aplikasi teori kabur dalam penetapan besarnya …

APLIKASI TEORI KABUR DALAM PENETAPAN BESARNYA PREMI

ASURANSI

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Yulia Sartika Jehabut

NIM: 133114027

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THE APPLICATION OF FUZZY THEORY IN DETERMINING THE

AMOUNT OF PREMIUM INSURANCE

A Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Yulia Sartika Jehabut

Student Number: 133114027

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018


iii


iv


v

Karya ini saya persembahkan untuk:

Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu memberkati saya.

Bapak saya Adrianus Jehabut.

Ibu saya Regina Rohyati Dao.

Kedua adik yang saya cintai Eki Jehabut dan Elda Jehabut.

Dosen pembimbing saya Romo Frans Susilo, SJ

serta sahabat dan teman-teman yang saya kasihi.


vi


vii

ABSTRAK

Teori himpunan kabur merupakan ilmu untuk membahas hal yang tidak

tegas dan didefinisikan dengan fungsi keanggotaan yang nilainya berada pada

selang tutup [0,1]. Teori himpunan kabur dapat digunakan untuk menyelesaikan

masalah penetapan besarnya premi pada perusahan asuransi. Penetapan besarnya

premi dilakukan menggunakan sistem inferensi kabur dan dimodelkan dengan

fuzzy logic toolbox melalui empat tahapan yaitu pembentukan himpunan kabur,

basis kaidah, penalaran kabur, dan penegasan.

Kata kunci: himpunan kabur, basis kaidah, penalaran kabur, sistem inferensi

kabur


viii

ABSTRACT

Fuzzy set theory is a knowledge to discuss vague things and is defined

using membership function whose values lie in closed interval [0,1]. Fuzzy set

theory can be used to solve problem of determining the amount of premium in an

insurance company. The determination of the amount of premium will be done

using fuzzy inference system and modeled using fuzzy logic toolbox in four steps,

namely fuzzification, rule base, fuzzy reasoning, and defuzzification.

Keywords: fuzzification, rule base, fuzzy reasoning, fuzzy inference system


ix


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, kasih, dan

penyertaannya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir

yang berjudul “Aplikasi Teori Kabur Dalam Penetapan Besarnya Premi Asuransi”

dibuat untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana Matematika

pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogykarta. Dalam

menyelesaikan tugas akhir ini penulis banyak mendapat dukungan dan doa dari

banyak orang. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

Prof. Dr. Frans Susilo, SJ selaku dosen pembimbing penulis yang selalu

setia dan sabar membimbing serta memberi arahan kepada penulis dalam

menyelesaikan tugas akhir ini.

Bapak/Ibu dosen program studi Matematika Universitas Sanata Dharma

yang telah membagikan ilmu, serta nasihat selama masa kuliah.

Bapak dan mama yang selalu memberikan dukungan dan semangat kepada

penulis.

Eki dan Elda yang selalu setia menyemangati dan menghibur penulis.

Teman-teman program studi Matematika angakatan 2013: Yola, Tia, Lia,

Melisa, Ditha, Bintang, Sisca, Sorta, Ezra, Natali, Inge, Laras, Yuni,

Ambar, Yui, Kristo, Indra, Wahyu, Andre, Agung, Rey, Dion. Terima

kasih untuk pengalaman berharga selama masa kuliah serta canda tawa

dan kebersamaan yang kalian berikan.

Ika Rinika, Yohana Putri, dan Tika Pangestu yang selalu mengingatkan

dan memberikan semangat kepada penulis untuk segera menyelesaikan

tugas akhir.

Adik lely dan monica yang menemani penulis dalam mengerjakan tugas

akhir.


xi


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii

HALAMAN PENGHESAHAN ..................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................................ vi

ABSTRAK ....................................................................................................................... vii

ABSTRACT .................................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ............................................................. ix

KATA PENGANTAR ...................................................................................................... x

DAFTAR ISI .................................................................................................................... xii

PENDAHULUAN ............................................................................................................ 1

BAB I PENDAHULUAN............................................................................................... 1

A. Latar Belakang .................................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................................. 2

C. Batasan Masalah................................................................................................ 2

D.Tujuan Penelitian ............................................................................................... 2

E. Manfaat Penelitian ............................................................................................ 2

F. Metode Penulisan .............................................................................................. 3

G. Sistematika Penulisan ....................................................................................... 3

BAB II HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR ......................................................... 5

A. Himpunan Kabur ............................................................................................. 5

B. Operasi Pada Himpunan Kabur ..................................................................... 10

C. Prinsip Perluasan ............................................................................................. 12


xiii

D. Logika Kabur ................................................................................................... 13

E. Sistem Inferensi Kabur ................................................................................... 19

F. Penyusunan Sistem Kendali Kabur ............................................................... 22

G. Asuransi ........................................................................................................... 23

BAB III SISTEM INFERENSI KABUR UNTUK PENETAPAN BESARNYA

PREMI ........................................................................................................................... 25

A. Pembentukan Himpunan kabur ..................................................................... 25

B. Basis Kaidah .................................................................................................... 29

C. Fungsi Pengaburan .......................................................................................... 32

D.Penalaran Kabur ............................................................................................... 32

E. Fungi Penegasan ............................................................................................. 44

BAB IV PENUTUP .................................................................................................... 73

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 74

LAMPIRAN ................................................................................................................ 75


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Teori himpunan kabur merupakan pengembangan dari teori himpunan tegas.

Teori himpunan kabur pertama kali dikenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965.

Perbedaan antara teori himpunan kabur dan teori himpunan tegas terletak pada

fungsi keanggotaannya. Jika pada himpunan tegas nilai fungsi keanggotaannya

adalah 0 atau 1, pada himpunan kabur nilai fungsi keanggotaannya adalah

bilangan real dalam selang tutup [0,1]. Pada saat ini teori himpunan kabur telah

banyak dikembangkan untuk mempermudah kehidupan manusia. Teori himpunan

kabur dapat diaplikasikan untuk membahas hal-hal yang tidak tegas. Salah satu

contoh aplikasi teori himpunan kabur adalah dalam bidang Asuransi.

Asuransi merupakan lembaga perlindungan finansial untuk menjamin

kejadian-kejadian yang tidak pasti, seperti sakit, kematian, kehilangan, kerusakan

karena bencana alam atau kejadian-kejadian yang tidak pasti lainnya. Seseorang

yang menjadi nasabah atau orang yang ditanggung oleh asuransi berkewajiban

untuk membayar premi pada pihak penanggung yaitu pihak asuransi. Besarnya

premi yang dibayarkan seseorang dapat berbeda-beda. Beberapa faktor penentu

besarnya premi adalah kesehatan, ekonomi, dan masa asuransi. Untuk menghitung

besarnya premi biasanya pihak asuransi mempunyai seorang aktuaria yang

bertugas untuk menghitung dan memprediksi besarnya premi yang harus

dibayarkan oleh nasabah. Perhitungan penetapan besarnya premi biasanya

menggunakan ilmu statistika. Namun selain menggunakan ilmu statistika, kita

juga dapat menggunakan teori himpunan kabur untuk menetapkan besarnya premi

yang harus dibayar oleh seorang nasabah asuransi.

Salah satu aplikasi teori himpunan kabur adalah sistem inferensi kabur,

yaitu suatu sistem yang bekerja atas dasar penalaran kabur. Sistem inferensi kabur


2

bekerja dengan cara kerja yang hampir sama dengan manusia dalam pengambilan

keputusan, dan terdiri dari empat tahapan, yaitu pembentukan himpunan kabur,

basis kaidah, penalaran kabur, dan penegasan.

Pada tugas akhir ini akan dijelaskan keempat tahapan tersebut serta

pemodelannya menggunakan Matlab fuzzy logic toolbox.

B. Rumusan Masalah

Permasalahan yang dirumuskan dalam tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana menetapkan besarnya premi menggunakan sistem inferensi

kabur?

2. Bagaimana membuat pemodelan penetapan besarnya premi menggunakan

Matlab fuzzy logic toolbox?

C. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini akan dibatasi faktor yang mempengaruhi besarnya

premi, yaitu faktor kesehatan, keadaan ekonomi, dan masa asuransi.

D. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini, yaitu:

1. Menyelesaikan permasalahan dalam penetapan besarnya premi dengan

menggunakan sistem inferensi kabur.

2. Memodelkan permasalahan penetapan besarnya premi menggunakan Matlab

fuzzy logic toolbox.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan ini adalah dengan membuat pemodelan penetapan

besarnya premi dengan menggunakan sistem inferensi kabur diharapkan dapat

mempermudah dalam menetapkan besarnya premi serta hasil yang kita

diperoleh lebih akurat.


3

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah

studi pustaka dari buku-buku dan jurnal serta praktik pemodelan menggunakan

Matlab fuzzy logic toolbox.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penelitian

E. Manfaat Penelitian

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR

A. Himpunan Kabur

B. Operasi Pada Himpunan Kabur

C. Prinsip Perluasan

D. Logika Kabur

E. Sistem Inferensi Kabur

F. Penyusunan Sistem Kendali Kabur

G. Asuransi

BAB III SISTEM INFERENSI KABUR UNTUK PENETAPAN

BESARNYA PREMI

A. Pembentukan Himpunan kabur

B. Basis Kaidah

C. Fungsi Pengaburan

D. Penalaran Kabur

E. Fungi Penegasan


4

BAB IV PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


5

BAB II

HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR

A. Himpunan Kabur

Himpunan kabur pertama kali dipublikasikan oleh Zadeh pada tahun 1965.

Himpunan kabur merupakan perluasan dari himpunan klasik. Derajat keanggotaan

pada himpunan klasik hanya 0 dan 1, sedangkan pada himpunan kabur derajat

keanggotaannya adalah bilangan real dalam selang tertutup dari 0 sampai dengan

1.

Setiap himpunan kabur dinyatakan dengan menggunakan fungsi

keanggotaan. Fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur dalam semesta

adalah pemetaan dari ke selang tertutup [ ], yaitu [ ]. Nilai

fungsi menyatakan derajat keanggotaan unsur dalam himpunan

kabur . Jika nilai fungsi sama dengan 1, maka merupakan anggota penuh dari

himpunan kabur . Jika nilai fungsi sama dengan 0, maka bukan anggota dari

himpunan kabur . Himpunan kabur dapat didefinisikan sebagai berikut

Definisi 2.1 (Zimmerman, 1991: 11)

Himpunan kabur dalam semesta adalah himpunan pasangan terurut:

{( ) },

dengan adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur .

Untuk semesta diskret, himpunan kabur dapat dinyatakan dengan cara

daftar, yaitu daftar anggota-anggota semesta dan derajat keanggotaannya.


6

Contoh 2.1

Dalam semesta ={Indah, Dude, Gilang, Nadi, Bima} yang terdiri dari siswa

dengan tinggi badan berturut-turut 165 cm, 150 cm, 168 cm, 158 cm, dan 167 cm.

Himpunan kabur “himpunan siswa yang tinggi” dinyatakan dengan cara

daftar sebagai berikut

0.9/Gilang + 0.8/Bima + 0.6/Indah + 0.4/ Nadi + 0.2/ Dude.

Sedangkan untuk semesta yang kontinu, himpunan kabur dapat dinyatakan

dengan cara analitik untuk merepresentasikan fungsi keanggotaan himpunan

kabur itu dalam bentuk suatu formula matematis yang dapat disajikan dalam

bentuk grafik.

Contoh 2.2

Himpunan kabur “Bilangan real yang dekat dengan 2” dalam semesta

dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut

{ u tu u tu u tu

dengan grafik sebagai berikut

Gambar 2.1 Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang

dekat dengan 2”


7

Nilai fungsi keanggotaan

Pendukung dari suatu himpunan kabur , yang dilambangkan dengan

, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang

mempunyai derajat keanggotaan taknol dalam , yaitu

( ) { }

Teras dari suatu himpunan kabur , yang dilambangkan dengan Teras( ), adalah

himpunan semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat keanggotaan sama

dengan 1, yaitu

( ) { }

Pusat dari suatu himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata

dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai nilai

maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata

tersebut. Jika nilai purata itu tak hingga positif (negatif), maka pusat himpunan

kabur adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang mencapai nilai

fungsi keanggotaan maksimum.

Tinggi dari suatu himpunan kabur , yang dilambangkan dengan Tinggi( ),

dideinisikan sebagai

( ) su

{ }

Suatu himpunan kabur yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan kabur

normal, sedangkan himpunan kabur yang tingginya kurang dari 1 disebut

himpunan kabur subnormal.

Titik silang dari suatu himpunan kabur adalah titik dari semesta yang

mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5 dalam


8

Fungsi keanggotaan dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik.

Beberapa fungsi keanggotaan yang sering digunakan antara lain adalah fungsi

keanggotaan segitiga dan fungsi keanggotan trapesium.

1. Fungsi Keanggotaan Segitiga

Fungsi keanggotaan segitiga dari suatu himpunan kabur dalam semesta

adalah pemetaan dari ke selang tertutup [ ] yang mempunyai tiga buah

parameter, yaitu dengan , dan dinyatakan dengan lambang

yang memenuhi aturan:

{

u tu

u tu

u tu

Fungsi keanggotaan segitiga tersebut juga dapat dinyatakan dengan

formula sebagai berikut:

( (

) )

Contoh 2.3

Fungsi keanggotaan Segitiga( ;1, 2,7) dapat dinyatakan sebagai berikut:

{

u tu

u tu

u tu

{

u tu

u tu

u tu

Gambar 2.2 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan Segitiga ( ;1, 2,7).


9

Gambar 2.2 Grafik fungsi keanggotaan Segitiga( ; 1, 2,7)

Nilai fungsi keanggotaan

2. Fungsi Keanggotaan Trapesium

Fungsi keanggotaan trapesium dari suatu himpunan kabur dalam

semesta adalah pemetaan dari ke selang tertutup [ ] yang mempunyai

empat buah parameter, yaitu dengan , dan

dinyatakan dengan lambang yang memenuhi aturan:

{

u tu

u tu

u tu

u tu

Fungsi keanggotaan trapesium tersebut juga dapat dinyatakan dengan

formula sebagai berikut:

( (

) )

Contoh 2.4

Fungsi keanggotaan Trapesium (x; 1, 2, 4, 7) dapat dinyatakan sebagai berikut:


10

{

u tu

u tu

u tu

u tu

{

u tu

u tu

u tu

u tu

Gambar 2.3 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan Trapesium (x; 1, 2, 4, 7),

dengan nilai fungsi keanggotaan

Gambar 2.3 Fungsi keanggotaan Trapesium (x; 1, 2, 4, 7)

B. Operasi Pada Himpunan Kabur

Operasi himpunan adalah aturan untuk membentuk himpunan baru dari

satu atau lebih himpunan yang diketahui. Operasi dengan satu himpunan disebut

operasi uner, sedangkan operasi dengan dua himpunan disebut operasi biner.


11

Terdapat tiga macam operasi pada himpunan kabur, yaitu komplemen, gabungan,

dan irisan.

Komplemen dari suatu himpunan kabur , dengan notasi , adalah

himpunan kabur yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan:

,

Gabungan dua buah himpunan kabur dan , dengan notasi ,

adalah himpunan kabur yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan:

{ },

Irisan dua buah himpunan kabur dan , dengan notasi , adalah

himpunan kabur yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan:

{ }

Contoh2.5

Misalkan dalam semesta ={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3} diketahui himpunan kabur

= 0.1/-4 + 0.8/-3 + 0.5/-2 + 0.7/1 + 0.6/2 + 0.2/3

= 0.4/-4 + 0.3/-3 + 0.8/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.9/2,

maka

= 1/-5 + 0.2/-3 + 0.5/-2 + 1/-1 + 1/0 + 0.3/1 + 0.4/2 + 0.8/3

= 0.4/-4 + 0.8/-3 + 0.8/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.9/2 + 0.2/3

= 0.1/-4 + 0.3/-3 + 0.5/-2 + 0.6/2

Operasi komplemen, gabungan, dan irisan dari himpunan kabur diatas

disebut operasi baku himpunan kabur, yang merupakan perampatan operasi pada

himpunan tegas.


12

C. Prinsip Perluasan

Prinsip perluasan merupakan suatu prinsip matematika yang digunakan

untuk memperluas (mengaburkan) konsep matematika yang tegas menjadi konsep

yang kabur.

Misalkan dan berturut-turut adalah himpunan kuasa kabur dari

semesta dan , yaitu himpunan semua himpunan kabur dalam dan berturut-

turut.

Definisi 2.4

Suatu fungsi tegas dikatakan dikaburkan bila fungsi tersebut diperluas

menjadi fungsi dengan aturan: untuk setiap himpunan kabur

, adalah himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan

{su

{ }

Invers fungsi tegas dikatakan dikaburkan bila fungsi tersebut

diperluas menjadi fungsi dengan aturan: untuk setiap

himpunan kabur adalah himpunan kabur dalam ) dengan

fungsi keanggotaan

.

Jika adalah fungsi satu-satu, maka fungsi keanggotaan himpunan kabur

adalah

{


13

Contoh 2.5

Misalkan = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan = {7, 8, 9, 10}. Pemetaan

didefinisikan sebagai berikut: (1) = (2) = 7 (3) = 9, (4) = (5) = (6)= 10.

Bila diberikan himpuanan kabur = 0.6/1 + 0.2/2 + 0.7/3 + 0.5/4 + 1/5 + 0.9/6

dalam , dan himpunan kabur = 0.3/7 + 0.7/8 + 0.9/9 + 0.5/10 dalam , maka

dengan prinsip perluasan diperoleh

) = (2) = 7 sup {0.6, 0.2} = 0.6

(3) = 9 sup {0.7} = 0.7

(4) = f(5) = f(6) = 10 sup {0.5, 1, 0.9}= 1

Jadi diperoleh f( ) = 0.6/7 + 0.7/9 + 1/10 dalam , dan himpunan kabur =

0.3/1 + 0.3/2 + 0.9/3 + 0.5/4 + 0.5/5 + 0.5/6 dalam

D. Logika Kabur

Logika kabur merupakan logika dwinilai yang diperluas menjadi logika

multinilai atau logika dengan tak hingga banyak nilai, yang nilai kebenarannya

dinyatakan dengan bilangan real dalam selang [0,1]. Ada beberapa konsep penting

dalam logika kabur, yaitu variabel linguistik, proposisi kabur, implikasi kabur,

dan penalaran kabur.

1. Variabel Linguisik

Variabel linguistik adalah suatu lambang atau kata yang digunakan untuk

menunjuk kepada sesuatu yang tidak tertentu dalam semesta wacana bila semesta

wacana tersebut adalah himpunan kata-kata atau istilah dari bahasa sehari-hari.

Variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 ( ) di mana adalah

lambang dari variabel, adalah himpunan nilai-nilai lingustik yang dapat

menggantikan , adalah semesta wacana dari nilai-nilai lingustik dalam

adalah himpunan aturan-aturan sintaksis yang mengatur pembentukan istilah-


14

istilah anggota , dan adalah himpunan aturan semantik yang mengaitkan

setiap istilah dalam dengan satu himpunan kabur dalam semesta .

Contoh 2.8

Misalkan variabel lingustik adalah “umur”, maka sebagai himpunan nilai-nilai

linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah = {muda, sangat muda, agak

muda, tidak sangat muda, tidak muda dan tidak tua, agak tua, tua, tidak sangat tua,

sangat tua}, dengan semesta = [0,100] himpunan aturan sintaksis yang

mengatur pembentukan istilah-istilah anggota , dan himpunan aturan semantik

yang mengaitkan setiap istilah dalam dengan satu himpunan kabur dalam

semesta .

2. Proposisi Kabur

Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu

predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur dengan nilai

kebenaran yang disajikan dengan suatu bilangan real dalam selang [0,1]. Proposisi

kabur dengan nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan kabur dan nilai

kebenarannya disebut derajat kebenaran. Bentuk umum dari suatu proposisi

kabur adalah

adalah

dengan adalah suatu variabel linguistik dan predikat adalah suatu nilai

linguistik dari . Bila adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai

lingustik dan adalah suatu elemen tertentu dalam semesta dari himpunan

kabur ,maka mempunyai derajat keanggotaan dalam himpunan kabur

. Derajat dari pernyataan kabur

adalah

didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan dalam himpunan kabur , yaitu

.


15

Dari proposisi-proposisi kabur tunggal, kita dapat membentuk proposisi kabur

majemuk, dengan menggunakan operator logika. Proposisi kabur majemuk yang

paling sering digunakan adalah implikasi kabur.

3. Implikasi Kabur

Bentuk umum implikasi kabur adalah

Bila adalah , maka adalah

dengan dan adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan-

himpunan kabur dan dalam semesta dan berturut-turut. Implikasi kabur

dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur dalam , yang dilambangkan

dengan . Implikasi kabur dapat diinterpretasikan bermacam-macam. Salah satu

interpretasi implikasi kabur adalah implikasi Mamdani. Implikasi ini didasarkan

pada asumsi bahwa implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal dalam arti

bahwa implikasi

Bila adalah , maka adalah

hanya berbicara pada keadaan dengan adalah dan adalah , dan tidak

mengenai keadaan di luar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur

dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh

( )

yang disebut implikasi Mamdani. Bila sebagai norma- diambil operasi baku

“min’, diperoleh

( )

Contoh 2.9

Diketahui implikasi kabur “Bila tinggi, maka kecil”, dengan dan berturut-

turut adalah variabel linguistik dalam semesta { } dan { }.

Jika predikat “tinggi”dan “kecil” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan kabur


16

= 0.2/a + 0.5/b + 0.7/c + 0.9/d dan = 0.4/p + 0.6/q + 0.8/r, maka dengan

implikasi Mamdani diperoleh

0.2/(a,p) + 0.2/(a,q) + 0.2/(a,r) + 0.4/(b,q) + 0.5/(b,r) + 0.4/(c,p)

+ 0.6/(c,q) + 0.7/(c,r) + 0.4/(d,p) + 0.6/(d,q) + 0.6/(d,r)

4. Penalaran kabur

Penalaran kabur adalah suatu cara untuk menarik kesimpulan berdasarkan

seperangkat implikasi kabur dan suatu fakta yang diketahui. Salah satu aturan

penalaran yang paling sering digunakan ialah modus ponens, yang didasarkan

pada tautologi:

( )

Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:

1. Bila adalah , maka adalah (Premis 1/ Kaidah)

2. adalah (Premis 2/ Fakta)

3. adalah (Kesimpulan)

Contoh 2.10

Premis 1 : Bila seorang mahasiswa lulus dengan indeks prestasi lebih besar

dari 3.5, maka ia dinyatakan lulus dengan pujian (Kaidah)

Premis 2 : Linda lulus dengan indeks prestasi lebih besar dari 3.5 (Fakta)

Kesimpulan : Linda dinyatakan lulus dengan pujian (Kesimpulan)

Aturan penalaran tegas ini dapat dirampatkan menjadi aturan penalaran kabur

dengan premis-premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur.

Contoh 2.11

Premis 1 : Bila pakaian kotor, maka pencuciannya agak lama.

Premis 2 : Pakaian agak kotor.


17

Kesimpulan : Pencucianya agak lama.

Penalaran tersebut dapat dirumuskan secara umum dengan skema sebagai berikut

sebagai berikut :

Premis 1 : Bila adalah , maka adalah

Premis 2 : adalah

Kesimpulan : adalah

Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat.

Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponens rampat

multikondisional, yang terdiri dari buah premis kabur berupa kaidah, sebuah

premis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya adalah

sebagai berikut:

Premis 1 : Bila adalah dan dan adalah , maka adalah

Premis 2 : Bila adalah dan dan adalah , maka adalah

Premis : Bila adalah dan dan adalah , maka adalah

Fakta : adalah dan dan adalah

Kesimpulan : adalah

dengan dan adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur

dan dalam semesta , dan adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan

himpunan kabur dalam semesta Masing-masing

premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur

dalam dan faktanya sebagai himpunan kabur

dalam . Premis-premis tersebut biasanya diperlakukan secara

disjungtif, sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis

yaitu ⋃ Maka kesimpulan “ adalah ” dapat diperoleh dengan

kaidah inferensi komposisional untuk menentukan himpunan kabur


18

dalam semesta dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku

“min” untuk norma- dan “max” untuk gabungan kabur)

su

{ }

su

{ { }

( )}

su

{ }

{ }

{ }

su

{ }

{ }

{ }

⋃ ( )

untuk setiap . Jadi ⋃ ⋃ ( )

⋃

, di

mana .

Jika untuk implikasi kabur tersebut diambil implikasi Mamdani ,

sehingga fungsi keanggotaannya adalah

{

}

maka fungsi keanggotaan adalah

⋃

{ }

su

{

(

)}

{ }

su

{ ( ( ) ) (

( ) ) }

{ }

{ su

( ( )

( )) ( )}

{ }

{ }

dengan

{ }

su

( ( )

( )) su

( )

, yang merupakan derajat keserasian antara fakta yang diberikan


19

dengan anteseden dari premis/kaidah , sedangkan yang merupakan

minimum dari semua untuk disebut daya sulut yang menyatakan

sejauh mana anteseden dari kaidah dipenuhi oleh fakta yang diberikan dan

menyulut konsekuen dari kaidah tersebut. Dengan demikian kesimpulan

ditentukan dengan empat langkah sebagai berikut:

Langkah 1 : Tentukan derajat keserasian , yaitu supremum dari

untuk setiap dan

Langkah 2 : Untuk setiap i, tentukan daya sulut sebagai minimum dari semua

derajat keserasian ( ).

Langkah 3 : Untuk setiap , tentukan irisan dengan .

Langkah 4 : Gabunglah semua irisan tersebut untuk memperoleh .

E. Sistem Inferensi Kabur

Sistem inferensi kabur merupakan sistem komputasi yang bekerja

berdasarkan penalaran kabur. Salah satu sistem inferensi kabur yang dikenal

adalah sistem kendali kabur. Sistem kendali ini berfungsi untuk mengendaikan

proses tertentu dengan mempergunakan aturan inferensi berdasarkan logika kabur.

(Susilo, 2006: 161)

Pada dasarnya sistem kendali kabur terdiri dari empat unit, yaitu: unit

pengaburan, unit penalaran logika kabur, unit basis pengetahuan, dan unit

penegasan. Pada unit pengaburan nilai variabel dari masukan diubah ke dalam

himpunan kabur. Hasil pengukuran yang telah dikaburkan itu kemudian diproses

oleh unit penalaran, yang dengan menggunakan unit basis pengetahuan,

menghasilkan himpunan kabur sebagai keluarannya. Langkah terakhir diolah oleh

unit penegasan, yaitu menerjemahkan himpunan-himpunan kabur keluaran

tersebut ke dalam nilai-nilai yang tegas.


20

1. Fungsi Pengaburan

Langkah pertama pada sistem kendali logika kabur adalah mengubah

masukan tegas yang diterima menjadi masukan kabur. Fungsi pengaburan adalah

pemetaan dengan adalah suatu kelas himpunan kabur dalam

semesta . Salah satu contoh fungsi pengaburan adalah fungsi pengaburam

Elemen Tunggal. Fungsi pengaburan Elemen Tunggal memetakan nilai ke

himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan

{

untuk setiap . Jadi sebenarnya himpunan kabur ini adalah himpunan tegas

dengan elemen tunggal, yaitu { }

2. Basis Pengetahuan

Basis pengetahuan dari suatu sistem kendali kabur terdiri dari basis data

dan basis kaidah. Basis data adalah himpunan fungsi-fungsi keanggotaan dari

himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai-nilai nilai lingustik dari

variabel-variabel yang terlibat dalam sistem. Sedangkan basis kaidah adalah

himpunan implikasi-implikasi kabur yang berlaku sebagai kaidah dalam sistem

itu. Bila sistem itu mempunyai buah kaidah dengan variabel, maka

bentuk umum kaidah ke adalah sebagai berikut:

Bila adalah dan dan adalah maka y adalah

dengan adalah variabel linguistik dengan semesta numeris .

3. Unit Penalaran Kabur

Masukan kabur hasil pengolahan unit pengaburan diterima oleh unit

penalaran untuk disimpulkan berdasarkan kaidah-kaidah yang tersedia dalam

basis pengetahuan. Penarikan kesimpulan itu dilaksanakan berdasarkan aturan

modus ponens rampat multikondisional dengan skema sebagai berikut:


21

Kaidah 1 : Bila adalah dan dan adalah maka adalah

Kaidah 2 : Bila adalah dan dan adalah maka adalah

Kaidah m : Bila adalah dan dan adalah maka adalah

Masukan : adalah dan dan adalah

Kesimpulan : adalah

dengan dan adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur

dan dalam semesta , dan adalah predikat kabur yang dikaitkan

dengan himpunan kabur dalam semesta . Jika

masukannya dinyatakan dengan himpunan kabur

dalam

, masing-masing kaidah dinyatakan dengan relasi kabur

dalam , dan ⋃ , maka kesimpulan “ adalah

” dapat diperoleh dengan menggunakan modus ponens rampat multikondisional

untuk menentukan himpunan kabur dalam .

4. Fungsi Penegasan

Unit penegasan yang memuat fungsi-fungsi penegasan berfungsi untuk

mengubah nilai kabur keluaran menjadi nilai yang tegas. Fungsi penegasan

adalah suatu pemetaan , dengan adalah suatu kelas himpunan-

himpunan kabur, yang memetakan suatu himpunan kabur ke suatu bilangan real

yang tegas. Terdapat beberapa fungsi penegasan, di antaranya adalah Purata

Maksimum dan Rerata pusat.

Purata Maksimum: Himpunan kabur dalam semesta diubah menjadi bilangan

tegas yang merupakan purata dari semua nilai yang mencapai nilai

maksimum dalam , yaitu


22

( )

dengan { }. Apabila [ ], maka ( )

.

Rerata pusat: Jika himpunan kabur dalam semesta merupakan gabungan dari

m buah himpunan kabur, yaitu ⋃ , maka diubah menjadi bilangan

tegas ( ) yang merupakan rerata terbobot dari pusat-pusat dengan tinggi

masing-masing himpunan kabur tersebut sebagai bobotnya, jadi

( ) ∑

∑

dengan adalah pusat dari himpunan kabur dan .

G. Penyusunan Sistem Kendali Kabur

Penyusunan sistem kendali kabur terdiri dari lima langkah sebagai berikut:

Langkah 1 : Menentukan semua variabel yang terkait dalam proses yang

akan dikendalikan. Selanjutnya menentukan nilai-nilai linguistik

untuk masing-masing variabel, himpunan-himpunan kabur yang

terkait, serta fungsi keanggotaan dari setiap himpunan kabur

sebagai basis data dari sistem yang disusun.

Langkah 2 : Untuk masing-masing variabel masukan ditentukan suatu fungsi

pengaburan yang sesuai.

Langkah 3 : Menyusun basis kaidah, yaitu himpunan kaidah-kaidah berupa

buah implikasi kabur yang menyatakan relasi antara variabel

masukan dengan variabel keluaran.

Langkah 4 : Menyusun kaidah-kaidah tersebut beserta masukannya dalam

skema modus ponens rampat multikondisional.


23

Langkah 5 : Menentukan fungsi penegasan yang sesuai untuk mengubah

keluaran yang masih berupa himpunan kabur menjadi suatu

bilangan real yang tegas.

G. Asuransi

Asuransi adalah suatu sistem kerjasama ekonomi keuangan yang

memungkinkan seorang pemegang polis asuransi atau tertanggung untuk

mendapatkan ganti kerugian yang mungkin besar dengan sejumlah kecil tertentu

(Williams, 1984: 29). Asuransi merupakan bentuk pengalihan resiko yang timbul

karena kebutuhan manusia. Ada berbagai macam asuransi, misalnya asuransi jiwa,

asuransi kesehatan, asuransi kecelakaan, dan sebagainya. Asuransi jiwa adalah

asuransi yang bertujuan untuk menanggung orang terhadap kerugian finansial tak

terduga yang disebabkan karena meninggal terlalu cepat atau hidup terlalu lama.

Calon tertanggung sebelumnya akan diseleksi, yaitu apakah ia dapat diterima

sebagai tertanggung atau tidak. Setiap perusahaan asuransi mempunyai syarat-

syarat untuk menerima atau menolak calon tertanggung. Mehr dan Osler

(2007:77) mengemukakan bahwa dalam proses seleksi calon tertanggung harus

pula diperhatikan hal-hal yang berhubungan dengan kebiasaan, pekerjaan,

kesehatan dan sebagainya. Selanjutnya setelah menjadi tertanggung, ada

kewajiban yang harus dilakukan oleh tertanggung, yaitu membayar premi kepada

perusahaan asuransi. Premi adalah sejumlah uang yang harus dibayar oleh

tertanggung kepada perusahaan asuransi secara berkala, sesuai dengan masa

kontrak yang telah disepakati.

Ada beberapa hal yang diperhatikan oleh perusahaan asuransi dalam

seleksi, misalnya usia, kondisi ekonomi, dan jangka waktu asuransi, dan. Ketiga

hal ini akan mempengaruhi besar premi yang harus dibayar tertanggung kepada

perusahaan asuransi. Usia menjadi faktor penentu besarnya premi sebab semakin

tua usia, kesehatan seseorang semakin menurun. Hal ini juga berlaku untuk jangka

waktu asuransi. Semakin lama jangka waktu asuransi, berarti semakin bertambah

usia, sehingga meningkat pula resiko kesehatan. Selain usia dan jangka waktu


24

asuransi, faktor kondisi ekonomi juga menjadi hal yang perlu diperhatikan untuk

menentukan besarnya premi. Kondisi ekonomi seseorang dapat dilihat dari

pekerjaannya. Semakin tinggi penghasilan seseorang, semakin besar pula premi

yang harus dibayar.


25

BAB III

SISTEM INFERENSI KABUR UNTUK PENETAPAN BESARNYA PREMI

1. Pembentukan Himpunan Kabur

Ada 4 variabel kabur yang digunakan dalam sistem pengambilan

keputusan menggunakan sistem inferensi kabur dalam penulisan makalah ini,

yaitu kesehatan, keadaan ekonomi, masa asuransi, dan besarnya premi dengan

menggunakan fungsi keanggotaan segitiga. Variabel masukan dalam sistem

pengambilan keputusan ini adalah kesehatan, keadaan ekonomi, dan masa

asuransi, sedangkan variabel keluarannya adalah besarnya premi.

1. Variabel Kesehatan

Variabel kesehatan adalah keadaan kesehatan dari nasabah yang dilihat

dari segi usia. Semakin tinggi usia diasumsikan semakin menurun kesehatan

seseorang. Misalkan adalah variabel linguistik kesehatan yang mengambil nilai

kabur “baik”, “sedang”, dan “buruk” (dengan semesta numerik bilangan real

dalam selang [15,55] dengan satuan tahun). Nilai-nilai kabur itu misalnya

berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur , dan dengan fungsi

keanggotaan sebagai berikut:

{

u tu

u tu


26

{

u tu

u tu

u tu

{

u tu

u tu

Grafik fungsi keanggotaan ketiga himpunan kabur tersebut adalah sebagai berikut:

Gambar 3.1 Grafik fungsi keanggotaan variabel kesehatan

2. Variabel Keadaan Ekonomi

Variabel keadaan ekonomi diasumsikan berdasarkan penghasilan yang

dilihat dari pekerjaan nasabah. Misalkan adalah variabel linguistik keadaan

ekonomi yang mengambil nilai kabur “miskin”, “menengah”, dan “kaya” (dengan

semesta numerik bilangan real dalam selang [1,15] dengan satuan juta rupiah).

Nilai kabur itu misalnya berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur

, dan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:


27

{

u tu

u tu

{

u tu

u tu

u tu

{

u tu

u tu


Gambar 3.2 Grafik fungsi keanggotaan variabel keadaan ekonomi

3. Variabel Masa Asuransi

Variabel masa asuransi mempunyai 3 nilai himpunan kabur, yaitu jangka

pendek, sedang, dan jangka lama. Misalkan adalah variabel linguistik masa

asuransi yang mengambil nilai kabur “jangka pendek”, “sedang”, dan “jangka

lama” (dengan semesta numerik bilangan real dalam selang [1, 15] dengan satuan


28

tahun). Nilai kabur itu misalnya berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur

, dan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

{

u tu

u tu

{

u tu

u tu

u tu

{

u tu

u tu


Gambar 3.3 Grafik fungsi keanggotaan variabel masa asuransi

4. Variabel Besarnya Premi

Variabel besarnya premi mempunyai menjadi 3 nilai himpunan kabur,

yaitu sedikit, sedang, dan banyak. Misalkan adalah variabel linguistik besarnya

premi yang mengambil nilai kabur “sedikit”, “sedang”, dan “banyak” (dengan


29

semesta numerik bilangan real dalam selang [100, 5000] dengan satuan ribu

rupiah). Nilai kabur itu misalnya berturut-turut dinyatakan dengan himpunan

kabur , dan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

{

u tu

u tu

{

u tu

u tu

u tu

{

u tu

u tu


Gambar 3.4 Grafik fungsi keanggotaan variabel besarnya premi


30

B. Basis Kaidah

Basis kaidah untuk penentuan besarnya premi ini sebenarnya terdiri dari

81 kaidah hasil kombinasi 4 variabel kabur, yaitu keadaan ekonomi dengan 3 nilai

himpunan kabur, kesehatan dengan 3 nilai himpunan kabur, masa asuransi dengan

3 nilai himpunan kabur, dan besarnya premi dengan 3 nilai himpunan kabur.

Namun dalam basis kaidah ini hanya akan digunakan 27 kaidah yang sesuai. Ke-

27 kaidah kabur tersebut adalah sebagai berikut:

[R1] Jika kesehatan BAIK, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi JANGKA

PENDEK, maka besar premi yang dibayar SEDIKIT

[R2] Jika kesehatan SEDANG, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi JANGKA


[R3] Jika kesehatan BURUK, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi JANGKA

PENDEK, maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R4] Jika kesehatan BAIK, ekonomi MENENGAH, dan masa asuransi JANGKA


[R5] Jika kesehatan SEDANG, ekonomi MENENGAH, dan masa asuransi

JANGKA PENDEK, maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R6] Jika kesehatan BURUK, ekonomi MENENGAH, dan masa asuransi

JANGKA PENDEK, maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R7] Jika kesehatan BAIK, ekonomi KAYA, dan masa asuransi JANGKA


[R8 Jika kesehatan SEDANG, ekonomi KAYA, dan masa asuransi JANGKA


[R9] Jika kesehatan BURUK, ekonomi KAYA, dan masa asuransi JANGKA

PENDEK, maka besar premi yang dibayar BANYAK


31

[R10] Jika kesehatan BAIK, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi SEDANG,

maka besar premi yang dibayar SEDIKIT

[R11] Jika kesehatan SEDANG, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi SEDANG,

maka besar premi yang dibayar SEDIKIT

[R12] Jika kesehatan BURUK, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi SEDANG,

maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R13] Jika kesehatan BAIK, ekonomi MENENGAH, dan masa asuransi

SEDANG, maka besar premi yang dibayar SEDIKIT


SEDANG, maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R15] Jika kesehatan BURUK, ekonomi MENENGAH, dan masa asuransi

SEDANG, maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R16] Jika kesehatan BAIK, ekonomi KAYA, dan masa asuransi SEDANG, maka

besar premi yang dibayar SEDANG

[R17] Jika kesehatan SEDANG, ekonomi KAYA, dan masa asuransi SEDANG,

maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R18] Jika kesehatan BURUK, ekonomi KAYA, dan masa asuransi SEDANG,

maka besar premi yang dibayar BANYAK

[R19] Jika kesehatan BAIK, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi JANGKA

LAMA, maka besar premi yang dibayar SEDIKIT

[R20] Jika kesehatan SEDANG, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi JANGKA

LAMA, maka besar premi yang dibayar SEDIKIT

[R21] Jika kesehatan BURUK, ekonomi MISKIN, dan masa asuransi JANGKA

LAMA, maka besar premi yang dibayar SEDANG


JANGKA LAMA, maka besar premi yang dibayar SEDANG


JANGKA LAMA, maka besar premi yang dibayar SEDANG


32


JANGKA LAMA, maka besar premi yang dibayar BANYAK

[R25] Jika kesehatan BAIK, ekonomi KAYA, dan masa asuransi JANGKA

LAMA, maka besar premi yang dibayar SEDANG

[R26] Jika kesehatan SEDANG, ekonomi KAYA, dan masa asuransi JANGKA

LAMA, maka besar premi yang dibayar BANYAK

[R27] Jika kesehatan BURUK, ekonomi KAYA, dan masa asuransi JANGKA

LAMA, maka besar premi yang dibayar BANYAK

C. Fungsi Pengaburan

Contoh 1:

Misalnya diberikan masukan usia nasabah 20 tahun, gaji nasabah 1,3 juta rupiah

per bulan, dan masa asuransi 7 tahun. Oleh unit pengaburan masukan tegas itu

diubah menjadi himpunan kabur dengan menggunakan fungsi pengaburan elemen

tunggal. Hasilnya berturut-turut dinyatakan sebagai himpunan kabur , ,

dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

{

{

{

D. Penalaran Kabur

Langkah pertama adalah menentukan derajat keserasian sebagai berikut

(seperti diuraikan pada halaman 18):

su

{ ( )

( )}

untuk dan .


33

Diperoleh derajat keserasian sebagai berikut:

su [ ]

{ }

{ } =

su [ ]

{ }

{ } =

0

su [ ]

{ }

{ }

0

20 25

𝜇 ��

1

15

00

0

𝜇 �� 𝑥

𝑥

𝜇 �� 𝑥

𝑥

𝜇 ��

��

��


34

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 �� 𝑥

𝜇 ��

45 55 𝑥

��


35

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ } =


36

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

0

su [ ]

{ }

su [ ]]

{ }

su [ ]]

{ }

{ }

𝜇 ��

1

0

1.3 𝑦

1 5

𝜇 �� 𝑦

��

𝜇 ��

𝑦

��

𝜇 �� 𝑦


37

0

su [ ]]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑦

��

𝑦


38

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

= { } =

𝜇 ��

𝜇𝐶 𝑧

𝑧

��


39

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

𝜇 �� 𝑧

7 12

�� 𝜇 ��

𝑍


40

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

𝜇 ��

𝜇𝐶 𝑧

𝑍

��


41

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

Langkah kedua adalah menentukan daya sulut sebagai minimum dari semua

derajat keserasian , yaitu { } .

Diperoleh daya sulut sebagai berikut:

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


42

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


43

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0.5

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


44

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


45

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


46

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


47

0

Langkah ketiga adalah menentukan yaitu irisan dengan untuk setiap

sebagai berikut:

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

Untuk = 0.5 = diperoleh

𝜇�� 𝑝

100 1000

��

𝑤

𝑝


48

1000 – = 450

p = 550.

Jadi

[ ]{

} {

u tu

u tu

u tu

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

𝜇�� 𝑝

𝑤 ��

𝑝


49

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

Langkah keempat adalah menggabungkan semua , sehingga diperoleh

kesimpulan sebagai berikut:

⋃

{ }

{ } {0,

}

{

u tu

u tu

u tu


50

Gambar 3.5 Himpunan kabur

Jadi besarnya premi adalah nilai kabur yang berkaitan dengan himpunan kabur

.

E. Fungsi Penegasan

Pada langkah terakhir, unit penegasan mengubah himpunan kabur

menjadi nilai tegas. Dengan fungsi penegasan “purata maksimum”, nilai kabur

diubah menjadi bilangan tegas

( ) su

di mana { ( )}.

( ) = su [ ]

{ } , sehingga = [100,550].

( )

Maka besar premi yang harus dibayar adalah 325.000,00 rupiah.

0.5

100

T e equ t o here

550 1000

𝑆

𝜇�� 𝑝 𝑝

𝑝


51

Contoh 2:

Misalnya diberikan masukan usia nasabah 33 tahun, gaji nasabah 8 juta rupiah per

bulan, dan masa asuransi 3 tahun. Oleh unit pengaburan masukan tegas itu diubah

menjadi himpunan kabur dengan menggunakan fungsi pengaburan elemen



{

{

{

Langkah pertama adalah menentukan derajat keserasian sebagai berikut:

su

{ }

{ ( )

( )}

untuk dan .


su [ ]

{ }

= { }

= 0

𝜇 ��

1

𝑥

𝜇 �� 𝑥

��


52

su [ ]

{ }

{ }

.833

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

𝜇 ��

𝑥

𝜇 �� 𝑥

��

𝜇 �� 𝑥

𝑥

��

𝜇 ��


53

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }


54

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .833

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑦

𝑦

��


55

.889

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑦

��

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑦

��

𝑦

𝑦


56

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ } .889

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }


57

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑧

𝑧

��


58

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

𝜇 �� 𝑧

𝜇 ��

𝑧

��


59

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }




{ }

{ }

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑧

𝑧

��


60

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0.5

{ }

{ }

{ }


61

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


62

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


63

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


64

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


65

0

{ }

{ }

{ }

0


sebagai berikut:

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

Untuk = 0.5 = e diperoleh

= 600

𝑤 = 0

��

𝜇 �� 𝑝

𝑝


66

p = 1400.

Untuk = 0.5 = e diperoleh:

600 =

p = 2600.

Jadi

[ ]{

}

{

u tu

u tu

u tu

u tu

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

𝜇 �� 𝑝

𝑤 = 0.5

��

𝑝


67

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}


68

[ ]{

}

[ ]{

}

Langkah keempat adalah menggabungkan semua , sehingga diperoleh


⋃

{ }

{ } {

}

{

u tu

u tu

u tu

u tu


Jadi besarnya premi adalah nilai kabur yang berkaitan dengan himpunan

kabur . Pada langkah terakhir, unit penegasan mengubah himpunan kabur



𝑝

𝑆

𝜇𝑠 𝑝


69

( ) su

di mana { ( )}.

( ) = su [ ]

{ } sehingga = [1400,2600].

Jadi

( )

Maka besar premi yang harus dibayar adalah 2.000.000,00 rupiah.

Contoh 3:

Misalnya diberikan masukan usia nasabah 54 tahun, gaji nasabah 12 juta rupiah

per bulan, dan masa asuransi 15 tahun. Oleh unit pengaburan masukan tegas itu

diubah menjadi himpunan kabur dengan menggunakan fungsi pengaburan elemen



{

{

{

Langkah pertama adalah menentukan derajat keserasian sebagai berikut:

su

{ }

{ ( )

( )}

untuk dan .



70

su [ ]

{ }

= { }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

{ }

𝜇��

1

25 15 𝑥

𝜇𝐴 𝑥

��

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑥

𝑥

��


71

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } .9

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇��

𝜇�� 𝑥

𝑥

��


72

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

= { }


73

su [ ]]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

𝜇 ��

1

5 1 𝑦

𝜇 �� 𝑦

��

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑦

𝑦

��


74

su [ ]]

{ } .4

su [ ]

{ } .4

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } 0

su [ ]

{ } .4

su [ ]

{ } .4

su [ ]

{ } .4

𝜇 ��

𝜇𝐵 (y)

𝑦

��


75

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ } 0

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 ��

1

5 1

𝑧

𝜇𝐶 𝑧

��


76

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑧

𝑧

��


77

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

𝜇 ��

𝜇 �� 𝑧

𝑧

��


78

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }

su [ ]

{ }




{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


79

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

= 0

{ }

{ }

{ }


80

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


81

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


82

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }


83

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

0

{ }

{ }

{ }

= 0

{ }

{ }

{ }

0.4


sebagai berikut:

[ ]{

}


84

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

𝑝

��

𝑤

𝜇𝑠 𝑝


85

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

[ ]{

}

Untuk = 0.4 = diperoleh:

800

p = 3800.


86

Jadi

[ ]{

}

{

u tu

u tu u tu

Langkah keempat adalah menggabungkan semua irisan , sehingga diperoleh


⋃

{ }

{ } {

}

{

u tu

u tu u tu

𝑤

��

𝜇�� 𝑝

𝑝


87


Jadi besarnya premi adalah nilai kabur yang berkaitan dengan himpunan

kabur . Pada langkah terakhir, unit penegasan mengubah himpunan kabur



( ) su

di mana { ( )}.

( ) = su [ ]

{ } sehingga = [ ].

Jadi

( )

Maka besarnya premi yang harus dibayar adalah 4.400.000,00 rupiah.

𝑆

𝑝

𝜇�� 𝑝


88

BAB IV

PENUTUP

Teori himpunan kabur merupakan ilmu yang membahas sesuatu yang

tidak tegas. Himpunan kabur didefinisikan dengan menggunakan fungsi

keanggotaan yang nilainya berada pada selang tutup [0,1]. Teori himpunan kabur

dapat diterapkan pada kehidupan untuk memudahkan pekerjaan manusia. Salah

satu aplikasi dari teori himpunan kabur adalah untuk menentukan besarnya premi

yang harus dibayar oleh seorang nasabah kepada pihak asuransi.

Pada tugas akhir ini faktor-faktor yang mempengaruhi besarnya premi

adalah kesehatan, keadaan ekonomi, dan masa asuransi. Penentuan besarnya

premi dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem inferensi kabur. Dengan

variabel masukan seperti kesehatan, keadaan ekonomi, dan masa asuransi yang

berbeda-beda, maka besarnya premi yang harus dibayar juga berbeda-beda. Untuk

menentapkan besar premi menggunakan sistem inferensi kabur harus melalui

empat tahapan. Tahapan pertama adalah pembentukan himpunan kabur. Pada

pembentukan himpunan kabur, variabel himpunan tegas diubah menjadi variabel

himpunan kabur.

Terdapat empat variabel himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya

masing-masing. Variabel kesehatan mempunyai nilai himpunan kabur baik,

sedang, dan buruk. Variabel keadaan ekonomi mempunyai nilai himpunan kabur

miskin, menengah, dan kaya. Variabel masa asuransi mempunyai nilai himpunan

kabur jangka pendek, sedang, dan jangka lama. Variabel besarnya premi

mempunyai nilai himpunan kabur sedikit, sedang, dan banyak.

Tahap kedua adalah membentuk basis kaidah. Pada tugas akhir ini terdapat

27 basis kaidah yang dibentuk. Basis kaidah yang telah terbentuk kemudian

digunakan pada tahap ketiga yaitu unit penaralan kabur untuk menarik sebuah

kesimpulan. Penarikan kesimpulan dilakukan menggunakan modus ponens rampat

multikondisional yang terdiri dari beberapa langkah. Langkah pertama adalah


89

mencari derajat keserasian dengan mencari maksimum dari irisan 27 kaidah

dengan fakta atau masukan. Setelah diperoleh derajat keserasian selanjutnya

dicari daya sulut yang merupakan minimum dari semua derajat keserasian.

Selanjutnya dicari irisan masing-masing daya sulut dengan himpunan kabur

besarnya premi, dan dengan menggabungkan semua irisan tersebut dapat ditarik

kesimpulan mengenai besarnya premi yang harus dibayar nasabah asuransi.

Namun kesimpulan yang dihasilkan masih dalam bentuk himpunan kabur. Dengan

fungsi penegasan purata maksimum, kesimpulan tersebut diubah menjadi suatu

nilai tegas yang merupakan besarnya premi yang harus dibayar nasabah kepada

pihak asuransi.


90

DAFTAR PUSTAKA

Salim, A. (2007). Asuransi dan Manajemen Resiko. Jakarta: PT Rajagrafindo

Persada.

Susilo, F. (2006). Himpunan & Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta:

Graha Ilmu.

Williams, N. (1984). Insurance: An Introduction to Personal Risk Management.

Ohio: South-Western Publishing Company.

Zimmermann, H. (1991). Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston: Kluwer

Academic Publishers.


91

LAMPIRAN

Lampiran 1: Pembentukan himpunan kabur


92

Lampiran 2: Pembentukan nilai-nilai himpunan kabur variabel

Kesehatan


93


Keadaan Ekonomi


94

Lampiran 4: Pembentukan nilai-nilai himpunan kabur variabel Masa

Asuransi


95


Besarnya Premi


96

Lampiran 6: Pembentukan Basis Kaidah


97


98


99

Lampiran 7: Penalaran kabur dan penegasan untuk Contoh 1


100



101



aplikasi teori kabur dalam penetapan besarnya …

Documents