Aplikasi Integral(Program S1)

Oleh Tim Matematika FFUP

Applications of IntegrationIn this chapter we explore some of the applications of thedefinite integral by using it for1. Computing the area between curves2. Computing the volumes of solids3. Computing the work done by a varying force4. Computing average value of a function

The common theme is the following general method, which is similar to the one we used to find areas under curves:

We break up a Q quantity into a large number of small parts. We next approximate each small part by a quantity of the form and thus approximate Q by a Riemann sum. Then we take the limit and express Q as an integral Finally we evaluate the integral using the Fundamental Theorem of Calculus or the Midpoint Rule.

Definisi 1 :Jika f dan g fungsi kontinu pada [a,b] dan jika f(x) ≥ g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka luas daerah yang dibatasi bagian atas oleh y=f(x), bagian bawah oleh y=g(x), sisi kiri oleh garis x=a, dan sisi kanan oleh garis x=b adalah

Luas antara dua kurva

b

a

dxxgxfL )]()([

Prosedur menentukan integran dan batas-batas integral pada (1) :Langkah 1 : Buat sketsa daerahnyaLangkah 2 : Di sebarang titik x, hubungkan f(x) dan g(x) dengan garis vertikal melalui daerah pada langkah (1).Langkah 3 : Panjang garis vertikal pada langkah 2 adalah f(x) – g(x) merupakan integran pada (1). Langkah 4 : Gerakkan segmen garis (langkah 2) kekiri dan kekanan. Posisi paling kiri x=a dan posisi paling kanan x=b masing-masing menunjukkan batas atas dan batas bawah integral

(1)

Definisi 2:Jika w dan v fungsi fungsi kontinu dan jika w(y) ≥ v(y) untuk semua y di [c,d], maka luas daerah yang dibatasi sebelah kiri oleh x=v(y), sebelah kanan oleh x=w(y), bawah oleh y=c dan atas oleh y=d adalah

d

c

dyyvywL )]()([ (2)

Find the area of the shaded region.

Definisi 3 : Diberikan benda padat S yang dibatasi oleh dua bidang sejajar yang tegak lurus sumbu-x di x=a dan x=b. Jika untuk setiap x pada [a,b], luas bidang perpotongan dari S yang tegak lurus sumbu x adalah L(x), maka volume benda padat tersebut adalah

asalkan L(x) dapat diintegralkan.

Definisi 4 :Diberikan benda padat S yang dibatasi oleh dua bidang sejajar yang tegak lurus sumbu y di y=c dan y= d. Jika untuk setiap y pada [c,d], luas bidang perpotongan dari S yang tegak lurus sumbu-y adalah L(y), maka volume benda padat tersebut adalah

asalkan L(y) dapat diintegralkan

Menentukan volume

b

a

dxxLV )(

d

c

dyyLV )(

(3)

(4)

Metode cincin silinderDefinisi 5:Diberikan bidang datar R yang bagian atasnya dibatasi oleh kurva kontinu y=f(x), bagian bawah oleh sumbu-x, sebelah kanan dan kiri masing-masing oleh garis x=a dan x=b. Maka volume benda padat yang dihasilkan dengan memutar R terhadap sumbu y adalah

Menentukan Volume

b

a

dxxfV 2)]([

b

a

dxxgxfV ))]([)](([ 22

Metode Cakram

Metode cincin

(5)

(6)

b

a

dxxxfV )(2 (7)

Exercises

1. Dapatkan volume benda padat yang didapat bila daerah di bawah kurva pada [1,4] diputar terhadap sumbu-x

2. Dapatkan rumus volume bola dengan jari-jari r !3. Dapatkan volume benda padat yang terjadi bila daerah

antara grafik dan g(x)=x yang terletak pada [0,2] diputar terhadap sumbu-x

4. Gunakan cincin silinderuntuk medapatkan volume benda padat yang terjadi bila daerah yang dibatasi , x=1 dan x=4 dan sumbu-x diputar terhadap sumbu-y

5. Gunakan metode cincin silinder untuk mendapatkan volume dari benda padat yang terbentuk bila daerah R di bawah y=x2 pada [0,2] diputar terhadap sumbu x

xy

2

2

1)( xxf

xy

Definisi 6 : (rumus panjang busur)Jika f adalah fungsi kontinu pada [a,b] maka panjang busur S kurva y=f(x) dari x=a ke x=b didefinisikan oleh

Dengan cara yang sama, untuk kurva yang dinyatakan dalam bentuk x=g(y) dengan g’ kontinu pada [c,d], panjang busur S dari y=c ke y=d didefinisikan

Panjang Busur

b

a

b

a

dxdx

dydxxfS

22 1)]([1

d

c

d

c

dydy

dxdyygS

2

2 1)]([1

Definisi 7 : (rumus luas permukaan)Diberikan f fungsi kontinu tak negatif pada [a,b]. Maka luas permukaan K yang diperoleh dari perputaran bagian kurva y=f(x) antara x=a dan x=b terhadap sumbu-x adalah

Untuk kurva yang dinyatakan dalam bentuk x=g(y), dengan g’(y) kontinu pada [c,d] dan g(y) ≥ 0 untu c ≤ y ≤ d, luas permukaan K yang diperoleh dari perputaran bagian kurva y=c sampai y=d terhadap sumbu y diberikan oleh

Luas Permukaan Benda Putar

b

a

dxxfxfK 2)]([1)(2

d

c

dyygygK 2)]([1)(2

1. Computing the area between Curves

We define the area of as the limiting value of the sum of the areas of the following approximating rectangles.

The solids in Examples 1–5 are all called solids of revolution because they are obtained by revolving a region about a line. In general, we calculate the volume of a solid of revolution by using the basic defining formula

We find the cross-sectional area in one of the following ways:

1

Find the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line. Sketch the region, the solid, and a typical disk or washer

1.

Review Problems

2.

3.

4.

Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.

1.

2.

3.

4.

Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the Specific line. Sketch the region and a typical shell.1.

2.

3.

4.

5.

4. Computing average value of a function

Find the average value of the function on the given interval.

1.

2.

3.

1.

2.

3. Computing the work done by a varying force

1

2

3

A tank is full of water. Find the work required to pump the

water out of the outlet.

A tank is full of water. Find the work required to pump the water out of the outlet. Use the fact that water weighs 62.5 lb/ft.