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Fenmenos
de
Transporte
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Fenmenos de Transporte 01/2008
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Disciplina: Fenmenos de Transporte
Cursos: Engenharia de Controle e Automao
Engenharia Eltrica
Prof a.: Mara Nilza Estanislau Reis
1 semestre 2008
Objetivos:
- Aprender os princpios bsicos da Mecnica dos Fluidos e da Transferncia de
Calor;- Analisar as distribuies de presso em fluidos em repouso;
- Analisar as distribuies de fora em corpos e superfcies submersas;
- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;
- Analisar as maneiras atravs das quais o calor transmitido.
Ementa:
Mecnica dos Fluidos: Propriedades Fsicas; Equaes Gerais da Esttica, Cinemtica e
Dinmica dos Fluidos; Clculos de Presses Hidrostticas, de Foras sobre Superfcies
Submersas e de Perda de Carga; Medio de Viscosidade, Presso e Velocidade.
Transferncia de Calor: Conduo, Conveco, Radiao, Aplicaes. Transferncia de
Massa: Difuso, Coeficiente de Transferncia de Massa, Teoria da Camada Limite,
Aplicaes.
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ndice
1. Introduo a Mecnica dos Fluidos.................................................................. 12
1.1. Definio............................................................................................. 121.2. Objetivo............................................................................................... 12
1.3. Aplicao............................................................................................. 12
2. Definio de um Fluido..................................................................................... 12
2.1. Introduo........................................................................................... 12
2.2. A Hiptese do Contnuo...................................................................... 13
2.3. Princpio da Aderncia........................................................................ 13
3. Mtodos de Anlise........................................................................................... 14
3.1. Sistema................................................................................................ 14
3.2. Volume de Controle............................................................................ 14
4. Dimenses e Unidades...................................................................................... 14
4.1. Introduo............................................................................................ 14
4.2. Sistemas de Dimenses....................................................................... 14
4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15
5. Propriedades Fsicas dos Fluidos...................................................................... 16
5.1. Peso Especfico.................................................................................... 16
5.2. Volume Especfico.............................................................................. 17
5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17
5.4. Massa Especfica ou Densidade Absoluta........................................... 18
5.5. Mdulo da Elasticidade Volumtrico.................................................. 19
5.5.1. Condies Isotrmicas............................................................. 19
5.5.2. Condies Adiabticas............................................................ 19
5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19
6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20
7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21
7.1. Regime Permanente............................................................................. 21
7.2. Regime Transiente............................................................................... 21
7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21
8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21
8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21
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8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22
8.3. Linhas de Tempo, Trajetrias, Linhas de Emisso e Corrente............ 23
8.4. Campos de Tenso............................................................................... 26
9. Viscosidade....................................................................................................... 27
9.1. Viscosidade Dinmica ou Absoluta: ()............................................. 27
9.2. Viscosidade Cinemtica: ()............................................................... 29
9.3. Nmero de Reynolds: (Re) ................................................................. 29
9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30
10. Presso............................................................................................................ 32
10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34
11. Fluidoesttica.................................................................................................. 34
11.1. A Equao Bsica da Esttica dos Fluidos........................................ 35
11.2. Presso Manomtrica........................................................................ 37
11.3. Presso Absoluta............................................................................... 38
11.4. O Barmetro de Mercrio................................................................. 38
11.5. Aplicao para a Manometria............................................................ 39
11.6. Tipos de Manmetros........................................................................ 41
11.6.1. Manmetros de lquido.......................................................... 41
11.6.2. Manmetros metlicos.......................................................... 43
12. Equilbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43
12.1. Princpio de Arquimedes................................................................... 44
13. Fluidodinmica................................................................................................ 47
13.1. Sistema.............................................................................................. 47
13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48
13.3. A Relao Entre as Derivadas do Sistema e a Formulao Para
Volume de Controle................................................................................... 48
13.4. Equao da Continuidade (de Conservao da Massa) Para um
Volume de Controle Arbitrrio..................................................................49
13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50
13.4.2. Vazo Mssica e Vazo Volumtrica.................................... 51
13.5. 1aLei da Termodinmica Aplicada ao Volume de Controle............. 53
13.6. Equao de Bernoulli........................................................................ 55
13.6.1. A Equao de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57
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13.6.1.1. Visualizao Grfica da Equao de Bernoulli...... 57
13.6.2. Aplicaes da Equao de Bernoulli..................................... 59
13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59
13.6.2.2. Medidores de Vazo............................................... 60
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63
13.6.2.2.3. Placa de Orifcio...................................... 65
13.6.2.2.4. Presso de Estagnao............................. 68
13.7. Equao de Bernoulli Para Fluidos Reais Perda de Carga............. 68
13.7.1. Visualizao Grfica da Equao de Bernoulli Para Fluidos
Reais..................................................................................................69
13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70
13.7.2.1. Perdas de Carga Contnuas..................................... 70
13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74
13.8. Potncia Fornecida por uma Bomba................................................. 81
14. Transferncia de Calor.................................................................................... 86
14.1. Introduo.......................................................................................... 86
14.2. Modos de Transferncia de Calor..................................................... 86
14.2.1. Conduo............................................................................ 86
14.2.2. Conveco.......................................................................... 87
14.2.3. Radiao............................................................................. 87
14.3. Leis Bsicas da Transferncia de Calor............................................. 88
14.3.1. Conduo............................................................................ 89
14.3.2. Conveco.......................................................................... 92
14.3.3. Radiao............................................................................. 93
15. Conduo........................................................................................................ 96
15.1. Introduo Conduo...................................................................... 96
15.2. Propriedades Trmicas da Matria.................................................... 97
15.3. Conservao de Energia em um Volume de Controle....................... 98
15.4. Equao da Difuso de Calor............................................................ 101
15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101
15.4.2. Coordenadas Cilndricas..................................................... 104
15.4.3. Coordenadas Esfricas....................................................... 104
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15.4.4. Condies de Contorno e Condio Inicial........................ 105
15.5. Conduo Unidimensional em Regime Permanente......................... 108
15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108
15.5.2. Resistncia Trmica........................................................... 109
15.5.3. Parede Composta................................................................ 113
15.5.4. Parede Composta: Srie-Paralelo....................................... 116
15.5.5. Resistncia de contato........................................................ 116
15.6. Conduo Unidimensional em Regime Permanente Sistemas
Radiais Cilindro.......................................................................................119
15.6.1. Distribuio de Temperatura.............................................. 119
15.6.2. Parede Cilndrica Composta............................................... 122
15.6.3. Espessura Crtica de Isolamento......................................... 125
15.7. Conduo Unidimensional em Regime Permanente
Sistemas Radiais Esfera...............................................................129
15.8. Conduo com Gerao de Energia Trmica........................ 130
15.8.1 Conduo com Gerao de Energia Trmica -
Parede Plana.......................................................................130
15.8.2 Conduo com Gerao de Energia Trmica
Sistemas Radiais................................................................. 133
16. Transferncia de Calor em Superfcies Expandidas Aletas......................... 134
16.1. Introduo.......................................................................................... 134
16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136
16.3. Balano de Energia para uma Aleta.................................................. 137
16.4. Aletas com rea da seo transversal constante................................ 138
16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143
17. Conduo Transiente....................................................................................... 146
17.1. Introduo.......................................................................................... 146
17.2. Mtodo da Capacitncia Global........................................................ 146
18. Conveco....................................................................................................... 148
18.1. Fundamentos da Conveco.............................................................. 148
18.2. As Camadas Limites da Conveco.................................................. 160
18.2.1. A Camada Limite Hidrodinmica......................................... 151
18.2.2. As Camadas Limites de Concentrao.................................. 152
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18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153
18.4. A Camada Limite Trmica................................................................ 156
EXERCCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................................. 159
Apndice A........................................................................................................... 160
Apndice B............................................................................................................ 164
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Figuras
Figura 1 Elemento Fluido sob a Ao de Esforo Tangencial Constante. 12
Figura 2 Comportamento de (a) um Slido e (b) um Fluido, Sob a Ao deuma Fora de Cisalhamento Constante.
13
Figura 3 O Perfil de Velocidade Linear no Lquido entre Placas Paralelas 13
Figura 4 Conjunto Pisto-Cilindro. 14
Figura 5 Escoamento de um Fluido Atravs de um Tubo. 14
Figura 6 Determinao do Campo de Velocidades em um Ponto. 20
Figura 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22
Figura 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22Figura 9 Deformao de um Elemento de Fluido. 28
Figura 10 Exemplo para o Clculo do Nmero de Reynolds. 30
Figura 11 - Possvel Classificao da Mecnica dos Fluidos. 31
Figura 12 Exemplo do Clculo da Presso na Base de um Recipiente. 33
Figura 13 Fluida em Repouso. 34
Figura 14 Volume de Controle Infinitesimal. 35
Figura 15 Variao de Presso em um Fluido Esttico. 37
Figura 16 Exemplo do Clculo das Presses Absoluta e Manomtrica. 38
Figura 17 O Barmetro de Mercrio. 39
Figura 18 Variao de Presso em uma Coluna de Mltiplos Fluidos. 39
Figura 19 Ilustrao do exemplo acima, vasos comunicantes. 40
Figura 20 Manmetro de Lquido. 41
Figura 21 Manmetro de Lquido. 42
Figura 22 Manmetro de Lquido. 42
Figura 23 Tubo de Bourdon. 43
Figura 24 Manmetro de Diafragma. 43
Figura 25 Corpo Imerso em um Fluido Esttico. 43
Figura 26 Clculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47
Figura 27 Conjunto Pisto-Cilindro. 48
Figura 28 Escoamento de um Fluido atravs de um Tubo. 48
Figura 29 Escoamento Unidimensional. 52
Figura 30 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento 58
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Unidimensional em um Duto.
Figura 31 Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes
Delgadas.59
Figura 32 Escoamento Interno atravs de um Bocal Genrico mostrando o
volume de controle usado para anlise. 60
Figura 33 Tubo de Venturi. 62
Figura 34 Medio de presso esttica Tubo de Pitot. 63
Figura 35 Tubo de Pitot com fluido manomtrico. 64
Figura 36 (a) Geometria de orifcio e localizao de tomadas de presso
Placa de orifcio. (b) Placa de Orifcio.66
Figura 37 Medies simultneas das presses de estagnao e esttica. 68
Figura 38 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento de um Fluido
Real.69
Figura 39 - baco de Moody. 72
Figura 40 Determinao da Rugosidade Relativa. 73
Figura 41 Valores aproximados de k. 74
Figura 42 Comprimentos Equivalentes para Tubulaes de Ferro fundido e
Ao.75
Figura 43- Reduo de rea Bocal. 77
Figura 44 Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78
Figura 45 Vlvula de gaveta. 79
Figura 46 Vlvula Globo. 80
Figura 47 Vlvula de Reteno. 80
Figura 48 Elevao de um Fluido com uma Bomba. 81
Figura 49 Conjunto elevatrio referente ao exemplo acima. 83
Figura 50 - Transferncia de calor. 86
Figura 51 Associao da transferncia de calor por conduo difuso da
energia provocada pela atividade molecular.87
Figura 52 Processos de transferncia convectiva de calor. (a) Conveco
natural. (b) Conveco forada.87
Figura 53 Troca radiativa entre uma superfcie e as suas vizinhanas. 88
Figura 54 Troca radiativa entre uma superfcie e as suas vizinhanas. 88
Figura 55 Transferncia de Calor em uma Parede Plana. 89
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Figura 56 Transferncia Convectiva de Calor. 91
Figura 57 Troca Radiativa Lquida entre duas Superfcies. 94
Figura 58 Faixas de Condutividade trmica para vrios estados da matria. 97
Figura 59 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102
Figura 60 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilndricas). 104
Figura 61 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esfricas). 105
Figura 62 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana. 108
Figura 63 Circuito Trmico. 111
Figura 64 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana. 113
Figura 65 Circuito trmico equivalente. 114
Figura 66 Parede Composta. 116
Figura 67 Circuitos Trmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116
Figura 68 - Queda de temperatura devido resistncia trmica de contato. 117
Figura 69 Transferncia de Calor atravs de um Cilindro Oco. 119
Figura 70 Transferncia de Calor Atravs de uma Parede Cilndrica
Composta.121
Figura 71 Ilustrao do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124
Figura 72 Parede Cilndrica Composta. 125
Figura 73 Comportamento das Resistncias Trmicas com r2. 128
Figura 74 Transferncia de Calor atravs de uma Casca Esfrica. 129
Figura 75 Conduo em uma parede plana com gerao uniforme de calor.
(a) Condies de contorno assimtricas. (b) Condies de contorno
assimtricas. (c) Superfcie adiabtica no plano intermedirio.
131
Figura 76 Transferncia de Calor em uma superfcie expandida. 134
Figura 77 Superfcie da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferncia de
Calor.132
Figura 78 Colocao de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferncia de
Calor.132
Figura 79 Trocadores de Calor com tubos aletados. 133
Figura 80 Configuraes de Aletas. 133
Figura 81 Balano de Energia em uma Superfcie Expandida. 134
Figura 82 Aletas com rea da Seo Transversal Constante. 139
Figura 83 Eficincia de aletas. 144
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Figura 84 Montagem Representativa das Aletas a) Retang. b) Anulares. 146
Figura 85 Resfriamento de uma pea metlica quente. 147
Figura 86 Distribuio transiente de temperatura correspondente a
diferentes nmeros de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por
conveco.
148
Figura 87 - Transferncia convectiva de Calor. 148
Figura 88 Escoamento sobre uma Placa Plana. 149
Figura 89 - A camada limite fluidodinmica. 151
Figura 90 - Perfil de concentrao na camada limite. 152
Figura 91 Camada Limite. 153
Figura 92 Camada Limite Trmica. 156
Figura A1 Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166
Figura A2 Viscosidade Cinemtica de Alguns Fluidos Presso Atm. 167
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Tabelas
Tabela 1 Sistemas de Unidades. 15
Tabela 2 Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16Tabela 3 Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71
Tabela 4 Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76
Tabela 5 Coeficientes de Perda de Carga para Contrao e Expanso. 76
Tabela 6 Coeficiente de Perda de Carga para Reduo Suave da Seo. 77
Tabela 7 Comprimento Equivalente Adimensional para Vlvulas e
Conexes78
Tabela 8 Valores de h (W/m.K) 92
Tabela 9 Equaes de Taxa 96
Tabela 10 Lei de Fourier para os trs sistemas de coordenadas 96
Tabela 11 Resistncia trmica de contato em (a) Interfaces Metlicas sob
condies de vcuo e (b) Interface de Alumnio com diferentes fluidos
interfaciais
118
Tabela 12 Resistncia Trmica de interfaces slido/slido representativas 118
Tabela 13 Propriedade de Fluidos Gasosos 163
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1. Introduo a Mecnica dos Fluidos
1.1. Definio: a cincia que estuda o comportamento fsico dos fluidos e as leis que
regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso
(Fluidoesttica) e em movimento (Fluidodinmica).
1.2. Objetivo:conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido o
meio produtor de trabalho.
1.3. Aplicao: mquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas),
aeronaves, automveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilao de
residncias, edifcios comerciais, sistemas de tubulaes, corpos flutuantes, medicina,etc.
2. Definio de um Fluido
2.1. Introduo: uma sustncia que se deforma continuamente sob a aplicao de
uma tenso de cisalhamento (fora tangencial), no importa sua intensidade (figura 1).
Os fluidos compreendem as fases lquida e gasosa (ou de vapor) das formas fsicas nas
quais a matria existe.
Figura 1 Elemento Fluido sob a Ao de Esforo Tangencial Constante.
A distino entre um fluido e o estado slido fica clara ao ser comparado seu
comportamento. Ao ser aplicada uma fora tangencial F (fig.2a) sobre um slido fixado
entre as duas placas, o bloco sofre uma deformao e se estabiliza no novo formato. No
regime elstico do material, ao cessar a aplicao da fora, o slido retorna forma
original. Repetindo a experincia para um fluido, ele se deformar continuamente,
enquanto existir uma fora tangencial atuando sobre ele (fig.2b).
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Figura 2 Comportamento de (a) um Slido e (b) um Fluido, Sob a Ao de uma Fora
de Cisalhamento Constante.
1aSituao:
Figura 2a
Mantida a Ftconstante o slido deformar-se- at alcanar uma posio de equilbrio
esttico.
2aSituao:
Figura 2b
Sob a ao da Ft deforma-se continuamente, no se alcanando uma posio de
equilbrio esttico.
2.2. A Hiptese do Contnuo: Como o espao mdio entre as molculas que compem
o fluido bastante inferior s dimenses fsicas dos problemas estudados, considera-se
o fluido como uma substncia que pode ser dividida ao infinito.
2.3. Princpio da Aderncia: Os pontos de um fluido em contato com uma superfcie
slida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais esto em contato;
no h deslizamento naquelas fronteiras. (fig.3)
Figura 3 O Perfil de Velocidade Linear no Lquido entre Placas Paralelas Infinitas.
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3. Mtodos de anlise
3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificvel; as fronteiras do sistema
separam-no do ambiente volta; no h transferncia de massa atravs das mesmas,
calor e trabalho podero cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .
Figura 4 Conjunto Pisto-Cilindro.
3.2. Volume de controle:volume do espao atravs do qual o fluido escoa (arbitrrio),
a fronteira geomtrica chamada superfcie de controle, conforme mostrado na fig. 5.
Figura 5 Escoamento de um Fluido Atravs de um Tubo.
4. Dimenses e unidades
4.1. Introduo
Dimenses: so grandezas mensurveis (quantidades fsicas: podem ser primrias
(bsicas) e secundrias (derivadas)).
Unidades: so nomes arbitrrios dados s dimenses.
4.2. Sistemas de Dimenses
Lei da Homogeneidade dimensional: Todos os termos de uma expresso matemtica,
que, traduz um fenmeno fsico, devem possuir a mesma dimenso.
Exemplo:
200 at2
1Vxx ++=
( ) ( ) ) 22 ttL21ttLLL ++=
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4.3. Sistema de Unidades
Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento,
etc.). Pases diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960,
instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronizao. Foram
definidas 7 grandezas bsicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente
eltrica, quantidade de matria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades.
A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as
grandezas eltricas). No entanto, alguns pases ainda adotam os antigos sistemas de
unidades. No Sistema Britnico, as grandezas bsicas so fora, comprimento,
temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundria.
SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente eltrica),
quantidade de matria e intensidade luminosa.
Tcnico ingls: F(fora), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura).
Tabela 1 Sistemas de Unidades.
SISTEMA
DE
UNIDADES
MASSA COMPRI-
MENTO
TEMPO TEMPE-
RATURA
CORRENTE
ELTRICA
QTE DE
MATRIA
INTENSI-
DADE
LUMINOSASI Kg m s K A mol cd
ABSOLUTO g cm s K
TCNICO utm m s K
INGLS slug ft s R
INGLS
TCNICO
lbm ft s R
Fora: 2sm1kg1N=
Fora: 2s
cm1g1dina=
Massaft
s1lbf1slug
2
=
No Apndice B so apresentados os fatores de converso entre os sistemas para as
diferentes grandezas.
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A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos
pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa.
Tabela 2 Principais prefixos para unidades de Engenharia.
Fator
Multiplicativo
Prefixo Smbolo
109 Giga G
106 Mega M
103 Kilo k
10-1 Deci d
10-2 Centi c
10-3 Mili m
10-6 Micro
10-9 Nano n
10-12 Pico p
5. Propriedades fsicas dos fluidos
5.1. Peso especifico: ()
o peso do fluido contido em uma unidade de volume.
: Peso especfico [F/L3]
=
W W: Peso da substncia [F]
][LfluidodoVolume: 3
ggmmg
=
=
=
Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3)
DIM: [F / L3]
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5.2. Volume especfico: ()
Inverso da massa especfica.
: Volume especfico [L
3
/M]
1=
=
m : Massa especfica ou densidade
absoluta [M/L3]
Unidades: (m3/ kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm)
DIM: [L3/ M]
5.3. Densidade relativa: (,d ou SG)
Razo entre a massa especfica de uma substncia e a massa especfica de uma
substncia de referncia. Para lquidos, o fluido de referncia a gua e, para os gases, o
ar. Quando se trabalha com densidades relativas de slidos, comum que a substncia
de referncia seja a gua.
: Densidade relativa [adimensional]
ref
SGd
=== : Massa especfica ou densidade absoluta [M/L3]
ref.: Massa especfica ou densidade absoluta da
substncia de referncia [M/L3]
=d = SG=padrofluido
fluido
=
padraofluido
fluido
DIM: [1]
-
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18
5.4. Massa especfica ou densidade absoluta: ( )
Tambm conhecida como densidade absoluta, a quantidade de massa do fluido contida
em uma unidade de volume.
: Massa especfica [M/L3
]
=
m m: Massa do fluido [M]
][LfluidodoVolume: 3
Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3)
DIM: [M / L3]
A densidade dos gases variam bastante quando so alteradas sua presso, e/ou sua
temperatura. Ao contrrio, a densidade dos lquidos apresenta pequenas variaes com
alteraes de presso e temperatura, so, em sua maioria, considerados incompressveis.
Na Tab. A.1 (Apndice A), so apresentados valores de massa especfica para alguns
fluidos, a 20C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variao da
massa especfica da gua e do ar com a temperatura, para a presso de 1 atm.
5.5. Mdulo da Elasticidade Volumtrico: ()
Razo entre uma variao de presso e a correspondente variao de volume por
unidade de volume.
: Mdulo de elasticidade volumtrico
=
/
P P: Variao de presso [F/L2]
][LVolumedeVariao: 3
][LVolume: 3
O sinal negativo indica que um aumento de presso corresponde a uma reduo de
volume.
Unidades: (N/m2; kgf / m2; lbf / ft2)
DIM: [F / L2]
-
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Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substncia a
medida da variao relativa de volume decorrente de aplicao de presso. O mdulo de
compressibilidade de lquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases,
o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compresso.
5.5.1. Condies isotrmicas: T = constante
P.V. = constante P1V1= P2V2
1
2
2
1
P
P
V
V=
P.dV + V.dP = 0
P.dV = - V.dP
PPdP
VdV
=
=
5.5.2. Condies adiabticas:
P.Vk= constante
k = Cp/ Cv
P1.V1k= P2.V2
k
Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0
P.k.dV + V.dP = 0
kPkP
dP
V
dV
=
=
5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C)
Inverso do mdulo de elasticidade volumtrico.
1=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F]
: Mdulo de elasticidade volumtrico
[F/L2]
Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf)
DIM: [L2/F]
-
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6. Campo de velocidade
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume
de fluido mostrado na Fig. 6.
Figura 6 Determinao do Campo de Velocidades em um Ponto.
A velocidade instantnea do fluido no ponto C igual velocidade instantnea do
volume infinitesimal que passa pelo ponto C no instante de tempo em questo.
O campo de velocidade, Vr
, funo das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa
representao do campo de velocidades dada por:
( )tzyxVV ,,,rr
=
O vetor velocidade, Vr
, pode ser expresso em termos de suas trs componentes
escalares. Chamando estas componentes nas direes x, y e z de, respectivamente, u, v e
w, o campo de velocidades pode ser escrito como:
kwjviuV ++=r
,
onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu ===
Exemplo:
Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine:
(a) As dimenses de cada campo de velocidade
(b) Se est em regime permanente ou no
(1) [ ]iaeV bx =r
(2) jbxiaxV 2 +=r
-
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(3) jbxiaxV =r
(4) ( ) jbyitaxV 2+=r
(5) ( ) ( )kz
yxaV 1 321
22 +=r
Resoluo:
(1) Unidimensional ( ( )xVV rr
= ), regime permanente ( )tVV rr
.
(2) Unidimensional ( ( )xVV rr
= ), regime permanente ( )tVV rr
.
(3) Bidimensional ( )yxVV ,rr
= , regime permanente ( )tVV rr
.
(4) Bidimensional ( )yxVV ,rr
= , regime no permanente ( )tVV rr
= .
(5) Tridimensional ( )zyxVV ,,rr
= , regime no permanente ( )tVV rr
= .
7. Regime permanente e transiente
7.1. Regime Permanente:As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,
no variam com o tempo. A definio matemtica do movimento permanente :
0=
t
, onde representa uma propriedade qualquer do fluido.
7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.
7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o mdulo e o sentido do
vetor velocidade so constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas
espaciais, atravs de toda a extenso do campo.
8. Escoamentos uni, bi, tridimensional.Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o
nmero de coordenadas necessrias para se definir seu campo de velocidades.
8.1. Escoamento unidimensional:
Exemplo:
Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seo
transversal constante mostrado na Fig. 7.
-
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Figura 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional.
A partir de uma certa distncia da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela
equao:
=2
max 1R
ruu
Como o campo de velocidades depende apenas da distncia radial r, o escoamento
unidimensional.
8.2. Escoamento bidimensional:
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o
canal considerado infinito na direo do eixo dos z, o campo das velocidades ser
idntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqentemente, o campo de
velocidades funo somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento ,
portanto, bidimensional.
Figura 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional.
-
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8.3. Linhas de tempo, trajetrias, linhas de emisso e linhas de corrente:
Na anlise de problemas de mecnica dos fluidos, freqentemente vantajoso obter
uma representao visual de campo de escoamento. Tal representao provida de
linhas de tempo, de trajeto, de emisso e de corrente.
Se num campo de escoamento uma quantidade de partculas fluidas adjacentes forem
marcadas num dado instante, elas formaro uma linha no fluido naquele instante, esta
linha chamada de linha de tempo.
Uma linha de trajeto o caminho ou trajetria traada por uma partcula fluida em
movimento. Para torn-la visvel, temos que identificar uma partcula fluida, num dado
instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia
de exposio prolongada do seu movimento subseqente. A linha traada pela partcula
uma trajetria.
Por outro lado, poderamos preferir concentrar a ateno em um lugar fixo do espao e
identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partculas fluidas que passam
por aquele ponto. Aps um curto perodo, teramos uma certa quantidade de partculas
fluidas identificveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado
por um local fixo no espao. A linha em que une as partculas fluidas, num ponto fixo
no espao, definida como linha de emisso.
As linhas de corrente so aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que,
num dado instante, so tangentes direo do escoamento em cada ponto do campo.
Como as linhas de corrente so tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo,
no pode haver escoamento atravs delas.
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece
constante com o tempo e, em conseqncia, as linhas de corrente no variam de um
instante a outro. Isto implica que uma partcula localizada numa determinada linha de
corrente permanecer sobre a mesma. Alm disso, partculas consecutivas passando
atravs de um ponto fixo do espao estaro sobre a mesma linha de corrente e,
subseqentemente permanecero nela. Ento num escoamento permanente, trajetrias e
linhas de emisso e de corrente so linhas idnticas no campo de escoamento.
A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for
transiente. Neste caso, as trajetrias, as linhas de emisso e as linhas de corrente no
coincidem.
-
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Exemplo:
Considere o campo de escoamento
= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As
coordenadas so medidas em metros. Para a partcula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1)
no instante t = 0, trace a trajetria durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.
Compare esta trajetria com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos
instantes t= 0, 1 e 3 segundos.
Resoluo:
Partindo do princpiodt
dxu= e
dt
dyv= , ento:
dtdxaxtu == , =
tx
x
dtatxdx
0
.0
2
0 2
1ln at
x
x=
e
22
1,02
1
0 3tat exexx ==
e tambm, bdt
dyv == , =
ty
y
bdtdy00
, tybtyy 310 +=+=
ty
ex t
31
321,0
+=
=Regio a ser plotada no plano xy.
Temos queu
v
dx
dy
s
= .
Logo:axt
b
dx
dy= .
Aplicando equaes diferenciais temos:x
dx
at
bdy
x
x
y
y =
00
ou
+=
00 ln x
x
at
byy .
Substituindo os valores de a, b, x0e y0,
+=3
ln15
1x
ty .
Para t=1
+=3
ln151x
y
t=2
+=3
ln5,71x
y
t=3
+= 3ln51
xy
-
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Exemplo:
O campo de velocidade
= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como
representando o escoamento numa curva em ngulo reto. Obtenha uma equao para as
linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro
quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).
Resoluo:
A inclinao das linhas de corrente no plano xy dado por:
u
v
dx
dy=
Para
= jbyiaxV , faamos u = ax e v = -by, logo:
xa
yb
u
v
dx
dy
.
.==
Para resolvermos esta equao diferencial, separamos as variveis e integramos:
= xdx
a
b
y
dy
+= cxa
by lnln c = constante
+= cxy ab lnlnln ln c= constante
-
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Portanto: ab
cxy
=
Para o campo de velocidade dado, as constantes ae bso fixas. As linhas de corrente
so obtidas definindo valores diferentes para a constante de integrao c.
Como a = b = 1 sec-1, ento 1=b
a, e a equao das linhas de corrente dada por:
x
ccxy == 1 ou
y
cx=
Para c= 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.
A equaox
cy= a equao da hiprbole.
As curvas esto mostradas para diferentes valores de c.
8.4. Campo de Tenso
Tanto foras de superfcie quanto foras de campo so encontradas no estudo da
mecnica dos meios contnuos. As foras de superfcies atuam nas fronteiras de um
meio atravs de um contato direto. As foras desenvolvidas sem contato fsico e
distribudas por todo o volume do fluido so denominadas foras de campo. As foras
gravitacionais e eletromagnticas so exemplos de foras de campo.
A fora gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, dada por dVg ,
onde a massa especfica (massa por unidade de volume) e g a acelerao local da
gravidade. Segue-se que a fora de campo gravitacional g por unidade de volume e
gpor unidade de massa.
O conceito de tenso nos d uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as
foras atuantes na fronteiras do meio so transmitidas atravs deles. Ento campo de
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tenses seria a regio atravs da qual as foras atuantes seriam transmitidas atravs de
toda extenso do material.
Como a fora e a rea so ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de
tenso no ser vetorial. O campo de tenses normalmente chamado de campo
tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um
tensor de 2 ordem.
Dividindo a magnitude de cada componente da fora pela a rea , xA , e tomando o
limite quando xA se aproxima de zero, definimos as trs componentes da tenso
mostradas abaixo:
x
z
x
y
x
x
A
F
A
F
A
F
xxxA
xy
A
xy
A
xx
limlimlim
000
===
Utilizamos o ndice duplo para designar tenses. O primeiro ndice (neste caso x) indica
o plano no qual a tenso atua (neste caso a superfcie perpendicular ao eixo x). O
segundo ndice indica a direo na qual a tenso atua. Tambm necessrio adotar uma
conveno de sinais para a tenso. Uma componente da tenso positiva quando o seu
sentido e o plano no qual atua so ambos positivos ou ambos negativos.
9. Viscosidade
9.1. Viscosidade Dinmica ou Absoluta: ()
Propriedade que determina o grau de resistncia do fluido fora de cisalhamento, ou
seja, a dificuldade do fluido em escoar.
Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior
move-se a velocidade constante (u), sob a influncia de uma fora aplicada Fx.
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Figura 9 Deformao de um Elemento de Fluido.
A tenso tangencial ou tenso de cisalhamento do elemento fluido dada por:
dAy
dFx
Ay
FxAy
yx ==
0lim
A taxa de deformao igual a:
dt
d
tt
=
0lim
A distncia entre os pontos M e M dada por:
tVl = (a)
Para pequenos ngulos, yl= (b)
Igualando-se (a) e (b),
dy
du
dt
d
y
u
t ==
Para fluidos Newtonianos, a tenso tangencial proporcional taxa de deformao, ou:
dy
du
dy
duyxyx = .
A constante de proporcionalidade a viscosidade absoluta ou dinmica do fluido, .
DIM: [F.t / L2= M/L.t]
Unidades: (N.s/m2; kgf.s /m2; lbf.s /ft2)
Os fluidos mais comuns, como a gua, o ar e a gasolina, so newtonianos em condies
normais.
-
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Se considerarmos as deformaes de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo,
glicerina e gua, verificaremos que eles iro se deformar as taxas diferentes sob a ao
da mesma tenso de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistncia
deformao muito maior do que a gua. Dizemos, ento, que ela muito mais viscosa.
A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos . O
comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos apresentado na Fig.
A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura,
enquanto que os lquidos apresentam comportamento inverso.
9.2. Viscosidade Cinemtica: ()
Razo entre a viscosidade dinmica e a massa especfica.
: Viscosidade cinemtica [L2/t]
= : Viscosidade dinmica [Ft/L2]
: Massa especfica ou densidade absoluta
[M/L3]
DIM: [L2/t]
Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s)
Uma unidade comum para a viscosidade cinemtica o Stokes, sendo 1 Stokes =
1cm2/s.
9.3. Nmero de Reynolds: (Re)
Nmero adimensional, obtido pela razo entre as foras de inrcia e as foras viscosas.
Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido.
Re: Nmero de Reynolds [adimensional]
: Massa especfica ou densidade absoluta
[M/L3]
**Re
LV= V*: Velocidade do fluido [L/t]
L*: Comprimento caracterstico [L]
-
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= Viscosidade dinmica [F.t/L2]
DIM: [1]
O nmero de Reynolds o adimensional mais importante da Mecnica dos Fluidos. Ele
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no
interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transio do escoamento laminar
para turbulento 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor 5x105. Deve-
se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, velocidade e ao
comprimento caracterstico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a
velocidade V* a velocidade mdia no interior do tubo e L*, o seu dimetro. Para
escoamentos sobre placas planas, V* a velocidade da corrente livre e L*, o
comprimento da placa.
Figura 10 Exemplo para o Clculo do Nmero de Reynolds.
Como a viscosidade absoluta da glicerina 1500 vezes superior viscosidade da gua,
para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo dimetro, tenham
comportamentos semelhantes (mesmo nmero de Reynolds), a velocidade da glicerina
deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da gua.
9.4. Tipos de escoamento:
-
Escoamento laminar ( em tubulaes Re2300
)- Escoamento turbulento (Re > 4000)
-
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Figura 11 Possvel Classificao da Mecnica dos Fluidos.
O escoamento compressvel ou incompressvel definido a partir de um parmetro
chamado nmero de Mach, que definido como sendo a razo da velocidade do
escoamento (V) pela velocidade do som (S) do meio.
S
VMa=
Exemplo:
Um eixo com dimetro externo de 18 mm gira a 20 rotaes por segundo dentro de um
mancal de sustentao estacionrio de 60 mm de comprimento. Uma pelcula de leo
com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque
necessrio para girar o eixo de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do leo que se
encontra na folga anular, em (Pa.s)
Resoluo: Para calcular a viscosidade do leo devemos utilizar a frmula de tenso
de cisalhamento:
dy
du.=
Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual
possamos trabalhar:
Mecnicados Fluidos
Fluido noviscoso = 0
Fluido viscoso 0
Compressvel IncompressvelMa < 0,3
LaminarRe 2300
TurbulentoRe > 4000
-
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smru
sradrrot
rrot
rpsW
13,1
/6,125..2.2020
..21
20
max ==
=
60..
230
.
max
max
max
ndu
dnu
ru
ou
=
=
=
Devemos calcular agora a rea de contato entre o fluido e o material:
26
33
10.39,3
10.60.10.18
..
mA
A
LDA
=
=
=
Pelo torque, podemos tirar a fora:
NF
F
rF
rF
4,010.9
0036,0
.
3
=
=
=
=
Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinmico fazendo analogia
fora:
2
3
3
.0208,0
13,1.10.39,3
10.2,0.4,0
m
sN
du
dy
A
F
=
=
=
, ondey
u
dy
du max=
10. Presso
Fora exercida em uma unidade de rea.
P: Presso [F/L2]
A
FP= F: Fora [F]
A: rea [L2]
Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2= psi; mmHg)
DIM: [F / L2]
-
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A presso uma varivel dinmica muito importante na Mecnica dos Fluidos. Um
escoamento s possvel se houver um gradiente de presso. Para gases ideais, a
presso pode ser relacionada densidade e temperatura atravs da seguinte expresso:
TRnP =
Onde: n: quantidade de matria [mol]
R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K
DIM:
Tkmol
LF
..
.
T: temperatura absoluta do gs [T]
Se, ao invs do nmero de moles, for considerada a massa m do gs, a equao
pode ser reescrita na forma:
mRTP =
Onde R a constante especfica de cada gs, relacionada constante universal dos gases
atravs da massa molecular do gs MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema
Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.
M
RR=
A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinmicas de gases comuns na condio
padro ou standard.
A presso atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser
calculada da maneira mostrada a seguir:
Figura 12 Exemplo do Clculo da Presso na Base de um Recipiente.
-
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A presso na superfcie do fluido igual a P0.
A fora na superfcie do fluido dada por AP0
A fora exercida pela coluna de fluido devida ao seu peso:
( ) ghAgAhgmgFfluido ==== A fora na base do recipiente , ento, obtida como a soma da fora na superfcie do
fluido e do peso da coluna de fluido:
ghAAPF
FFF fluidoerfcie
+=
+=
0
sup
A presso na base do recipiente dada pela razo entre a fora e a rea da base:
A
FF
A
FP fluidoerfcie
+== sup
ghPA
ghAAPP
+=
+= 0
0
Para condies pr-fixadas, P0, e g so constantes.
Assim, a presso funo apenas da altura da coluna de lquido h.
10.1. Lei de Pascal:
No interior de um fluido em repouso, a presso constante em cada ponto.
Figura 13 Fluido em Repouso.
11. Fluidoesttica
a parte da Mecnica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso.
A condio de velocidade nula do fluido denominada condio hidrosttica. Em um
problema de hidrosttica, o objetivo principal , em geral, a determinao da
distribuio de foras ou presses em um elemento fluido.
-
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Fenmenos de Transporte 01/2008
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11.1. A equao bsica da esttica dos fluidos:
Dois tipos genricos de foras podem ser aplicados a um fluido: foras de corpo e foras
de superfcie. As foras de corpo, tambm chamadas de foras de campo, so as foras
desenvolvidas sem contato fsico com o fluido, distribudas por todo o seu volume. o
caso das foras gravitacionais e eletromagnticas. De uma maneira geral, a nica fora
de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecnica dos Fluidos
a fora gravitacional, ou o peso. As foras de superfcie so aquelas que atuam nas
fronteiras de um meio, atravs do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, s
podero estar presentes foras normais superfcie (por definio, o fluido a
substncia incapaz de resistir a foras de cisalhamento sem se deformar). A nica fora
de superfcie a ser considerada , portanto, a fora de presso.
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimenses dx, dy e dz, como mostrado na Fig.
14.
dx
dy
dz
y
x
z
Figura 14 Volume de Controle Infinitesimal.
A fora total atuando no elemento dada por:
SSC FdgdmFdFdFd rrrrr
+=+= .
A fora lquida de presso dada pela soma da fora de presso em cada uma das faces
do elemento. A fora de presso atuando na face esquerda do elemento :
jdzdxdy
y
PpFd L .
2
=
r
A fora de presso na face direita dada por:
( )jdzdxdyy
PpFd R .
2
+=
r
-
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A fora lquida de presso dada pela soma das foras de presso em todas as faces do
elemento,
( ) jdzdxdyy
Ppidzdy
dx
x
Ppidzdy
dx
x
PpFd S .
2.
2.
2
+
++
=
r
( ) ( )kdydxdzz
Ppkdydx
dz
z
Ppjdzdx
dy
y
Pp .
2.
2.
2
++
+
++
dzdydxkz
Pj
y
Pi
x
PFd S ..
=
r
A fora total dada, portanto, por:
dzdydxkz
Pj
y
Pi
x
PgdmFdgdmFd S ..
..
+=+=
rrrr
Como
dzdydxddm .... == ,
( ) =
+= dPgdzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PgdzdydxFd
rrr........
A 2 Lei de Newton estabelece que:
admFd rr
.=
Para um elemento fluido em repouso, a acelerao deve ser nula e o somatrio de todas
as foras deve ser zero. Assim,
( ) 0. = Pgr
Esta uma equao vetorial, que pode ser decomposta em trs equaes escalares,
0=+
xgx
P 0=+
ygy
P 0=+
zgz
P
Para simplificar a equao, conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor
gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z
apontado para cima )( kgg =r
, as equaes podem ser reescritas como:
0=
P 0=
y
P 0=
z
P
Se o fluido puder ser considerado incompressvel, a diferena de presso entre doispontos do fluido ser diretamente proporcional diferena de altura entre eles (Fig.15).
-
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Fenmenos de Transporte 01/2008
37
Concluses:
1. No h variao de presso na direo horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, esto submetidos
mesma presso;
2. A presso varia na direo vertical, sendo esta variao devida ao peso da coluna
fluida (Equao Fundamental da Hidrosttica);
3. No limite para z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz= Pn=
Px, ou seja, a presso em um ponto de um fluido esttico independente da
orientao (Lei de Pascal).
Se o fluido puder ser considerado incompressvel, a diferena de presso entre dois
pontos do fluido ser diretamente proporcional diferena de altura entre eles -
Equao Fundamental da Hidrosttica(Fig.15).
Figura 15 Variao de Presso em um Fluido Esttico.
Os valores de presso devem ser estabelecidos em relao a um nvel de referncia. As
maneiras de se expressar a presso variam, portanto, com o nvel de referncia adotado.
Quando o nvel de referncia zero (vcuo), as presses so denominadas absolutas.
Quando o nvel de referncia a presso atmosfrica local, as presses so
denominadas presses manomtricas ou efetivas.
11.2. Presso Manomtrica:
Presso medida tomando-se como referncia o valor da presso atmosfrica (Patm).
Patm= 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2= 1,0332 kgf/cm2= 10,332 m.c.a. =
760 mmHg
ghPP CB +=
-
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A presso manomtrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.
Se P>Patm, Pman> 0
Se P
-
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39
Figura 17 O Barmetro de Mercrio.
hghP
ghP
P
ghPP
PPPP
atm
A
E
EA
AA
atmA
==
=
=
+=
==
vcuo0
repouso)emfluidomesmonoaltura(mesmaisobrospontos'
Portanto, a presso atmosfrica pode ser medida a partir da altura de uma coluna lquida
de mercrio.
mmHgatmmmHgh 7601760 ==
11.5. Aplicao para a Manometria:
( )
121212
1212
PP
g
PPzz
zzgPP
=
=
=
Uma variao na elevao equivalente a uma variao de presso.
Figura 18 Variao de Presso em uma Coluna de Mltiplos Fluidos.
-
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1) ( )5445 zzgPP m =
2) ( )4334 zzgPP g =
3) ( )3223 zzgPP a =
4) ( )2112 zzgPP o =
Agrupando as equaes acima temos:
( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao +++=
Exemplo:
1) Determine a presso manomtrica no ponto a, se o lquido A tem densidade
relativa dA= 0,75, e o lquido B, dB=1,20. O lquido em volta do ponto a
gua e o tanque esquerda est aberto para a atmosfera.
Figura 19 Ilustrao do exemplo acima, vasos comunicantes.
Resoluo:Para calcular a presso no pontoa, devemos calcular a diferena de presso
do ponto em aberto (Patm), at chegar em a.
Primeiramente faremos algumas transformaes para simplificar os clculos:
1 pol = 25,4 mm
36 pol = 0,914 m
15 pol = 0,381 m
10 pol = 0,254 m5 pol = 0,127 m
P1
P
P2
P336 ol
dB=1,20
dA=0,75
-
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41
Calculamos as diferenas de presso:
PaPa
PhgPa
hgPPa
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGP
hgPP
oh
oh
Apadof
A
Bpadof
B
atmBpadrof
atmBatm
81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1
3..
..3
07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63
...23
..32
47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102
...12
..21
60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11
...1
..1
3
34
34
3
32.
32
3
21.
21
3
1.
1
2
2
=+=
+=
=
==
=
=
==
=
=
==
=
=
Temos ento como presso no ponto a:
PaPa 81,831.7=
11.6. Tipos de Manmetros:
11.6.1. Manmetros de lquido: So tubos transparentes e curvos, geralmente em
forma de U, que contm o lquido manomtrico. Para medio de altas presses,
utilizam-se fluidos com altos pesos especficos, como o mercrio. No caso de menores
presses, utilizam-se fluidos com menores pesos especficos, como gua ou leo.
Figura 20 Manmetro de Lquido.
-
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BA
BatmB
AatmA
BA
pp
ghpp
ghpp
hh
=
+=
+=
=
Figura 21 Manmetro de Lquido.
BbatmB
AaatmA
BA
ghpp
ghpp
pp
+=
+=
=
Figura 22 Manmetro de Lquido.
AaBbmanC
BbatmB
AaCA
BA
ghghp
ghpp
ghpp
pp
=
+=
+=
=
,
-
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11.6.2. Manmetros metlicos: So instrumentos usados para medir as presses dos
fluidos atravs de um tubo metlico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que
cobre um recipiente metlico. So os manmetros mais utilizados em aplicaes
industriais.
Figura 23 Tubo de Bourdon. Figura 24 Manmetro de Diafragma.
12. Equilbrio dos Corpos Flutuantes
Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de
uma fora igual ao peso do volume do fluido deslocado.
As densidades dos lquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de
flutuao de um densmetro.
Se um corpo est imerso ou flutua em um fluido, a fora que nele atua denomina-se
empuxo de flutuao. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em
repouso.
Figura 25 Corpo Imerso em um Fluido Esttico.
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume d dado por:
-
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( ) ( )
( ) ==
++=
=
gddAhhgdF
dAghPdAghPdF
dAPdAPdF
atmatm
12
12
12
O empuxo total obtido integrando-se dF, ou seja,
=== ggddFF
12.1. Princpio de Arquimedes:
Todo corpo imerso em um fluido em equilbrio recebe, por parte do fluido, um
empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado
pelo corpo.
O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.
Corpo Imerso:
E = peso do volume de fluido deslocado
gW
gE
corpocorpo
corpofluido
=
=
Corpo Flutuante:
E = peso do volume de fluido deslocado
gWgE
corpocorpo
deslocadofluido
==
-
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Situaes Possveis:
Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilbrio:
corpofluido
WE
=
=
Corpo Afunda
fluidocorpo
EW
>
>
Corpo Fica Parcialmente Imerso
corpofluido
WE
>
>
O ponto de aplicao do empuxo chamado Centro de Flutuao ou de Carena (C).
Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.
-
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Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilbrio:
O centro de flutuao coincide com o centro de gravidade do corpo.
Corpo Afunda
O centro de flutuao coincide com o centro de gravidade do corpo.
Corpo Fica Parcialmente Imerso
O centro de flutuao est localizado abaixo do centro de gravidade do corpo.
Quando o corpo est em equilbrio, E e W possuem a mesma linha de ao. Se o corpo
for afastado da condio de equilbrio, pode ocorrer uma das seguintes situaes:
Corpo imerso
-
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Se for aplicado um afastamento do equilbrio no corpo, ele permanecer na nova
posio. Assim, E e W estaro sempre na mesma linha de ao. Nesta situao, o corpo
est em equilbrio indiferente.
Corpo flutuante
Figura 26 Clculo do Metacentro de um Corpo Submerso.
Se o corpo for inclinado de um pequeno ngulo (Fig. 26b), o volume da parte de
fluido deslocado ir se alterar, provocando uma mudana na posio do centro de
flutuao do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' ir
interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro.
Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haver um momento
restaurador, que tender a retornar o corpo para a sua posio de equilbrio inicial. Neste
caso, o corpo se encontra em equilbrio estvel.
Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tender a afastar
o corpo ainda mais da posio de equilbrio inicial. Neste caso, o corpo est em
equilbrio instvel.
13. Fluidodinmica
Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de
controle, figuras 27 e 28.
13.1. Sistema:
Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou
mveis, mas no se verifica transporte de massa atravs deles.
-
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Figura 27 Conjunto Pisto-Cilindro.
13.2. Volume de Controle:
Volume arbitrrio do espao, atravs do qual o fluido escoa. O contorno geomtrico do
volume de controle denominado Superfcie de Controle. A superfcie de controle pode
ser real ou imaginria, e pode estar em repouso ou em movimento.
Figura 28 Escoamento de um Fluido atravs de um Tubo.
13.3. A relao entre as derivadas do sistema e a formulao para volume de
controle:
As leis da Mecnica so escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre
quando h uma interao entre o sistema e suas vizinhanas. No entanto, em muitos
problemas de Mecnica dos Fluidos, mais comum a anlise dos problemas utilizando-
se a formulao de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite
que as leis da Mecnica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma
propriedade extensiva arbitrria qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds
estabelece que:
==)( )(sistemamassa sistema
ddmNsistema
(N) uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa.
() uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura.
-
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+
= SCCsistema
AdVdtdt
dN
Onde:
.sistdtdN : a taxa de variao total de qualquer propriedade extensiva arbitrria do
sistema.
C
dt : a taxa de variao com o tempo, da propriedade extensiva arbitrria, (N),
dentro do volume de controle.
: a propriedade intensiva correspondente a N (=N por unidade de massa).
d : um elemento de massa contido no volume de controle.
C
d : a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de
controle.
SC
AdV : a vazo lquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela
superfcie de controle.
AdV : a vazo em massa atravs do elemento de rea Ad .
AdV : a vazo em massa da propriedade extensiva, N, atravs da rea Ad .
nV rr : o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal rea.
13.4. Equao da continuidade (de conservao da massa) para um volume de
controle arbitrrio:
Se este teorema for aplicado equao de conservao da massa,MNsistema= 1==
dm
dM
( ) +
=
SCC
sistema
dAnVdtdt
dM rr
Como a massa no varia no interior do sistema,
0=
sistemadt
dM
-
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( ) 0=+
SC
CdAnVd
t
rr
Onde:
cosunV =rr
Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de rea
dado por:
cos. AdVAdVrrrr
= , onde o ngulo entre o vetor velocidade e o vetor normal rea.
Como o vetor normal rea sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma
entrada de tubulao tem = 180e uma sada de tubulao tem = 0
Na entrada de uma tubulao, unV =rr
, e, na sada, unV =rr
Para um volume de controle fixo,
( ) =entradasadaSC
uAuAdAnV rr
Como o volume de controle fixo,
0=+
entradasadaC uAuAddtd
ou
0=+
entradasada
Cmmd
dt
d&&
13.4.1. Casos especiais:
Em algumas situaes, possvel simplificar a equao de conservao da massa.
Para escoamento em regime permanente, no h variao das propriedades do
escoamento com o tempo. Assim, a equao escrita como:
0=SC
AdV
Ou, para um escoamento com um nmero finito de entradas e sadas, esta equao
dada por:
-
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0=entradasada
mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral positivo para
sadas e negativo para entradas.
Para um fluido incompressvel, a massa especfica no varia com o tempo ou com a
posio. Assim, a equao de conservao da massa pode ser escrita como:
( ) 0=+
SC
CdAnVd
t
rr
sadaentrada =
A integral de d em todo o volume de controle simplesmente o volume. Como ele
no varia ao longo do tempo, a equao de conservao da massa para fluidos
incompressveis dada por:
0=SC
AdV
Definindo-se a vazo volumtrica Q por:
=SC
AdVQ
a equao de conservao da massa pode ser escrita, para um nmero finito de entradas
e sadas, como:
0= entradasada
QQ
A velocidade do escoamento varia em uma dada seo. Define-se a magnitude da
velocidade mdia em uma seo como sendo a razo entre a vazo volumtrica e a rea
da seo, ou:
==SC
AdVAA
QV 1r
13.4.2. Vazo Mssica e Vazo Volumtrica:
Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por
apenas uma coordenada espacial s, funo do tempo, ou seja, por s(t).
-
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Figura 29 Escoamento Unidimensional.
Seja m a massa fluida ocupando a rea A no instante de tempo t:
=m&
A vazo mssica, definida como sendo a taxa de variao da massa com o tempo, dada
por:
( )dt
d
dt
dmm
==
&
Aplicando-se a regra da cadeia,
( )dt
d
dt
dmm
==
&
Mas:
( ) Au
dt
dsAAs
dt
d
dt
d===
Assim:
dt
duAm
+=&
DIM: [M/t]
Para escoamento incompressvel, 0=dt
d.
uAm =&
A vazo volumtrica, ou a taxa de variao do volume com o tempo, dada por:
uAdt
dQ =
=
DIM: [L3/t]
A vazo mssica e a vazo volumtrica podem ser relacionadas pela expresso:
Qm =&
-
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13.5. 1aLei da Termodinmica aplicada ao volume de controle:
A primeira lei da Termodinmica uma afirmao da conservao da energia. Sua
formulao para sistema :
..
..
sistsist dtdEWQ =
Onde:.
Q : a taxa de transferncia de calor trocada entre o sistema e a vizinhana. A
conveno de sinais adotada estabelece que a taxa de calor positiva quando o calor
adicionado ao sistema.
.W : a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio
sobre o sistema (negativa).
E: a energia total do sistema, dada por:
==)()( sistemasistemaM
deedmE
e = a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cintica e a
energia potencial do sistema (por unidade de massa).
ugz
V
e
UmgzmVE
++=
++=
2
2
1
2
2
As formulaes para sistema e volume de controle so relacionadas por:
+
= SCCsistema
AdVdtdt
dN
==C sistema
ddnNsistema)(
A fim de deduzir a formulao para volume de controle, da primeira lei da
termodinmica, estabelecemos:N = E
N = . M
dm
dE=
=e
+
=
SCC
sistemaAdVede
tWQ
r
..
no instante t0:
-
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Csist
WQWQ
=..
.
..
O termo.
Wtem um valor numrico positivo quando o trabalho realizado pelo volume
de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobreo volume decontrole de sinal oposto ao realizado pelovolume de controle.
outroscisalnormaleixo WWWWW.....
+++=
=SC
normal AdVpW.
+
=
+++
SCC
outroscisal
SC
eixo AdVedet
WWAdVpWQ ....
( ) ++
= SCC
AdVpedet
WQ r
..
AdVugzV
det
WQSCC
rr&&
++++
=
2
2
Sendo:
1
=
importante ressaltar que a deduo da equao est alm do escopo desta disciplina.
Para maiores informaes, recomenda-se consultar os livros de Mecnica dos Fluidos
sugeridos. Na equao, eixoW.
qualquer taxa de trabalho de eixo (potncia) realizado
sobre ou pelo volume de controle, outrosW.
qualquer taxa de trabalho no considerada,
como trabalho produzido por foras eletromagnticas.
Exemplo:
Ar entra em compressor a 14 psia, 80F com velocidade desprezvel e
descarregado a 70 psia, 500F, com velocidade de 500 ps/s, se a potncia fornecida ao
compressor for 3200 hp e a vazo em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferncia
de calor.
Resoluo: Para calcular a taxa de transferncia de calor precisamos recorrer
seguinte frmula:
-
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AdVugzV
det
WQSCC
rr&&
++++
=
2
2
Levando agora em considerao as duas superfcies de controle e o regime
permanente:
( )
++++
+++= 1222
22
2221111
21
111 22 pugz
VAVpugz
VAVWQ &&
Colocando a vazo mssica em evidncia
( ) ( ) ( )
+++
= 11221212
21
22
2 ppuuzzg
VVmWQ &&&
h = entalpia especfica = u + p
( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p =++==
01=V 21 ZZ =
OBS.: Cp tabelado,Rlbm
BtuCpar
= 24,0 eRlbm
ftlbfRar
= 3,53
s
ftlbfHP
= 5501 e ftlbf
Btu=
778
1
T (R) = 460 + T (F)
Substituindo os parmetros acima na equao (A) temos:
( ) WTTCV
mQ p &&& +
+= 12
22
2
( )s
BTU,
s
lbm
Rlbm
BTU,
s
ftQ 7122612053995923990
2
50002
22
+=&
s
BTUQ 6.
10.49,2=
13.6. Equao de Bernoulli:
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equao de conservao da energia para o escoamento
em regime permanente de um fluido incompressvel no interior de uma tubulao, com
apenas uma entrada e uma sada de massa. Para esta situao, a equao da energia pode
ser simplificada.
AdVugzVdet
WQSCC
rr&&
++++
=
2
2
(A)
-
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56
Adotando-se as hipteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de
trabalho realizadas, a equao se reduz a:
AdVugzV
WQ
SC
rr&&
+++= 2
2
Chamando a entrada da tubulao de (1) e a sada da tubulao de (2), e considerando
que, em uma dada seo, a energia interna (u), a presso e a distncia vertical (z) no se
alteram, a equao pode ser dada por:
( )( ) ( ) 112
122
22
22221111
2222
AdVV
AdVV
mugzmugzWQAA
rrrr&&&&
++++++=
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressvel, a vazo mssica se conserva.
( ) 1121
22
22111212
1222
dAVVdAVVmuugzgzWQAA
+++= &&&
Definindo-se o coeficiente de energia cintica de forma que:
VdAV
VdAV
AA
=
22
22
Onde:
: o fator de correo da energia cintica
Pode-se escrever a equao da energia de uma forma mais compacta:
mVV
ppuugzgzWQ &&&
+++=
22
21
1
22
2121212
Para escoamento em regime turbulento, aproximadamente igual unidade. Para
escoamento em regime laminar, = 2.
Dividindo-se a equao pela vazo mssica, tem-se:
+++= 22
21
1
22
2121212
VV
ppuugzgzm
W
m
Q&
&
&
&
Reescrevendo-se a equao,
( )m
Quu
m
WVpgz
Vpgz
&
&
&
&
+=
++
++ 12
22
222
21
111 22
Os termos entre parnteses do lado esquerdo da equao representam a energia
mecnica por unidade de massa em cada seo transversal do escoamento. O termo
.
m
W&
representa a potncia de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido
-
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57
(Hs) e o termo
.
12 )( m
Quu
& representa a converso irreversvel de energia mecnica na
seo (1) em energia trmica no desejada e a perda de energia por transferncia de
calor.
13.6.1. A Equao de Bernoulli para fluidos ideais:
Para escoamentos de fluidos incompressveis para os quais se pode desprezar os efeitos
de atrito (fluidos ideais), tm que:
.
12 )( m
Quu
&=
A equao de Bernoulli pode ser dada ento por:
sHV
pgzV
pgz =
++
++
22
22
222
21
111
Quando, alm disso, no h nenhuma potncia de eixo, toda a energia mecnica se
conserva. A equao dada por:
++=
++
22
22
222
21
111
Vpgz
Vpgz
==
++ HVpgz
2
2
constante Equao de Bernoulli para fluidos ideais
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressvel
em regime permanente constante.
13.6.1.1. Visualizao grfica da equao de Bernoulli:
Muitas vezes, conveniente representar o nvel de energia de um escoamentopor meios grficos. Cada termo na equao de Bernoulli, na forma apresentada tem
dimenses de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais
so:
:g
P
Energia de Presso por unidade de peso do fluido ou carda devida presso
esttica local.
z: Energia de Posio por unidade de peso do fluido ou carga de elevao.
-
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g
V
2
2
: Energia Cintica por unidade de peso do fluido ou carga devida presso
dinmica local.
H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento.
Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecnica total se conserva.
A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha
energtica representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equao de
Bernoulli, a altura da linha energtica permanece constante para o escoamento sem
atrito, quando nenhum trabalho realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezomtrica
representa a soma das alturas de carga devidas elevao e presso esttica. A
diferena entre as alturas da linha energtica e da linha piezomtrica representa a altura
de carga dinmica (de velocidade).
Figura 30 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento Unidimensional em um
Duto.
Linha Energtica:g
Vgpz
22++
Linha Piezomtrica:g
Pz
+ .
-
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13.6.2. Aplicaes da Equao de Bernoulli:
13.6.2.1. Teorema de Torricelli:
Seja um recipiente de paredes delgadas com a rea da superfcie livre constante,
contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente atravs de um orifcio
lateral.
Figura 31 Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas.
A aplicao da equao de Bernoulli para fluidos ideais conduz a:
g
Vz
g
P
g
Vz
g
P21
11
22
22 ++=++
Para escoamento turbulento, assume-se 1 = 2 = 1
A equao da Continuidade estabelece que a vazo volumtrica seja constante, ou seja,
2211 VAVAQ ==
No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01=V .
Como o jato de sada livre presso atmosfrica, atmPPP == 21 .
Alm disso, hzz = 21
Portanto,
g
Vh
2
22=
ghV 22 =
Teorema de Torricelli: A velocidade de um lquido jorrando por um orifcio atravs de
uma parede delgada igual velocidade que teria um corpo em queda livre de uma
altura h..
-
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13.6.2.2. Medidores de vazo:
Freqentemente, necessrio medir a vazo que passa por uma tubulao. Existem
diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medio, divididos principalmente em
duas classes: instrumentos mecnicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos
mecnicos medem a vazo real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os
dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a acelerao de uma
corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genrico.
Figura 32 Escoamento Interno atravs de um Bocal Genrico mostrando o volume de
controle usado para anlise.
A separao do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formao deuma zona de recirculao, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A
corrente principal do escoamento continua a se acelerar aps a garganta, formando uma
vena contractana seo 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seo do
tubo. Na vena contracta, a rea de escoamento mnima e a velocidade mxima.
A vazo terica pode ser relacionada ao gradiente de presso atravs da aplicao da
equao de Bernoulli para fluidos ideais e da equao de conservao de massa. A
equao de Bernoulli estabelece que
g
Vz
g
P
g
Vz
g
P
22
21
111
22
222
++=++
Como z1 = z2, a equao se reduz a:
g
V
g
P
g
V
g
P
22
21
11
22
22
+=+
Assim, considerando-se escoamento turbulento, 1= 2=1 e:
-
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=
21
2221 2
VVPP
=
2
2
21
22
21 12V
VVPP
As velocidades 1V e 2V podem ser relacionadas atravs da equao de conservao de
massa,
2211 AVAV =
Ou
1
2
2
1
A
A
V
V=
Assim,
=
1
2
22
21 12 A
AVPP
A velocidade terica (ideal) 2V , portanto, dada por:
( )
=
2
1
2
212
1
2
A
A
PPV
A vazo volumtrica terica dada, portanto, por:
22AVQ=
( )2
2
1
2
21 .
1
2A
A
A
PPQ
=
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equao anterior para o clculo davazo atravs do medidor. A rea do escoamento real na seo 2 desconhecida quando
a vena contracta pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade no podem ser
considerados uniformes na seo. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes
quando os contornos medidos so abruptos. Finalmente, a localizao das tomadas de
presso influencia a leitura da presso diferencial.
A equao terica ajustada pela definio de um coeficiente de descarga emprico tal
que:
-
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( )tdAC
A
A
PPQ ..
1
2
2
1
2
21
=
Deve ser observado que no clculo da vazo real a rea que deve ser utilizada a rea
da garganta, e no a rea do escoamento na seo 2.
So apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazo,
medidos com distribuies de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na
entrada do medidor.
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:
O tubo de Venturi um dispositivo utilizado para medio da vazo ou davelocidade em uma tubulao. Consiste em uma reduo da seo do escoamento,
provocando um aumento de velocidade e uma queda na presso. Em geral, os medidores
so fundidos e usinados com pequenas tolerncias, de modo a reproduzir o desempenho
de projeto. A perda de carga total baixa. Dados experimentais mostram que os
coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos nmeros de Reynolds
(maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazo em massa
com cerca de 1% de erro. Para menores nmeros de Reynolds, a literatura dosfabricantes deve ser consultada.
A diferena de presso entre um ponto no escoamento e um ponto no
estrangulamento medida atravs de um lquido manomtrico, como mostrado na fig.
33.
Figura 33 Tubo de Venturi.
Aplicando-se a equao de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A),
2
22
21
21
1 22 zg
V
g
Pzg
V
g
P
AA++=++
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