8/12/2019 Aztec Arithmetic-Positional Notation

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A z t e c A r i t h m e t i c : P o s i t i o n a lN o t a t i o n a n d A r e a C a l c u l a t i o n

H. R . Harvey and B . J . W i l l i a m s

S y s t e m a t i c d e s t r u c t i o n o f n a t i v e w r i t -t e n r e c o r d s b y t h e S p a n i a r d s a f t e r t h ec o n q u e s t o f M e x i c o d e p r i v e d m o d e r ns c h o l a r s o f m u c h p r i m a r y d a t a i m p o r t a n tf o r d e t e r m i n i n g t h e l i t e r a r y a n d s c i e n t i f i ca c h i e v e m e n t s o f M e s o a m e r i c a n c i v i l i z a -t i o n . A c h a n c e e x p l a n a t o r y n o t a t i o n o na n 1 8 t h - c e n t u r y n a t i v e d o c u m e n t e n -a b l e d t h e German s c h o l a r , E r n s tF o r s t e m a n n , t o b e g i n i n 1 8 8 0 t o d e c i p h e rt h e a r i t h m e t i c a l - c a l e n d r i c a l p o r t i o n o ft h e Maya h i e r o g l y p h i c s y s t e m ( 1 ) . A s ac o n s e q u e n c e o f F 6 r s t e m a n n ' s w o r k a n d

A z t e c C o u n t i n gT h e A z t e c s h a d a g r e a t p r o p e n s i t y f o rm e a s u r i n g a n d c o u n t i n g . O b s e r v i n g t h e

m a r k e t i n t h e i r c a p i t a l o f T e n o c h t i t l a n ,H e r n a n C o r t e s n o t e d t h a t E v e r y t h i n gi s s o l d b y c o u n t a n d m e a s u r e . ( 4 ) .T h e N a h u a l a n g u a g e , s p o k e n b y t h e A z -t e c s , r e f l e c t s t h e c u l t u r a l i m p o r t a n c e o fc o u n t s a n d m e a s u r e s . F o r e x a m p l e , t h eN a h u a s y s t e m o f n u m e r a l s m a k e s u s e o fc l a s s i f i e r s t h a t i n d i c a t e t h e c a t e g o r y o fo b j e c t c o u n t e d . One c l a s s i f i e r i s u s e d t o

S u m m a r y . T e x c o c a n - A z t e c p e o p l e s i n t h e V a l l e y o f M e x i c o u s e d b o t h p i c t u r e s y m -b o l s a n d l i n e s a n d d o t s f o r n u m e r i c a l n o t a t i o n . D e c i p h e r m e n t a n d a n a l y s i s o f m i d -1 6 t h - c e n t u r y n a t i v e p i c t o r i a l l a n d d o c u m e n t s f r o m t h e T e x c o c a n r e g i o n i n d i c a t e t h a tt h e l i n e - a n d - d o t s y s t e m i n c o r p o r a t e d a s y m b o l f o r z e r o a n d u s e d p o s i t i o n t o a s c r i b ev a l u e s . P o s i t i o n a l l i n e - a n d - d o t n o t a t i o n w a s u s e d t o r e c o r d a r e a s o f a g r i c u l t u r a l f i e l d s ,a n d a n a l y s i s o f t h e d o c u m e n t a r y d a t a s u g g e s t s t h a t a r e a s w e r e c a l c u l a t e d a r i t h m e t i -c a l l y . T h e s e f i n d i n g s d e m o n s t r a t e t h a t n e i t h e r p o s i t i o n a l n o t a t i o n n o r t h e z e r o w e r eu n i q u e t o t h e M a y a a r e a , a n d t h e y i m p l y a n e q u a l l y s o p h i s t i c a t e d m a t h e m a t i c a l d e v e l -o p m e n t a m o n g t h e A z t e c s .t h a t o f h i s s u c c e s s o r s , b a s i c a s p e c t s o ft h e Maya a r i t h m e t i c a l s y s t e m a r e n owu n d e r s t o o d . T h e i r e a r l y u s e o f a s y m b o lf o r z e r o , f o r e x a m p l e , i s o n e o f t h e n o t e -w o r t h y a c h i e v e m e n t s i n Maya m a t h e -m a t i c a l d e v e l o p m e n t . Maya s c h o l a r s e s -p e c i a l l y h a v e l o n g f e l t t h a t o t h e r e t h n i cg r o u p s ( A z t e c s , M i x t e c s , Z a p o t e c s )l a g g e d f a r b e h i n d t h e Maya i n a r i t h m e t i -c a l c a p a b i l i t i e s ( 2 , 3 ) . H o w e v e r , i t i s w e l lk n o w n t h a t t h e A z t e c s p o s s e s s e d a c o m -p l e x s y s t e m o f c o u n t i n g , w h i c h w a s e x -p r e s s e d i n h i e r o g l y p h i c w r i t i n g b y n u -m e r o u s s y m b o l s . F u r t h e r m o r e , o u r r e -c e n t d e c i p h e r m e n t o f two e a r l y p o s t - c o n -q u e s t c e n s u s - c a d a s t r a l d o c u m e n t s f r o mt h e V a l l e y o f M e x i c o d e m o n s t r a t e s t h a tT e x c o c a n - A z t e c s u s e d a p o s i t i o n a l n o t a -t i o n s y s t e m . T h i s h a s h e r e t o f o r e b e e n a t -t r i b u t e d o n l y t o t h e M a y a a n d c o n s e q u e n t -l y s u g g e s t s t h e p o t e n t i a l f o r e q u a l l y s o p h i s -t i c a t e d a r i t h m e t i c among t h e A z t e c s .

H . R . H a r v e y i s a p r o f e s s o r o f a n t h r o p o l o g y a tt h e U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n , M a d i s o n5 3 7 0 6 . B . J . W i l l i a m s i s a n a s s o c i a t e p r o f e s s o r o fg e o g r a p h y a t t h e U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n C e n t e r -J a n e s v i l l e , J a n e s v i l l e 5 3 5 4 5 .S C I E N C E , VO L. 2 1 0 , 3 1 OCTOBER 1 9 8 0

d e n o t e r o u n d o b j e c t s , s u c h a s e g g s a n df r u i t ; a n o t h e r i s u s e d t o c o u n t o b j e c t s i nw h i c h l e n g t h i s t h e p r i m a r y f e a t u r e , s u c ha s r o p e , w a l l s , a n d i r r i g a t i o n d i t c h e s ; s t i l la n o t h e r d e n o t e s i t e m s t h a t c a n b es t a c k e d , s u c h a s s a n d a l s a n d p l a t e s , o ro b j e c t s w h i c h a r e d i v e r s e o r d i s p a r a t ef r o m e a c h o t h e r . F i n a l l y , s o m e o b j e c t s ,s u c h a s c o t t o n m a n t l e s , s h e e t s o f p a p e r ,o r t o r t i l l a s , a r e c o u n t e d i n g r o u p s o f 2 0( 5 ) . P r o p e r c o u n t i n g i n N a h u a t h e r e f o r er e q u i r e s k n o w l e d g e o f t h e c l a s s o r c a t e -g o r y t o w h i c h t h e o b j e c t i s s e m a n t i c a l l ya s s i g n e d .A s e l s e w h e r e i n M e s o a m e r i c a , t h e A z -t e c a r i t h m e t i c a l s y s t e m was b a s e 2 0 . T h et e r m f o r 2 0 i s l i t e r a l l y t r a n s l a t e d o n ec o u n t ( c e m - p o a l l i ) . T h e n e x t p l a c e i nt h e s y s t e m i s 2 0 2 o r 4 0 0 ( c e n - t z o n t l i ) , l i t -e r a l l y o n e h a i r s . T h e l a r g e s t p l a c e d e -n o t e d b y a s p e c i a l t e r m i s 2 0 3 o r 8 0 0 0 ( c e -x i q u i p i l l i ) , l i t e r a l l y o n e b a g . T h e i n -t e g e r s b e t w e e n p l a c e s a r e q u a n t i t i e s t ob e a d d e d o r m u l t i p l i e d . F o r e x a m p l e , 4 9i s e x p r e s s e d a s o m p o a l l i o n c h i c o n a h u io r two c o u n t s a n d 9 , a n d 5 0 0 a s c e n -

t z o n t l i i p a n m a c u i l p o a l l i o r ' o n e h a i r sa n d 5 c o u n t s .S y m b o l i c s y s t e m s f o r n u m e r i c a l n o t a -t i o n v a r i e d i n t h e V a l l e y o f M e x i c o a t t h et i m e o f t h e c o n q u e s t . T h e o n e m o s tw i d e l y a s s o c i a t e d w i t h t h e A z t e c s e m -p l o y e d a s e t o f p i c t u r e s y m b o l s : a s m a l lc i r c l e f o r o n e , a f l a g f o r 2 0 , a f e a t h e r o rt i e d b u n d l e f o r 4 0 0 , a n d a b a g f o r 8 0 0 0 .E a c h d e n o t e d a c a r d i n a l p l a c e i n t h e n u -m e r a l s y s t e m . S u c h a n o t a t i o n a l s y s t e mw o u l d b e c u m b e r s o m e f o r u s e i n a r i t h -m e t i c a l c o m p u t a t i o n b e c a u s e o f t h e c o m -p l e x i t y o f d r a w i n g s u c h f i g u r e s a s t h eb a g . B u t , i t h a s h i g h v i s u a l i m p a c t i n d e -n o t i n g q u a n t i t i e s o f c o m m o d i t i e s r e -c e i v e d i n t r i b u t e , a n d much o f t h e e x t a n tp i c t o r i a l r e c o r d o f t h e A z t e c s i s c o n -c e r n e d w i t h t r i b u t e c o l l e c t i o n .I n a d d i t i o n t o p i c t u r e s y m b o l s , T e x -c o c a n - A z t e c s u s e d a p o s i t i o n a l l i n e - a n d -d o t s y s t e m t h a t h a d t h e a d v a n t a g e o fw r i t i n g e f f i c i e n c y , s i n c e i t e m p l o y e d o n l yf o u r s y m b o l s t h a t w e r e e a s y t o draw-av e r t i c a l l i n e , a b u n d l e o f f i v e l i n e s l i n k e da t t h e t o p , a d o t , a c o r n g l y p h ( c i n t l i ) -w i t h p o s i t i o n i n d i c a t i n g t h e v a l u e o f t h es y m b o l s . We h a v e n o t e d i t s u s e i n l a n dd o c u m e n t s , b u t i t w o u l d s e e m t o b e m o r ew i d e l y a p p l i c a b l e a n d w e l l s u i t e d i n g e n -e r a l f o r a r i t h m e t i c a l c a l c u l a t i o n s .D o c u m e n t a r y E v i d e n c eTw o d o c u m e n t s u t i l i z i n g p o s i t i o n a l

l i n e - a n d - d o t n o t a t i o n p e r t a i n t o t h e . t o w no f T e p e t l a o z t o c , s i t u a t e d a p p r o x i m a t e l y6 k i l o m e t e r s f r o m t h e c i t y o f T e x c o c o i nt h e n o r t h e a s t e r n s e c t o r o f t h e V a l l e y o fM e x i c o . We h a v e e s t a b l i s h e d t h a t o n em a n u s c r i p t , t h e C 6 d i c e d e S a n t a M a r i aA s u n c i o n ( h o u s e d i n t h e B i b l i o t e c a N a -c i o n a l d e M e x i c o ) p e r t a i n s t o t h e m o d e r nT e p e t l a o z t o c b a r r i o o f A s u n c i o n . T h eo t h e r d o c u m e n t , t h e C o d e x V e r g a r a i nt h e c o l l e c t i o n o f t h e B i b l i o t h e q u e N a -t i o n a l e d e P a r i s , r e l a t e s t o t h e a d j a c e n tb a r r i o o f S a n G e r o n i m o ( 6 ) . Drawn i n t h eh i e r o g l y p h i c s t y l e o f t h e A c o l h u a ( T e x -c o c a n ) k i n g d o m , t h e s e m a n u s c r i p t s a p -p e a r t o h a v e b e e n d r a f t e d c i r c a 1 5 4 5 ( 7 ,8 ) . T h e y r e p o r t c e n s u s a n d c a d a s t r a l d a t af o r 1 6 s m a l l , n a m e d l o c a l i t i e s , a n d t h e yf i t S p a n i s h d e s c r i p t i o n s o f t h e r e c o r d sm a i n t a i n e d b y I n d i a n c o m m u n i t i e s i np r e - c o n q u e s t t i m e s ( 9 ) .E a c h o f t h e t w o c o d i c e s i s d i v i d e d i n t ot h r e e p a r t s b y l o c a l i t y . T h e f i r s t s e c t i o n( t l a c a t l a c u i l o l i , t l a c a n y o t l ) c o n t a i n s ac e n s u s b y h o u s e h o l d , u s u a l l y f i v e h o u s e -h o l d s t o a p a g e . T h e n a m e f o r e a c h h e a do f h o u s e h o l d i s w r i t t e n i n g l y p h i c f o r mb e s i d e t h e c o n v e n t i o n a l s y m b o l f o rh o u s e h o l d h e a d ( F i g . I A ) . T h e s e c o n ds e c t i o n ( m i l c o c o l i ) c o n s i s t s o f a l i s t i n g o f

0 0 3 6 . 8 0 7 5 / 8 0 / 1 0 3 1 . 0 4 9 9 0 0 . 5 0 / 0 C o p y r i g h t X 1 9 8 0 AAAS 4 9 9

8/12/2019 Aztec Arithmetic-Positional Notation

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l a n d p a r c e l s a s s o c i a t e d w i t h e a c h h o u s e -h o l d ( 1 0 - 1 2 ) . I n t h e m i l c o c o l i l i s t i n g t h es c r i b e d e p i c t e d t h e a p p r o x i m a t e s h a p e o fe a c h f i e l d . T h e m e a s u r e m e n t o f e a c h s i d ei s r e c o r d e d u s i n g l i n e s a n d d o t s , a l i n ee q u a l t o o n e l i n e a r u n i t a n d a d o t e q u a l t o2 0 ( F i g . I B ) ( 1 3 , 1 4 ) . I n t h e T e x c o c a na r e a , t h e s t a n d a r d u n i t o f l i n e a r m e a s u r e -m e n t w a s t h e q u a h u i t l , e q u a l t o t h r e eS p a n i s h v a r a s o r 2 . 5 m e t e r s ( 1 5 ) . I n a d d i -t i o n t o l i n e a r m e a s u r e m e n t s a r o u n d t h ef i e l d p e r i m e t e r e a c h f i e l d e x h i b i t s ag l y p h i n t h e c e n t e r t h a t r e f e r s t o s o i l t y p e( 1 6 ) . T h u s , t h e m i l c o c o l i i n d i c a t e s t h en u m b e r o f f i e l d s p o s s e s s e d b y e a c h h o u s e -h o l d , t h e i r a p p r o x i m a t e s h a p e , d i m e n -s i o n s , a n d s o i l t y p e . T h e s i g n i f i c a n c e o f t h em i l c o c o l i s e c t i o n i s t h a t i t a l l o w s c o m p u -t a t i o n o f t h e a r e a o f e a c h f i e l d a n d e s t i m a -t i o n o f t h e a m o u n t o f l a n d h e l d b y t a x - p a y -i n g commoner f a m i l i e s ( m a c e h u a l t i n ) i nt h e e a r l y p o s t - c o n q u e s t p e r i o d ( 1 7 ) .T h e t h i r d s e c t i o n o f e a c h l o c a l i t y c o n -t a i n s a n o t h e r l a n d r e c o r d l a b e l e d t l a h u e l -m a n t l i , w h i c h f o l l o w s t h e s a m e h o u s e -h o l d o r d e r a s t h e c e n s u s a n d m i l c o c o l i( 1 8 , 1 9 ) . S i n c e t h e s a m e h o u s e h o l d h e a d sf o r t h e m o s t p a r t h e l d t h e s a m e n u m b e ro f p r o p e r t i e s w i t h c o r r e s p o n d i n g s o i lt y p e s , t h e r e i s l i t t l e q u e s t i o n t h a t t h e t l a -h u e l m a n t l i s e c t i o n i s a s e c o n d r e c o r d o ft h e s a m e l a n d s . H o w e v e r , t h e t w o l a n dr e c o r d s d i f f e r i n s e v e r a l i m p o r t a n t a s -p e c t s . T h e l a n d s i n t h e t l a h u e l m a n t l i a r ed e p i c t e d i n s t y l i z e d f o r m a s r e c t a n g l e s o ft h e s a m e s i z e , t h e m a j o r i t y h a v i n g a p r o -t u b e r a n c e i n t h e u p p e r r i g h t - h a n d c o r n e r( F i g . I C ) . I n a d d i t i o n t o t h e s t a n d a r d i z e df i e l d s h a p e s , t h e p l a c e m e n t o f n u m b e r si n t h e t l a h u e l m a n t l i i s d i f f e r e n t . T h e n u -m e r i c a l q u a n t i t i e s u s i n g l i n e s a n d d o t sa r e e n t e r e d e i t h e r i n t h e c e n t e r o f t h er e c t a n g l e o r o n t h e b o t t o m l i n e , a n d i nt h e p r o t u b e r a n c e . When n u m b e r s ( w h i c hn e v e r e x c e e d 1 9 ) a r e e n t e r e d o n t h e b o t -t o m l i n e , a c i n t l i g l y p h o c c u r s n e a r t h et o p b o r d e r o f t h e r e c t a n g l e ( 2 0 ) . I n a d d i -t i o n , m o s t f i e l d s c o n t a i n a n u m b e r r a n g -i n g f r o m 1 t o 1 9 i n t h e u p p e r r i g h t - h a n dc o r n e r p r o t u b e r a n c e . We h a v e d e t e r -m i n e d t h a t t h e s e n u m b e r s r e p o r t t h e a r e ao f t h e f i e l d i n s q u a r e q u a h u i t l b y u s e o fp o s i t i o n a l n o t a t i o n .P o s i t i o n a l N o t a t i o n

T h e T e x c o c a n p o s i t i o n a l l i n e - a n d - d o tn o t a t i o n s y s t e m f u n c t i o n s i n t h e f o l l o w -i n g m a n n e r . T h e t l a h u e l m a n t l i r e c t a n g l er e c o r d s n u m b e r s i n t h r e e p o s i t i o n s ,w h i c h we r e f e r t o a s r e g i s t e r s . T h e f i r s tr e g i s t e r , l o c a t e d i n t h e u p p e r r i g h t p r o t u -b e r a n c e , r e c o r d s t h e u n i t s o f 2 0 , i n -d i c a t e d b y 1 t o 1 9 l i n e s . G r o u p s o f 5 a r eb u n d l e d t o g e t h e r b y a c o n n e c t i n g l i n e .5 0 0

T h e v a l u e o f t h i s r e g i s t e r r a n g e s f r o m 0t o 1 9 , a n d when t h e n u m b e r i s z e r o , t h ep r o t u b e r a n c e i s e i t h e r n o t d r a w n o r i sl e f t b l a n k . T h e b o t t o m l i n e o f t h e r e c -t a n g l e c o n s t i t u t e s t h e s e c o n d r e g i s t e r ,a n d i t e x p r e s s e s 1 t o 1 9 u n i t s o f 2 0 ( n u m -

b e r s 2 0 t o 3 8 0 ) . To d e r i v e t h e t o t a l v a l u e ,t h e number i n t h e s e c o n d r e g i s t e r i s m u l -t i p l i e d b y i 2 0 a n d t h e n a d d e d t o t h e n u m -b e r i n t h e f i r s t r e g i s t e r . T h e sum o f t h et w o r e g i s t e r s n e v e r e x c e e d s 3 9 9 . T h ec e n t r a l p o r t i o n o f t h e r e c ta n g l e c o n s t i -T a b l e 1 . Q u a d r i l a t e r a l f i e l d a r e a s c o m p u t e d f r o m m i l c o c o l i d i m e n s i o n s c o m p a r e d w i t h t h o s er e c o r d e d i n t h e t l a h u e l m a n t l i . F i e l d s a r e l i s t e d i n r a n k o r d e r o f d i s c r e p a n c y b y s i z e o f f i e l d .Q u a d r i l a t e r a l s i d e l e n g t h s a r e i n d i c a t e d b e g i n n i n g w i t h t h e l e f t f i e l d m a r g i n a a n d p r o c e e d i n gc l o c k w i s e . M i l c o c o l i a r e a s w e r e c a l c u l a t e d b y a s s u m i n g a r i g h t a n g l e b e t w e e n s i d e s a a n d b .Q u a d r i l a t e r a l s w i t h q u a h u i t l f r a c t i o n s a r e n o t i n c l u d e d . D a t a f r o m C u a u h t e p o z t l a , C 6 d i c e d eS a n t a M a r i a A s u n c i 6 n ( 6 )H o u s e - M i l - T l a h u e l - D i s -h o l d c o c o l i m a n t l i c r e p - D i s - S i d ea n d a r e a a r e a a n c y c r e p - l e n g t h sf i e l d ( s q u a r e ( s q u a r e ( s q u a r e a n c y a , b , c , dn u m b e r q u a - q u a - q u a - (h u i t l s ) h u i t l s ) h u i t l s )HH30-2H H 4 - 5H H 3 0 - 4H H 4 7 - 3HH64-1HH60-1H H 6 3 - 1H H 3 1 - 1HH39-7HH29-4H H 2 5 - 1H H 6 5 - 5H H I 1 6 - 2H H 5 3 - 3HH43-2H H 2 6 - 2H H 4 -8H H 2 4 - 2HH44-3HH24-3H H 2 - 3H H 1 7 - 1HH64-2HH1- 4H H 2 6 - 1H H 2 -5HH43-3H H 3 8 - 5H H 1 5 - 2HH3-6H H 5 8 - 5H H 2 9 - 5H H 2 3 - 2HH41-3HH38-7H H 1 O - 2H H2 -9H H 1 2 - 1H H 5 9 - 3H H 2 0 - 3HH32-4HH41-2H H S 3 - 2H H 6 - 4HH21-6H H i 1 - 3HH21-4H H 5 5 - 5HH39-9H H 3 5 - 1H H S - 3H H 3 9 - 5H H 1 8 - 5

E x a c t c o r r e s p o n d e n c e : = 9 ( 8 p e r c e n t )9 7 9 7 0 01 4 0 1 4 0 0 0

1 6 0 1 6 0 0 01 8 0 1 8 0 0 02 5 2 2 5 2 0 03 0 0 3 0 0 0 03 4 6 3 4 6 0 037 5 3 7 5 0 05 0 4 5 0 4 0 0M i l c o c o l i g r e a t e r t h a n t l a h e u l m a n t l i : N = 2 9 ( 2 6 p e r c e n t )2 8 9 2 8 8 1 04 6 2 4 6 1 1 01 6 0 1 5 8 2 12 0 3 2 0 0 3 14 0 7 4 0 4 3 05 2 9 5 2 6 3 01 0 9 1 0 3 6 62 3 7 2 31 6 31 2 7 1 2 0 7 62 3 0 2 2 3 7 32 7 0 2 6 3 7 33 4 7 3 4 0 7 23 9 1 3 8 0 1 1 34 1 0 3 9 9 1 1 38 9 9 9 0 0 1 1 13 7 9 3 6 5 1 4 44 7 6 4 6 0 1 6 31 8 0 1 6 0 2 0 1 14 4 1 4 2 0 2 1 52 1 7 1 8 8 2 9 1 31 8 4 i 3 8 4 6 2 52 6 3 2 0 7 5 6 2 13 3 0 2 3 2 9 8 3 03 0 9 2 0 8 1 0 1 3 32 4 9 1 3 2 1 1 7 4 76 1 0 4 7 0 1 4 0 2 35 5 1 3 9 2 1 5 9 2 94 3 5 2 5 2 1 8 3 4 29 0 0 5 4 3 3 5 7 4 0T l a h u e l m a n t l i g r e a t e r t h a n m i l c o c o l i : N = 7 5 ( 6 6 p e r c e n t )5 9 6 0 1 21 0 7 1 0 8 1 11 5 2 1 5 3 1 01 9 3 1 9 4 1 02 1 7 2 1 8 1 03 5 9 3 6 0 1 03 7 4 3 7 5 1 04 0 2 4 0 3 1 04 0 9 4 1 0 1 01 1 9 1 2 1 2 22 9 2 2 9 4 2 04 0 6 4 0 8 2 04 1 8 4 2 0 2 08 3 8 6 3 41 5 7 1 6 0 3 2

1 3 , 7 , 1 3 , 81 4 , 1 0 , 1 4 , 1 01 6 , 1 0 , 1 6 , 1 02 0 , 9 , 2 0 , 91 4 , 1 8 , 1 4 , 1 82 0 , 1 5 , 2 0 , 1 52 4 , 1 6 , 2 4 , 1 31 5 , 2 5 , 1 5 , 2 52 1 , 2 4 , 2 1 , 2 43 0 , 1 0 , 3 1 , 93 7 , 1 3 , 3 3 , 1 42 1 , 5 , 2 3 , 1 02 5 , 8 , 2 6 , 82 9 , 1 5 , 3 2 , 1 23 0 , 2 2 , 2 3 , 2 01 2 , 7 , 1 2 , 1 21 4 s 2 0 , 1 0 , 2 01 0 , 1 4 , 9 , 1 31 5 , 1 4 , 1 7 , 1 51 5 , 1 8 , 1 0 , 1 73 7 , 1 0 , 3 6 , 91 9 , 1 3 , 3 7 , 2 41 6 , 2 1 , 2 0 , 2 62 0 , 3 7 , 2 8 , 3 82 0 , 1 8 , 2 0 , 2 02 0 , 2 1 , 2 2 , 2 52 5 , 8 , 2 2 , 82 2 , 1 7 , 2 3 , 2 31 5 , 1 5 , 1 5 , 1 42 0 , 1 0 , 2 6 , 82 9 , 8 , 2 7 , 1 02 2 , 1 5 , 2 2 , 1 52 3 , 1 5 , 2 3 , 1 21 9 , 1 5 , 1 5 , 1 52 7 , 2 3 , 2 5 , 2 42 1 , 2 3 , 2 3 , 2 82 4 , 1 7 , 2 6 , 1 83 9 , 2 8 , 3 5 , 2 28 , 8 , 7 , 88 , 1 2 , 1 0 , 1 21 3 , 1 2 , 1 5 , 1 01 9 , 1 0 , 1 8 , 1 11 5 , 1 5 , 1 5 , 1 41 9 , 2 0 , 1 7 , 2 03 0 , 1 3 , 3 0 , 1 23 5 , 1 1 , 3 5 , 1 23 9 , 1 0 , 3 9 , 1 11 2 , 1 1 , 9 , 1 22 0 , 1 8 , 2 3 , 1 03 4 , 1 0 , 3 4 , 1 42 0 , 2 0 , 2 0 , 2 21 0 , 8 , 1 1 , 81 7 , 1 5 , 1 1 , 9

SCIENCE, V O L . 2 1 0

8/12/2019 Aztec Arithmetic-Positional Notation

3/7

t u t e s t h e t h i r d r e g i s t e r , a n d e x p r e s s e sq u a n t i t i e s o f 4 0 0 o r g r e a t e r i n m u l t i p l e so f 2 0 . A g a i n , t o d e r i v e t h e t o t a l , t h e num-b e r i n t h e t h i r d r e g i s t e r i s m u l t i p l i e d b y2 0 a n d a d de d t o t h e q u a n t i t y e n t e r e d i n t ot h e f i r s t r e g i s t e r . T h e T e x c o c a n s y m b o l

f o r 2 0 ( t h e d o t ) o n l y o c c u r s i n t h e t h i r dr e g i s t e r , a n d a c c o r d i n g t o i t s p o s i t i o n a lv a l u e m e a n s n o t 2 0 b u t 2 0 2 o r 4 0 0 . T h es e c o n d a n d t h i r d r e g i s t e r s n e v e r a r e c o n -c u r r e n t l y u s e d . When t h e r e i s n o e n t r y i nt h e t h i r d r e g i s t e r , t h e c i n t l i g l y p h i s

T a b l e I ( c o n t i n u e d ) .M i l - T l a h u e l - D i s -H o u s e - c o c o l i m a n t l i c r e p - D i s - Sideh o l d a r e a a r e a a n c y c r e p - l e n g t h sa n e d ( s q u a r e ( s q u a r e ( s q u a r e a n c y a b , c , df i e l d q u a - q u a - q u a - ( y n )n u m b e r h u i t l s ) h u i t l s ) h u i t l s

H H 1 7 - 6HH50-2HH38-3HH34-2HH39-3HH47-2H H 3 9 - 6HH53-4HH59-5HH11-2H H 1 6 - 3H H 7 - 3HH62-1HH15-3H H 1 3 - 4H H 1 6 - 4H H 2 4 - 4HH52-5HH65-2HH52-4H H 2 - 2H H 5 4 - 4HH54-2HH35-2H H 6 1 - 2HH45-5HH54-3H H 1 1 - 4H H 3 - 5H H 2 9 - 2HHll-lH H 1 7 - 5HH25-2H H 3 1 - 2HH54-1H H 2 1 - 5HH40-1H H 2 2 - 2HH45-1HH33-2H H 4 4 - 2H H 2 0 - 1HH59-2HHl-10H H 1 8 - 4H H 4 5 - 3H H 5 1 - 1H H 6 3 - 2HH75-2HH56-2H H 1 3 - 2HH53-1HH75-5HH54-6HH75-4HH47-1H H 1 4 - 4H H 1 8 - 2H H 1 9 - 3H H 1 - 2

T l a h u e l m a n t l i g r e a t e r t h a n m i l c o c o l i : N 7 5 ( 6 6 p e r c e n t )1 8 5 1 8 8 3 22 3 3 2 3 6 3 14 9 7 5 0 0 3 01 8 0 1 8 5 5 34 3 5 4 4 0 5 14 6 9 4 7 4 5 11 1 8 1 2 4 6 52 1 0 2 1 7 7 32 8 9 2 9 6 7 22 0 0 2 0 8 8 43 2 5 3 3 3 8 43 7 8 3 8 6 8 22 2 9 2 3 8 9 42 5 2 2 6 1 9 44 3 3 4 4 2 9 21 6 9 1 8 0 1 1 71 1 8 1 3 0 1 2 1 01 2 8 1 4 0 1 2 93 0 7 3 2 0 1 3 437 1 3 8 5 1 4 43 7 0 3 8 5 1 5 44 7 2 4 8 8 1 6 36 5 4 6 7 0 1 6 22 5 7 2 7 4 1 7 73 1 8 3 3 7 1 9 64 1 6 4 3 5 1 9 54 9 6 5 1 5 1 9 42 8 8 4 0 2 2 0 99 9 1 2 0 2 1 2 11 6 3 1 8 4 2 1 1 32 4 6 2 6 7 2 1 93 8 2 4 0 5 2 3 61 2 6 1 5 0 2 4 1 93 6 3 3 8 7 2 4 73 7 6 4 0 3 2 7 74 3 8 4 6 5 2 7 64 6 6 4 9 3 2 7 61 4 4 1 7 2 2 8 1 97 6 3 7 9 2 2 9 44 0 0 4 3 2 3 2 81 6 4 1 9 7 3 3 2 06 2 6 6 6 1 3 5 61 7 4 2 1 0 3 6 2 15 5 6 5 9 3 3 7 71 9 6 2 3 4 3 8 1 92 3 2 2 7 1 3 9 1 71 5 9 2 0 0 4 1 2 63 5 1 3 9 8 4 7 1 32 6 2 3 1 5 5 3 2 02 5 0 3 1 0 6 0 2 45 3 1 5 9 5 6 4 1 29 6 6 1 0 3 4 6 6 73 6 6 4 3 2 6 6 1 85 4 9 6 2 5 7 6 1 42 6 2 3 6 0 9 8 3 75 2 0 6 2 0 1 0 0 1 92 8 7 4 1 1 1 2 4 4 34 5 0 5 9 1 1 4 1 3 12 0 3 4 5 6 2 5 3 1 2 55 0 4 8 3 5 3 3 1 6 6

1 5 , 1 2 , 1 6 , 1 22 0 , 1 0 , 2 1 , 1 32 0 , 2 6 , 1 7 , 2 81 8 , 1 0 , 1 8 , 1 02 0 , 2 0 , 2 4 , 2 02 2 , 2 0 , 2 4 , 2 11 3 , 1 2 , 8 , 1 21 5 , 1 4 , 1 5 , 1 42 0 , 1 5 , 2 0 , 1 41 5 , 1 2 , 1 6 , 1 43 8 , 8 , 3 9 , 91 5 , 1 5 , 2 6 , 2 91 7 , 1 1 , 1 9 , 1 51 4 , 1 6 , 1 6 , 1 82 9 , 1 5 , 3 1 , 1 42 0 , 8 , 2 0 , 91 0 , 1 0 , 1 2 , 1 22 1 , 6 , 2 3 , 62 3 , 1 5 , 3 1 , 1 02 2 , 1 5 , 2 2 , 1 92 7 , 1 3 , 2 6 , 1 51 8 , 2 4 , 2 0 , 2 63 7 , 1 6 , 3 8 , 1 92 2 , 1 2 , 2 1 , 1 22 3 , 1 6 , 1 7 , 1 74 0 , 9 , 3 5 , 1 43 0 , 1 4 , 3 3 , 1 83 5 , 1 3 , 2 6 , 1 21 1 , 9 , 1 1 , 92 1 , 8 , 2 0 , 86 , 2 3 , 1 5 , 2 71 7 , 2 3 , 1 5 , 2 58 , 1 5 , 8 , 2 03 4 , 1 0 , 3 6 , 1 12 0 , 1 8 , 2 2 , 1 81 9 , 3 0 , 9 , 3 91 8 , 2 3 , 2 3 , 2 31 2 , 1 2 , 1 2 , 1 23 0 , 3 7 , 1 9 , 3 22 7 , 1 0 , 2 8 , 2 01 1 , 1 6 , 2 0 , 82 9 , 2 0 , 3 5 , 2 01 7 , 1 8 , 1 0 , 1 53 5 , 1 6 , 3 7 , 1 52 4 , 1 2 , 1 7 , 1 11 5 , 1 5 , 1 6 , 1 52 3 , 9 , 2 3 , 52 4 , 1 7 , 3 1 , 1 02 5 , 1 0 , 2 5 , 1 12 0 , 1 7 , 1 5 , 1 41 9 , 3 1 , 1 9 , 2 66 6 , 1 4 , 6 8 , 1 52 5 , 1 7 , 2 8 , 1 12 1 , 1 8 , 2 9 , 3 02 5 , 1 1 , 2 5 , 1 03 4 , 2 2 , 2 2 , 2 12 4 , 1 3 , 2 4 , 1 13 9 , 2 3 , 1 5 , 1 91 0 , 2 0 , 1 4 , 1 51 5 , 1 5 , 3 9 , 3 8

3 1 OCTOBER 1 9 8 0

d r a w n t o w a r d t h e t o p o f t h e r e c t a n g l ea n d s i g n i f i e s z e r o i n t h e t h i r d r e g i s t e r .T h u s , f o r t h e f i r s t f i e l d i l l u s t r a t e d i n F i g .I C , t h e e n t r i e s a r e o n e d o t a n d 1 1 l i n e s i nt h e t h i r d r e g i s t e r [ 2 0 2 + ( 1 1 x 2 0 ) ] = 6 2 0p l u s 4 l i n e s i n t h e f i r s t r e g i s t e r , w h i c h t o -t a l s 6 2 4 s q u a r e q u a h u i t l ( 2 1 ) . T h e t h i r df i e l d h a s a n a r e a o f 3 3 3 s q u a r e q u a h u i t l a sr e c o r d e d b y 1 6 l i n e s i n t h e s e c o n d r e g i s -t e r ( 1 6 x 2 0 = 3 2 0 ) p l u s 1 3 l i n e s ( x 1 ) i nt h e f i r s t r e g i s t e r , a n d a c i n t l i g l y p h a t t h et o p o f t h e r e c t a n g l e i n d i c a t i n g z e r o i n t h et h i r d r e g i s t e r .A r e a C o m p u t a t i o n

T h e m i l c o c o l i r e c o r d d e p i c t i n g l i n e a rd i m e n s i o n s o f i n d i v i d u a l f i e l d b o u n d a r i e sc o n f i r m s e v i d e n c e f r o m o t h e r n a t i v ed o c u m e n t s a n d e a r l y S p a n i s h d e s c r i p -t i o n s t h a t n a t i v e M e x i c a n s m a i n t a i n e dd e t a i l e d c a d a s t r a l r e c o r d s . H o w e v e r ,d e c i p h e r m e n t o f t h e t l a h u e l m a n t l i a d d st o t h i s k n o w l e d g e t h e h i t h e r t o u n k n o w np r a c t i c e o f e x p r e ss i n g l a n d h o l di n g s i nt e r m s o f a r e a . T h u s , i t a l s o p r o v i d e s a ni n s i g h t i n t o t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o fn a t i v e a r i t h m e t i c a p a r t f r o m i t s e s o t e r i cu s e i n c a l e n d r i c s a n d a s t r o n o m y .

N a t i v e m e t h o d s f o r d e r i v i n g a r e a r e -m a i n t o b e d e t e r m i n e d . T h e m i l c o c o l ir e c o r d d o e s n o t p r o v i d e e n o u g h i n f o r m a -t i o n t o c a l c u l a t e e x a c t a r e a o f f i e l d s , p a r -t i c u l a r l y t h e h i g h l y c o m p l i c a t e d f o r m s ,s i n c e i t d o e s n o t r e c o r d t h e t r u e s h a p e b ym e a n s o f a n g l e s o r a u x i l i a r y m e a s u r e s .I n o t h e r w o r d s , t h e m i l c o c o l i c a n n o t b eu s e d a s a w o r k s h e e t f o r t h e t l a h u e l -m a n t l i s e c t i o n . T h e r e f o r e , t h e r e m u s th a v e b e e n i n t e r m e d i a t e s t e p s i n a r e a c a l -c u l a t i o n b e t w e e n t h e m i l c o c o l i a n d t l a -h u e l m a n t l i r e c o r d s . A g r i d s y s t e m c o u l dh a v e b e e n u s e d i n t h e f i e l d a t t h e t i m e o fs u r v e y , o r a g r i d s y s t e m c o u l d h a v e b e e nc o m b i n e d w i t h c o m p u t a t i o n ; o r t h e a r e am i g h t h a v e b e e n c o m p u t e d b y r e c o r d i n gt h e r e q u i r e d i n f o r m a t i o n f o r l a t e r c o m p u -t a t i o n . T h e k e y t o d i s c o v e r i n g t h e m o s tp r o b a b l e m e t h o d i s i n t h e d o c u m e n t st h e m s e l v e s ( 2 2 ) .To e x p l o r e how a r e a w a s d e t e r m i n e da n d t h e d e g r e e o f a c c u r a c y a c h i e v e d b yt h e T e x c o c a n s , we c a l c u l a t e d t h e a r e a o fq u a d r i l a t e r a l f i e l d s f r o m C u a u h t e p o z t l a ,o n e o f t h e t e n l o c a l i t i e s i n t h e C o d i c e d eS a n t a M a r i a A s u n c i o n ( 2 3 ) . A p r e l i m i -n a r y a n a l y s i s i n d i c a t e s t h a t 5 5 p e r c e n t o ft h e a r e a s r e c o r d e d i n t h e t l a h u e l m a n t l ia r e w i t h i n 5 p e r c e n t o f t h e a r e a s we c a l -c u l a t e d f r o m m i l c o c o l i d a t a ; 7 1 p e r c e n to f t h e t l a h u e l m a n t l i a r e a s a r e w i t h i n 1 0p e r c e n t o f o u r v a l u e s . T h e r e f o r e , t h e r e i sc o n s i d e r a b l e a g r e e m e n t b e t w e e n o u r v a l -u e s a n d t h e i r s ( T a b l e 1 ) . I n n i n e f i e l d s ,o u r c o m p u t e d a r e a s a n d t h e t l a h u e L -

5 0 1

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4/7

m a n t l i a r e a s c o r r e s p o n d e x a c t l y ; m o s t o ft h e s e f i e l d s w e r e q u a d r i l a t e r a l s w h o s eo p p o s i t e s i d e s w e r e e q u a l . T h e s e we a s -s u m e d t o b e r e c t a n g l e s f o r w h i c h t h el e n g t h - t i m e s - w i d t h a l g o r i t h m a p p l i e s .S i n c e t h e T e x c o c a n v a l u e s c o r r e s p o n d t oo u r s , t h i s s u g g e s t s t h a t t h e y u s e d t h es a m e a l g o r i t h m . T h e r e m a i n i n g 1 0 4q u a d r i l a t e r a l s e i t h e r h a v e t l a h u e l m a n t l ia r e a s l e s s t h a n o r g r e a t e r t h a n o u r e s t i -m a t e s . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w os e t s o f v a l u e s v a r i e s f r o m a n e g l i g i b l e 1s q u a r e q u a h u i t l t o 3 5 7 s q u a r e q u a h u i t l s( 0 t o 1 2 5 p e r c e n t ) . T l a h u e l m a n t l i a r e a sf a l l i n g b e l o w o u r e s t i m a t e s m ay b e m o r ea c c u r a t e t h a n o u r s . O u r m e t h o d a s s u m e do n e r i g h t a n g l e , w h i c h w o u l d r e s u l t i n a nA

o v e r e s t i m a t i o n o f a r e a i f t h e a s s u m p t i o nd i d n o t a p p r o x i m a t e t h e a c t u a l f o r m o ft h e f i e l d . T l a h u e l m a n t l i a r e a s g r e a t e rt h a n o u r e s t i m a t e s i n v o l v e o t h e r e x -p l a n a t i o n s , s i n c e i n m o s t c a s e s t h e r i g h ta n g l e a s s u m p t i o n y i e l d s t h e m axi m uma r e a p o s s i b l e f o r t h e s i d e l e n g t h s r e p o r t -e d i n t h e m i l c o c o l i ( 2 4 ) .Some o f t h e d i s c r e p a n c i e s a r e e x -p l a i n e d b y t w o a d d i t i o n a l a l g o r i t h m s .T h e t l a h u e l m a n t l i a r e a o f ma n y q u a d r i -l a t e r a l s t h a t a r e n e a r l y p a r a l l e l o g r a m sc a n b e o b t a i n e d b y t a k i n g t h e a r e a t o b et h e sum o f t h e a r e a s o f t w o r i g h t t r i a n g l e sw h o s e l e g s a r e t h e s i d e s o f t h e f i e l d s [ f o re x a m p l e , t h e a r e a o f H H5 9- 3 ( T a b l e 1 )w a s c o m p u t e d a s / 2 ( 8 x 8 ) + / 2 ( 8 x

Bl iPt ^ vq . ei f I I i1 1 B~ pr m

A

F i g . 1 . P o r t i o n s o f t h e C 6 d i c e d e S a n t a M a r i a A s u n c i 6 n r e l a t i n g t o t h e h o u s e h o l d o f P e d r oT l a c o c h q u i a u h . ( A ) T h e h o u s e h o l d c e n s u s , t l a c a t l a c u i l o l i , s h o w s t h e h e a d P e d r o , h i s w i f eJ u a n a , t h e i r two y o u n g d a u g h t e r s An a a n d M a r t h a , a n d t h e h e a d ' s y o u n g e r b r o t h e r ' t e i c a u h ) ,J u a n P a n t l i , h i s w i f e M a r i a , a n d t h e i r s on B a l t h a s a r ( P a r t h a s a l ) . T h e s h a d e d h e a d s i n d i c a t e t h a tt h e i n d i v i d u a l d e p i c t e d was d e c e a s e d . ( B ) T h e m i l c o c o l i s e c t i o n r e c o r d s t h e a p p r o x i m a t e s h a p e ,p e r i m e t e r m e a s u r e m e n t s , a n d s o i l t y p e o f f o u r f i e l d s b e l o n g i n g t o t h e h o u s e h o l d , t wo t o t h eh o u se h o l d h e a d a n d t wo t o t h e h e a d ' s b r o t h e r . I n t he n u m e r i c a l n o t a t i o n e m p l o y e d i n t h e m i l c o -c o l i , l i n e s e q u a l 1 q u a h u i t l a n d d o t s e q u a l 2 0 . T h e h a n d g l y p h s h o w n i n t h e f i r s t f i e l d i n d i c a t e s af r a c t i o n o f a q u a h u i t l . Q u a d r i l a t e r a l f i e l d s w i t h q u a h u i t l f r a c t i o n s ar e o m i t t e d f r o m t h e a n a l y s i si n T a b l e 1 . ( C ) T h e t l a h u e l m a n t l i s e c t i o n s h o w s t h e same f i e l d s as t h e m i l c o c o l i , b u t t h e y ared e p i c t e d as a b s t r a c t r e c t a n g l e s , a n d a d i f f e r e n t n u m e r i c a l n o t a t i o n i s u s e d . I n t h i s p o s i t i o n a ll i n e - a n d - d o t s y s t e m , n u m b e r s o c c u r i n t h r e e r e g i s t e r s . L i n e s i n t h e u p p e r r i g h t p r o t u b e r a n c er e c o r d u n i t s o f 2 0 . L i n e s o n t h e b o t t o m l i n e o f t h e r e c t a n g l e ( s e c o n d r e g i s t e r ) or i n t h e c e n t e r( t h i r d r e g i s t e r ) ar e m u l t i p l i e d b y 2 0 . D o t s , w h i c h o c c u r o n l y i n t h e t h i r d r e g i s t e r , e q u a l 2 0 2 or4 0 0 . Th e c o r n g l y p h ( c i n t l i ) a t t h e t o p m a r g i n o f t h e r e c t a n g l e i n d i c a t e s ze ro i n t h e t h i r d r e g i s t e r .T h e n u m b e r s r e c o r d t h e a r e a o f e a c h f i e l d i n s q u a r e q u a h u i t l . [ F r o m f o l i o s 2 r , l O r , a n d 1 9 v o f( 6 ) ] .

5 0 2

7 ) ] ( 2 5 ) . F o r m o r e i r r e g u l a r l y s h a p e dq u a d r i l a t e r a l s , we c a n f r e q u e n t l y d e r i v et h e t l a h u e l m a n t l i e s t i m a t e b y s u m m i n gt h e a r e a o f t h e l a r g e s t p o s s i b l e r e c t a n g l ew i t h i n t h e f i e l d a n d t h e a r e a o f t h e r e -m a i n i n g t r i a n g l e s . T h u s , t h e d a t a s t r o n g -l y s u g g e s t t h a t A z t e c s u r v e y o r s u s e ds o m e s o r t o f a r i t h m e t i c c a l c u l a t i o n t o d e -r i v e a r e a o f f i e l d s s u r v e y e d .N o t a l l o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n o u ra r e a c a l c u l a t i o n s a n d t h e t l a h u e i m a n t l iv a l u e s c a n b e a c c o u n t e d f o r b y d i f f e r e n tm e t h o d s o f c o m p u t a t i o n . I n t e r n a l e v i -d e n c e i n t h e t w o c o d i c e s s u g g e s t s t h a tt h e m i l c o c o l i a n d t h e t l a h u e l m a n t l i r e g i s -t e r s w e r e r e c o r d e d a t d i f f e r e n t t i m e s a n dp e r h a p s b y d i f f e r e n t s u r v e y o r s . F o r e x -a m p l e , t h e s e q u e n c e o f f i e l d s p o s s e s s e db y e a c h h o u s e h o l d i s n o t a l w a y s t h es a m e i n t h e t w o r e g i s t e r s . A l s o , s o m e i n -d i v i d u a l h o u s e h o l d s h a v e a d d e d o r l o s tp a r c e l s b e t w e e n t h e t w o r e g i s t e r s .T h e r e f o r e , i t a p p e a r s t h a t t h e t w o r e g i s -t e r s w e r e e i t h e r b a s e d o n s e p a r a t e s u r -v e y s o r t h a t o n e i s a n u p d a t e d m o d i f i c a -t i o n o f t h e o t h e r . I f t h e y r e p r e s e n t p a r -t i a l l y o r e n t i r e l y s e p a r a t e s u r v e y s , s o m ed i s c r e p a n c i e s i n t h e l i n e a r d i m e n s i o n s o ft h e f i e l d s m ay b e d u e t o s u r v e y i n c o n s i s t -e n c y . D i s c r e p a n c i e s b e t w e e n s u r v e y sm ay a l s o b e d u e t o r e a l c h a n g e s i n f i e l ds i z e a s t h e r e s u l t o f s ub di v i s i o n o r c o n -s o l i d a t i o n a f t e r i n h e r i t a n c e o r p r o p e r t ye x c h a n g e ; t h e l a r g e r d i s c r e p a n c i e s p r o b -a b l y r e l a t e t o s u c h r e a l i g n m e n t s .When a l l ( a p p r o x i m a t e l y 1 1 0 0 ) o f t h ei n d i v i d u a l f i e l d a r e a s a r e c o m p u t e d f o rh o u s e h o l d s o r f o r l o c a l i t i e s , t h e d i s -c r e p a n c i e s b e t w e e n o u r e s t i m a t e s a n dt h e t l a h u e l m a n t l i f i g u r e s t e n d t o e v e no u t . B e c a u s e s o m e l a r g e m i l c o c o l i f i e l d sa r e r e p l a c e d b y s m a l l f i e l d s i n t h e t l a -h u e l m a n t l i a n d v i c e v e r s a t h e a r e a s o ft h e l a n d h o l d i n g s c o m p u t e d f o r h o u s e -h o l d s r e m a i n f a i r l y c o n s t a n t . When a r e a sa r e c o m p u t e d f o r l o c a l i t i e s , t h e l a n d l o s tb y o n e h o u s e h o l d i s g a i n e d b y a n o t h e r ,s o t h a t t h e t o t a l s s h o w o n l y s l i g h t v a r i a -t i o n ( T a b l e 2 ) . O v e r a l l t h i s i m p l i e s n o to n l y a c c u r a t e m e a s u r i n g a n d c a r e f u l r e c -o r d - k e e p i n g , b u t a l s o s o p h i s t i c a t e dm e t h o d s t o c o m p u t e a r e a s .A p p l i c a t i o n

T h e f u n c t i o n a l s i g n i f i c a n c e o f c a l c u -l a t i n g l a n d a r e a i s m o s t a p p a r e n t i n r e l a -t i o n t o t h e s y s t e m o f t a x a t i o n i n a n c i e n tM e x i c o . L a n d h o l d i n g commoners p a i dp r o p e r t y t a x e s ( t r i b u t e ) b a s e d o n t h e s i z ea n d q u a l i t y o f t h e i r l a n d s . H e r m n n C o r t e sr e p o r t e d t h a t . h e who h a s t h e m c a np a y t r i b u t e b e c a u s e f o r e a c h m e a s u r e[ o u r i t a l i c s ] s o m uch t r i b u t e i s c h a r g e dt h e m a c c o r d i n g t o w h e r e t h e l a n d s a r e l o -

S C I E N C E , VO L. 2 1 0

6 1i s rw P i taK r . . .

0 r i j f oi n I

i & . P ' . a v 1 1s 1 I1

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5/7

c a t e d ( 2 6 ) . M a r t i n C o r t e s n o t e d t h a t . h e who h a s a p i e c e o f l a n d p a i d at r i b u t e ; a n d t h e o n e w i t h t w o , t wo ; a n dt h e o n e w i t h t h r e e , t h r e e ; a n d h e whoh a d a p i e c e o f i r r i g a t e d l a n d , p a i d d o u b l et h a t o f o n e who h a d d r y l a n d ( 2 7 ) . S i n c emuch o f t h e t a x e d l an d w a s i n h i l l y o rm o u n t a i n o u s t e r r a i n , a n d s q u a r e o r r e c -t a n g u l a r f i e l d s w e r e t h e e x c e p t i o n r a t h e rt h a n t h e r u l e , t h e t a x s y s t e m b a s e d o ns t a n d a r d m e a s u r e s r e q u i r e d a m e c h a -n i s m f o r e q u a t i n g o d d l y s h a p e d f i e l d sw i t h r e g u l a r o n e s . T h i s w a s t h e t a s k o ft h e s u r v e y o r , a n d a s c a n b e s e e n f r o mt h e t w o T e p e t l a o z t o c c o d i c e s , e v e n v e r ye c c e n t r i c a l l y s h a p e d l a n d p a r c e l s c o u l db e e x p r e s s e d a c c u r a t e l y i n t e r m s o f t h e i rs q u a r e u n i t c o n t e n t . T h e i m p o r t a n c e o fs u r v e y i n A z t e c s o c i e t y i s r e f l e c t e d i n1 6 t h - c e n t u r y Nahua v o c a b u l a r y , w h i c hi n c l u d e d n u m e r o u s t e r m s r e l a t e d t o s u r -v e y i n g a n d s e v e r a l r e f e r r i n g t o i n c o m p e -t e n t s u r v e y o r s ( 2 8 ) .

T h e r e i s i n c r e a s i n g e v i d e n c e t h a t t h eb a s i c a r e a m e a s u r e o f l a n d ( a n a l o g o u s t oa n a c r e ) w a s 4 0 0 s q u a r e u n i t s ( 2 0 x 2 0l i n e a r u n i t s ) . I n T e p e t l a o z t o c , t h e 4 0 0s q u a r e u n i t m e a s u r e w a s e q u i v a l e n t t o0 . 2 5 h e c t a r e [ ( 2 0 q u a h u i t l x 2 . 5 m e -t e r s ) 2 = 2 5 0 0 s q u a r e m e t e r s ] ( 2 9 ) . I n o t h -e r r e g i o n s , t h e l e n g t h o f t h e l i n e a r u n i tv a r i e d , b u t t h e c o n c e p t o f 2 0 b y 2 0 a p -p e a r s t o h a v e p r e v a i l e d . Many e x t a n tp i c t o r i a l d o c u m e n t s f r o m C e n t r a l M e x i -c o d e p i c t l a n d p a r c e l s a s r e c t a n g l e s , w i t hd i m e n s i o n s e x p r e s s e d a s m u l t i p l e s o f 2 0 .T h e T e p e t l a o z t oc c o d i c e s s u g g e s t t h a ts o m e o f t h e f i e l d s d e p i c t e d i n o t h e r d o c u -m e n t s m i g h t n o t b e a c t u a l p a r c e l s , b u tt l a h u e l m a n t l i - t y p e a b s t r a c t i o n s . O u rd a t a d e m o n s t r a t e t h a t t h e p r e c i s e s h a p eo f a f i e l d w a s l e s s r e l e v a n t f o r t a x p u r -p o s e s t h a n t h e s i z e .As a n e x a m p l e , f o l i o s 6 a n d 7 o f t h eC o d i c e d e O t l a z p a n ( 3 0 ) d e p i c t a l i s t o f1 1 r e c t a n g u l a r f i e l d s , e a c h 2 0 b r a z a s i nw i d t h , b u t i n c r e a s i n g i n l e n g t h i n r e g u l a ri n c r e m e n t s f r o m 1 0 t o 8 0 0 b r az a s ( 3 1 ,3 2 ) . T h e y a r e a r r a n g e d o n t h e p a g e s a c -c o r d i n g t o l e n g t h , a n d t h e t r i b u t e t o b ep a i d i s n o t e d b e s i d e e a c h f i e l d ( 3 3 ) . O ft h e t h r e e t y p e s o f t r i b u t e a s s e s s e d , t w o( f i r e w o o d a n d t u r k e y s ) a r e f i x e d q u a n -t i t i e s r e g a r d l e s s o f f i e l d s i z e ; t h e t h i r d( c a c a o b e a n s o r c o i n s ) v a r i e s i n d i r e c tp r o p o r t i o n t o t h e s i z e o f t h e f i e l d . F o r e x -a m p l e , t h e t r i b u t e f o r a 4 0 0 s q u a r e b r a z af i e l d i s 2 0 c a c a o b e a n s , i n d i c a t i n g a t a xr a t e o f o n e c a c a o b e a n p e r 2 0 s q u a r eb r a z a s . T h e f i e l d s l i s t e d i n t h e C 6 d i c e d eO t l a z p a n h a v e b e e n i n t e r p r e t e d a s a c t u a lf i e l d d i m e n s i o n s o f commoner l a n d -h o l d i n g s i n O t l a z p a n ( 3 4 ) . P e r f e c t l y r e c -t a n g u l a r f i e l d s s e e m h a r d l y p o s s i b l e , g i v -e n t h e t e r r a i n o f t h e O t l a z p a n a r e a ( m o d -e m T e p e j i d e l R i o ) , a n d e s p e c i a l l y c o n -3 1 O C T O B E R 1 9 8 0

T a b l e 2 . C o m p a r i s o n o f m i l c o c o l i a n d t l a h u e l m a n t l i a g g r e g a t e a r e a s b y l o c a l i t y . T h e f i r s t t e nl o c a l i t i e s a r e f r o m t h e C 6 d i c e d e S a n t a M a r i a A s u n c i 6 n , a n d t h e r e s t a r e f r o m t h e C o d e x V e r -g a r a ( 6 ) .M i l c o c o l i T l a h u e l m a n t l i D i s -c r e p a n c y

Ae A r a A r e a A r e a T l a h u e l -L o c a l i t y i n i n N o . i n A i r n e a N o . m a n t l is q u a r e h e c - o f s q u a r e h e - o f - m i l -q u a - t a e s f i e l d s q u a - t h a e c - s f i e l d s c o c o l ih u i t l s trshuitls t r s ( % Y )C u a u h t e p o z t l a 1 3 0 , 2 3 5 8 1 . 4 3 3 9 1 1 5 , 9 9 0 7 2 . 5 2 2 9 - 1 2 . 3T e c o n t l a 1 7 , 7 1 5 1 1 . 1 4 2 1 7 , 8 2 6 1 1 . 1 3 6 + 0 . 6T l a n c h i u h c a 4 0 , 5 6 3 2 5 . 4 5 2 4 6 5 2 9 2 9 . 1 5 2 + 1 2 . 8T l a n t o z c o c 2 1 , 0 1 8 1 3 . 1 3 1 2 1 , 6 3 6 1 3 . 5 3 1 + 2 . 9C h i a u h t e n c o 1 6 , 8 9 6 1 0 . 6 2 8 1 7 , 2 4 1 1 0 . 8 2 8 + 2 . 0C h i a u h t l a n 2 6 , 0 5 9 1 6 . 3 2 6 2 5 , 3 1 3 1 5 . 8 2 6 - 3 . 0C u i t l a h u a c 1 0 , 7 5 8 6 . 7 1 7 1 2 , 3 8 7 7 . 7 1 6 + 1 3 . 2T l a l t e c a h u a c a n 1 5 , 6 7 2 9 . 8 2 4 1 6 , 5 6 0 1 0 . 4 2 4 + 5 . 4C o n z o t l a n 1 1 , 6 4 5 7 . 3 1 6 1 1 , 0 3 5 6 . 9 1 6 - 5 . 5Z a p o t l a n 1 0 , 3 4 1 6 . 5 1 3 1 1 , 0 6 1 6 . 9 1 3 + 6 . 5C a l a t l a x o x i u h c o 7 5 , 4 0 0 4 7 . 1 2 0 9 7 5 , 2 6 1 4 7 . 0 2 0 9 + 0 . 2T o p o t i t l a 2 0 , 5 4 4 1 2 . 8 3 8 1 9 , 3 9 0 1 2 . 1 3 4 + 6 . 0T e o c a l t i t l a 5 4 , 8 9 5 3 4 . 3 1 1 4 5 6 , 3 5 2 3 5 . 2 1 1 4 - 2 . 6P a t l a c h i u h c a 2 7 , 2 2 1 1 7 . 0 5 3 2 6 , 5 9 1 1 6 . 6 5 3 - 2 . 4T e x c a l t i c p a c 1 1 0 , 2 6 0 6 8 . 9 2 0 3 1 1 1 , 8 7 9 6 9 . 9 1 9 9 + 1 . 5T o t a l s 5 8 9 , 2 2 2 3 6 8 . 3 1 , 2 0 5 5 8 5 , 0 5 1 3 6 5 . 7 1 , 1 5 0 - 0 . 7

s i d e r i n g t h a t r o a d s , d i t c h e s ,f e n c e s , a n d c o n s t r u c t i o n s make t r e e s ,r e g u l a rs h a p e d f i e l d s u n l i k e l y e v e n on l a c u s t r i n ep l a i n s . I n ou r v i e w t h e O t l a z p a n f i e l d l i s tappears t o r e p r e s e n t s t a n d a r d i z e d a b -s t r a c t i o n s o f a g g r e g a t e f i e l d area s w i t ht h e i r a s s o c i a t e d t a x l e v y . As s u c h , t h el i s t f u n c t i o n e d as a t a x t a b l e f r o mw h i c h a per so n c o u l d d e t e r m i n e t h e t a xon h i s h o l d i n g s . I f t h e O t l a z p a n t a x r a t eo f o n e c a c a o b e a n per 2 0 squ a r e u n i t sw e r e a p p l i e d t o T e p e t l a o z t o c , t h e n t a x e son e a c h p a r c e l c o u l d a l s o b e r e a d d i r e c t -l y f r o m t h e t l a h u e l m a n t l i s e c o n d a n dt h i r d r e g i s t e r s b y r e a d i n g t h e n u m b e r s a tf a c e v a l u e r a t h e r t h a n as m u l t i p l e s o f 2 0 .T h u s , a t l a h u e l m a n t l i f i e l d w i t h two d o t si n t h e t h i r d r e g i s t e r w o u l d b e r e a d as 8 0 0square q u a h u i t l i n area a n d t h e t a x w o u l dh a v e b e e n 4 0 c a c a o b e a n s ( 3 5 , 3 6 ) .C o n c l u s i o n sAs a r e s u l t o f t h e d e c i p h e r m e n t a n d

p r e l i m i n a r y a n a l y s i s o f t wo e a r l y p o s t -c o n q u e s t p i c t o r i a l m a n u s c r i p t s f r o m T e -p e t l a o z t o c , t h r e e new f e a t u r e s e m e r g ec o n c e r n i n g t h e n a t i v e a r i t h m e ti c a l s y s -t em o f T e x c o c a n - A z t e c p e o p l e s : ( i ) p o s i -t i o n a l l i n e - a n d - d o t n o t a t i o n ; ( i i ) a s y m b o lt o r e p r e s e n t some f u n c t i o n s o f z e r o ; a n d( i i i ) a p r o b a b l e s e t o f a l g o r i t h m s t o comp u t e l a n d a r e a . H o w e v e r , s i n c e b o t h d o c u -m e n t s w e r e d r a f t e d i n t h e 1 5 4 0 ' s , t h eq u e s t i o n a r i s e s w h e t h e r t h e s y s t e m wasp r e - H i s p a n i c i n u s e a n d d e v e l o p m e n t orw h e t h e r i t was a m n o n g t h e many c u l t u r a le l e m e n t s i n t r o d u c e d b y t h e S p a n i a r d s .T h e r e are a number o f f e a t u r e s a s s o c i -

a t e d w i t h S p a n i s h m a t h e m a t i c s t h a ts t r o n g l y c o n t r a s t w i t h t h e T e x c o c a n - A z -t e c s y s t e m . S p a n i s h m a t h e m a t i c s o f t h ee a r l y 1 6 t h c e n t u r y was b a s e 1 0 , a l t h o u g hsome w e i g h t s a n d m e a s u r e s w e r e e x -p r e s s e d i n b a s e s 8 a n d 1 2 , w h i c h d e r i v e df r o m e a r l i e r c o n v e n t i o n s i n t h e M e d i t e r -r a n e a n a r e a . T h e A r a b i c s y s t e m o f n o t a -t i o n h a d b e e n a d o p t e d i n S p a i n p r i o r t ot h e 1 6 t h c e n t u r y , b u t e a r l i e r Roman n o -t a t i o n c o n t i n u e d t o b e u s e d e x t e n s i v e l yu n t i l t h e e n d o f t h e 1 7 t h c e n t u r y . B o t hA r a b i c a n d Roman n o t a t i o n s m a k e u s e o fh o r i z o n t a l b u t n o t v e r t i c a l p l a c e v a l u e .T h e T e x c o c a n s y s t e m w a s b a s e 2 0 , i g -n o r e d h o r i z o n t a l p o s i t i o n , s o t h a t t h en u m b e r 2 3 c o u l d b e w r i t t e n e i t h e r a s I I I -o r . 1 1 ( 3 7 ) , a n d h a d a p o s i t i o n a l l i n e - a n d -d o t n o t a t i o n b a se d o n v e r t i c a l p o s i t i o n .T h e z e r o w a s h i g h l y d e v e l o p e d i n A r a b i ca r i t h m e t i c b u t o n l y w e a k l y i n T e x c o c a n -A z t e c . F i n a l l y , t h e T e x c o c a n s y s t e mw a s i n t e r n a l l y c o n s i s t e n t t h r o u g h o u t a n dr e f l e c t e d t h e i d i o s y n c r a c i e s o f t h e s p o -k e n l a n g u a g e . T h e w e i g h t o f t h e e v i -d e n c e , t h e r e f o r e , s t r o n g l y s u p p o r t s a ni n d i g e n o u s d e v e l o p m e n t o f T e x c o c a n -A z t e c a r i t h m e t i c r a t h e r t h a n a p o s t - c o n -q u e s t a d a p t a t i o n t o new i d e a s . T h e a b -s e n c e o f d e s c r i p t i o n o f t h e n a t i v ea r i t h m e t i c a l s y s t e m i n t h e e a r l y c h r o n i -c l e s s u g g e s t s t h a t S p a n i s h o b s e r v e r s o fn a t i v e c u l t u r e , s o a s t u t e i n t h e i r d e s c r i p -t i o n o f s o m e t h i n g s , w e r e e i t h e r i g n o r a n to f n a t i v e a r i t h m e t i c a l p r a c t i c e o r u n i m -p r e s s e d ( 3 8 ) .I t i s , p e r h a p s , i n t h e p r a c t i c a l a p p l i -c a t i o n o f a n a r i t h m e t i c a l s y s t e m t o d e -r i v e a r e a t h a t S p a n i s h a n d n a t i v e p r a c -t i c e s m o s t s h a r p l y c o n t r a s t . T h e S p a n i s h

5 0 3

8/12/2019 Aztec Arithmetic-Positional Notation

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c o u l d , b u t u s u a l l y d i d n o t , e xpr e ss l a n du n i t s i n s q u a r e m e a s u r e s ( 3 9 ) . T h e s i z e o fa g r i c u l t u r a l p l o t s was f r e q u e n t l y d e s i g -n a t e d i n t e r m s o f y i e l d , s u c h a s s o manyf a n e g a s o f w h e a t . A l s o , S p a n i s h l a n du n i t s s u c h a s t h e c a b a l l e r f a were n o t o r i -o u s l y v a r i a b l e ( 4 0 ) . T r a d i t i o n a l l y t h eS p a n i s h were content w i t h i m p r e c i s e d e -s c r i p t i o n s o f l a n d p a r c e l s , w h e r e a s t h en a t i v e M e x i c a n s were n o t ; t h i s c o n t r a s ts u g g e s t s t h e c o n t i n u a t i o n o f p r e - H i s p a n -i c p r a c t i c e s r a t h e r t h a n an a d a p t a t i o n t oa S p a n i s h s y s t e m . As A n d e r s o n e t a l .( 4 1 ) o b s e r v e d . f r o m t h e m i d - s i x -t e e n t h c e n t u r y , as f a r b a c k as o u r s e l e c -t i o n s g o, c e n t r a l M e x i c a n I n d i a n s w e r em e a s u r i n g t h e i r l a n d s v e r y e x a c t l y ,down t o t h e y a r d i n b o t h d i m e n s i o n s , u s-i n g q u i t e s op h i s t i c a t ed a n d i n d i v i d u a lt e r m i n o l o g y . A t t h a t t i m e S p a n i a r d s i nM e x i c o were s t i l l t r a n s f e r r i n g l a n d b y t h el e a g u e , w i t h n o o t h e r d e s c r i p t i o n t h a nt h e names o f n e a r b y owners or o u t -s ta n di n g g e o g r a p h i c a l f e a t u r e s .T h r e e b a s i c concepts o f t h e T e x c o c a np o s i t i o n a l l i n e - a n d - d o t system ar e s h a r e dw i t h t h e M a y a : b a s e 2 0 , v e r t i c a l p o s i -t i o n , a n d u s e o f a z e r o ( 4 2 ) . S i n c e A z t e cp e o p l e s were r e l a t i v e l y l a t e c o m e r s t o t h eV a l l e y o f M e x i c o a n d t h e z o n e o f h i g hc i v i l i z a t i o n , a n d s i n c e t h e i r a r e a o f p o l i t i -c a l a n d e c o n o m i c c o n t r o l e v e n t u a l l y ex -t e n d e d t o t h e b o r d e r s o f M a y a - s p e a k i n gp e o p l e s , t h e a r i t h m e t i c a l sys tem u s e d i nt h e T e x c o c a n a r e a m i g h t r e f l e c t a d i r e c tb o r r o w i n g f r o m t h e M aya ( 4 3 ) . H o w -e v e r , T e x c o c a n - A z t e c a r i t h m e t i c wasp r o b a b l y a r e g i o n a l e x p r e s s i o n o f a b a s i cs e t o f c o n v e n t i o n s a n d p r i n c i p l e s k n o w nt h r o u g h o u t t h e M e s o a m e r i c a n a r e a f o rtwo m i l l e n n i a or m o r e .

C i p h e r s e x p r e s s e d b y p i c t u r e s y m b o l swere g e o g r a p h i c a l l y w i d e s p r e a d i nM e s o a m e r i c a , b u t 1 6 t h - c e n t u r y p i c t o r i a ld o c u m e n t s f r o m C e n t r a l M e x i c o s h o wt h a t a nu mber o f a l t e r n a t e , a b s t r a c t symb o l s were a l s o u s e d . I n t h e O t l a z p a nm a n u s c r i p t , t h e f l a g a n d a b a r were a l t e r -n a t e s y m b o l s f o r 2 0 . T h e Codex K i n g s -b o r o u g h , a l s o f r o m T e p e t l a o z t o c , e x t e n -s i v e l y u s e d p i c t u r e s y m b o l s , i n manyc a s e s c o m b i n e d w i t h l i n e s a n d d o t s ( 3 5 ) .A l t h o u g h t h e c h o i c e o f s y m b o l t o r e c o r dn u m b e r s may h a v e b e e n t h e s c r i b e ' s , i tseems more l i k e l y t h a t t h e d e t e r m i n i n gf a c t o r was t h e o b j e ct t o b e c o u n t e d a n dt h a t t h e n u m e r i c a l c l a s s i f i e r system o ft h e s p o k e n l a n g u a g e was r e f l e c t e d i nw r i t i n g . T h i s c o u l d e x p l a i n why p i c t u r es y m b o l s a p p e a r i n one c o n t e x t a n d a b -s t r a c t s y m b o l s i n a n o t h e r .

T h e c o n v e n t i o n s a n d p r i n c i p l e s emb o d i e d i n t h e V e r g a r a a n d A s u n c i o n co-d i c e s a r e n o t l i m i t e d t o t h o s e d o c u m e n t s .T h e m i l c o c o l i c o n v e n t i o n o f i n -d i c a t i n g measurements a r o u n d t h e pe -

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r i m e t e r o f f i e l d s b y l i n e s a n d d o t s w i t hv a l u e s o f 1 a n d 2 0 i s f o u n d on t h e O z t o -t i c p a c L a n d s M a p a n d o t h e r T e x c o c a nm a n u s c r i p t s ( 1 4 , 4 4 ) . S i m i l a r l y , t h e t l a -h u e l m a n t l i c o n v e n t i o n s h o w i n g a b -s t r a c t f i e l d s w i t h , area i n d i c a t e d b y p o s i -t i o n a l l i n e - a n d - d o t n o t a t i o n h a s b e e nf o u n d on a l a t e 1 6 t h - c e n t u r y d o c u m e n tf r o m a n o t h e r Texcocan l o c a l i t y ( 4 5 ) , a n dt h e c i n t l i g l y p h appears i n a c o n t e x t o t h -er t h a n t l a h u e l m a n t l i t o c l a r i f y p l a c e v a l -u e ( 4 6 ) . S i n c e t h e d i r e c t e v i d e n c e weh a v e f o r t h e p o s i t i o n a l l i n e - a n d - d o t n o t a -t i o n a l s y s t e m i s t h u s f a r r e s tr i c t e d t o t h eTexcocan p r o v i n c e o f A c o l h u a c a n a n d t ol a n d d o c u m e n t s w i t h i n t h i s a r e a , i t m a yh a v e b e e n a s p e c i a l s y s t e m d e v i s e d f o rt h e purpose o f l a n d d e s c r i p t i o n . I t i s ,h o w e v e r , a s y s t e m i n w h i c h a r i t h m e t i c a lc o m p u t a t i o n s c o u l d b e a c c o m p l i s h e dw i t h c l a r i t y a n d f a c i l i t y , i n c o n t r a s t t ot h e more e l a b o r a t e p i c t u r e s y m b o l s c o m -m o n l y u s e d i n t r i b u t e r e c o r ds . U n t i l t h eT e p e t l a o z t o c d o c u m e n t s w e r e d e c i -p h e r e d , u s e o f p o s i t i o n a l n o t a t i o n , t h ezero s y m b o l , a n d d e r i v a t i o n o f l a n d a r e ab y A z t e c p e o p l e s w e r e u n s u s p e c t e d . Th es i g n i f i c a n c e o f t h e T e p e t l a o z t o c d e c i -p h e r m e n t i s t h a t documents w i t h h i t h -e r t o u n d e c i p h e r e d n o t a t i o n s m a y now b er e e x a m i n e d a n d ou r u n d e r s t a n d i n g o fp r e - H i s p a n i c a r i t h m e t i c a l p r a c t i c e s p o s -s i b l y g r e a t l y e x p a n d e d .

R e f e r e n c e s a n d N o t e s1 . D . H. K e l l e y , D e c i p h e r i n g t h e Maya S c r i p t( U n i v . o f Texas P r e s s , A u s t i n , 1 9 7 6 ) , p . 3 .2 . S . M o r l e y , inAn I n t r o d u c t i o n t o t h e S t u d y o f t h eMaya H i e r o g l y p h s ( S m i t h s o n i a n I n s t i t u t i o n B u -r e a u o f American E t h n o l o g y , W as h i n g t o n ,D . C . , 1 9 1 5 ) , B u l l e t i n 5 7.3 . M o r l e y commen ted [ ( 2 ) , p . 9 1 ] , By t h e d e v e l -o p i h e n t o f a s p e c i a l c h a r a c t e r t o r e p r e s e n t t h en u m b e r 5 t h e Maya ha d f a r s u r p a s s e d t h e A z t e ci n t h e s c i e n c e o f m a t h e m a t i c s ; i n d e e d , t h e l a t t e rseem t o h a v e h a d b u t on e n u m e r i c a l s i g n , t h ed o t , and t h e y w e r e o b l i g e d t o r e s o r t t o t h ec l u m s y m a k e s h i f t o f r e p e a t i n g t h i s i n o r d e r t or e p r e s e n t a l l numbers a b o v e 1 . I t i s c l e a r l y s e e nt h a t such a s y s t e m o f n o t a t i o n h a s v e r y d e f i n i t el i m i t a t i o n s , w h i c h mu st h a v e s e r i o u s l y r e t a r d e dm a t h e m a t i c a l p r o g r e s s a m o n g t h e A z t e c . B a s i cm i s u n d e r s t a n d i n g o f A z t e c a r i t h m e t i c s t i l l p e r -s i s t s . For e x a m p l e , se e M. W e a v e r , The A z t e c s ,M a y a , an d T h e i r P r e d e c e s s o r s ( S e m i n a r P r e s s ,New Y o r k , 1 9 7 2 ) , p . 1 0 2 .4 . H. C o r t e s , C a r t a s y documentos ( E d i t o r i a l P o r -r u j a , B i b l i o t e c a P o r r u i a , v o l . 2 , M e x i c o , 1 9 6 3 ) , p .73 .5 . Fo r a d e s c r i p t i o n o f N a h u a n u m e r i c a l c a t e g o r i e ss e e , f o r e x a m p l e , T . D . S u l l i v a n [ C o m p e n d i o d el a G r am d ti c a N d h ua t l ( U n i v e r s i d a d N a c i o n a lAut6no ma d e M e x i c o , I n s t i t u t o d e I n v e s t i g a -ci one s H i s t 6 r i c a s , M e x i c o , 1 9 7 6 ) , p p . 1 8 9 - 1 9 5 ]and M. O r o z c o y B e r r a [ H i s t o r i a a t n t i g u a y d el a c o n q u i s t a d e M e , x i c o , v o l . I ( E d i t o r i a l P o r r u a ,B i b l i o t e c a P o r r u i a , v o l . 1 7 , M e x i c o , 1 9 6 0 ) , p p .4 4 3 - 4 5 3 ] .6 . C 6 d i c e d e S a n t a M a r i a A s u n c i 6 n , A p e o y D e s -l i n d e d e T i e r r a s ( d e l o s t e r r e n o s ) d e S a n t a M a r i ad e l a A s u n c i 6 n , l o c a t e d i n t h e B i b l i o t e c a N a -c i o n a l de M e x i c o , m s . 1 4 9 7 b i s ; Codex V e r g a r a ,l o c a t e d i n t h e B i b l i o t h e q u e N a t i o n a l e d e P a r i sm s . M e x. 3 7 - 3 9 . A d i s c u s s i o n o f p r o v e n i e n c e oft h e s e m a n u s c r i p t s i s i n p r e p a r a t i o n .7 . C. G i b s o n , The Aztecs Under S p a n i s h Rule( S t a n f o r d U n iv. P r e s s , S t a n f o r d , C a l i f . , 1 9 6 4 ) .8 . Both c o d ic es contain n o t a t i o n s i n s c r i p t t h a tw e r e a d d e d a f t e r t h e o r i g i n a l d r a f t i n g , i n c l u d i n gsome l a t e 1 6 t h - c e n t u r y d a t e s . Th e d o c u m en t sw e r e s i g n e d b y Pedro V a s q u e z de V e r g a r a , wh owas or de r e d b y c o l o n i a l a u t h o r i t i e s t o g o t o Te -p e t l a o z t o c i n 1543 t o a d j u s t t a x e s . He was a l s o

c i t e d i n a l e g a l d i s p u t e i n t h e 1 5 5 0 ' s b e t w e e n t h eI n d i a n s a n d t h e i r e n c o m e n d e r o , G o n z i l o d e S a l -a z a r . S e e C . G i b s o n [ ( 7 ) , p p . 7 7 - 8 0 ] . T h e f a c tt h a t s o m a n y i n d i v i d u a l s d e p i c t e d on t h e c e n s u sa r e s h a d e d t o i n d i c a t e t h a t t h e y w e r e d e c e a s e d ,t o g e t h e r w i t h s e v e r a l d a t e d e v e n t s o n t h e d o c u -m e n t s , s u g g e s t s t h a t t h e d o c u m e n t s w e r e p r e -p a r e d b e f o r e t h e o n s e t o f t h e g r e a t p e s t i l e n c e o f1 5 4 5 t o 1 5 4 8 .9 . F o r e x a m p l e , Z o r i t a s t a t e s t h a t T h i s p r i n c i p a li s r e s p o n s i b l e f o r g u a r d i n g a n d d e f e n d i n g t h ec a l p u l l i l a n d s . H e h a s p i c t u r e s o n w h i c h a r es h o w n a l l t h e p a r c e l s , a n d t h e b o u n d a r i e s , a n dw h e r e a n d w i t h w h o s e f i e l d s t h e l o t s m e e t , a n dwh o c u l t i v a t e s w h a t f i e l d , a n d w h a t e ac h o n eh a s . T h e I n d i a n s c o n t i n u a l l y a l t e r t h e s e p i c t u r e sa c c o r d i n g t o t h e c h a n g e s w o r k e d b y t i m e , a n dt h e y u n d e r s t a n d p e r f e c t l y w h a t t h e s e p i c t u r e ss h o w . . . . . i n B . K e e n , T r a n s l . a n d E d . , L i f ea n d L a b o r i n A n c i e n t M e x i c o , t h e B r i e f a n dS u m m a r y R e l a t i o n o f t h e L o r d s o f N e w S p a i n b yA l o n s o d e Z o r i t a ( R u t g e r s U n i v . P r e s s , N e wB r u n s w i c k , N . J . , 1 9 6 4 ) , p . 1 1 0 . We k n o w t h a tt h e I n d i a n s o f T e p e t l a o z t o c s p e c i f i c a l l y k e p ts u c h r e c o r d s b e c a u s e i n 1 5 5 1 t h e j u d g e a s s i g n e dt o t h e l i t i g a t i o n b e t w e e n t h e I n d i a n s a n d t h e i re n c o m e n d e r o o r d e r e d t h e I n d i a n s - t o e x h i b i tt h e i r p a i n t i n g s a n d e x p l a i n t o h i m w h a t t h e ym e a n t . ( M a n u s c r i p t , A r c h i v o G e n e r a l d e I n d i a s ,J u s t i c i a , l e g . 1 5 1 , f f . 6 8 0 - 7 5 0 ; l e g . 1 5 7 , f f . 4 1 v -4 5 v . ) I t i s q u i t e p o s s i b l e t h a t b o t h c o d i c e s ( o rc o p i e s t h e r e o f ) w e r e a m o n g t h e d o c u m e n t s p r e -s e n t e d b y t h e I n d i a n s , s i n c e t h e m a n u s c r i p t s h a ds h o r t l y b e f o r e b e e n c e r t i f i e d b y P e d r o V a s q u e zd e V e r g a r a .1 0 . E . S e l e r , i n T h e M e x i c a n P i c t u r e W r i t i n g s o f A l -e x a n d e r v o n H u m b o l d t ( S m i t h s o n i a n I n s t i t u t i o nB u r e a u o f A m e r i c a n E t h n o l o g y , W a s h i n g t o n ,D . C . , 1 9 0 4 ) , B u l l e t i n 2 8 .1 1 . R . S i m e o n , D i c c i o n a r i o d e l a L e n g u a N d h u a t l oM e x i c a n a , J . O l i v a d e C o l l , T r a n s l . ( S i g l o V e i n -t i u n o , M e x i c o , 1 9 7 7 ) .1 2 . E . S e l e r [ ( 1 0 ) , p . 2 0 1 ] t r a n s l a t e d m i l c o c o l i a sl a n d s c l a i m e d b y i n d i v i d u a l s . J . M . A . A u b i n i n -t e r p r e t e d m i l c o c o l i a s t h e c o n t o u r s o u f i g u r ed e s t e r r e s [ i n E . B o b a n , D o c u m e n t s p o u r S e r v -i r a l ' H i s t o i r e d u M e x i q u e : C a t a l o g u e R a i s o n n ed e l a C o l l e c t i o n d e M. E . E u g e n e G o u p i l ( L e -r o u x , P a r i s , 1 8 9 1 ) , v o l . 2 , p . 1 5 1 . B o t h a r e a c c u -r a t e d e s c r i p t i o n s o f t h e c o n t e n t o f t h e m i l c o c o l is e c t i o n . S i m e o n ( 1 1 ) d e r i v e d t h e t e r m m i l c o c o l if r o m m i l l i , a g r i c u l t u r a l f i e l d , a n d c o c o l l i : c a r g o ,n e g o c i o ( c h a r g e , b u s i n e s s ) ; r i f i a , d i s p u t a , c o l e r a( q u a r r e l , d i s p u t e , a n g e r ) . F o l l o w i n g S i m e o n ' ss e c o n d e n t r y , J . O f f n e r s u g g e s t s t h a t h i l c o c o l il a n d s a r e t h o s e i n d i s p u t e [ ' L a w a n d p o l i t i c s i nA z t e c T e x c o c o ( t h e s i s , D e p a r t m e n t o f A n t h r o -p o l o g y , Y a l e U n i v e r s i t y , 1 9 7 9 ) ] ; we d o n o t s e ec o n v i n c i n g e v i d e n c e f o r t h i s i n t e r p r e t a t i o n i n t h ed o c u m e n t s , h o w e v e r . I n T e x c o c o , M e x i c o , c e r -t a i n s m a l l r h o m b u s - s h a p e d c a k e s a r e c a l l e d c o -c o l e s , a n d i f m a n y o f t h e s e w e r e a r r a n g e d o n as u r f a c e , t h e y w o u l d c r e a t e a l a t t i c e s t r u c t u r es i m i l a r t o t h e p a t t e r n o f m i l c o c o l i f i e l d s . P e r h a p st h e e t y m o l o g y o f m i l c o c o l i r e l a t e s t o a T e x -c o c a n m e t a p h o r f o r f i e l d p a t t e r h s .1 3 . H . F . C l i n e , i n 3 7 t h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e ss o fA m e r i c a n i s t s : A c t a s y M e m o r i a s I I I ( L i b r a r t ,B u e n o s A i r e s , 1 9 6 8 ) , v o l . 3 , p p . 1 1 9 - 1 2 3 .1 4 . __ Q . J . L i b r a r y C o n g r e s s , 2 1 ( N o . 2 ) , 7 6( 1 9 6 6 ) .1 5 . F . d e A l v a I x l i l x 6 c h i t l , O b r a s H i s t 6 r i c a s ( U n i -v e r s i d a d N a c i o n a l A u t 6 n o m a d e M e x i c o , I n s t i -t u t o d e I n v e s t i g a c i o n e s H i s t 6 r i c a s , M e x i c o ,1 9 7 5 ) , v o l . 3 , p p . 9 2 - 9 3 . T e n i a n l a s c a s a s d el o n g i t u d q u e c o r r i a n d e o r i e n t e a p o n i e n t e ,c u a t r o c i e n t o s y o n c e m e d i d a s y m e d i a q u e r e -d u c i d a s a n u e s t r a m e d i d a , h a c e n n s i l d o s c i e n t o st r e i n t a y c u a t r o v a r a s y m e d i a , y d e l a t i t u d q u ee s d e n o r t e a s u r , t r e s c i e n t o s v e i n t e s e i s m e d i d a sq u e h a c e n n o v e c i e n t o s y s e t e n t a y o c h ov a r a s . . . . . A S p a n i s h v a r a wa s e q u a l t o 0 . 8 4m e t e r . T h e p r o b l e m o f e q u a t i n g n a t i v e , S p a n i s h ,a n d t n o d e m l i n e a r m e a s u r e m e n t s i s d i s c u s s e db y V . M . C a s t i l l o F . , i n E s t u d i o s d e C u l t u r aN d h u a t l ( U n i v e r s i d a d N a c i o n a l A u t 6 n o m a d eM e x i c o , I n s t i t u t o d e I n v e s t i g a c i o n e s H i s t 6 r i c a s ,M e x i c o , 1 9 7 2 ) , v o l . 1 0 , p p . 1 9 5 - 2 2 3 ; B . J . W i l -l i a m s , M e x i c a n P i c t o r i a l C a d a s t r a l R e g i s t e r s :An A n a l y s i s o f t h e C 6 d i c e d e S a n t a M a r i aA s u n c i 6 n a n d t h e C o d e x V e r g a r a , i n p r e p a r a -t i o n ; s e e a l s o ( 1 3 ) .1 6 . B . J . W i l l i a m s , G e o s c i . M an 2 1 , 5 1 ( 1 9 8 0 ) ; i nA c t e s d u X L I I C o n g r e s I n t e r n a t i o n a l d e s A m e -r i c a n i s t e s ( S o c i e t e _ d e s A m i r i c a n i s t e s , P a r i s ,1 9 8 0 ) , v o l . 7 , p p . 2 7 - 3 7 .1 7 . S i n c e t h e t w o d o c u m e n t s c o m b i n e d d e p i c t m o r et h a n 1 1 0 0 l a n d p a r c e l s , t h e y p r o v i d e a r e c o r d o fl a n d h o l d i n g s u n p a r a l l e l e d i n t h e a r e a o f M e s o -a m e r i c a f o r s u c h a n e a r l y p e r i o d . Among o t h -e r i m p l i c a t i o n s , t h e s e c o d i c e s c a s t d o u b t u p o nt h e e g a l i t a r i a n s o c i e t y o f t h e commonersp r o p o u n de d b y some w r i t e r s f r o m t h e 1 6 t h c e n -t u r y t o t h e p r e s e n t . N o t o n l y d i d some h o u s e -

SCIENCE, VO L. 2 1 0

8/12/2019 Aztec Arithmetic-Positional Notation

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h o ld s p o ss es s s i g n i f i c a n t l y g r e a t e r a m o u n t s o fl a n d t h a n o t h e r s , b u t l a n d o f h i g h e r s o i l q u a l i t ya s w e l l . C . G i b s o n [ ( 7 ) , p p . 2 6 8 - 2 7 0 ] d i s c u s s e st h e i m b a l a n c e i n l a n d h o l d i n g s o f t h e m a c e h u a l -t i n a n d a r r a y s d a t a f r o m v a r i o u s l o c a l i t i e s . S e ea l s o B . J . W i l l i a m s , i n A c t e s d u X L I I C o n g r e sI n t e r n a t i o n a l d e s A m e r i c a n i s t e s ( S o c i e t e d e sA m e r i c a n i s t e s , P a r i s , 1 9 8 0 ) , v o l . 9 B , p p . 1 6 5 -1 7 5 ; H . R . H a r v e y , A s p e c t s o f l a n d t e n u r e i na n c i e n t M e x i c o , i n p r e p a r a t i o n .1 8 . P a p e l e s d e l a E m b a j a d a A m e r i c a n a , l o c a t e d i nt h e A r c h i v o H i s t 6 r i c o , Museo N a c i o n a l d e A n -t r o p o l o g i a , M e x i c o .1 9 . T l a h u e l m a n t l i l i t e r a l l y m e a n s s m o o th e d, l e v -e l e d , e q u a l i z e d a c c o r d i n g t o S i m e o n ( 1 1 ) . N o to n l y d o e s t h e t e r m l a b e l l a n d r e g i s t e r s i n t h e t w oc o d i c e s , b u t a l s o i n a n o t h e r d o c u m e n t [ ( 1 8 ) , 3 aS e r i e , L e g . 7 , g x p . 2 - 7 , D o c . 3 1 , t l a h u e l m a n t l ia p p e a r s o n t w o i e l d s d r a w n i n a s i m i l a r m a n -n e r a n d i n t h e s a m e c o n t e x t a s i n t h e c o d i c e g .T h e l i t e r a l m e a n i n g a n d t h e s e m a n t i c c o n t e x ts u g g e s t t h a t a r e a i s t h e p r o b a b l e t r a n s l a t i o n .2 0 . T h e s y l l a b l e V e o r g i i n n a m e g l y p h s i n t h e t w oc o d i c e s i s d e p i c t e d b y a c o r n g l y p h , i n s o m e c a s -e s w i t h a n d j p o t h e r c as e s w i t h o u t h u s k s .S t r i c t l y s p e a k i n g , a r e n d e r i n g w i t h o u t h u s k sw o u l d t r a n s l a t e a s o l o t i , a c o r n c o b w i t h o u t k e r -n e l s . E v e n t h o u g h i t i s t h e h u s k l e s s f o r m t h a ta p p e a r s i n t h e t l a h u e l m a n t l i , we t r a n s l a t e i t sc i n t l i b e c a u s e t h e g l y p h i c v a r i a t i o n a p p a r e U t I yw a s n o t p h o n e m i c i n t h e s e d o c u m e n t s .2 1 . T h e a r e a o f t h i s f i e l d c a l c u l a t e d f r o m t h e n m i l c o -c o l i d i m e n s i o n s i n F i g . 1 B i s a p p r o x i m a t e l y 5 8 5s q u a r e q u a h u i t l ( 3 9 x 1 5 ) . T h e 3 9 s q u a r e q u a -h u i t l d i s c r e p a n c y c a n o nl y b e p a r t i a l l y e x p l a i n e db y t h e a d d i t i o n a l f r a c t i o n o f a q u a h u i t l s h o w n b yt h e h a n d s y m b o l .2 2 . D u r i n g f i e l d w o r k i n t h e T e p e t l a o z t o c r e g i o n , wew e r e u n a b l e t o r e c o v e r a n y v e s t i g e s o f t r a d i t i o n -a l s u r v e y p r a c t i c e s , a l t h o u g h a n u m b e r o f i n -f o r m a n t s r e c a l l e d t h a t a r o p e o f s ta n da r d m e a -s u r e w a s o n c e k e pt i n t h e t o w n h a l l ( p r e s i d e n -c i a ) . A t p r e s e n t , t a p e m e a s u r e s h a v e r e p l a c e dt h e s t a n d a r d r o p e m e a s u r e . I t w a s a l s o r e c a l l e dt h a t u n t i l r e c e n t l y r o p e w a s s o l d b y m e c a t e so f 2 . 5 m e t e r s , t h u s r e i n f o r c i n g I x t l i l x 6 c h i t l ' se q u a t i o n o f t h e s t a n d a r d T e x c o c a n l i n e a r m e a -s u r e .2 3 . We c a l c u l a t e d m i l c o c o l i a r e a s b y t w o m e t h o d s .S i n c e f i e l d s a r e n o t d r a w n t o s c a l e o n t h e m a n u -s c r i p t s , a n g l e s c a n n o t b e d i r e c t l y a s c e r t a i n e d .T h u s , f o r q u a d r i l a t e r a l s , g i v e n t h e l e n g t h o fs i d e s a , b , c , a n d d , we a s s u m e d a r i g h t a n g l eb e t w e e n s i d e s a a n d b , w h i c h a l l o w e d c a l c u -l a t i o n o f t h e a r e a o f t w o r e s u l t a n t t r i a n g l e s . F o rn o n q u a d r i l a t e r a l s ( r o u g h l y 4 0 p e r c e n t o f t h e c a -s e s ) , f i e l d s i d e s w e r e d r a w n t o s c a l e o n g r a p hp a p e r a n d s i d e a n g l e s w e r e c h o s e n s o a s t o ( i )p r o d u c e f i e l d s h a p e s c o n s i s t e n t w i t h s h a p e s o b -s e r v a b l e t o d a y , ( i i ) m a x i m i z e a r e a , a n d i i i p r e -s e r v e t h e r e l a t i v e s h a p e s r e c o r d e d i n t h e d r a w -i n g s . A r e a w a s t h e n d e r i v e d b y c o u n t i n g

s q u a r e s . N e i t h e r m e t h o d a c c o u n t e d f o r s i d el e n g t h s i n f r a c t i o n s o f t h e s t a n d a r d q u a h u i t l ,w h i c h , w h e r e t h e s e o c c u r , r e s u l t s i n a n u nd e r -s t a t e m e n t o f t h e a r e a f i g u r e .2 4 . I n t e s t r u n s we v a r i e d a l l f o u r q u a d r i l a t e r a l a n -g l e s f r o m 8 0 0 t o 1 0 2 0 i n 2 i n c r e m e n t s . F o r 1 3 o f1 9 s e t s o f c o m p u t a t i o n s , t h e 9 0 0 a n g l e a s s u m p -t i o n g a v e a r e a w i t h i n 2 s q u a r e q u a h u i t l o f t h emax imu m a r e a g e n e r a t e d b y v a r y i n g t h e a n g l e s .2 5 . R i g h t t r i a n g l e s s e e m t o h a v e b e e n a p r e f e r r e ds h a p e f o r c o m p u t a t i o n . H o w e v e r , T e x c o c a n sw e r e a b l e t o c a l c u l a t e t h e e x a c t a r e a o f o t h e r t r i -a n g l e s a s i s e v i d e n t f r o m t h e i r a r e a f i g u r e o f an e a r l y t r i a n g u l a r f i e l d d e p i c t e d i n t h e C 6 d i c e d eS a n t a M a r i a A s u n c i 6 n , f . 1 6 v .2 6 . C o l e c c i 6 n d e d o c u m e n t o s i n e d i t o s . . . d e I n -d i a s ( M a d r i d , 1 8 6 4 - 1 8 8 4 ) , v o l . 3 , p . 5 4 2 .2 7 . I b i d . , v o l . 4 , p . 4 4 3 .2 8 . B . B . d e L a m e i r a s , T e r m i n o l g f a a g r o h i d r d u l i c ap r e - h i s p d n i c a n a h u a ( I n s t i t u t o N a c i o n a l d e A n -t r o p o l o g i a e H i s t 6 r i a C o l e c c i 6 n C i e n t i f i c a 1 3 ,M e x i c o , 1 9 7 4 ) .2 9 . A i r p h o t o s o f T e p e t l a o z t o c s h o w s m a l l r e l i cf i e l d s i d e n t i f i a b l e b y s o i l d i s c o l o r a t i o n i n a n a r e aw h e r e f i e l d s r e c e n t l y h a v e b e e n e n l a r g e d f o rm e c h a n i z e d a g r i c u l t u r e . T h e s e w e r e s q u a r ef i e l d s t h a t m e a s u r e 4 0 0 s q u a r e q u a h u i t l .3 0 . N 6 m i n a d e T r i b u t o s d e l o s p u e b l o s O t l a z p a n yT e p e x i c , 1 5 4 9 ; C o d i c e M a r i a n o J i m 6 n e z , l o c a t e di n t h e I n s t i t u t o N a c i o n a l d e A n t r o p o l o g l a eH i s t 6 r i a , M e x i c o , 1 9 6 7 .3 1 . B . L e a n d e r , C o d i c e d e O t l a z p a n ( I n s t i t u t o N a -c i o n a l d e A n t r o p o l o g i a e H i s t 6 r i a , S e r i e I n v e s t i -g a c i o n e s 1 3 , M e x i c o , 1 9 6 7 ) .3 2 . I n h e r s t u d y o f t h e c o d e x , L e a n d e r [ ( 3 1 ) , p . 3 6 ]c o n c l u d e d t h a t t h e I n d i a n b r a z a e q u a l e d a p p r o x -i m a t e l y 2 m e t e r s .3 3 . F o l i o 6 : 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 0 , 1 0 0 , 2 0 0 , 3 0 0 , 4 0 0 , a n d8 0 0 b r a z a s i n l e n g t h ; f o l i o 7 : 1 0 a n d 1 5 b r a z a s i nl e n g t h .3 4 . G i b s o n [ ( 7 ) , p . 2 6 9 1 a n d L e a n d e r [ ( 3 1 ) , p p . 7 9 -8 0 ] q u e s t i o n e d w h e t h e r t h e d i m e n s i o n s r e p r e -s e n t e d a c t u a l f i e l d s i z e s a n d s h a p e s a n d s u g g e s t e dt h a t t h e s t a n d a r d 2 0 - b r a z a w i d t h w a s h y p o t h e t i c a li n o r d e r t o s i m p l i f y t h e g r a p h i c c o m p o s i t i o n o ft h e d o c u m e n t .3 5 . F . d e l P a s o y T r o n c o s o , E d . C 6 d i c e K i n g s b o r -o u g h : M e m o r i a l d e l o s I n d i o s d e T e p e t l a o z t o c a lMonarca E s p a n i o l c o n t r a l o s E n c o m e n d e r o s d e lP u e b l o ( H a u s e r y M e n e t , M a d r i d , 1 9 1 2 ) .3 6 . T h e d a i l y , w e e k l y , a n d a n n u a l t r i b u t e p a i d i n T e -p e t l a o z t o c f o r t h e t h r e e d e c a d e s f o l l o w i n g t h eS p a n i s h c o n q u e s t i s l i s t e d i n ( 3 5 ) . H o w e v e r , t h i sm i d - 1 6 t h - c e n t u r y p i c t o r i a l m a n u s c r i p t d o e s n o ti n d i c a t e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a g g r e g a t e t r i b -u t e a n d i n d i v i d u a l l a n d a s s e s s m e n t s .

3 7 . T h e n o t a t i o n a l s y s t e m e m p l o y e d i n t h e C o d e xK i n g s b o r o u g h s u g g e s t s t h a t h o r i z o n t a l p o s i t i o nw a s a l s o i m p o r t a n t u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s . I nt h i s d o c u m e n t , 8 0 0 0 , 4 0 0 , 2 0 , a n d u n i t s a r e p r e -s e n t e d i n t h a t o r d e r . I n m o s t b u t n o t a l l i n -

s t a n c e s , p i c t u r e s y m b o l s d e s i g n a t e t h e v a l u e o ft h e r e g i s t e r , a n d t h e q u a n t i t i e s a r e w r i t t e n i nT e x c o c a n l i n e - a n d - d o t . An a n a l y s i s o f t h i s d o c u -m e n t i s i n p r o g r e s s .3 8 . M o r l e y ( 2 ) a l s o n o t e d t h e l a c k o f S p an i s h d e -s c r i p t i o n o f t h e Maya b a r - a n d - d o t s y s t e m .3 9 . I t a p p e a r s f r o m S p a n i s h t e x t b o o k s o f t h e p e r i o dt h a t t h e a v e r a g e S p a n i a r d p o s s e s s e d o n l y a v e r yb a s i c k n o w l e d g e o f a r i t h m e t i c a n d g e o m e t r y a n dr e l i e d m o s t h e a v i l y f o r s o l u t i o n s t o c o m p l i c a t e dc a l c u l a t i o n s o n s t a n d a r d i z e d t a b l e s . S e e , f o r e x -a m p l e , D . E . S m i t h , T h e S u m a r i o C o m p e n d i o s oo f B r o t h e r J u a n D ( e z : T h e E a r l i e s t M a t h e m a t i -c a l W o r k o f t h e N e w W o r l d ( G i n n , B o s t o n ,1 9 2 1 ) . T h e o r i g i n a l S u m a r i o w a s p r i n t e d i n 1 5 5 6i n M e x i c o C i t y .4 0 . T h e c o n f u s i o n i n S p a n i s h l a n d m e a s u r e m e n tp r a c t i c e s i n N e w S p a i n r e s u l t e d i n t h e l a n d o r d i -n a n c e s o f M a r q u e s d e F a l c e s i n 1 5 6 7 , r e p r i n t e di n C . G ib so n , E d . , T h e S p a n i sh T r a d i t i o n i nA m e r i c a U n i v . o f S o u t h C a r o l i n a P r e s s ,C o l u m b i a , 1 9 6 8 ) , p p . 1 2 8 - 1 3 4 . T h e s e o r d i n a n c e sa t t e m p t e d t o s t a n d a r d i z e p r o c e d u r e s . E v e nh a d t h e y b e e n c a r r i e d o u t t o t h e l e t t e r , t h er e s u l t s w o u l d h a v e b e e n f a r l e s s a c c u r a t e t h a nt h e s t a n d a r d n a t i v e s u r v e y .4 1 . A . J . 0 . A n d e r s o n , F . B e r d a n , J . L o c k h a r t ,E d s . , B e y o n d t h e C o d i c e s : T h e Nahua V i e w o fC o l o n i a l M e x i c o ( U n i v . o f C a l i f o r n i a P r e s s ,B e r k e l e y , 1 9 7 6 ) , p . 5 .4 2 . T h e f u n c t i o n s o f t h e Maya z e r o a r e d i s c u s s e d i nC . L i z a r d i R a m o s , E l ' c e r o ' Maya y s u f u n c i -6 n , E s t u d i o s d e C u l t u r a Maya ( U n i v e r s i d a dN a c i o n a l A u t 6 n o m a d e M e xi c o , M e xi c o , 1 9 6 2 ) ,v o l . 2 , p p . 3 4 3 - 3 5 3 , a n d i n C . C . F u l t o n . D i dt h e Maya h a v e a z e r o ? C a r n e g i e N o t e s o nM i d d l e A m e r i c a n A r c h a e o l o g y a n d E t h n o l o g y( C a r n e g i e I n s t i t u t i o n o f W a s h i n g t o n , W a s h i n g -t o n , D . C . , 1 9 4 8 ) , v o l . 3 , p p . 2 3 3 - 2 3 9 .4 3 . F o r e x a m p l e , t h e r e w a s s o m e u s e o f t h e b a r - a n d -d o t n o t a t i o n f o r c a l e n d r i c a l d a t e s o n A z t e cs c u l p t u r e . S e e H . B . N i c h o l s o n , i n H a n d b o o k o fM i d d l e A m e r i c a n I n d i a n s , R . W a u c h o p e , E d .( U n i v . o f T e x a s P r e s s , A u s t i n , 1 9 7 1 ) , v o l . 1 0 ,p p . 9 2 - 1 3 4 . O t h e r g r o u p s s u c h a s t h e Z a p o t e ca n d M i x t e c , w i t h whom A z t e c p e o p l e s w e r e i nr e g u l a r c o n t a c t , a l s o u s e d t h e b a r a n d d o t .4 4 . S e e E . S e l e r ( 1 0 ) , p p . 1 9 0 - 1 9 6 , p l a t e s V I a n dX I I I ] ; s e e ( 1 8 ) , L e g . 7 - 2 , D o c . 3 a n d L e g . 3 0 ,D o c . 8 .4 5 . S e e ( 1 8 ) , L e g . 1 0 , E x p . 2 - 2 9 , p . 1 6 .4 6 . S e e ( 1 8 ) , L e g . 3 0 , E x p . 1 - 3 5 , p . 1 9 .4 7 . We t h a n k C . P a l i t , P . N o r i e g a , K . B e n n e t t , D .P r i c e , D . C r o w e , a n d M . C l o s s f o r t h e i r h e l p f u ld i s c u s s i o n s a n d r e v i e w s o f t h e m a n u s c r i p t , a n dH . S c h l a i s f o r a s s i s t a n c e i n p r o g r a m m i n g a n dc o m p u t a t i o n . We a l s o t h a n k t h e C e n t r o I n t e r -

n a c i o n a l d e M e j o r a m i e n t o d e M a i z y T r i g o f o rp r o v i d i n g f a c i l i t i e s i n t h e f i e l d z o n e . R e s e a r c hw a s s u p p o r t e d b y N SF g r a n t BN S 7 7 2 5 6 5 9 ( t oB . J . W . ) a n d a C y r i l B . N a v e F u n d g r a n t ( t oH . R . H . ) .

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