automatic detection and segmentation of evolving processes
TRANSCRIPT
HAL Id: inria-00073125https://hal.inria.fr/inria-00073125
Submitted on 24 May 2006
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.
Automatic Detection and Segmentation of EvolvingProcesses in 3D Medical Images: Application to
Multiple SclerosisDavid Rey, Gérard Subsol, Hervé Delingette, Nicholas Ayache
To cite this version:David Rey, Gérard Subsol, Hervé Delingette, Nicholas Ayache. Automatic Detection and Segmentationof Evolving Processes in 3D Medical Images: Application to Multiple Sclerosis. RR-3559, INRIA. 1998.�inria-00073125�
ISS
N 0
249-
6399
ap por t de r ech er ch e
THÈME 3
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Automatic Detection and Segmentation of EvolvingProcesses in 3D Medical Images: Application to
Multiple Sclerosis
David Rey — Gérard Subsol — Hervé Delingette — Nicholas Ayache
N° 3559
November 1998
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)
Téléphone : 04 92 38 77 77 - International : +33 4 92 38 77 77 — Fax : 04 92 38 77 65 - International : +33 4 92 38 77 65
����������� ����������������������������������� ������ �����!�#"%$'&#��(�&������)+*�������,-,���,.���0/1�2 ���3���45(768���#��,49:�<;�;=(����4�� �����>��� 2 �3(?� ��;=(��@���A(���*��#,���,
B=CED-FHGJILKNM8O�PRQTSUCVSUG:W�X Y�ZU[8\]O_^�K`SaD8QbB3K`\HFdc e8KNfUfgKhO�i�Fdjlk [8\HCVZ�m�M8CVjlk K
nAoqp�rts#u�v>wyxTz{sa|~}`��z{���Nx�oq�Nrtrts���r�}N�?oq��xqs`���rt}N�NsU���q���`xqxq�asa�a�q���Nx�x�}����{�~}�xh��sa�
��|~����s�z ���q���q}��q|~s
� }N�q�V�N|{z��qs1|{sU�?oqs�|?�?oqs+xV� uT�N�N�bv>� �l�Nsar��Vs�|��a�`�N�#v��a�5��}N�Nsa�
�¡�¢a£�¤l¥q¦N£N§ �_oT¨��{������}Nx��A��©ªz~s�x3�hsa|]©«�`|{r¬����}N�Nxq�T�]sU����}N�{sa���Nx�z{oqs�sa�N�N���z~�®�`x��N©��sa�{�®�`x����Ez~�qrt�N|?���N| }�xh}lz{�`rt���a}�¯��z~|{�h���z~�q|{sU�Az{o�|{�`�q�No�z{��rtsN°4nAo�s#�N����sU��z~�®�`s±�N©�z~oq����|{sa�h�`|]z ���Az~��}���z~�Nr�}lz~���a}��®¨L�qs�z{sU��z |~s��`�®�`x��A²��³z~oR}��q��}N|{saxTzA�����}N´�N�`®�qrts�l}�|~��}lz{���NxL²��³z~o3}��Nsa��z{�`|�µ�sa��L�N�Vs�|?}lz~�N|A}��q�q���sa��z~��z~oqs±®����}N¯�����{�q�}N��s�rts�xTz�µhs���L�`��z~}N�®xqsU��}l©ªz~s�|�}5xq�Nx���|~�®�`���t|~s��`���]z{|?}l�z~�®�`x3�Vs�z�²�s�sax3�{���a��sa�~�{�®�`s¶z~s�rt�V�N|?}�¯��rt}N�NsU��°
wyxt��z~����¨E��xq�±z{oqs���x�©«�N|~r�}lz~�®�`x5�N©V}�����}�|~s�xTz��]oq|~��xq·E�®xq�1}N|{sU}N���®x¸z{o�sA�q�®|~sa��z�}�x��5|{sa�Nsa|~�{s4�����{�q�}`��sar¸saxTz�µhs���q� �hs�z�²4sas�x��r�}��NsU����²�s�}N|{s3}��q�s�z~�7�{s��`rts�xTz5sa�N�N��E�®x��¹®sU�]���Nxh��°ºnAoqs�x»²4s��q|~�N�V�`�{s�}¹rts�z{oq���¼z~�7�{s��`rts�xTz5�sa�{�®�`x��#��x»}b²�oq�`®sz~s�rt�h�`|~}N´�]sa|{��sa�A�N©���r�}��NsU��°
wyx½z{oq���t|{sa�h�`|]z¸²4s=}����q®¨ºz~oq���¸}N�q�q|~�`}`�?o¼z{�bz{oqs=}��qz{�Nr�}�z{������s�z{sU��z{���Nx¾}�x��»�]sa�Nrts�xTz?}lz{���Nx½��©¿r5�q³z~�®��®sR�~���s�|~�`�{����sa�{�®�`x��A��x�z~�®rts#�{s�|~�®sU����©_ÀR��w��®r�}��`sa����©�z{o�s1�q|~}N�®x-°ÁRÂTÃ8Ä{Å5Æ ¤lÇ�¢N§ u`È<rtsa������}N��®r�}��`�®x����4}N��z{�`r�}lz{���3��s�z~sa��z~�®�`x¾}Nx��¾�]sa�Nrts�xTz~}�z{���Nx´��s��N�`®�E��xq�É��|{����sU�{�{sa�a�_�`sa��z~�N|¸µ�sa��}Nx�}��¨��]�������`sa��z{�N|�µ�sa��3�`�hsa|~}�z{�N|U�Tr��q®z{���q�s��{��®sa|{�T�]���a°
���������_����������� ,������� ������������!���������� �����L��, �3� ;�*����4��,�,���,��A&#��(�������"l, �����,����, �a�#�#��, �����=�����(���, ��* ���=���� ��,������3�L� (a(���, 9 #;3;=(���������������(� ,���(���*��#,�� � �
;=(�������,
�� ¢� �� � §�� sU�A������z{sa�q|?�4|~�a}N®���{s�xTz��{�N�q�`s�xTz��qsa�A����}��Nx��`�]z{�����4s�x=�]s¶©«�Nx���}�xTzA�{�q|��� ���`�N���z{���Nx3��s±®�U�]���Nx��a����s¶z{�qrts���|~�a��`�½��s��]z{|~����z{�q|~sa�5}�x�}�z{�Nrt���T�qsa�5}��½���N�q|?����� z{s�rt���a° � � �`����sa��z{�®©¿��s���sL|?}��q�V�N|{z�sU��zt��sL�q|~�N�V�`�{s�|5�qxqs�r¸��z{oq����s3��s����z{sU��z{���Nx»}���z~�Nr�}lz~���T�qsL�qsa�#|~���`�®�`x��1��� �®�¨º}R�qxqs��g}N|{��}lz~�®�`x¼®���a}��sL��s��`�N��qrtsL}��q�h}�|~s�xTz{s`���`|��`��s��¹��x¼�N�V��|?}lz{sa�q|}N�q�q����T�q��}��L�?oh}�rt����s����a�q�}`��sar¸saxTz~�4�N��z~s�xE��}N�q|{pU�_�qx�s¿z~|~}Nx���©«�`|{r�}�z{���Nx�xq�`x�� |~���N����s¿sax`z~|{s±��s������®r�}��`sa��z{sar¸�V�N|~s���sa��{������sa�~�]���NsU��°
��x»��z~������}�xTz¸�sa�5��x�©«�N|~r�}lz{���Nxh�#©«�`�q|{x��®sU����}N|5�sa�5|~���N���Nxh�5��s3���a��|{�`���~�~}�x���sL}��q�h}�|~s�xTz{sU���q}Nx����sa�t�?o�}Nrt���5�q�®|~sa��z~�s�z�|~�a���®��|{� �T�qsa�¶s�xTz~|{st��s����¹�®r�}��`sa�a�¯xq�N�h�±�{�Nrtrtsa���a}���}N�q®sU�¶�qst�{s��`rts�xTz{sa|¶�sa�±��a�{�®�`x��±���N�`®�qz{���Nsa�a°#� �`���±�q|~�N�V�`�{�Nx��sax��]���³z~s1�qxqs1rt��z~oq����s1�h�`�q| �{s��Nrtsax`z~s�|A�sa����a�{�®�`x��A�q}�xh���qxqs1�{��|~�®s±z{sart�h�`|{sa®�s1���Nrt�q�p�z~s#�!� �®r�}��`sa�a°
ȱ}�x�� ��s4|?}��q�V�N|{z�x��N����}��q��®���T�q�Nx�����s�z]z~sA}N�q�q|~���?oqs��V�N�q|��}¶����z{sU��z{���Nx5s�z �}±�{s��Nrtsax`z?}lz~�®�`x�}���z~�Nr�}lz~���T�qs���sa����a�{�®�`x����s#�~�����|~�`�{s±s�x=�q�}"�T�qsa�A�q}Nx�� ��sU���]�a|{��sa�4z~s�rt�h�`|{sa®�sa�¿�!� ��r�}��`sa��w��¿À ���R��sa|{�`sa}��-°# Æ £a¢ Ä ¦�$ � ¢¼§ ��rt}N�Nsa|{��str¸�U������}��s�uNÈ5������z{sU��z{���Nxºs�z��]sa�Nrts�xTz~}�z{���Nxº}���z~�Nr�}lz~���T�qs`�-�q|~����sU�{�{�������`�N���z{�®©d�a��}�xh}��¨E�{s���s�?o�}Nrt�3��s1�`sa��z{s���|~�a���N�V��|?}lz~s��q|��{�q| �?o�}�rt�=��s1�NsU��z~s��q|?�����~�����|~�`�{s¶sax=�q�}��T�qsa�a°
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� u
0 ������� ����,
132 ¤  ¢ Â54 £U¥�£+6 Æ�4'Æ)7 £#8 Â:9 ¤ Æ ¡�$  � ;�`°®� ÀR�q³z~�®��®s#�~���s�|~�`�{���A�q}�z~}¬°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° <�`° = >¶�h}�xTz{�®z~}�z{���Ns±r¸sU}N�{�q|~s�rts�xTz~��°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° <�`° u ? x�s�² rts�z{oq���3��}N�{sa���Nx3z~oqs#�����]�q�}N��s�rts�xTzAµ�sa�� °1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° @
ACB Æ � 9 -£a¥�£#6 Æ�4%Æ�7 £D8  ÇE6«¢ 9 $d¥q¦  � Â54 £�F  $«Ç G=q°®� � �®�`����|{sa�N����z~|~}�z{���Nx'°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° @=q° = �¿�Nx���|~�®�`���L|{sa�N����z~|~}�z{���Nx °1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° H
IKJ  ¦�£ Æ ¤LF  $«Ç Æ)9_ ¤g¥q£ Æ ¤g¢ Mu�°®� �_|{��x������q�st°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �u�° = nAo�s,N`}N���N�q��}�x��N�Vs�|?}lz~�N|º°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �
u�° =q°®� À¹}lz{o�s�r�}lz~���a}�¯s����q|~sa�~�{�®�`x�}�xh����oT¨��{���a}�8rtsa}Nxq�®x��¬°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �u�° =q° = � �N�q���]z{x�sa�~�A��©�z{oqs'N`}N���N�q��}�x�²��³z~o3|~sa�{�Vsa��zAz~��r¸���~}���®�`xqrts�xTz °�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �+Ou�° =q° u P4�`rt�q��z~}�z{���NxR}�xh��}N�q�q����a}lz{���Nx3��©�z{oqs'N`}N���N�q��}�x °�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �+O
u�° u Q¿z~oqs�|��`�hsa|~}�z{�`|~��°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �+O
;CR'8-¤  ¢#8 Æ $dÇS6 4ST ¥ 4 Ç ¢ Â%T � Â54 £a¥�£#6 Æ�4 1UA<h°®� ÀRs�z{o��E�=}Nx��L|~sa�{�q®z~�¸°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �#=<h° = nA��rts1�]sa|{��sa���{s��`r¸saxTz~}lz~�®�`x °1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�°1°1°�°1°�°1°�°1°1°±°1°�°1°�°1°1°�°1°�°1°±°1°�° �#=
V �Æ ¡ -¢a£ 4� ¢a¢ Å 6ª£#8¾¤  ¢ 9_ ¦�£t£ Æ ¤ 6 T 6«Ç ¥�$W6 T)4 � Â54 £ 15I
G B Æ�4 ¦�$ -¢#6 Æ�4 15I
XSXZY�[]\/^/^/_
< � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
� )+*���,�� ��������������#"½���� ;3*����3(�� �
����� �������! #"��%$ &(')�#$+*!,-&. �&0/21�31À=��³z~�®�q�st�{��®sa|{�T�]���A���±}��q|~�N�`|{sU�{�{���Ns������{sa}`�]s#z{o�}�z¶|~s �T�q��|{sU� }�xRsa�N�N���z~�®�`x¹��z~����¨�z{oq|~�N�q�`o=z{��rtsN°¿nAoqs5s��`�N���z{���Nx=��©�z~oqs�����{sa}N�{sL�a}�x¼�VsL©«�`®��l²4sU�7�Nx½}R�h}lz{��s�xTz¸²��³z~o½}=z{sart�h�`|~}N��{s�|~�®sU�1��© s��q}�rt�®xh}lz{���Nxh��°:?.z{��r¸s3�]sa|{��sa����©¿u`È ��r�}��NsU�1��©}3��}�z{��s�xTz1����}N� �T�q�®|~sa�¹©«|{�`r<z{oqs��~}�rts¸rt�E��}���³z�¨¹}Nx��ɲ��®z{oº}=��s�µhxq�³z~st�q|{�Nz{�����`-z~�=o�}g�Nst�]��rt�®�}�|��q|~�N�Vs�|{z{��sa�54¶�{��r¸���}�|oq���]z{�N�`|~}Nr=�lµ�s���¸��©V�T��s�²1�`�N����s���{�76asN�`�®r�}��`s��]�86�s`�Ns�z?��°�wyx¸z{oq����|~s��V�N|{z ²�s����{s�z�²4�1�{s�z~�_��©8r��q®z{���q�s �{��®sa|{�T�]����z{��r¸s �{s�|~��sa����Nrt�h�T�]sU���N©�n =#²�s����NoTz~sa��À¹��w���r�}��NsU��° nAoqsU�]s¶z�²4�5z{��rts1�]sa|{��sa�����`r¸s¶©«|~�Nr z{o�s:9�|~�®�`o�}�r }Nx��<;7�Nrts�x � �>=¿�`�{�q�³z?}�@?}Nx��3©«|{�`r z~oqsA9�w*Q�À Q±� �-=CB�����|{�`�hsU}�xR�q|~����sU��za°AnAoqs���}lz~}�©«|{�`r z~oqsA9�|{���Noh}�r¬}Nx��D;7�Nrts�x � ��=¿�`�{�q�®z~}�����Nxh�]����z¶�®xEGFIHKJLEMFMHKJLFON ��r�}��`sa�a��²��®z{oÉ}L�N����s�-�{�86�s#�N©-P!Q R J P!Q R JLS Q Ptrtr3°±nAoqs#z~s�rt�V�N|?}�-��xTz{sa|{�l}���hs�z�²4sas�xRz�²�����r�}��NsU����©z~oqs��{s�|~�®sU�����¿}��V�N��z¿�`xqs1²�s�s�·8°�nAoqs��q}�z~}¸©«|~�Nr.z~oqsA9�w*Q�À Q±� �-=+�q|~����sa��z¿���`x��]���]z �®x EMFMH�JLEMFIH�JTEON ��r�}��`sa�A²��®z{oÉ}�`���Esa¯�]�86�s1�N©P!Q R J P!Q R JTF Q P¸rtr3°_nAo�s�z{s�rt�V�N|?}�¯��xTz{s�|~�l}�¯�Vs�z�²�s�saxLz�²��t�®r�}��`sa�A�N©-z{o�s#�]sa|{��sa�A����}��V�N��z�©«�`�q|�²�s�s�·��a°
���VU WX��1ZY[�! ��31�! �\-$^]_$+1�&(��*!$@]_$@Y[�!&?��T��}Nx`z~�³z?}lz~�®�`s¸}Nx�}��¨��]���¿����|~s �T�q��|{sU�Rz{�=�`�®�`s¸}`������|~}�z{s5}Nx��b|{sa�q|{�����h�����q®s¸|~sa�{�q³z?����}�x��É�hsU��}��h�]s¸z{o�st��}lz~}=}N|{s¸�}N|{�`sN°9�s�z�²�s�sax½z�²��7s��q}�rt��x�}lz~�®�`x����4}b�h}lz{��s�xTz����Esa�tx���z�o�}g�Ns�z{o�s=�~}�rts=�V�`�{�³z~�®�`x½��x»z~oqsR}N� �`�����{�³z~�®�`x»��sa�E����sN°%nAoqs�|~s�©«�`|{s��r�}��NsU�#}lz¸���a`8s�|~s�xTz5z{��r¸sU��}N|{s�xq�Nz5����|{sU��z~®¨º���`r¸�h}�|?}��q�sN°cbd��©�d����N��|{sR�fe�°T;7s�o�}g�Nstz~�É}����q®¨º}=z~|~}Nx���©«�`|{r�}�z{���Nxbz{�
d����N�q|~st�M4Ag@h L�$�����%�/�' �'� &U� �������� ��� ��� i ��(*����� ��$�����kjKg)�5�� D5l%��! �'� ( � �� � ���$(*�����!m� ���� &U� (*�(/! �5j
sU}N�?oR��rt}N�Ns1z~�����Nrt�hsax��~}lz{s#©«�N| z~oqs5�q�a`8s�|~s�x���s���x¹�V�`�{�³z~�®�`xnbªz{|?}�xh�]�}lz~�®�`x�e�}�xh�R�N|~�®saxTz~}lz~�®�`x0b«|~��z~}�z{���Nx�e�° nAoqs�xɲ4s¸��}�x���Nrt��}�|~s z~oqs¶z�²4�5�®r�}��`sa�a��}�x���}N�q�q�¨�}���z~�Nr�}lz~���¶���`r¸����z{sa|{�86�sU��z{�E�`���z{�t��s�z~sa��zA}Nx�� �T��}Nx`z~�³©«¨�sa�N�`®�E��xq�#�q|~����sa�~�{sa�obd��©d����N�q|~s =Me�°�nAoqs�|~s¶}N|{s �{s��`s�|?}�qs��E���]z{��xq�5}N��z{�`rt}�z{����rts�z~oq���q�_z~�5�]z{���q¨5z~oqs¿�sa�{���Nx�����©¯r��q®z{���q�s±�~���s�|~�`�{�����®x�z{��r¸s±�]sa|{��sa�54
p ;'�³z~o�}#�{�®xq�`®s���r�}��`sN�N�®z����_�V�`�~�]���q�sAz{�1z~oq|~sa�{oq�N��¸�N|�z~�#��z~����¨5z{oqs ��r�}��`s��®xTz{sax��{�³z�¨5z{�#�{s��`r¸saxTz�®sU�]���Nxh�>qsr)d����N�ft�°u x�©«�`|]z~�qx�}�z{s��¨N��z~oq|{sU�]o��N����®x��É���Esa��xq��zt}��²�}g¨��1r�}�·`s��³z¸�h�T�{�{���q®sLz{�É�q���]z{��xq�N�����{o¼z{o�sL�sa�{�®�`x��1©«|~�Nr z{oqs�²�oq�®z{sr�}lz]z~s�|U°
p w�z����1�h�T�{�{���q®stz~�¹�]����z{|?}N��z1z�²4�R�{������sa�~�]���Nst��rt}N�NsU�±z{�Rµ�xh�7}N|{sU}N��²�oqsa|{stz~oqs��sa�{�®�`x���o�}g�`st�?oh}�xq�`sa�¯°v9���z�z{oq���rts�z{o��E�¹o�}N�Az�²���r�}l���`| �q|~�N�q�s�r��a°>d���|?��zU��z~oqs5�{�q��z~|~}`��z{���Nx=��� s��Tz~|{sarts��¨3��sa�hsax���sax`z±�Nx=z~oqs�|~�®�`���3|~s��`���]z{|?}lz~�®�`xq =ow]Q:x �`�ft �[q � s�r��%H5t�°<dq�`|1�®xh��z?}�x���sN�´²�s��]o��l² �®x0d����N�q|~s�u3}Nxbsa�N�`®�E��xq�=®sU�]���Nxbz{o�}�z#}��q�Vsa}N|~����x7z{oqst��rt}N�Nst��©z{oqs#�{�q��z~|~}`��z~�®�`x3}`��}¸��}�|~·�oq�N�sN°y9���z ²�oqsax3z{oqs1|~s��`���]z{|?}lz~�®�`x���� �®x�}`�����q|~}�z{s`�T�®z ����o�}�|?�Lz{��������z~�®xq�`�q���]o=s��`�N��E�®xq�®sU�]���Nxh�k4¯z~oqsAsa���`sa����©hz{oqs�}Nx�}lz~�Nrt���a}���]z{|~����z~�q|{sU� }��q�Vsa}N|zbH���`|]z~s��¯�l�Nsax`z~|{�����sa�a�ls�z?��°se#}Nx����`�®�`s�z~oqs��{}Nrts�}N�q��}�|~s�xTz�®xq©«�N|~rt}�z{���Nx�}N��z{oqs¶®sU�]���Nx��a°�wEsa���Nx����¨N�Nz{oqs¶�]�q�qz{|?}N��z~�®�`xt�Nxq�¨¸�?oh}�|?}N��z~s�|~�76asa��z{o�s¶���7`Vsa|{sax���s¿��©8�®xTz{sax��{�³z�¨¸�hs�z�²4sas�x
{%|}z~�����V�2� Y � Yf� |Z}[�Z�s�5� Y �s���� ���V�(� �����+�+�y� ���s���s� Y � �%��� �%� �f� � � � �7� �2������� Y �%�����f�s���>����� � �����s���>����� � � � ���>�
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �
d����N�q|~s =34 g@h �$���+� ���'��'�,&5���������]� � � � � i ��(*���]� ���$���/�:�5� �� �����:(*����� �/����( � �GjKg)�5�� D5l%��! �'� ( � ��Oh �� � &5��(*�G�! ��j
d����N�q|~s u!4 � � &5��(/� ���� ���Vh ����� ��h ����/�(*� ����� �]�2h �$����(*����&5�����E��'���5� (/� � ����(*��� � ���(*�������� j�� ������� �� (/(*�����E(/� � ����(*����� �/�(*������ ��� �$� � ��� � ���L�� � ����� ��� ! ��������U� ��� ��� �� !" ���5j �(j �! � ���K� �! � �� (������%(/�$� �D�$�%� ! ���/�� ���Mj�� � �I� ��� �/& &�( kl �$�������$ ��(/� � ���(*��� � �/��(*���������� � !$!)���5� ���)������������ !��/��(��]���V�5(*�/� ��& &5����(���5j �(j ���5� ���]�(/����! �����E��� � �����%��� �� ��� � �(*� �$����� ���'�$�y ��� ������ ��(���5� (*� �� � � �/��$�%�M�5� ��� ! ��������U�kj
XSXZY�[]\/^/^/_
@ � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
z�²4�¸��rt}N�NsU��°�nAoqs���rt}N�Ns±��©�z{oqs#�{�q��z~|~}`��z{���Nx3���Esa�Axq�Nz��N���Ns�}5���NxTz{|?}N�]z{sU����rt}N�Ns±²��³z~o=|{sU�]�Vsa��z�z~�¸z{oqs�s��`�N���z{���Nx|~}�z{�����h�q��z¶�`xq�¨3²��®z{oÉ|{sU�]�Vsa��z z{�Lz{oqs¸���a`8s�|~s�xh��s#�Vs�z�²�s�saxRz{oqs5�®xTz~s�x��{�³z�¨3��©�z~oqs��sa�{���Nx¹}�xh�=z{oqs5�®xTz~s�x��{�³z�¨3��©�z~oqs��}N�?·E�`|{�`�qx��¯°vd��N|#s��q}�rt�q�s�²4s��{oq�l² �®xnd����N�q|~s�<=z{oh}lz��®© ²4stz~oq|~sa�{oq�N��bz{oqs���r�}��`s���©Az{oqs��]�q�qz{|?}N��z~�®�`x´���Nxq�¨�]�`rts���}�|{z~�#��©Az{oqs�s��`�N��T��xq�¹�]z{|~����z~�q|~sa�#}N|{sL�qs�z{sU��z~sa�¯°ÉÀ=�`|{sa�l�Nsa|�z{oqsLz{oq|~sa�{oq�N��7�l}���qs�����xq�Nz�|~s��}lz{sU�7z{�Rz~oqs}�rt�q��³z~����s¸��©�z~oqs5sa�N�`®��z~�®�`x��¿}`�¶�a}�x¹�Vs5�{s�sax¹��x d��®�`�q|~s'<L²�o�s�|~s�}L�{s�|~�®sU�¿�N©�z{oq|~sa�{oq�`��R�l}N®�qsU�¿���±}��q�q���sa�=z~�3}�]¨ExTz{o�sa�{���As���}Nrt�q®s`°
image2 - image 1
image2 - image1 < -0.7 image2 - image1 < -0.5 image2 - image1 <-0.25 image2 -image1 < -0.1
image2 - image1 > 0.1 image2 - image1 >0.3
image 2image 1
d����N�q|~s,< 4 �'� i ��(*���]� ���%(*�/���5 ! � � !m�]������& &�!"����� �� � � �$�����%���� �������(*� ����� � j��S (���� ��� D��!m�]� � ��!m���� ��� &5��(/���� �,���5��� D�!" #�$�%� �/��(��]�����5( �/� ��(*�'� �������������Mj�� (*��� D��(�� ��� �,��� ( �/��� �! �� � !a�]� � � �)�� (*��! � ������������5�'��� &)!"�$���]� �� � ���5�'�� D�!m�5��� �U�kj
p ;'�³z~o��É��rt}N�NsU���E�®zA���A�V�`�~�]���q�s¶z~��©«�`®��l² z~oqs��®xTz~s�x��{�³z�¨L��©�sU}N�?o��N����s�V�®x3z~�®rts�q �o;�� x��`�ft ° ?¿³z~oq�N�q�`o��`s�|~¨�xq����s|{sU�]��³z?�_}�|~sA�N��z?}���xqsa�¸²��®z{o��Vs�|{©«sa��z~®¨5|{���N�����¨5}N®���NxqsU�¯�lz~oqs¿}����q|{�T}N�?o5|{sart}N�®xh�_�]sax��{�³z~�®�`sAz{��z{o�s�|{���N���¸|{sa�N����z~|~}�z{���Nx´�}�x��¹z{oqsa|{st���±xq�R���®|~sa��z±|~s��}lz~�®�`xÉ�Vs�z�²�s�saxÉz~oqs�}�rt�q��³z~����st��©�s��N�`®�qz{���NxÉ}Nx��¹z~oqst�l}�|~��}�z{���NxÉ�N©��N����sa��¶�®xTz~s�x��{�³z�¨`°À=�N|~s��l�`s�|U�Nz~oq���Ar¸s�z{oq���R���EsU�Axq��zAz~}N·Ns���x`z~��}N�����N�qxTzAz{o�s#�]��}�z{��}�´���N|~|{sa�}�z{���Nx��Vs�z�²�s�sax3x�s����NoE�h�`�q|~�®xq�¸�N����sa��a°
����� Y2$� ]_$)� �2,>/���1�&($@/ ,-Y � ��$^/� #&("��#1Z' $ ] $ Y-���o$@�#/Q¶�q|±����sa}L���¿z{oE���¿z{�3}g�N�N���R}��`���Esa-�E¨=�N����s�����`r¸�h}�|~���{�NxR}�xh�=z{�����]s�z{oqs��{}��q��}N|{saxTz��1r¸�Nz{���Nx¹�Vs�z�²�s�saxRz�²����®r�}N�Nsa�a°d����N�q|~s3�R�{oq�l² �#z{oqs3���a`8s�|~s�xTz���z?}��`sa�1�N©�z{oqs=}���z~�Nr�}lz~�����q|{����sa�~�]��xq�¹}�xh�¼�N���NsU��}�x½�l�Ns�|~�E�®sa² �N©�z{oq���5|{sa�h�`|]zU° d��®|?��zU���r�}��NsU�¶}N|{s¸}���®�`xqsa�¹�T¨¹}L|{���N���R|~s��`���]z{|?}lz~�®�`x´°±nAo�s�xɲ�s5���Nrt�q��z~s�z~oqst�����{�q�}N��s�rts�xTz±µ�s���Rz~��|~sa���l�Ns�| z{oqs��]}N�q��}N|{sax`z��rt��z~�®�`x¼�hs�z�²4sas�x¼��r�}��NsU�1²��®z{o }Rxq�`x���|{���N���É|~s��`���]z{|?}lz~�®�`x7}N®�`�N|~�³z~oqr=°�;7s�©«�����h�#�Nx7z~oqs���s�z{sU��z{���Nx¼�N©Az{oqs�|~s��`�®�`x�����©��xTz{s�|~sa�]z¿�N©�z~oqs1µ�sa��Rz{o�}Nxq·��Az{���`sa��z{�N| µ�s���=�N�Vs�|?}lz~�N|?����}Nx��3���{s1z{oqsar z{�L�{s��`r¸saxTz s��N�`®�E��xq���sa�{�®�`x���°AnAoq��� ²��N|~·L���¿}x�}�z{�q|?}�´���NxTz{��xE��}lz~�®�`x��N©-z~oqs1�q|~s��E�®�`���A|~sa�{sa}�|?�?o�²��N|~·���©�nAoq��|{���Nx=}�x�� P�}��rt�Nx q n P�� Hg�.t�°
� 0 ���;=����������5�>��"½�Z�L� �=��,-;=(���4� �� �����3� (��
Uz��� � ��- #/ *!$��- �&M�3*!1�! %,[Yd���|~�]z�²�s ���Nrt�q�qz{s }�|~�®�`���5|{sa�N����z~|~}�z{���Nx¸²��³z~o�}�x�}���N�`|{�®z{o�r ²�oq���?o¸r�}�z~�?oqsU����s��Ez{|~s�r�}�����V�N��xTz~�_��s�µ�xqsU�¸}`� z{o�s r�} ���®r�}�N©�z{oqs3��|~sa�]z�®��xqsU�#��©�z~oqsL��r�}��`sa�Kq nAoq��� @Ot�° d�sa}lz~�q|~s��h�`�®xTz?����}N®�sa���]s��Ez~|{sart}N ���V�N��x`z?�5}N|{s�}���z~�Nr�}lz~���a}��®¨bs��Ez{|?}N��z{sa�©«|~�Nr z{o�s5uNÈ �®r�}N�NsN°¶nAoqs�¨R}�|~s#��s�µ�xqsa�É}N��z~oqs����������©����q|{�l}�z{�q|~s#s��Ez~|{sart}�}N®�`xq��z~oqs!�{��|~sa�]z¿��®xqsU�"�#�N©�z{oqs5���{�`�{�q|{©d}N��s���N|~|{sU�]�V�Nx��q�®xq�Éz{�bz{oqs 6�sa|{�N����|{�T�{�{��xq�R��© z~oqs � }N�q�}`����}�x �N© z{o�s3��r�}��`sN°n9A}N�{sa�¼�`x z~oq�`�{s3�]z~}N�q�s��V�N��xTz~�a��}¹z�²����y�]z{s��|~s��`���]z{|?}lz~�®�`xÉ}���N�`|{�®z{oqr����Nrt�q��z~sa��}3|{���N���=z{|?}�xh��©«�`|{r�}lz~�®�`x´°#nAoqs¸µ�|?��z1�]z{s��º��}N®�sa�#����|{sU������z{���Nx$����E�N·��¶©«�N|±z{|~���q®s�z~�±��©�V�N��xTz~��©«|~�Nr¬z{o�s1z�²4���{s�z?� ²�oq���?oR��}NxR�hs#����z¶��xTz{�����`|{|~sa�{�V�Nx���sax���s�²��®z{o¹|~sa�{�Vsa��z�z~��z{o�s���|¿��xT�l}N|{��}�xTz }lz{z{|~�®�q�qz{sa�a°�nAoqs�{sa���Nx��t�]z{s����a}��®sU�!�]�Nsa|{�®µh��}�z{���Nx$�A�?oqsa�?·���²�oqs�z~oqs�|_z{oqs u`È'|{���N����z{|?}�x��]©«�N|~r�}lz{���Nx¸���`r¸����z{sU��©«|~�Nr z{oqsAz�²��1���`|{|~sa�{�h�`x��E���xq��z{|~�®�q�s�z?�����±�l}�����R©«�N|1}N®�z{o�s5�Nz{oqsa|±�V�N��xTz~�a°'? ��z~����¨¹�N©_z{oqs�}`������|~}`��¨3��©_z~oq���1}N®�`�N|~�³z~oqr=�8sa�{�hsU����}��®¨3©«�N|1}N®���Nxq��xq�ÀLw3�q}�z~}��q��}�x3�Vs�©«�N�qx��3��xcq �_n�� H�t�°
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� H
Non−rigid registration
Vector field operators
3D displacement field
Region of interest 1 in 3D
Region of interest 2 in 3D
Time 1
Time 2registered
Segmentation
Time 2
Rigid registration
d����N�q|~s#�34 � ����� #� �'� ����� ����� � ���)������� �����]��� ��� � ��'�� D�!" #�$�%�'&�(*#���/�������:� �/�$� �L��� ��� � ��&�! � ���������]� � ��! �MjUz�VU � ,-Y���* ��- #/ *!$��- �&M�3*!1�! %,[Y;7s¼���Nrt�q�qz{s7z{oqsºuNÈ@�q���{�q�}N��sarts�xTz�µhs��� ²��®z{o }½x��Nx���|{���N��� }N®�`�N|~�³z~oqr ��}N�{sa� �Nx �����}N��q�a`8���{�®�`x q nAoq���`�Ot�° nAoq���}N®�`�N|~�³z~oqr ���a`8���{sa�4z{o�s¿µ�|?�]z4��rt}N�Ns¶�®xTz{�5z{o�s±�{sa���Nx����`xqsN°��_}`�?o��V�N��x`zA��©-z{oqs��]sU���`x�����rt}N�Ns �]}�z]z{|?}N��z~��� �N| ��|~s��Vs���"� z~oqs�V�N��xTz�z~o�}lz o�}N�-z{o�s��~}�rts����T�`|~�q�®x�}�z{sU�´²��®z{o#z~oqs4µ�|~�]z���r�}��`s4}N�a���`|~����xq��z~� z~oqs���|����a`8s�|~s�xh��s��N©q�®xTz~s�x��{�³z�¨`°E?¿®Tz~oqsa�{s_©«�`|~��sa�}N|{sA|~s��N���}N|{�86�sU�#}�x��¸��s�©«�N|~r+z{oqs �{sa���Nx����®r�}N�NsN° nAoqsA�q|~����sa�~����� �®z{sa|~}�z{sU����}`�]sU���`x¸}±r5�q³z~�³�y�~��}��sA�{�?oqsartsN° ?�z�z~oqs�s�xh�¯�sU}N�?o��V�N��xTz������� ������ ��©´z~oqs±|{s�©«s�|~s�x���s¿��rt}N�Ns¶o�}N��}��`sa��z{�N|����������������������z~o�}lzA�N���NsU���®z~�A}�����}�|~s�xTz ÇE6«¢ 9 $«¥�¦  � Â54 £ bd��©d����N�q|~s�HMe�° ?¶�¿²�s5�a}�xÉ�{s�s��®x d����N��|{s'@���;7st��}�xb}���]�L�qs�µ�xqsU�=z{o�s Ç Â%7�Æ ¤ �º¥�£+6 Æ�4»²�oq���?o¹���±}�©«��x���z~�®�`x �!�"���#�$�������%�#�z~o�}lz�z~|~}Nx���©«�`|{r���z{oqs��V�N��xTz&���'��� ��$�(����x3z{oqs��V�N��x`z)�+*�'�*�� �*'���#*,�{°y;7s1��}�x3�]sas��®xDd��®�`�q|{s,@�z{oqs#�qs�©«�N|~r�}lz~�®�`x�©«�qx���z{���Nx}Nx���z{oqs#�����{�q�}`��sar¸saxTz�µhs�����Vs�z�²�s�saxLz�²��t�®r�}N�Nsa�a°
P(x,y,z) P
u(P)
Image 2Image 1
P’(x’,y’,z’) = (x,y,z)Φ
d��®�`�q|~s @ 4 ��� � ���$������ �� ��� ��� � ��&)! � ���������]� � �)�L���5��� �����(/����������-� � �,&U �$���/.2j;7s1o�}g�Ns¶z{oE���54 01 2 %*43 657� � �'��� ��$�(�839� � ���� ������ �*:3 ;5<� � ���� ������83=� � �'!�� ��$�(��>*:3 �?5<� � ���� ������!3=� � �'!�� ��$�(�
nAoq���_}N�q��}�|~s�xTz������]�q�}N��s�rts�xTz µ�sa�� �`�®�`sa� }�x¸���qsa}±��©Vz{oqsAz~�®rtsAs��`�N���z{���Nx¸�Vs�z�²�s�s�x5z�²��±��r�}��`sa�a°@;7s ��}�xt���`rt�q��z{sAz~oqsz�²���µ�sa��q�54�©«|{�`r<�®r�}��`s��1z~�L��rt}N�Ns�=q�h}Nx��=©«|~�Nr �®r�}��`s�=tz~����rt}N�Ns��`�h²�o����?oÉ���NxTz~}N�®x¹���Nrt�q�s�rts�xTz?}�|~¨L��x�©«�N|~r�}lz{���Nx}`� ²�s1²��®���{s�s1��xÉ�{sa��z~�®�`x <�°��N°zd����N��|{s�H¸�{oq�l² �Az~oqs#�NsU��z~�N|�µ�sa��3©«|~�Nr �1z{� =t}�|~�N�qx��=}t�sa�{�®�`x´��sart�qo�}N�{�86���xq��}t|~}`����}��{oq|~�®xq·E��xq��°�d����N��|{s��L�]oq�l² ��z{oqs5s�`8sa��z±��©�z~oqs��`sa��z~�N|�µhs���=©«|{�`r =¸z{�¹�5�Nx¹}�|~s��`�q�}�| �`|{���=�Nx=z~oqs��`®�`��}���®r�}��`sN�V}�x���`x3}¸|~s��N���Nx�}�|~�N�qx���z�²4�¸s��`�N��E�®xq�¸�sa�{�®�`x���°;7s#��}�x3�]sas±z{oqs�s�`8sa��z ��©�}t�{oq|~�®xq·E��xq�t}�x�����© }�xLs�����}�x��{���NxL�`xLz~oqs��N|~���´°
XSXZY�[]\/^/^/_
� � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
image 1 image 2 displacement field (zoom)
d����N�q|~s,H34-� � ��l � � &�! �'�� ��� ��� �� & �5������������� ��� ������& &U� ( ������� ��� �&)! � ���������]� � ��! ����� ��� �#� ��L���� � ��(/� � ����( �� � �/��( � ��� ���! � �(/�$���%��j��' ������ �5Oh �$� ��� & �5�D����� ���5�,��� (/�$� �#�$� � ! �/�/���� j
deformed grid with field from 2 to 1
image 2 image 1
d��®�`�q|{s1� 4y� & &)!"����� ��� � �� ��� ��� � ��&�! � ���������]� � ��! � �� � -+� ��(/���Gj
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �
xδ x’δ
u(x)
uxδ
x x’
( )x+
x+ xδ
d����N�q|~s��!4�g)�5� &5��$�]�yl � � ��$����� � ����O�D&�! � ��h �$��� � -+�Z ������ (���'�/& &U� (*���]� ��� �&)! � ���������]� ¢l ����� ��� ���$ �/�����5� &U �$���l�� ��� ���$�����(j�� ����� � �� � &��5��� ���5� ! ��� ������ D��(/��� ��� �:��� ( O� �I����$��� � ��� �,��I�D&�! �, � &U �$�����&����� � ��� � � ��(*� D��(�����! ���5j/ �J�������#* �3� (��0�#;b��*�����#*�,
�z��� * #Y�') %"o�%$nAoqsL�Nsa��z{�`|¶µhs���º�N�Vs�|?}lz{�`|~���{oq�N����bz{|?}�xh��©«�`|{r�}Ru`È �NsU��z{�`|�µ�s���º��xº}R�{��r¸��®sa|1|{sa�q|{sU�]saxTz~}lz~�®�`xÉz~o�}lz#���#}Ru`È.�{�a}��}�|��r�}��Ns`° nAoq�����~��}��}�|���r�}��`s=�{oq�`�q��¾�VsÉ���`xTz{|?}N�]z{sa�½²��³z~o'|{sU�]�Vsa��z�z{�ºz~oqsRz{��rtsRs��`�N���z{���Nx��a°:À=�`|{sa�l�Nsa|5²�sRxqs�sU�»z{���xTz{|~�E�q����s��N�Vs�|?}lz~�N|?�4z{o�}�z o�}g�Ns�}¸�qoE¨E�{����}�¯rtsU}�xq��xq�¸©«�N| }¸�Vs�z]z~s�| ��xTz{sa|{�q|~s�z?}lz~�®�`x´°
�z�VU �2$�� 1Z' , �� %1�Y ,y" $@*!1�.,-*I� A� �1 # ¥�£#8  �º¥�£+6d¦N¥�$ Â�� 9 ¤  ¢U¢+6 Æ)4 ¥ 4 Ç 9 8 à ¢+6«¦`¥�$ �  ¥ 4 6 4 T;7sA�®xTz{|~��������s�}`��}Nx��`�hsa|~}�z{�N|-z{oqs N`}N���N�q��}�x#�N©qz{o�sA�qs�©«�N|~r�}lz~�®�`x#©«�qx���z{���Nx´� ��� �������%�>�$�����{�`}`�-��x��{�q��|{sU�1©«|~�Nr q È��¶��x_� @ft�°nAoq���_�`�hsa|~}�z{�`|����_²�����sa®¨5���]sU�t�®x����NxTz{��xE�q�qr r¸sU�?o�}�x����a�zq 9A�¿� H�t@q ; À���� H�t�°�nAoqs NN}`���N����}Nx5�N©���}lz��V�N��xTz��º���4��s�µhxqsa�}`�k4
������������� � 3 ��!#"��%$'&�� �/3 ��!#" ()*+#,�-+/. +#,�-+/0 +#,�-+21+#,43+/. +#,43+/0 +#,43+21+#,#5+/. +#,#5+/0 +#,#5+21
6�78
w�z¿�a}�x=}���]�t�Vs1²�|{�®z]z~s�x=²��³z~o3z{oqs1�`sa��z~�N|������]���}`��s�rtsax`zAµ�sa�� � �'� � �����#����� ��}lz¿�>4��!#"��%$ & ���83 ��!#"��:9;� 5<$ & ��� 3 ()*
+2= -+/. 5 > +2= -+20 +2= -+#1+2=43+2. +2=43+20 5 > +2=43+#1+2= 5+2. +2= 5+20 +2= 5+21 5?>6 78
w�z����1���{s�©«��_z{�R|~sa�a}��_}=�qoE¨��]����}N_�®xTz~s�|~�q|{s�z~}�z{���Nx7��©�z{oqs N`}N���N�q��}�xb�N�Vs�|?}lz~�N|1��xbz~s�|~r��1��©���E�a}���l}�|~��}lz{���Nxº�N©��`�N��qrtsN°;'�®z{o�z{oqs±xq�Nz~}lz~�®�`x���©¯z~oqs:d����N��|{s±�q�Tsa}N�?oL�h�`�®xTz�3}�z�z{��rts5�¶���A���N�q�q�sa��²��³z~o�}�u`ÈJ�Nsa��z{�`|���©-}N�q��}N|{sax`zA�����]�q�}N��s�rts�xTz� �'���z~o�}lz��N���Nsa��z{oqs¶�h�`�®xTz �*h}�z_z{��rts =q° � s�z��������Nrt�q��z~s z{o�s¿�s�xq�Nz{o��l}�|~��}�z{���Nx¸z{o�|{�`�q�Notz~�®rts¿�N©¯z{oqs±���`�q�q�s ��©¯�V�N��x`z?����� 5@� ��_²�oq���?o=}N|{s±�Nsa|{¨�����`�{sN°
� * 3 � 65 ���65@� ���A<��� �/3 � 65<$6�CB�� 65D� ��EF� GE � �=�%H�IKJL!'�MI#I �ONP!K� QI/NR�MSTS �� *VU �:9;� 5<$��/��B/� 3 �W$�� �XB/� 4�:9 �Y�[Z\�W]�I2"^�#]4��!2]_�#`a`b]4� b�WNR�;"W��� � �nAoq����|~sa�{�q®z�}N®��l² �4z{�����Nrt�q��z~s¶z~oqs1��E�a}�¯�`�N��qrts±�l}N|{��}lz~�®�`x3}N|{�`�qx���z~oqs1�V�N��x`z)R�E¨ 4
��c * 3 ��!2"Fd � * ��� * �e��� *gf�U ��!#"Fd $��hB�� ���$6�[B�� ���$6�hB���� f 3i�j!#"Fd $6� f B��j!#"Fd � ���� ������ f��c;* U ����� & �"����B2��c
nAoE���a��z~oqs s��`�N���z{���Nxlk�m�nkom �N©¯}��{r�}��q�N�`®�qrts���x¸z{��r¸s¿�����`�®�`s�x¸�E¨#z{o�s NN}`���N����}Nx5�N©hz~oqs¿��s�©«�N|~rt}�z{���Nx5©«�qx���z{���Nx ��°Z;'oqs�x���;� & � � �^pq>¶z{oqsa|{s�����}¸®����}N¯s�����}Nx��]���Nx3}lz��V�N��x`z ����}Nx��L²�o�s�xr�s�;� & �"���uti>±z~oqs�|~s�����}¸��E�a}�¯�{oq|{��xq·E��xq�¸}�z��h�`�®xTz ��°
XSXZY�[]\/^/^/_
�#O � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
image 2image 1
ψ
Φ
(R,t) -> misregistration
Φ
ψ
x
Y’ = (x) = Ro (x) + t
Y = (x)
Φ
d����N�q|~s1�+O 48��� � ��� � � ���� (/��� ��� � ���5������� � �� ( � &U��(W��� ��� (/� � ���'( �� � �/��( � ��� � � � ����� � � ��� � � ���� (/��� ��� � ���5������� � hZ� ������ ��(*�'� � �L��� �/(*��� � �/��(*�������� ¢� �W� �Mj����:�5� ��� 3�������5D"�jI� A� A LÆ ¡� �¢�£ 4- ¢U¢ Æ)7 £D8  ¥q¦ Æ ¡E6«¥ 4 Å 6«£#8%¤  ¢ 9� ¦N£5£ Æ ��6«¢U¥�$W6 T�4 � Â54 £d����N�q|~s��+O��{oq�l² ��²�oh}lz¿o�}N�q�Vs�x��¶²�oqs�x=z�²�����rt}N�NsU�¿}�|~s1xq�Nz¿�hsa|]©«sU��z~®¨=}���®�`xqsa�+4�z~oqs���s�©«�N|~rt}�z{���Nx=©«�qxh��z{���Nx��¶�h²�o����?o���¿rtsU}N�{�q|{sU�¯�����±���a`8s�|~s�xTz¶©«|{�`r z~oqs#z~oqs��`|{s�z{����}���Nxqs6�-°±nAoqs#rt���]|~s��`���]z{|?}lz~�®�`x3���¶�N���Ns�xR�E¨=}�|~sa�{�����h}�-|~��z?}lz~�®�`x=� }�x��z~|~}Nx��]�}lz~�®�`xLzU°�;bs1oh}g�Ns�� 3 �����65D"?°
nAoqsax=²4s�o�}g�`sM4���;�����)� 3 ��!2"��W$��)� 3 �j!#"��%$ ��������5@"$��� 3?��!#"����iB2$���� 3 ���;� �"���
nAoqsa|{s�©«�N|~s3z{oqs�N`}N���N�q��}�x¾��©±z{o�sRz{oqsa�N|~s�z~���a}� ��s�©«�N|~rt}�z{���Nx¾©«�qx���z{���Nx�bª©«�`|L}º�Vs�|{©«sa��z�|{���N���¾|{sa�N����z~|~}�z{���Nx�e����Ls �T��}NAz{�z~oqs�N`}N���`�q��}�x=��©�}�rtsa}`�]�q|~sa�3��s�©«�N|~rt}�z{���Nx3©«�qx���z{���NxXbd²�o�}lz~s��`s�|Az{o�s�rt���{|~s��N���]z{|?}lz{���Nx e�° Q¿©_���`�q|?�]s±z{o����¿|{s �`���®|~sa�Az~o�}lzU�sa�Ns�x¾��x½z~oqs¹��}`�]s3��©�}�x%}��q�q|~�����®r�}�z{s�}N®���Nx�r¸saxTzt�N©¶��r�}��NsU���_z{oqsRxq�`x���|{���N��� |~s��`���]z{|?}lz~�®�`x½��z~�®� ���`rt�q��z{sU��}º���N|~|~sa��z�����{�q�}`��sar¸saxTz µ�s���¯°AwyxR�N��|¿��}`�]s±z{o�s�|~�®�`���3|~s��N���]z{|?}lz{���Nx3�����hsa|]©«�`|{rtsU�=�hsU��}��h�]s�z~oqs#xq�`x�� |~���N����|~s��`���]z{|?}lz~�®�`x�}N®�`�N|~�³z~oqr²�s#���{s�xqsasa�q�¶}��N�E���=��xq�³z~��}N�}N®���Nx�r¸saxTz z{���`�®�`s�}��`�T���3|~sa�{�q³zU°¿� sa�Nsa|]z~oqs��sa�~����z{oqs�|{���N���=|{sa�N����z~|~}�z{���NxR���Esa�¿xq��z¶o�}g�Nsz~���hs#}`��}N�����q|?}lz{s�}N��©«�`|Az{oqs#�{�q��z~|~}`��z~�®�`x�rts�z~oq���3²�oqs�|~s1}5�Vs�z{z{sa| �N|As �T��}N8z{���`xqs��N����s�8�q|~sa�����{�®�`x����A|~s �T�q��|{sU�¯°
I� A� I B Æ � 9 ´£U¥�£+6 Æ�4 ¥ 4 Ç'¥ 9E9 $W6d¦N¥�£#6 Æ)4:Æ)7 £#8 Â� ¥q¦ Æ ¡S6d¥ 4;7s�o�}g�Ns��{s�sax�z~o�}lz�z~oqs ���`r¸����z~}�z{���Nx¸��©Vz{oqs N`}N���N�q��}�x5��©�z~oqs ��s�©«�N|~rt}�z{���Nx ���a}�x¸�hs��Vs�|{©«�N|~rtsa�¸���®|~sa��z{�¨#²��®z{otz{o�s �����]��q�}N��s�rts�xTz µ�sa�� °;bsAxqsasa��z{�1���`rt�q��z{s4z{o�s4µh|~�]z ����sa|{���l}lz~�®�`sa����©�z~oqs������]�q�}N��s�rts�xTz�µ�s��� 4 +/=��+2. � +2=��+20 � +2=��+21 �5QkQ5Q � +2=��+#1 °d��N|1}�©d}`��z~s�|1���`r¸����z~}�z{���Nx¹²�s5�h�]s5|{sU���q|?�]���Ns�µ�®z{s�|~��xq��z~o�}lz��N���NsU�¶}NxÉ��rt}N�Ns�©«�N|±sa}N�?o7��s�|~���g}�z{���Ns`°�nAo�s�x´�¯²�s�xqsasa�¹z{��]z{�`|{s5�®x¹rtsar¸�`|{¨�z{o�s¸����s�|~�®�l}�z{���Nsa� z{�3���Nrt�q�qz{s#z~oqs�NN}`���N����}Nx¹}�x��=©«�`|¶}Nx¹�®r�}N�Ns��N© EMFMHKJ EMFMH�J >��MP�z{oq���±|{s �`���®|~sa�}N�h�`��z <%=`�NÀ3���E¨`z~sa����©8rts�rt�N|~¨N°ZwE��z{�#}g�`�N���#�l�`s�|{µ�®���xq�¿z~oqs rts�rt�`|{¨��{��}`��sA²4s����Nrt�q��z~sAz{oqs N`}N���N�q��}�x5�Nx��{�q�����®r�}��`sa�}Nx���z{oqsax3²�s±©«���{s�z{oqs#���7`8s�|~s�xTz �]�q�q� |~sa�{�q®z~�A²�oq���?o���x���®���qs#}�x=�l�Nsa|{�}��q���®xq�5�h�`|~�qs�|�z{��}g�`�N���L�{����s�sk`VsU��z~�a°
nAoqs N`}N���N�q��}�x��`�®�`sa��}t���NxTz~|~}`��z~sa����r�}��Ns±²��®z{o3|{sU�]�Vsa��z�z~��z~oqs�s��`�N���z{���Nx3}�rt�q��³z~����sN°_nAo�s±rt�`|{s����`x`z~|~}`��z~sa��}N|{sU}N�z~s�x��Lz{�����`|{|~sa�{�V�Nx��¸z~�t�{oq|~�®x�·T��xq�5�N|A�N|~�l²��®x��#®sU�]���Nxh��° wyx�d����N�q|~s¸�N�±²4s��]sas¿z~o�}lz }NxL��r¸�V�N|{z~}NxTzA�{oq|~�®xq·E��xq���N©�}5®sU�]���Nx�Vs�z�²�s�saxÉz�²�����r�}��`sa�±�N���NsU�±}3�q}N|{·R|~s��`�®�`x¹�®x7z~oqsLNN}`���N����}Nx¹�®r�}N�NsN°�Q¶xb�Nz{oqsa|1}�|~sa}N�a�Vz{oqst�l}���qst���1}��r¸�T��z1���`x��]z~}�xTz}Nx��t�Nsa|{¨¸����`�{s4z~���N�`²�oq���?o��®x��q���a}lz{sU��xq��}N�q��}N|{sax`z_�l}N|{��}lz~�®�`x5�N©8�`�N��qrtsN° ? 6��E�`r }�|~�N��x��t}�®sU�]���Nx��{oq�l² � z{oh}lz4�q}N|{·`s�|}N|{sU}N�A���`|{|~sa�{�h�`x���z~���]oq|~��xq·E�®xq�t�sa�{�®�`x��a°
�z��� �0� �2$@* ,y" $@*!1�.,-* &P�}N®rt�Nx3}�x���nAoq��|{���Nx�oh}g�Ns¶�qs��Nsa®�`�hsU��}�x���z{o�s�|A�NsU��z{�`|_µ�sa����N�Vs�|?}lz~�N|4��}N�{sa���`x�z~oqs1���®�`s�|~�Nsax���s¿}Nx���z~oqs±xq�N|~r ��©´z~oqs�����{�q�}`��sar¸saxTz�µ�s��� q n P�� Hl}�t-q n��-w�� H�t�4
���#]#N B��j���%�"�6� 3 E ���"�6�oEF�a���?� ��6� 3 E � ��6�FE ��� � �� 5�� ���
� 5�� ���� � �
nAoq���±�N�Vs�|?}lz~�N|±o�}N�±xq�=�]��rt�q�s5�qoE¨��{���a}� rtsa}�x��®xq��s��`s�xÉ�®©�z~oqs��]���Nxb��©_z~oqst�N�Vs�|?}lz~�N|¿�`�®�`sa��}�xb�®xq©«�N|~rt}�z{���NxÉ}N�h�`��z�{oq|~�®xq·E��xq� bdxqs��T}lz{���Ns1�l}N®�qsU��e��N|¿s�����}�x��{���Nx0b«�V�`�{�³z~�®�`s#�l}���qsa��e�° ?¶�¿²�s#o�}g�`s1xq���qoE¨��{���a}�´��xTz{s�|~�q|~s�z?}lz{���Nx=�N©�z{oqs#�l}N®�qs`��®z ���¿��� �����q³z�z~��}���z~�Nr�}lz~���a}��®¨tz~oq|~sa�{oq�N���z~oqs1��rt}N�Ns±z{�ts��Tz~|~}`��zAz{o�s1|{sa�N���Nx�����©��®xTz~s�|~sa�]za°
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �N�
�®r�}��`s5� ����� � � ��� � � ��rt}N�Ns =
d����N��|{st�N�G4-� & &)!"����� ��� � ��,��� ���U� ��G���� ����h ����� � ��� ����! �/�/�� � ��� � � ��� (/�$� �#�kj
��|~��rt}#s�z�}� °��q|~�N�V�`�{sa��}Nxq��z~oqs�|4�N�Vs�|?}lz~�N|�²�oq���?o��N���NsU��z~oqs¿�����}�h�l}�|~��}�z{���Nx���©¯�`�N��qrts�q ��n2w�� �N�It ° ?:��s��V��©´�N����sa���N©-�N�`®�qrts¶����c������A��s�©«�`|{rtsa��z{�t}����`rt�q®s����h�`®¨EoqsU��|{�`x�²�oq���?oL�`�N��qrts c%�¿���A���Nrt�q�qz{sa�´° nAo�s�x m ��� m �m � ���A��}N����q�}lz{sU�¯°�¿��z{s3z~o�}lz�}�x���z{o�s�|�}���N�`|{�®z{oqr z~�º���Nrt�q��z~sCc � ���t�N���Ns�x»�®x^q"P�� �_n��N�Ot °%nAoq���5�`�hsa|~}�z{�`|5��������|{sU��z{�¨¼|~s��}lz{sU�¼z~�bz~oqsN`}N���N�q��}�x+4
c �LA c��c�� 3 c �c�� A > U ���;� A<>d����N�q|~sL�D=L�{oq�l² �¿z{oqst}��q��®����}�z{���NxÉ�N©_z{o�sa�{s�z~oq|{sas5�`�hsa|~}�z{�`|~�¿�Nx¹z~oqs��{}Nrts5�����]���}`��s�rtsax`z±µ�sa��¯°�wyxb��}N|]z~�����q�}�|±²4s
�a}�x=xq��z~����s1oq�l²:z{oqs�N`}N���N�q��}�x=}�xh�Lz~oqs#�����{��|{s�z{s#���Nrt�q��z?}lz{���Nx=�N©�z~oqs1|~s��}lz{���Ns��l}�|~��}lz{���Nx=�N©��`�N��qrts�}N|{s#�{��r¸���}�|U°�nAoqs}`���l}�xTz~}N�Ns#�N©_�N�q|±}��q�q|~�`}`�?o=���¿z{o�}�z¶�®z±��|{�l�E����sa� }����`x`z~�®xE�q�`����©«|?}�rtsa²4�`|{·L©«�N|�}����`r¸����z~}�z{���NxXbH}lz±}NxE¨3�~��}N®sfe���©�z~oqsN`}N���N�q��}�x´°
E � Eo�j��� � �����~��|~s�z{s1���Nrt�q��z?}lz{���Nx=�N© N`}N���`�q��}�xm 3 � m -m - � � ���;���"����A >��
d����N�q|~st�#=34 � � &U� (/� �� �X ���Vh ����� � � i ��(*���]� ��l � �/���$� � /&5��(*� �� (��
XSXZY�[]\/^/^/_
�D= � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
� � ��*���,�L��(��3�a�L� ���� ,������� ������������
�2��� � $)� �2,>/ 1�Y�/ *!$@&.�����!&;7s��a}�x1s��Tz~|~}`��z�z{oqs�}�|~sa}N�¯z{o�}�z����`|{|~sa�{�V�Nx��±z~�¶} �{�®�`xq�®µh��}Nx`z-z{��r¸s�s��`�N���z{���Nx-°´w�z����´�V�`�~�{�®�q�s_z~� µ�xh�#} �qx��³©«�`|{rJz{o�|{sU�]oq�`���l�`s�|Az{o�s�²�oq�`®s'N`}N���N�q��}�x=��rt}N�Ns1|~s��¨E�®xq���`x=�³z?� �qoE¨��]����}N´��x`z~s�|~�q|~s�z~}�z{���Nx=��x=z{s�|~r�� �N© �����}N´�l}�|~��}�z{���Nx=��©��N�`®��r¸s`°[;7s�?oq�T�]s1}Nx�sar¸���®|~���¶z~oq|{sU�]o��N��L�N©EOq° u�©«�N| �{�®�`xq�³µV��}�xTz �{oq|{��xq·E��xq��° ? x3s��q}Nr¸��®s���xDd����N�q|~st�au¸�]o��l² ��z~o�}lz �®z �N���NsU�A}5�`�E�E��{s��`r¸saxTz~}lz~�®�`x��N©�}t�{oq|{��xq·E��xq�t®sU�]���Nx´°
d����N�q|~st�au!4Ag+� ����� (*����� �! �'��!#"��%$����ut P!Q S ����� ��� �$� &UD���/��/! ���������� �����]� ���%(/�$� �D�$�%� ! ���/�� �U�kjwyxL©d}N��zU�E²4s�}�|~s �N�`�®x��#z{�5©«���������`xq®¨t�`x�z{oqs1�{oq|~�®xq·E��xq�5}N|{sU}N�a°@;7s±�a}�x3�]sas¿��x�d��®�`�q|~s���<�z{o�}�zA}5�Vs�z]z~s�|���sU�{��|{����z{���Nx
������|{�l�E����sa�7²��®z{o¼z~oqs��{oq|~�®xq·E��xq�=µ�sa��¯°Éw�©�z{oqsa|{s�����}Nx ��r¸�V�N|{z~}NxTz�s�����}Nx��]���Nxº�����}���¨b�Vs�z�²�s�sax¼�®r�}��`sa����}�x�� =q� ²4s²��N�q��ºxqsasa�º}R�Nx�stz{�¹r�}�xE¨brt}N�q�q��xq�¹���qs�z{�¹��®rt�®z{sU�º|{sU�]�`®��z~�®�`xº��©Az{oqsL�®r�}��`sN°3n-�É}g�`�N���¹z~oq����� ²�s����Nxh�]����s�|��Nxq�¨�{oq|~�®xq·E��xq��|{sa�N���Nx���©«|~�Nr �Az{� =��T}�x���z{oqsax��]o�|{��xq·E�®x��±|~s��`�®�`x���©«|{�`r =¶z{���`°9�¨1z~oq|~sa�{oq�N�����xq�1�]oq|~��xq·E�®xq�1}N|{sU}N��²4s��`��z~}N�®xz~oqs��]sa�Nrts�xTz?}lz{���Nxh� I ��� � ��xbz~oqs¸µ�|?��z#��r�}��Ns`�´}�x��lI � �;� �®xbz{o�s��]sU���Nxh�É��r�}��Ns`°¸nAo�s�xº²4sto�}g�`s�z~�=|{sU���Nr5�q��xqs¸z{oq�T�]sz�²����®xq©«�N|~rt}�z{���Nx+4 z~oqs#²�oq�`®s1�{s��`r¸saxTz~}lz~�®�`x��A��x3��r�}��`s��#}�x�� =¸}�|~s��N���Ns�x=�E¨�� � � �T"�>��/3 d I � �+� f�� d � � �;� �%I � �;� � f �h}�x��� ��� �T" E �83 d I � �;� f�� d � � �+� �WI ��� � � f
d����N�q|~s¼�U�º�{oq�l² ��}¼�{oq|~�®xq·E��xq�¼�sa�{�®�`x%}Nx��'}º�N|~�l²���xq�º®sU�]���Nx%²��®z{o'z~oqsÉ���`|{|~sa�{�V�Nx�����xq�¼�����]���}`��s�rtsax`z�µhs���'}�x��d����N�q|~sa���#@¸}Nx��b�DH5�]o��l² }���z~�Nr�}lz~�����{s��`r¸saxTz~}lz~�®�`x�|~sa�{�q®z~�A�`��z~}N�®xqsU��}�zAz�²4�¸z{��rtsa�a°
�2�VU #]_$ &($+*� %$@&n&($��[] $ Y-�31�! %,-Ywyx<d����N�q|~s1�a����²4s �{oq�l²»z{o�}�z_²��³z~otz{oqs µ�s���q�_�Vs�z�²�s�saxt�®r�}��`sa�A� }Nx��L=�}�x��¸�Vs�z�²�s�sax¸��r�}��`sa� =�}Nx��tuq�N²�s ��}Nx����Nrt�q�qz{s�{s��`r¸saxTz~}lz~�®�`x���� ��� ��x�z~oqs��®r�}N�Nsa�±��}�x�� =5}�x���� ��� ��xLz~oqs��®r�}N�Nsa� =5}�x��3uq°�nAoqsax�²�s±�q|{�`��}��T}lz~s z{o�s��{s��`rts�xTz~}�z{���Nx��� ���L}Nx�����$��|~sa�{�hsU��z{���Nsa®¨bz{�¹z{��r¸sU�'" S }Nx��l"�>N��z{oh}�xq·��1z~�Rz{o�sL�NsU��z~�N|1µ�sa���� �!���t}Nx��7�!���`°¹nAoqs�x¼�E¨º}N�q�q�³z~�®�`x´� ²4s�`��z~}N�®x=}5�{s��`rts�xTz~}�z{���Nx��N©-z{o�s±�sa�{���Nx��4�®x=}��Vz{oqs���r�}��NsU����©�}t�{s�|~�®sU��°�wyx d����N�q|~s¸�a�q�E²�s±�a}�x3�]sas¿z~oqs1�]sa�Nrts�xTz~}�z{���Nx��4��©�sa�{�®�`x���}lz�z~oq|~s�s±z{��rtsa�a°
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �au
field from 2 to 1 (shrinking)
evolving lesion or anatomical structure
field from 1 to 2 (expansion)
d����N�q|~s��+< 4�g)�5� �$�+���(/����������:� � (/����� ��(:hZ� ���Th � ! # ����� ��� � ��� (/�$� �#�$� � � ��! �Gj��S���������W� ���5��(*�,� � ��! ��(�� �'��l�&U� �U�/���� � ���5����$(*����� � � ��&�! � ����������� � ��! �L��� �]�� � ��l�&�(*����� ��� ��� ��� kl ��!����5O�5! � � ���� (/� ������� D��(*� ! kl ��! �kj ���:h I�5! ���)�����L����)�,����� ��� ����& &��$�%���O�]���� !"�$���$����� (*���� !m�5��� � �����5���$���+� ��j � � �I� ���Lg+� ��� �#���� ���5��(*�� D��(���� � ��! � � �L ��������(�� ������(/� &)������ �,���5� &�� ���)������)�� � � &5 �������! ��j
d����N�q|~sL�g�34 � #��� ! (*�����5! ���� ���� D�!" #�$�%� ! ���/�� �������������]��� ��� �U� h �$��� ��� �� � ���� ( � ��! �Mj��S��������� ���%(/�$� �D�$�%� ! ���/�� � jA� � �O�%�������(*Ih �$�%� ! ���/�� � j
� � �A�3��,¯������,-,��¬����0*���,-;b���_� ��� * �������0�(a�����3�� ���
n��7�]z{�h��¨ºz{oqs3|~�N�q���]z{x�sa�~�#²��®z{o½|~sa�{�Vsa��z¸z{�bz{o�s�|~�®�`���½}���®�`xqrts�xTza��²�sLo�}g�`s����Nx��{���qs�|~sa�ºz�²��¹|~s��N���]z{s�|~sa� �®r�}��`sa�5}�x��²�sto�}g�Nst�]o��³©ªz~sa�bz{oqs��{sa���Nx��b�Nxqs`�´²��®z{oº}b����sa�N|~s�s¸|{�Nz~}�z{���Nxb��s�xTz{sa|{sU�¹�`xÉz~oqs�rt���q�q®st��©4z{oqs���r�}��`s¸}Nx��¹z~oqs�xº²��®z{o}=z~|~}Nx��{�}�z{���Nxº��©+� >>��>>��P��~°�;7s��a}�x ���Nrt��}�|~s¸z{oqs�|{sU�]��³z?�1�N��z?}���xqsa�º�E¨º�]����z{|?}N��z{���Nx b�d����N�q|~s =�O3z~�N��e#}�x��º²��®z{o �`�q|rts�z~oq���cb�d��®�`�q|~s'=�O5�h�Nz]z{�`r<e4z{o�}�z |{sart}N�®xh����z?}��q�sN°
� 0 ������(a�L,������
wyxbz{oq���±|{sa�h�`|]z±²4s¸�q|~�N�V�`�{sa�¹}�xqsa² rts�z{o��E�Éz{�=�]z{����¨Rr5�q®z{���q®s��~���s�|~�`�{���¿®sU�]���Nxh�¶sa�N�`®��z~�®�`xRz{o�|{�`�q�NoRz~�®rtst��}`�]sU�R�Nxz~oqs¸}N�q��}N|{sax`z±�����{�q�}N��s�rts�xTz¿µhs���¹�Vs�z�²�s�s�xÉ�®r�}��`sa�a°±nAoh}�xq·��¿z{��z~oqs�NN}`���N����}NxR�N�Vs�|?}lz{�`| ²�s5��}NxRµ�x��¹z{oqst�{�®�`xq�³µV��}�xTzsa�N�N��E�®x��L}�|~sa}`����©_��r�}��NsU�¿}Nx��R²�s�}�|~s�}���®s�z{�L�{s��`r¸saxTz¿z{o�s�s��`�N��E�®xq���sa�{���Nx��a°¶nAoq���¶r¸s�z{oq���R���¶|{�`�q���]z¿²��³z~o¹|~sa�{�hsU��zz~��z{oqs�|{���N���=}���®�`xqrts�xTza°[;bs�}N|{s#���q|~|{sax`z~®¨�}��q�q�¨E�®x����N�q|¿}N�q�q|~�`}`�?oLz~��²�oq�N�s�z{��rts5�{s�|~�®sU��}�x��3²�s��]o��N�q��3�hs�}N�q�s�z{�
XSXZY�[]\/^/^/_
�+< � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
image 1 image 2
d����N�q|~st�+@!4 � �� ���������������� �� �� !" #�$�%� ! ���/�� �U� �� (/� �O�5� � � ���������� ����D��&��$��� ! � � �����Mj
image 1 image 2
d����N�q|~st�DH34[� �������������������������� !" #�$�%� ! ���/�� �]� ������ ���y�&.��.� � �����Mj
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �U�
S (t3)23S (t1)12
Segmentation S 12 Segmentation S 23
S (t2)23S (t2)12
u12Jac (Id + )23uJac (Id + )
S (t1) = [S (t2)]23 23u
21S (t3) = [S (t2)]12 23 12
u
t2t1 t3
+
+ +
S(t1) S(t2) S(t3)
d����N��|{st�a� 4 �:����� #�L����5� �'��$��� ����(/�����,����������������������U�kj
d����N�q|~s��a� 4 g+� ��� �#�'�� ��� �'���� ����������������� � ��� ���� !a�5������U� ���Vh ����� ��$����� � ���)�h��� � �)�T ����h ����� ��$�����K�:� �)� -�� �$�� � &UD���/��/! ����� #� ���]� !"���#�����5� ! �/�/�� �]���� !a�5������c ���Vh ����� ���5�'-L���]������� �/�$ ��� �����5� �/�$��� �U�kj
XSXZY�[]\/^/^/_
�#@ � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
d����N�q|~s = O!4 �S������� (*�����5!"���[h �$����� �%#+� (/� � ���,( �� � �/��( � ��� � ���/&�� ��� � ������(*� ����������Z ����� � � ���5� �O�5�� ��� ���� ����� �����]��� ��� ���Ij� � �I� ��� (*�����5!"���zh �$��� ����� ����!"� ���������]� ����& � ��� � �������(*� ����� ���� ��� � � ��� �,�O�5�� ��� ���� �����������]��� ��� ���Mj ���,��� � ��� � ��� ������ ���������( � �������� � �� ��(���� ��(*� �� ���V�]�O��hZ� ��� ���5��( ��� ��� ��� ��� !"� � �]������� � ���)� ��� ��� ���5���/���]�I� �'��� �� ������ ( � ��! � h �$������ ���U� ��G���� � �&U��( � �� ( � �,(*(�� �/�-h �$��� ( �/��&U� ��� ������ �'(/� � ��� ��!"� ���������]��j
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �DH
�{oq�l²'�]�h�?o�|{sU�]�q®z~�_�Ns�|~¨t�]�E�Nx-°�nAoqsax�²4s¿²��®�h���Nrt��}�|~s��N��|�|~sa�{�q³z?�_²��®z{o�r�}NxT�h}��}Nx��t��z~oqs�|�}���z~�Nr�}lz~��� �{s��`rts�xTz~}�z{���Nx��q 9 P��N�ft�°±nAo����¶²��®���hst���Nx�s�²��®z{oq��x¹z~oqs 9�w*Q�À Q±� �-= �q|~����sU��za°�;bst}���{���q�}�xRz~��}����q®¨=�`�q|¶}N�q�q|~�`}N�?o3z~���]z{����¨=z~oqs�]r�}N�~��sk`VsU��z��4�E¨�`�h}�xTz{�®©«¨E�®xq�¶z{o�s4sa�N�N���z~�®�`x���©V}�x�}�z{�Nrt����}NT�]z{|~����z~�q|~sa� �]�h�?o5}N�-z{o�sA��s�|~s��q|?}�T�NsaxTz{|~����®sU�-�`|-z~oqsA�®xTz{sa|]©d}`��s�Vs�z�²�s�sax3�`|{sa¨�r�}lz]z~s�| }Nx��3²�oq�³z~s1r�}lz]z~s�|U°
� �����L� �¬(����3���� ���
nAoq����²4�`|{·t²A}N���]���q�h�`|]z~sa�L�T¨tz~oqs1� P�� ©«�qx���sU��9�w*Q�À Q±� �-= �q|~����sU��zA�`�g��ON� <T�q�`}����N��}N�h�`|~}�z{���Nx��Vs�z�²�s�saxLz~oqsou¿xq���Ns�|{��{�³z~�®sU�±��©���sax`z�}�x���Q �E©«�N|?�nb�u���e��¯�_n>= r��q|~���?o b�wE²��®z�6as�|~�}Nx�� e��¯w��¶��w�? wE�N�qo���} ? xTz{���V�N�����b�d�|~}Nx���sfe }Nx���� u � sa�Ns�xb�94sa®�`�®��rKe�°5ÀR}NxT¨3z~o�}�xq·��¿z{� ? �}�x P4�N��?oqsa�]z{sa|±}Nx�� d�s�|~x�}�x��q��9�s��®� b�u¿xq�®�`s�|?�]�®z�¨=��©���saxTz�}�z P�}Nx`z~s�|~�q�q|~¨!e�©«�N|���Nxq������~�����~�]���Nxh��}��V�N��z�r���³z~�®�q�s#�~���s�|~�`�{���A}�xh���sa�{���Nx��A�{s��Nrtsax`z?}lz~�®�`x´°
;7s4²��N����1���·Ns4z{� z~o�}�x�·�z{� P4o�}�|~®sU� �±�qz]z{r�}Nxqx5}Nx������`x�����·T��xq�����I9�|~�®�`o�}�r+}Nx�� ;7�Nrts�x � �Z= �T�]�q�®z~}NH��}Nx��A=¶}�|~�l}�|?�À=sU������}�w��?oq�E�N �E²�oq���q|~�l�T����sU������²��®z{o=r5�q³z~�®��®s#�~���s�|~�`�{������r�}��NsU�4z{��r¸s#�{s�|~��sa�a°
;7s1²�}N|{rt�¨tz{o�}Nxq·�=¿���p�xqs1� }`��z~�N�q��8©«�N|���|{�E��©«|~sa}`����xq��z~oq����|{sa�h�`|]zU°
XSXZY�[]\/^/^/_
�U� � ����������/�� !� ����!"�$� � ��������� ��� � ���5�
� ��"l��*�� ������,
q 9 P��N�Ot d�°G9�s����#}�x���?#° P4�N��?oqsa�]z{sa|a°8À=sa}`�]�q|~��xq� �±��N�h}��}Nx�� � ����}N�wE��}�z{��}�)P4�`|{|~sa�{�h�`x���sax���szu¿�{�®x��1wyx�©«�N|~r�}lz{���NxnAoqsa�N|~¨V°RwyxX;+° Àº°;7s����a� ?#° P4�N��?oqsa�]z{sa|a� }�x�� w8°�ȶs���´��sU���³z~�N|?��� ��� � � �$(��/� ���]����(/��� ��� ��� ! � ��+����(*������� � � ��� ������! �/�����%� � � &��5��$�%� ���)� � � &��5����( ��� ���/� ������� �/�]����(/ D���]��� � ��� � ��� � � � �����A�N�`®�qrtsb��<`� @R��©�S� ���V�5(*���� ���/�,�$� � � &��5����(:����������� ���q��}N�NsU��� @�<��E� Hluq�(9��`�]z{�Nx-�!u�w5?��)Q±��z~�N�Vs�|1�a�`�N��°
q 9A�¿�%Hft Àº°!9�|~���y� ��s���]sax´° � ��� ����� ! �/�����%��� �� � �/��( � ��� �����)� � �5(�� ��(�� ���$� �5! � ��� �h°��_o�È z{o�sa�{���a��w]À¹Àº�]NN�q�¨R�a�N� HE°���sa��z{|~�Nxq�����Nsa|~�{�®�`x+4�o`z{z{�+4����l²�²�²1° ��rtr=° �Ez~�´° ��·��l��������r¸saxTz~��g���{s�|?��l�q|~���g��o��¯° o`z~rtH°
q"P�� �_n��`�Ot �¸° P�}N®rt�`x´�`��°`���`�hsa|]z?���N��°E�����|{�����`sN�`}Nx���Nq°`��°TnAoq��|{���Nx´°�? �qz{�Nr�}�z{��� >¶��}�xTz{�®µh�a}lz{���Nx¸��©SP4o�}Nxq�NsU� �®xtz~oqs���N��qrts���© 9�|?}���x�wTz~|{����z{�q|~sa�a°-wyx�;+° À¼°3;bsa®����5?�°�P4�N��?oqsa�]z{sa|a�E}�x�� w8°�È¿sa®�-��sa���®z{�`|~�a�����5��� �$(���� �/������(/�)������ �)��! � �#����(*���)���� � � ��� ������! �/�����%� � �� & �5���$� � ���)� � �� & �5����( ��� ���/� �/����� ���]����(/ ���������� � � � ��� � �b� ������N�`®��r¸st�+<`� @5��© � �������5( ���'������,�$� � � &��5����(������������ ���q��}N�NsU��� @�<��E�%H�uq�(94�T��z~�Nx´�!uow5?#��Q±��z{�`�hsa|1�a�`�N�q°
q È��¶��x�� @It P¶°�ȱ}g�l}lz�6a�®·`�`�a��Àº°u�_}���®�}�xTza�>w8°�� sa�{xq���?·8� Nq° � °��_|{��x���s`�zw¯° � s�z{�l���]·E¨`�4}�xh�¾�#° ��°-9�|{¨T}�x´° À=�`|{�qo��N��N�������}��? xh}��¨E�{���¹��©<9�|?}���x wTz{|~����z~�q|~sa� u¶�]��xq� wE��}lz~��}N5�¿�N|~rt}N®�86a}�z{���Nx´° wyx �t° =#°:= �`oqxqs¾}�x��+�1° ����·T�®�xq�����tsU���³z~�N|?����� � ���]��!"���#� ��� � �$� � ������������ ��! � � &��5��$�%�N�txT��r��Vs�|%�N�Uuq� ��x � sa��z{�q|~s»�¿��z{sU�7�®x.P4�Nr¸��q��z~s�|:w�����s�x���sN�V��}��`sa��uT�N����u @ Oq�3=¿}Nr��q�q|~��� �±s�|~r�}�xE¨N��w�s���z~s�r��Vs�|5�a�`� @q° w��q|{��xq�`s�|U°����sa��z{|~�Nxq���1�`s�|?�]���Nx 4oTz]z~�+4����g��}N��H° sa��sN° ��oT�-° sU������� �q|~��x���s��~��������q�q���a° o`z~rtH°
q �o; � x_�N�Ot �¸° �±sa|{�����AÈ�°-;bsa³z~�H� P¶° �±�qz]z{r�}Nx´� ?#° P4�`��?oqsU��z~s�|U�4}Nx����¸°[w.6��a·Nsa®¨`°%� �E��®�`|{��xq�7z{oqsbÈ¿���{��|{��rt�®xh}lz{���Nx���l²4sa|¿�N©_z{oqstnA��r¸s¸È¿�`r�}���x¹©«�N| wEsa�Nrts�xTz~}�z{���NxÉ}Nx���P4o�}N|~}`��z~s�|~�76U}lz{���Nx=�N© � sa�{���Nx��¶�®xcwEs�|~��}��ÀR� ȱ}lz~}�°wyxT;+° Àº°!;7s����a��?�°�P4�N��?oqsU��z~s�|U�q}�x��Tw8°�ȶs���´�hsa���®z{�`|~�a� ��� � � �$(��/� �/������(/�)��������)� ! � �+����(*���)���� � �:������� ��!�/�����%� � �� & �5���$� � � ��� � � &��5����( ��� ����� �/����� �/�]����(/ D���]��� � � � � ��� � �b� ���N���N�`®��r¸s5��<T� @1�N© � �������5( � �' ������$� � �� & �5����(:���������������q�h}��NsU� < @`���%<T� O��G9��`�]z{�`x´�!u�w5?��)Q±��z~�N�Vs�|1�U�N�N��°
q =�w]Q:x �T�ft N�°���°Z=¿}���x�}� � �#°wq}�s�sU�¯� ?#° Q±}lz{|~�����Ns`����° Nq° ;'�®����}Nrt�a��w�°��1°��_�N�qx���� }�x�� �¸°94¨��q�qs�|U°=ȶs�z~sa��z{���Nx¼��©wE�q�qz{�s:9�|?}���x P4o�}Nxq�NsU�[u¶�]��xq� w��q�E�N����s�8��s��`���]z{|?}lz~�®�`x�}�x�� wE�q���]z{|?}N��z{���Nx��N©wEsa|{��}�¯ÀR� wyr�}N�Nsa�a° �UO�5(/��� !�� � �� & �5����(�� ���/� �/����� g]��� ��( ��& �(�l�-�U� bH�Ge�4 @%H H�� @`�q�`�(wEsa��z{sar��Vs�|1�a�`�`�q°
q � sart� H�t � ° � s�rt��s�� �¯° nAoqs wEs��`r¸saxTz~}lz~�®�`x }Nx�� ����z~�®r�}lz~�®�`x ��© �¿�N���]s ��x ȶ�7`Vsa|{sax���s wyr�}��`sa���© P4����|~s��N���]z{s�|~sa� ÀR��w w���}Nx ��}N�®|?�a° wyx � ��� ����� ! �/�����%� �S��� ��(������ ��� �$� � ���)� � �)� ! ��D�/� � �� ���)�C� ��� � � �yl*���(*� � �! 5� Q �E©«�`|~�¯� u �t� N���®¨ �a�N� HE° ���sa��z{|~�Nxq��� �`s�|?�]���Nx 4oTz]z~�+4����g²�²�²1° |{�`�h�Nz~�a° ���¯° }N�N° �q·���� r5�E��g©«|~}Nr¸s����q|~�E��s�sU���®x��`�a° oTz{rt#"5��s��`����z{|?}lz{���Nx-°
q �_n��%Hft $�°5��saxqxqsU�'}�x�� Nq° ��°�nAoq��|{���Nx-° ? dq|?}�rtsa²4�`|{· ©«�`|nu x���s�|{z~}���xTz�¨ }�x�� �_}�����q}lz~�®�`x �N©=u`È��s��`���]z{|?}l�z{���Nx À=s�z{oq���q�7��}`�]sU� �Nx ���N��x`z?�º}�x�� dq|?}�rtsa�a° � � � �-� =N� bduGe�4 = ONu��5= =N�q���U�N�%H�°��®sU��z~|{�`xq���»�Nsa|~�{���Nx+4oTz]z~�+4����g²�²�²1° �®x�|{��}q° ©«|�ls��q���q}N�q|{s��g�Vs�|?�]�`xqxqsa��l�hsaxqxqsa���l�����q®����}�z{���Nx��a° o`z~rtH°
q �_n2w�� �`�Ot w8°V��|{��r�}q��N�° ����°�nAoq��|~�®�`x´� �¸° wE�����]�`H�h}�x��=�#°h���N�Vs�|{z~�a° ? �qz{�Nr�}�z{���,? x�}N®¨��{���A�N© �¿�N|~rt}N+9�|~}N�®xRȶ���~�]¨Er¸�rts�z~|{¨¸��©�ÀR}N®sU�_}�xh�<dqsart}N®sU�_��xLÀR�'wyr�}��`sa�a°hwyxv;+° Àº°(;7s����a�%?�°5P4�`��?o�sa�]z{s�|U�N}Nx��<w8°EÈ¿sa®�´�EsU���³z~�N|?�������5�� �$(��/� ���]����(/��� ��� �)��! � �#����(*���)���� � � � ������� ! �/�����%� � � &��5��$�%� ���)� � �� & �5����( ��� ���/� �/����� ���]����(/ ���]��� � �� � ��� � �b� �����¿�N�N��qrtsº��<T� @¹�N© �S�����V�5(*� �� ���/� �$� � � &��5����(D� �������)�����4�h}��NsU� H H�O��UH Hl���Z9��T��z~�Nx´� u�w5?��Q±��z~�N�Vs�|1�U�N�N��°
q n P��%H�}Ot N�° ��°AnAoq�®|~���Nx }Nx�� �¸° P�}N®rt�`x´° È¿s�©«�N|~r�}lz{���Nx ?¿x�}��¨��]����z~�»È¶s�z~sa��z=}�x�� >¶��}�xTz{�®©«¨ ?���z{���Ns � sa�{���Nx��L�®xuNÈ À=sU������}� wyr�}��`s wEs �T�qs�x���sa�a°1n-sU�?oqxq����}� ��sa�h�`|]z1uq�#Oq�N�Vw��¿� w�?#�+dqsa�q|~��}�|~¨b�U�N� HE°���®sU��z~|{�`xq���5�Nsa|~�{���Nx+4oTz]z~�+4����g²�²�²1° �®x�|{��}q° ©«|��� � � n%�l�¿�A��u��+O��N° o`z~rtH°
q n P��%Hl�3t N�° ��°´nAoq��|{���Nxb}�x�� �¸° P�}N®rt�`x´°#À=sa}`�]�q|~��xq� � sU�]���Nx �±|{�l²Az~oR©«|{�`r�uNÈ À=sU�����a}��wyr�}��NsU��°�wyx �'&(&(& �� � �(/� � ��� � ��� � (/������5! ������� � ��� � ���(��+��� /& �����C� ��� �l������s�|{z{�¼��������� N���xqsº�a�N� HE°½�_®sU��z{|~�Nx����3�Nsa|~�{���Nx+4oTz]z~�+4����g²�²�²1° �®x�|{��}q° ©«|��� � � n%�l�¿�A��u��+O��N° o`z~rtH°
q nAoq��� @Ot N�°��_o´°1nAoq�®|~���Nx´° � sa²�dqsU}lz{��|{s¾���`�®xTz?� 9A}N�{sa� �Nx �±sa�Nrts�z~|{��� wyxE�l}�|~��}NxTz~�R©«�`|¼uNÈ wyrt}N�Ns¾��s��`���]z{|?}l�z{���Nx-° ���]����(/��� ��� �)��! �UO�5(/��� ! � � � &��5����()�S� ��������1�U� b�=Ge�4��#=q��V�Uu%H��4ÀR}g¨ �U�N� @�° ���sa��z{|~�Nxq���R�Nsa|~�{���Nx+4oTz]z~�+4����g²�²�²1° �®x�|{��}q° ©«|��� � � n%�l�¿�A�~�U� O��N° o`z~rtH°
q nAoq���N�Ot N�° �:nAoq�®|~���Nx´°�wyr�}��`s�r�}lz?�?oq�®x���}N�±}L�q�a`8���{�®�`xÉ�q|~����sa�~�54 }�xÉ}Nx�}���N�`¨�²��®z{oºÀR} ��²�s���� �¶�qs�rt�Nx��a° �:������� ��!�/�����%�>� �)��!m�D�/� �?�%=!bdu(e�4 = <Tu��5= @ O��`�U�N�N��°���®sU��z~|{�`xq���4�Nsa|~�{���Nx+4´oTz{z{�+4����l²�²�²1° ��xq|~��}�° ©«|*�l� �¿��n%��� �A��=N��< HE° oTz{rt °
¢¡SX@ �£
������������� ��� �������������������������������� !" #�$�%�'&)(*+�����������,�$��-#�.�$�����%�/� �a�
q n��-w�� H�t N�° ��°%nAoq�®|~���Nx´� w8°¾��|~�®r�}q� }�x�� �¸° wE�q���{�N ° wEz~}lz~���]z{����}N ?¿x�}��¨��]���.�N©+ȶ���{�{¨Er¸rts�z{|~¨ ��x ���N����rts�z~|{��� À=sU�����a}� wyr�}N�Nsa�a° n�sa�?oqxq����}N½��sa�h�`|]z u��DHl���½w��¶��w�?#��N��qx�s��a�N� HE° ���sa��z{|~�Nxq��� �Nsa|~�{���Nx+4oTz]z~�+4����g²�²�²1° �®x�|{��}q° ©«|��� � � n%�l�¿�A��u��DH��q° o`z~rtH°
q ; À����%Hft N�° ?�° ;7s����~����9±° �#°�ÀR}�·`s�|U� }�x�� w8° �±�l�E��x��g��sasN° d���xq�®z{sº��®sarts�xTz�wyrt�q�s�rts�xTz?}lz{���Nx ��©#wyx����Nrt�q|~sa�~�]���q�sN�n�|~}Nx��]�`s�|?�]sa®¨�w��{��z~|{�`�q���o=¿¨E�hsa|{sa�}`��z~�����³z�¨8° � �� & �5����(�� ����� #�D� �$�L� & &�!"����� � �����5� �]���������)� & �%� �$�)����(/�$�%�N�b��Uu`�Ge�4��+O%H��V�D=��q� NN}NxE��}�|~¨=�a�N� HE°
qmr d �_�N�It ?#°[r8� �]��saxE�h�T�����#°Zd��N|~�No�}Nxq� �_}�x�� ?#°����l}�x��a° ? �qz{�Nr�}�z{��� >¶��}NxTz{�®µh��}�z{���Nx �N©±ÀLw � sa�{���Nx��5�®x¾uNÈ�ÀR��w9�|~}N�®xbȶ}�z~}�w�s�z~�54 �_}N®���q}lz~�®�`x¹��©4w���w�� P�n�°�wyx ;+° Àº° ;7s����a� ?#° P4�N��?oqsU��z~s�|U�V}Nx�� w8°¯È¶s���´�8sa���®z{�`|~�a� ���5�� �$(��/� ���]����(/��� ��� �)��! � �#����(*���)���� � � � ������� ! �/�����%� � � &��5��$�%� ���)� � �� & �5����( ��� ���/� �/����� ���]����(/ ���]��� � �� � ��� � �b� �����¿�N�N��qrtsº��<T� @¹�N© �S�����V�5(*� �� ���/� �$� � � &��5����(D� �������)�����4�h}��NsU��<`u`���%< <`���Z9��T��z~�Nx´� u�w5?��Q±��z~�N�Vs�|1�U�N�N��°
XSXZY�[]\/^/^/_
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - B.P. 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)
Unité de recherche INRIA Lorraine : Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - B.P. 101 - 54602 Villers lès Nancy Cedex (France)
Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot St Martin (France)
Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)
ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���
ISSN 0249-6399