1Abstract— This paper has two aims; the first, to present the design of a three-level average controller (that do not require electromechanical sensors) for the trajectory tracking task in a differential drive wheeled mobile robot (WMR). Such a controller considers, for the first time in literature, the dynamics of the three subsystems composing a WMR, i.e., mechanical structure, actuators, and power stage. The proposed controller is designed as follows: At the high level, a kinematic control for the mechanical structure is proposed. At the medium level, a control based on differential flatness for the actuators is presented. And at the low level, an average flatness control for the power is proposed. The second aim of this paper is to present an assessment, via numerical simulations using MATLAB-Simulink, of the three-level average controller performance when it is implemented using a PWM or a Σ-Δ-modulator. In these simulations the robustness of the controller is shown when multiple abrupt variations are considered in some parameters of the WMR. Keywords— Trajectory tracking, wheeled mobile robot, DC motor, DC/DC Buck power converter, kinematic control, differential flatness, PWM, sigma-delta-modulator.

I. INTRODUCCIÓN

N los últimos años, el interés por los robots móviles de ruedas (RMRs) tipo diferencial se ha incrementado

notoriamente. Por una parte debido a que están sujetos a restricciones no-holónomas, por lo que el diseño de controles no resulta sencillo [1]. Por otra parte debido a sus múltiples aplicaciones, por ejemplo en la industria, medicina, hogar, milicia, educación, entre otras [2], [3]. Esta gama de aplicaciones ha sido posible, entre otros avances tecnológicos, gracias al diseño de controles para resolver las siguientes problemáticas [3]: seguimiento de trayectorias, evasión de

J. R. G. Sánchez está adscrito al Área de Mecatrónica, CIDETEC,

Instituto Politécnico Nacional. C.P. 07700, Ciudad de México, México (e-mail: jrgs_ipn@hotmail.com).

S. T. Mosqueda está adscrito al Área de Mecatrónica, CIDETEC, Instituto Politécnico Nacional. C.P. 07700, Ciudad de México, México (e-mail: tavera_s@hotmail.com).

R. S. Ortigoza está adscrito al Área de Mecatrónica, CIDETEC, Instituto Politécnico Nacional. C.P. 07700, Ciudad de México, México (e-mail: rsilvao@ipn.mx).

M. A. Cruz está adscrita al Área de Mecatrónica, CIDETEC, Instituto Politécnico Nacional. C.P. 07700, Ciudad de México, México.

G. S. Ortigoza está adscrito a la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. C.P. 72570, Puebla, Pue., México.

J. de J. Rubio está adscrito a la SEPI, ESIME Azcapotzalco, Instituto Politécnico Nacional. C.P. 02250, Ciudad de México, México.

obstáculos, seguimiento de sendas y estabilización. Sin embargo, de acuerdo con la literatura sobre RMRs tipo diferencial, hasta hoy no existe un control promedio que considere el modelo matemático de los tres subsistemas que componen a un RMR, i.e., estructura mecánica, actuadores y etapa de potencia.

El resto de este trabajo está organizado de la siguiente manera. Después de revisar la literatura sobre el diseño de controles para resolver la tarea de seguimiento de trayectoria en RMRs tipo diferencial en la sección II, la discusión de los trabajos reportados y la contribución de este artículo se abordan en la sección III. En la sección IV se lleva a cabo el diseño del controlador propuesto de tres niveles. Mientras que en la sección V se muestran algunos resultados de simulación numérica en lazo cerrado. Finalmente en la sección VI se presentan las conclusiones del presente trabajo.

II. ESTADO DEL ARTE

El diseño de controles para la tarea de seguimiento de trayectoria en RMRs, en general, ha sido enfocado en dos direcciones: i) considerando el modelo cinemático o ii) considerando el modelo dinámico del RMR. Así, los aportes se pueden clasificar dependiendo de la inclusión o exclusión del modelo matemático asociado a los otros dos subsistemas, i.e., actuadores y etapa de potencia. Partiendo de esta clasificación, con la intención de realzar el aporte de este artículo, en esta sección se presentan algunos trabajos que dan solución al control de seguimiento de trayectorias en RMRs diferenciales. A. Modelo cinemático de la estructura mecánica

Los primeros trabajos reportados en la literatura sobre el diseño de controles para dar solución al problema de seguimiento de trayectoria, estaban basados en el modelo cinemático de la estructura mecánica y, en algunos casos, consideraban también el modelo matemático de los actuadores. Algunos de estos trabajos se mencionan a continuación. 1) Considerando únicamente la cinemática de la estructura mecánica: En las primeras investigaciones para los RMR tipo diferencial se contemplaba solamente el modelo cinemático de la estructura mecánica. Por ejemplo, Kanayama et al. en [4] propusieron un control cinemático, cuya estabilidad se demostró vía una función de Lyapunov, aplicable a diferentes topologías de RMRs no-holónomos para seguimiento de trayectorias. Un control basado en linealización por

J. R. G. Sánchez, S. T. Mosqueda, R. S. Ortigoza, M. A. Cruz, G. S. Ortigoza and J. de J. Rubio

Assessment of an Average Tracking Controller that Considers all the Subsystems Involved in a WMR:

Implementation via PWM or Sigma-Delta Modulation

E

retroalimentación dinámica para un RMR fue presentado por Oriolo et al. en [5]. Posteriormente, aplicando el enfoque de extensión dinámica de grado relativo, Sun en [6] desarrolló un control vía linealización por retroalimentación exacta para el modelo cinemático del error de un robot diferencial. Gu y Hu en [7] diseñaron un control RH (Receding Horizon) que permite resolver los problemas de regulación y seguimiento en RMRs. En [8] Defoort et al. reportaron controles por modos deslizantes para lograr maniobras de formación de un grupo de RMRs independientes. Blažič en [9] propuso leyes de control periódicas para un RMR basadas en funciones de Lyapunov periódicas. Por otro lado, Wang et al. en [10] presentaron un control visual, para el seguimiento de trayectorias de RMRs diferenciales, sin medición directa de la posición vía un algoritmo adaptivo. Wang et al. en [11] desarrollaron un control suave variante en el tiempo basado en el método de Lyapunov para regulación y seguimiento de un RMR. Liang et al. en [12] diseñaron un control adaptivo basado en un sistema de visión que no requiere el conocimiento exacto de la posición de la cámara. Un controlador para seguimiento de trayectoria basado en backstepping para un tractor-remolque fue reportado en [13] por Yuan et al. 2) Considerando la cinemática de la estructura mecánica y los actuadores: Trabajos que consideran tanto el modelo cinemático de los RMRs como la dinámica asociada a los actuadores son los siguientes. En [14] Espinosa et al. propusieron un control óptimo adaptivo para los actuadores y un control óptimo difuso para el seguimiento de trayectoria asociado a la estructura mecánica del RMR. Silva-Ortigoza et al. en [15] presentaron un control que no requiere de mediciones mecánicas; basado en linealización por entrada-salida (para el modelo cinemático del RMR) y planitud diferencial (para el modelo del motor de CD) que permite el seguimiento de trayectoria en un RMR. Un controlador basado en un control cinemático y en redes neuronales adaptivas fue desarrollado por Zuo et al. en [16]. Finalmente, un controlador jerárquico de dos niveles fue diseñado por Silva-Ortigoza et al. en [17]; en el nivel alto se propuso un control por linealización entrada-salida para la estructura mecánica del RMR y en el nivel bajo un control PI para los motores de CD. B. Modelo dinámico de la estructura mecánica

A continuación se presentan aportes, del diseño de controles de seguimiento de trayectoria, que consideran sólo el modelo dinámico del RMR y aquellos que contemplan tanto la dinámica del RMR como la dinámica de los actuadores.

1) Considerando el modelo dinámico de la estructura mecánica: Aportes que sólo toman en cuenta el modelo dinámico del RMR son los siguientes. Un control adaptivo basado en la técnica de backstepping para la tarea de seguimiento de trayectoria fue reportado por Fukao et al. en [18]. Por su parte, Dixon et al. en [19] propusieron un control de par adaptivo para las tareas de seguimiento y regulación. Un esquema de control PID autoajustable fue presentado en [20] por Ren et al. para un RMR diferencial. Mientras que en [21], Chen et al. desarrollaron un control cinemático basado en programación evolutiva y un control dinámico difuso

adaptivo por modos deslizantes para la tarea de seguimiento de trayectoria. Por otro lado, Park et al. diseñaron en [22] un control neuronal adaptivo por modos deslizantes. Rossomando y Soria [23] reportaron un control neuronal adaptivo vía un PID no lineal. 2) Considerando la dinámica de la estructura mecánica y los actuadores: Investigaciones que consideran el modelo dinámico del RMR diferencial y la dinámica de los actuadores en el diseño de controles para la tarea de seguimiento de trayectoria son los siguientes. En [24] Das et al. propusieron un control adaptivo basado en redes neuronales que no requiere mediciones de velocidad. Por otro lado, Park et al. en [25] y [26] presentaron un control adaptivo para la tarea de seguimiento de trayectoria de un RMR no-holónomo. Posteriormente, Avendaño-Juárez et al. desarrollaron en [27] una justificación formal del uso de lazos de velocidad y corriente internos, vía controles proporcionales, cuando se resuelve la tarea de seguimiento de trayectoria de un RMR diferencial. En ese trabajo se consideró la dinámica de los motores de CD, utilizados como actuadores del RMR, para realizar el análisis de estabilidad. Más recientemente, un control jerárquico adaptivo difuso global fue presentado por Hwang y Fang en [28] para el control de seguimiento de trayectorias de un RMR diferencial.

Finalmente, trabajos interesantes que dan solución a otras tareas en RMRs (tales como seguimiento de sendas, teleoperación, evasión de obstáculos, navegación, etc.,) son presentados en [29]–[33].

III. DISCUSIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y CONTRIBUCIÓN

Una vez realizada la revisión de la literatura asociada a la

problemática de seguimiento de trayectoria en RMRs tipo diferencial, se detectó que, en general, los controles reportados se han diseñado desde las siguientes dos perspectivas: a) cuando se considera únicamente el modelo cinemático [4]– [13] o dinámico [18]–[23] de la estructura mecánica y b) cuando se consideran el modelo cinemático o dinámico de la estructura mecánica y el modelo matemático de los actuadores; [14]–[17] y [24]–[28], respectivamente. Mientras que el modelo matemático asociado con la etapa de potencia, junto con los otros dos subsistemas, no ha sido considerado en el diseño de controles promedio de RMRs. Un trabajo que presenta un controlador jerárquico conmutado, que considera los tres subsistemas que componen a un RMR, recientemente ha sido presentado en [34].

Con base en lo anterior, y considerando los resultados presentados en [35]–[38] para el sistema convertidor de CD/CD-motor de CD, este artículo tiene dos contribuciones. La primera es el diseño de un controlador promedio de tres niveles, el cual no requiere de sensores electromecánicos, que tome en cuenta el modelo matemático de cada subsistema que compone a un RMR diferencial, i.e., estructura mecánica, actuadores y etapa de potencia. Para la adecuada implementación de dicho controlador se hace uso de un PWM o un modulador Σ − Δ. Así, la segunda contribución de este artículo es presentar una evaluación, vía resultados de simulación numérica con MATLAB-Simulink, del desempeño

del controlador promedio aquí propuesto cuando su implementación conmutada se realiza con un PWM o con un modulador Σ − Δ.

IV. CONTROLADOR PROMEDIO QUE CONSIDERA LA

DINÁMICA COMPLETA DE UN RMR

En esta sección se presenta el diseño de un controlador promedio de tres niveles para resolver la tarea de seguimiento de trayectoria en un RMR tipo diferencial. El controlador tiene las siguientes características:

a) En el nivel alto, se propone un control cinemático para la estructura mecánica, y , el cual permite que el RMR siga una trayectoria deseada, i.e., ( , , ) →( , , ). Dicho control corresponde a su vez a las velocidades angulares deseadas que deben ser seguidas por las flechas de los motores de CD.

b) En el nivel medio, se tienen dos controles basados en planitud diferencial (que no requieren de sensores electromecánicos), y , los cuales logran que se lleve a cabo la tarea de seguimiento de trayectoria de velocidad angular, i.e., ( , ) → ( , ). Estos controles imponen, a su vez, los perfiles de voltaje deseado que deben ser seguidos por los voltajes de salida de los convertidores Buck.

c) En el nivel bajo, se proponen dos controles promedio basados en planitud diferencial, y , los cuales permiten que se logre la tarea de seguimiento de trayectoria de voltaje, i.e., ( , ) → ( , ).

d) Finalmente, los controles propuestos en los incisos a), b) y c), son interconectados entre sí para lograr que el RMR lleve a cabo la tarea de seguimiento de trayectoria. Para la implementación conmutada del controlador promedio de tres niveles, se necesita un modulador. En este trabajo se consideran los modulares más utilizados, i.e., PWM y Σ − Δ.

A. Control de nivel alto: Estructura mecánica

En esta subsección se presenta un control cinemático para la estructura mecánica de un RMR diferencial. El objetivo de este control es lograr que el RMR siga una trayectoria deseada impuesta por un RMR de referencia, i.e., ( , , ) →( , , ). Además, se asume que la estructura de RMR es rígida, las ruedas no tienen deslizamiento y solo un punto de cada rueda está en contacto con la superficie de trabajo. En la Fig. 1 se muestra el diagrama del RMR diferencial bajo estudio, el cual se desplaza en el plano .

Las ecuaciones que describen la cinemática del RMR diferencial son [39]: = cos 0sin 00 1 , (1) donde = − , (2)

siendo ( , ) la posición del punto medio del eje que une las dos ruedas, el ángulo formado entre el eje y el móvil, y

las velocidades lineal y angular totales, respectivamente; y son las velocidades angulares derecha e izquierda, respectivamente, 2 es la distancia entre las ruedas y es el radio de las ruedas. De acuerdo con [18], la cinemática asociada al RMR de referencia está dada por: = cos 0sin 00 1 , (3)

donde ( , ) y , indican la posición y orientación, respectivamente, del móvil; y son la velocidad lineal total y velocidad angular total, respectivamente. El error que existe entre el RMR de referencia y el RMR real está determinado por: = cos sin 0− sin cos 00 0 1 −−− . (4)

Para asegurar una convergencia a cero del error, en [18] se proponen los siguientes controles: = cos + , (5) = + + sin , (6) donde , y son constantes positivas. Los controles (5) y (6) expresados en términos de las velocidades angulares derecha e izquierda, i.e., ( , ), son: = cos + + ( + + sin ) , (7) = cos + − ( + + sin ) , (8) donde se ha usado (2). De esta manera, de acuerdo con [18], los controles (7) y (8) permiten que se logre el objetivo de control, i.e., ( , , ) → ( , , ) cuando → ∞. B. Control de nivel medio: Actuadores

Las velocidades angulares requeridas por el RMR son suministradas por motores de corriente directa (CD) que se controlan de manera independiente. Así, el propósito de esta subsección es presentar un control, asociado a un motor de CD, para resolver la tarea de seguimiento de trayectoria de velocidad angular, i.e., → ∗. El modelo matemático asociado a un motor de CD, en términos de , está dado por [15]:

Figura 1. Subsistemas de un RMR diferencial.

= − − , (9) = − + , (10) donde es el voltaje aplicado a las terminales del motor, es la corriente de armadura, es la resistencia de armadura, es la inductancia de armadura, es el factor de inercia, es la constante de fricción viscosa, es la constante de fuerza contraelectromotriz y es la constante de par del motor. De acuerdo con [15], una representación alterna del modelo (9)-(10), en términos de la salida plana , es: = + 1 ( + ) + + , (11) y una propuesta de control basado en planitud diferencial que no requiere de sensores electromecánicos es la siguiente: = + 1 ( + ) + + , (12) donde se elige de la siguiente manera: = ∗ − − ∗ − ( − ∗) − − ∗ , (13) siendo: = − + 1 ( − ) , (14) = − − + 1 ( − ) − , (15) = − + 1 ( − ) − + . (16) En (13), de acuerdo con [15], una adecuada selección de las ganancias , , , es la siguiente: = ; = 2 + ; = 2 + . (17) De esta manera, el control (12) permite que → ∗ (como se demostró en [15]). Es importante resaltar que el control utiliza solamente medidas de voltaje y corriente de armadura del motor de CD, por lo que no es necesario el uso de sensores electromecánicos [ver ecs. (13)-(16)]. C. Control de nivel bajo: Etapa de potencia Debido a que se utilizan convertidores de potencia CD/CD Buck para suministrar el voltaje requerido por lo motores de CD, en esta subsección se presenta un control promedio basado en planitud diferencial para resolver la tarea de seguimiento de voltaje, i.e., → ∗. El modelo matemático asociado a un convertidor Buck es retomado de [35]:

= − + , (18) = − , (19) donde es la inductancia de la bobina, es el capacitor de salida, es el voltaje de alimentación del convertidor, es la resistencia de carga y es una señal que cumple con ∈ [0,1]. Una representación alterna de (18)–(19) de acuerdo a [35], en términos de la salida plana , es: = + + 1 , (20) y un control por planitud diferencial para (20) es: = + + 1 , (21) donde se define como: = ∗ − − ∗ − ( − ∗) − ( − ∗) .

(22) De acuerdo con [35], una adecuada selección de las ganancias , , para (22) es: = ; = 2 + ; = 2 + . (23) Así, el control (21) logra que → ∗ (como se demostró en [36]). D. Integración de los controles Para resolver la tarea de seguimiento de trayectoria asociada con un RMR diferencial, i.e., ( , , ) → ( , , ), en esta subsección se presenta el diseño de un controlador promedio de tres niveles, el cual está formado por los controles presentados en IV–A, IV–B y IV–C. El control asociado con el RMR es un control cinemático dado por (7)–(8). Mientras que el control para cada motor de CD es por planitud diferencial y está basado en (12)–(13). Así, para el motor derecho se tiene: = + 1 +

+ + , (24) con = ∗ − − ∗ − ( − ∗)− − ∗ , y para el motor izquierdo: = + 1 + + + , (25) donde

= ∗ − − ∗ − ( − ∗) − − ∗

y ( ∗, ∗) = ( , ). (26) Se observa en (26) que los perfiles de velocidad angular deseados de los motores de CD, ( ∗, ∗), están determinados por el control del RMR, ( , ). Por otro lado, para cada convertidor Buck se propuso un control por planitud diferencial similar a (21)–(22). De esta manera, para el convertidor Buck derecho se tiene: = + + 1 , (27) con = ∗ − − ∗ − ( − ∗ ) − ( − ∗ ) , y para el convertidor Buck izquierdo: = + + 1 , (28) donde = ∗ − − ∗ − ( − ∗) − ( − ∗) , siendo ( ∗ , ∗) = ( , ). (29) En (29) los perfiles de voltaje deseados de los convertidores Buck, ( ∗ , ∗), están determinados por el control de los motores de CD, ( , ). Debido a que los controles (27) y (28) son controles promedio, i.e., , ∈ [0, 1], es necesario utilizar un modulador para la implementación conmutada de dichos controles. Como fue mencionado en el resumen de este trabajo, la finalidad es llevar a cabo una comparación entre dos tipos de moduladores, a saber, PWM y Σ − Δ. La implementación del PWM se realizó utilizando un bloque de MATLAB-Simulink; mientras que para la realización del modulador Σ − Δ se utilizó el siguiente modelo: = 12 [1 + sign( )], (30) = − , y = 12 [1 + sign( )], (31) = − , para el convertidor Buck derecho y para el convertidor Buck izquierdo, respectivamente.

En conclusión, mediante los controles (27) y (28) se consigue que ( , ) → ( , ) y así ( , ) → ( , ). De esta manera se logra el objetivo de control en el RMR, esto es que ( , , ) → ( , , ). El controlador de tres niveles se muestra en la Fig. 2.

V. SIMULACIONES

Con la finalidad de resolver la tarea de seguimiento de trayectoria en un RMR diferencial, en esta sección se presentan vía MATLAB-Simulink algunos resultados de simulación numérica en lazo cerrado del controlador promedio de tres niveles propuesto. Dicho controlador está conformado por (7)–(8), (24)–(25) y (27)–(28). Para la implementación conmutada del controlador se propuso una frecuencia de muestreo de 200 kHz para el PWM, y de acuerdo con [40] la frecuencia de muestreo para el modulador Σ − Δ debe ser de 400 kHz.

Los parámetros asociados a la estructura mecánica del RMR fueron retomados de [17] y están dados por:

= 0.075 m, = 0.22 m. Los valores nominales asociados a los motores de CD y a los convertidores Buck se retomaron de [37]. Para los motores se tienen los siguientes parámetros:

Figura 2. Controlador conmutado de tres niveles asociado al RMR.

= = 118.2 × 10−3 kg ⋅ m2, = = 588 × 10−6 N ⋅ m ⋅ s, = = 120.1 × 10−3 V ⋅ s/rad, = = 0.965 Ω, = = 120.1 × 10 N ⋅ m/A, = = 2.219 mH. Mientras que para los convertidores Buck se tienen los siguientes valores: = = 4.94 mH,

= = 224.4 F,= = 28 Ω,

= = 36 V.

Las ganancias para el control del nivel alto se eligieron como sigue: 1 = 0.05, 2 = 0.021, 3 = 0.05. Mientras que para las ganancias de los controles del nivel medio se seleccionaron los siguientes parámetros: 1 = 1 = 23, 1 = 1 = 0.907, 1 = 1 = 855.

Por último, las ganancias de los controles del nivel bajo se escogieron con base en los siguientes parámetros:

2 = 2 = 50, 2 = 2 = 0.8, 2 = 2 = 855. Para obtener los valores de referencia deseados, y , se

utilizaron los siguientes polinomios de Bézier: ( ) = ( ) + − ( ) , , , (32) ( ) = ( ) + − ( ) , , , (33)

donde y son el tiempo inicial y tiempo final para cada fragmento de trayectoria y es una función polinomial dada por: , , = −−

× 10 − 15 −− + 6 −− . (34) De esta manera, con base en (32)–(34) y las definiciones de la Tabla 1, se encuentran las velocidades y . La trayectoria deseada, impuesta por (3), que debe seguir el RMR diferencial se presenta en las primeras dos subfiguras asociadas con las Figs. 3–6.

Para verificar el desempeño y robustez del controlador promedio de tres niveles propuesto, se consideraron algunos cambios abruptos y simultáneos en distintos parámetros nominales asociados al sistema. En particular, para el convertidor Buck derecho, etapa de potencia, se consideraron los cambios en , y determinados por,

= 90% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,130% 4 ≤ ≤ 6 s, (35)

= 60% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,132% 4 ≤ ≤ 6 s, (36)

y = 57% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,145% 4 ≤ ≤ 6 s. (37)

Mientras que para el convertidor Buck izquierdo, se consideraron los cambios en , y dados por, = 89% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,149% 4 ≤ ≤ 6 s, (38)

= 65% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,129% 4 ≤ ≤ 6 s, (39)

y

= 89% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,149% 4 ≤ ≤ 6 s. (40)

TABLA I. TRAYECTORIA DESEADA BASADA EN POLINOMIOS

DE BÉZIER.

0 ≤ ≤ 0.4: = ( ) = 0 ̅ ( = 0) = 0; ̅ = 0.4 = 0.7; 0.4 ≤ ≤ 1.3: = 0.7; = 0;

1.3 ≤ ≤ 1.8: = ( ) = ( ) ̅ ( = 1.3) = 0.7; ( = 1.3) = 1.8; ̅ = 1.8 = 0.5; = 1.8 = 0.0; 1.8 ≤ ≤ 3.5: = 0.5; = 1.8; 3.5 ≤ ≤ 4.5: = ( ) = ( ) ̅ ( = 3.5) = 0.5; ( = 3.5) = 1.8;̅ = 4.5 = 0.5; = 4.5 = −1.8; 4.5 ≤ ≤ 6.0: = 0.5; = −1.8.

En las Figs. 3 y 4 se muestran los resultados en lazo cerrado asociados con los cambios (35)–(40), cuando la implementación conmutada del controlador promedio es realizada vía PWM y modulación Σ − Δ, respectivamente. Por otro lado, para el motor de CD derecho se consideraron los siguientes cambios en : = 90% 0 ≤ < 2 s,2 ≤ < 4 s,110% 4 ≤ ≤ 6 s. (41)

Figura 3. PWM: Resultados con perturbaciones en , , , , y .

Figura 4. Modulador Σ − Δ: Resultados con cambios en , , , , y .

Figura 5. Resultados de simulación con PWM y perturbaciones en y .

Figura 6. Resultados de simulación con Σ − Δ y perturbaciones en y .

Mientras que para el motor izquierdo se consideró a como: = 90% 0 ≤ < 2 s, 2 ≤ < 4 s,110% 4 ≤ ≤ 6 s. (42)

Los resultados en lazo cerrado del controlador promedio, asociados a los cambios (41)–(42), implementado vía PWM y modulación Σ − Δ, respectivamente, se muestran en las Figs. 5 y 6.

Se observa en las Figs. 3–6 que el controlador promedio de tres niveles propuesto es robusto cuando su implementación conmutada es vía PWM o modulación Σ − Δ. Con ambos moduladores se logra el objetivo de control, i.e., ( , , ) →( , , ), en presencia de variaciones abruptas y simultáneas para algunos parámetros nominales asociados con el sistema.

Para mostrar más en detalle el desempeño del controlador

promedio, se realizó un acercamiento en los resultados de simulación numérica. Así, es posible observar en las Figs. 3–6 que el modulador Σ − Δ, en general, minimiza la amplitud del rizo asociado a las corrientes y voltajes de los convertidores; debido a su capacidad de filtrado [40].

VI. CONCLUSIONES

En este trabajo se presentó el diseño de un controlador

promedio de tres niveles, que no requiere el uso de sensores electromecánicos, para resolver la tarea de seguimiento de trayectoria en un RMR tipo diferencial. La implementación conmutada de tal controlador fue realizada vía moduladores electrónicos; a saber, PWM y el modulador Σ − Δ.

El controlador promedio de tres niveles aquí presentado ha considerado, por primera vez en la literatura, el modelo matemático de los tres subsistemas que componen a un RMR, i.e., estructura mecánica, actuadores y etapa de potencia. Los componentes de tal controlador son: para la estructura mecánica se presentó un control cinemático (nivel alto); para los actuadores se propusieron dos controles basados en planitud diferencial (nivel medio); y para la etapa de potencia se presentaron dos controles promedio basados en planitud diferencial (nivel bajo).

Se demostró mediante simulaciones numéricas que la implementación conmutada del controlador promedio de tres niveles en un RMR diferencial, vía un PWM o un modulador Σ − Δ, logra el objetivo de control, i.e., ( , , ) →( , , ). En dichas simulaciones las condiciones de operación de ambos moduladores fueron idénticas y sus respectivas frecuencias de trabajo se eligieron para tener una eficiencia similar. No obstante, se observó que utilizando el modulador Σ − Δ se consigue un mejor desempeño en la implementación conmutada del controlador. Esto es debido a que, de forma natural, el modulador Σ − Δ reduce el ruido presente en las señales, i.e., actúa como filtro [40], [41]. Se verificó también que el controlador es robusto cuando se consideran variaciones abruptas y simultáneas en algunos parámetros del sistema.

Como posible trabajo futuro se pretende sustituir la actual etapa de potencia del prototipo de RMR reportado en [42] por la etapa de potencia utilizada en este artículo; y así realizar la implementación experimental del controlador promedio desarrollado para reportar los resultados en un siguiente trabajo. Otra vertiente de investigación sería aplicar el conocimiento adquirido durante el desarrollo de este trabajo a otros sistemas mecatrónicos; por ejemplo RMRs tipo tractor-remolque [43], robots móviles aéreos [44], robots móviles de patas [45], robots manipuladores móviles teleoperados [46], brazos robóticos [47], por mencionar algunos.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al editor y a los revisores por sus

valiosos comentarios y sugerencias que permitieron la mejora significativa del presente trabajo. Esta investigación fue apoyada por la Secretaría de Investigación y Posgrado del Instituto Politécnico Nacional (SIP-IPN), México. El trabajo de J. R. García Sánchez, S. Tavera Mosqueda y M. Antonio Cruz ha sido apoyado a través de las becas CONACYT-México y BEIFI-IPN. R. Silva Ortigoza y J. de J. Rubio agradecen el apoyo recibido por el SNI-México y los programas EDI y COFAA del IPN. Finalmente, G. Silva Ortigoza agradece el apoyo otorgado por el SNI-México.

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José Rafael García Sánchez received the B.S. degree in industrial robotics from Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del IPN, Mexico City, Mexico, in 2003, and the M.S. degree in automatic control from Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, in 2013. He is currently working toward the Ph.D. degree at the Department of Mechatronics, CIDETEC-IPN, Mexico City,

Mexico. His research interests include the theory and application of automatic control in mobile robotics, teleoperated systems, and power electronic systems.

Salvador Tavera Mosqueda received the B.S. degree in electronics engineering from the Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli, Estado de México, Mexico, in 2008. He is currently working toward the M.S. degree at the Department of Mechatronics, CIDETEC-IPN, Mexico City, Mexico. His research interests include the theory and application of automatic control in mobile robotics. Also, he

is interested in automation, embedded systems, and power electronics.

Ramón Silva Ortigoza received the B.S. degree in electronics from Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (BUAP), Puebla, Mexico, in 1999, and the M.S. and Ph.D. degrees in electrical engineering (mechatronics) from the Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN), Mexico City, Mexico, in 2002 and 2006, respectively. He has been a

Researcher at the Department of Mechatronics, CIDETEC-IPN, since 2006, and belongs to SNI-CONACYT, Mexico. He is a coauthor of the book Control Design Techniques in Power Electronics Devices (London, U.K.: Springer-Verlag, 2006). He was an Editor of the book Mechatronics (in Spanish) (Mexico City, Mexico: Colección CIDETEC-IPN, 2010). Moreover, he has recently coauthored the book Automatic Control: Design Theory, Prototype Construction, Modeling, Identification and Experimental Tests (in Spanish) (Mexico City, Mexico: Colección CIDETEC-IPN, 2013). He has published more than 40 papers in refereed journals. His research interests include mechatronic systems control, mobile robotics, control in power electronics, and the development of educational technology.

Mayra Antonio Cruz received the Mechatronic Engineer’s degree from the Instituto Tecnológico de Reynosa, Tamaulipas, Mexico, in 2012, and the M.S. degree in computing technology from CIDETEC-IPN, Mexico City, Mexico, in 2015. She is currently working toward the Ph.D. degree at the Department of Mechatronics, CIDETEC-IPN, Mexico City, Mexico. Her current research interests include

the theory and application of automatic control in underactuated systems, mobile robots, and power electronic systems. Also, she is interested in the development of educational technology.

Gilberto Silva Ortigoza received the B.S. degree in physics from BUAP, Puebla, Mexico, in 1988, and the M.S. and Ph.D. degrees in physics from CINVESTAV-IPN, Mexico City, Mexico, in 1991 and 1995, respectively. He has been a Professor and Researcher at the Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAP, and belongs to SNI-CONACYT, Mexico, with Level II. He has published more than 55 papers

in journals indexed in Journal Citation Reports. His research interests include general relativity, geometrical optics, and the mathematical modeling of dynamical systems.

José de Jesús Rubio (M’08) is a full time professor of the Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, ESIME Azcapotzalco, Instituto Politécnico Nacional. He has published 84 papers in International Journals, 1 International Book, 8 chapters in International Books, and he has presented 31 papers in International Conferences with 700 citations. He is a member of the IEEE AFS Adaptive Fuzzy

Systems. He is part of the editorial board of the Evolving Systems journal. He is member of the National Systems of Researchers with level II. He has been the tutor of 4 P.Ph.D. students, 5 Ph. D. students, 30 M.S. students, 4 S. students, and 17 B.S. students.