ANOVA

• Les analyses de variance ou analysesfactorielles sont des techniques permettant desavoir si une ou plusieurs variablesdépendantesvaleursnumériqueset continuesdépendantesvaleursnumériqueset continues(Variables à expliquer) sont en relation avecune ou plusieurs variablesdites indépendantes ou facteurs (ouvariablesexplicatives).

• On note alors:

• Le nombre de facteurs (variables indépendantes).

• Nombre de niveaux ou traitements dans• Nombre de niveaux ou traitements danschaque facteur k.

• Nombre de sujets dans chaque facteur n.

• Est ce que les groupes sont indépendants ou àmesures répétées. (between or withingroups).

Types • Lorsqu'il existe une variable indépendante avec trois niveaux

indépendants ou plus (par exemple, styles de saut élevé/ highjump style), et une variable dependante (hauteur du saut)l'analyse est appelée ANOVA à un facteur / one way

independant ANOVA. One way between subjects ANOVA

• ANOVA à mesures répétées / one way within subjects• ANOVA à mesures répétées / one way within subjects

ANOVA: Lorsqu'il existe une variable indépendante avec trois

niveaux dépendants ou plus. Ex : comparer les scores deconfiance en la capacité à faire face aux tests au moment 1(avant l'intervention), au moment 2 (après l'intervention) et aumoment 3 (suivi de trois mois).

Résumé

• Rappel on a deux types one way:

• Between groups ANOVA on a des sujets oucas différents dans chaque groupe (groupescas différents dans chaque groupe (groupesindépendants)

• Repeated measures ANOVA ou within -subjects : mesurer les mêmes sujets dansdifférentes conditions ou différents temps).

Hypotheses

• L'hypothèse nulle ou Ho - est une hypothèse quipostule qu'il n'y a pas de différence entre lesmoyennes par exemple des trois groupes (ou destrois mesures).

• La seconde hypothèse - l'hypothèse alternative• La seconde hypothèse - l'hypothèse alternativeou H1 - correspond habituellement à l'hypothèsedu chercheur.

• Contrairement à l'hypothèse nulle, cettehypothèse postule qu'il existe une différenceentre les moyennes des trois groupes (ou destrois mesures).

Types

• Lorsqu'il y a deux variables indépendantes ou plus(par exemple, styles de saut en hauteur et catégoriesd’années d'entraînement), et une variable dépendante(hauteur du saut) l'analyse est appelée ANOVAfactorielle ou factorial ANOVA. / (ex 2 variablesindépendantes ou 2 facteurs: two way ANOVAindépendantes ou 2 facteurs: two way ANOVA

• Notez que dans les analyses ANOVA à un facteur etANOVA factorielle il n’existe qu’une seule variabledépendante. Si vous avez deux variables dépendantesou plus, vous devez effectuer des tests ANOVA distinctspour chaque variable dépendante ou utiliser l'analysemultivariée de la variance (MANOVA).

ANOVA

• L’analyse de la variance (ANOVA) a pour objectifd’étudier l’influence d’un ou plusieurs facteurs sur unevariable quantitative.

• C’est la comparaison de moyennes pour plusieursgroupes. Il s'agit de comparer la variance intergroupegroupes. Il s'agit de comparer la variance intergroupe(entre les différents groupes : écart des moyennes desgroupes à la moyenne totale) à la variance intragroupe(somme des fluctuations dans chaque groupe).

• S'il n'y a pas de différence entre les groupes, ces deuxvariances sont (à peu près) égales. Sinon, la varianceintergroupe est nécessairement la plus grande.

• Les conditions d’application du test paramétriquede comparaison de moyennes s’appliquent doncà nouveau.

• L'analyse de variance (analysis of variance ou ANOVA) peut être vue comme une généralisation ANOVA) peut être vue comme une généralisation du test t de Student.

• En analyse de variance, le paramètre susceptibled'influer sur les données étudiées s'appelle unfacteur, et ses valeurs sont les modalités (ou lesdifférents traitements).

• Avec une seule variable dépendante (àexpliquer), et une ou plusieurs variablesexplicatives (dites aussi catégorielles,qualitatives, de classification = ne pouvantdonc prendre qu'un nombre limité de valeursdonc prendre qu'un nombre limité de valeurscomme le sexe, la catégorie socio-professionnelle, etc...) on utilise l'analyse devariance.

• On appelle facteurs les variables explicatives.

Résumé

Exemple

Si Non

ANOVA 1 facteur/one way

• Quand est-il utilisé? Une analyse de variance(ANOVA) est utilisée lorsque vous souhaitezcomparer les scores moyens de deux groupes ou plus.Elle est utilisée plus frequement pour 3 groupes ouplus.

• Une variableindépendanteou facteuravecplusieurs• Une variableindépendanteou facteuravecplusieursniveaux qui correspond à différents groupes ouconditions.

• Une variable dépendante continue normale.

• Qu'est ce que ça fait? Une analyse de la variance à un facteurpermet de déterminer s'il existe une différence globalestatistiquement significative entre les groupes de participants.

• Ensuite, un test de suivi (test post-hoc) est utilisé pour déterminerexactement quels groupes diffèrent les uns des autres.

• Hypothèses:• Hypothèses:• Une variable catégorique indépendante.• La variable dépendante DV est quantitative continue normale.• Distribution normale: Les données de chaque groupe sont

normalement distribuées.

• Homogénéité de la variance: Les variances de chaque groupe sontégales.

Analyse de variance à un facteur

• L'hypothèse nulle H0 est l'égalité des moyennes despopulations dont sont extraits les échantillons.

• H0: m1=m2=m3=...=mk = m

• H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = …. = µn• H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = …. = µn• H0 :La moyenne de la variable dépendante est la

même quelque soit les groupes définis par le facteur.• H0: La variable indépendante n’a pas d’influence sur

la variable dépendante.

• H1: il existe j / mj ≠ m

• Ou H1 au moins une moyenne est différente

Ex 1

• Ex: comparer la variance de groupes (variablex) afin d'inférer une relation entre X et Y

• Est-ce que La variable indépendante le typede formation a une influence sur la variablede formation a une influence sur la variable

dépendante revenu?

• (Ex: X : le type de formation : science,technique, autres) variable indépendante

• et Y (Ex: le revenu). Variable dépendante

Ex 2

• Comparer l’efficacité de troisméthodes différentes d’enseignementsur lavariabledépendanteles scores demaths. Dans cet exemple on a unfacteur (la méthode d’enseignement)maths. Dans cet exemple on a unfacteur (la méthode d’enseignement)avecpar exemple3 groupes ex: classecomplète , activité de petits groupes,activités informatiques à rythmeindividuel.

Ex 3

• un éducateur souhaite recueillir des informations sur lesrésultats d'apprentissage d'élèves inscrits à 3 types decours: un cours mixte, un cours en ligne et un coursrésidentiel. Le chercheur souhaite comparer les scoresmoyens de ces 3 groupes différents. les points de coursdiffèrent en fonction du type de cours suivi par un élève.diffèrent en fonction du type de cours suivi par un élève.

• Rem.: La formation résidentielle signifie que vousséjournerez dans une résidence (lieu) pendant le cours.Vous serez loin des distractions extérieures et gagnerez dutemps.

• Les cours mixtes (également appelés cours hybrides ou àmode mixte) sont des cours dans lesquels une partie del'enseignement en face à face traditionnel est remplacéepar un apprentissage en ligne sur le Web.

Ex 4

• L’utilité de l’intégration des TICs dans lestransactions d’enseignement et d’apprentissagepar niveau d’éducation [les titulaires de licence ,titulaires d’une maîtrise et des titulaires detitulaires d’une maîtrise et des titulaires dedoctorat). l'hypothèse nulle: la différence descores de perception de l'utilité des TICs dans les

transactions d'enseignement-apprentissage par

les enseignants de l'université classés par niveau

d‘éducation est statistiquement non significative.

Ex5 : Use of rich media

• Existe-t-il une différence statistiquement significativeentre le nombre de points de cours des étudiantsdiplômés en fonction du type de support decommunication (vidéoconférence, audioconférence ouforum de discussion) de leur cours en ligne?forum de discussion) de leur cours en ligne?

• H0: il n’y a pas une difference statistiquementsignificative entre le nombre de points de cours desétudiants diplômés en fonction du type de support decommunication (vidéoconférence, audioconférence ouforum de discussion) de leur cours en ligne

Ex 6

• Y a-t-il une différence dans les scores de degréde satisfaction des élèves du secondaire àl'égard de l'école en fonction du statutsocioéconomique SES de leur famille.

• H0 il n’y a pas une difference significative dansles scores le degré de satisfaction des élèvesdu secondaire à l'égard de l'école en fonctiondu statut socioéconomique SES de leurfamille.

Variables

• Indépendante: statut socioéconomique SES deleur famille (classe supérieure, classemoyenne, classe inférieure)

• Dépendante : score de degré de satisfaction• Dépendante : score de degré de satisfactiondes élèves du secondaire à l'égard de l'école

• Pour décider l’acceptation ou le rejet del’hypothèse nulle, il reste à comparer la p-value avec le risque de première espèce quel’on s ’est choisi p-value < α alors rejeter H0,l’on s ’est choisi p-value < α alors rejeter H0,=> le facteur a bien une influence sur lavariable dépendante.

• Une ANOVA produit une statistique F ou unrapport F, ce qui est semblable à la statistiquet en ce sens qu'elle compare la quantité devariance systématique dans les données à lavariance systématique dans les données à laquantité de variance non systématique. End'autres termes, F est le rapport du modèle àson erreur.

Rapport F de Fisher

• L'analyse de variance à un facteur (one-wayanalysis of variance) va consister à chercher lerapport entre la variance entre les groupes (V.inter-groupe) (between groups) et la variance àl'intérieur des groupes (V. intra-groupe) (withinl'intérieur des groupes (V. intra-groupe) (withineach of the groups).

• La valeur de ce rapport appelé F [attention : ce Fn’a rien a voir avec le F du test de vérification del’homogénéité des variances] est comparée àcelle d'une table de F de Snedecor

F• On calcule le rapport :

• F = variance inter-groupes/variance intra-groupes ledénominateur est [ résidu, erreur ou bruit].

• [attention : ce F n’a rien à voir avec le F du test devérification de l’homogénéité des variances]

• La variance entre les traitements ou inter-groupes• La variance entre les traitements ou inter-groupesest une mesure de la façon dont diffèrent les groupesles uns des autres.

• Un grand F >1 indique qu’il y a plus de variabilitéentre les groupes (between the groups) (causée parla variable indépendante) qu’à l’intérieur desgroupes. Donc plus F est grand plus l’effet de lavariable indépendante est grand comparé au bruit.

• Un F significatif >1 indique qu’on peut rejeter H0.

• Si le rapport F est ≤ 1 cela signifie que lerésultat est non significatif ce qui veut direque les différences intergroupes affectentégalement ou plus que la variableégalement ou plus que la variableindépendante.

• Si la valeur p < 0.05 alors on peut dire que F est significatif.

• Le ratio F est une mesure du ratio de lavariation expliquée par le modèle et de lavariation expliquée par des facteurs nonsystématiques [bruit]. En d’autres termes,systématiques [bruit]. En d’autres termes,c’est le rapport de la qualité du modèle contreà quel point il est mauvais (combien d'erreur ily a).

• S'il n'y a pas de différence dans les moyennes, l'estimationde la variance entre les groupes sera approximativementégale à l'estimation de la variance au sein du groupe et lavaleur du test F sera approximativement égale à 1.L'hypothèse nulle ne sera pas rejetée.

• Cependant, lorsque les moyennes diffèrent de manière• Cependant, lorsque les moyennes diffèrent de manièresignificative, la variance entre les groupes sera beaucoupplus grande que la variance au sein du groupe; la valeur dutest F sera nettement supérieure à 1; et l'hypothèse nullesera rejetée.

• Étant donné que les variances sont comparées, cetteprocédure est appelée analyse de variance (ANOVA).

Tests Post-Hoc

• L'analyse de variance compare généralement trois groupes ouplus.

• Le résultat significatif de ce test indique que certains groupesou échantillons pris deux à deux sont significativementdifférents; mais lorsque le test est effectué avec trois groupeset plus, il ne précise par quelle paire de groupes présente unécart significatif.et plus, il ne précise par quelle paire de groupes présente unécart significatif.

• Pour résoudre ce problème, il faut faire un testsupplémentaire ou test post-hoc, qui nous indiquera laquelledes trois paires de groupes sont différents (Ex : Science ettechniques ou Autres et science, ou techniques et autre).

• Ou on peut faire des comparaisons specifiques en choisissantdes le début quels groupes on veut comparer entre eux(planned comparisons : Contrasts). Ce cas ne sera pas traité.

Tests Post-Hoc

• Le choix de la procédure de comparaisondépend de la situation exacte que vous avez etdu fait qu'il soit plus important pour vous degarder un contrôle strict sur le taux d'erreurgarder un contrôle strict sur le taux d'erreurou d'avoir une plus grande puissancestatistique. Cependant, certaines directivesgénérales peuvent être établies (Toothaker,1993):

Directives - Tests Post-Hoc – référence livre Andy field

Directives -Tests Post-Hoc

• Après une ANOVA, vous avez besoin d'une analyse supplémentairepour déterminer quels groupes diffèrent.

• Si vous n'avez pas d'hypothèses spécifiques avant l'expérience,utilisez des tests post-hoc. Vous pouvez choisir de suivre lesdirectives suivantes

• Lorsque vous avez des tailles d'échantillon égales et que lesvariances de groupe sont similaires, utilisez REGWQ ou Tukey.variances de groupe sont similaires, utilisez REGWQ ou Tukey.

• Si vous souhaitez avoir le contrôle du taux d’erreur de type I, utilisezBonferroni. (petit nombre de comparaisons)

• Si la taille des échantillons est légèrement différente, utilisezGabriel (ou Scheffe)

• mais si la taille des échantillons est très différente, utilisez GT2 deHochberg (ou Sidak, Bonferroni).

• S'il y a le moindre doute sur le fait que les variances de groupesont égales, utilisez la procédure Games – Howell

Remarque

• On pourra suivre les recommandationsproposées. Beaucoup de chercheurs préfèrentutiliser Tukey’s HSD quand les variances sontégales et Games-Howell dans l’autre cas si leségales et Games-Howell dans l’autre cas si lesvariances ne sont pas égales.

• les échantillons sont issus d’une populationnormale (gaussienne) : on parle de testparamétrique

• les variances conditionnelles (variances dans• les variances conditionnelles (variances danschaque sous-population) sont identiques :homoscédasticité

• les sous-échantillons sont indépendants

Ex1: Anova 1 facteur / one way anovaindependent/ Between groups ANOVA • Un chercheur souhaite essayer trois techniques différentes pour

abaisser la tension artérielle des personnes atteintesd'hypertension.

• Les sujets sont assignés au hasard à trois groupes; le premiergroupe prend des médicaments, le second groupe fait des exercicesde sport, et le troisième groupe suit un régime spécial.

• Après quatre semaines, la réduction de la pression artérielle de• Après quatre semaines, la réduction de la pression artérielle dechaque personne est enregistrée. À 0,05, testez l'affirmation selonlaquelle il n'y a pas de différence entre les moyennes.

• H1: au moins une moyenne est différente

Ex 2 Between groups ANOVA

• Nous avons les données sur l’anxiété chez lesathlètes dans les sports individuels, en doubleet en équipe. Appliquez l‘ANOVA à un facteurpour déterminer quelle anxiété sportive est lapour déterminer quelle anxiété sportive est laplus forte

• H1: au moins une moyenne est différente

Ex3: Between groups ANOVA

• Vous voulez examiner les différences entrehauteur libre entre trois groupes de sauteursen hauteur qui utilisent trois styles différents.La hauteur de dégagement est la différenceLa hauteur de dégagement est la différenceentre la hauteur maximale atteinte par lecentre de gravité et la hauteur de la barretransversale. Notez que dans cet exemple il y aUNE variable indépendante (style) qui a troisniveaux.

Ex 4 Anova 1 facteur /one way between groups ANOVA filesurvey.sav

• Question de recherche : y a t-il une différencedans les scores d’optimisme pour troisgroupes d’ages différents (jeunes, adultes etvieux).

• Deux variables:

• Une variable indépendante catégorielle avec 3 catégories distinctes jeunes adultes et vieux.

• Une variable continue dépendante (scale) score optimisme ( LOT life orientation test).

• Anova va nous dire s’il existe des différencessignificatives entre les scores moyens de lavariable dépendante sur les 3 groupes.

• Les tests Post-hoc vont être utilisés pour• Les tests Post-hoc vont être utilisés poursavoir où se situent les différences.

Analyse –compare Means - One-way ANOVA

• Cependant, lorsque l'homogénéité ne tientpas, plusieurs ajustements peuvent êtreapportés au test F.

• Le bouton Post Hoc produira plusieurs tests decomparaison permettant de comparer lamoyenne de chaque groupe à celle de tous lesautres.

• Ces tests facilitent la détermination desgroupes qui diffèrent des autres et sontgénéralement effectués une fois que l'analyseglobale a établi l'existence de différencessignificatives.

On va choisir aussi trois tests pour les comparer:

Remarque

• Lorsque des variances égales sont supposées, ou depréférence trouvées en utilisant le test de Levene,choisissez le test de Tukey, Gabriel, Bonferroni ou letest de Scheffe, ou tout autre test recommandé dansles textes statistiques.

• Notez que l'utilisation du test de Tukey, Gabriel, …. estjustifiée car le test de Levene n'était pas significatif. Sile test de Levene était significatif, vous auriez dûutiliser l'un des tests post-hoc de la section avec lesvariances égales non supposées comme Games-Howell.

• On regarde le test de Levene -test de vérification de l’homogénéité des variances

• Attention Si les variances sont égales alors sig>0.05 pas de problème comme on voit sur le tableau. On passe à la table ANOVA

• Si sig < ou = 0.05 on devra regarder les tests de Welsh et Brown-Forsythe pas la table ANOVA.

• L’homogénéité des variances a été testée et a• L’homogénéité des variances a été testée et aété trouvée tenable en utilisant Levene’s Test,F(2,432) = .746 p = .475

Df/ddl

• Les ddl/df degrees of freedom, pour ce test F

sont

• d.f.N. = k - 1, k est le nombre de groupes

• d.f.D.= N - k,• d.f.D.= N - k,

• N est la somme des tailles de chaque

echantillon.

• N = n1 + n2 +…+ nk.

Sig = .01 < 0.05 => la différence entre les moyennes des 3 groupes est significative.On passe alors à vérifier la table de Post-Hoc .

Attention F< ou = 1 indique un résultat non significatif.

dfN =k-1=3-1 =2dfD =N-k= 435 -3=432

• On peut vérifier que seuls les groupes 18-29 et45+ sont statistiquement significativementdifférents en terme d’optimisme avec sig. =.007 < .05

On va comparer plusieurs tests Post-Hoc. L’important est de preciser dansle rapport quel test Post-Hoc a été utilisé.

On utilise ce graphe pour comparer les moyennes des groupes.Rem.: Attention regardez bien l’echelle avant de omparer.

Strength of asscociation/ force de l’association ou Effect size /taille

d’effet

Pourcentage de la variance de la variable dépendante • Pourcentage de la variance de la variable dépendante expliquée par la variable indépendante

• ŋ2= Eta squared = 179.07/8513.02 = .021 ou 2% petit effet

• Rappel .01 petit ;;; .06 moyen

• .14 grand

• On peut déduire que bien que le test estsignficatif du au nombre grand nd’échantillonnage, la différence n’est pas trèsimportante pratiquement (comme l’effet estimportante pratiquement (comme l’effet estpetit).

Rapport

• Un test ANOVA entre les groupes avec un facteur est utilisépour voir l’association entre l’age et les niveauxd’optimisme LOT (Life orientation Test). Les sujets ont étédivisés en 3 groupes d’age ( Groupe 1: 29 ans ou moins;Groupe 2: 30 à 40 ans; Groupe 3: 45 ans et plus). Il y avaitune différence statistiquement significative au niveau p <.05 pour les 3 groupes: F(2, 432) = 4.6, p = .01. La vraieune différence statistiquement significative au niveau p <.05 pour les 3 groupes: F(2, 432) = 4.6, p = .01. La vraiedifférence entre les moyennes est petite. La taille d’effet est.02. Les comparaisons Post-hoc en utilisant Tukey test ontindiqué que la moyenne du Groupe 1 (M = 21.36, SD = 4.55)était significativement différente du Groupe 3 (M = 22.96,SD =4.49). Le Groupe 2 (M = 22.10, SD= 4.15) n’est passignificativement différent des groupes 1 et 3.

Ou General linear model > univariate

General linear model > univariate

Remarque

• ANOVA peut être robuste aux violations de seshypothèses, mais pas toujours. Nous avons égalementvu que certaines mesures peuvent être prises lorsquela variance est hétérogène. Cependant, il existe uneautre alternative. Il existe un groupe de tests (souventappelés tests sans hypothèse, sans distribution et nonappelés tests sans hypothèse, sans distribution et nonparamétriques).

• Eh bien, l'ANOVA indépendante unidirectionnelle /oneway independant ANOVA a également une contrepartienon paramétrique appelée test de Kruskal-Wallis. Sivous avez des données non distribuées normalement,ou avez violé certaines autre hypothèse, alors ce testpeut être un moyen utile pour résoudre le problème.

Ex 5

• On va comparer la différence de moyennesd’examen final de trois groupes divisé selon ledegré d’optimisme. Est ce que l’optimisme aun effet sur les résultats.un effet sur les résultats.

On regarde le test de Levene -test de vérification del’homogénéité des variancesAttention Si les variances sont égales alors sig.>0.05 pas deproblème comme on voit sur le tableau. On passe à la tableANOVASi sig < ou = 0.05 on devra regarder les tests de Welsh etBrown-Forsythe pas la table ANOVA.L’homogeneité des variances a été testée et a été trouvéetenable en utilisant Levene’s Test, F(2,97) = 2.787 p = .067

Sig . < 0.05 => la différence entre les moyennes des 3 groupes est significative.On passe alors à vérifier la table de Post-Hoc .Eta squared = 19700.055/24492.75 = 0.8 très grand

Test Post-Hoc

On peut verifier que tous les 3 groupes sont statistiquementsignificativement différents entre eux avec sig . < .05

Rapport

• Une ANOVA à un facteur a été menée pourévaluer l'impact de l'optimisme sur lesperformances des tests. L'optimisme a étémesuré par le test d'optimisme général (GOT) etles résultats d'un test basé sur les connaissancesont été utilisés pour représenter la performanceles résultats d'un test basé sur les connaissancesont été utilisés pour représenter la performancedu test. Les participants ont été divisés en troisgroupes en fonction de leur niveau d'optimisme.Les groupes 1, 2 et 3 représentaient des niveauxd'optimisme faible, moyen et élevé,respectivement.

Rapport-suite

• Les résultats ont montré qu'il existait une différencestatistiquement significative dans les scores du test deconnaissances pour les trois niveaux de groupes d'optimisme[F (2, 97) = 199,36, p <0,001]. La taille de l'effet était trèsgrande [eta carré = 0,80]. Les comparaisons post-hoc ontmontré que le score moyen de chaque groupe étaitstatistiquement significatif l'un par rapport à l'autre. Lestatistiquement significatif l'un par rapport à l'autre. Legroupe 1 (M = 49,80, écart-type = 7,99) était statistiquementdifférent du groupe 2 (M = 69,03, écart-type = 5,54). Legroupe 1 était statistiquement différent du groupe 3 (M =84,77, Ecart Type = 7,39). En outre, le groupe 2 était différentdu groupe 3 sur le plan statistique. Comme l'indiquent lesscores moyens du test de connaissances et illustrés dans legraphique, des niveaux d'optimisme plus élevés permettentd'améliorer les performances du test.