Aproximacion Eikonal: Optica Geometrica

Alfredo Luis Aina

Contenidos

1.- Condiciones de validez de la Optica geometrica

2.- Aproximacion de onda localmente planaTrayectorias para la luz: rayosEcuacion eikonalEcuacion de las trayectoriasDiscontinuidad de ındice: leyes de la refraccion y reflexionDemostracion del principio de FermatOptica geometrica: propagacion de la fase

3.- Lımite λ0 → 0 de las ecuaciones de MaxwellEcuacion eikonal y relaciones de ortogonalidadEcuaciones de transporte para intensidad y polarizacion

4.- Ejemplo: ondas Gaussianas escalaresComparacion de las soluciones ondulatoria y geometricaGeneracion practica de un rayoLımites de validez de la Optica geometrica

5.- Propagacion de discontinuidades

Resumen

El principal objetivo de este tema es situar correctamente la Optica geometricaen el contexto mas general de la Optica electromagnetica. La identificacion de laluz como un fenomeno electromagnetico es la descripcion mas completa y rigurosaque se conoce de los fenomenos opticos. Por tanto, la Optica electromagnetica debeincluir la Optica geometrica y todos los resultados derivados de ella. El primerobjetivo es descubrir como ocurre esto.En este tema nos vamos a fijar en la idea de Optica geometrica como una forma

de resolver aproximadamente el problema de la propagacion de la luz. Al finalsimplemente mencionaremos otro enfoque distinto en el que la Optica geometricaresulta ser la forma exacta en la que se propagan las discontinuidades del campoelectromagnetico.Entendida la Optica geometrica como una aproximacion, lo primero que debe-

mos hacer es especificar en que consiste la aproximacion y en que condiciones sepuede aplicar. La aproximacion se presenta de la forma mas sencilla e intuitivaposible mediante la idea de onda localmente plana. Esto nos permitira encontrarlos ingredientes basicos de la Optica geometrica y demostrar lo que en la asignaturaOptica I llamamos el principio de Fermat (principio por aceptarlo entonces comocierto sin demostracion) y que fue el punto de partida de dicha asignatura. Veremosque, desde el punto de vista electromagnetico, la Optica geometrica nos dice como sepropaga la fase de una onda armonica. Esto no resuelve completamente el problemade la propagacion de una onda armonica puesto que no nos dice como se propaga elvector amplitud compleja.Para responder a esta pregunta examinaremos brevemente un planteamiento de

la aproximacion geometrica mas formal y riguroso en el que se trabaja directa-mente sobre las ecuaciones de Maxwell. Ademas de recobrar lo obtenido mediantela aproximacion de onda localmente plana, este enfoque nos permitira averiguarcomo se propagan la intensidad y la polarizacion. Con esto iremos un poco maslejos de lo que usualmente se entiende por Optica geometrica.Para ilustrar la relacion entre Optica geometrica y ondulatoria estudiaremos la

propagacion de ondas Gaussianas escalares, comparando las predicciones de ambosformalismos. Ademas de una excelente ilustracion de los rangos de validez de laOptica geometrica, este ejemplo nos permitira examinar de forma muy sencilla lacuestion de la posible existencia en la practica de trayectorias para la luz.

1.- Condiciones de validez de la Optica geometrica

Con el fin de tener presentes los objetivos de este tema, podemos recordar breve-mente las ideas basicas que componen la Optica geometrica.Los ingredientes con los que se suele construir la Optica geometrica son la idea

de trayectorias de luz y la del ındice de refraccion como variable que determina lastrayectorias que son posibles vıa el principio de Fermat. Cuando no hay discon-tinuidades de ındice el principio de Fermat nos da la ecuacion de las trayectorias.Por contra, frente a una discontinuidad de ındice obtenemos que los rayos han deobedecer las leyes de la refraccion y reflexion.

RayosIndice derefraccion

Camino opticoPrincipio de Fermat

Indice continuo:ecuacion de las trayectorias

Discontinuidad de ındice:refraccion y reflexion

De acuerdo con el proyecto docente presentado, los alumnos ya conocen el origenelectromagnetico del ındice de refraccion por lo que los objetivos ahora son, enprimer lugar ver que la idea de trayectorias para la luz es compatible con la Opticaelectromagnetica y, en segundo lugar, demostrar el principio de Fermat. Para ellodemostraremos que en regiones sin discontinuidades de ındice los rayos verifican laecuacion de las trayectorias mientras que en las discontinuidades se verifican lasleyes geometricas de la refraccion y reflexion.

Entendida como una aproximacion, la Optica geometrica tendra validez o darabuenos resultados siempre que se verifiquen ciertas condiciones. Por sencillez y parafijar ideas pensaremos siempre en medios isotropos (posiblemente inhomogeneos) yen ondas armonicas que escribiremos en la forma 1

~E(~r, t) = ~A(~r ) ei(S(~r )−ωt).

Recordemos que la posibilidad de hablar de un parametro como el ındice derefraccion descansa en la verificacion de la desigualdad

λ0 À d,

donde d representa la separacion tıpica entre los constituyentes microscopicos delmedio (atomos, moleculas, etc.) y λ0 es la longitud de onda en el vacıo. Graciasa esta desigualdad podıamos promediar la ecuaciones de Maxwell microscopicaspara obtener las ecuaciones macroscopicas y en ultimo termino describir la materiamediante unos pocos parametros.

La posibilidad de utilizar la Optica geometrica descansa en anadir una desigual-dad similar pero de sentido opuesto

DÀ λ0 À d,

donde D representa la escala de longitud tıpica en la que n, ~A o ∇S varıan aprecia-blemente. En otras palabras, vamos a suponer que es necesario desplazarse muchaslongitudes de onda para que estas magnitudes cambien apreciablemente.

1S se supone real. Eikonales complejas pueden encontrarse en Guiding, Diffraction and Confine-ment of Optical Radiation, Solimeno, Crosignani y Di Porto, sec. II.7, pag. 63. Medios debilmenteabsorbentes han sido estudiados por Kravtsov y Orlov, Geometrical Optics of Inhomogeneous Me-dia, sec. 2.3.7, pag. 28.

Es importante observar que estas condiciones hacen referencia tanto a la ondacomo al medio en el que se propaga.

Un ejemplo ilustrativo que demuestra que no es difıcil satisfacer simultaneamenteestas dos desigualdades es

D = 0.5mmÀ λ0 = 0.5µmÀ d = 0.5 nm

donde hemos considerado un valor paraD que pudieramos decir que es macroscopica-mente pequena y d la hemos tomado del orden de magnitud de los tamanos atomicos.Por un lado las longitudes de onda de la luz son muy grandes comparadas con losatomos y la separacion entre atomos. Pero por otro lado son lo suficientementepequenas desde el punto de vista macroscopico como para que las condiciones devalidez de la Optica geometrica puedan satisfacerse en un numero muy elevado desituaciones.

No obstante estas condiciones excluyen en una primera aproximacion las siguien-tes situaciones.Quedan descartados medios fuertemente absorbentes, como los metales, ya que

en ellos la amplitud de la onda decrece exponencialmente anulandose al cabo deunas pocas longitudes de onda. Por ello en todo lo que sigue pensaremos siempreen medios transparentes.Por razones similares no podemos incluir la onda evanescente que aparece en

reflexion total.Tambien tenemos que excluir las proximidades del centro de las ondas esfericas

debido a la fuerte variacion de la amplitud en distancias muy pequenas. Por lamismas razones y de forma mas general debemos excluir las proximidades de lascausticas 2.

2En particular tenemos que excluir los lugares del espacio donde se este formando una imagen.

2.- Aproximacion de onda localmente plana

Para imponer apropiadamente la condicion que acabamos de comentar, en tornoa cada punto ~r del medio vamos a considerar un cierto volumen V que sea macros-copicamente pequeno pero grande en comparacion con λ0, es decir D

3 À V À λ30.Con ~r denotaremos la posicion del volumen V mientras que la variable ~r 0 recorre

los puntos de V de modo que ~r 0 + ~r ∈ V . Por hipotesis, ~A(~r ) y ∇S(~r ) varıan pocoen V , lo que permite hacer las aproximaciones

~A(~r + ~r 0 ) ' ~A(~r ),

S(~r + ~r 0) ' S(~r ) +∇S · ~r 0,

y despreciamos terminos superiores que irıan con las derivadas de ~A y ∇S que, porhipotesis, suponemos que son suficientemente pequenas. Con todo esto, en V laonda se puede aproximar por

~E(~r + ~r 0, t) ' ~A(~r ) eiS(~r )ei(∇S(~r )·~r0−ωt).

Lo que estamos haciendo es aproximar ~E en el entorno V por una onda plana deamplitud ~A(~r ) eiS(~r ) y vector de ondas ~k(~r ) = ∇S(~r ), magnitudes ambas que sonconstantes en V .

Tenemos entonces una onda aproximadamente plana que se esta propagando enun medio aproximadamente homogeneo puesto que por hipotesis n(~r + ~r 0 ) ' n(~r ).Sabemos que para una onda plana en un medio homogeneo la fase y la energıase propagan en la direccion del vector de ondas ~k con lo que no hay ambiguedadninguna al afirmar que la onda en el entorno V se propaga en la direccion ~k. Depaso podemos recordar que para ondas armonicas planas ~E, ~H y ~k son mutuamenteperpendiculares.

Puesto que ni el medio es globalmente homogeneo ni la onda es globalmenteplana, el vector amplitud compleja y el vector de ondas de esta aproximacion sondistintos en puntos suficientemente alejados.

Con esto ya podemos perfilar la idea de trayectoria de luz o rayo como la propa-gacion de una seccion transversal infinitesimal del frente de ondas, que en cada punto~r es una onda aproximadamente plana propagandose en la direccion ~k(~r ) = ∇S(~r ).Es importante destacar dos conclusiones que van a ser importantes para lo que

sigue. El vector de ondas es tangente en cada punto a la trayectoria, porque es ladireccion en la que se propaga la onda en cada punto. Por la misma razon los rayosson siempre perpendiculares a los frentes de onda.

Tras establecer lo que entenderemos por trayectoria de luz o rayo vamos a pre-guntarnos por las trayectorias que son posibles y como dependen del medio en elque se propaga la onda.Como ~k = ∇S es un vector de ondas de una onda armonica plana en un medio

homogeneo, sabemos por las ecuaciones de Maxwell macroscopicas que

~k 2 = (∇S)2 = k20n2, siendo k0 =2π

λ0=ω

c.

Llegados a este punto es usual redifinir la fase S de forma que no aparezca k0 en laecuacion anterior

S = k0L

con lo que~k(~r ) = k0∇L(~r )

y(∇L)2 = n2.

Esta ultima se conoce con el nombre de ecuacion eikonal y es la que debe verificarL(~r ) si ha de describir la fase de una onda armonica en esta aproximacion. Enlo que sigue nos referiremos a L(~r ) indistintamente como fase, funcion eikonal osimplemente eikonal. Incidentalmente, la palabra eikonal tiene el mismo origengriego que la palabra icono y significa imagen.

Nuestro objetivo es demostrar que las trayectorias de luz verifican la ecuacion

d

ds

Ãnd~r

ds

!= ∇n,

donde s es el parametro arco. Para demostrarlo no tenemos mas que escribir lo queya hemos averiguado con respecto a los rayos, esto es que el vector unitario tangentea la trayectoria ~t es proporcional a ~k, que ~k es proporcional al gradiente de L y que|∇L| = n,

~t =d~r

ds=~k

|~k| =1

n∇L,

con lo que

nd~r

ds= ∇L.

Derivando con respecto al parametro arco

d

ds

Ãnd~r

ds

!=d

ds∇L = ∇

ÃdL

ds

!.

Finalmente, por calculo directo

dL

ds= ∇L · d~r

ds=1

n(∇L)2 = n,

con lo que hemos demostrado la ecuacion de las trayectorias.

Para demostrar el principio de Fermat en toda su generalidad solo falta examinarlo que ocurre en una discontinuidad de ındice. Es decir, en su propagacion la ondaencuentra una superficie Σ que separa dos medios, en general inhomogeneos, dedistinto ındice.

Es importante darse cuenta de que en la superficie discontinuidad no se verifica lavariacion lenta del ındice de refraccion que es necesaria para la validez de la Opticageometrica. Esto es debido a que se produce un salto finito de ındice en distanciasde orden atomico y por tanto mucho menores que la longitud de onda. Suponiendoque podemos hacer Optica geometrica a un lado y a otro de la discontinuidad, lasolucion al problema consiste en empalmar correctamente la propagacion a un ladoy otro de la superficie. Para hacer ese casamiento debemos retornar a la Opticaelectromagnetica, en particular a lo que sabemos sobre refraccion y reflexion cuandouna onda armonica plana incide sobre una superficie plana Σ que separa dos medioshomogeneos.La forma en la que solucionabamos el problema era imponiendo la condiciones de

contorno en la discontinuidad para ~E y ~H. Por la propia forma de estas condicionesobtenıamos que una onda armonica plana incidente genera una onda plana reflejaday otra transmitida. Ademas la proyeccion del vector de ondas sobre la superficiedebe ser continua

~k · δ~r = ~k 0 · δ~r = ~k 00 · δ~r, ∀ δ~r ∈ Σ,donde δ~r es un vector cualquiera en el plano Σ y ~k, ~k0, ~k00 son los vectores de ondade la onda incidente, transmitida y reflejada respectivamente.La relacion que acabamos de establecer entre rayos y ondas planas nos permite

trasladar estos resultados a la Optica geometrica interpretando estas igualdadescomo validas localmente. Un rayo incidente genera un rayo reflejado y otro re-fractado que obedecen las relaciones anteriores reemplazando vectores de onda porvectores tangentes

n~t · δ~r = n0~t 0 · δ~r = n~t 00 · δ~r, ∀ δ~r ∈ Σ,o, equivalentemente,

n~t× ~N = n0~t 0 × ~N = n~t 00 × ~N.

Estas ecuaciones expresan de forma compacta las leyes geometricas de la refracciony reflexion. Ahora estas leyes son de validez mas general que las anteriores ya que losmedios a un lado y otro de la discontinuidad pueden ser inhomogeneos y la superficiede discontinuidad no es necesariamente plana. Solo se necesita que la superficie seaaproximadamente plana y los medios aproximadamente homogeneos en distanciassuficientemente mayores que λ0.

Con todo esto ya podemos demostrar el principio de Fermat en toda su general-idad incluyendo discontinuidades de ındice. Para ello computamos el camino opticoentre dos punto posiblemente en sendos medios separados por una discontinuidadde ındice. Calculamos el camino como dos contribuciones, una hasta la superficie yotra despues de la superficieZ B

Ands =

Z P

Ands+

Z B

Pnds.

Aplicando el mismo calculo variacional que usamos en Optica I a estas dos con-tribuciones y teniendo en cuenta que el extremo P sobre la superficie tambien ha deser variado obtenemos

δZ B

Ands =

Z B

Ads

Ã∇n− d

ds

³n~t´!

δ~r +³n~t− n0~t 0

´Pδ~rP ,

donde el ultimo termino aparace debido a la discontinuidad de ındice. Vemos deforma inmediata que la verificacion de la ecuacion de las trayectorias y de las leyesde la refraccion y reflexion equivalen a la validez del principio de Fermat.

Ecuacion delas trayectorias

+leyes de la refracciony reflexion

=⇒ Principiode Fermat

Esto concluye la inclusion de la Optica geometrica en la Optica electromagnetica.

Antes de continuar vamos a recapitular, examinando lo que hemos hecho desde elpunto de vista de una descripcion electromagnetica de la luz, esto es la luz como unaonda vectorial. Lo que hemos hecho hasta ahora ha sido resolver la propagacion dela fase de una onda armonica dentro de la aproximacion geometrica. Al demostrarla ecuacion de las trayectorias vimos que

dL

ds= n,

ecuacion que liga directamente la fase con el camino optico.Entre otras cosas esta ecuacion nos dice que si conocemos el valor de la fase

(eikonal) sobre una superficie Σ, podemos calcular el valor de L en todo punto ~r delespacio computando el camino optico a lo largo del rayo que une ~r con un punto ~r0de la superficie

L(~r ) = L(~r0) +Z ~r

~r0n [~r(s)] ds.

Hay que tener en cuenta que el punto ~r0 depende de ~r y las condiciones iniciales delrayo han de verificar que

∇L(~r0 ) · δ~r0 = n0~t0 · δ~r0para todo δ~r0 tangente a Σ en ~r0, siendo ~t0 es el vector tangente al rayo en ~r0 y n0el ındice de refaccion en ~r0. Esta condicion no es mas que la ortogonalidad del rayoal frente de ondas en ~r0.

Dicho de otra forma, resolver la ecuacion de las trayectorias es una forma deresolver la ecuacion eikonal, esto es, la propagacion de la fase en la aproximaciongeometrica.

Para demostrar este resultado completamente computamos

δL(~r ) = δL(~r + δ~r )− δL(~r ) = ∇L(~r ) · δ~r.

Aprovechando lo que sabemos del calculo variacional y teniendo en cuenta que ~r(s)es solucion de la ecuacion de las trayectorias llegamos inmediatamente a que

δL = ∇L(~r0 ) · δ~r0 + n~t · δ~r − n0~t0 · δ~r0,

donde n y ~t son el ındice de refraccion y el vector tangente en ~r y hemos tenido encuenta que ~r0 es funcion de ~r y por lo tanto ha de ser variado tambien. Teniendoen cuenta la condicion inicial para el rayo en ~r0 tenemos que

δL(~r ) = n~t · δ~r,

con lo que ∇L = n~t y (∇L)2 = n2, que es lo que querıamos demostrar.

En definitiva, hemos demostrado que la ecuacion de las trayectorias es equivalentea la ecuacion eikonal y que fase equivale a camino optico en esta aproximacion.

ecuacion de las trayectorias⇔ ecuacion eikonal,

fase L(~r )⇔ camino opticoZnds.

Mas adelante en el curso de Optica II recurriremos a esta relacion para calculardiferencias de fase como diferencias de camino optico en problemas puramente on-dulatorios como son los relativos a la interferencia.

Si contemplamos el problema de la propagacion de la luz desde el punto de vistaelectromagnetico, esto es la luz como una onda vectorial (por ejemplo armonica)

~E(~r, t) = ~A(~r )ei(k0L(~r)−ωt),

para obtener una solucion completa del problema de la propagacion de la luz todavıafaltarıa resolver como se propaga la amplitud compleja ~A(~r ), esto es decir comose propagan la energıa y la polarizacion. Para responder a estas preguntas debe-mos examinar el problema empleando un formalismo mas completo involucrandoexplıcitamente las ecuaciones de Maxwell macroscopicas.

3.- Lımite λ0 → 0 de las ecuaciones de Maxwell

La forma de obtener la mayor cantidad posible de informacion sobre la propa-gacion de la luz es acudiendo a las ecuaciones de Maxwell. Recordemos que lasecuaciones de Maxwell para ondas armonicas en el seno de un medio isotropo (posi-blemente inhomogeneo) son

∇³ε ~E´= 0, ∇

³µ ~H

´= 0,

∇× ~E = iµck0 ~H, ∇× ~H = −iεck0 ~E.En el apartado anterior hemos visto que la Optica geometrica aparece en el lımiteen el que λ0 es mucho menor que las longitudes caracterısticas del medio y dela onda. Otra forma de expresar lo mismo es diciendo que la Optica geometricaaparece en el lımite en el que λ0 → 0 o, equivalentemente, 1/k0 → 0 (para ser masprecisos dirıamos λ0/D → 0 donde D es la distancia caracterıstica del problemaintroducida en secciones anteriores). Esto puede aprovecharse para buscar solucionesaproximadas de las ecuaciones de Maxwell planteando un desarrollo en serie de loscampos de la forma 3

~E(~r, t) =∞Xm=0

1

km0~Em(~r ) e

i(k0L(~r )−ωt),

~H(~r, t) =∞Xm=0

1

km0~Hm(~r ) e

i(k0L(~r )−ωt),

de los que, en el lımite λ0 → 0, solo estaremos interesandos en el primer termino.Llevando esta series a las ecuaciones de Maxwell e igualando terminos de la mismapotencia en 1/k0 se obtiene una serie de ecuaciones (para lo que se supone que todaslas otras magnitudes involucradas ya no tienen dependencia alguna en k0

4). Estaecuaciones se resuelven empezando desde el orden (1/k0)

0 hasta el orden (1/k0)m

que sea necesario. En nuestro caso va a ser sufiente considerar los dos primerosordenes solamente.

Para el orden (1/k0)0 se obtiene

~E0 ·∇L = 0, ~H0 ·∇L = 0,

∇L× ~E0 − µc ~H0 = 0, ∇L× ~H0 + εc ~E0 = 0.3Sobre series asintoticas se puede consultar: Guiding, Diffraction and Confinement of Optical

Radiation, Solimeno, Crosignani y Di Porto, sec. II 2, pags. 50-52, donde tambien se comentala posibilidad de un desarrollo en serie de potencias en 1/k0 de S(~r ); Geometrical Optics ofInhomogeneous Media, Kravtsov y Orlov, sec. 2.1.5, pag. 8-9; Mecanica Cuantica, Galindo yPascual, sec. 9.2, pag 390.

4La dependencia simple en k0 de la exponencial compleja es en definitiva una hipotesis simpli-ficadora

Estas ecuaciones son identicas a las ecuaciones que verifica una onda armonica planaen un medio homogeneo con vector de ondas proporcional a ∇L. En definitivatenemos que ~E0, ~H0 y ∇L son mutuamente perpendiculares y ∇L ha de verificar lacondicion

(∇L)2 = n2,donde n =

q²µ/²0µ0, que es precisamente la ecuacion eikonal.

El orden (1/k0)0 nos da exactamente la misma informacion que la aproximacion

de onda localmente plana siendo ~E0(~r ) la amplitud que antes habıamos llamado~A(~r ). Puede observarse que este orden (1/k0)

0 no nos dice como se propaga la

amplitud ~E0(~r ). Para responder a esa pregunta tenemos que pasar a un ordensuperior.

Con este fin, en lugar de utilizar las cuatro ecuaciones de Maxwell separadamentees mucho mas comodo utilizar la ecuacion de ondas vectorial para ondas armonicasque de ellas se deriva

1

k20∇2 ~E + n2 ~E + 2

k20∇µ1

n~E ·∇n

¶= 0,

donde por sencillez hemos considerado el caso muy frecuente en Optica en el que µes constante. De hecho en la mayor parte de los casos dicha constante coincide conla permeabilidad magnetica del vacıo µ ' µ0. En esta ecuacion de ondas el ultimotermino proviene de que el medio puede ser inhomogeneo.Si en esta ecuacion de ondas hacemos el desarrollo de ~E en serie de potencias de

1/k0 y agrupamos segun potencias de 1/k0 tenemos que el primer orden (1/k0)0 es

de nuevo la ecuacion eikonal mientras que el siguiente orden (1/k0)1 es

nd~E0ds

+1

2(∇2L) ~E0 + 1

n

³~E0 ·∇n

´∇L = 0.

Esta ecuacion expresa como varıa ~E0 a lo largo de un rayo y por esa razon sedenomina ecuacion de transporte 5. Es conveniente resaltar que esta es una ecuacionpara el orden (1/k0)

0 del campo electrico, el orden mas bajo.

Como sabemos que ~E0 representa a la vez la intensidad y la polarizacion delcampo vamos a desdoblar esta ecuacion en dos, una para la intensidad y otra parala polarizacion. Para ello expresamos ~E0 en la forma

~E0(~r ) = | ~E0|~u,

donde |~E0| es un escalar y ~u es un vector unitario complejo ~u ∗ · ~u = 1.5Petrov (Phys. Lett. A vol. 234, pag. 239 (1997)) denomina al ultimo termino de esta ecuacion

acoplamiento spin-orbita.

Teniendo en cuenta que

d| ~E0|2ds

= ~E∗0 ·d ~E0ds

+ ~E0 · d~E∗0ds,

se llega facilmente a la ecuacion de transporte para el modulo de la amplitud

d| ~E0|ds

= − 12n(∇2L) | ~E0|,

cuya solucion es inmediata

| ~E0|(s) = |~E0|(0)e−R s0ds0(∇2L)/(2n).

Esta ecuacion nos dice como varıa | ~E0| a lo largo de un rayo

La evolucion de la amplitud tiene una sencilla interpretacion geometrica. Paraverla construimos un tubo de seccion infinitesimal y longitud ds a lo largo de unrayo de modo que sus paredes laterales sean trayectorias de luz. Las superficies quelimitan el tubo por sus extremos son normales al rayo y de areas dΣ(s) y dΣ(s+ds).

Podemos aplicar el teorema de Gauss a este tubo infinitesimalZd~Σ ·∇L =

ZdV ∇2L,

teniendo en cuenta que dV = dΣ ds, que |∇L| = n y que en la integral de superficieno hay contribucion de las paredes laterales del tubo porque ∇L es, por construcciondel tubo, perpendicular a la normal a las superficies laterales en cada punto. Contodo esto tenemos que

n(s+ ds)dΣ(s+ ds)− n(s)dΣ(s) = dΣ(s) ds∇2L,

con lo qued

ds(n dΣ) =

1

n(∇2L)n dΣ,

que es exactamente la misma ecuacion de evolucion que para¯~E0¯2pero con signo

opuesto. Uniendo entonces esta ecuacion a la de transporte de la amplitud tenemosque ¯

~E0¯2ndΣ ∝ h~S i · d~Σ = cte.

Recordando la expresion del promedio temporal del vector de Poynting podemosapreciar que esta ecuacion dice que el flujo de energıa es constante a lo largo de untubo de rayos 6. Se puede decir que la amplitud de la onda (que es proporcionalal flujo de energıa) resulta ser proporcional a la densidad de rayos. Si los rayos seacercan la amplitud de la onda aumenta y viceversa 7.

Seguimos estudiando la propagacion de la polarizacion. A partir de la ecuacionde transporte para el vector amplitud compleja, y teniendo en cuenta que

d ~E0ds

=d|~E0|ds

~u+ | ~E0|d~uds,

llegamos sin dificultad a la ecuacion para ~u

nd~u

ds+1

n(~u ·∇n)∇L = 0.

Esta ecuacion es equivalente a las siguientes

d~u

ds∝ ∇L, ∇L · ~u = n~t · ~u = cte.

La derivada de ~u solo tiene proyeccion sobre ∇L, es decir sobre la tangente ala trayectoria. Proyectando la ecuacion original sobre ∇L obtenemos la segundaecuacion, que representa la constancia de la proyeccion (no Euclidea) de ~u sobre elvector tangente. En nuestro caso la constante es nula, segun lo que sabemos de lasecuaciones de Maxwell en el orden (1/k0)

0.

6Esto tambien se deriva directamente de la condicion de transparencia ∇h~S i = 0.7De acuerdo con Solimeno, Crosignani y Di Porto, Guiding, Diffraction and Confinement of

Optical Radiation, sec. II. 5, pag. 59, las causticas se corresponden con ∇2L→ −∞, o equivalen-temente, dΣ→ 0.

Quizas la forma mas sencilla de resolver la ecuacion de transporte de la pola-rizacion sea utilizando un sistema de ejes propios de la trayectoria, el denominadotriedro movil. El triedro movil esta formado por tres vectores reales, unitarios ymutuamente perpendiculares. Estos vectores son el vector tangente ~t, el vectornormal principal ~m definido por la ecuacion

d~t

ds= κ~m,

donde κ es la curvatura (definida positiva), y el vector binormal ~b definido como~b = ~t× ~m.

Estos tres vectores cambian a medida que nos movemos en la curva segun lasecuaciones (llamadas ecuaciones de Frenet y que son facilmente demostrables a partirde la propia definicion de estos tres vectores)

d~t

ds= κ~m,

d~m

ds= −κ~t+ τ~b,

d~b

ds= −τ ~m,

donde τ es la torsion. La curvatura mide lo que se desvıa la trayectoria de ser unarecta mientras que la torsion mide lo que se aparta de ser una curva plana.Lo que vamos a hacer es escribir y resolver las ecuaciones de evolucion para las

componentes de ~u en esta base (movil) de vectores. Por la ecuacion de transportesabemos que ~u es siempre perpendicular a ~t con lo que

~u = um~m+ ub~b.

Ademas la derivada de ~u solo tiene componente tangencial

d~u

ds· ~m =

d~u

ds·~b = 0.

Teniendo esto en cuenta, las formulas de Frenet conducen a que

dumds

= τub,dubds

= −τum.

No es difıcil resolver estas ecuaciones siendo el resultado una rotacionÃum(s)ub(s)

!=

Ãcos θ sen θ−sen θ cos θ

!Ãum(0)ub(0)

!,

cuyo angulo es

θ =Z s

0τ (s0)ds0.

Esto quiere decir que la elipse de polarizacion mantiene su forma y lo unico quepuede ocurrir durante la propagacion es que la elipse gire.

En otras palabras, la onda experimenta lo que se conoce como actividad optica.Pero en este caso se trata de una actividad optica de origen puramente geometrico,puesto que solo depende de la forma de la trayectoria. No depende de la constituciondel medio ni de ningun ındice de refraccion y en particular es independiente de lalongitud de onda. Puesto que el giro de la elipse depende de la trayectoria se tendrancambios del estado de polarizacion distintos para distintos rayos, es decir para dis-tintos puntos del frente de ondas. Esto en particular implica cierta despolarizacionde origen geometrico en la propagacion en medios inhomogeneos. Mas estrictamentepodrıamos hablar de polarizacion inhomogenea o polarizacion no uniforme.Es importante advertir que esta rotacion de la elipse es relativa al triedro movil,

triedro que tambien se mueve a medida que la onda se propaga. De hecho, como seve en las ecuaciones de Frenet ~m y ~b tienden a girar a la misma velocidad pero ensentido opuesto al de ~u, con lo que el resultado neto es que ~u tiende a ser constanteintentando compensar con su rotacion el giro del triedro movil. No obstante en elcaso mas general la compensacion no es total como veremos inmediatamente en unejemplo particularmente sencillo.

Vamos a ver algunos casos particulares. Un caso muy interesante y frecuentees el de las curvas planas, que son todos los casos de medios estratificados (ındiceque solo depende de una coordenada) y medios con simetrıa esferica (ındice que solodepende de la distancia a un punto). Si la curva es plana, los vectores ~t y ~m estansiempre en el mismo plano que contiene a la curva, con lo que el vector binormal~b es constante y perpendicular a dicho plano y la torsion es nula. En tal caso laelipse de polarizacion es siempre la misma con lo que el estado de polarizacion esconstante.

Como ejemplo no trivial pero todavıa sencillo podemos considerar que la trayec-toria (el rayo) sea una helice circular como la representada en la figura

x = x0 cos(Ωz), y = x0 sen (Ωz),

donde x0 y Ω son constantes. Este tipo de trayectorias puede darse por ejemploen medios inhomogeneos con simetrıa cilındrica, como es el caso de algunas fibrasopticas de gradiente de ındice.

La helice circular tiene torsion constante

τ =Ω

1 + Ω2x20,

lo que simplifica notablemente el calculo de θ

θ =Ωs

1 + Ω2x20, y s =

q1 + Ω2x20 z.

Tras un paso de la helice, Ωz = 2π, el tiedro movil retorna a su posicion originalcon lo que el angulo

θ|paso =2πq

1 + Ω2x20

es realmente el angulo girado por la elipse de polarizacion repecto a unos ejes fijosen el espacio.

El sentido de giro de la elipse de polarizacion solo depende del signo de Ω. Esdecir, solo depende de si la helice es dextrogira o levogira y es independiente delsentido en el que se recorra, con lo que equivale a una actividad optica natural.Para hacernos una idea de los ordenes de magnitud involucrados tenemos que

para una helice de radio x0 = 1mm y una longitud de paso de 5mm, el angulo giradopor la elipse es θ|paso = 44 por paso de helice. Quiere decir esto que el efecto no espequeno siendo facilmente observable.Sin embargo no he encontrado verificacion experimental directa de este efecto.

No obstante si que es conocida una demostracion experimental de un efecto com-pletamente equivalente. El experimento, realizado en 1986 consistio en medir larotacion del plano de polarizacion de luz lineal propagandose en una fibra opticamonomodo 8 enrollada sobre un cilindro como muestra la figura.

Esta experiencia no es exactamente una realizacion experimental de la helice queacabamos de discutir puesto que en general no podemos usar la Optica geometricapara describir la propagacion de la luz en fibras opticas monomodo, debido entreotras cosas a su pequena seccion transversal. En este ejemplo el nucleo de la fibratenıa 2.6 µm de diametro. No obstante, calculos electromagneticos completos danel mismo resultado 9 que hemos obtenido aquı y que fue confirmado en la practicapor el experimento de la figura.

Incidentalmente, este montaje tuvo cierta repercusion puesto que fue la primeraobservacion experimental de lo que se conoce como fase de Berry, fase topologica otambien fase geometrica. Estos son desfases que pueden aparecer en la evolucion deun sistema y que no dependen en absoluto de la dinamica que genera la evolucion.Solo dependen del trayecto que ha seguido el sistema desde el estado inicial al final.La actividad optica que hemos encontrado es un caso particular de este tipo dedesfasajes de origen geometrico descubiertos en 1984.

8La fibra optica era de salto de ındice (0.6 %) con un nucleo de 2.6 µm de diametro.9siempre que la curvatura de la fibra sea suficientemente pequena, M. V. Berry, Nature vol.

326, pag. 277 (1987).

En nuestro caso luz dextro y levo mantienen su estado de polarizacion durantela propagacion adquiriendo un cierto desfase

~Edextro(s) = ei(ϕ−θ) ~Edextro(0) ~Elevo(s) = e

i(ϕ+θ) ~Elevo(0).

Estos desfases tienen una parte ϕ que podrıamos llamar dinamica porque dependedel ındice de refraccion

ϕ = k0

Z s

0n(s0)ds0 fase dinamica

que es el camino optico y que es el mismo para ambas ondas. La otra componentedel desfase θ no depende del ındice de refraccion ni de ninguna otra cosa que no seala forma geometrica de la trayectoria

θ =Z s

0τ (s0)ds0 fase geometrica

y que es distinta para luz dextro y levo. La existencia de esta fase geometrica es laque este montaje demostro experimentalmente.

4.- Ondas Gaussianas escalares

El siguiente apartado persigue un objetivo doble. En primer lugar pretendemosilustrar la relacion entre Optica geometrica y Optica electromagnetica medianteun ejemplo en el que compararemos la solucion ondulatoria de un problema depropagacion con la solucion aproximada que nos ofrece la Optica geometrica. Elanalisis electromagnetico completo de cualquier fenomeno puede resultar una tareaenormemente compleja, lo que da mas valor y utilidad a la Optica geometrica. Parasimplificar nuestro analisis al maximo en lo que sigue prescindiremos del caractervectorial del campo y manejaremos solo ondas escalares.En segundo lugar, este mismo ejemplo nos va a permitir abordar la cuestion

de la posible existencia de los rayos como objetos reales. Las trayectorias de luznos han aparecido hasta ahora como un objeto puramente matematico, un conceptoauxiliar que simplifica el calculo de la propagacion de una onda. En otras palabras,los rayos son una especie de esqueleto sobre el que se desarrolla la onda. Lo quenos planteamos es si los rayos pueden ser tambien objetos reales. Quizas la formamas sencilla de despejar esta incognita es intentar construir o aislar una trayectoriade luz, por ejemplo iluminando una pantalla opaca en la que se ha practicado unapequena abertura. Cuanto mas pequena sea la abertura mas deberıamos acercarnosa la construccion practica de un rayo.

Por todo ello el problema que nos planteamos es el siguiente: una onda armonicaincide sobre una pantalla plana que ocupa el plano z = 0 y que esta rodeada de aire(n ' 1). Por sencillez supondremos que la pantalla es suficientemente delgada deforma que no tengamos que tener en cuenta su espesor en ningun momento.

Queremos que la pantalla deje pasar la onda por alguna parte y no deje pasar laluz por el resto, esto es decir que la transmitancia de la pantalla dependa del punto.Esto lo podemos describir formalmente mediante un cierto coeficiente de transmision

t(x, y) que relacione la onda inmediatamente antes de la pantalla Uin(x, y, z = 0) conla onda inmediatemente despues U(x, y, z = 0)

U(x, y, 0) = t(x, y)Uin(x, y, 0).Despues especificaremos una forma particularmente sencilla (Gaussiana) para t(x, y)que nos permita obtener expresiones analıticas.Nuestro objetivo es calcular la onda despues de la abertura (z > 0) tanto con

la aproximacion geometrica para como sin ella, para comparar despues ambas solu-ciones. Empezamos con la solucion ondulatoria.

El problema con el que nos enfrentamos es un ejemplo de lo se conoce bajo elnombre de difraccion. Este tipo de problemas los estudiaremos con cierto detallehacia el final del curso. No obstante podemos encontrar aquı una solucion sencillaque se adapta muy bien a nuestro caso.Para ello aprovecharemos algo que venimos diciendo desde el comienzo del curso.

Siempre estamos considerando luz en forma de ondas armonicas planas. Esto esası porque es la onda mas sencilla, porque describe muy bien un gran numero desituaciones practicas y porque cualquier onda la podrıamos expresar como super-posicion de un numero sufiente de ondas armonicas planas distintas. Este hecho yalo aprovechamos (en el dominio temporal) al estudiar la velocidad de grupo y aquılo vamos a hacer otra vez (pero en el dominio espacial).Expresamos la onda despues de la pantalla como superposicion de ondas planas

U(x, y, z) =Zdkxdky U(kx, ky) ei(kxx+kyy+kzz),

siendokz =

qk20 − k2x − k2y,

y U(kx, ky) son ciertos coeficientes a determinar. Estos coeficientes se pueden fijarinvirtiendo la ecuacion anterior (transformada de Fourier) y evaluandola en z = 0donde la onda se supone conocida

U(kx, ky) = 1

(2π)2

Zdx0dy0 e−i(kxx

0+kyy0)U(x0, y0, 0),

con lo que

U(x, y, z) = 1

(2π)2

Zdx0dy0

Zdkxdky e

i[kx(x−x0)+ky(y−y0)+kzz] U(x0, y0, 0).

Esta expresion nos relaciona el valor de la onda en cualquier punto con su valor enel plano z = 0 que es un dato U(x, y, 0) = t(x, y)Uin(x, y, 0).Para seguir es necesario integrar esta expresion en kx, ky. El proceso es largo

aunque sin dificultades insuperables. No obstante, el calculo se simplifica enorme-mente si consideramos la aproximacion paraxial. Supondremos que la onda se

propaga aproximadamente a lo largo del eje z, es decir que es superposicion deondas planas cuyos vectores de onda estan aproximadamente a lo largo del eje z,de forma que U(kx, ky) 6= 0 solo si kx, ky ¿ k0. Esto quiere decir que kz puedeaproximarse por 10

kz =qk20 − k2x − k2y ' k0 −

k2x + k2y

2k0.

Con esta aproximacion la integral en kx, ky se hace sin ninguna dificultad siendo elresultado

U(x, y, z) = 1

iλ0zeik0z

Zdx0dy0ei

k02z [(x−x0)2+(y−y0)2] U(x0, y0, 0).

Esta misma expresion la volveremos a encontrar despues en el tema dedicado a ladifraccion con el nombre de aproximacion de Fresnel.Para llegar al resultado final ya solo hay que poner en la expresion anterior

la forma de la onda en z = 0 e integrar. Por sencillez supondremos que la ondaincidente es una onda plana propagandose en la direccion del eje z

Uin(x, y, z) = U0 eik0z

y como hemos comentado anteriormente supondremos que la transmitancia de lapantalla es una Gaussiana

t(x, y) = e−x2+y2

σ2 ,

donde σ es una constante que representa la anchura de la abertura. Mayor σ significauna abertura mayor.Con estas especificaciones de la onda incidente y de la transmitancia de la pan-

talla la intergracion no ofrece dificultad alguna resultando

U(x, y, z) = U0 σ

σ(z)e−x2+y2

σ2(z) ei

hk0z+k0

x2+y2

2R(z)−arctan(z/z0)

i,

siendo

σ(z) = σ

s1 +

µz

z0

¶2, R(z) = z

"1 +

µz0z

¶2#,

y

z0 = πσ2

λ0

es una constante (denominada rango de Rayleigh). Puede verse que todo en la ondadepende de un unico parametro, z0, que a su vez depende de la relacion entre laanchura de la abertura σ y la longitud de onda λ0.

10Las condiciones de validez de esta aproximacion se discuten en Fundamentals of Photonics,Saleh y Teich, pag. 119.

Vamos ahora con la solucion del mismo problema pero dentro de la aproximaciongeometrica. Para ello tenemos que calcular la trayectoria de los rayos que pasan portodos los puntos de la pantalla y sobre cada uno de ellos tenemos que transportar lafase y la amplitud de la onda. Puesto que estamos en el seno de un medio homogeneolos rayos deben ser rectas. De acuerdo con las condiciones iniciales, el plano z = 0es un frente de ondas (con L(x, y, 0) = 0) con lo que los rayos seran paralelos al ejez. El valor de la eikonal en cualquier punto despues de la pantalla es

L(x, y, z) = L(x, y, 0) +Z z

0nds = z.

La fase de la onda vale en cada punto k0L = k0z y los frentes de onda despues deatravesar la abertura resultan ser planos perpendiculares al eje z (como lo eran antesde la abertura).

Por lo que respecta a la amplitud tenemos que

∇2L = 0,

con lo que la amplitud a lo largo de cada rayo es constante y vale lo que vale laamplitud inmediatamente despues de la pantalla. La onda despues de la abertura enla aproximacion de la Optica geometrica es simplemente el resultado de multiplicarla onda incidente por la transmitancia de la pantalla

Ugeo(x, y, z) = U0e−x2+y2

σ2 eik0z.

Podemos apreciar que hay diferencias significativas entre la solucion geometricay la ondulatoria.La amplitud de ambas ondas es Gaussiana. Geometricamente la anchura de la

Gaussiana es siempre la misma con lo que tendrıamos un tubo de luz siempre de

la misma forma y mas estrecho cuanto menor fuera la abertura. En el lımite deabertura infinitesimal tendrıamos un rayo.En el caso de la solucion ondulatoria la anchura de la Gaussiana σ(z) aumenta

a medida que la onda se aleja de la abertura. El ritmo al que la onda se ensanchadepende de z0 siendo mas rapido el ensanchamiento del haz de luz cuanto menores z0, es decir cuanto mas pequena es la abertura. Esta discrepancia de la solucionondulatoria con lo predicho por la Optica geometrica se conoce como difraccion.Una consecuencia particular es que la Optica ondulatoria dice que no es posi-

ble generar un rayo. Cuanto mas cerremos la abertura menos se parecera la luzemergente a una trayectoria de luz.

Por lo que respecta a la fase vemos que mientras los frentes de onda geometricosson siempre planos, los de la solucion ondulatoria no lo son. Solo son aproximada-mente planos en las proximidades de la pantalla pero a medida que nos alejamos deella dejan de ser planos y tienden a ser esfericos 11.

11Si insistieramos en describir esta onda mediante rayos tendrıamos que admitir la curvatura delos rayos en un medio homogeneo.

Este ejemplo muestra explıcitamente que la Optica geometrica es una aproxi-macion y en determinadas circunstancias tal aproximacion dejara de ser valida. Eneste ejemplo podemos preguntarnos por las condiciones bajo las cuales la Opticageometrica sera una buena aproximacion. Si comparamos la solucion ondulatoriacon la geometrica vemos que ambas dan resultados muy parecidos si

z ¿ z0 =πσ2

λ0,

o lo que es lo mismoπσ2

λ0zÀ 1,

lo que se suele denominar numero de Fresnel alto 12. En tal caso

σ(z) = σ

s1 +

µz

z0

¶2' σ,

con lo que la amplitud es aproximadamente constante, y

k0x2 + y2

2R(z)' x2 + y2

σ2z

z0≤ z

z0¿ 1,

con lo que los frentes de onda son aproximadamente planos. En la ultima expresionse ha usado que la amplitud se anula para valores de x2+y2 suficientemente mayoresque σ2.

Esta discusion puede ilustrarse cuantitativamente con un ejemplo sencillo. Parauna longitud de onda tıpica del visible λ0 = 0.5µm y una abertura del orden delmilımetro σ = 1mm entonces z0 ' 6m. La Optica geometrica serıa una aproxi-macion buena digamos que hasta un metro despues de la pantalla.

Este resultado particular esta de acuerdo con las condiciones de validez dela Optica geometrica que consideramos al principio del tema. La aproximaciongeometrica es mejor cuanto mayor sea σ, es decir cuanto mayor sea la abertura (paraσ = 1 cm se tiene que z0 ' 600 m) y decıamos al principio que la Optica geometricafunciona mejor cuanto mayores son las longitudes caracterısticas del problema (eneste caso σ) en comparacion con la longitud de onda λ0.

12Cuando z es suficientemente pequeno, kz en eikzz puede aproximarse por kz ' k0. Repitiendo

los pasos de la solucion ondulatoria con esta aproximacion se desemboca directamente en la soluciongeometrica.

Finalmente podemos expresar de otro modo las diferencias entre la Optica geo-metrica y la electromagnetica .De acuerdo con lo visto en los apartados anteriores podrıamos decir que la Optica

geometrica es una teorıa local en el sentido de que la amplitud, la fase y la polar-izacion a lo largo de una trayectoria solo dependen de lo que valen esas magnitudesen el punto inicial de la trayectoria y del ındice de refraccion en un entorno infini-tesimal de la misma.Sin embago, como hemos visto en este apartado, la Optica ondularia no es local

y en el ejemplo anterior el valor de la onda en todo punto depende de lo que vale laonda en todos los puntos de la abertura. En particular, depende del tamano de laabertura. Esta no localidad es en definitiva la difraccion, es decir lo que se apartala propagacion ondulatoria de lo predicho por la Optica geometrica.

5.- Propagacion de discontinuidades

Finalmente comentaremos brevemente que las mismas ecuaciones de propagacionde la Optica geometrica aparecen en un problema cuyo planteamiento es, al menosen apariencia, radicalmente distinto del que hemos estudiado aquı.Tal problema estudia la propagacion de discontinuidades del campo electro-

magnetico. Se supone que hay una superficie Σ de tal modo que el campo tomavalores distintos en cada lado de dicha superficie. El problema es como evolucionanla superficie y la diferencia de valores del campo a un lado y a otro. La solucion deeste problema puede comenzar reexpresando las ecuaciones ordinarias de Maxwell enforma de ecuaciones integrales que permiten derivar comodamente las condicionesque deben verificar los campos ~E, ~H y ~E 0, ~H 0 a un lado y otro de una superficie dediscontinuidad representada por la ecuacion ϕ(~r, t) = 0.Si la superficie de discontinuidad se escribe en la forma ϕ(~r, t) = ψ(~r )− ct = 0,

donde c es la velocidad de la luz en el vacıo, resulta que, si el medio no es dispersivo 13

y µ, ε son continuas, las condiciones de contorno imponen que ψ(~r ) ha de verificar laecuacion eikonal, con lo que la superficie discontinuidad movil progresa exactamentecomo un frente de onda geometrico. La funcion ψ(~r ) define entonces trayectorias

a lo largo de las cuales la discontinuidad ~E − ~E 0 obedece exactamente la mismaecuacion de transporte que hemos visto que obedece el campo ~E0(~r ) en aproximaciongeometrica.Hay que recalcar que aquı no se trata de ninguna aproximacion, es la forma

exacta en la que se propagan las discontinuidades, es decir, para las discontinuidadesla Optica geometrica es exacta.

Una posible explicacion de esta coincidencia podrıa ser la siguiente. La Opticageometrica como aproximacion a la propagacion de ondas armonicas se obtiene,formalmente, en el lımite λ0 → 0. En tal lımite el campo electrico de la ondavariara abruptamente (de maximo a mınimo) en distancias arbitrariamente pequenas(λ0/2), con lo que los frentes de onda tienden a comportarse como superficies dediscontinuidad del campo. Por ello, la propagacion de la onda armonica se parecea la propagacion de discontinuidades (esto es a la Optica geometrica) tanto mascuanto menor sea λ0.13Hay que tener en cuenta que aquı por hipotesis el campo no es una onda armonica.

Conclusiones

Hemos visto con cierto detalle como se deriva la Optica geometrica de la Opticaelectromagnetica. La Optica geometrica puede entenderse como una solucion aproxi-mada al problema de la propagacion de la luz en un medio opticamente denso. Estaaproximacion es valida en tanto en cuanto las escalas de longitud tıpicas del problemasean mucho mayores que las longitudes de onda de la luz.Esta condicion permite aproximar la onda en cada punto por una onda local-

mente plana en un medio localmente homogeneo. La propagacion de una secciontransversal infinitesimal de un frente de ondas define una trayectoria en la forma deuna sucesion de ondas planas distintas en cada punto. Esto es un rayo de luz.A partir de las ecuaciones de Maxwell macroscopicas hemos demostrado el prin-

cipio de Fermat. Hemos visto que las trayectorias de luz se corresponden con lapropagacion de la fase. En el mismo nivel de aproximacion, y llegando un pocomas lejos de lo que se considera habitualmente Optica geometrica, hemos resueltola propagacion de la energıa y la polarizacion.Hemos ilustrado los rangos de validez de la Optica geometrica comparando sus

predicciones con las de la Optica ondulatoria en un caso sencillo pero suficiente-mente significativo. Como resultado de la comparacion nos hemos encontrado conel fenomeno de la difraccion, cuya explicacion queda fuera del ambito usual de laOptica geometrica.

Alfredo Luis AinaDepartamento de OpticaFacultad de FısicaUniversidad Complutensefebrero de 2000

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