applications of structural equation modeling in marketing and consumer research

7/27/2019 Applications of Structural Equation Modeling in Marketing and Consumer Research

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In ternat ional Journa l o fR e s e a r c h inM a r k e t i n gEL SE V IE R In te rn . J . o f Resea rch in Marke t ing 13 (1996) 139 -161

Ap plications of structural equation m od eling in m arketing andconsum er research: A review

H ans Baumgartner a , , C hr is tian H omb urg ba The Pennsyh,ania State Uniuersi~, 707-K BAB, Department of Marketing, Smeal College of Business, Unit ersi~ Park, PA 16802, USA

b WHU Koblenz, D-56179 Vallendar, GermanyReceived 15 September 1995; accepted 2 November 1995

A b s t r a c tThis paper reviews prior applications of structural equation modeling in four major marketing journals (the Journal ofMarketing, Journal of Marketing Research, International Journal of Research in Marketing, and the Journal of ConsumerResearch) between 1977 and 1994. After documenting and characterizing the number o f applications o ver t ime, w e discussimportant m ethodolog ical issues related to structural equation m odeling and assess the quality of previous applications interms of three aspects: issues related to the initial specification of theoretical models of interest; issues related to datascreening prior to model estimation and testing; and issues related to the estimation and testing of theoretical models onempirical data. On the basis of our findings, we identify problem areas and suggest avenues for improvement.

Ke?~vords: Structural equation modeling; Confirmatory factor analysis

1 . I n t r o d u c t i o nS i n c e t he d e v e l o p m e n t o f a g e n e ra l f r a m e w o r k f o r

s p e c i f y i n g s t r u c t u r a l e q u a t i o n m o d e l s w i t h l a t e n tv a r i a b l e s - r e f e r r e d t o a s t h e J i h re s k o g - K e e s l i n g - W i -l e y m o d e l b y B e n t l e r ( 1 9 8 0 ) - a n d th e i m p l e m e n t a -t i o n o f t h e s t a t i s t i c a l a p p r o a c h i n t h e L I S R E L c o m -p u t e r p r o g r a m , l a t e n t v a r ia b l e m o d e l i n g h a s b e c o m ea p o p u l a r r e s e a r c h t o o l i n t h e s o c i a l a n d b e h a v i o r a ls c i e n c e s . T h e m o n o g r a p h b y B a g o z z i ( 1 9 8 0 ) o nC a u s a l M o d e l i n g i s g e n e r a l l y c r e d i t e d w i t h b r i n g i n gt h e t e c h n i q u e t o t h e a tt e n t io n o f a w i d e a u d i e n c e o f

* Corresp onding author: Tel: (814 ) 863-3559; fax: (814) 865-3015; e -ma i l : JXB14@ psuvm.psu .edu .

m a r k e t i n g a n d c o n s u m e r b e h a v i o r r e s e a r c h e r s , a n da r t i c l e s i n which s t ruc tura l equa t ion mode l ing i s usedf o r d a t a a n a l y s i s n o w a p p e a r r o u t i n e l y i n m o s t l e a d -i n g m a r k e t i n g a n d c o n s u m e r b e h a v i o r j o u r n al s . T h ep o p u l a r i t y o f t h e m e t h o d o l o g y i s a p p a r e n t f r o m t h er e c e n t i n t r o d u c t i o n o f t h e e i g h t h v e r s i o n o f L I S R E L(J t i r e skog and St i rbom, 1993a - a l so ava i l ab le a s am o d u l e i n S P S S X ) a n d t h e e m e r g e n c e o f a h o s t o fc o m p u t e r p r o g r a m s t h a t c a n b e u s e d a s a l t e r n a t i v e st o L I S R E L , s u c h a s C O S A N ( F r a s e r , 1 9 8 0 ) , E Q S( B e n t l e r, 1 9 8 9 - a l s o i m p l e m e n t e d in B M D P ) , E Z -P A T H ( S t e i g e r, 1 98 9 ), L I N C S ( S c h o e n b e r g , 1 9 8 9 ),t he P R O C C A L I S p r o c e d ur e in S A S , a n d R A M O N A( B r o w n e a n d M e l s , 1 9 9 2 ) .

A l t h o u g h t h e p o t e n t ia l o f s t r u c tu r a l e q u a t i o n m o d -e l i n g ( h e n c e f o r t h r e f e r r e d t o a s S E M ) f o r c o m p r e -

016 7-8 116 /96 /$1 5 .0 0 Co pyr igh t 1996 Elsev ie r Sc ience B .V. A l l r igh ts re se rvedSSDI 0 1 6 7 - 8 1 1 6 ( 9 5 ) 0 0 0 3 8 - 0


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140 H. Baumgartner, C. Homburg/In tern . J. of Research in Marketing 13 (1996) 139-161he ns i ve i nve s t i ga t i ons o f bo t h me a s u r e me n t a nd t he -o r e t i c a l i s s u e s i s ge ne r a l l y a c know l e dge d ( e . g . , A n-de r s on a nd G e r b i ng , 1988 ; B a goz z i , 198 4 ; B a go z z ia nd Y i , 198 8 ; D i l l on , 198 6 ; S t e e nka mp a nd va nT r i j p , 1991 ) a nd e ve n t hou gh t he me t ho do l o gy ha sde ve l ope d a l oy a l f o l l ow i ng i n s ome q u a r t e r s a ndc on t i nu e s t o a t t r a c t ne w u s e r s , s ome a u t ho r s ha vec o m m e n t e d c r i t i c a l l y o n t h e t e c h n i q u e ' s v a l u e f o re mpi r i c a l r e s e a r c h , T he s e c r i t i c i s ms r a nge f r om ou t -r i gh t de n i a l o f t he me t hod ' s u s e f u l ne s s be c a u s e o ft he p r e s u me d i mp l a u s i b i l i t y o f u nde r l y i ng a s s u mp-t i ons ( e . g . , F r e e dma n , 198 7 ) t o c onc e r ns a bou t t hew a y i n w h i c h S E M ha s be e n a pp l i e d i n p r a c t i c e(e .g . , Breckle r , 1990 ; Biddle and Mar l in , 1987 ; Cl i f f ,1983; Forn e l l , 1983; Mar t in , 1987). In our opin ion,t h e m e t h o d o l o g y h a s m u c h t o o f f e r t o t h e e m p i r i ca lr e s e a r c he r , bu t t he r e a r e ma ny p i t f a l l s t ha t c a n ma keS E M a d a n g e r o u s t o o l in t h e h a n d s o f i n e x p e r i e n c e du s e r s . T he pu r pos e o f t h i s pa pe r i s t o c r i t i c a l l ye va l u a t e p r e v i ou s e mp i r i c a l a pp l i c a t i ons o f S E M i nf o u r l e a d in g m a r k e t in g a n d c o n s u m e r b e h a v i o r j o u r -na l s ( the J ou r na l o f M a r ke t i ng , J ou r na l o f M a r ke t i ngR e s e a r c h , I n t e r na t i ona l J ou r na l o f R e s e a r c h i n M a r -k e t i n g , a n d t h e J o u r n a l o f C o n s u m e r R e s e a r c h ) a n dt o p r ov i de gu i da nc e t o f u t u r e u s e r s on how t o e m-p l o y t h e m e t h o d o l o g y m o r e a p p r o p r i a te l y .

S pe c i f i c a l l y , ou r r e v i e w ha s t he f o l l ow i ng ob j e c -t i ve s . F i r s t , w e w a n t t o doc u me n t t he nu mbe r o fa p p l i c a t i o n s o f S E M o v e r t h e y e a r s a n d c l a s s i f yt he s e a pp l i c a t i ons i n t e r ms o f r e l e va n t c r i t e r i a s u c ha s t h e p u r p o s e f o r w h i c h t h e m e t h o d o l o g y i s u s e d( e . g . , i nve s t i ga t i ons o f me a s u r e me n t i s s u e s , t e s t s o ft he o r e t i c a l r e l a t i ons h i ps ) . T o ou r know l e dge , noc o m p r e h e n s i v e s u r v e y o f m a r k e t i n g a p p l i ca t io n s h a sbe e n r e po r t e d i n t he l i t e r a t u r e , a nd l i t t l e i s know na b o u t t h e u s e o f L I S R E L a n d r e l a t e d p r o g r a m s i na c t u a l r e s e a r c h . S e c ond , w e s e e k t o e va l u a t e t heq u a l i t y o f a pp l i c a t i ons o f S E M by a s s e s s i ng t he i rc on f o r m a nc e w i t h f o r ma l s t a t is t ic a l a s s u mpt i ons r e -q u i r e d f o r t he va l i d u s e o f t he s e t e c hn i q u e s , t he i ra d h e r e n c e t o g u i d e l i n e s d e r i v e d e m p i r i c a l l y f r o ms i mu l a t i on s t u d i e s , a nd t he i r r e l i a nc e on r u l e s o ft hu m b p r o pos e d by e xp e r t p r a c ti t ione r s . I n i t ia l a pp l i -c a t i ons o f me t hodo l og i e s , pa r t i c u l a r l y i f t he y a r e a sc o m p l e x a s S E M , a r e p r o n e t o m i s u s e , a n d a n i n -de p t h a na l y s i s o f a c r i t ic a l ma s s o f e mp i r i c a l s tu d i e ss hou l d po i n t t o p r ob l e m a r e a s a nd s u gge s t a ve nu e sf o r i m p r o v e m e n t .

2 . P r e v iou s ap p l i c a t ion s o f SEMW e s e l e c t e d t he J ou r na l o f M a r ke t i ng , J ou r na l o f

M a r ke t i ng R e s e a r c h , I n t e r na t i ona l J ou r na l o f R e -s e a r c h i n M a r ke t i ng , a nd t he J ou r na l o f C ons u me rR e s e a r c h a s t he jou r na l s m os t r e p r e s e n t a t i ve o f r e -s e a r c h i n t he f i e l d s o f ma r ke t i ng a nd c ons u me r be -havior . A l l i s sues be tween 1975 and 1994 weres e a r c he d f o r e mp i r i c a l a pp l i c a t ions o f S E M . T he o r e t -i c a l pa pe r s de a l i ng w i t h i s s u e s r e l a t e d t o S E M a ndpa pe r s i n w h i c h on l y s i mu l a t e d da t a w e r e a na l y z e do r a c t u a l da t a w e r e a n a l y z e d f o r i l l u s tr a t ive pu r pos e son l y w e r e no t c ons i de r e d . S i mi l a r l y , c onve n t i ona le xp l o r a t o r y f a c t o r a na ly s i s mode l s , pa t h a n a l y s i s a ndo t he r s t r u c t u r a l mode l s e s t i ma t e d by r e g r e s s i onme t hods ( e . g . , mode l s e s t i ma t e d by t w o- s t a ge l e a s tsquares ) , nonl inear s t ruc tu ra l mode ls , pa r t i a l l eas ts q u a r e s ( P L S ) mode l s ( c f . F o r ne l l a nd B ooks t e i n ,198 2) , a nd o r d i na l a nd l i m i t e d obs e r ve d va r i a b l emode l s ( e . g . , t hos e t ha t c a n be e s t i ma t e d w i t h t heL I S C O M P p r o g r a m o f M u t h 6 n ( 1 9 8 7 ) ) w e r e e x -c l u de d f r om t he s a mpl e . E s s e n t i a l l y , ou r da t a ba s e o fa p p l ic a t io n s o f S E M i n c lu d e s c o n f i r m a t o r y m e a s u r e -me n t mode l s , s i ng l e - i nd i c a t o r s t r u c t u r a l mode l s p r o -v i d e d t h e y w e r e e s t i m a t e d b y a p r o g r a m n o r m a l l yu s e d f o r l a t e n t va r i a b l e mode l i ng , a nd i n t e g r a t e dm e a s u r e m e n t / l a t e n t v a r i a b l e m o d e l s .

In to ta l , we found 149 appl i ca t ions tha t s a t i s f i edou r s e l e c t i on c ri t e ri a , i F i g . 1 g r a phs t he nu m be r o fa pp l i c a t i ons be t w e e n 197 7 ( t he f i r s t y e a r a n a pp l i c a -t i on w a s f ou nd) a nd 1994 , bo t h ove r a l l a nd byj ou r na l . I t i s a ppa r e n t t ha t t he u s e o f S E M i n t he f ou rj ou r na l s ha s i nc r e a s e d f a i r l y s t e a d i l y ove r t he y e a r s .W he n t he nu m be r o f a pp l i c a ti ons ( ove r a l l a nd s e pa -r a t e l y f o r e a c h j ou r na l ) i s r e g r e s s e d on t he l i ne a r a ndq u a d r a t i c e f f e c t s o f t i me ( p l u s a du mmy va r i a b l e f o r198 2 i n t he a na l y s i s f o r t he J ou r na l o f M a r ke t i ngR e s e a r c h a nd i n t he ove r a l l a na l y s is t o c o r r e c t f o r t hel a rg e n u m b e r o f a p p l i ca t io n s f o u n d i n t h e N o v e m b e ri s s ue o f t h is j ou r na l du e t o a s pe c i a l i ss u e de v o t e d t oS E M ) , o n l y t h e l i n e a r t r e n d o f t i m e a n d t h e d u m m yva r i a b l e a r e s i gn i f i c a n t ( t he on l y e xc e p t i on be i ng as i gn i f i c a n tl y pos i t i ve q u a d r a t i c e f f e c t f o r t he J ou r na lo f M a r ke t i ng ) , i nd i c a t i ng t ha t i n ge ne r a l t he u s e o f

i A listing of the 149 applications n cluded n the meta-analysismay be obtained by co ntacting he first author.


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H, Baumgartner, C. Homburg~Intern. J. of Research in Marketing 13 (1996) 139-161 141number o f

applications2 01 816

1 41 21 0

86420

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Fi g . 1 . A ppl i c a t i on s o f s t ru c tu ra l e q u a t i on m ode l i n g ove r t ime .

t i m e

S E M h a s n e i t h e r a c c e l e r at e d n o r d e c e l e r a t e d o v e r t h ey e a r s . O ve r a l l , t he J ou r na l o f M a r ke t i ng , J ou r na l o fM a r ke t i ng R e s e a r c h , I n t e r na t i ona l J ou r na l o f R e -s e a r ch i n M a r k e ti n g , a n d t h e J o u r n a l o f C o n s u m e rR e s e a r c h a c c o u n t e d f o r 2 8 , 4 2 , 3 , a n d 2 8 p e r c e n t o ft he t o t a l nu mbe r o f a pp l i c a t i ons , r e s pe c t i ve l y .

S E M c a n b e r e g a r d e d a s a m e t h o d o l o g i c a l i n n o v a -t i on , a nd t he q u e s t i on a r i s e s how t h i s i nnova t i on ha sde ve l ope d ove r t i me . T o i nve s t i ga t e t h i s i s s u e , t heB a s s ( 1969) d i f f u s i on mode l w a s f i t t o t he da t a . T heB a s s m ode l i s a pp l i c a b l e to non - r e p l a c e m e n t sa l e son l y , w h i c h i n t he p r e s e n t c a s e me a ns t ha t i t mode l son l y i n i t i a l a pp l i c a t i ons o f t he t e c hn i q u e by a g i ve na u t ho r . W he n t he r e a r e mu l t i p l e a u t ho r s a nd a t l e a s to n e o f t h e a u th o r s h a s n o t u s e d t h e m e t h o d p r e v i -ou s l y , i t i s no t obv i ou s w he t he r t he pa pe r s hou l d ber e ga r de d a s a n i n i t i a l a pp l i c a t i on s i nc e know l e dge o fw ho c ondu c t e d t he a na l y s i s i s u na va i l a b l e . W e u s e dt he c ons e r va t i ve c r i t e r i on t ha t i f a t l e a s t one o f t hea u t ho r s w a s a f i r s t - t i me u s e r , t he pa pe r w a s i nc l u de di n t he s a mpl e . A t o t a l o f 128 pa pe r s w e r e t hu sc las s i f i ed as in i t i a l appl i ca t ions . In f i t t ing the Bassm o d e l t o o u r d a t a , w e r e g r e s s e d t h e n u m b e r o ff i r s t - t i me a pp l i c a t i ons pe r y e a r on t he nu mbe r o fc u mu l a t i ve a pp l i c a t i ons u p t o t he p r e v i ou s y e a r , t hes q u a r e o f t he l a t t e r t e r m , a nd a du mmy va r i a b l e f o rthe spec ia l i s sue in 1982. The resu l t ing regres s ion

mode l f i t t he da t a w e l l , a c c ou n t i ng f o r 7 8 pe r c e n t o ft he va r i a nc e i n t he de pe nde n t va r i a b l e , a nd a l l t h r e epred ic tors w ere s t a t i s t i ca l ly s igni f i cant ( t -va lu es >11.891, w i th th e co ef f i c i ent of the q uadra t i c t e rmbe i ng n e ga t i ve , a s e xpe c t e d ) . T h e c oe f f i c i e n t o f i nno -va t i on ( p ) w a s 0 . 0 0 5 a nd t he c oe f f i c i e n t o f i m i t a t ion( q ) w a s 0 . 20 7 , a nd s i nc e q i s s u bs t a n t i a l l y g r e a t e rt h a n p t h e i n tr o d u c t io n o f S E M m a y b e c o n s i d e r e d asuccess fu l innov a t ion (Bass , 1969).

S t r u c t u r a l e q u a t i on mode l s c a n be s pe c i f i e d t oi nve s t i ga t e me a s u r e me n t i s s u e s , t o e xa mi ne s t r u c -t u r a l r e l a t i ons h i ps a mong s e t s o f va r i a b l e s , o r t oa c c ompl i s h bo t h pu r pos e s s i mu l t a ne ou s l y . M os t pu b -l i s he d a pp l i c a t i ons o f S E M a r e f a c t o r - a na l y t i c me a -s u r e me n t s t u d i e s ( 39 pe r c e n t ) a nd i n t e g r a t e d i nve s t i -ga t i ons o f bo t h t he me a s u r e me n t s t r u c t u r e u nde r l y i nga s e t o f obs e r ve d va r i a b l e s a nd t he s t r u c t u r a l r e l a -t i ons a mong t he l a t e n t va r i a b l e s ( 4 2 pe r c e n t ) . I ns o m e c a s e s S E M i s al so u s e d f o r e x a m i n i n g t h er e l a t i ons h i ps a mong va r i a b l e s w h i c h a r e a l l me a -s u r e d by s i ng l e i nd i c a t o r s ( 15 pe r c e n t ) , a nd i n f i vei n s t a nc e s mu l t i p l e u s e s o f S E M w e r e r e po r t e d ( e . g . ,s e pa r a t e a na l y s e s o f me a s u r e me n t a nd s t r u c t u r a lm o d e l s w e r e p e r f o r m e d ) . 2

T he va s t ma j o r i t y o f pu b l i s he d s t u d i e s ha ve be e nc ondu c t e d w i t h c r o s s - s e c t i ona l da t a ( 93 pe r c e n t ) . I none i n s t a nc e t he a na l y s is w a s pe r f o r m e d on t r u el ong i t u d i na l da t a c ove r i ng ma ny t i me pe r i ods , a nd i nn i ne c a s e s t he a u t ho r s u s e d pa ne l da t a , w he r e obs e r -va t i ons a t t w o o r mor e po i n t s i n t i me w e r e a va i l a b l ef o r e a c h m e m b e r o f t h e s a m p l e . T h e a l m o s t e x c l u -s i ve r e l i a nc e on c r os s - s e c t i ona l da t a t o i nve s t i ga t es t r u c t u r a l r e l a t i ons h i ps a mong c ons t r u c t s ( 8 9 pe r c e n tw h e n m e a s u r e m e n t s tu d ie s a r e e x c l u d e d f r o m t h es a m p l e ) a n d t h e w e l l - k n o w n p r o b l e m s o f i n f e r r i n gcausa t ion f rom cross -sec t iona l da ta (e .g . , C l i f f , 1983;B i dd l e a nd M a r l i n , 198 7 ) s u gge s t tha t s pe c i a l c a r e bee xe r c i s e d i n c a u s a l l y i n t e r p r e t i ng r e s u lt s de r i ve d f r om( c r os s - s e c t i ona l ) s t r u c t u r a l e q u a t i on mode l s . I n f a c t ,i t m i gh t be a dva n t a ge ou s t o a vo i d t he t e r m c a u s a lmode l i ng a l t oge t he r a nd i n s t e a d t a l k a bou t S E M , a si s done in th i s paper .

2 S e p a r a te a n a l y s is o f m e a s u r e m e n t a n d s t r uc t u r al m o d e l s d o e sn o t r e f e r t o t h e t w o - s t e p a p p r o a c h o f A n d e r s o n a n d G e r b i n g( 1 9 8 8 ). R a t h e r , a u t h o r s s o m e t i m e s p e r f o r m a f a c to r a n a l y s i s o nt h e s e t o f i t e m s a v a i la b l e a n d t h e n c o m b i n e v a r i a b l e s i n to c o m p o s -i t e s , w hi c h a re a na l y z e d a s s i ng l e - i nd i c a t o r c ons t ru c t s .


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142 H. Baumgartner , C . Homb urg~In tern . J . o f Research in Marke t ing 13 (1996) 139 -161

A s a f i n a l c h a r a c te r i z a t io n o f p r e v i o u s a p p l i c a -t i o n s o f S E M , o u r a n a l y s i s s h o w s t h a t 8 5 p e r c e n t o fa l l a u t h o r s u s e d L I S R E L t o p e r f o r m t h e a n a l y s i s . I ns i x i n s t a n c e s t h e d a t a w e r e a n a l y z e d w i t h E Q S , a n di n 1 7 c a s e s a n o t h e r p r o g r a m w a s u s e d o r t h e a u t h o r ( s )d i d n o t s p e c i f i c a l l y m e n t i o n w h i c h p r o g r a m w a su s e d . T h e d a t a i n d i c a t e t h a t L I S R E L h a s e n j o y e d ac o n s i d e r a b l e f i r s t - m o v e r a d v a n t a g e , a n d i t w i l l b ei n t e re s t in g t o s e e w h e t h e r a n y o f t h e n e w e r p r o g r a m sw i ll b e a b l e to c h a l le n g e t h e h e g e m o n y o f L I S R E La n d b e c o m e a s e r i o u s c o m p e t i t o r i n t h e f u t u r e .

3 . M e t h od o log ic a l i s su e s in t h e ap p l i c a t ion o f SEMI n d i s c u s s i n g m e t h o d o l o g i c a l a s p e c t s r e l a t i n g t o

S E M a n d i n a s s e s s i n g t h e q u a l it y o f p u b l i s h e d a p p l i -c a t i o n s , w e w i l l c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t h r e e b r o a ds e t s o f i s s u e s ( c f . B a g o z z i a n d B a u m g a r t n e r , 1 9 9 4 ) :(1 ) i s sues re l a t ed t o t he i n i t i a l spec i f i ca t i on o f t heo-re t i ca l mode l s o f i n t e re s t ; (2 ) i s sues re l a t ed t o da t as c r e e n i n g p r i o r t o m o d e l e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g ; a n d( 3 ) i s s u e s r e l a t e d t o t h e e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g o ft h e o r e t i c a l m o d e l s o n e m p i r i c a l d a t a . I n c o n t r a s t t ot h e p r e v i o u s s e c t i o n , w h e r e t h e f o c u s w a s o n t r a c k -i n g t h e n u m b e r o f a r t i c l e s e m p l o y i n g S E M o v e rt ime , t he un i t o f ana lys i s i n t h i s sec t i on i s a g ivenm o d e l . I n m a n y p a p e r s o n l y a s i n g l e m o d e l i s c o n -s i d e r e d . E v e n i f m u l t i p l e ( m o s t l y n e s t e d ) m o d e l s a r ec o m p a r e d u s i n g a s i n g l e s a m p l e , b u t t h e a u t h o r ( s )p r e s e n t ( s ) o n e m o d e l t h a t b e s t r e p r e s e n t s t h e d a t a ,o n l y t h i s f i n a l m o d e l i s a n a l y z e d . T h u s , i n m o s tc a s e s u s i n g t h e a r t i c l e o r t h e m o d e l a s t h e u n i t o fa n a l y s i s l e a d s t o t h e s a m e r e s u l t . I n s o m e p a p e r s ,h o w e v e r , t h e s a m e m o d e l i s e s t i m a t e d o n m u l t i p l es a m p l e s ( e . g . , t h e m o d e l i s c r o s s - v a l i d a t e d w i t h d i f -f e r e n t r e s p o n d e n t s ) , d i f f e r e n t m o d e l s a r e e s t i m a t e do n t h e s a m e s a m p l e ( e . g . , s e p a r a t e m e a s u r e m e n tm o d e l s a r e s p e c i f i e d f o r d i f f e r e n t c o n s t r u c t s o r s e p a -r a t e m e a s u r e m e n t a n d s t r u c tu r a l m o d e l s a r e i n v e s ti -g a t e d ) , o r d i f fe r e n t m o d e l s a r e e s t i m a t e d o n d i f f e r e n ts a m p l e s ( e . g . , d i f f e r e n t m o d e l s p e c i f i c a t i o n s a r e e x -a m i n e d u s i n g d i f f e r e n t r e s p o n d e n t s ) . I n t h e f i r s t c a s e ,t h e d a t a w e r e a v e r a g e d a c r o s s r e p l i c a t i o n s b e f o r einc lud ing the app l i ca t i on i n t he ana lys i s . In t he o the rt w o c a s e s , e a c h d i s t i n c t m o d e l w a s u s e d s e p a r a t e l y i nt h e a n a l y s i s , s o t h a t a s i n g l e p a p e r m i g h t c o n t r i b u t es e v e r a l d a t a p o i n t s . T h e s a m p l e s i z e f o r m o s t a n a l y -

se s i n t h i s sec t i on i s 184 , a l t hough in some cases i tm i g h t b e s l i g h t l y s m a l l e r b e c a u s e o f m i s s i n g v a l u e s .3 . 1 . I s s u e s r e l a t e d t o t h e i n i t i a l s p e c i f i c a t i o n o ft h e o r e t ic a l m o d e l s o f i n t e r e s t

M o d e l s p e c i f i c a t i o n . T o e s t a b l i s h a c o m m o n t e r -m i n o l o g y f o r t h e d i s c u s s i o n t h a t f o l l o w s , w e w i l lb r i e f l y r e v i e w s o m e s p e c i f i c a t i o n i s s u e s . U s i n g t h eL I S R E L f o r m u l a t i o n , a fu l l s tr u c tu r a l e q u a t io n m o d e lcan be s t a t ed a s fo l lows (c f . Bo l l en , 1989) :

(1)y = A Y r l + , , ( 2 )x = A ~ + 8 . ( 3 )

Eq. (1 ) i s ca l l ed t he l a t en t va r i ab le (o r s t ruc tura l )m o d e l a n d e x p r e s s e s t h e h y p o t h e s i z e d r e l a t i o n s h i p sa m o n g t h e c o n s t r u c t s i n o n e ' s t h e o r y . T h e m X 1vec to r ~7 con ta ins t he l a t en t endog eno us con s t ruc t sa n d t h e n 1 v e c t o r ~ c o n s i s t s o f t h e la t e n t e x o g e -n o u s c o n s t r u c t s . T h e c o e f f i c ie n t m a t r i x B s h o w s t h ee f f e c t s o f e n d o g e n o u s c o n s t r u c t s o n e a c h o t h e r , a n dt h e c o e f f i c ie n t m a t r i x F s i g n i fi e s th e e f f e c t s o fe x o g e n o u s o n e n d o g e n o u s c o n s tr u c ts . T h e v e c t o r o fd i s turban ces ~ repre se n t s e r ro r s in equa t ions . I f l a -t e n t v a r i a b l e s a r e s p e c i f i e d t o h a v e s i m u l t a n e o u se f f e c t s o n e a c h o t h e r ( s o t h a t t h e B m a t r i x h a sn o n z e r o e l e m e n t s b o t h a b o v e a n d b e l o w t h e d i a g o -n a l ) a n d / o r i f e r r o r s in e q u a t io n s a r e a l l o w e d t o b ec o r r e l a t e d , t h e m o d e l i s c a l l e d n o n r e c u r s i v e . I f B i ssubd iagona l and the ~ i a re uncor re l a t ed , t he mode l i ssa id t o be recurs ive . Spec i a l ca re i s r equi red wi thn o n r e c u r s i v e m o d e l s b e c a u s e o f s u c h i s s u e s a s m o d e liden t i f i ca t i on , t he s t ab i l i t y o f r ec ip roca l e f fec t s , andt h e i n t e r p r e t a t i o n o f m e a s u r e s o f v a r i a t i o n a c c o u n t e df o r in e n d o g e n o u s c o n s t r u c t s (c f . S c h a u b r o e c k , 1 9 9 0 ;Teel e t a l . , 1986) .

E q s . ( 2 ) a n d ( 3 ) a r e f a c t o r - a n a l y t i c m e a s u r e m e n tm o d e l s w h i c h t i e th e c o n s t r u c t s t o o b s e r v a b l e i n d i c a -t o r s. T h e p X 1 v e c t o r y c o n t a i n s t h e m e a s u r e s o ft h e e n d o g e n o u s c o n s t r u c t s , a n d t h e q X 1 v e c t o r xc o n s i s t s o f t h e m e a s u r e s o f t h e e x o g e n o u s i n d ic a t o rs .T h e c o e f f i c i e n t m a t r i c e s A y and A ~ s h o w h o w yre la t e s t o r / and x re l a t e s t o ~ , r e spec t ive ly . Thev e c t o r s o f d i s t u r b a n c e s e a n d 8 r e p r e s e n t e r r o r s inv a r i a b l e s ( o r m e a s u r e m e n t e r r o r ) . G e n e r a l l y ( b u t n o ta l w a y s ) t h e m e a s u r e m e n t m o d e l p o s s e s s e s s i m p l es t r u c t u r e s u c h t h a t e a c h o b s e r v e d v a r i a b l e i s r e l a t e d


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H. Baumgartner, C. Homb urg/In tern. J . of Research in Marketing 13 (1996) 139-161 143t o a s i n g l e l a t en t v a r i a b l e . M o d e l s w i t h s i m p l e s t r u c-t u r e a n d n o c o r r e l a t e d m e a s u r e m e n t e r r o r s r e p r e s e n tu n i d i m e n s i o n a l c o n s t r u c t m e a s u r e m e n t , w h i c h i s f r e -q u e n t l y c o n s i d e r e d t o b e a h i g h l y d e s i r a b l e c h a r a c t e r -i s ti c o f m e a s u r e m e n t ( A n d e r s o n a n d G e r b i n g , 1 9 88 ;Ge rb in g and And e rson , 1988; Ha t t i e , 1985) .

A t o t a l o f 7 3 m o d e l s i n o u r s a m p l e w e r e f u l ls t r u ct u r a l e q u a t i o n m o d e l s c o n s i s t i n g o f E q s . ( 1 )t h r o u g h ( 3 ) . 3 I n 8 1 c a s e s , S E M w a s u s e d s o l e l y f o ri n v e s t i g a t i n g t h e m e a s u r e m e n t s t r u c t u r e u n d e r l y i n g as e t o f o b s e r v e d v a r i a b l e s . T h i s s u b m o d e l , w h i c hc o r r e s p o n d s t o a c o n f i r m a t o r y m e a s u r e m e n t m o d e l ,i s g i v e n b y e i t h e r E q . ( 2 ) o r E q . ( 3 ) . S o m e t i m e s ,S E M i s a ls o a p p l i e d t o e x a m i n a t i o n s o f t h e s t r u c t u ra lr e l a t i o n s a m o n g c o n s t r u c t s t h a t a r e a l l m e a s u r e d b ys i n g l e i n d i c a t o r s . T h e n e c e s s a r y s p e c i f i c a t i o n i s o b -t a i n e d b y i g n o r i n g u n r e l i a b i l i t y o f m e a s u r e m e n t a n dse t t i ng A ~' and A x t o be equa l t o i den t i t y ma t r i ce s ,o r b y a s s u m i n g r e l i a b i li t y to b e k n o w n a n d f i x i n g t h ef a c t o r l o a d i n g s o r e r r o r v a r i a n c e s a c c o r d i n g l y . T h i sw a s d o n e i n 3 0 c a s e s . I n t h e s e q u e l w e w i l l r e f e r t oc o n f i r m a t o r y m e a s u r e m e n t m o d e l s , s i n g l e - i n d i c a t o rs t ru c tu r al m o d e l s , a n d i n te g r a te d m e a s u r e m e n t / l a t e n tv a r i a b l e m o d e l s a s m o d e l s o f t y p e I , II , a n d I I I ,r e s p e c t i v e l y . 4

Measurement model specif ication. O n e i m p o r t a n tc o n s i d e r a t i o n i n p l a n n i n g a s t u d y i s h o w m a n y o b -s e r v e d v a r i a b l e s s h o u l d b e u s e d t o m e a s u r e e a c hl a t e n t v a r i a b l e a n d h o w t h e v a r i o u s i n d i c a t o r s s h o u l db e r e l a t e d t o e a c h c o n s t r u c t . I t i s g e n e r a l l y a c c e p t e dt h a t e a c h c o n s t r u c t s h o u l d b e m e a s u r e d b y m u l t i p l ei t e m s , b u t h o w m a n y i t e m s s h o u l d b e u s e d i s l e s sc l e a r . O n t h e o n e h a n d , a s u f f i c i e n t n u m b e r o fi n d i c a t o r s p e r f a c t o r h a s t o b e a v a i l a b l e f o r a m o d e lt o b e i d e n t i f i e d , a n d f o r e s t i m a t i o n p r o b l e m s s u c h a sn o n c o n v e r g e n c e a n d i m p r o p e r s o l u t i o n s t o b e m i n i -m i z e d i t i s a d v a n t a g e o u s t o h a v e m a n y i n d i c a t o r s

3 Included m this category are several second-order factormodels, which are measurement models from a substantive per-spective but which are specified as integrated mea sur eme nt/structural models for estimation purposes.

4 All three types o f models can be specified as single-sample ormulti-sample models. If the results of both the single-sample andmulti-sample analyses were reported in the paper, the single-sam-ple data were used and averaged before including the applicationin our sample. In seven cases three type II models and four typeIII models) only the results of the multi-sample analysis werereported so that these data had to be used in the analysis.

( e . g . , A n d e r s o n a n d G e r b i n g , 1 9 8 4 ) . B e s i d e s t h e s es t a t i s t i c a l c o n s i d e r a t i o n s , a g r e a t e r n u m b e r o f o b -s e r v e d m e a s u r e s i s m o r e l i k e l y t o t a p a l l fa c e t s o f t h ec o n s t r u c t o f i n t e r e s t . O n t h e o t h e r h a n d , t h e g r e a t e rt h e n u m b e r o f i n d i c a t o r s p e r f a c t o r , t h e m o r e d i f f i -c u l t i t w i l l p r o b a b l y b e t o p a r s i m o n i o u s l y r e p r e s e n tt h e m e a s u r e m e n t s t r u c t u r e u n d e r l y i n g a s e t o f o b -se rved va r i ab le s and to f i nd a mode l t ha t f i t s t he da t awel l .

B a g o z z i a n d H e a t h e r t o n ( 1 9 9 4 ) h a v e r e c e n t l y s u g -g e s t e d a n a p p r o a c h f o r r e p r e s e n t i n g p e r s o n a l i t y c o n -s t r u c t s t h a t s e e m s a p p l i c a b l e t o t h e m o d e l i n g o fm e a s u r e m e n t s t r u c t u r e s i n g e n e r a l . T h e y d i s t i n g u i s hf o u r d i f f e r e n t l e v e l s o f a b s t r a c t i o n i n m o d e l i n g p e r -s o n a l i t y c o n s t r u c t s , b u t i n t h e p r e s e n t c o n t e x t ad i f fe ren t i a t i on i n to t h ree l eve l s seems suf f i c i en t . Inthe total aggregation model, a s i n g l e c o m p o s i t e i sf o r m e d b y c o m b i n i n g a l l t h e m e a s u r e s o f a g i v e ncons t ruc t . Th i s approach re su l t s i n a mode l t ha t i sf o r m a l l y i d e n t i c a l t o o n e i n w h i c h o n l y a s i n g l ei n d i c a t o r i s a v a i l a b l e , b u t i n g e n e r a l a c o m p o s i t es i n g l e i n d i c a t o r s h o u l d b e m o r e r e l i a b l e t h a n a t r u es i n g l e - i t e m m e a s u r e . I n f a c t , i t i s p o s s i b l e t o c o m -p u t e a m e a s u r e o f r e l ia b i l it y w h e n a c o m p o s i t e o fi t ems i s ava i l ab le ( e .g . , coe f f i c i en t a ) , and th i se s t ima ted re l i ab i l i t y can be i ncorpora t ed i n to t hea n a l y s i s b y f i x i n g t h e e r r o r v a r i a n c e o f t h e i n d i c a t o rto (1 - r e l i ab i l i t y ) t imes t he va r i ance o f t he i nd i ca -t o r. T h i s m e t h o d h a s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e s p e c i f i c a -t i o n o f t h e m o d e l i s q u i t e s i m p l e a n d t h a t , c o m p a r e dto t he t rue s ing le - ind i ca to r ca se , unre l i ab i l i t y o f mea -s u r e m e n t c a n b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n a l i m i t e d w a y .H o w e v e r , a m a j o r d i s a d v a n t a g e i s t h a t t h e q u a l i t y o fc o n s t r u c t m e a s u r e m e n t i s n o t i n v e s t i g a t e d e x p l i c i t l y( e . g . , n o a s s e s s m e n t o f u n i d i m e n s i o n a l i t y i s p r o -v ided) . In t he partial aggregation and partial disag-gregation models, s u b s e t s o f i t e m s a r e c o m b i n e d i n t os e v e r a l c o m p o s i t e s a n d t h e s e c o m p o s i t e s a r e t r e a t e da s m u l t i p l e i n d i c a t o r s o f a g i v e n f a c t o r . T h i s m e t h o dt a k e s i n t o a c c o u n t u n r e l i a b i l i t y m o r e e x p l i c i t l y a n da l l o w s s o m e a s s e s s m e n t o f u n i d i m e n s i o n a l i t y w h i l em i n i m i z i n g m o d e l c o m p l e x i t y . H o w e v e r , c o m b i n i n gs u b s e t s o f i t e m s i n t o c o m p o s i t e s i s u s u a l l y s o m e w h a ta rb i t r a ry . F ina l ly , i n t he total disaggregation modelt r u e s i n g l e - i t e m m e a s u r e s a r e u s e d a s m u l t i p l e m e a -s u r e s o f a n u n d e r l y i n g l a t e n t v a r i a b l e . T h i s m e t h o da l l o w s t h e m o s t e x p l i c i t t e s t s o f t h e q u a l i t y o f c o n -s t r u c t m e a s u r e m e n t , b u t u n f o r t u n a t e l y t h e a n a l y s i s


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144 H. Baumgarmer , C Ho mb urg / I n tern . J . o f Research in Marke t ing 13 (1996) 139-161b e c o m e s r a t h e r u n w i e l d y i f m o r e t h a n , s a y , f i v ei n d i c a t o r s p e r f a c t o r a r e a v a i l a b l e a n d t h e m o d e lc o n t a i n s e v e n a m o d e r a t e l y l a r g e n u m b e r o f c o n -st ructs .

T a b l e 1 p r e s e n t s r e l e v a n t s t a ti s t ic s r e g a r d i n g t h ei s s u e o f c o n s t r u c t m e a s u r e m e n t , b o t h o v e r a l l a n d b yt y p e o f m o d e l . O v e r a l l , t h e m e d i a n n u m b e r o f o b -s e r v e d v a r i a b l e s ( p + q ) a c r o s s a l l a p p l i c a t io n s o fS E M h a s b e e n 11 a n d th e m e d i a n n u m b e r o f c o n -s t r u c t s ( m + n ) h a s b e e n f i v e , r e s u l t i n g i n a m e d i a nr a t i o o f o b s e r v e d v a r i a b l e s t o c o n s t r u c t s o f a b o u tt w o . F o r t y p e I I m o d e l s , t h is r a t i o i s i d e n t ic a l l y e q u a lt o o n e b y d e f i n i t i o n . I n p u r e m e a s u r e m e n t s t u d i e s ,t h e m e d i a n n u m b e r o f i t e m s p e r f a c t o r i s a b o u t f o u r ,w h e r e a s i n i n t e g r a t e d m e a s u r e m e n t / l a t e n t v a r i a b l em o d e l s t h e m e d i a n i s a r o u n d t w o . A n u n e x p e c t e d l yl a r g e n u m b e r o f m o d e l s c o n t a i n e d a t l e a s t o n e s i n -g l e - i n d i c a t o r ' l a t e n t ' c o n s t r u c t . B y d e f i n i t i o n , a l lc o n s t r u c t s a r e i n d i c a t e d b y a s i n g l e m e a s u r e i n t y p eI I m o d e l s . H o w e v e r , e v e n i n t y p e I I I m o d e l s a t l e a s to n e s i n g l e - i n d i c a t o r c o n s t r u c t w a s u s e d i n 7 1 p e r c e n to f a l l c a s e s . F o r t y p e I m o d e l s t h i s f i g u r e w a s m u c hl o w e r ( 7 p e r c e n 0 , b u t t h i s s h o u l d n o t b e t o o s u r p r i s -i n g g i v e n t h a t t h e s e s t u d i e s d e a l e x c l u s i v e l y w i t hc o n s t ru c t m e a s u r e m e n t .

S i n g l e - i n d i c a t o r c o n s t r u c t s a r e u n a t t r a c t i v e b e -c a u s e t h e y i g n o r e u n r e l i a b i l i t y o f m e a s u r e m e n t ,w h i c h i s o n e o f t h e p r o b l e m s S E M w a s s p e c i f i ca l lyd e s i g n e d t o c i r c u m v e n t . A s n o t e d b y B e n t l e r a n dC h o u ( 1 9 8 7 ) , e v e n h a v i n g t w o m e a s u r e s p e r f a c t o rm i g h t b e p r o b l e m a t i c s i n c e t h r e e i n d i c a t o r s p e r c o n -s t r u c t a r e n e e d e d f o r a m o d e l t o b e i d e n t i f i e d u n l e s sc o v a r i a n c e s a m o n g f a c t o r s h e l p t o i d e n t i f y t h e s y s -t e m o f e q u a t io n s . F u r t h e r m o r e , a s d i s c u s s e d b yB e n t l e r a n d B o n e t t ( 1 9 8 0 ) a n d A n d e r s o n a n d G e r b -i n g ( 1 9 8 8 ) , a m o d e l o f i n d e p e n d e n c e a t th e s t r u c t u ra ll e v e l s e r v e s a v e r y u s e f u l f u n c t i o n i n m o d e l c o m p a r i -son t e s t s , and such a mode l i s i n gene ra l no t i den t i -f i e d w h e n f e w e r t h a n t h r e e i n d i c a t o r s a r e a v a i l a b l e .T h e s e a r g u m e n t s s u g g e s t t h a t a u t h o r s s h o u l d n o t u s es i n g l e - i n d i c a t o r c o n s t r u c t s o r t h e m i n i m u m n u m b e ro f i n d i c a to r s r e q u i re d f o r m u l t i- i te m m e a s u r e m e n t o fc o n s t r u c t s . I n s t e a d , w e r e c o m m e n d t h a t e a c h l a t e n t

v a r i a b l e b e a s s e s s e d w i t h a m i n i m u m o f t h r e e o r f o u rind i ca to r s each (c f . Bo l l en , 1989) .

A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , n o t a l l s i n g l e - i t e m c o n -s t r u c t s a r e t r u e s i n g l e - i t e m m e a s u r e s . A u t h o r s s o m e -t i m e s a g g r e g a t e i t e m s i n t o c o m p o s i t e s b e f o r e e n t e r -i n g t h e m i n t o t h e a n a l y s i s . W e a l s o a s s e s s e d t h en u m b e r o f a c t u a l i t e m s t h a t w e n t i n t o e a c h m e a s u r e ,a n d t h e m e d i a n o f t h i s v a r i a b l e ( 1 8 ) w a s s u b s t a n -t i a l l y h i g h e r t h a n t h e m e d i a n n u m b e r o f f o r m a li n d i c a t o r s o n w h i c h t h e d e g r e e s o f f r e e d o m a r e b a s e d( 1 1 ) . I n f a c t , a c r o s s a l l t h r e e m o d e l s i t e m s w e r ec o m b i n e d i n t o c o m p o s i t e s p r i o r t o e n t e r i n g t h e m i n t oa s t r u c t u r a l e q u a t i o n m o d e l i n 3 8 p e r c e n t o f t h ec a s e s . T h i s p r a c t i c e w a s p a r t i c u l a r l y p r e v a l e n t i n t h ec a s e o f t y p e I I m o d e l s , w h e r e 7 7 p e r c e n t o f a p p l i c a -t i o n s f o l l o w e d t h i s p r o c e d u r e . S o m e t i m e s , i t w i l l b ep r a c t i c a l l y u n a v o i d a b l e t o c o m b i n e i t e m s i n t o c o m -p o s i t e s i f t h e n u m b e r o f i n d i c a t o r s i s e v e n m o d e r -a t e ly l a rge (e .g . , i f one o f t he cons t ruc t s i s a pe r son-a l i ty t r a i t w h i c h i s m e a s u r e d b y a b a t t e r y o f , s a y , t e ni t e m s ) . I n t h i s c a s e w e r e c o m m e n d t h a t a ( c o n f i r m a -t o r y ) f a c t o r a n a l y s i s b e c o n d u c t e d o n t h e i t e m s t o b ea g g r e g a t e d a n d t h a t e v i d e n c e o n t h e d i m e n s i o n a l i t yo f t h e c o n s t r u c t b e p r e s e n t e d . I f u n i d i m e n s i o n a l i t yh o l d s , t h e i t e m s m a y b e a g g r e g a t e d i n t o a s i n g l ec o m p o s i t e a n d m e a s u r e u n r e l i a b i l i t y c a n b e t a k e ni n t o a c c o u n t b y f i x i n g t h e e r r o r v a r i a n c e a p p r o p r i -a t e l y , a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y . I f u n i d i m e n s i o n a l i t yd o e s n o t h o l d , o n l y i n d i c a t o r s o f a g i v e n s u b d i m e n -s i o n o f t h e c o n s t r u c t s h o u l d b e c o m b i n e d a n d t h er e s u l t i n g c o m p o s i t e s c a n b e t r e a t e d a s m u l t i p l e i n d i -c a t o r s o f a h i g h e r - o r d e r c o n s t r u c t, p r o v i d e d t h e i n t e r -c o r r e l a t i o n s a r e h i g h e n o u g h . O t h e r w i s e , s e p a r a t ec o n s t r u c t s w i l l h a v e t o b e s p e c i f ie d . U n r e l i a b il i ty c a nb e t a k e n i n t o a c c o u n t a s i n t h e s i n g l e - c o m p o s i t ecase .

I n t e r m s o f f u r t h e r c h a r a c t e r i s t i c s o f c o n s t r u c tm e a s u r e m e n t p r a c t i c e s , T a b l e 1 s h o w s t h a t a b o u t 2 0p e r c e n t o f a l l m e a s u r e m e n t m o d e l s c o n t a i n d o u b l e -l o a d i n g i t e m s . A l t h o u g h n o t a d v i s a b l e i n g e n e r a l( G e r b i n g a n d A n d e r s o n , 1 9 8 8 ), i n a b o u t h a l f o f th e s ec a s e s t h e p r o c e d u r e i s j u s t i f i e d b e c a u s e o f a p r i o r is p e c i f i c a t io n s o f m e t h o d f a c t o r s i n m u l t i - t ra i t , m u l t i -

Note to Table 1:a Table entries are medians with the 25th and 75th percentile in parentheses), unless a percentage value is indicated.


7/23

H. Baumgartner , C . Hombu rg~In tern . J . o f Research in Marke t ing 13 (1996) 139-161 145

67

o

E

6

~

~ - ' ~ - ~ ~ , q ' ~ ' ~ ~ , 4 ~ ' ~ ~

~4

8

~ z

: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~d z = ~ _

E

i~ ~ - ~ . ~ ~ . _ =_ ~ ~ ~ o ~~. ~ E E

- = ~ = ~ . , - ~ . ~ . ~ t=

8o ~ # ~ & ~ ~ & ~ . ~ ~

~ . o .~ .~ .~ .~ .~ ~ .~ .~ .~ .~ ~o =

E

= - ~ E

E E & ~ ~ =.o_ . .~

= = 0o ~ ~ . ~ - ~

~ =

' ~ o o= - ~ - ~

~ z ~ . ~


8/23

146 H. Baumgartner, C. Homburg/Intern. J. of Research in Marketing 13 (1996) 139-161

m e t h o d a n a l y s e s ( c f . B a g o z z i a n d Y i , 1 9 9 1 ; B a g o z z ie t al ., 1 99 1 ). A b o u t 5 p e r c e n t o f t y p e I m o d e l s a n d1 9 p e r c e n t o f t y p e I I I m o d e l s c o n t a i n c o r r e l a t e dm e a s u r e m e n t e r r o r s . W e s p e c i f i c a l l y c o d e d w h e t h e rt h e a u t h o r s p r o v i d e d a s u b s t a n t i v e j u s t i f i c a ti o n f o rt h i s p r a c t i c e o r w h e t h e r t h e y i n t r o d u c e d c o r r e l a t e de r r o r s s i m p l y b e c a u s e o f g o o d n e s s o f f i t c o n s i d e r a -t i o n s. I n a b o u t 5 0 p e r c e n t o f t h e c a s e s n o j u s t i f ic a -t i o n w a s p r o v i d e d . W e c o n c u r w i t h A n d e r s o n a n dG e r b i n g ( 1 9 8 8 ) a n d H a t t i e ( 1 9 8 5 ) t h a t u n i d i m e n -s i o n a l c o n s t r u c t m e a s u r e m e n t i s a d e s i r a b l e c h a r a c -t e r i s t i c o f m e a s u r e m e n t m o d e l s , a n d w e r e c o m m e n dt h a t r e s e a r c h e r s u s e d o u b l e - l o a d i n g i t e m s a n d c o r r e -l a t e d e r r o r s o f m e a s u r e m e n t w i t h c a u t i o n a n d n o ti n t r o d u c e t h e m s i m p l y t o b o o s t t h e f i t o f t h e m o d e l .Latent variable model specification. W e c o d e dh o w m a n y o f t h e m o d e l s w e r e n o n r e c u r s i v e, e i t h e rb e c a u s e o f c o r r e l a t e d e r r o r s i n e q u a t i o n s o r b e c a u s eo f e n t r i e s b o t h a b o v e a n d b e l o w t h e d i a g o n a l i n t h eB m a t r ix . A p p r o x i m a t e l y 2 3 p e r c e n t o f ty p e I I m o d -e l s a n d 2 6 p e r c e n t o f t y p e I I I m o d e l s c o n t a i n e dc o r r e l a t e d e r r o r s in e q u a t i o n s , o f w h i c h 5 7 a n d 1 6p e r c e n t w e r e s u b s t a n t i v e l y j u s t i f ie d , r e s p e c t i v e l y ( s e eT a b l e 1 ) . C o r r e l a t e d e r r o r s i n e q u a t i o n s a r e s o m e -t i m e s u s e f u l t o m o d e l c o r r e l a t i o n s a m o n g t h e e n -d o g e n o u s c o n s t r u c t s t h a t a r e d u e t o u n m e a s u r e d o ro m i t t e d v a r i a b l e s , b u t a s i n t h e c a s e o f c o r r e l a t e de r r o r s o f m e a s u r e m e n t t h e y s h o u l d b e u s e d w i t hc a u t i o n . A b o u t 7 p e r c e n t o f t y p e I I m o d e l s a n d 8p e r c e n t o f t y p e I I I m o d e l s a l l o w e d s i m u l ta n e o u se f f e c t s a m o n g t h e e n d o g e n o u s c o n s t r u c t s , a n d o v e r a l l3 0 p e r c e n t o f t y p e I I m o d e l s a n d 3 2 p e r c e n t o f t y p eI I I m o d e l s w e r e n o n r e c u r s i v e. G i v e n t h e c o m p l e x i t yo f n o n r e c u r s i v e m o d e l s , t h e s e f i g u r e s a r e f a i rl y h i g ha n d , a s s h o w n b e l o w , t h e l a c k o f p r o p e r r e g a r d f o ri s s u e s s u c h a s m o d e l i d e n t i f i c a ti o n i n d i c a t e s a p o t e n -t i a l c a u s e f o r c o n c e r n . W e r e c o m m e n d t h a t i f n o n r e -c u r s i v e m o d e l s a r e s p e c i f i e d , r e l e v a n t i s s u e s s u c h a sm o d e l i d e n t i f i c a t i o n a n d t h e s t a b i l i t y o f r e c i p r o c a le f f e c t s b e a d d r e s s e d e x p l i c i t l y i n t h e p a p e r .Sample size. A n o t h e r i m p o r t a n t i s s u e t h a t s h o u l db e c o n s i d e r e d p r i o r t o a c t u a l l y c o n d u c t i n g t h e s t u d yi s w h e t h e r t h e s a m p l e s i z e i s l i k e l y t o b e s u f f i c i e n tg i v e n t h e n u m b e r o f p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . A l lm e t h o d s f o r t h e e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g o f s t r u c t u r a le q u a t i o n m o d e l s a r e b a s e d o n a s y m p t o t i c t h e o r y a n dt h e s a m p l e s i z e h a s t o b e ' l a r g e ' f o r t h e p a r a m e t e re s t ima te s and t e s t s t a t i s t i c s t o be va l id . L i t t l e t heore t -

i c a l g u i d a n c e a s t o w h a t c o n s t i t u t e s a n a d e q u a t es a m p l e s i z e i s a v a i l a b l e a n d t h e e v i d e n c e f r o m s i m u -l a t i o n s t u d i e s i s s p a r s e , b u t B e n t l e r a n d C h o u ( 1 9 8 7 )p r o v i d e t h e r u l e o f t h u m b t h a t u n d e r n o r m a l d i s t r i b u -t i o n t h e o r y t h e r a t io o f s a m p l e s i z e t o n u m b e r o f f r e ep a r a m e t e r s s h o u l d b e a t l e a s t 5 : 1 t o g e t t r u s t w o r t h yp a r a m e t e r e s t i m a t e s , a n d t h e y f u r t h e r s u g g e s t t h a tt hese ra t i os should be h ighe r ( a t l e a s t 10 : l , say) t oob ta in appropr i a t e s i gn i f i cance t e s t s .

T a b l e 1 s h o w s t h a t, o v e r a l l, t h e m e d i a n n u m b e r o fp a r a m e t e r s e s t i m a t e d w a s a b o u t 2 9 , w i t h t h e m e d i a ns o m e w h a t s m a l l e r f o r t y p e I I m o d e l s . T h e m e d i a nsample s i ze was 178, r e su l t i ng i n a median ra t i o o fs a m p l e s i z e t o n u m b e r o f f r e e p a r a m e t e r s o f a b o u t6 : 1 . T h e m e d i a n r a t i o i s s m a l l e s t f o r t y p e I I I m o d e l sa t about 5 :1 . A to t a l o f 41 (73) pe rcen t o f a l l mo de l shad ra t i os sma l l e r t han 5 :1 ( I0 :1 ) . In pa r t i cu la r , t hef i g u r e s a r e l o w e s t f o r t y p e I I I m o d e l s . I n f a c t , f o r 8 6p e r c e n t o f t h e s e m o d e l s t h e r a t i o o f s a m p l e s i z e t on u m b e r o f p a r a m e t e r s e s t i m a t e d w a s s m a l l e r t h a n1 0 : 1 . T h e s e f i g u r e s s h o w t h a t s a m p l e s i z e s a r e o f t e nt o w a r d t h e l o w e r e n d o f , o r e v e n b e l o w , l e v e l s t h a ta r e c o n s i d e r e d a c c e p t a b l e t o o b t a i n t r u s t w o r t h y p a -r a m e t e r e s t i m a t e s a n d v a l i d t e s ts o f s i g n i fi c a n c e . I t i sf a i r l y e a s y t o c a l c u l a t e b e f o r e h a n d w h a t t h e l i k e l yn u m b e r o f p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d w i l l b e , a n dn e c e s s a r y s a m p l e s i z e s s h o u l d b e d e t e r m i n e d a c c o r d -i n g l y . A s p o i n t e d o u t b y M a r t i n ( 1 9 8 7 ), t h e r e m a y b ea t r a d e - o f f b e t w e e n c o l l e c ti n g d a t a o f h i g h q u a l i tya n d g a t h e r i n g d a t a f r o m a l a r g e s a m p l e o f r e s p o n -d e n t s . A r e s e a r c h e r ' s p r i m a r y o b j e c t i v e s h o u l d b e t oo b t a i n h i g h - q u a l i t y d a t a s o t h a t S E M m a y n o t b e a na p p r o p r i a t e m e t h o d o l o g y i n c e r t a i n c a s e s . I n p a r t i c u -l a r , e v e n t h o u g h S E M c a n i n p r i n c i p l e b e u s e d i ne x p e r i m e n t a l d e s i g n s ( B a g o z z i a n d Y i , 1 9 8 9 ) , s m a l ls a m p l e s i z e s w i l l o f t e n p r e c l u d e a p p l i c a t i o n o f t h et echn ique i n t ha t con tex t .Model identification. A n o t h e r i m p o r t a n t a p r i o r ic o n s i d e r a t i o n i s w h e t h e r t h e m o d e l t o b e e s t i m a t e d i si den t i f i ed . A mode l i s sa id t o be i den t i f i ed i f i t i si m p o s s i b l e f o r t w o d i s t i n c t s e t s o f p a r a m e t e r v a l u e st o y i e l d t h e s a m e p o p u l a t i o n v a r i a n c e - c o v a r i a n c ema t r ix . A necessa ry cond i t i on fo r i den t i f i ca t i on i st h a t t h e n u m b e r o f p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d s h o u l dn o t e x c e e d t h e n u m b e r o f d i s t i n c t e l e m e n t s i n t h ev a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e o b s e r v e d v a r i -a b l e s . T h i s r u l e , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e n u m b e r o fd e g r e e s o f f r e e d o m b e n o n n e g a t i v e , i s e a s y t o c h e c k ,


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H. Baumgarmer, C. Homburg~Intern. J. of Research in Marketing 13 (1996) 139-161 147b u t u n f o r t u n a t e l y i t i s n o t a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o ri d e n ti f ic a t io n . G e n e r a l , e a s y - t o - f o l l o w p r o c e d u r e s f o rp r o v i n g i d e n t i f i c a t i o n a r e u n a v a i l a b l e e x c e p t i n s p e -c i a l i z e d c a s e s , a n d s h o w i n g t h a t a m o d e l i s i d e n t i f i e dm a y b e n o n t r i v i al f o r c e r t a in k i n d s o f m o d e l s . I np a r t i c u l a r , s p e c i a l c a r e i s r e q u i r e d f o r m o d e l s t h a t a r en o t u n id i m e n s io n a l a n d / o r n o n r e cu r s iv e .

W e c o d e d w h e t h e r t h e i s su e o f i d e n ti f ic a t io n w a sa d d r e s s e d i n a g i v e n a r t i c le . T a b l e 1 s h o w s t h a t v e r yf e w a u t h o r s m e n t i o n t h a t t h e y c h e c k e d w h e t h e r am o d e l t o b e e s t i m a t e d w a s i d e n t i f ie d . I t is p o s s i b l et h a t i d e n t i f i c a t i o n w a s c o n s i d e r e d w i t h o u t e x p l i c i t l ym e n t i o n i n g t h i s f a c t , a n d i n m a n y c a s e s c o m p u t e rp r o g r a m s w i l l g i v e a w a r n i n g m e s s a g e i f a m o d e la p p e a r s t o b e u n d e r i d e n t i f i e d , s o t h a t i d e n t i f i c a t i o np r o b l e m s m i g h t b e d e t e c t e d e v e n i f i d e n t if i c a ti o n i sn o t p r o v e d t h e o re t i ca l ly . H o w e v e r , p a r t i c u la r l y w h e ni t i s n o t i m m e d i a t e l y c l e a r t h a t a m o d e l i s i d e n t i f i e d ,i t w o u l d b e a d v i s a b l e t o d e a l w i t h i d e n t i f i c a t i o ne x p l i c i t l y a n d t o m e n t i o n t h i s f a c t i n t h e p a p e r . O u ro w n a s s e s s m e n t o f m o d e l i d e n ti f i ca t i o n i n p r e v i o u sa p p l i c at i o n s o f S E M s u g g e s t s t h a t t h e v a s t m a j o r i t yo f m o d e l s a r e i n d e e d i d e n t i f ie d t h e o r e t ic a l ly . H o w -e v e r , i n a t l e a s t t w o i n s t a n c e s t h e t a r g e t m o d e l w a sp r o b a b l y n o t i d e n t i f i e d a n d i n a n o t h e r p a p e r o n e o ft h e c o m p a r i s o n m o d e l s w a s u n d e r i d e n ti f ie d . I t is t h u ss t r o n g l y r e c o m m e n d e d t h a t i n t h e f u t u r e m o r e a t t e n -t i o n b e p a i d t o t h e i s s u e o f i d e n t i f i c a ti o n . 5

Degree o f freedom. A s a f i n a l c h a r a c t e r i z a t i o n o fp r e v i o u s a p p l i c a t io n s o f S E M , T a b l e 1 s h o w s t h a tt h e m e d i a n n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m a n d t h u so v e r i d e n t i f y i n g r e s t r i c t i o n s i s a b o u t 3 2 . T h e m e d i a ni s l o w e s t f o r t y p e I I m o d e l s a t 1 1 a n d h i g h e s t f o rt y p e I I I m o d e l s a t 4 9 . I n a s u r p r i s i n g l y l a r g e p r o p o r -t i o n o f a ll c a s e s d e g r e e s o f f r e e d o m a r e r e p o r te di n c o r r e c t l y ( 8 p e r c e n t ) . T h e r e a s o n f o r t h i s e r r o r i st h a t a c o r r e l a t i o n m a t r i x i s u s e d a s i n p u t t o e s t i m a -t io n , a t le a s t o n e e x o g e n o u s c o n s t r u c t is m e a s u r e d b ya s i n g l e i n d i c a t o r , t h e l o a d i n g o f t h e s i n g l e i n d i c a t o ro n i t s ' c o n s t r u c t ' i s c o n s t r a i n e d t o o n e , a n d a t t h es a m e t i m e t h e v a r i a n c e o f t h e s i n g l e - in d i c a t o r c o n -

5 Even if a mod el is identified theoretically, there m igh t beempirical identification problems. This happens wh en the expres-sion of a parameter in terms of observed variances and covari-ances involves a denominator that is zero or close to z ero (cf.Kenny, 1979).

s t r u c t i s a s s u m e d t o b e k n o w n a n d a l s o f i x e d a t6o n e . T h i s r e s u lt s in i n f la t e d d e g r e e s o f f r e e d o m a n de x a g g e r a t e d p - v a l u e s f o r t he o v e r a l l g o o d n e s s - o f - f i tX 2 s t a t i st i c. F o r t u n a t e l y , t h e e r r o r i s g e n e r a l l y s m a l li n m a g n i t u d e .

I n m o s t c a s e s , i t i s p o s s i b l e t o s e p a r a t e t h e m e a -s u r e m e n t m o d e l f r o m t h e l a t en t v a r ia b l e m o d e l a n dt o p a r ti t io n t h e t o t al n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o mi n t o d e g r e e s d u e t o t h e p a r t i c u l a r s p e c i f i c a t i o n o f t h em e a s u r e m e n t m o d e l ( e s s e n t ia l l y t h e d e g r e e s o f f r ee -d o m o f a s a tu r a t e d s t r u c t u r a l m o d e l ) a n d t h e d e g r e e so f f r e e d o m d e r i v e d f r o m a p a r ti c u l a r s t r uc t u ra l m o d e lf o r m u l a t i o n ( t h e d e v i a t io n o f a m o d e l f r o m a s a t u -r a t e d s t r u c t u r a l s p e c i f i c a t i o n ) . T a b l e 1 i n d i c a t e s t h a t ,o v e r a ll , m o s t d e g r e e s o f f r e e d o m d e r i v e f r o m t h em e a s u r e m e n t m o d e l . I n t y p e I m o d e l s d e v i a t i o n sf r o m t h e s a t u r a t e d s t r u c t u r a l m o d e l a r e r a r e ( i . e . ,c a s e s w h e r e f a c t o r c o v a r i a n c e s a r e s p e c i f i e d t o b ef i x e d ) , a n d i n ty p e I I m o d e l s o v e r i d e n t i f y i n g r e s t r i c -t i o n s c a n o n l y b e i m p o s e d o n t h e s t ru c t u ra l m o d e l . I nt y p e I I I m o d e l s , w h e r e d e g r e e s o f f r e e d o m m a yc o m e f r o m b o t h t h e m e a s u r e m e n t a n d l a t e n t v a r i a b l em o d e l s , t h e m e d i a n c o n t r i b u t i o n o f th e m e a s u r e m e n tm o d e l t o th e t o ta l n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m i sa b o u t 9 3 p e r c e n t . D u n c a n ( 1 9 7 5 ) a n d F o r n e i l ( 1 9 8 3 )h a v e p o i n t e d o u t t h e d a n g e r s o f i n te r p r e ti n g a g o o do v e r a l l f i t o f a m o d e l a s s u p p o r t f o r t h e v a l i d i t y o fo n e ' s t h e o r y . T h e f i g u r e s o n t h e p e r c e n t a g e o f o v e r i -d e n t i f y i n g r e s t r i c t i o n s t h a t a r e g e n e r a l l y d e r i v e d f r o mt h e m e a s u r e m e n t m o d e l p r o v i d e f u r t h e r e v i d e n c e o nt h e f o l l y o f s u c h a r g u m e n t s .3.2. Issues related to data screening prior to modelestimation and testing

P r o b a b l y o n e o f th e m o s t c o m m o n m i s t a k es i na p p l y i n g S E M i s t o p a y l i t t l e o r n o a t t e n t i o n t o t h er a w d a t a a n d t o i m m e d i a t e l y c o m p u t e a c o r r e l a t i o nm a t r i x a n d r u s h t o m o d e l e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g . T h ed a n g e r i n h e r e n t i n t h i s p r a c t i c e i s t h a t t h e c o r r e l a t i o nm a t r i x m a s k s t h e m u l t it u d e o f f a c to r s t h a t m a y c a l li n t o d o u b t t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e c h o s e n s t a t is t i c alp r o c e d u r e .

6 In o ther words, the scale of a latent variable should be fixedby setting either the loading of one reference indicator or thefactor variance equal to un ity (but not both).


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148 H. Baumgar tner, C . Ho mb urg / In ter n . J . o f Research in Marke t ing 13 (1996) 13 9-161Fi r s t , i t i s impor t an t t o check tha t t he re a re no

c o d i n g e r r o r s , t h a t v a r i a b l e s h a v e b e e n r e c o d e d a p -p r o p r i a t e l y i f n e c e s s a r y , a n d t h a t m i s s i n g v a l u e s h a v eb e e n d e a l t w i t h p r o p e r l y ( K a p l a n , 1 9 9 0 ) . S e c o n d , i ti s h e l p f u l t o i n v e s t i g a t e p o s s i b l e d i s t o r t in g i n f l u e n c e si n t r o d u c e d b y t h e p r e s e n c e o f a f e w i n f l u e n t i a l o u t -l i e r s . T h i r d , i t i s c r u c i a l t o e x a m i n e t h e a p p r o x i m a t en o r m a l i t y o f t h e d a t a a n d t o t a k e c o r r e c t i v e a c t i o n i ft h i s a s s u m p t i o n i s v i o l a t e d , s i n c e m o s t e s t i m a t i o nm e t h o d s a s s u m e t h a t t h e d a t a c o m e f r o m a m u l t i v a r i -a t e norma l popula t i on . F ina l ly , i t i s e ssen t i a l t ha t ana p p r o p r i a t e m e a s u r e o f a s s o c i a t i o n b e u s e d a s i n p u tt o m o d e l e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g .

R e c e n t d i s c u ss i o n s o f S E M h a v e p l a c e d i n c r e a se de m p h a s i s o n s u c h i m p o r t a n t i s s u e s a s o u t l i e r d e t e c -t i o n a n d a s s e s s m e n t o f n o r m a l i t y ( s e e B o l l e n , 1 9 8 9f o r a n e x c e l l e n t d i s c u s s i o n ) . T h e n e c e s s a r y a n a l y s e sc a n n o w b e c o n d u c t e d f a i r l y e a s i l y w i t h c o n v e n t i o n a lc o m p u t e r p r o g ra m s f o r S E M ( e. g. E Q S , P R O CC A L L S i n S A S ) o r s p e c i a l i z e d p r o g r a m s s u c h a sP R E L I S ( J 6 r e s k o g a n d S ~ S r b o m , 1 9 9 3 b ) a n d t h e L I S -R E S m a c r o f o r S A S ( D a v i s ( 1 9 9 2 ) , b a s e d o n t h ew o r k o f B o l l e n ( 1 9 8 9 ) , a n d B o l l e n a n d A r m i n g e r( 1 9 9 1 ) ) . P R E L I S i s h e l p f u l f o r e x p l o r a t o r y d a t as c r e e n i n g a n d f o r t e s t i n g t h e u n i v a r i a t e a n d m u l t i -v a r i a t e n o r m a l i t y o f t h e o b s e r v e d v a r i a b l e s . T h eL I S R E S m a c r o c a n b e u s e d t o f l a g ' a t y p i c a l ' c a s e sa n d t o p e r f o r m o u t l i e r a n a l y s i s f o r g r o u p s o f o b s e r -v a t i o n s , a n d i t a l s o r e p o r t s u n i v a r i a t e a n d m u l t i v a r i -a t e t e s t s o f n o r m a l i t y b a s e d o n t h e s k e w n e s s a n dk u r t o s i s o f t h e o b s e r v e d v a r i a b l e s ( s e e B o l l e n ( 1 9 8 9 ) ,f o r d e t a i l s ) . A n a s s e s s m e n t o f t h e a p p r o x i m a t e n o r -m a l i t y o f t h e d a t a i s i m p o r t a n t b e c a u s e m o d e l e s t i -m a t i o n a n d t e s t i n g a r e u s u a l l y b a s e d o n t h e v a l i d i t yo f t h i s a s s u m p t i o n , a n d l a c k o f n o r m a l i t y a d v e r s e l ya f f e c t s g o o d n e s s - o f - f i t in d i c e s a n d s t a n d a r d e r r o r s .

T h e r e w a s l i t t l e e v i d e n c e i n m o s t o f t h e p a p e r st h a t t h e a u t h o r s h a d s h o w n p a r t i c u l a r c o n c e r n f o rd a t a s c r e e n i n g p r i o r t o m o d e l e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g .D u e t o s p a c e c o n s t r a i n t s d a t a s c r e e n i n g i s p r o b a b l yn o t d e s c r i b e d i n m o s t c a s e s a n d t h e i d e a o f o u t li e rd e t e c t i o n i n S E M i s a r e l a t i v e l y n e w o n e . H o w e v e r ,i t i s w i d e l y k n o w n t h a t S E M g e n e r a l l y r e q u i r e s t h ea s s u m p t i o n o f m u l t i v a r i a t e n o r m a l i t y , a n d w e c o d e dw h e t h e r a s s e s s m e n t o f n o r m a l i t y w a s d i s c u s s e d e i -t h e r q u a l i t a ti v e l y o r q u a n t i t a t iv e l y . O n l y i n 8 p e r c e n to f a l l c a s e s d i d a u t h o r s i n d i c a t e t h a t th e y h a d c h e c k e dw h e t h e r t h e d a t a w e r e a t l e a s t a p p r o x i m a t e l y n o r m a l .

A l t e r n a t i v e e s t i m a t i o n t e c h n i q u e s f o r w h i c h m u l t i -v a r i a t e n o r m a l i t y i s n o t a s c r u c i a l a s f o r m a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o n ( s e e d i s c u s s i o n b e l o w ) w e r eu s e d v e r y i n f r e q u e n t l y ( 5 p e r c e n t ), a n d i n n o i n s t a n cew a s t h e i r u s e m o t i v a t e d b y t h e f a c t t h a t th e d a t a w e r en o t s u f f i c i e n t l y n o r m a l . T h e s e r e s u l t s i n d i c a t e t h a tn o t e n o u g h a t t e n t i o n i s b e i n g p a i d t o t h e s a t i s f a c t i o no f a s s u m p t i o n s t h a t a r e n e c e s s a r y f o r t h e v a l i d u s e o ft h e m o s t c o m m o n l y u s e d e s t i m a t i o n t e c h n i q u e . W er e c o m m e n d t h a t i n f u t u r e r e s e a r c h t h e r e q u i r e m e n t o fm u l t i v a r i a t e n o r m a l i t y b e t a k e n m o r e s e r i o u s l y a n dt h a t a s u m m a r y m e a s u r e d e s c r i b i n g t h e e x t e n t t ow h i c h t h e d a t a a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d b e r e p o r t e da s a m a t t e r o f r o u t i n e i n t h e m e t h o d s o r r e s u l t ss e c t io n o f t h e p a p e r ( e . g . , t h e m u l t i v a r i a te c o e f f i c i e n to f r e l a t i ve kur tos i s ; c f . B ro wn e , 1982) .

In add i t i on t o t he i ssue o f da t a sc reen ing , t he re i sa l s o t h e q u e s t i o n o f w h i c h m e a s u r e o f a s s o c i a t i o n t ou s e i n t h e a n a l y s i s . R e s e a r c h e r s o f t e n u s e c o r r e l a -t i o n s r a t h e r t h a n c o v a r i a n c e s a s i n p u t t o e s t i m a t i o n ,a n d C u d e c k ( 1 9 8 9 ) h a s r e c e n t l y d i s c u s s e d t h i s i s s u ei n s o m e d e t a i l . S i n c e i n m o s t c a s e s m a x i m u m l i k e l i -h o o d ( a s w e l l a s g e n e r a l i z e d l e a s t s q u a r e s ) f i t t i n gfunc t ions a re sca le i nva r i an t and the re su l t i ng e s t i -ma te s sca le f r ee (Bol l en , 1989) , t h i s has no e f fec t ono v e r a l l g o o d n e s s o f f i t i n d i c e s a n d p a r a m e t e r e s t i -m a t e s . H o w e v e r , s t a n d a r d e r r o r s m a y b e i n a c c u r a t e ,a n d C u d e c k ( 1 9 8 9 ) c a u t i o n s a g a i n s t t h e u s e o f c o r r e -l a t io n m a t r i c e s . O u r s u r v e y o f p r e v i o u s a p p l i c a t io n so f S E M s h o w s t h a t i n m a n y c a s e s r e s e a r c h e r s d o n o tm e n t i o n s p e c i f i c a l l y w h i c h m e a s u r e o f a s s o c i a t i o nt h e y u s e d a s i n p u t t o e s t i m a t io n . I f th e c o n s e r v a t i v ec r i t e r i on i s adop ted t ha t a cor re l a t i on i s used byd e f a u l t , a b o u t 7 8 p e r c e n t o f a p p l i c a t i o n s h a v e b a s e de s t i m a t i o n o n c o r r e l a t i o n m a t r i c e s . C o v a r i a n c e s w e r espec i f i ca l ly used in 21 pe rcen t o f a l l c a se s and in af e w a p p l i c a t i o n s a n o t h e r m e a s u r e o f a s s o c i a t i o n w a se m p l o y e d . I t i s d i f f i c u l t t o a s s e s s h o w f r e q u e n t l y t h eu s e o f c o r r e la t i o n s h a s h a d d e t r i m e n t a l e f f e c t s o n t h ea n a l y s i s . O n e c a s e w h e r e c o r r e l a t i o n s s h o u l d n o t b eu s e d i s w i t h m u l t i p l e - g r o u p a n a l y s e s . I n s e v e n i n -s t a n c e s o n l y t h e r e s u l t s o f m u l t i p l e - g r o u p a n a l y s e sw e r e r e p o r t e d i n t h e p a p e r . I n f o u r o f t h e s e c a s e s n om e n t i o n w a s m a d e o f t h e f a c t t h a t t h e a n a l y s e s w e r eb a s e d o n c o v a r i a n c e s , a n d i t i s p o s s i b l e t h a t c o r r e l a -t i o n s w e r e u s e d a s i n p u t . W e r e c o m m e n d t h a t i nf u t u r e r e s e a r c h a l l a n a l y s e s b e c o n d u c t e d o n c o v a r i -a n c e m a t r i c e s a n d t h a t t e s t s o f s i g n i f i c a n c e f o r i n d i -


11/23

H. Baumgartner, C. Ho mb urg~ Inter n. J . of Research in Mar keting 13 (1996) 139- 161 149

v i d u a l p a r a m e t e r s b e r e p o r t e d f r o m t h i s a n a l y s i s .S t a n d a r d i z e d p a r a m e t e r e s t i m a t e s c a n b e e a s i l y o b -t a i n e d f r o m t h e s t a n d a r d i z e d s o l u t i o n i n w h i c h e i t h e rt h e l a t e n t v a r i a b l e s o r b o t h t h e l a t e n t a n d o b s e r v e dv a r i a b l e s h a v e b e e n s t a n d a r d i z e d .3 .3 . I s sues re la ted to the es t imat ion and tes t ing o ft h eo r e t i ca l m o d e l s o n em p i r i ca l d a t a

Mo d e l e s t i m a t i o n . A v a r i e t y o f e s t i m a t i o n p r o c e -d u r e s a r e a v a i l a b l e t o o b t a in p a r a m e t e r e s ti m a t e s a n dt e s t s t a t i s t i c s , b u t t h e m a j o r i t y o f m o d e l s ( a b o u t 9 5p e r c e n t ) a r e e s t i m a t e d u s i n g m a x i m u m l i k e l i h o o dt e c h n i q u e s ( s e e T a b l e 2 ) . T h e r e a s o n f o r t h i s p r e f e r -e n c e f o r m a x i m u m l i k e l ih o o d t e c h n iq u e s s e e m s t o b et h a t i t i s t h e d e f a u l t m e t h o d i n m o s t c o m p u t e r p a c k -a g e s . F u r t h e r m o r e , g i v e n t h e l a c k o f c o n c e r n f o r t h ev a l i d i t y o f t h e n o r m a l i t y a s s u m p t i o n , a u t h o r s p r o b a -b l y d o n o t s e e a n e e d t o c o n s i d e r a l t e r n a t i v e e s t i m a -t io n p r o c e d u r e s . I n p r i n c i p l e, a s y m p t o t i c a l l y d i s tr i b u -t i o n - f r e e ( A D F ) m e t h o d s ( B r o w n e , 1 9 8 4 ) c a n b eu s e d r e g a r d l e s s o f w h i c h d i s t r i b u t i o n u n d e r l i e s t h eo b s e r v e d v a r i a b l e s , b u t i n p r a c t i c e v e r y l a r g e s a m p l es i z e s a r e r e q u i r e d , a n d s i m u l a t i o n s h a v e s h o w n t h a tA D F t e c h n i q u e s d o n o t n e c e s s a r i l y p e r f o r m b e t t e re v e n w h e n t h e y m i g h t b e e x p e c t e d t o b e m o r eappropr i a t e t heore t i ca l ly (c f . Hu e t a l . , 1992 ; Sha rmae t a l . , 1989) . G iven the sma l l sample s i ze s on whichc o r r e l a t i o n s o r c o v a r i a n c e s a r e g e n e r a l l y b a s e d , A D Ftechn iques a re p robab ly no t a p rac t i ca l a l t e rna t ive i nmost s i t ua t i ons .

E s t i m a t i o n p r o b l em s . S o m e t i m e s e s t i m a t i o n t e c h -n i q u e s e n c o u n t e r d i f f i c u l ti e s i n c o n v e r g i n g o n a s o l u -t i o n o r c o n v e r g e o n a l o c a l l y o p t i m a l s o l u t i o n , a n de v e n w h e n a s o l u t i o n h a s b e e n f o u n d i t m i g h t b ei m p r o p e r i n t h e s e n s e t h a t t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r sa r e i m p o s s i b l e i n t h e p o p u l a t i o n ( e . g . , n e g a t i v e e r r o rva r i ances) o r o f l i t t l e use i n t e s t i ng (e .g . , ve ry l a rges t a n d a r d e r r o r s ) . F r e q u e n t c a u s e s o f s u c h p r o b l e m sa r e p o o r l y s p e c i f i e d m o d e l s , o v e r f i t ti n g , o u t l ie r s , b a ds t a r t i n g v a l u e s , i n s u f f i c i e n t l y o p e r a t i o n a l i z e d c o n -s t r u c t s , a n d s m a l l s a m p l e s i z e s ( B e n t l e r a n d C h o u ,1987).

F e w i n s t a n c e s o f e s t i m a t i o n p r o b l e m s w e r e e n -c o u n t e r e d i n o u r r e v i e w ( s e e T a b l e 2 ) . W i t h r e s p e c tt o c o n v e r g e n c e p r o b l e m s , t h i s i s n o t t o o s u r p r i s i n gs in c e n o n c o n v e r g e n c e w o u l d p r o b a b l y p r e c l u d e p u b -l i c at i o n o f a n a rt i cl e . O n e a r e a w h e r e c o n v e r g e n c e

p r o b l e m s w e r e s o m e t i m e s m e n t i o n e d w a s i n t h ec o n t e x t o f m u l t i - t r a i t m u l t i - m e t h o d a n a l y s i s . I m -p r o p e r s o l u t i o n s i n t h e f o r m o f n e g a t i v e e r r o r v a r i -a n c e s w e r e f o u n d i n 5 p e r c e n t o f a l l m o d e l s ( a l -t h o u g h t h e y w e r e n o t a l w a y s s i g n i f i c a n t ) . S o m e t i m e st h e o f f e n d i n g e s t i m a t e w a s s e t t o z e r o , a n d s o m e -t imes i t was re t a ined . I t should be no t ed t ha t e s t i -m a t e d m o d e l p a r a m e t e r s a r e n o t a l w a y s r e p o r t e d i ne n o u g h d e t a i l s o t h a t i t i s s o m e t i m e s i m p o s s i b l e t ot e l l w h e t h e r i m p r o p e r s o l u t i o n s o c c u r r e d o r n o t . W ew o u l d r e c o m m e n d t h a t a u t h o r s a t l e a s t m e n t i o n t h a tt h e r e w e r e n o i m p r o p e r s o l u t i o n s i f c o m p l e t e r e s u l t sa r e n o t r e p o r t e d b e c a u s e o f s p a c e c o n s t r a in t s o r o t h e rrea sons .

A s s es s m en t o f o v e r a l l m o d e l f i t . T h e m o s t p o p u l a ri n d e x f o r a s s e s s i n g t h e o v e r a l l g o o d n e s s o f f i t o f amode l has been the X2 s t a t i s t i c , which t e s t s t he nul lh y p o t h e s i s t h a t t h e e s t i m a t e d v a r i a n c e - c o v a r i a n c em a t r i x d e v i a t e s f r o m t h e s a m p l e v a r i a n c e - c o v a r i -a n c e m a t r i x o n l y b e c a u s e o f s a m p l i n g e r r o r . I n p r a c -t i ce , t he X 2 t e s t i s som e t im es o f l imi t ed use fu lnessb e c a u s e i t i s n o t r o b u s t t o v i o l a t i o n s o f u n d e r l y i n ga s s u m p t i o n s ( p a r t i c u l a r l y n o r m a l i t y ) a n d b e c a u s e i ti s heav i ly i n f luenced by sample s i ze (Ben t l e r , 1990) .T h e l a t t e r p r o b l e m i s p a r t i c u l a r l y s e r i o u s b e c a u s e o nt h e o n e h a n d l a r g e s a m p l e s i z e s a r e n e e d e d t o o b t a i nv a l i d t e s t s , b u t o n t h e o t h e r h a n d s p e c i f i e d m o d e l sa re p robab ly neve r l i t e ra l ly t rue and thus sub jec t t ore j ec t i on i n suf f i c i en t ly l a rge samples (c f . Cudeckand Brow ne , 1983) .B e c a u s e o f t h e s e p r o b l e m s , m a n y a l t e r n a t i v e f i ti n d i c e s h a v e b e e n d e v e l o p e d ( f o r r e c e n t o v e r v i e w ssee Ge rbi ng and An ders on, 1993; J/Sreskog, 1993;Marsh e t a l . , 1988; Mula ik e t a l . , 1989 ; Tanaka ,1993) . So m e of t he se a re s t and-a lone i nd i ces a sse ss -ing mode l f i t i n an abso lu t e sense (e .g . , t he goodnesso f f i t i n d e x ( G F I ) , a d j u s t e d g o o d n e s s o f f i t i n d e x( A G F I ) , a n d r o o t m e a n s q u a r e r e s i d u a l ( R M R ) r e -p o r t e d b y e a r l i e r v e r s i o n s o f L I S R E L ) a n d o t h e r s a r ei n c r e m e n t a l f i t in d i c e s c o m p a r i n g t h e t a r g e t m o d e l t ot h e f i t o f a b a s e l i n e m o d e l , a m o n g t h e m t h e B e n t l e ra n d B o n e t t ( 1 9 8 0 ) n o r m e d f i t i n d e x ( B B I ) a n d t h eT u c k e r a n d L e w i s ( 1 9 7 3 ) n o n n o r m e d f i t i n d e x ( T L I ) .M o s t o f t h e t i m e t h e b a s e l i n e m o d e l i s o n e i n w h i c ha l l o b s e r v e d v a r i a b l e s a r e a s s u m e d t o b e u n c o r r e -l a t e d , a l t h o u g h o t h e r b a s e l i n e m o d e l s a r e p o s s i b l e .

R e c e n t w o r k o n g o o d n e s s - o f - fi t a s s e s s m e n t h a se m p h a s i z e d t h e i d e a o f e x p r e s s i n g m o d e l f i t in t e r m s


12/23

150 H . Baum gar t ner , C . H ombu rg~ I n t e rn . J . o f Research in M arke t i ng 13 1996) 13 9 -161

0E

0

E

e.

E

2

~

~ ~ ~

~ ~ ~ _ ~ ~ ~

~ o o o ~ _ _ ~ _ ~ _ o o o ~


13/23

H . B a u m g a r t n e r , C . H o m b u r g / I n t e r n . J . o f R e s e a r c h i n M a r k e t i n g 1 3 ( 1 9 9 6 ) 1 3 9 - 1 6 1 151

7.

E

e..=_.8E

~e

e~

[-

e~

ea

0

,o

,7 .


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152 H. Baumgarmer. C. Homburg~Intern. J. of Research in Marketing 13 (1996) 139-161o f n o n c e n t r a l it y ( e .g . , B e n t l e r , 1 9 90 ; M c D o n a l d a n dM arsh , 1990; S t e ige r , 1990; B ro wn e and Cu deck ,1993) . Th i s exp l i c i t ly r ecogn izes t he fac t t ha t hy-p o t h e s i z e d m o d e l s a r e g e n e r a l l y o n l y a p p r o x i m a t e l yt r u e , p r o v i d e s a b a s i s f o r p o p u l a t i o n - b a s e d ( r a t h e rt h a n s a m p l e - b a s e d ) f i t m e a s u r e s a n d a s s o c i a t e d c o n -f i d e n c e i n t e r v a l s , a n d a p p e a r s t o m i t i g a t e t h e p r o b -l e m t h a t t h e m e a n s o f t h e s a m p l i n g d i s t r i b u t i o n s o fm a n y a l t e r n a t i v e f i t m e a s u r e s a r e a f u n c t i o n o f s a m -p le s i ze (wi th l a rge r samples y i e ld ing l a rge r f i t i n -d i c e s o n a v e r a g e ) . A m o n g t h e s t a n d - a l o n e f i t i n d i c e sb a s e d o n n o n c e n t r a l i t y a r e t h e M c D o n a l d ( 1 9 8 9 )m e a s u r e o f c e n tr a l i ty ( M C ) a n d t h e r o o t m e a n s q u a r e de r r o r o f a p p r o x i m a t i o n ( R M S E A ) o f S t e i g e r ( 1 9 8 9 )a n d S t e i g e r ( 1 9 9 0 ) , w h i c h e s t i m a t e s h o w w e l l t h ef i t t e d m o d e l a p p r o x i m a t e s t h e p o p u l a t i o n c o v a r i a n c em a t r ix p e r d e g r e e o f f r e ed o m . B r o w n e a n d C u d e c k( 1 9 9 3 ) s u g g e s t t h at a v a lu e o f R M S E A b e l o w 0 . 0 5ind ica t e s c lose f i t and tha t va lues up t o 0 .08 a rer e a s o n a b l e , a n d t h e y p r o p o s e a t e s t o f c l o s e f i t f o rt e s t i n g t h e h y p o t h e s i s t h a t R M S E A i s s m a l l e r t h a n0 .05 . ( In con t ra s t , t he conv en t iona l X2 s t a t i s ti c t e s t st h e h y p o t h e s i s t h a t R M S E A = 0 ) . A m o n g t h e i n c r e -m e n t a l f i t i n d i c e s b a s e d o n n o n c e n t r a l i t y a r e t h eB e n t l e r ( 1 9 9 0 ) n o r m e d c o m p a r a t i v e f i t i n d e x ( C F I ) ,w h i c h i n m o s t c a s e s e q u a l s t h e M c D o n a l d a n d M a r s h( 1 9 9 0 ) n o n n o r m e d r e l a t i v e n o n c e n t r a l i t y i n d e x , a n dt h e T u c k e r - L e w i s i n d e x ( T L I ) . T h e m o s t i m p o r t a n td i f f e r e n c e b e t w e e n C F I a n d T L I i s t h a t T L I ( l i k eR M S E A ) e x p r e s s e s f i t p e r d e g r e e o f f r e e d o m , t h u si m p o s i n g a p e n a l t y f o r e s t i m a t i n g l e s s p a r s i m o n i o u sm o d e l s . T h i s m a y b e i m p o r t a n t in c o m p a r i n g m o d e l so f d i f f e r e n t c o m p l e x i t y .

T a b l e 2 s h o w s t h a t m o s t p u b l i s h e d a r t i c l e s u s i n gS E M r e p o r t a t l e a s t o n e s t a n d - a l o n e f i t i n d e x , a n ds l i gh t ly more t han a t h i rd a l so re ly on i nc rementa l f i ti nd i ces t o a sse ss t he ove ra l l f i t o f t he mode l . Ase x p e c t e d , b y f a r t h e m o s t c o m m o n l y u s e d f i t i n d e x i st h e X 2 t e s t. O t h e r c o m m o n s t a n d - a l o n e i n d i ce s a r eG F I , A G F I , a n d R M R . U n t i l r e c e n t l y t h e s e w e r e t h eo n e s a u t o m a t i c al l y r ep o r t ed b y L I S R E L , w h i c h s e e m st o e x p l a i n t h e i r p o p u l a r i t y . I n c r e m e n t a l f i t i n d i c es a r eu s e d l e s s f r e q u e n t l y , p r o b a b l y b e c a u s e , u n t i l r e -c e n t l y , o n e h a d t o e s t im a t e a s e p a r a t e b a s e l i n e m o d e la n d c a l c u l a t e t h e i n d e x b y h a n d . B B I h a s b e e n t h em o s t p o p u l a r i n c r e m e n t a l f i t i n d e x , b u t C F I h a sr e c e n t l y g a i n e d i n p o p u l a r i t y .

T h e l a t e st v e r s io n s o f t he m o s t c o m m o n c o m p u t e r

p r o g r a m s f o r S E M ( e . g . , L I S R E L 8 , t h e P R O CC A L L S p r o c e d u r e i n S A S ) r e p o r t a l a r g e n u m b e r o fd i f fe ren t f i t i nd i ces so t ha t au thors wi l l have t o makea d e c i s i o n a b o u t w h i c h o n e s t o u s e i n m o d e l e v a l u a -t i o n . B o l l e n a n d L o n g ( 1 9 9 3 ) r e c o m m e n d t h a t r e -sea rche rs sho uld no t r e ly so le ly on t he X 2 s t a t i s t icbut r epor t mul t i p l e f i t i nd i ces r epre sen t ing d i f fe ren tt y p e s o f m e a s u r e s ( i . e . , o t h e r s t a n d - a l o n e i n d i c e sb e s i d e s t h e X 2 s t a ti s ti c , s u c h a s R M S E A , a n d i n c r e -m e n t a l f i t i n d i c e s s u c h a s C F I a n d T L I ; s e e T a n a k a ,1 99 3 , f o r a d i s c u s s i o n o f d i ff e r e n t d i m e n s i o n s a l o n gwhich f i t i nd i ces can be c l a ss i f i ed ) . Tab le 2 i nd i ca t e st h a t r e s e a r c h e r s b a s e m o d e l e v a l u a t i o n t o o m u c h o nthe X 2 t e s t , and we sugg es t t ha t a l t e rna t ive f i ti n d i c e s ( p a r t ic u l a r l y t h o s e b a s e d o n n o n c e n t r a l it y ) b eu s e d m o r e w i d e l y i n f u t u r e a p p l i c a t i o n s .

T a b l e 2 a l s o r e p o r t s s u m m a r y s t a t i s t i c s o n t h ed i s t ri b u t io n o f g o o d n e s s - o f - f i t m e a s u r e s a c r o s s p r e v i -o u s a p p l i c a t i o n s o f S E M . T h e X : s t a ti s ti c b y i ts e l f i sno t a mean ingful s t a t i s t i c wi thout t ak ing in to accoun tt h e d e g r e e s o f f r e e d o m o f a m o d e l s o t h a t t h e r a t io o fX 2 t o d e g r ee s o f f r e e d o m ( x 2 / d f ) i s r e p o rt e d . I fe i t h e r G F I o r A G F I w a s p r o v i d e d i n t h e p a p e r , i t i sgene ra l ly poss ib le t o ca l cu la t e t he o the r i ndex , andth i s was done to i nc rease t he sample s i ze . In t he ca seo f R M R , o n l y m o d e l s in w h i ch t h e R M R w a s b a s e don a cor re l a t i on ma t r ix a re i nc luded in t he sample .S u m m a r y s t a t i s t i c s a r e a l s o r e p o r t e d f o r M C a n dR M S E A s i n c e t h e y m i g h t b e c o m e m o r e w i d e s p r e a din t he fu ture . Bes ides t he t h ree i nc rementa l f i t i n -d i c e s t h a t w e r e e n c o u n t e r e d w i t h s o m e d e g r e e o ff r e q u e n c y ( B B I , T L I , a n d C F I ) , T a b l e 2 a l s o r e p o r t st h e r e l e v a n t f i g u r e s f o r t h e r e l a t iv e f i t in d e x ( R F I ) o rp~ and the i nc rem enta l f i t i ndex ( IF I ) o r / I 2 , bo th o fw h i c h a r e d u e t o B o l l e n ( 1 9 8 9 ) . P r o v i d e d t h a t a tl ea s t one i nc rementa l f i t i ndex was repor t ed i n t hepape r , i t i s poss ib le t o ca l cu la t e t he X 2 o f t heb a s e l i n e m o d e l a n d t h u s a n y o t h e r i n c r e m e n t a l f i ti n d e x . W h e n e v e r p o s s i b l e , t h i s w a s d o n e t o i n c r e a s et h e s a m p l e s i z e o n w h i c h t h e s u m m a r y s t a t i s t i c s a r eb a s e d . O n l y m o d e l s f o r w h i c h t h e b a s e l i n e m o d e lw a s t h e o n e o f c o m p l e t e i n d e p e n d e n c e a m o n g a l lm e a s u r e s w e r e u s e d . T h e e f f e c t i v e s a m p l e s i z e s f o rt he n or m s on x 2 / d f , G F I , A G F I , R M R , M C , R M -S E A , B B I , T L I , C F I , R F I , a n d I F I a r e p r o v i d e d i nb r a c k e t s i n T a b l e 2 .

T h e m e d i a n s f o r x 2 / d f , G F I , A G F I , R M R , M C ,and RMSEA were 1 .62 , 0 .95 , 0 .91 , 0 .05 , 0 .95 , and


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H. Baumgartner, C. H om bu rg /In ter n. J . of Research in Marketing 13 (1996) 139- 161 153

0 . 0 6 , r e s pe c t i ve l y . I n 54 pe r c e n t o f a l l c a s e s t hehy p o t he s i z e d mo de l w a s i nc on s i s t e n t w i t h the da t aba s e d on a X 2 g ood ne s s - o f - f i t te s t a t a c r i ti c a l va l u eo f 0 . 0 5 . T he c o r r e s pond i ng f i gu r e s f o r t y pe I , I I , a ndI I I mo de l s w e r e 61 , 21 , a nd 6 0 pe r c e n t . T hu s , t y pe I Imode l s t e nd t o a c h i e ve be t t e r f i t s t ha n t he o t he r t w ot y pe s o f mode l s . T he r e a s on f o r t h i s s e e ms t o be t ha tt he s e mode l s a r e ge ne r a l l y l e s s c ompl e x t ha n t y pe Ia n d t y p e I I I m o d e l s . T h e m e d i a n s f o r B B I , T L I , C F I ,R F I , a nd I F I w e r e 0 . 91 , 0 . 93 , 0 . 95 , 0 . 8 5 , a nd 0 . 95 .T he r e l a t i ve ma gn i t u de o f t he va r i ou s i nc r e me n t a l f i ti nd i c e s i s c ons i s t e n t w i t h t he o r e t i c a l e xpe c t a t i ons ( c f .B o l l e n , 198 9) . T he p e r c e n t a g e o f a pp l i c a ti ons i nw h i c h t h e G F I , A G F I , B B I , T L I , a n d C F I w e r es ma l l e r t ha n 0 . 9 ( t he va l u e p r e s u ma b l y i nd i c a t i ngacceptable f i t for these indices ) was 24 , 48 , 44 , 32 ,a nd 21 , r e s pe c t i ve l y . A l t hou gh t he f i gu r e s f o r t hei nc r e me n t a l f i t i nd i c e s s hou l d be i n t e r p r e t e d w i t hc a u t i on be c a u s e o f t he r e l a t i ve l y s ma l l nu mbe r o fa pp l i c a t i ons on w h i c h t he y a r e ba s e d , i t i s a ppa r e n tt ha t t he 0 . 9 va l u e i s a r e f e r e nc e po i n t t ha t ma n ym o d e l s d o n o t a c h i e v e . F o r R M S E A , 5 8 p e r c e n t o fa l l mode l s ha d va l u e s a bove 0 . 0 5 , a nd 23 pe r c e n tha d va l u e s e xc e e d i ng 0 . 0 8 . T hu s , a s i z a b le p r opo r -t i on o f pu b l i s he d mode l s f a l l s s ho r t o f w ha t B r ow nea nd C u de c k ( 1993) c a l l a r e a s ona b l e f i t .

I n a n e f f o r t t o a s c e

applications of structural equation modeling in marketing and consumer research

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