bab 1 fismath (analisis vektor)

5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)

1/24

1

BAB 1

ANALISIS VEKTOR

1.1 Pengenalan Dasar

Dalam ilmu sains atau teknik dikenal berbagai kuantitas seperti kecepatan,

percepatan, daya, suhu dsb. yang dapat dibagi menjadi dua kuantitas dasar yaitu

merupakan besaran vektor dan skalar (sebenarnya terdapat kuantitas tensor yang

berlaku lebih umum dari vektor dan skalar). Kuantitas yang hanya mempunyaibesaran saja dinamakan skalar seperti suhu, energi, daya dsb., sedangkan kuantitas

yang mempunyai besar dan arah (untuk sebuah kuantitas tertentu dibatasi hanya pada

satu arah saja) dinamakan vektor seperti kecepatan, percepatan, gaya dsb. Pada bab

ini hanya akan dibahas pengenalan mengenai kuantitas vektor saja.

1.2 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Pada perhitungan panjang sisi-sisi dari segitiga yang salah satu sudutnya 900,

dengan sisi B dan C saling tegak lurus dan sisi A merupakan sisi terpanjang dari

segitiga tersebut akan berlaku hubungan phytagoras

2 2 2A B C= + . (1.1)

Jika besaran A dapat dituliskan sebagai bentuk harga mutlak dari vektor A, yaitu A =

Amaka terdapat hubungan diantara vektor-vektor A, Bdan C berdasarkan gambar

dibawah ini

BC= A B+ C= A.

Gambar 1.1. Penjumlahan dan pengurangan vektor yang menghasilkan hubungan phytagoras

2 2 2A B C= + dari panjang sisi-sisi segitigaA,Bdan C.

B

C

A

C

BBA


2/24

2

Bentuk umum penjumlahan dan pengurangan vektor dengan sudut diantara

vektor Bdan Csebesar dapat diungkapkan sebagai berikut

BC= A B+ C= A

(a) (b)

Gambar 1.2. Bentuk umum diagram vektor dari pengurangan vektor B C = A dan penjumlahan

vektor B + C = A.

Bentuk pengurangan vektor B C = A seperti yang dilukiskan pada gambar 1.2.a

akan mempunyai hubungan diantara panjang vektor-vektor A, B dan C menurut

aturan cosinus sebagai

2 2 2 2 cosA B C AB = + . (1.2)

Demikian pula penjumlahan vektor B+ C= Apada gambar 1.2.b, akan menghasilkan

persamaan diantara panjang vektor-vektor A, Bdan C sebagai

2 2 2 2 cosA B C AB = + + . (1.3)

Dapat disimpulkan bahwa persamaan (1.1) merupakan aplikasi dari persamaan (1.2)

dan (1.3) untuk kasus sudut = 90o.

Contoh 1 : Pada gambar 1.3a, sistem dalam kesetimbangan. Hitunglah berat

beban W jika tegangan tali TA adalah sebesar 50 N.

(a) (b) (c)

Gambar 1.3. Sistem kesetimbangan dari tegangan tali yang mempunyai beban W dengan

penggambaran diagram gaya-gayanya.

C

B

A

C

BA

TB

TA

600

60

W

Ftot

TB

TA

1500

WW

TA

60

60

TB


3/24

3

Untuk menyelesaikan persoalan pada gambar 1.3.a, dibuat diagram gaya-

gayanya pada gambar 1.3b. Dengan menggunakan syarat kesetimbangan pada arah

sumbu horizontal diperoleh

0 0 0

cos60 sin 60 tan 60B A B AT T T T = = .Syarat kesetimbangan pada arah vertikal diperoleh

0 0 0

2 00 0 0

0

sin 60 cos 60 tan 60 50 1,73 86,5

sin 60 3 1sin 60 cos60 cos60 50 2

cos 60 4 2

B A B A

B A A A

T T W T T N

W T T T T

= + = = =

= = =

50W N=

Pada diagram vektor dari gambar 1.3c, perhitungan diatas dapat pula diungkapkan

sebagai penjumlahan vektor berikut : Penjumlahan Vektor TA dan TB akan

menghasilkan vektor Ftot. Karena berada dalam kesetimbangan maka harga beban W

akan sama dengan harga Ftot yang diungkapkan sebagai

2 2 02 . cos150tot A B A BW F T T T T = = + +

( )22 0 0 0tan 60 2 . tan 60 cos150A A A AT T T T = + +

( )1

2

1 3 2 3. 3 50A A

T T N= + + = = .

1.3 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan

Menggunakan koordinat-koordinat basis Kartesian.

Dalam perhitungan penjumlahan vektor-vektor dapat diungkapkan secara

analitis dalam bentuk koordinat-koordinat, khususnya dalam basis-basis kartesian.

Dalam koordinat kartesian, vektor A dapat diungkapkan dalam bentuk basis-basis

kartesian

A =Axi+Ayj+Azk, (1.4)

dimana i,jdan kadalah vektor-vektor basis dari koordinat kartesian pada arah sumbu

x, y dan z berturut-turut yang bersifat orthonormal. Vektor-vektor orthonormal adalah

merupakan gabungan dari sifat-sifat orthogonal (saling tegak lurus) dan normal (harga

mutlaknya bernilai satu), yaitu

Orthogonal : ij k, (1.5)

Normal : i= j= k= 1. (1.6)


4/24

4

Komponen-komponen vektor pada arah sumbu-x, y dan z dari vektor A yang

merupakan proyeksi dari vektor A terhadap sumbu koordinat-koordinat x, y dan z

menurut gambar 1.4, dapat diungkapkan sebagai

cos , cos , cosx y zA A A A A A = = = = = =A i A j A ki i i

, (1.7)

dimana pada persamaan diatas terdapat bentuk perkalian titik (skalar) dari vektor A

dengan vektor-vektor basis i, j dan k. Catatan bahwa jika A lenyap, maka semua

komponennya pada arah sumbu x, y dan z secara individual juga harus lenyap, yaitu

A= 0, maka harus berlaku 0x y zA A A= = = . (1.8)

Gambar 1.4. Komponen kartesian dari vektor A.

Sebagai illustrasi penggunaan metoda penjumlahan vektor secara analitis dengan

menggunakan vektor-vektor basis kartesian (hanya diambil pada kasus dua dimensi

pada bidangxy) dapat dilihat pada contoh 2.

Contoh 2 : Hitunglah penjumlahan vektor A + B, dimana vektor-vektor

tersebut mempunyai titik awal pada sumbu koordinat (0, 0) dengan arah vektornya

didefinisikan sebagai

A= -3i+ 4j dan B= 4i + 2j

Jawab :

Misalkan vektor Cmerupakan vektor yang dihasilkan dari penjumlahan vektor Adan

B, dengan Cmerupakan harga mutlak dari vektor Ctersebut.

C =A +B =-3i+ 4j + 4i + 2j= i+6j

C= C=2 2 2 21 6 37x yC C+ = + =

A

(Ax,Ay, 0)

Az

Ay

Ax

(Ax,Ay,Az)

z

y

x


5/24

5

Gambar 1.5. Penjumlahan vektor secara analitis dengan menggunakan basis-basis koordinat kartesian

Penggambaran penjumlahan vektor A+ B secara analitisadalah dengan menguraikan

masing-masing vektor Adan Bdalam komponen sumbu-x dan y. Vektor-vektor yang

sudah searah sumbu-x dapat dijumlahkan lebih mudah karena segaris yaitu Cx= Ax+

Bx. Kasus yang sama berlaku pada penjumlahan searah sumbu-y, yaitu Cy= Ay+ By.

Penjumlahan vektor C= A+ Bdapat diperoleh dari penjumlahan vektor C= Cx+ Cy

= i+ 6j.

Beberapa bentuk hukum-hukum Aljabar Vektor adalah

A+ B = B + A, (Hukum kommutatif untuk penjumlahan) (1.9)

A+ (B + C) = (A+ B) + C (Hukum assosiatif untuk penjumlahan) (1.10)

m(nA) = (mn)A= n(mA) (Hukum assosiatif untuk perkalian skalar) (1.11)

(m+ n)A= mA+ nA (Hukum distributif) (1.12)

m(A+ B) = mA+ mB (Hukum distributif) (1.13)

1.4 Perkalian Skalar atau Perkalian Titik.

Pada persamaan (1.7) telah dibahas bentuk perkalian titik atau perkalian skalar

dari vektor A dengan vektor-vektor basis i, j dan k dari koordinat kartesian yang

menghasilkan proyeksi vektor Adalam koordinat kartesian tersebut yaitu Ax, Aydan

Az. Jika didefinisikan vektor lain B =Bxi+ Byj+Bzk, maka perkalian titik diantara

vektor Adan vektor Bdengan menggunakan persamaan (1.7) didefinisikan sebagai

6

2

-3 40

Cy

Cx

By

Bx

Ay

Ax

C

B

A

x


6/24

6

( )x y z x y zB B B B B B= + + = + +A B A i j k A i A j A ki i i i i

x x y y z z x x y y z zB A B A B A A B A B A B= + + = + + , (1.14)

dimana pada perkalian titik berlaku hubungan

=A B B Ai i . (1.15)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (1.14), maka dapat didefinisikan

( ) ( )x y z x y zA A A B B B= + + + +A B i j k i j ki i

( ) ( ) ( )x x y z y x y z z x y zA B B B A B B B A B B B= + + + + + + + +i i j k j i j k k i j ki i i

x x y y z zA B A B A B= + + , (1.16)

yang menunjukkan perkalian titik diantara vektor-vektor basis (satuan) dari koordinat

kartesian dapat didefinisikan sebagai

1,= = =i i j j k ki i i (1.17a)

0.= = =i j j k k ii i i (1.17b)

Persamaan (1.17) menunjukkan pada koordinat kartesian, perkalian skalar diantara

dua basis yang sama (sudah tentu searah) akan menghasilkan nilai 1, sedangkan

perkalian skalar diantara dua basis yang saling tegak lurus (karena koordinat kartesian

adalah koordinat yang orthogonal / tegak lurus) akan menghasilkan nilai nol. Nilai

mutlak kuadrat dari vektor Adapat diungkapkan sebagai

( ) ( )2 x y z x y zA A A A A A A= = + + + +A A i j k i j ki i

2 2 2

x y zA A A= + + . (1.18)

Secara umum perkalian titik dari vektor A dan Bdapat diungkapkan dalam

bentuk penggambaran berikut

Gambar 1.6. Perkalian skalar A i B=ABcos

B

z

y

x


7/24

7

Misalkan proyeksiABdari A pada arah sebuah vektor B0 sebagaiAB=Acos =

A Bi , dimana /B=B B adalah vektor satuan pada arah Bdan adalah sudut diantara

A dan B seperti diperlihatkan pada gambar 1.6, maka akan diperoleh hubungan

( ) ( ) cosB AB A B A AB AB = = = = =A B A B A Bi i i . (1.19)

Dalam fisika, kerja yang dilakukan pada partikel ketika bergerak dari titik awal ke

titik akhir, dapat diungkapkan sebagai berikut

akhir

awalW d= F ri . (1.20)

dimana Fmenyatakan gaya yang bekerja pada partikel tersebut sepanjang lintasan dr.

Contoh 3 : Sebuah mobil bermassa 2 ton meluncur di atas jalan dengan sudut

kemiringan 300

, mengarah ke atas dengan kecepatan tetap 45 km/jam. Jika gesekandiantara ban dan jalan diabaikan, tentukan usaha total yang dilakukan oleh gaya-gaya

yang diperlihatkan pada gambar 1.7 dibawah, selama 5 menit. Anggaplah percepatan

gravitasi g = 10 m/det2.

Gambar 1.7. Sistem gaya-gaya yang bekerja pada mobil.

Misalkan didefinisikan vektor-vektor satuan yang searah kecepatan mobil sebagai a1

dan vektor yang tegak lurus terhadap kecepatan mobil sebagai a2, sehingga dapat

didefinisikan

F1= mgsin 30oa1, F2= mgcos 30

oa2, N=Na2 dan F= Fa1,

dengan a1 i a2 = 0. Karena mobil bergerak dengan kecepatan konstan, maka

berdasarkan hukum Newton kedua dengan percepatan a= 0, yaitu

mg

a2

a1

30

F

F1= mgsin 30o

F2= mgcos 30o

N

30

v= konstanS


8/24

8

0F= , searah vektor a1dan a2.

akan diperoleh

0 2sin30 2000kg .10m/ det .0,5 10.000NF mg= = = .

Kecepatan mobil v= 45 km/jam = 45.000 m/3600 det. = 12,5 m/det. Jarak yang telah

ditempuh selama 5 menit = 300 detik adalah S = 12,5 m/det . 300 detik = 3750 m.

Usaha total yang dilakukan oleh gaya-gaya F2, N dan F (gaya F1 tidak dihitung

karena sudah digantikan oleh gaya F) untuk memindahkan mobil tersebut sejauh 3750

meter adalah

Wtotal= F2 i S+ N i S+ F i S

= mgcos 30oa2 i Sa1+Na2 i Sa1 + Fa1 i Sa1

= FS = 10.000 N . 3750 m = 3,75 . 107Joule.

Jadi dapat disimpulkan bahwa usaha yang dilakukan untuk memindahkan benda

hanya disebabkan oleh gaya-gaya yang searah dengan perpindahan benda,

sedangkan gaya-gaya yang tegak lurus terhadap perpindahan benda tidak

menyumbangkan terhadap besarnya usaha tersebut.

Misalkan vektor C merupakan penjumlahan dari vektor A dan B dengan bagan

yang digambarkan seperti dibawah ini

Gambar 1.7. Bentuk segitiga yang dibangun oleh vektor-vektor A, Bdan C.

Perkalian skalar dari vektor Cdapat diungkapkan sebagai

( ) ( )= + +C C A B A Bi i

2 2 2 2 22 2 cosC A B A B A B = + + = + +A Bi

2 2 2 2 cosC A B A B = + , (1.21)

dimana berlaku hubungan ( )0cos cos 180 cos = = . Formulasi (1.21) sejalan

dengan formulasi sisi terpanjang dari segitiga pada persamaan (1.2) melalui aturan

cosinus.

BC

A


9/24

9

1.5 Perkalian Cross.

Bentuk lain perkalian diantara dua vektor adalah yang dinamakan perkalian

cross. Berbeda dengan bentuk perkalian skalar (titik) yang menghasilkan bentuk

skalar maka bentuk perkalian cross akan menghasilkan bentuk vektor. Perkalian cross

dari vektor Adan Byang menghsilkan vektor C, dapat diungkapkan sebagai berikut

=A B C , dengan C=ABsin, (1.22)

dengan adalah sudut diantara vektor Adan B. Penggambaran bentuk perkalian cross

yaitu pada gambar 1.8 dan untuk menentukan arah vektor Cdari bentuk =A B C ,

dapat ditentukan dari aturan tangan kanan pada gambar 1.9.

Gambar 1.8. Diagram vektor vektor dari perkalian vektor =A B C

Gambar 1.9. Aturan tangan kanan untuk menentukan arah vektor Cdari bentuk perkalian vektor =A B C

B

B

A

z

y

x

C

A

B


10/24

10

Pada gambar 1.8, diperlihatkan bentuk diagram vektor dari perkalian vektor

=A B C , dimana vektor-vektor A dan B berada pada bidang koordinat xy dan

vektorC

pada arah sumbu z. VektorC

selalu tegak lurus terhadap vektor-vektorA

dan B.Vektor Bpada gambar 1.8 dapat digeser-geser dari titik tangkapnya (vektor B

hanya satu buah dan bisa digeser ke depan). Sudut adalah sudut diantara vektor A

dan B. Pada gambar 1.9 diperlihatkan arah dari vektor Cdengan menggunakan aturan

tangan kanan. Apabila telapak tangan kanan diputar dari vektor Amenuju vektor B,

maka jari jempol akan menunjukkan arah vektor Cyang selalu tegak lurus terhadap

vektor Adan B. Pada perkalian cross berlaku hukum anti kommutasi

= A B B A , (1.23)

sehingga menghasilkan persamaan

0 =A A . (1.24)

Demikian pula untuk vektor satuan berlaku persamaan

0, = = =i i j j k k (1.25)

dan

, , , = = =i j k j k i k i j (1.26)

, , . = = = j i k k j i i k j

Untuk kasus koordinat kartesian dengan definisi vektor-vektor A =Axi+ Ayj+ Azk

dan B =Bxi+Byj+Bzk, maka perkalian vektor A B yang menghasilkan vektor C

= Cxi+ Cyj+ Czk, dapat dituliskan dalam bentuk determinan berikut

x y z

x y z

A A A

B B B

= =

i j k

C A B

( ) ( ) ( )y z z y x z z x x y y xA B A B A B A B A B A B= + C i j k , (1.27)sehingga diperoleh komponen-komponen kartesian dari vektor Csebagai

, ,x y z z y y z x x z z x y y xC A B A B C A B A B C A B A B= = = . (1.28)

Untuk bentuk perkalian ( )A A Bi dan ( )B A Bi , dapat diungkapkan sebagai

berikut

( ) ( ) ( ) ( ) 0x y z z y y z x x z z x y y xA A B A B A A B A B A A B A B = + + =A A Bi , (1.29)

dimana dengan cara yang sesuai akan diperoleh


11/24

11

( ) 0 =B A Bi . (1.30)

Beberapa sifat dari hukum-hukum perkalian vektor dapat diungkapkan sebagai

berikut

( ) + = + A B C A B A C , (1.31a)

( )x y z

x y z

x y z

A A A

B B B

C C C

=A B Ci ,

x y z y z x z x y z y x y x z x z yA B C A B C A B C A B C A B C A B C= + + , (1.31b)

( ) ( ) ( ) = A B C B A C C A Bi i , (1.31c)

( ) ( ) ( ) = A B C B A C A B Ci i , (1.31d)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = A B C D A C B D A D B Ci i i i i , (1.31e)

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } = A B C D C A B D D A B Ci i ,

( ){ } ( ){ }= B A C D A B C Di i . (1.31f)

Berbagai bentuk aplikasi fisika yang menggunakan perkalian vektor adalah

1. Hubungan diantara momen torka dengan gaya F dan lengan gaya r yang

didefinisikan sebagai= r F . (1.32)

2. Hubungan diantara kecepatan linier vdari sebuah partikel yang berputar pada

lintasan berbentuk lingkaran dengan kecepatan sudut dan jarakpartikel dari

pusat koordinatr,

= v r . (1.33)

3. Hubungan diantara momentum sudut suatu partikel L dengan jarak partikel

dari pusat koordinatrdan momentum linier p,= L r p . (1.34)

4. Dalam elektromagnetik dikenal adanya gaya MF yang disebabkan oleh muatan

listrik qyang bergerak sebesar vdan berada dalam pengaruh medan magnetik

homogen B,

M q= F v B . (1.35)

5. Dalam fisika zat padat dikenal adanya tiga vektor primitif dari kisi-kisi

reciprocal,


12/24

12

( )

( )2 3

1

1 2 3

2 =

a ab

a a ai ;

( )

( )3 1

2

1 2 3

2 =

a ab

a a ai ;

( )

( )1 2

3

1 2 3

2 =

a ab

a a ai, (1.36)

dimana a1, a2 dan a3adalah himpunan vektor-vektor primitif yang langsung

terukur dari bentuk kisinya.

(a) (b)

Gambar 1.10. Pada gambar (a) diperlihatkan puntiran oleh gaya F yang dinamakan torka .Sedangkan

pada gambar (b) diperlihatkan kecepatan sudut yang berarah tegak lurus terhadap

bidang lingkaranpada gerak melingkar.

(a) (b)

Gambar 1.11. Pada gambar (a) diperlihatkan akibat bergeraknya muatan q dalam pengaruh medan

homogen B akan memunculkan gaya FM yang membuat lintasan partikel menjadi lingkaran. Pada

gambar (b) vektor momentum sudut yang tegak lurus terhadap vektor posisi dan vektor momentum

linier dari partikel.

v

r

z

y

x

Arah vektor masuk

ke bidang kertasF

r

RFM

v

q

B

p

r

z

y

x

L


13/24

13

Pada gambar 1.10a diperlihatkan puntiran pada baud dengan menggunakan

kunci inggris. Puntiran yang dikerjakan oleh gaya F dinamakan momen torka

dengan arah vektornya masuk ke bidang kertas (tanda cross menyatakan vektor

yang arahnya masuk kebidang kertas dan tanda titik untuk arah keluar dari bidangkertas. Pada gambar 1.10 dan 1.11 tanda dan bukan diartikan sebagai tanda

perkalian titik dan cross tapi sebagai arah tanda vektor yang keluar atau masuk bidang

kertas). Pada gambar 1.10b diperlihatkan rotasi dari sebuah partikel yang mengelilingi

sumbu z dengan lintasan berbentuk lingkaran yang mempunyai jarak sebesar r dari

pusat koordinat. Arah dari vektor kecepatan sudut adalah tegak lurus terhadap

bidang lingkaranpada gerak melingkartersebut.

Pada gambar 1.11a diperlihatkan sebuah partikel bermuatan q yang sedangbergerak dengan kecepatan v dalam pengaruh medan magnet homogen B (tanda

berarti arahnya keluar bidang kertas) akan mengakibatkan munculnya gaya magnet

FM yang berarah tegak lurus terhadap vdan B. Munculnya FM akan merubah lintasan

partikel menjadi lingkaran. Pada gambar 1.11b, memperlihatkan vektor dari

momentum sudut partikel yang tegak lurus terhadap vektor posisi dan vektor

momentum linier dari partikel.

Pada sistem kesetimbangan statik dari benda tegar, maka terdapat dua

persyaratan yang harus dipenuhi yaitu kesetimbangan translasi dan kesetimbangan

rotasi. Pada kesetimbangan translasi berlaku hukum Newton kedua 0F= ,

sedangkangkan syarat kesetimbangan rotasi berlaku aturan semua momen torka

adalah nol disetiap titik, 0= (tidak harus terletak pada koordinat benda tegar tapi

juga bisa diluar koordinat benda tegar).

Gambar 1.11. Sistem kesetimbangan statik dari benda tegar (batang AB).

fA

NA

NC

D

W

O A

C

3 m

4 m

1 mB


14/24

14

Contoh 4 : Sebuah batang ABhomogen dengan panjang 6 m dan berat 200 N

bersandar pada dinding dengan jarak BC= 1 m. Jika dinding C licin dan lantai OA

kasar, kemudian jarak OC= 3 m seperti yang terlihat pada gambar 1.11, tentukanlah

koefisien gesekan diantara lantai dan batang jika batang dalam kesetimbangan statik.

Jawab :

W= 200 N ; sin 0,6 ; cos 0,8 = = ; 3DA m=

Diagram gaya-gaya dari gambar 1.11 dapat diungkapkan sebagai berikut :

Dari kesetimbangan translasi diperoleh :

0 sin 0,6 ; 0,6

0 cos 0,8

x A C C s A C

y C A C A

F f N N N N

F W N N N N

= = = =

= = + = +

Dari kesetimbangan rotasi diperoleh

0,= diambil pusat rotasinya di titik O (Bisa bebas dimana saja), diperoleh :

( ) ( ) 0OC Cy Cx OD OA A A= + + + + = r N N r W r N f

( ) ( ) ( ) ( )3 cos sin 1,6 1,8 4 0C C A AN N W N f + + + + =j j i i j j i j i

Dengan menggunakan aturan pada persamaan (1.20) dan (1.21), diperoleh

3 sin 1,6 4 0C AN W N + =k k k

yang menghasilkan persamaan :

( )4 1,6 3 sin 1,6 0,8 1,8A C C A CN W N N N N= + = + + , atau

2,4 3,08 ; 0,78CA CA

NN N

N= =

Koefisien gesekan statis : 0,6 0,6 0,78 0,47CsA

N

N

= = =

Cara lain dapat dihitung untuk pusat rotasi yang berbeda, misalkan

Diperoleh :

1 ,DD CO

DA CA=

1

33 1,8

5DD m= =

2DD OA

CD CA=

2

42 1,6

5DD m= =

NCy= NCcos

1 6

1 8 D2

y (m)

D1

fA

NA

NCx= NCsin

D

W

OA

C3

4

x (m)


15/24

15

0,= diambil pusat rotasinya di titik A. Pada kasus ini berarti momen torka yang

ditimbulkan oleh gaya NAdan fAakan nol karena tidak mempunyai lengan gaya ( r=

0), diperoleh

( ) 0AC Cy Cx AD= + + = r N N r W

( ) ( ) ( ) ( )4 3 cos sin 2,4 1,8 0C CN N W + + + + =i j j i i j j

4 cos 3 sin 2,4 0C CN N W + =k k k

( )4cos 3sin 2,4CN W + = 96CN N= ,

0,8 200 0,8 96 123, 2A CN W N N= = =

Sehingga diperoleh nilai / 0,78C AN N = , yang sama dengan perhitungan sebelumnya

dan menghasilkan nilai koefisien gesekan 0,47s = .

Contoh 5 : Jika diketahui vector-vektor primitive untuk kisi-kisi simple cubic

(sc), body centered cubic (bcc) dan face-centerd cubic masing-masing adalah

1 2 3; ;a a a= = =a i a j a k untuk sc

( )11 2 3 2; ;a a a= = = + +a i a j a i j k untuk bcc

( ) ( ) ( )1 1 11 2 32 2 2; ;a a a= + = + = +a j k a i k a i j untuk fcc

Carilah vektor primitif dari kisi-kisi reciprocal untuk kisi-kisi sc, bcc dan fcc.

Jawab :

Untuk kisi sc :

( )

( )

( )

( )2 3

1

1 2 3

2 2 2 2

a a a

= = = =

a a j k ib i

a a a i j k i ii i i

( )

( )

( )

( )3 1

2

1 2 3

2 2 2

a a

= = =

a a k ib j

a a a i j ki i

( )

( )1 2

3

1 2 3

2 2

a

= =

a ab k

a a ai

Untuk kisi bcc

1

2

a

=

b i ; 2

2

a

=

b j

( )

( )

{ }

( ){ } { }1 2

3 11 2 3 2

2 2 4 4

a a a

= = = =

+ + +

a a i j kb k

a a a i k ii j i j ki ii

Untuk kisi fcc : ( ) ( ) ( )1 1 11 2 32 2 2; ;a a a= + = + = +a j k a i k a i j


16/24

16

( )

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )1 12 22 3

1 1 1 11 2 3 2 2 2

22 2a a

aa a a

+ + = = = +

+ + +

i k i ja ab k j i

a a a j k i k i ji i

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 12 23 1

2

1 1 11 2 3 2 2 2

22 2a a

aa a a

+ + = = = +

+ + +

i j j ka ab k j i


( )

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )1 12 21 2

3 1 1 11 2 3 2 2 2

22 2a a

aa a a

+ + = = = + +

+ + +

j k i ka ab k i j


Contoh 6 : Dengan menggunakan hubungan momentum putar = L r p dan

p i = , ( ), ,x y z= , carilah komponen momentum putar , danx y zL L L .

Jawab :

x y z

x y z

p p p

= =i j k

L r p ( ) ( ) ( )z y x z y xy p z p z p x p x p y p= + + i j k ,

diperoleh hubungan dengan notasi xx

,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x z y z y

y x z x z

z y x y x

L y p z p i y z

L z p x p i z x

L x p y p i x y

= =

= =

= =


17/24

17

1.6 Gradien dari Potensial Skalar, V

Misalkan didefinisikan fungsi skalar potensial ( ), ,V x y z yang dapat dituliskan variasi

totalnya dengan menggunakan turunan parsial sebagai

V V VdV dx dy dz

x y z

= + +

. (1.37)

Dalam kasus medan listrik statik, untuk memindahkan muatan listrik dari suatu titik

tertentu ke tempat lain yang jaraknya berhingga dibutuhkan suatu kerja yang dapat

dituliskan sebagai

akhir

awal

W q d= E Li , (1.38)

dimana lintasan L yang ditempuh harus ditentukan sebelum integral tersebut dapat

dihitung. Pada kedudukan awal dan kedudukan akhir muatan listrik q dianggap dalam

keadaan diam. Kuantitas vektor E dinamakan medan listrik atau intensitas medan

listrik. Adapun definisi potensial (atau beda potansial) V adalah merupakan kerja

(oleh sumber luar) untuk memindahkan satu satuan muatan positif dari suatu titik ke

titik lain dalam medan listrik, yang dapat dituliskan sebagai

akhir

awal

V d=

E Li . (1.39)

Bentuk integrasi pada persamaan (1.39) dapat dituliskan dalam bentuk differensial

pada koordinat kartesian tiga dimensi sebagai

x y zdV d E dx E dy E dz= = E Li . (1.40)

Dengan menyamakan persamaan (1.40) dengan (1.37) maka akan diperoleh hubungan

,xV

Ex

=

,y

VE

y

=

,z

VE

z

=

(1.41)

dimana medan total E dari sebagai fungsi medan-medan listrik pada koordinat

kartesian dapat dituliskan sebagai

x y zE E E E Vx y z

= + + = + +

i j k i j k . (1.42)

Pada persamaan (1.42) terdapat kuantitas vektor yang dinamakan gradien potensial

V, yang dapat didefinisikan dalam koordinat kartesian sebagai

V Vx y z

= + + i j k , (1.43)


18/24

18

dimana dinamakan notasinabla. Formulasi medan listrik dapat dituliskan sebagai

negatif dari gradien potensial,

V= E . (1.44)

Gambar 1.12. Kubus dengan sisi-sisi 0,x 0y dan 0z .

Misalkan potensial V(x) keluar dari pusat kubus melalui enam permukaan

kubus dengan masing-masing sisi-sisi kubus adalah sebesar x , y dan z yang

mendekati nol panjangnya. Jika bagian potensial yang berada pada pusat kubus (atau

pusat koordinat O) adalah V0, maka potensial V(x,y,z) yang keluar dari permukaan

EFGHdapat diungkapkan sebagai

( ) ( ) ( )

2 2

0 02

, , , ,1, , ...

2 2! 2 2

V x y z V x y zx x x VV x y z V V

x x x

= +

, (1.45)

dengan kuantitas / 2x adalah jarak dari pusat koordinat (0,0,0) ke permukaan

EFGH dari sumbu koordinat x. Sedangkan besarnya vektor luasan EFGH dapat

dituliskan sebagai

EFGHd y z= S i , (1.46)

sehingga diperoleh

02

EFGH

x VV d V y z

x

=

S i . (1.47)

Untuk kasus permukaanABCD, dengan cara yang sesuai akan diperoleh

12

x

G H

F

C

A

z

y

x

E

D

B

12

z

12

y

Pusat koordinat :

O (0, 0, 0)


19/24

19

02

ABCD

x VV d V y z

x

= +

S i , (1.48)

dengan kuantitas / 2x adalah jarak dari pusat koordinat (0,0,0) ke permukaanABCD

dari sumbu koordinat +x. Jika persamaan (1.47) dan (1.48) dijumlahkan diperoleh

EFGH ABCD

VV d V d x y z

x

+ =

S S i . (1.49)

Dengan cara yang sama untuk penjumlahan integral dari permukaan lainnya diperoleh

ACGE BDHF

VV d V d x y z

y

+ =

S S j , (1.50)

dan

ABEF CDGH

VV d V d x y z

z

+ =

S S j . (1.51)

Integral untuk seluruh permukaan pada kubus ( 6 permukaan) dapat dituliskan sebagai

EFGH ABCD ACGE BDHF ABEF CDGHV d V d V d V d V d V d V d = + + + + + S S S S S S S

V V Vx y z

x y z

= + +

i j k , (1.52)

sehingga gradien V dapat dituliskan sebagai

0lim

V dV V

x y z

= + + =

Si j k

, (1.53)

dengan elemen volume x y z = .

1.7 Divergensi dari Vektor Kerapatan Fluks Listrik, D.

Salah satu aplikasi dari kasus medan listrik yang diakibatkan oleh mengalirnya

fluks-fluks listrik dikenal sebagai hukum Gauss. Untuk meninjau hukum Gauss secara

matematis, maka ditinjau gambar 1.13 berikut : Distribusi muatan (awan muatan)

terlingkungi dalam suatu permukaan tertutup yang berbentuk sembarang. Jika muatan

totalnya adalah Q maka akan mengalir fluks-fluks listrik yang akan menembus

permukaan yang melingkungi awan muatan tersebut. Jika ditinjau pada suatu elemen

luasan tertentu dengan arah vektor luasan dS, maka arah vektor kerapatan fluks listrik

Dspada elemen luasan tersebut akan membentuk sudut terhadap vektor dS. Ds, normal

merupakan proyeksi Dsterhadap vektor luasan dS.


20/24

20

Gambar 1.13. Distribusi muatan Q yang terlingkungi permukaan tertutup yang akan mengalirkan

fluks-fluks listrik yang menembus permukaan tertutup tersebut.

Hukum Gauss dari permukaan tertutup tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut:

Fluks listrik yang menembus setiap permukaan tertutup sama dengan muatan total

yang dilingkungi oleh permukaan tersebut.

Bentuk hukum Gauss secara matematis adalah

permukaantertutup

sQ d= = D Si , (1.54)

dimana Q adalah muatan total yang terlingkungi muatan tertutup tersebut dan

adalah fluks-fluks yang menembus permukaan tertutup dengan elemen permukaan dS.

Jika muatan total Q dapat diungkapkan dalam bentuk formulasi kerapatan muatan

volumemaka akan diperoleh hubungan

S s d d

= D Si , (1.55)

dimana d adalah elemen volume. Untuk melihat hubungan diantara hukum Gauss

dengan divergensi dari kerapatan fluks listrik Ds, maka dilihat kembali bentuk kubus

pada gambar 1.12. Jika muatan total Qberada pada pusat kubus (titik O) , maka fluks

listrik akan mengalir menembus enam permukaan kubus tersebut, sehingga dapat

dituliskan sebagai

S EFGH ABCD ACGE d d d d = + + D S D S D S D Si i i i

BDHF ABEF CDGH

d d d+ + +

D S D S D Si i i . (1.56)

dS

Ds

Ds, normal

Q

dS


21/24

21

Komponen kerapatan fluks listrik Dpada titik O dapat dituliskan sebagai

0 xo yo zoD D D= + +D i j k . (1.57)

Integral bagian pada persamaan (1.56) adalah

belakang belakang x,belakang x,belakangEFGH

d D y z D y z= = = D S D S i ii i i , (1.58)

dimana x,belakangD dapat dituliskan seperti pada persamaan (1.45) yaitu

x,belakang2

xxo

DxD D

x

, (1.59)

sehingga diperoleh

2

xxo

EFGH

Dxd D y z

x

= +

D Si . (1.60)

Untuk fluks listrik yang keluar dari permukaan depanABCD, maka dapat dituliskan,

x,depan2

xxo

DxD D

x

+

, (1.61)

sehingga diperoleh

2

xxo

ABCD

Dxd D y z

x

= +

D Si . (1.62)

Penjumlahan persamaan (1.60) dan (1.62) menghasilkan persamaan

x

EFGH ABCD

Dd d x y zx

+ =

D S D Si i . (1.63)

Dengan cara yang sama untuk integral-integral permukaan atas, bawah, kiri dan kanan

akan menghasilkan

z

ABEF CDGH

Dd d x y z

z

+ =

D S D Si i , (1.64)

y

ACGE BDHF

Dd d x y z

y

+ =

D S D Si i , (1.65)

sehingga diperoleh hasil

S

y yx xz zD DD DD D

d x y zx y z x y z

= + + = + +

D Si . (1.66)

Dari persamaan (1.66) dapat didefinisikan divergensi dari kerapatan fluks listrik D

sebagai berikut

S

0Div lim

yx zdDD D

x y z

= = + + =

D SD D

i

i

. (1.67)


22/24

22

Dengan menggunakan persamaan (1.54) diperoleh hukum Maxwell pertama dalam

bidang kelistrikan yaitu

0lim

Q

= =

Di , (1.68)

sehingga persamaan (1.55) dapat dituliskan kembali sebagai

( )S

d d

= D S Di i . (1.69)

Persamaan (1.69) dinamakan sebagai teorema Gauss pada kasus divergensi dari

sebuah vektor D.

1.8 Curl dari Vektor Intensitas Medan Magnet, H.

Untuk menghitung curl dari medan magnet H dengan menggunakan gambar 1.14,

anggaplah terdapat sebuah penghantar yang sangat panjang (l= ) yang mengangkut

sebuah arus Ipada arah sumbu z (ditandai dengan tanda ), dimana besarnya medan

magnetBpada suatu jarak tegak lurusRterhadap kawat lmenurut hukum Biot Savart

adalah

0

2

IB

R

= atau

2

IH

R= , (1.70)

dimana 0B H= .

Gambar 1.14. Lintasan tertutup berbentuk segiempat dari medan H disekitar kawat arus listrikIdengan

panjang tak berhingga pada arah sumbu z.

x

1

2

3

4

Hx

H

y

I

x

y


23/24

23

Jika pada bidang xy dibuat lintasan tertutup dari medan H berbentuk segiempat

dengan panjang dan lebar sebesar x dan y , maka menurut hukum Ampere (hanya

berlaku untuk kawat arus listrik yang sangat panjang) berlaku hubungan

I d= H ri , (1.71)dimana radalah lintasan tertutup dari medan H tersebut (bukan panjang kawat arus

berlistrik). Untuk kasus lintasan tertutup berbentuk segiempat 1234, diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4x y x yd H x H y H x H y= + + H ri , (1.72)

dimana tanda negatif karena arah medan yang ke kiri atau ke bawah. Untuk kasus

, 0x y , maka dapat diadakan pendekatan

( ) ( )1 3 xx xH

H H yy

= + , (1.73)

sehingga diperoleh,

( ) ( )3 1 xx xH

H H x x yy

=

. (1.74)

Dengan cara yang sama akan diperoleh hubungan dari dua sirkulasi yang lainnya

yaitu

( ) ( )4 2 y

y y

H

H H y x yx

= , (1.75)

sehingga diperoleh sirkulasi disekitar bujur sangkar adalah

( ){ }y xH H

d x y x yx y

= =

H r H ki i

( ) ( ) ( )S= = H k H Si i

( )s

d d= H r H Si i , (1.76)

dimana S adalah permukaan yang dilingkungi oleh lintasan r, dengan arah vektor

luasannya kearah sumbu z, d dS=S k . Persamaan (1.76) dikenal sebagai teorema

Stokes. Dengan menggunakan hukum Ampere (1.71), dimana arus listrik I diubah

dalam bentuk formulasi kerapatan arus J, diperoleh

( )s s

d I d = = H S J Si i , (1.77)

yang menghasilkan hukum Maxwell kedua dalam bidang kemagnetan yaitu

=H J . (1.78)

Misalkan didefinisikan vektor D dapat diungkapkan sebagai berikut


24/24

24

( ) ( ), , , ,x y z D x y z=D a , (1.79)

dimana a adalah sebuah vektor dengan niali konstan tetapi mempunyai arah yang

berubah-ubah. Dengan menggunakan teorema Gauss (1.69), diperoleh

( ) ( )S Sd D d D d D d = = = D S a S a ai i i i . (1.80)

Persamaan (1.80) di atas dapat dituliskan sebagai

( ){ }S

0D d D d

= a Si . (1.81)

Karena |a||||0 dan arah vektornya berubah-ubah, yang berarti cosinus dari sudut yang

dimasukkan tidak dapat selalu lenyap, yang berarti persamaan dalam kurung kurawal

pada (1.81) harus berharga nol, yang dapat dituliskan sebagai,

( )S D d D d = S . (1.82)

Jika kemudian didefinisikan = D a P , dimana aadalah sebuah vektor yang konstan,

kemudian persamaan (1.82) dikalikan dengan vektor atersebut diperoleh

( )S

d d

= D S D , (1.83)

yang menghasilkan

{ } ( ){ }S

d d

= S a P a P , (1.84)

bab 1 fismath (analisis vektor)

Documents