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ALGORITMO RECOCIDO SIMULADO PARA EL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN DE

CARGAS EN UN AVIÓN BAJO EL ENFOQUE DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

(Simulated Annealing algorithm for the problem of load distribution on a plane under the approach of 

Linear Programming)

SANDRA YAZMÍN TORRES AGUILAR 1

RESUMEN

En este documento se pretende solucionar un problema específico de programación lineal, aplicando

el método de Recocido Simulado con el obeti!o principal de obtener la respuesta "ue permita optimi#ar 

la(s) función(es) resultado, garanti#ando con ello una buena solución al problema planteado sin "ue

necesariamente sea la meor, a sabiendas "ue el proceso de optimi#ación de una función lineal implica "ue

las !ariables de cada una de las funciones estén condicionadas a una serie de restricciones las cuales ser$n

obtenidas con el an$lisis "ue se estar$ aplicando%

Palabra Cla!"& Recocido simulado, algoritmo, optimi#ación, probabilidad, solución, incertidumbre,

 programación lineal%

ABSTRACT

'his article aims to sol!e a specific problem of linear programming, using the Simulated Annealing

method ith the main obecti!e to get the anser to optimi#e the result function, thereb ensuring a good

solution to the problem ithout necessaril the better, *noing that the process of optimi#ing a linear 

function implies that the !ariables of each of the functions are conditional on a number of restrictions

hich ill be obtained from the analsis it ill be applied%

1 + Estudiante de 'ecnología en Sistemati#ación de atos% -ni!ersidad istrital .rancisco /osé de 0aldas, .acultad 'ecnológica% E1mail&a#mintor2hotmail%com

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#"$%&r'& Simulated annealing, algorithm, 3ptimi#ation, probabilit, uncertaint, linear programming%

INTRODUCCIÓN

0on la e!olución acelerada "ue ha presentado el campo de la inteligencia artificial en la b4s"ueda

aplicación de métodos "ue permitan modelar matem$ticamente el comportamiento humano de manera "ue

cada !e# pare#can m$s reales, como también en la aplicación de estos modelos en la solución de problemas

reales cotidianos, obteniendo respuestas buenas sin "ue necesariamente resulte ser la meor aplicable%

El modelo de funcionamiento del algoritmo a implementar, procede del proceso físico del templado

de metales5 para conseguir "ue la estructura molecular del metal tenga las propiedades deseadas de

resistencia o fle6ibilidad, se hace necesario controlar la !elocidad del proceso de templado (enfriamiento),

el cual hecho adecuadamente, conduce al estado final del metal es un estado de mínima energía%

'oda la optimi#ación del procedimiento anterior es posible gracias al algoritmo de Recocido

Simulado pues éste, est$ basado en una analogía entre el proceso de enfriamiento de sólidos la

 problem$tica de resol!er problemas de optimi#ación combinatoria de gran escala%

0370EP'3S 8E7ERALES

0omo punto de partida en este escrito, se toman fundamentos b$sicos del proceso de recocido de un sólido, los cualesser$n citados en la terminología utili#ada en el desarrollo de esta tem$tica5 el recocido se refiere a un proceso de calentamiento

de un sólido a una temperatura en la "ue sus granos deformados recristali#an para producir nue!os granos% La temperatura derecocido o de recristali#ación, depende del tipo de material, del grado de deformación del mismo, adem$s de su uso futuro%Seguida a la fase de calentamiento, !iene un proceso de enfriamiento en donde la temperatura se baa poco a poco% e estamanera, cada !e# "ue se baa la temperatura, las partículas se reacomodan en estados de m$s baa energía hasta "ue se obtiene unsólido con sus partículas acomodadas conforme a una estructura de cristal% Si se comien#a con un !alor m$6imo de latemperatura, en la fase de enfriamiento del proceso de recocido, para cada !alor de la temperatura ' debe permitirse "ue sealcance su e"uilibrio térmico% Sin embargo, si el proceso de enfriamiento es demasiado r$pido no se alcan#a en cada etapa ele"uilibrio térmico, el sólido congelar$ en un estado cua estructura ser$ amorfa en lugar de la estructura cristalina de m$s baaenergía% La estructura amorfa est$ caracteri#ada por una imperfecta cristali#ación del sólido%

PR38RA9A0:;7 L:7EAL

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La programación lineal estudia el problema de minimi#ar o ma6imi#ar una función lineal en la presencia dedesigualdades lineales% 8eorge <% ant#ig desarrolló el método simple6 en =>?@, desde ahí la programación lineal se ha utili#adoe6tensamente en el $rea militar, industrial, gubernamental de planificación urbana, entre otras% La popularidad de la

 programación lineal se puede atribuir a muchos factores, incluendo su habilidad para modelar problemas grandes compleos, la habilidad de los usuarios para resol!er problemas a gran escala en un inter!alo de tiempo ra#onable mediante el uso delmétodo simple6 de computadoras%

-n problema de programación lineal es un problema de minimi#ar o ma6imi#ar una función lineal en la presencia derestricciones lineales del tipo desigualdad, igualdad o ambas% 

AL83R:'93 E RE030:3 S:9-LA3 (RS) S:9-LA'E A77EAL:78

El RS aplicado a problemas de optimi#ación surgió en los trabaos independientes de Bir*patric* et al% (=>CD) 0ern(=>C), en donde se aplicó esta técnica a la solución de problemas como el particionamiento de grafos el diseFo de circuitosGLS:% 0orresponde a uno de los algoritmos de b4s"ueda local en el "ue no se preocupa por los caminos sino "ue se enfoca en sugran parte en el estado actual se mue!e de un estado !ecino hacia otro, tiene !entaas importantes como, "ue es ahorrati!o toda!e# "ue usa poca memoria por"ue no guarda la secuencia de estados, es ra#onable puesto "ue ofrece buenas soluciones a un

 problema cuando el espacio de los estados es infinito óptimo, por"ue encuentra el meor estado posible con base a una funciónobeti!o%

La forma en la "ue funciona un algoritmo de b4s"ueda local como el recocido simulado, es intentando meorar unasolución a dada encontrar la meor de las soluciones posibles en el menor tiempo, pero para ello necesita de operadores, estos

 pueden ma6imi#ar o minimi#ar la solución combinando también las restricciones del problema% -na función ma6imi#a un problema cuando su solución corresponde directamente al obeti!o, es decir "ue para hacer m$s óptima una respuesta se trata dema6imi#ar el obeti!o% -na función minimi#a un problema cuando su solución se basa en los costos, por lo cual es necesariohacerlos lo m$s mínimos posibles%

Este tipo de algoritmo b$sico de b4s"ueda local, tiene como des!entaa "ue es susceptible a "uedar atrapado confacilidad en óptimos locales% Para e!itar este problema, usualmente se permite "ue algunos mo!imientos produ#canconfiguraciones "ue empeoran la solución actual% ichos mo!imientos audan a escapar de óptimos locales, pero se debenreali#ar de manera controlada% En el recocido simulado esto se lle!a a cabo de manera probabilística%

Las soluciones de un problema de optimi#ación combinatoria son e"ui!alentes a los estados de un sistema físico% El

costo de una solución es e"ui!alente a la energía de un estado% Adem$s, se introduce un par$metro "ue uega el papel e"ui!alentede la temperatura% Este par$metro se llama el par$metro de control% El algoritmo de recocido simulado puede !erse como unaiteración del algoritmo de 9etropolisH, e!aluado en !alores decrecientes del par$metro de control%

En la 'abla = se muestra la analogía entre el sistema físico del RS un problema de optimi#ación, en la cual se puedeobser!ar "ue cada par$metro de la !ersión computacional del recocido representa un componente del sistema físico "ue se aplicaal recocido de metales% El RS es f$cil de implementar, pero re"uiere de un cuidadoso proceso de sintoni#ación tanto de suscomponentes como de sus par$metros con la finalidad de lograr su meor desempeFo%

 

'abla =& Analogía entre sistema físico un problema de optimi#ación%

2 El algoritmo de 9etropolis reali#a un muestreo usando el factor de <olt#mann para aceptar o descartar configuraciones% 9etropolis funciona

 bien si todas las configuraciones posibles del sistema se encuentran dentro de un rango relati!amente angosto de energías% Si por el contrario laseparación entre las configuraciones de menor energía las de m$s alta energía es mu grande el algoritmo de 9etropolis tender$ a "uedarseatrapado en algunos de los mínimos locales del sistema%

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En el algoritmo = se puede obser!ar el pseudocódigo del RS "ue se propone para dar solución al problema de 9A8, elcual es llamado RS19A8

Algoritmo = RS

0omo parte del RS "ue se implementó para resol!er el problema 9A8 se desarrollaron componentes esenciales como&9étodo para obtener una solución inicial, .unción de !ecindad, .unción de aceptación, 9étodo para iniciali#ar la temperatura,Longitud de la cadena de 9ar*o!, Es"uema de enfriamiento 0ondición de paro%

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

-n a!ión de carga tiene tres compartimientos para almacenar& delantero, central trasero% Estos compartimientos tienenun límite de capacidad tanto en peso como en espacio% Los datos se resumen a continuación&

9$s a4n para mantener el a!ión balanceado, el peso de la carga en los respecti!os compartimientos debe ser  proporcional a su capacidad% Se tienen ofertas para transportar cuatro cargamentos en un !uelo pró6imo a "ue se cuenta conespacio&

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Se puede aceptar cual"uier fracción de estas cargas% El obeti!os es determinar cu$l cantidad de cada carga debeaceptarse (si se acepta) como distribuirla en los compartimientos para ma6imi#ar la ganancia de !uelo%

93ELA9:E7'3 EL PR3<LE9A

I = J 'oneladas de carga = en el compartimento delanteroI H J 'oneladas de carga H en el compartimento delanteroI D J 'oneladas de carga D en el compartimento delanteroI ? J 'oneladas de carga ? en el compartimento delantero

I =0 J 'oneladas de carga = en el compartimento centralI H0 J 'oneladas de carga H en el compartimento centralI D0 J 'oneladas de carga D en el compartimento centralI ?0 J 'oneladas de carga ? en el compartimento centralI =' J 'oneladas de carga = en el compartimento traseroI H' J 'oneladas de carga H en el compartimento traseroI D' J 'oneladas de carga D en el compartimento traseroI ?' J 'oneladas de carga ? en el compartimento trasero

K (9a6) J DH (I= M I=0 M I=') M ? (IH M IH0 M IH') M DN (ID M ID0 M ID') MO M H> (I? M I?0 M I?')

R"(r)**)&+" a ("+"r "+ *,"+(a

=% Restricción de 7o negati!idad IiJH% Restricciones por 0apacidad de Peso

0=J H toneladas0HJ = toneladas0DJ H toneladas

• 9$6imo peso "ue soporta cada compartimiento&I= M IH M ID M I? QJ=HI=0 M IH0 M ID0 M I?0 QJ=C

I=' M IH' M ID' M I?' QJ=• 9$6imo peso "ue lle!a cada carga&I= M I=0 M I=' QJHIH M IH0 M IH' QJ=NID M ID0 M ID' QJHI? M I?0 M I?' QJ=D

D% Restricciones por 0apacidad de Espacio

I= M @IH MNID M ?I? QJ@

I=0 M @IH0 MNID0 M ?I?0 QJ>

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I=' M @IH' MNID' M ?I?' QJ

?% Restricciones de Proporcionalidad XID+ X 2 D+ X 3 D+ X 4 D

12= X 1C + X 2C + X 3C + X 4C 

18= X 1T + X 2T + X 3T + X  4T 

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esto a su !e#, es e"ui!alente a decir&

 XID+ X 2 D+ X 3 D+ X 4 D

12= X 1C + X 2C + X 3C + X 4C 

18↔

18 X 1 D+18 X 2  D+18 X 3  D+18  X 4  D=12 X 1C +12 X 2C +12 X 3C +12 X 4C 

 X 1C + X 2C + X 3C + X  4C 

18= X 1T + X 2T + X 3T + X 4 T 

10

 XID+ X 2 D+ X 3 D+ X 4  D

12= X 1T + X 2T + X 3T + X 4T 

10

:9PLE9E7'A0:;7 EL AL83R:'93 EL S:9-LA'E A77EAL:78

RES-L'A3S 3<'E7:3S

8RA.:0AS E LA SAL:A E7 EL S:9-LA'E A77EAL:78

0370L-S:37ES

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