bab5-daerah integral dft

8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft

1/8

D ER H INTEGR L

DIU DFT


2/8

Semua Ritlg R pada Bab 5 ini diasumsikan komutatif, dan mempunyai suatu

elemen Unitas 1, kecuali jika disebutkan lain.

D ER H INTEGR L

Sekarang, mula-mula sekalikita definisikan Pembagi Nol pada suatu Ring R.

Definisi

5

Pembagi Nol

Suatu elemen nonzero a < R adalah suatu Pembagi Nol jika terdapat suatu

elemen nonzero b, sedemikian sehingga ab =o.

Definisi

5 2

Daerah Integral

Suatu Ring komutatif D Brtunitas 1 adalah suatu Daerah Integral atau Inte

gral Domain jika D tidak mempunyai Pembagi ot

ONTOH D ER H INTEGR L

Contoh 5.1

Ring ZlOSdari integer modulo 105 adalah bukan suatu Daerah Integral.

Sembarang Zm dengan m adalah komposit, mempunyai Pembagi Nol;

untuk m =ab, 1 < a, b < m)

berakibat ab =0 pada ~

Pada m

=

105, terdapat enam Pembagi Nol yakni 3, 5, 7, 15, 21, dan 35.

Contoh 5.2

Ring ~9dari integer modulo 29 adalah suatu Daerah Integral.

Hal ini adalah kebalikan Contoh 5.1, yakni jika P adalah prima maka Z-ptidak

mempunyai Pembagi Not.

74


3/8

Di sini, untuk

1 < a. b < p,

ab=O+kp

p tidak habis dibagi a atau

p tidak habis dibagi b

berakibat a=Oataub=O

Sifat 5.1

Pandang D adalah suatu Daerah Integral. Jika ab =ac, dengan a * 0, maka

b =c.

Bukti

Jika ab=ac, maka

ab-ac

=

0, dan karenanya

a b-c =0

Karena a *0, dan D tidak mempunyai Pembagi Nol, haruslah

b-c

=

0, atau

b

=

c, seperti yang diminta.

Karena itu, perkalian pada D memenuhihukum penghapusan.

IDEAL UTAMA IU DAN DAERAH IDEAL UTAMA DIU

Definisi 5.3 Ideal Utama

Pandang Ring Komutatif R dengan suatu elemen identitas 1. Misalkan a

sembarang elemen pada R. Himpunan

[a] =Ira Ire R}

adalah suatu Ideal, yang kita sebut Ideal Utama IU yang dibentuk oleh a

7


4/8

Definisi

5

Daerah Ideal Utama

Suatu Ring R adalah suatu Daerah Ideal Utama DIU , jika R adalah suatu

Daerah Integral, dan jika setiap Ideal pada R adalah Ideal Utama.

CONTOH DIU

Contoh 5

Akan kita tunjukkan bahwa Z adalah suatu DIU.

Z adalah suatu Daerah Integral, karena Z tidak mempunyai Pembagi Nol.

Pandang J adalah suatu Ideal pada Z.

Jika J

=

to}, maka J

=

[0], Ideal Utama yang dibentuk oleh o.

Pandang bahwa J * to}, dan bahwa x * 0 termasuk dalam 1. Karenanya -x =

-I x termasuk dalam J; karena itu J berisi paling sedikit satu integer positif.

Misalkan a adalah integer positif terkecil pada J.

Kita inginkan bahwa J = [a], yakni, bahwa J berisi semua kelipatan dari a.

Pandang x E 1. De~gan Algoritma Pembagian

x =qa + r

di sini 0


5/8

ASOS AS

Sekarang kita detinisikan asosiasidari suatu elemen Ring.

Definisi asosiasi

Suatu elemen b E R disebut ssos s dari a E R, jika

b = ua

untuk beberapa Unit u E R.

CONTOH ASOS AS

Contoh 5 4

Kita hendak mencari asosiasi dari 4 pada ZIO integer modulo 10 .

Unit pada ZIOadalah 1, 3, 7, dan 9 [lihatContoh 4.2]. Kita kalikan 4 dengan

masing-masingUnit:

1*4

=

4, 3*4

=

2, 7*4

=

8, dan 9*4

=

6

Perkalian dikerjakan pada modulo 10 .

Karena itu 2.,4, 6, dan 8 adalah asosiasi dari padaZIO

Contoh 5.5

Kita hendak mencari asosiasi dari 5 pada ZIO.

Kita kalikan 5 dengan ma


6/8

Contoh 6

Akan kita tunjukkan bahwa relasi asosiasi adalah suatu relasi ekivalen pada

Ring R.

Sembarang elemen a adalah suatu asosiasidari dirinya sendiri, karena a =la

hukum refleksif .

Pandang b adalah suatu asosiasl dari a. Berarti

b =ua

di sini u adalah suatu Unit. Karenanya

di sini u-I adalah suatu Unit pula.

Jadi a adalah suatu asosiasi dari b hukum simetrik .

Terakhir, pandang a adalah suatu asosiasidari b, dan b adalah suatu asosiasi

dari c:

di sini uI dan u2 adalah Unit. Karenanya

a =

ul u2c

= u1u2 c

di sini perkalian u1u2 adalah juga suatu Unit.

Karenanya a adalah suatu asosiasi dari c hukum transitii .

Contoh 7

Kitahendakmencariasosiasidarin e Z.

UnitpadaZ hanyalah1dan-I LihatContoh4.1 .Karenanyahmiyan dan-

n merupakanasosiasidari

n

8


7/8

OAERAH FAKTORISASI TUNGGAL OFT)

Mula-mula kita definisikan suatu Elemen Tak Tereduksi pada suatu Daerah

Integral D.

Definisi 6 Elemen Tak Tereduksi

Suatu non Unit p E D adalah Tak Tereduksi, jika p = ab berakibat a atau b

adalah suatu Unit.

Hal ini jelas adalah suatu perluasan dari pengertianprima pada Z.

Bilangan Prima, dan negatif mereka merupakan Elemen Tak Tereduksi

pada Z.

Sekarang kita definisikan suatu Daerah FaktorisasiTunggal atau Unique Fac-

torization Domain.

Definisi 7 Daerah Faktorisas Tunggal)

Suatu Daerah Integral D adalah suatu Daerah Faktorisasi Tunggal DFT , jika

setiap non Unit a E D dapat ditulis secara tunggal unique sebagai suatu hasil kali

dari Elemen Tak Tereduksi. Hasil kali yang berbeda karena urutannya atau karena

asosiasinya, dianggap sarna

CONTOH OFT

Contoh 5.8

Kita hendak menyatakan 12pada Z sebagai suatu hasil kali dari Elemen Tak

Tereduksi.

Terdapat 12 hasil kali:

12

=

2 - 2 - 3

= -2 - -2 - 3

= -2 - 2 - -3

= 2 - -2 - -3

=2-3-2


8/8

=

-2 - -3 - 2

= -2 - 2 - -2

= 2 - -3 - -2

=3-2-2

= -3 - -2 - 2

= -3 - 2 - -2

= 3 - -2 - -2

Contoh 5 9

Apakah Z suatu DFf?

Ya. Meskipun 12, dan sebagainya. dapat ditulis dalam banyak cara sebagai

suatu hasil kali dari Elemen Tak Tereduksi. semua hasil kali serupa itu berbeda

hanya terhadap urutan atau asosiasinya,jadi adalah hasil kali yang tunggal.

Contoh 5 1

HimpunanD

=

{a+ b.../13I a. b integer} adalah suatu Daerah Integral. Unit

dari D adalah:tl. 18:t 5.../13.dan -18:t 5.../13.Elemen 2. 3 /13. dan -3 /13 adalah

Elemen Tak Tereduksi pada D. Temyata bahwa D adalah bukan DFf. karena

rnisalnya4 dapat dinyatkan sebagai hasil kali Elemen Tak Tereduksi secara tidak

tunggal. yakni

4

=

2_2. dan

4

=

3 /13 -3 /13 .

bab5-daerah integral dft

Documents