Universidade Federal do CearáInstituto UFC Virtual

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Cálculo Integral II

Tutor: Estênio SalesAluno: José Wilson Gomes dos Santos

Matrícula: 0305703Polo: Aracoiaba

01.Verifique o teorema de Stokes para o campo e a

superfície dada:

3. A parte da esfera abaixo do plano XY;

Primeiramente calculemos o rotacional de F:

∇ xF=( ∂∂ y

( x ²+ y )− ∂∂ z

( x+z ² ) ,−[ ∂∂ x

( x ²+ y )− ∂∂ z

( y ²+ z )] ,∂

∂ x( x ²+z )− ∂

∂ y( y ²+ z ))

→∇ xF=(1−2 z ,1−2 x ,2x−2 y )=(1−2 z )i+(1−2 x ) j+(2x−2 y ) k

∬s

∇ xF .Nd σ=∬s

( (1−2 z ) i+(1−2 x ) j+(2x−2 y )+ (2 x−2 y ) k ) .Nd σ

Para calcular a integral de superfície, temos que N é uma normal unitária e o campo

vetorial(1−2 z )i+(1−2x ) j+(2 x−2 y ) k ,assim:

M=1−2 z ,N=1−2 x e R=2x−2 y .

A equação da superfície é z=4−x ²− y ²

f ( x , y )=4−x ²− y ² , f x ( x , y )=−2x e f y (x , y )=−2 y

∬s

∇ xF .Nd σ=¿∬D

[ (1−2 z ) (−2 x )+ (1−2 x ) (−2 y )+(2 x−2 y ) .0 ]dA=¿¿¿

∬D

[−2x+4 xz−2 y+4 xy ]dA=∬D

[−2x+4 x ( 4−x ²− y ² )−2 y+4 xy ] dA

Considerando que está abaixo do plano XY, aplicamos então o teorema de

Stokes apenas paraN=1−2 x ,logo:

∫c

F .dr=∬s

rot F .ds=∬D

(1−2 x ) dA

∫0

2π

∫0

2

(1−2 rcosθ ) r dr dθ=∫0

2π

∫0

2

(r−2r ² cosθ ) dr dθ=¿¿

∫0

2π

[ r ²2

−23

r ³ cos θ]|20d θ=∫0

2π

[2−163

cosθ ]dθ=[2θ−163

senθ ]¿

[(2.2π−163

sen2π )−(2. 0−163

sen0)]=[ 4 π−0 ]=4π

02.Verifique o teorema de Stokes para o campo e a

superfície suave por partes dada:

13. As partes do cilindro e da esfera abaixo do plano

e acima do plano XY

Usando o teorema de Stokes temos:

∇ xF=( ∂∂ y

( x+ y ² )− ∂∂ z

( xz ) ,−[ ∂∂ x

( x+ y ² )− ∂∂ z

( z )] ,∂

∂ x( xz )− ∂

∂ y( z ))=¿

(2 y−x ,1−1 , z−z )= (2 y−x ,0 ,0 )= (2 y−x ) i

Pelo campo vetorial temos M=2 y−x ,N=0e R=0 ,logo:

A equação da superfície é dada por z=4−x ²− y ²Assimf ( x , y )=4−x ²− y ² e f x ( x , y )=−2 x e f y ( x , y )=−2 y

∬S

rot .F .N .dσ=∬D

[ (2 y−x ) . (−2x ) ] dA

∬D

−4 xy+2x2 dA

Considerando que está acima do plano XY, aplicamos então o teorema de

Stokes apenas para R = 0, logo:

∫C

F .dr=∬S

rot F .ds=∬D

0dA=0

3. Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial e a região dada:

3. e A é a região limitada pelo plano e os planos coordenados;

8. Usando o exemplo resolvido ou proposto 3 do tópico desta aula, calcule o volume

dos sólidos que ocupam as regiões indicadas:

Interior a esfera e exterior ao cilindro

Solução:

Do exemplo resolvido 3, temos que o volume é dado por:

V=13

∫ δ A r ds

Temos a região A cuja fronteira S é positivamente orientada e a integral do divergente

do campo F sobre a região R entre o cilindro e a esfera, cujos respectivos campos são

S1 e S2 . Para calcular o campo sobre o cilindro devemos encontrar a altura H que será

dada por:

22=( h2 )

2

+12→h2

4=4−1→h2=12→h=√12→h=2√3

CalculamosS1cuja parametrização é dada por:

g (u , v )=( cosu, senu , v ) com0≤ u≤2 π e0≤ v ≤2√3(Circunferência no plano XY).

ComoF ( x , y , z ) ds=∇F ( x , y , z )=3

V=13∫δ A

F (x , y , z ) ds=−13 (3∫

0

2π

∫0

2√3

∫0

1

r dr dz dθ)¿−(∫

0

2 π

∫0

2√3r2

2¿0

1 dzd θ)=−(∫0

2π

∫0

2√312

dzd θ)=−(∫0

2π12

z¿02√3 d θ)=¿

¿−(∫0

2 π12

2√3dθ)=−(√3∗θ ¿02π )=−2 π √3

Os vetores normais a esferaS2devem apontar para o outro da esfera. A parametrização

paraS2com vetor normal(hu x hv )exterior é dada por:

h (u , v )= (2cosv senu,2 senv senu,2 cosu ) com0≤ u≤ π e 0≤ v≤ 2π

V=13∫δ A

F (x , y , z ) ds→13 (8∫

0

2π

∫0

π

senudud θ)=83 (∫

0

2π

−cosu¿0π du)=¿

¿ 83¿

¿ 163

∗2π=32π3

O volume é dado por:

v=S2+S1=32π

3−2 π √3=32 π−6 π √3

3=

2 π (16−3√3 )3

10. Se A é uma região (multiplamente conexa e compacta) em com uma fronteira

A (suave por partes) orientada positivamente, mostre que

onde

Solução:

∫A

¿ r ¿−2dv=∫A

¿ xe1+ ye2+ze3 ¿−2dv=∫

A

1

¿ xe1+ ye2+ze3 ¿2dv

Se δ A é suave por partes, então r é linearmente independente em R3, assim, o

determinante jacobiano é dado por:

jac=¿é a nova ordem de integração, logo:

∫δ A

1¿ xe1+ ye2+ze3 ¿

2 . r . ds=¿∑i=1

n

∫δ A

1¿ r ¿2 . r . ds=¿∑

i=1

n

∫δ A

r∨r ¿−2 . ds¿¿

Como queríamos demonstrar.