aula inaugural cdi prof donizetti 05marco2012

UTFPR - CÂMPUS PATO BRANCO

donizetti utfpr.edu.br

PROF. Dr. Eng. JOSPROF. Dr. Eng. JOSÉÉ DONIZETTI DE LIMADONIZETTI DE LIMA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL 1

AULA INAUGURAL

Prof. Dr. Eng. José Donizetti de Lima

http://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti

05/03/2012 CDI-1 - Prof. Dr. Eng. JoséDONIZETTI de Lima - UTFPR/ PB

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FORMAÇÃO ACADÊMICA/PROFISSIONAL• Licenciatura em Matemática e habilitação em Física pela UNESP-

SP. • Mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR- PR: A

análise econômico-financeira de empresas sob a ótica da estatística multivariada.

• Doutorado em Engenharia de Produção pela UFRGS-RS: Proposição de um sistema de planejamento da produção olerícola nas unidades de produção familiar.

• Professor do CEFET-PR, desde 1997. Hoje UTFPR. Atuando nos cursos de engenharia.

• Professor de Engenharia Econômica do curso de Especialização em Métodos de Melhoria da Produtividade – área de concentração: Engenharia de Produção, UTFPR – Campus Pato Branco.

• Ex-Professor do Centro Universitário Católico de Palmas – UNICS (2002-2005).

• Ex-Professor da FADEP (2004-2005).• Ex-Inspetor de Alunos/SP (1992-1997). Ex-agricultor (até 1991).


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PENSAMENTOS• “O professor é aquele que transfere o que sabe e aprende o que

ensina.” CORA CORALINA - POETISA BRASILEIRA

• “Tudo deve tornar-se o mais simples possível, porém, não simplificado.” ALBERT EINSTEIN

• “Não há investimento que forneça maior lucro do que o conhecimento.” AUTOR DESCONHECIDO

• “Um investimento em conhecimento sempre paga o melhor juro”BENJAMIN FRANKLIN

• “Excelência... não é um ato, mas um hábito.” ARISTÓTELES


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OBJETIVOS

OBJETIVO DA DISCIPLINA/COMPETÊNCIAS DA DISCIPLINA

• Desenvolver a capacidade de utilizar ferramentas matemáticas na interpretação e solução de problemas de engenharia.


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OBJETIVOS

Ao final do semestre o aluno deverá estar apto a:

- Trabalhar com funções, limites, derivada e integral de uma variável mostrando conhecer os conceitos e técnicas empregadas na resolução de problemas relacionados à engenharia.

- Escrever de forma clara e objetiva seu raciocínio na solução de problemas inerentes ao conteúdo trabalhado.


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EMENTA• Sistematização dos conjuntos numéricos;

• Sistema cartesiano ortogonal;

• Relações e funções reais de uma variável real;

• Limites e continuidade de funções reais de uma variável real;

• Estudo das derivadas de funções reais de uma variável real;

• Estudo da variação de funções por meio dos sinais das derivadas;

• Teoremas fundamentais do cálculo diferencial;

• Estudo dos diferenciais e suas aplicações;

• Estudo das integrais indefinidas;

• Estudo das integrais definidas;

• Aplicações das integrais definidas;

• Integrais impróprias.


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PROCEDIMENTOS DE ENSINO

AULAS TEÓRICAS

• O conteúdo será desenvolvido por meio de aulas expositivas dialogadas, garantindo ao acadêmico o amplo acesso àintervenção e ao contraditório.

• Resolução de exercícios;

• Atividade de laboratório com utilização de software

matemático;


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PROCEDIMENTOS DE ENSINO

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

• As Atividades Práticas Supervisionadas (APS) serão compostas de listas de exercícios referente a cada avaliação.

• Em cada uma das avaliações constará no mínimo um exercício da lista de exercícios.

• As APS serão na forma de resolução de exercícios propostos, seja de forma escrita ou usando softwares matemático (GeoGebra ou Maple®, por exemplo) ou planilhas de cálculo (MS-Excel, por exemplo).


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RECURSOS DIDÁTICOS

• Quadro de giz ou pincel;

• Slides ou transparências;

• Livros e Apostilas;

• Computador;

• Multimídia;

• Laboratório / oficina.


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PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

• O processo avaliativo, como meio de reflexão sobre o crescimento e desenvolvimento acadêmico em geral, serádesenvolvido por meio de avaliação escrita, normalmente em forma de prova dissertativa.

PERDEU AVALIAÇÃO???

• Nos casos em que o acadêmico não comparecer a alguma das avaliações, será ofertada a avaliação de segunda chamada, mediante requerimento deferido pela secretaria, dentro do prazo estabelecido pelo regulamento da UTFPR, em data a ser definida.

• Portanto, a avaliação de segunda chamada será ofertada mediante requerimento protocolado no Departamento de Registros Acadêmicos e deferido pelo coordenador do curso.

Prazo: 05 dias corridos após avaliação.


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• As avaliações serão compostas por 3 (três) provas individuais e sem consulta, no valor de 90% da nota e distribuídas ao longo do semestre. As APS representam 10% da nota de cada avaliação.

• As APS serão realizadas por meio de listas de exercícios e a avaliação das mesmas será contemplada na avaliação escrita, uma vez que em cada uma das avaliações será cobrado ao menos um dos exercícios das listas.

• Cada uma dessas avaliações será composta de uma prova escrita com peso 02 (1a prova) e peso 04 (2a e 3a provas).

• A média final do semestre será a média ponderada dessas avaliações.

• O aluno que atingir média igual ou superior a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% será considerado aprovado.


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10

4M4M2MxMÉDIA 321 ×+×+×

==>

%10APS%90PM3Média

%10APS%90PM2Média

%10APS%90PM1Média

333

222

111

×+×==>

×+×==>

×+×==>

10

4%)10APS%90P(4%)10APS%90P(2%)10APS%90P(x 332211 ××+×+××+×+××+×

=


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• 20/04/12: 1a Avaliação - Funções e Limites.

• 17/05/12: 2a Avaliação – Derivadas e suas aplicações.

• 28/06/12: 3a Avaliação – Integrais e suas aplicações.

• 06/07/12: Reavaliação.

• As datas previstas para avaliação podem sofrer alterações, tudo visando o aprendizado do acadêmico.

• As provas estão marcadas para os horários normais de aula.


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Divulgação das notase

Vista de Avaliações

Nos horários de atendimento aos acadêmicos.

SISTEMÁTICA DE AVALIAÇÃO

Dayse Regina Batistus , Drª


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Atendimento aos Alunos

Horário: disponível na página do professor.Local de atendimento: COMAT

Monitoria


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• O acadêmico com frequência inferior a 75% seráconsiderado reprovado na disciplina.

• O acadêmico com média inferior a 6,0 terá direito a fazer uma quarta avaliação escrita, reavaliação, a qual envolveráo conteúdo de todas as avaliações.

• Cabe ao acadêmico optar pela 4a avaliação.

• Caso a nota da reavaliação seja superior a média do semestre, será calculado uma nova média.

• Após a reavaliação, será considerado aprovado o aluno que tiver média aritmética igual ou superior a 6,0.


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REFERÊNCIAS

• ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Vol. 1. Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

• THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10 ed. São Paulo: Person, 2002.

• STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 6 ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.

REFERÊNCIAS BÁSICA


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REFERÊNCIAS

• ÁVILA, G. Cálculo. 5 ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 1995.

• GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. vol.1 e 2. 5 ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2002.

• HOFFMANN, L. D. Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1990.

• LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.1. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994.

• SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 2 ed. São Paulo: Makron Books do Brasil,1994.

REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES


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REFERÊNCIAS

• BIANCHINI, Waldecir; SANTOS, Angela Rocha dos. Aprendendo cálculo com Maple – cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2002.

• FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. São Paulo: Prentice Hall, 2007.

• FINNEY, R.L.; WEIR, M.D; GIORDANO, F.R. Cálculo de B. Thomas Jr. Trad. Paulo Boschcov. 10. ed. v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2002.

• RIVERA, J.E.M. Cálculo Diferencial e Integral I. Petrópolis: Laboratório Nacional de Computação Científica, 2007.

• AYRES JÚNIOR, Frank. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Ed. Mc Graw-Hill, 1981.


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REFERÊNCIAS

• LARSON, H. E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

• RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982.

• SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 1, 1987.

• MUNEN, F. Cálculo. Vol. I, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982.


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REFERÊNCIAS

• Matemática para escolas técnicas industriais e centros de educação tecnológica, Curitiba: Centro Federal de Educação tecnológica do Paraná, 1987. Funções, Trigonometria, Limites e Derivadas.

• BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval, Curso de Matemática, 2ª ed. São Paulo, Moderna, 1999.

• IEZZI, G. et al Trigonometria. Coleção Fundamentos de Matemática Vol. 3 Ed. Atual, 1993.

• IEZZI, G. et al. Funções. Coleção Fundamentos de Matemática Vol. 8 Ed. Atual, 1993.

• PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. São Paulo: Moderna, 2004.

• DANTE,


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SITES & LINKS

•• http://www.cp.utfpr.edu.br/armando/adm/arquivos/superior/http://www.cp.utfpr.edu.br/armando/adm/arquivos/superior/

•• http://www.prandiano.com.br/http://www.prandiano.com.br/

•• http://www.dmat.ufba.br/mat042/http://www.dmat.ufba.br/mat042/

•• http://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizettihttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti

• www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistuswww.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus

Apresenta-se abaixo links para download de material didático, a saber:

• kit de sobrevivência em cálculo (UEM) http://www.uem.edu.br/kit

• E-calculo (USP) http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu


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TÚNEL DO TEMPO DO CÁLCULO

Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menuObs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais importantes autores do cálculo.

Newton Leibniz


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ISAAC ISAAC NEWTONNEWTON (1642(1642--1727)1727)


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GOTTFRIED WILHELM GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZLEIBNIZ (1646(1646--1716)1716)


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PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA?• “Para que este sonho se torne realidade”, diz o arquiteto olhando a planta na sua

prancheta de trabalho.• “Para interpretar os dados do computador de bordo e determinar a posição do

avião”, observa o piloto.• “Necessito dela para estabelecer uma relação entre o mundo físico e a sua

representação gráfica quando faço um mapa”, responde o cartógrafo.• “Preciso investigar mediante procedimentos matemáticos a situação da empresa e

do mercado antes de sugerir alguns investimentos”, exclama o administrador da empresas.

• “Para interpretar estatisticamente os resultados de testes sobre o comportamento humano, como aprendizado, memória, motivação”, relata o psicólogo.

• “Para planejar a comida do paciente cujo médico prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de carbono na razão 7:4”, conclui o nutricionista do hospital.

• “Para observar e acompanhar o registro das atividades do coração do meu paciente”, pensa o médico olhando um eletrocardiograma.

• “Com o auxilio de análises matemáticas posso sugerir modificações que levem harmonia às populações das grandes cidades, como o estudo dos fluxos de trânsito para prevenir acidentes”, afirma o urbanista.

• “Para planejar as vastas e complexas redes de comunicações modernas”, se orgulha o engenheiro.

• “Para organizar o orçamento doméstico, acompanhar, interpretar e participar ética e conscientemente da política do dia-a-dia”, responde o cidadão comum.

• E você? Já parou para pensar nisto alguma vez? OSCAR GUELLI


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Prof. José Paulo Q. CarneiroVamos agora fazer alguns comentários:

Algumas pessoas no processo de aprendizagem da Matemática (alunos, professores, pais, etc.) expressam às vezes a crença de que, com o advento da calculadora, nunca mais haverá ocasião de usar o algoritmo tradicional da divisão. Alguns até usam isso como um argumento para proibir o uso da calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem: “é necessário primeiro que o aluno aprenda o algoritmo tradicional, e só depois lhe será permitido usar a calculadora; senão, ele não terá motivação para aprender tal algoritmo”.

Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores, temos que exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores, que coloquem em xeque até mesmo a calculadora, deixando claras as suas limitações, em vez de proibir o seu uso, o que é uma atitude antipática, repressora, e totalmente contrária ao que um aluno espera de um professor de Matemática. De fato, para um leigo, ou um iniciante em Matemática, nada mais “matemático” do que uma calculadora, e ele espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-lo com essa ferramenta, e não proibi-lo de usá-la.

Fonte: COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO MATEMÁTICA, VOL 3, p. 33


30

HPEmule da 48g 50g


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FATORES DE CONVERSÃO


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FATORES DE CONVERSÃO


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SOBRE MINHAS APOSTILASAs apostilas e slides, foram elaborados, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indispensáveis para um bom curso de Cálculo Diferencial e Integral 1 (CDI-1) destinados aos cursos de engenharia.Este texto destina-se aos alunos matriculados na disciplina de CDI-1, ou a quem possa interessar, devendo servir como um guia para as aulas, que são realizadas durante o semestre letivo. O texto que se segue constitui uma simples compilação de apontamentos, alguns deles retirados a partir das referências bibliográficas indicadas no final do mesmo. Pretende-se fornecer, em forma de texto orientador, o desenvolvimento dos sumários referentes às aulas correspondentes aos conteúdos essenciais da disciplina de CDI e não substituir a leitura daquelas referências bibliográficas.Assim, estas notas de aula seguem de muito perto a bibliografia referenciada e que correspondem aos livros textos desta disciplina, sugere-se a sua aquisição. Obs. Referencias especificas, são apresentadas antes dos textos. Estas notas abordam Funções, Limites, Derivadas e Integrais de uma variável. Sempre que possível são evidenciadas potenciais aplicações, bem como formas de resolução de exercícios e/ou problemas nos softwares (MS-Excele/ou Maple e/ou MatLab).


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SOBRE MINHAS APOSTILASPropositalmente, os resultados fornecidos pelo Maple são apresentados, para que o aluno motive-se a executar e estudar os programas aqui apresentados. Porém, recomenda-se que o aluno observe atentamente cada resultado, interpretando-o corretamente.Desta forma, ao elaborar as apostilas e os slides houve uma preocupação paralela em comentar os softwares mais modernos associados ao CDI-1. Por fim, sugere-se ao leitor (professores e alunos) que quiser se aprofundar em algum tema aqui tratado a consulta das referências bibliográficas, citadas durante o texto ou no final da apostila. O texto é rico em exemplos e aplicações práticas, resolvidas de forma detalhada. Para complementar a aprendizagem do aluno, são propostas listas de exercícios, com respostas. Existe uma grande quantidade de exercícios para contemplar os diversos níveis de ensino. A aprendizagem é o fruto exclusivo do trabalho ativo do aluno, cabendo ao instrutor as tarefas de propor problemas desafiantes, orientar o estudante na sua resolução, e fornecer os elementos teóricos essenciais para possibilitar a atividade deste. Defende-se a resolução de problemas como motor fundamental da aprendizagem. Devemos procurar familiarizar o aluno com o pensamento matemático e a manipular modelos por métodos matemáticos, claro que estes modelos devem ser os mais reais possíveis.


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SOBRE MINHAS APOSTILASNeste contexto, as seções denominadas “Lista de Exercícios Propostos para a Revisão dos Conceitos” são compostas por alguns exercícios clássicos, aproveitados e adaptados de livros de CDI-1. Alguns exercícios (ou problemas) apesar de não serem da área de engenharia, são importantes para mostrar ao leitor a abrangência de atuação do CDI-1. Outra característica relevante destas apostilas (ou slides) está associada àlinguagem objetiva e apropriada para os iniciantes no estudo sobre cálculo diferencial e integral.A nosso ver o grande mérito dessa apostila é juntar essa grande quantidade de informações no mesmo documento e difundi-la para o público interessado. Esperamos em breve disponibilizar seu acesso em nossos portais eletrônicos. A idéia de insistir na resolução das listas é que elas foram concebidas para complementar as aulas expositivas. Muitas vezes as dúvidas surgem quando vocês começam a resolver os exercícios. Então, vamos a ela. Por fim, agradecemos a todos os que colaboraram para esta realização e estamos abertos a sugestões e críticas que nos ajudem a melhorar e ampliar o escopo destas apostilas ou slides. A maioria dos programas (aplicações em softwares) é discutido nas aulas, e desse modo espera-se que esse material facilite a assimilação do conteúdo das aulas.


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SOBRE MINHAS APOSTILASA resolução dos exercícios propostos é fundamental para entendimento dos assuntos aqui abordados. Adverte-se o leitor de que nestas notas de aulas se fará um estudo muito elementar de alguns tópicos e aos interessados em maiores detalhes (demonstrações), sugere-se as referências que aparecem ao longo do texto ou no final da apostila. Meus interesses de pesquisa estão centrados nas áreas de otimização numérica, programação linear e não-linear, estatística multivariada, nas quais publiquei artigos e apresentei trabalhos em congressos. Interesso-me por questões de ensino básico e terciário e defendo a resolução de problemas como motor fundamental da aprendizagem.


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SOBRE MINHAS APOSTILASNo CD-Rom encontra-se além de materiais relativos ao CDI-1, uma introdução a outros tópicos da matemática para a engenharia (tópicos elementares de matemática para engenheiros). Além disso, no CD-Rom são disponibilizados entretenimento, reflexão, humor, artes, cultura e crônicas. Por favor, se alguma resposta não estiver correta, avise-me e ficarei muito grato a você.Aos colegas e estudantes que usarem a nossa apostila, solicitamos criticas e sugestões. Agradecemos aos alunos e professores que apresentaram valiosas sugestões. Críticas e sugestões, bem como correção de eventuais erros no material, serão bem recebidas.

[email protected] do autor

Pato Branco, março de 2012.


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LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

AGORA É COM VOCÊS!

• É apresentado, no fim de cada capítulo, um conjunto de exercícios com respostas, que possibilitam ao acadêmico (leitor) verificar e aprofundar os conhecimentos adquiridos.• A ideia de insistir na resolução das listas é que elas foram concebidas para complementar as aulas expositivas-dialogadas. • Muitas vezes as dúvidas surgem quando vocês começam a resolver os exercícios. Então, vamos a ela.


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PROBLEMA DOS NOVE PONTOS

É COM VOCÊS!

• O objetivo do desafio é traçar não mais de quatro semi-retas sem erguer a caneta (ou lápis) do papel, e sem retraçar qualquer parte da linha, de forma a ligar todos os nove pontos.


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PROBLEMA DOS NOVE PONTOS• O objetivo do exercício é traçar não mais de quatro semi-retas sem erguer a caneta (ou lápis) do papel, e sem retraçar qualquer parte da linha, de forma a ligar todos os nove pontos.


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DESAFIO

É COM VOCÊS!

• Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo3 pães enquanto a segunda pessoa leva 5 pães. • Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os pães que levam. • Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa distribuiu 8 moedas de ouro. • Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja proporcional a contribuição de cada um para acabar com a fome do andante? • Justifique sua escolha.


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QUESTIONAMENTOS

É COM VOCÊS!

1. O que significa a palavra matemática? Resposta: Saber Pensar (origem grega)

2. O que significa a palavra cálculo? Resposta: Pedrinhas (calculus em latim)

3. O que significa a palavra teorema? Resposta: (teo = Deus e rema = Verdade, portanto, verdade divina)

4. Como provar geometricamente o teorema de Pitágoras?

Vejas as seguintes ilustrações.


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QUESTIONAMENTOS

Fonte: Livro do Malba Tahan. As maravilhas da matemática


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O NÚMERO DE OURO: ...61803,1~2

51=

+=ϕ


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1. LINGUAGEM MATEMÁTICA


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1. LINGUAGEM MATEMÁTICA


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2. CONJUNTOS NUMÉRICOS


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52



53



54



55



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57



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que é um absurdo. Então onde está o erro?


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• Diagrama de Venn

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪•

B} xeA / x{ ∈∈=∩• xBA

B}ou xA / x{ ∈∈=∪• xBA

B} xeA / x{ ∉∈=−• xBA


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ATENÇÃO COM A SIMPLIFICAÇÃO2 = 1


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LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

AGORA É COM VOCÊS!Resolva os exercícios das páginas 24 a 27 da

apostila – material de apoio

• É apresentado, no fim de cada capítulo, um conjunto de exercícios com respostas, que possibilitam ao estudante (leitor) verificar e aprofundar os conhecimentos adquiridos.• A idéia de insistir na resolução das listas é que elas foram concebidas para complementar as aulas expositivas-dialogadas. • Muitas vezes as dúvidas surgem quando vocês começam a resolver os exercícios. Então, vamos a ela.


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3. INTERVALOS


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3. INTERVALOS


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4. INEQUAÇÃO MODULARA resolução de inequações modulares está baseada nas seguintes propriedades, válidas para todo número a real e positivo:


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= ( ) + x y2

+ + x2

2 x y y2

= ( ) + x y3

+ + + x3

3 x2

y 3 x y2

y3

= ( ) + x y4

+ + + + x4

4 x3

y 6 x2

y2

4 x y3

y4

= ( ) + x y5

+ + + + + x5

5 x4

y 10 x3

y2

10 x2

y3

5 x y4

y5

= ( ) + x y6

+ + + + + + x6

6 x5

y 15 x4

y2

20 x3

y3

15 x2

y4

6 x y5

y6

...nnnnnn

yn

nyx

n

nyx

nyx

nx

nyx

+⋅

−++⋅

+⋅

+

=+ −−− 1221

1...

210)(

PRODUTOS E FATORES ESPECIAIS


67

( ) ( )1221 ... −−−− +⋅++⋅+⋅−=− nnnnnnaaxaxxaxax

( ) ( )n nn nn nn nnn aaxaxxaxax1221 ... −−−− +⋅++⋅+⋅−=−

)(...)()(... 21012

21

1 nn

n

n

n

n rxrxrxaaxaxaxaxa −⋅⋅−⋅−⋅≡+⋅+⋅++⋅+⋅ −

−

Teorema da Decomposição Polinomial: sendo an ≠ 0, temos:

FATORAÇÃO ESPECIAL


68

Para n = 1, 2, 3, ..., fatorial de n é denotado e definido por:

123...)2()1(! ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn

Zero fatorial é definido por: 1!0 =

Alternativamente, podemos definir fatorial de n recursivamente por:

)!1(!e1!0 −⋅== nnn

Exemplos:

7201206!56!6;120245!4512345!5;241234!4 =⋅=⋅==⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=

6123!3;212!2;1!1 =⋅⋅==⋅==

FATORIAL


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Às folhas tantas do livro matemático, um quociente apaixonou-se um diadoidamente por uma incógnita.Olhou-a com seu olhar inumerávele via-a do ápice á base:uma figura ímpar;olhos rombóides, boca trapezóide,corpo retangular, seios esferóides.fez da sua uma vida paralela à dela,até que se encontraramno infinito.“Quem és tu?” −−−− Indagou eleem ânsia radical.“ Sou a soma dos quadrados dos catetos.Mas pode me chamar de hipotenusa.”E de falarem descobriram que eram(o que em aritmética corresponde a almas irmãs)primos entre si.E assim se amaramao quadrado da velocidade da luznuma sexta potenciaçãotraçando,ao sabor do momentoe da paixão,retas, curvas, círculos e linhas senoidaisnos jardins da quarta dimensão.Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas e os exegetas do universo finito.Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.

E enfim resolveram se casar,construir um lar,mais que um lar, um perpendicular.Convidaram para padrinhoso polígono e a bissetriz.E fizeram planos e equações e diagramas para o futuro,sonhando com uma felicidadeintegral e diferencial.E se casaram e tiveram uma secante e três conesmuito engraçadinhos.E foram felizesaté aquele dia em que tudo vira afinalmonotonia.Foi então que surgiuo máximo divisor comum,freqüentador de círculos concêntricos viciosos.Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta,e reduziu-a a um denominador comum.Ele, quociente, percebeuque com ela não formava mais um todo, uma unidade.Era um triângulo, tanto chamado amoroso.desse problema ela era uma fraçãoa mais ordinária.Mas foi então que Einstein descobriu a relatividadee tudo o que era espúrio passou a sermoralidade,como aliás em qualquersociedade.

POESIA MATEMÁTICA

MILLÔR FERNANDES


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Sendo Matemático, Engenheiro ou não, não se pode deixar de apreciar a beleza dos NÚMEROS. Pitágoras que o diga!

12 x 8 + 2 = 98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 98765123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 9876543211 x 9 + 2 = 1112 x 9 + 3 = 111123 x 9 + 4 = 11111234 x 9 + 5 = 1111112345 x 9 + 6 = 111111123456 x 9 + 7 = 11111111234567 x 9 + 8 = 1111111112345678 x 9 + 9 = 111111111123456789 x 9 +10 = 11111111119 x 9 + 7 = 8898 x 9 + 6 = 888987 x 9 + 5 = 88889876 x 9 + 4 = 8888898765 x 9 + 3 = 888888987654 x 9 + 2 = 88888889876543 x 9 + 1 = 8888888898765432 x 9 + 0 = 888888888Interessante, não é? E, finalmente, olhe essa simetria:1 x 1 = 111 x 11 = 121111 x 111 = 123211111 x 1111 = 123432111111 x 11111 = 123454321111111 x 111111 = 123456543211111111 x 1111111 = 123456765432111111111 x 11111111 = 123456787654321111111111 x 111111111 = 12345678987654321


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JOGO - MUDANÇA DE BASE


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AVALIAÇÃO DOS SLIDES

“A Matemática é a honra do espírito humano” Leibniz

aula inaugural cdi prof donizetti 05marco2012

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