adaptive construction modelling within whole building dynamic simulation (1995) 14. Ali M. Malkawi - Advanced Building Simulation (2004) 15. Bliuc I., Baran I. Calitatea mediului interior i eficiena energetic a cldirilor 16. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 17. Bruggen, van der, Reinerus J.A. - Energy consumption for heating and cooling in relation to building design (1978) 18. C.P. Underwood - Modelling Methods for Energy in Buildings (2004) 19. Clarke, J. A. - Energy Simulation in Building Design (2001, 2nd Ed) 20. Davies M G - Building Heat Transfer (2004) 21. Dimitriu Valcea E - Termotehnica in constructii (1970) 22. Energy Conscious Design - A Primer for Architects [Book on green building design] 23. Ery Djunaedy - External coupling between CFD and building energy simulation (2005) 24. Essam O Aasem - Practical simulation of buildings and air-conditioning... (1993) 25. Godfried Augenbroe - Energy modelling and simulation (2010) 26. Grigore Roxana - Energetica Cladirilor (curs) 27. International Energy Agency - Real Time Simulation HVAC Systems For Building Optimisation (1999) 28. Ion Sotir Dumitrescu - Energetica Cladirilor (curs) 29. Iordache F - Termotehnica constructiilor (2008 Ed. 2) 30. Kreider J F, Rabl Ari Heating and cooling of buildings (1994) 31 Leonachescu N - Transferul caldurii intre constructii si sol (ET 1989, vol. 2) 32. Mirza Carmen - Termotehnica Constructiilor 33. Moga I, Manea D - Termotehnica cladirilor_Indrumator (1998) 34. Part 2 Responsive Building Elements - Annex_44_Expert_Guide_RBE 35. Peter Weitzmann - Modelling building integrated heating and cooling systems (2004) 36. R. Judkoff - Methodology for Validating Building Energy Analysis Simulations (2008) 37. Standard ASHRAE 38. Standard EN-ISO 39. Standard STAS

48