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Palabras claves— máximo 6, en orden alfabético.

Abstract—El mismo contenido del resumen.

Key words— el mismo contenido de las palabras claves.

I. INTRODUCTION

NA de las obras de ingeniería civil que más dificultades tiene a la hora de su construcción

es una presa, ya que la magnitud, importancia y riesgo que posee es muy alta. Se necesitan muchos estudios para modelar y construir una presa, como diversos estudios de suelo, en los cuales se pueden encontrar los de capacidad de infiltración del terreno, la estabilidad en la cimentación, carga portante admisible, asentamientos, etc. También se necesita un estudio de sismicidad, para que en el caso de ocurrir un temblor, la presa no colapse por este. Como se puede apreciar existen muchas variables para construir una presa previamente, pero también se necesitan ciertos estudios para cuando la presa en si ya esté terminada y un caso de estudio que se debe tener en cuenta es precisamente el que tiene que ver con este trabajo, el cual es el fenómeno de desembalse rápido, el cual es una condición crítica para la estabilidad de una presa, pues este fenómeno es importante, ya que al ser una presa un obra de gran envergadura, en el caso

U

hipotético de que algo fallara, el desastre seria de forma descomunal; pero el problema es que por lo general los estudios en las presas no son fáciles, esto es debido a la gran cantidad de variables que existen, sin contar que las ecuaciones a resolver son de alto grado de complejidad; por lo tanto el análisis para estudiar estos fenómenos, será con la ayuda de un programa computacional llamado PLAXIS; el cual está especializado con la resolución de estos tipos de problemas, debido a su fácil manejo y rapidez en la obtención de una respuesta. Con el uso de este programa, se espera poder hacer de la forma más completa posible, el desarrollo de esta investigación. Este trabajo estuvo guiado por las investigaciones de grandes investigadores; como lo fueron las del pionero de estudio de desembalse rápido, el investigador e ingeniero Norbert R. Morgenstern; como también las investigaciones de Dvinoff y Harr en 1971 y de Chang Ch en 1987; todos ellos pioneros de este tema y por lo tanto sus investigaciones fueron tomadas como base de la investigación de este trabajo. Pero si hay que hablar de crédito, el mayor se lo tiene que llevar el ingeniero colombiano Miguel Cadena Escobar, debido a que su trabajo de grado de maestría del año 2005 de la universidad Nacional de Colombia por parte de él, sirvió como piedra fundamental de este trabajo, pues su investigación sirvió de mucho a la hora de comprender este fenómeno complicado de analizar.

II. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Recientemente el estudio de desembalse rápido ha venido tomando mayor protagonismo en el estudio de análisis de las presas, debido a que si se mira la primera mitad del siglo pasado, este fenómeno era desconocido por parte de los ingenieros, solo hasta la década de los años 60 su existencia se empezó a conocer, sobretodo por los trabajos realizados por Morgenstern N., pues él analizó que ciertos problemas que se planteaban en esa época no estaban cuadrando, como desastres o fallas de los taludes aguas arriba de la presa como efecto secundario de cuando ocurría un desembalse; todo esto sin comprender muy bien las razones de estos acontecimientos; inclusive, Morgenstern observó que en algunos casos, estos problemas habían sido peores que los que habían sucedido aguas abajo. Hablando en forma local, en Colombia no se han

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tenido muchos registros de este fenómeno, muy probablemente debido a la poca o nula investigación que se ha hecho sobre el tema. El estudio del fenómeno de desembalse rápido es importante de tenerlo en cuenta, debido a que las fallas en una presa no pueden ser ignoradas, pues ellas por lo general contienen un gran volumen de agua que pueden llegar a tener variación en su nivel de agua y pueden ocasionar una tragedia, pues estos fenómenos a menudo se presentan en lugares que se encuentran concentrados por núcleos de personas, haciendo que esta inquietud no se pueda tomar como desapercibida.Hablando en forma puntual de lo que significa el fenómeno de desembalse rápido, consiste en la disminución del nivel de agua en un embalse, ya sea de forma inmediata o de forma gradual, originando posteriormente una condición inestable en el talud aguas arriba de la presa que puede ocasionar una falla en este; se puede decir que el proceso de desembalse desembalse rápido consiste en cuatro etapas, las cuales serán presentadas a continuación:

La primera etapa consiste en cuando la presa ya ha sido construida y el agua del embalse ha alcanzado el nivel con el que ha sido diseñada, en esta etapa existe una condición de equilibrio entre las diversas fuerzas que hay dentro del talud.La segunda etapa consiste en el desembalse, el agua que ha estado almacenada en la presa ha disminuido en forma constante o inmediata, pero el agua que está en el talud no lo ha hecho de forma igual.La tercera etapa consiste en que debido a la disminución del nivel de agua de la presa ha sido de una forma rápida, los poros no han podido disipar la presión que originalmente tenían cuando la presa estaba llena, esto debido a que el agua del talud no ha evacuado el agua a la misma taza en que lo ha hecho el embalse, provocando así un desequilibrio de fuerzas y un exceso de presión.

La cuarta etapa consiste en la expulsión del agua contenida en el talud hasta el nivel en que se ha igualado con el nivel de agua del embalse; la expulsión del agua ha ocasionado la disipación de la presión de poros del material del talud, haciendo que se tenga una condición de equilibrio como inicialmente estaba la presa (antes de que se originara el desembalse).Una consecuencia importante en esta etapa, es que los esfuerzos efectivos del suelo han disminuido, originando que los esfuerzos cortantes aumenten, lo que puede conllevar a una falla; además a esto también hay que agregarle de que ahora el talud no cuenta con la presión hidrostática del agua, lo cual incrementa las condiciones favorables de que el talud llegue a colapsar. La condición más crítica en el fenómeno de desembale rápido se presenta una vez que el desembalse ha ocurrido.En lo concerniente a este trabajo, esta investigación no pretende el planteamiento de una solución del fenómeno de desembalse rápido ni aportar nada nuevo de lo que ya otros autores han investigado, su enfoque principal es exponer la importancia que debe tener el estudio de este fenómeno, para que sea tomado en cuenta por las personas que lo desconozcan, o que simplemente sea una buena lectura para las personas que lo conozcan o se interesen por este tema, pues en este trabajo serán mostradas las bases conceptuales y matemáticas que otros autores han propuesto en sus investigaciones anteriormente y finalmente demostrar en forma de ejemplo los problemas que tendría una presa con este fenómeno, en lo que concierne a la variación del factor de seguridad del talud de la presa que pueda llegar a ser afectado por este problema, pues hay que recordar que frecuentemente existen núcleos urbanos que habitan cerca de estos tipos de obras, haciendo que este fenómeno sea de vital importancia a tener en cuenta a la hora de la construcción de una presa. El ejemplo del cual se ha mencionado será el modelamiento de una presa desarrollado por un programa especializado en estos casos, como lo es el programa PLAXIS; programa con el que se demostrará los tipos problemas expuestos anteriormente en forma grafica y numérica.

III. OBJETIVOS DEL PROYECTO

Objetivo General

Estudiar el fenómeno de rotura de un talud debido a las consecuencias de desembalse rápido en una presa.

Objetivos específicos Comprender los fenómenos físicos que se

originan en una represa por el caso de desembalse rápido de sus aguas.

Comprender y exponer el modelo matemático que otros autores han sugerido para abordar el problema de un desembalse rápido.

Estudiar la influencia de los parámetros de resistencia para el caso de un desembalse rápido (Factor de seguridad).

Estudiar la influencia de la geometría de la presa en los parámetros de resistencia (Factor de seguridad).

Publicar en una revista científica los resultados de la investigación del proyecto.

IV.METODOLOGÍA

La investigación de este trabajo se puede decir que hizo en dos formas distintas: la primera fue mediante el estudio de fuentes bibliográficas relacionadas al tema de desembalse rápido para el entendimiento en forma conceptual del problema y por ende el planteamiento de preguntas y soluciones de forma conceptual y matemática que estás fuentes bibliográficas pueda suministrar; la segunda forma de investigación fue mediante la utilización del programa computacional PLAXIS, ya que este programa está especializado en la solución de problemas relacionados sobre geotecnia, convirtiéndolo así de importante ayuda poder obtener datos que se ajusten a datos reales y con ello demostrar lo que se plantea en este trabajo. La razón de que se haya escogido estas dos formas de investigación en el proyecto, fue debido a que otros investigadores ya han investigado este fenómeno y han publicado en sus trabajos una cierta cantidad de datos que hace que la experimentación en este trabajo se pueda omitir; además estos tipos de investigaciones experimentalmente son muy costosas, lo cual imposibilita la obtención de datos en forma experimental en este proyecto.

A. Fase 1

Lo primero que se hizo para la elaboración de este trabajo fue la recolección de todo tipo de material bibliográfico que estuviera relacionado con el tema

de desembalse rápido, para esto se consulto al profesor Vladimir Merchán el tipo de bibliografía a consultar, pues en un principio se descubrió que había mucha cantidad de información, pero poca calidad. Él profesor Vladimir suministró a nuestro grupo algunas bibliografías especificas sobre el tema, como un PDF de la tesis de grado de un compañero de él de la universidad Nacional, que trataba específicamente el tema de desembalse rápido; Además de estas bibliografías, también se investigo otras fuentes alternativas como lo fueron los apuntes de clase de mecánica de suelos y documentos encontrados en internet relacionados con este tema. Una vez que se obtuvieron todas estas fuentes de información, se dio el comienzo al estudio de este fenómeno, sobretodo a lo concerniente a la lectura, para poder así entender en la forma mas profunda posible lo concerniente a este tema y luego así pasar al desarrollo del tema matemático que otros autores han propuesto en sus trabajos. Este proceso tomó aproximadamente dos meses y medio.

B. Fase 2

Esta fase consistió en el modelamiento de un ejemplo que tratara sobre el tema de desembalse rápido, para esto se escogió una presa con sus debidos parámetros de resistencia y parámetros geométricos de un caso planteado anteriormente por un investigador. El modelamiento se hizo en los computadores de la sala de Geomática, de la escuela de Ingeniería Civil, pues estos contenían el programa con el que se iba a trabajar. El desarrollo de este modelo computación se hizo con la ayuda de tres medios distintos, como lo fue la vista de videos tutoriales en YouTube sobre el manejo de PLAXIS, la ayuda de un manual de PLAXIS facilitado por el profesor Vladimir y mediante la consulta del profesor Héctor Torres Ortiz, experto en el tema de manejo de PLAXIS, que facilito la solución de inquietudes presentadas en el modelamiento de la presa sometida a desembalse rápido. La importancia del modelamiento de la presa consistió en la búsqueda de obtener un resultado con el que se pudiera comprobar la variación del factor de seguridad en una presa sometida al fenómeno de desembalse rápido.

C. Fase 3

La tercera fase consistió en el inicio de la elaboración del documento oficial en forma de borrador con el programa Microsoft Word, en que

lo importante fue empezar en avanzar con el proyecto e ir reuniendo y organizando toda la información que se había buscado. Con el borrador se ayudo a tomar un rumbo mas exacto de lo que se quería hacer, pues toda la información se comprimió haciendo que fuera mas fácil de visualizar y así de trabajar; además también sirvió de ayuda a comprender las complejas ecuaciones y operaciones matemáticas que se presentan en este tema, pues mientras se escribían se analizaban.

D. Fase 4

En esta fase se hizo una autocritica del proyecto para que de forma personal se revisara todo lo que se llevaba y así poder solucionar errores como del uso del idioma o a lo referente a errores teóricos respecto al tema de desembalse rápido, todo esto para que de manera futura se pueda entregar en lo mejor posible el trabajo a los profesores del diplomado encargado de revisar este proyecto. Una vez que los profesores hayan hecho sus determinados ajustes y sugerencias que vean necesaria para corregir el proyecto, se realizaran estas correcciones que se llegue a presentar, para que posteriormente se obtenga el visto bueno de los profesores y así el documento pueda llegar a ser publicado.

V. MARCO TEÓRICO

A. Resumen General Del Trabajo

● En general este trabajo se trabajara con la ley de Darcy en medios porosos para los casos de flujo de agua en un talud; también se supondrá a la presa como un material homogéneo e isotrópico con base impermeable, y los parámetros de resistencia y permeabilidad, se dejaran indicados, sin utilizar ningún valor específico.● Se trabajara con dos procedimientos, en el primero se supondrá que el flujo es principalmente horizontal, esto conllevara a una mayor facilidad matemática, y para el segundo caso se trabajará pensando que el flujo tiene comportamiento vertical, el cual hace que procedimiento matemático en este sea más complicado. Para el procedimiento 1 también se tendrá en cuenta que se harán dos análisis distintos, uno para desembalse inmediato y el otro para un desembalse en forma gradual.● El método de análisis se hará en términos de los esfuerzos efectivos, con un análisis considerando el

peso unitario total y las fuerzas periféricas del agua (presiones de poros).● El análisis de estabilidad del talud de una presa sometido a un proceso de desembalse se tomará con base en que las diversas superficies del talud tendrían una falla de tipo espiral logarítmico, pues este modelo tiene una condición muy realista de lo que sucede, si es comparado con otros tipos de modelos como lo podría ser el caso de una superficie circular.

B. Modelamiento Del Flujo De Agua En Un Talud Sometido A Desembalse Rápido

Lo primero que se realizara es tomar un volumen de control como el que aparece en la figura 2.2, pues este servirá como análisis del volumen total del talud. En este volumen de control se supondrá que el material que contiene no está totalmente confinado, por lo tanto no se podría trabajar con el volumen total del material, sino con su volumen de vacíos, en el cual se supondrá que solo contiene volumen de agua.

Definición de volumen de vacíos y de porosidad.

n=V v

V T

→ V w=V v=n .V T 1

Infinitesimalmente el volumen total de control es igual:

V T=dh . dx .dy 2

Por lo tanto el volumen a trabajar es:

d V w=n. dh . dx . dy3

Para la expresión anterior se dejara en función de la porosidad efectiva λ, pues esta última corresponde a la cantidad de espacio de poros disponible para la transmisión de fluidos expresada como un porcentaje del volumen total ocupado por los poros que se interconectan (Aral M.M.,1989) .

d V w=λ .dh . dx . dy 4

Utilizando la ley de Darcy, se podría tomar que el caudal de entrada al talud es igual:

Qentrada=−k .∂ h∂ x

. h . dy5

Para el caudal de salida se expresara de una forma parecida a la ecuación 5, solo que se tendrá en cuenta las perdidas de energía por fricción con el material:

Qsalida=−k .∂

∂ x.(h+ ∂h

∂ x. dx) . h . dy

Qsalida=(−k∂ h∂ x

−k∂2h∂ x2 . dx) . h . dy6

Realizando la diferencia entre esto dos caudales, se podrá saber el caudal acumulado en el material del talud de la presa:

Qacumulado=Q entrada−Qsalida=¿

−k∂ h∂ x

.h .dy−(−k∂h∂ x

−k∂2 h∂ x2 . dx ). h . dy

Qacumulado=−k∂ h∂ x

. h .dy+k∂ h∂ x

. h . dy+k∂2 h∂ x2 .h . dx . dy

Qacumulado=k∂2h∂ x2 . h . dx . dy 7

Para obtener el volumen acumulado se multiplica el caudal acumulado por un diferencial de tiempo.

d V acumulado=Qacumulado . dt

d V acumulado=k∂2 h∂ x2 . h. dx . dy .dt 8

El volumen que ingresa en un determinado tiempo deberá ser igual al volumen que se ha acumulado en el talud.

d V w=d V acumulado

λ .dh .dx .dy=k∂2 h∂ x2 . h . dx .dy . dt

Resolviendo:

λ .dh=k∂2 h∂ x2 . h . dt

∂ h∂ t

= k .hλ ( ∂2h

∂ x2 )9

Esta ecuación permite saber el comportamiento del flujo de agua que hay dentro del talud, donde las variables son: h es la carga total hidráulica, t es el tiempo y x es la abscisa del punto que se desee analizar. En el procedimiento 2 (el que tiene en cuenta que el flujo tiene componente vertical y horizontal) Se utilizará la ecuación 9.

1) Procedimiento 1 (Flujo Principalmente Horizontal)

Condiciones de fronteraComo en todo caso de solución particular de una ecuación diferencial, se necesita saber las condiciones de frontera de la ecuación para poder hallar una solución, esta se obtendrá mediante la geometría del determinado caso que se vaya analizar, para este caso se ayudara mediante el grafico 2.3 para hallarlas. Si se analiza el problema se vera que existen dos incógnitas, las cuales son el caudal y la altura del nivel freático en el talud para un determinado tiempo, en el grafico 2.3 a se tiene a la presa con sus determinados niveles de agua (mas abajo se especifican que representan). Como se menciono antes, se supondrá que el nivel freático del talud será principalmente de forma horizontal. En el grafico 2.3 b se muestra una forma más detallada el volumen de agua que contiene la presa.

En el cual las variables representan:Ht: Altura total del talud.H2= Altura del nivel de agua de la presa.Hps= Altura del nivel freático del talud.H3= Altura del nivel de agua una vez se ha desembalsado la presa.

α = ángulo del talud de la presa.El cálculo del volumen de agua, se puede obtener partiendo del análisis del grafico 2.3 b, como se puede observar, en este grafico el flujo se considera principalmente en forma horizontal y se desprecia que se mueva en forma vertical. Este método fue propuesto por Dvinoff y Harr en 1971, con resultados satisfactorios. Para este procedimiento también se trabajara con dos casos, el primero será el caso de un desembalse inmediato y el segundo caso será el de un embalse que disminuye su nivel de agua en forma constante.

a) Desembalse Inmediato

El cálculo de volumen hallado con la ayuda del grafico 2.3 b es:

dV =V 1+V 1=¿

λ [ cot∝d h ps2

2+(ht−hps ) . cot∝d hps ]10

Y recordando que Q∗dt=dV podemos obtener el Caudal.

Q . dt=λ[ cot∝d hps2

2+( ht−hps ) cot∝d hps ]11

Otra ecuación que se puede utilizar para la solución del problema de desembalse rápido será la propuesta por Pavlovskii (Dvinoff A. y Harr M., 1971), que de forma aproximada calcula el caudal que sale en el triangulo EFC.

Q=−k (hps−h3 )(1+ln ( hps

hps−h3)) tan∝12

Igualando las ecuaciones 11 y 12 para dejar como única incógnita hps:

λ [ cot∝d h ps2

2+(ht−hps ) . cot∝d hps ] . dt=¿

k (h ps−h3 )(1+ ln( h ps

hps−h3)) tan∝

En el siguiente paso se separan las variables t y hps y se despreciará el volumen del triangulo EFC por facilidad matemática. Para este paso también se remplazara en las ecuaciones la variable “hps” por “

h'ps”, esto para no tener confusión a la hora de

realizar la integral.

−∫0

tk tan2∝

λdt=¿¿

∫h2

hps

[ (h t−h'ps )

(h'ps−h3)(1+ ln( h'

ps

h'ps−h3

)) ]d h'ps13

Para el caso de desembalse inmediato el término h3 se puede despreciar, simplificando la ecuación de la siguiente forma:

−k . tλ

tan2∝=∫h2

hps

( ht−h'ps

h'ps

)d h 'ps 14

Resolviendo:

−k . tλ

tan2∝=∫h2

hps

( ht−h'ps

h'ps

)d h 'ps=¿

∫h2

hps

( ht

h'ps

−1)d h'ps=¿ [h t . ln (h'

ps )−h'ps]h 2

hps=¿¿

[h t . ln ( hps )−h ps ]−[ht . ln ( h2 )−h2 ]=¿ht [ ln (hps )−ln (h2 ) ]−hps+h2

−k . tλ

tan2∝=ht . ln( h ps

h2)−hps+h2

k .tλ

tan2∝+h t . ln( hps

h2)−hps+h2=015

La solución de esta ecuación analíticamente no es posible, para su solución se utiliza el método de interacción de Newton-Raphson:

hps

¿∗¿=hps¿ −

f (h ps¿ )

f ' (hps¿ )

16 ¿

Para el cual el f (hps¿ ) es la ecuación 15, f ' (h ps

¿ ) es

su derivada, hps¿

será el valor con el que se haga la

iteración yhps¿∗¿¿

será el valor iterado.

hps

¿∗¿=hps¿ −

[ k .t .tan2 αλ

+ht ln(h ps¿

h2 )−hps¿ +h2]

[ 1h ps

¿ −1]17 ¿

De esta forma se halla la altura del nivel freático para un determinado tiempo en el caso que se trabaje con un desembalse inmediato.

b) Desembalse En Forma Constante

Para este caso el procedimiento es parecido al anterior, pues hay que hallar el valor de la altura del nivel freático para un determinado tiempo (hps), pero en este caso, como el desembalse es en forma gradual, no se supone h3 como cero, lo cual implica una mayor dificultad matemática.Utilizando nuevamente la ecuación Pavlovskii (ecuación 12):

Q=−k (hps−h3 )(1+ln ( hps

hps−h3)) tan∝

El cálculo de volumen de agua se podrá hallar mediante el grafico 2.3 b, despreciando el volumen del triangulo EFC por facilidad matemática.

dV =λ [ (h t−hps ). cot∝ . dhps ]=Q .dt

Resolviendo:Q .dt

λ .cot∝=( ht−hps ) . d hps

Q. dt . tan∝λ

−( ht−hps ) . dh ps=0 18

El caudal que aparece en la ecuación 18 será el valor de la ecuación 12.Una vez más esta ecuación no se puede solucionar en forma analítica; así que se utiliza de nuevo el método del Newton-Raphson, con la misma nomenclatura, solo que ahora la variable será d hps .

d hps

¿∗¿=d hps¿ −

f (d hps¿ )

f ' (d hps¿ )

19¿

d hps

¿∗¿=d hps¿ −

Q .dt . tan∝λ

−( ht−hps ) . dhps¿

ht−hps

20¿

Obteniendo en forma iterativa así el valor de d hps y una vez obtenido este, se puede calcular la altura del fluido en un determinado tiempo:

Para el primer incremento:hps (0+Δt )=ht−d hps21

Transcurrido un tiempo “t”:hps ( t+ Δt )=hps (t )−d hps22

2) Procedimiento 2 (Flujo Con Componente Horizontal Y Vertical)

Solución de la ecuación general del flujo de agua subterránea

Para un caso más realista, donde el flujo tiene una componente vertical y no solo horizontal como se planteaba en el procedimiento anterior, se tendrá el siguiente caso, en el cual se plantea que exista una condición de estabilidad aguas arriba y aguas abajo en la presa, con un nivel freático dentro del talud igual al nivel del embalse en condición inicial.

Figura 2.5. Discretización del medio para los dos casos de taludes estudiados

Para la ilustración anterior se tendrán tres tipos diferentes de nodos, el primero, los intermedios y el último nodo, para este caso hay que discretizar los nodos, para esto se recomienda utilizar un valor máximo de 100 nodos, pues con un número mayor de nodos la diferencia se hace mínima y por lo tanto absurda para trabajar. El valor de la carga hidráulica en la posición de los nodos después de”n+1” será la misma posición de la línea freática, en cambio la carga hidráulica para los nodos de “n+1” hasta el ultimo nodo será desconocida, cuyo valor se obtendrá mediante la resolución de la ecuación

característica de flujo. La ecuación general de cada nodo puede escribirse de la siguiente manera:

Recordando la ecuación 9:

∂ h∂ t

= k .hλ ( ∂2h

∂ x2 )Expresando la ecuación 9 en términos de diferencia finitas:

hi ,t+1−hi ,t

Δt=( k

λ ) [ (1−θ ) . hi , t+θ . hi ,t+1 ] .1

Δ x2¿

θ (hi−1 ,t+1−2hi , t+1+hi+1 , t+1 ) ]23

Despejando:

hi , t+1−hi ,t=( k . Δt

λ . Δ x2 )[ (1−θ ) hi ,t+θ .h i ,t+1 ] .¿

θ (hi−1 ,t+1−2hi , t+1+hi+1 , t+1 ) ]Suponiendo:

β=( k . Δt

λ . Δ x2 )h¿=[ (1−θ ) . hi ,t+θ . hi , t+1 ]Por lo tanto:

hi ,t+1−hi ,t

β=h¿¿

θ (hi−1 ,t+1−2hi , t+1+hi+1 , t+1 ) ]24

Donde los valores β y θ son constantes, las cuales

βse pude tomar igual a 1/6 y θ de 1/2 según Crank-Nicholson (Desai Ch., 1974).

Ecuación de primer nodo:

Para el primer nodo hi-1,t = h3 y hi-1,t+1 = h3 (h3 = nivel del embalse para el tiempo t).

hi , t+1 (−2 θβ h¿−1 )+h i+1 ,t+1 (θ .β .h¿)=¿

h¿ . β . [−h3+2 hi ,t−hi+1 ,t+θ . (−2 hi , t+hi+1 ,t ) ]−hi , t 25

Ecuación para el nodo “n+1”:

Para el nodo “n+1” el valor hi−1 , t+1 se hallara determinado el punto de salida del nivel freático en la cara del talud para un determinado tiempo.

hi , t+1 (−2 θβ h¿−1 )+h i+1 ,t+1 (θβ h¿ )=¿h¿ . β .¿

θ (hi−1 ,t−2hi ,t +hi+1 ,t ) ]−hi , t−hi−1 ,t+1 (θβ h¿) 26

Ecuación para los nodos intermedios:

hi−1 , t+1 (θβ h¿)+hi , t+1 (−2θβ h¿−1 )+¿hi+1 ,t+1 (θβ h¿)=h¿ . β .¿

θ (hi−1 ,t−2 hi ,t +hi+1 ,t ) ]−hi , t 27

Ecuación para el último nodo:El último nodo hi-1,t = hi+1,t y hi-1,t+1 = hi+1,t+1 (se tendrá en cuenta la presencia de la frontera vertical, simulara la línea divisoria de agua, pues ahí habría un cambio en el sentido de flujo).

hi−1 , t+1 (2 θβ h¿ )+hi ,t+1 (−2θβ h¿−1 )=¿2 h¿ . β . [−h i−1 , t+hi , t+θ (h i−1 , t−hi ,t ) ]−h i ,t 28

Mediante la ley de Hooke se planteará el siguiente sistema de ecuaciones:

[ K ]np∗np∗[ ht+1 ]np=[ F ]np29

Donde [ht+1 ]np es e vector de incógnitas para el

nivel de tiempo t+1, [ K ]np∗np es la matriz de rigidez

del sistema de ecuaciones y [ F ]np es el vector de término independiente.

La matriz de rigidez se expresa de la siguiente manera:

El vector de términos independientes se expresa de la siguiente manera:

Para la matriz [ K ]np∗np hay que eliminar las filas y columnas de los nodos donde el valor de h sea desconocido, o sea, los nodos que estén después del nodo “n+1”, incluyendo a este ultimo. Lo mismo se hará para el vector [ F ]np.

Los valores de h para t+1 se calcularan con la propiedad de solución que posee la matriz inversa, capaz de solucionar un sistema de ecuaciones:

[ht+1 ]npm=[ K ]npm∗npm−1 ∗[ F ]npm 32

Pero Para poder aplicar la ecuación 32 primero hay que observar que el valor h¿(el valor que hace que la ecuación no sea lineal) es todavía desconocido, por lo tanto mediante un método iterativo se calculara de forma aproximada este valor, en este caso no se utilizara el método de Newton-Raphson, si no que se hará mediante el método de mínimos cuadrados, pues este asegura el hallazgo de una solución aproximada. Los pasos a seguir son:

1) Se supone un valor de h¿, que será el valor supuesto, para hacer la iteración.2) Se remplazará el valor de h¿ en el sistema de ecuaciones planteadas con este valor.

3) Se calculará el valor de “ h¿∗¿¿ ”, que mas adelante nos servirá para realizar la iteración; este valor se calcula mediante la expresión;

h¿∗¿=(1−θ) .hi , t+θ . hi , t+1 33¿

Con los valores de h calculado en el paso

4) Teniendo estos dos valores para analizar, realizamos una grafica de h¿∗¿¿ vs h¿ , pudiendo apreciar la diferencia de estas variables, en este caso se puede interrelacionar las dos variables mediante la ecuación de una recta por medio de una constante b.

hi¿∗¿=b .hi

¿34 ¿

El valor de b representa la pendiente de la recta que relaciona las variables h* y h**, la cual se halla mediante el concepto de mínimos cuadrados.

∑ ¿¿¿

∂¿¿¿

Para hallar la solución de la iteración hi¿∗¿¿

= hi¿

∑−2¿¿

2 b .∑ (hi¿ )2−2.∑ ¿¿

b=∑ ¿¿¿

El valor la ecuación 35 se hallara de forma iterativa con el valor de hi

¿ que a su vez también se hará con

la ecuación 34, que también será hallada con hi¿y

solamente se terminara el procedimiento hasta que se asegure un margen de error de b=1 ±0.01.

Una vez conocido los valores de h (carga hidráulica) para un tiempo t+1, se calculara el punto de salida del flujo hps y se repetirá el procedimiento anterior.

C.

D. Características Del Análisis De Estabilidad De Taludes Usando El Criterio De Falla Tipo

Espiral Logarítmico

El método que se escogió para analizar la estabilidad de talud fue el método propuesto por Nilmar Janbu en 1970, que consiste en discretizar el medio con tajadas o dovelas, ya que la discretización del talud, permite observar las fuerzas internas que actúan sobre la dovela, las cuales son las detonantes de la presunta inestabilidad del talud; además este método ha sido comprobado por su eficacia a la hora de abordar esto tipos de problemas.

Nomenclatura de Fuerzas sometidas a la dovela

● Fne=Fuerza hidrostática producida por el nivel del embalse durante el proceso de desembalse (en el caso de desembalse rápido).● E = Empuje normal entre tajadas. Se ha contemplado que la línea de acción de empujes entre tajadas esté ubicada a un tercio de la altura de la tajada, dicha distancia ha sido escogida teniendo en cuenta las experiencias de trabajos previos donde se ha trabajado con fuerzas entre tajadas para análisis de estabilidad (Janbu, N. 1970).● ΔE = Incremento de empuje entre tajadas.● Wt = Peso de la tajada.

● Ua y Up = Fuerzas producidas por la presión hidrostática ejercida por el agua sobre las paredes de la tajada.● Uw = Fuerza resultante de la presión de poros sobre la base de la tajada.● Cr’(Δx/cosαt) = Reacción resultante en la base de la tajada producida por la cohesión requerida del suelo.● R’ = Reacción resultante de las fuerzas normales efectivas y de las fuerzas cortantes friccionales.● No se tendrán en cuenta las fuerzas cortantes que hayan entre tajadas, debido a dos razones: la primera es que su valor se puede despreciar pues no afectan en gran medida el factor de seguridad; la segunda es que la solución matemática presentaría mayores dificultades (Basto C. X., 2005).

El método de análisis para evaluar la inestabilidad de un talud será mediante un método de tipo retrospectivo, el cual consiste en la obtención de los parámetros de resistencia requeridos para la ocurrencia de un tipo de falla determinado.

a) Falla baja (Falla 1): la superficie de falla es tangente a la parte inferior del talud e intercepta la cara del mismo en la abscisa correspondiente a un tercio (1/3) de la proyección horizontal de la altura del talud.

b) Falla intermedia (Falla 2): para este tipo de falla, la superficie de falla es tangente a la parte inferior del talud e intercepta la cara del talud en la abscisa correspondiente a dos tercios (2/3) de la proyección horizontal de la altura del talud.

c) Falla alta (Falla 3): la superficie de falla es tangente a la parte inferior del talud e intercepta la cara del talud en la abscisa correspondiente a la proyección horizontal de su altura (ht).

1) Procedimiento para generar una superficie de falla espiral logarítmico

El procedimiento de la falla tipo espiral logaritmo está basado en la configuración geométrica de las fallas del grafico 3.4; para su planteamiento, en primer paso se fijará el centro con coordenadas (Xo, Zo) de la superficie de falla en el punto o, y esto se hace suponiendo un valor N, que es el numero que indica los pasos que se tomaran en forma vertical ht/100 (ht es el valor de la altura total de la presa), con lo cual se supone Zo como se dijo, esto estará en el origen de la superficie (Punto o). Para cada ángulo de fricción que se vaya a utilizar, (F’r) se generará una superficie de falla y este será tangente a la pata del talud. La coordenada Xo se calculara con el valor de radio final de la superficie obtenida a partir de la distancia vertical N (ht/100). Una vez hecho esto se tendrá las coordenadas del centro y el valor de F´r se supondrá el valor de θ (ángulo entre el radio final y el inicial de la superficie) y con esto se calculará las coordenadas en el punto A del radio inicial de la superficie, Xesp y Zesp, esto se hará hasta que estos dos valores de coordenadas coincidían aproximadamente (Para Zesp seria la altura a la cara del talud y para Xesp seria la abscisa) El máximo valor posible para N será de 10000, por lo tanto el máximo valor Zo seria de 100ht.

El procedimiento anterior explicado en forma matemática está dado por:

a) Cálculo de las coordenadas del centro de falla a partir de un N supuesto.

X 0=rf (sen ϕ't )36 Zo=N ( ht

100 )37

b) Cálculo de la coordenada X βy X esp

X β=rf (sen ϕ't )38

X esp=rf (sen ϕ 't )−( rf

eθ . tan ϕ 't )cos (ϕ '

t−θ )39

c) Cálculo de la coordenada Zesp

Si X esp≤ X β

Zesp=r f (cos ϕ't )−( r f

eθ . tan ϕ't )cos (ϕ '

t−θ ) 40

Si X esp≥ X β

Zesp=r f (cos ϕ't )−( r f

eθ . tan ϕ't )cos (θ−ϕ '

t ) 41

Para ambos caso la respuesta es igual, pues

cos (ϕ 't−θ )=cos (θ−ϕ '

t )

d) Iterar los valores de X esp y Zesp con un

determinado ángulo θ (cuyo valor no podrá ser mayor de π) hasta que estos dos valores den aproximadamente igual a la abscisa y a la altura de la cara del talud del tipo de falla determinado respectivamente. Si el valor del ángulo llega a π y no converge, se deberá aumentar N, recordando que cuyo valor no poder ser mayor a 10000.

E. Procedimiento Para Desarrollar El Método De Análisis De Estabilidad

Como se comentó al principio, este método es retrospectivo, ya que trabaja con los parámetros de resistencia efectivos requeridos para una falla determinada y se comparan con los parámetros de resistencia del material con el que se vaya a trabajar, esto permite saber el tipo de falla que se podría llegar a presentar. Los parámetros de resistencia efectiva requeridos han sido denominados como Cr’ (cohesión efectiva requerida) y F’r (ángulo de fricción requerido) y los parámetros de resistencia disponibles del material como Cd’ (cohesión efectiva disponible) y F’d

(ángulo de fricción disponible).En este método se

calculará mediante un proceso iterativo el valor de la cohesión requerida para un valor de ángulo de fricción requerida, un tipo de falla y un tiempo durante o después de la ocurrencia del fenómeno de desembalse. Finalmente se obtiene una relación Cr’ – tanF’r la cual puede compararse con la relación Cd’ – tanF’d.

Los pasos a seguir para el análisis de estabilidad son los siguientes:

1) Tipo de falla. Lo primero que se hace es determinar el tipo de falla que se vaya a utilizar para determinar la geometría de la superficie de falla.2) Valor de F’r. Se supone un valor de falla determinado para calcular el valor de Cr’ y así obtener la relación Cr’ – tanF’r. El ángulo de fricción requerido (F’r) pude tomarse inicialmente como de 1° e ir aumentando de a un grado hasta un máximo de 45°.3) Suposición de Cr’ (Cr’ supuesto) Se supondrá un valor de Cr’ para que de forma iterativa se halle su valor real.4) Cálculo de ΔE y R’ Para la primera tajada y las intermedias, se considerará a la primera tajada como las más cercana a la abscisa donde termina la superficie de falla y la ultima tajada a la más cercana de la parte inferior del talud, dependido del tipo de falla que se vaya a utilizar.

Las incógnitas entonces a solucionar de la primera e intermedias tajadas serán ΔE y R’ para esto se hará equilibrio de fuerzas tanto vertical como de forma horizontal.

Equilibrio de fuerzas en el sentido vertical de la figura 3.3:

R' cos (αt−ϕ 't )−Fne .cos α−W t+¿

Uw . cosα t+C rsupuesto' .( Δx

cos αt). senα t=0

Despejando la reacción:

R'=Fne cosα+W t−Uw cosα t

cos (αt−ϕ 't )

−¿

Crsupuesto' . Δx . tan αt

cos (αt−ϕ 't )

42

Equilibrio de fuerzas en el sentido horizontal de la figura 3.3:

−R' sen (αt−ϕ't )+Fne . senα−Uw . sen αt+ ΔE

−U a+U p+Crsupuesto' . ( Δx

cos α t) . cosα t=0

Despejando el incremento de empuje:

ΔE=R ' sen (α t−ϕ 't )−Fne . sen α+U a+¿

Uw . sen αt−U p−Crsupuesto' . Δx 43

De esta manera se halla la reacción y el incremento del empuje para la primera e intermedias tajadas; inclusive para estos caso de fuerzas se podría considerar un empuje adicional, tanto en la primera (Empuje E1) como en la ultima tajada (Empuje E2), que podrían simular empujes adicionales como grietas de tracción de masas inestable del suelo o construcciones en la parte baja del talud.

5) Cálculo de R’ y Cr’ en la última tajada. Habiendo obtenido los valores de ΔE y R’ de las tajadas primera e intermedias, puede conocerse el empuje normal sobre la ultima tajada. Teniendo el valor de este empuje, entonces puede calcularse el valor de la cohesión requerida Cr’(el cual se representa como Crcal’) y el valor de la resultante de normales efectivas y de fuerzas de fricción R’, esto se obtiene haciendo equilibrio de fuerzas en la ultima tajada, tanto vertical como horizontalmente y no olvidando que hay que obtener el empuje adicional sobre esta tajada (E2).

Equilibrio de fuerzas en el sentido vertical de la figura 3.3:

R' cos (αt−ϕ 't )−Fne .cos α−W t+¿

Uw . cosα t+C rReal' .( Δx

cos αt) . senα t=0

Despejando la reacción:

R'=Fne .cos α+W t−U w . cos αt

cos (α t−ϕ 't )

−¿

CrReal' . Δx. tan αt

cos (αt−ϕ 't )

44

Asumiendo:

C1=Fne . cosα +W t−Uw . cosα t

cos (αt−ϕ't )

C2=Δx . tan α t

cos (α t−ϕ 't )

Por lo tanto:

R'=C1−C2. C rReal' → Ecuación A

Equilibrio de fuerzas en el sentido horizontal de la figura 3.3:

−R' sen (αt−ϕ't )+Fne . senα−Uw . sen αt−E+¿

E2−U a+C rReal' .( Δx

cosα t) .cosα t=0

Despejando la reacción:

R'=Fne senα−U w senα t+E2−E−U a

sen (α t−ϕ't )+C rReal

' . Δx

sen (α t−ϕ't )

45

Asumiendo:

C3=Fne senα−Uw sen αt +E2−E−U a

sen (αt−ϕ 't )

C4=Δx

sen (α t−ϕ 't )

Por lo tanto:

R'=C3+C4 .C rReal' → EcuaciónB

Igualando la ecuación A y la ecuación B:

R'=C1−C2. C rReal' ¿C3+C4 . CrReal

'

Despejando:

C rReal' =

C1−C3

C2+C4

46

Con el mismo procedimiento se obtiene R':

R'=C2 .C3+C4 . C1

C2+C4

47

6) Comparación de Crsup’ y Crcalc’ Habiendo encontrado el valor de Crcal’ o mejor dicho de Cr, (para el valor de F’r y el tipo de falla considerados) calculado a partir del valor de Crsup’, se realizara la comparación entre estos dos valores, aceptando un margen de error de +/- 0.01; si no es así, se volverá a repetir el procedimiento desde el punto 3.

7) Relación entre parámetros requeridos obtenidos y parámetros disponibles Después de encontrar el valor de Cr’ para un valor de F’r y un tipo de falla dado se podrá establecer la relación entre parámetros de resistencia efectivos requeridos y los parámetros de resistencia efectiva disponibles, esto se ve observando la grafica 3.7;recordando que (1° <F’r <45°).

Conociendo también la relación entre parámetros de resistencia efectiva disponibles del material que conforma el talud analizado, Cd’ - tanF’d, se puede establecer una relación entre parámetros requeridos y disponibles como también se puede ver en la Figura 3.7 (Bastos C. X., 2005). En la Figura 3.7 se pueden ver la relación Cr’ – tanF’r dada por la línea R-R’, el punto A definido por los parámetros

de resistencia efectivos disponibles del material y el punto B que corresponde a la intersección entre la línea AC (parámetros disponibles) y la relación Cr’ – tanF’r Teniendo en cuenta la similitud de los triángulos ADC y BFC, de la Figura 3.7, se puede decir que (Bastos C.X., 2005):

DCFC

= ACBC

=tan ϕ'

d

tan ϕ 'r

De esto se puede concluir que el valor de factor de seguridad para un tipo de falla dado y conjunto de acciones relativas a las condiciones impuestas por el flujo dentro del talud en el proceso de desembalse rápido esta dado por:

Factor de Seguridad=tan ϕ '

d

tan ϕ 'r

Teniendo en cuenta la posición del punto A respecto a la relación Cr’ – tanF’r,se puede tener una idea del potencia de inestabilidad, pues el factor de seguridad será mayor que 1 si el punto A esta encima de la línea que define la relación Cr’ – tanF’r y si es al contrario, que el punto A esta por debajo a la relación Cr’ – tanF’r el factor se seguridad será menor que 1, lo que permite saber la factibilidad de la falla del talud analizado.

F. DESARROLLO DEL MODELO EN PLAXIS

El modelo que se va presentar consiste en una presa que tendrá una rápida reducción en su nivel de agua que puede conducirlo a la instabilidad de su talud por las altas presiones intersticiales que permanecen en el interior de la presa. Para el análisis de esta situación se utilizara el método de elementos finitos calculando un flujo de agua subterránea transitoria y las presiones de poros resultantes de este análisis.

1) Geometría Del ModeloLa geometría de la presa será la siguiente

Grafica 4.1 Geometría de la Presa

El nivel freático previamente a la construcción de la presa estará a 10 metros por debajo de la superficie,

el subsuelo estará compuesto por arena limosa sobre-consolidada. Las dimensiones de la presa se tomaran como aparecen en la grafica 4.1 (rectángulo).

2) Propiedades De Los MaterialesLos datos de los materiales de la presa como el núcleo de arcilla, el material de relleno y el sub-suelo aparecen en la siguiente tabla.

PARAMETROS SIMBOLO NÚCLEORELLEN

OSUB-SUELO UNIDADES

Modelo del materialModelo del

materialMohr-

CoulombMohr-

CoulombMohr-

Coulomb-

Tipo de drenaje Tipo de drenaje Drenado Drenado Drenado -

Peso insaturado γ Insat 16 16 17Kn

m3

Peso saturado γ Sat 20 20 21Kn

m3

Modulo de Young`s Ε ´ 8000 20000 50000Kn

m3

Radio de Poisson`s υ´ 0.35 0.33 0.30 -

C ´ ref 5 5 10Kn

m3

Angulo de Fricción φ ´ 25 30 32 0

ψ 0 0 0 0

Permeabilidad K x , K y 0.0001 0.25 0.02md

Coeficiente inicial de presión de tierra K0 Automático Automático Automático -

Una vez que se halla dibujado y aplicado los materiales que aparecen en la tabla anterior se genera la malla para que el programa pueda generar los cálculos.

3) Proceso de Calculo en PLAXISEl proceso de cálculo en PLAXIS consistirá en una fase inicial y 9 fases más. En la primera fase se construye la presa. En la segunda fase el nivel de agua del embalse estará a la altura con la que ha sido diseñada que es de 25 metros, para esta situación la distribución de presión de agua es calculada usando un estado estacionario de flujo de aguas subterráneas. La tercera y cuarta fase parten de la anterior situación estándar(es decir, una presa con un embalse a 25 m) y el nivel de agua bajará a 5 metros; para esto se hará una distinción en el intervalo de tiempo cuando esto ocurra (es decir, en la fase 3 y 4 tendrán diferentes velocidades de

reducción del nivel de agua, en forma rápida y en forma lenta respectivamente).En la fase 5 también iniciará en la fase 2 y considerará el comportamiento a largo plazo de la presa en el nivel de 5 metros del embalse, lo que implica un calculo de aguas subterráneas en estado estacionario de flujo para que así se calcule la distribución de presión de agua. Finalmente, para las cuatro situaciones de presión de agua (fase 6 a fase 9) el factor de seguridad de la presa será calculada por medio de un análisis de seguridad.

En resumen este proceso conlleva a los siguientes a los siguientes pasos:

• El nivel de agua se mantiene a 25 m.• El nivel del agua baja rápidamente de 25 a 5 m.• El nivel de agua cae lentamente de 25 a 5 m.• El nivel de agua cae muy lentamente hasta 5 metros y permanece allí.

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