ANNA GAMBOTTO

ESTENSIONE DELLA NOZIONE DI LINEE PRINCIPALI E DETERMINAZIONE DELLE V* AVENTI

CERTE PARTICOLARITÀ'

Notissima è la nozione delle linee principali per una super­ficie F appartenente ad uno S5: tra le varie definizioni che ne furono date, qua basterà ricordare quella (1) secondo cui unalinea L esistente sulla superfìcie F è principale quando i piani tangenti alla superficie nei singoli punti della linea L costituiscono una totalità oo ! entro la quale ogni piano è incidente all'infinita-mente vicino secondo un ordine di approssimazione o > 4 (anzi­ché tf>2, come avverrebbe per una linea L generica).

Nel presente lavoro do anzitutto una definizione di linee principali per una varietà Vh di S2h+1 per 7&> 2, la quale per & = 2 coincide con quella testé riportata. Le direzioni principali uscenti da un punto P della Vh sono generatrici di un cono algebrico di dimensione h—1 e ordine &+3 avente vertice in quel punto (n. 1).

Nella parte successiva mi trattengo sul primo caso nuovo, vale a dire h = 3, enumerando dapprima le V3 a linee principali indeterminate (n. 2) e sopratutto studiando le Vz luoghi di oo1

superficie di S3 in relazione con la molteplicità che il piano tan-

(1) Cfr. A. TERRACINI, Sull'incidenza di spazi infinitamente vicini (Scritti matema­tici offerti a L. Berzolari, Pavia, 1936) ;

C. SEGRE, Sulle linee principali di una superficie di Sa ed una proprietà caratte­ristica della superficie di Veronese, « Rend. della R. Acc. dei Lincei » (5), voi. XXX, 1921 ;

C. SEGRE, Preliminari di una teoria delle varietà luoghi di spazi, « Rend. Circ. Matem. di Palermo», t. XXX, 1910, n. 24;

E. BOMPIANI, Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero, « Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino», voi. XLVIII, 1913;

BOMPIANI e BORTOLOTTI, Ricerche sulle superfici dello spazio a cinque dimensioni e nuove caratterizzazioni della superficie di Veronese, « Math. Zeitschr. », t. 42, 1937.

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gente ad una superfìcie generatrice in un suo punto generico F possiede per il cono delle tangenti principali con vertice F (n. 4-7).

Una F 3 luogo di °o i superfìcie di $ 3 gode sempre della proprietà che il piano tangente è componente almeno doppia del cono delle direzioni principali. Esso è componente tripla o di molteplicità maggiore se e solo se il sistema degli 83 è tale che due 83 infi­nitamente vicini si intersecano in un punto (sistemi che indico con A) (n. 4).

A parte ho studiato i casi di V3 luoghi di coi piani e di V3

luoghi di ooi coni con vertice nel punto caratteristico dello 83

generico di un sistema A, trovando che nel primo caso il piano generatore è componente almeno quintupla del cono V2

G delle direzioni principali, e sestupla in certe eventualità che deter­mino (n. 5); e che nel secondo il piano tangente è componente quadrupla del cono F 2

6 e non può essere di molteplicità maggiore eccetto quando il cono si riduca ad un piano (n. 6).

Riprendendo il caso generale di V3 luoghi di superficie conte­nute negli 83 di un sistema A e stando all'ipotesi che l'ordine di approssimazione inerente al sistema A sia o = 2, ho trovato (n. 7) che il piano tangente alla superfìcie è componente almeno qua­drupla se e solo se la superficie generatrice è una quadrica passante per il punto considerato ed ivi tangente ad un piano ben definito per ogni 83 di un sistema che ho chiamato « piano fondamen­tale ».

Nel n. 3 si trova un cenno sulle condizioni affinchè una F 3

contenga un sistema oo* di superficie tali che ogni linea di ciascuna di queste sia principale.

1. - In analogia con la definizione sopra citata delle linee principali per una superficie F di 85ì definisco come linea prin­cipale di una Vh appartenente ad un 82h+1 u,na linea tale che gli 8h tangenti alla varietà in due punti infinitamente vicini della linea siano incidenti in un punto con ordine di approssima­zione o > 4 .

Sia w (TX... rh) il punto che descrive la varietà Vh. Lo 8h tan­gente in un punto generico w della varietà è individuato dai

punti w, wlf w2,... wh, (dove si è posto ^ = -^- , per 1 < i < h).

Per determinare le tangenti principali si deve imporre che lungo la linea xi = %i(t) la totalità oo1 degli Sh tangenti sia tale che

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due Sh tangenti in due punti infinitamente vicini si intersechino in punto con a > 4 .

A questo scopo premetto la condizione d'incidenza con a > 4 fra due 8h infinitamente vicini di una totalità semplicemente infinita considerando lo Sh generico individuato dai punti a0(t), a-L {t), ...ah(t). ÌJ noto (2) che la condizione perchè due Sh infini­tamente vicini si intersechino in un punto è la seguente:

[1] | a0, alf ... ahì a0', a^, ... %' | = 0 .

Imponendo che l'ordine di approssimazione dell'incidenza sia o > 4 si ottiene l'ulteriore condizione :

h h(i>j)

2 E | a0, av ... aha0' ... « / " ... ah' | -f 3 EE \ a0 ... ahaQ'... a/'... a^'... aA ' |= 0

(dove, nel determinante che figura nella seconda sommatoria, in due delle ultime Ji+1 colonne compaiono derivate seconde e nelle rimanenti h — 1 derivate prime) che, combinata opportunamente con quella ottenuta derivando due volte la [1] si trasforma nella:

h h(i>i) [2] 2 E \ aQ... ai ... ahaQ' ...ai" ...ah' \ -f EE \ a0...aha0'.. .a/' ...ai"... ah' \= 0

ì = 0 i,j«=0

Quindi perchè una totalità semplicemente infinita di 8h sia tale che due Sh infinitamente vicini si intersechino in un punto con a > 4 , essa deve soddisfare alle condizioni [1] e [2].

Applico questi risultati alla totalità degli oo1 Sh tangenti alla Vh lungo una linea principale, assumendo ovviamente a0=w, a1 = w1, ...ah=wh.

La condizione [1] è identicamente soddisfatta, come si poteva già prevedere a priori per il fatto che gli Sh tangenti alla Vh in due punti infinitamente vicini di una linea qualsiasi sono sempre incidenti in un punto. La condizione [2] attualmente diventa:

h h li

E n' | w, wl9 ... wh1 E WÌJT/J E Wijt/f... i = l j=l : / = 1

h h h

... E WÌHTJ'%1 + E Wis-ts",--- 2 * % T / | = 0 , j , 1=1 S = 1 7 = 1

(2) Cfr. A. TERRACINI, Sull'incidenza di spazi infinitamente vicini, Gap. I, n. 1.

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dove però il primo membro contiene solo in apparenza le deri­vate seconde delle r^ cosicché l'equazione delle linee principali risulta :

h h h h

| w, wJ, ..., wh, E Wijtj', E Wytj'..., E Wkjr/, E W^T/T/TJ ' | = 0 . 7 = 1 ?'=1 7 = 1 i,ì,l=l

In ogni Sh tangente si ha un S0 — cono algebrico di direzioni principali, avente dimensione Ji—1 ed ordine h+3 (eccetto i casi di linee principali indeterminate).

Per il caso h=3 che tratterò in seguito, l'equazione delle direzioni principali è dunque

3 3 3 3

[3] \w,u\,wò,wz, E wHti, E W2ÌTÌ, E W3ÌTÌ, E « ^ T / T / T / I = 0 , i=l i=l £= 1 i,j,l=l

cosicché (sempre eccettuato il caso di linee principali indetermi­nate) in ogni $ 3 tangente esiste un cono sestico di direzioni principali.

2. - Applicando risultati noti (3) si possono facilmente trovare le F 3 di 87 a linee principali indeterminate.

L'annullarsi identico dell'equazione [3] equivale al fatto che lo 8 (3,1) in un punto w qualsiasi della varietà ha dimen­sione irregolare, ossia minore di quella dello spazio ambiente (ricordo che si definisce come #(3,1) di una V3 relativo ad un punto A e ad una retta ivi tangente t il minimo spazio che contiene gli S (3) osculatori in A alle linee della varietà che pas­sano per A con la tangente t).

D'altra parte sono note (Cfr. A. TERRACINI - 1. e. (3)), tut te le V3 per cui gli S(3,1) hanno dimensioni irregolari; fra queste a noi basta considerare quelle appartenenti ad S7.

Si ottiene così senz'altro il seguente teorema: le V3 appar­tenenti ad S7 aventi linee principali indeterminate sono tutte e sole le seguenti:

le co1 di piani sviluppabili, le oo2 di rette sviluppabili,

(s) Cfr. A. TERRACINI, LOS SU osculadores a las curvas de una variedad y nueva caracterizacion de una clase de variedades, « Rev. de Mat. y Fis. teor. de Tucuman », voi. III.

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le V3 luoghi di co1 superficie situate negli S3 di una tota­lità co1 sviluppabile,

le V3 luoghi di co2 linee in altrettanti piani che proiettano da una retta la superficie di Veronese,

le V3 proiezioni su S7 della V38 di S9 rappresentata su S3

mediante il sistema lineare di tutte le quadriche, la V3

6 di #7 rappresentata su S3 mediante il sistema lineare di tutte le superficie cubiche con un punto base doppio le quali contengano una cubica gobba (eventualmente riducibile) passante per il detto punto.

3. - Oltre alle V3 a linee principali indeterminate, ne esistono altre che, pur senza giungere a possedere quella proprietà, sono tuttavia luoghi di 00x superfìcie tali che ogni linea di queste è principale, cosicché in ogni punto di una superfìcie generatrice il cono V2

Q delle direzioni principali contiene come parte il piano ivi tangente alla superficie stessa.

Tale è ogni V3 luogo di 001 superfìcie F di S3, anzi queste V3 presentano un'altra notevole particolarità in quanto in ogni punto della V3 il cono V2

Q delle tangenti principali contiene come componente almeno doppia il piano ivi tangente alla superfìcie generatrice. Allo studio di queste V3 dedicheremo i numeri 4-7.

Esse non sono però le sole a godere della proprietà indicata, che è facile tradurre analiticamente, inquanto, se sulla V3 descritta dal punto w (tj^Tg), le superfìci generatrici si hanno per r3 = cost. la proprietà richiesta si traduce in sette condizioni [ e j , [e2], . . . [e7]:

[ed

[ea]

[e3]

ww1w2w3wnw12w13wu 0

[ e j

+

+

+ +

¢0^02^2^3^11^22^13^111 I + WW1W2WZW1JW^1^22,1^in | +

ww1w2w3w11w12w13w1121 — 0

ww1w2w3wnw22w23wln I + I ww1w2w3wì2w22w13w1111 +

ww1w2w3wllwl2w23wll2 I + I ww;1^2w3w11w22^13^i121 +

^ ¢ 0 ^ 2 ^ 3 ^ 1 1 ^ 2 ^ 1 3 ^ 1 2 2 I ~ ^

^ 0 ^ 2 ^ 3 ^ 2 ^ 2 2 ^ 2 3 ^ 1 1 1 | -f I IOW XW 2W 3lO nW 22W 23W ll2 | +

WIO-^W^^W^W^W^W^.2 | + | ¢ 0 ^ ^ 2 ^ 3 ^ . ^ 2 ^ 2 3 ^ 1 2 2 | +

¢0^202^3^11^22^13^122 I + I ^^1^2^3^11^12^13^222 I ~ 0 f

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laddove non scriviamo esplicitamente le [e5], [e6], [e7], le quali si ottengono dalle [e j , [e2], [e3] scambiando l'indice di deriva­zione 1 con l'indice 2.

Non sembra facile la determinazione effettiva di tutte le V3

soddisfacenti alle condizioni in esame. Ci limitiamo ad indicare i seguenti esempi:

a) le V3 luoghi di superficie di #4. Invero lungo ogni linea tracciata su una superficie generatrice gli $3 tangenti sono a due a due incidenti e quindi ha luogo l'incidenza di due conse­cutivi addirittura nell'ordine di approssimazione a = oo ;

b) le V3 luoghi di superfìcie di VERONESE, come si rico­nosce in modo del tutto analogo al precedente;

e) le V3 luoghi di superfìcie sviluppabili, come si vede subito in base al sistema [ex], ... [e7].

4. - Passiamo ora ad approfondire, nel senso accennato al principio del n. 3, lo studio delle Vz luoghi di oo1 superficie appartenenti ciascuna ad uno $3.

Individuando lo $3 generico del sistema con i punti indi­pendenti oo (ti), y(*i), z{ii), v(ti) posso pensare la V3 descritta dal punto:

w (¾½) = ^ (¾¾)xM + A* (¾%) yM + v (¾¾¾)zM + v M ,

dove nessuno dei coefficienti per T1= cost. è nullo perchè altri­menti la superfìcie sarebbe un piano, caso che tratterò a parte (n. 5) e che ora ritengo escluso. Allora la superfìcie si può rappresen­tare con il sistema delle due equazioni di LAPLACE:

n™ = finvi + ey* + £% ,

(dove a, fi, y, ò, s, £ sono funzioni dir1? T2, T3) a cui soddisfano A ^ T ^ ) ,

/*(TiT2T3)? r(TiT2T3) P e r %i = cost. Infatti non possono i tre derivati secondi essere tutti combinazioni lineari di rj2 ed r)3, e d'altra parte se le equazioni fossero 2̂2 = ^(1) e^ %3.= $(!)> cioè se la superficie fosse riferita alle asintotiche basterebbe fare un cambia­mento di linee coordinate.

Calcolate e sostituite le espressioni che compaiono nell'equa­zione [3] che definisce le linee principali, l'equazione stessa

[*]

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diventa:

W, W1}W2ì W^WnT/ + WVi%2 + W13V5 ^ 2 ^ / + ( ^ 2 2 ^ + -^)^2 + (^23^ + " O V *

W31V + (^32^ + •••) V + (^83^+ — ) V j 3 3 3

^ 1 1 1 ^ ^ + 3 ^ / £WIJITJ'TI+ 2 hjiTi %j %i -x + 2 uniti'xjti • ?/ + 1 2 2

3 + 2 Vifl Ti %}'Ti' - « | = 0 .

2

Il primo membro è divisibile per V2? perchè sono nulli tut t i i coefficienti di V % ' 3 c o n V + Q = 6> e p + # = 5.

Quindi in generale per una V3 luogo di superfìcie i? di $3

ogni superfìcie generatrice è a linee tu t te principali, ed il piano tangente alla superfìcie stessa è componente almeno doppia del cono delle direzioni principali.

Perchè il piano tangente alla superfìcie generatrice sia compo­nente almeno tripla di detto cono, si deve imporre che sussista identicamente rispetto a T2' e T3' la condizione:

3 | W)Wl9W2J^3J^13H' 1 Wl*« Wo3T</ + WSZT3', 2 W\jiXj' Ti |

[4] " ' 2 s

+ | W, WlyW2,W3, W12T2', W22T2' + W23T3', Wì3, 2 WijiTj'Ti 1 = 0 . 2

Dalle espressioni delle derivate w2, w3, w22 si possono rica­vare 00, y, z, nella forma:

x=fW*_fW*Wu+8{1) y==

[5]

dove

v,-v. +g(1) fì

/.2/^3 / 3 /^2

Q w22 + S{1)

Q

*22 /*22 r 2 2

^2 /½ r 2

^3 / ½ r 3

è diverso da zero per non ricadere nel caso, attualmente escluso, in cui la superficie generatrice è un piano. Inoltre tenendo conto delle equazioni di LAPLACE a cui soddisfa la superficie genera­trice e delle espressioni [5] di x, y, z, si possono ricavare per w23,

— 298 —-

w33 l e espressioni

m,3 = aw22 + 8(1) [6]

w33 = 0w22+ Si1), che sostituite nella [4] la trasformano nella

3

(T 2 ' 2 |+ 2 a T 2/ T 3

/ + ^ 3 / 2 ) • 1 ^ ^ ^ 2 ^ 3 ^ 1 2 ^ 1 3 ^ 2 ^ WljlXi' Xl 1 = 0 . 2

che deve essere identica rispetto a V e T3 '. Annullando i coefficienti di T 'a

PT/3 f f con /? + q = 4 si ottengono cinque condizioni che si riducono subito alle tre:

\w,wvw2,w3,w12, w13,w22, wu.\ = 0 , M = 2 , 3

che a loro volta esprimendo w e le derivate che compaiono in funzione di %, y, z, v, x', y', z', v' si riducono all'unica:

| x, y, z, v, oc', y', z', v' | = 0 ,

cioè alla condizione perchè lo S3 individuato dai punti #, y, z, v intersechi in un punto lo S3 infinitamente vicino.

Concludendo: una V3 luogo di superficie F di S3, non piane, gode della proprietà che il piano tangente ad ogni superficie F è componente almeno doppia del cono V2

6 delle direzioni princi­pali; esso è componente tripla o di molteplicità maggiore se e solo se gli $3 a cui appartengono le superficie F costituiscono un sistema oo1^ in cui lo S3 generico interseca Vinfinitamente vicino in un punto (sistema che in seguito indicherò con A).

5. - Considero a parte il caso di una V3 luogo di coi piani. Indicando con a?(Ti), y(ri), «(Ti) tre punti indipendenti che indi­viduano il piano generatore, si può pensare la V3 descritta dal punto :

w (*IT2*8) = x*x (Ti) + T32/ (Ti) + z M >

L'equazione [3] delle linee principali diventa:

T / 5 I z, z', x, y, %2x" + %$" + z", x', y', (%2x"f + %3y'" + z'") T1/ +

+ 3#"r2 ' + 3y"T'8 | = 0 .

Quindi per una V3 luogo di oo1 piani il piano generatore è sempre componente almeno quintupla del cono F2

6 delle

— 299 —

direzioni principali. Affinchè poi il piano, componente residua del cono, coincida col piano generatore è necessario e sufficiente che sia identicamente rispetto a T2, T3, T2', T3'

| x, y,z,x',y', z', %2x" + %zy" + s", %2x" + %z'y" \ = 0

cosicché sussistono le tre condizioni:

| x, y, z, a?', y', z', x", y" | = 0 \x, y, z, x', y'7z', x", s" | = 0

\x,y,z,x', y',z', y",z" | = 0 .

Se due piani infinitamente vicini del sistema non sono inci­denti, queste condizioni significano che tre piani consecutivi stanno in uno S6 variabile in una sviluppabile; nell'ipotesi opposta esse sono senz'altro soddisfatte.

Perciò possiamo concludere che in ogni punto di una V3

luogo di co1 piani appartenente ad $7 il cono delle direzioni principali si spezza in due piani di cui uno è il piano genera­tore che è componente almeno quintupla. Esso è componente sestupla se la V-s è luogo di oo1 piani contenuti ciascuno in uno #4 di una sviluppabile oppure eventualmente incidenti ciascuno al consecutivo in un punto.

6. - Prima di approfondire la trattazione per il caso generale del .n. 4 conviene ancora considerare un altro caso particolare che si dovrà escludere in seguito, e precisamente il caso in cui la superfìcie generatrice della V3 contenuta in un S3 di un sistema A sia un cono (non ridotto ad un piano) col vertice nel punto x che descrive la linea a cui gli $ 3 del sistema sono tangenti.

Individuando lo $ 3 coi punti x, x', y, z funzioni di *\ il cono generatore si può sempre pensare ottenuto come proiezione dal punto x della linea Ti sua traccia sul piano yzx'. Il punto che descrive la V3 sarà rappresentabile nella forma:

W (TjTgTg) = %%X + [A (TjTg) -y + V ( ^ ¾ ) . Z -f - X' .

Allora l'equazione [3] delle linee principali diventa:

(tuv2 — v/x2) • | x, y}z, juy' + vz' + x", w ^ , (fi2yf + v2z') T/ ,

3

®'%\i WiiiV3 + 3 T / 2 2 wllr T / + 3w122 W 2 1 = 0 . 2

— 300 —

Il fattore JLCV2—VJLI2 è diverso da zero, perchè se no si avrebbe ^ W = / ( T i W ¥ 2 ) ossia la linea L si ridurrebbe ad una retta, caso attualmente da escludere.

Il primo membro dell'equazione delle linee principali è divi­sibile per T / 4 , e quindi il piano tangente è componente almeno quadrupla del cono delle direzioni principali. Imponendo poi che esso sia componente di molteplicità maggiore si ottengono solo Vz luoghi di piani.

Infatti perchè sia componente quintupla deve essere:

| os, y, z, x', y% z'', x", /xy" + vz" + x"' | = 0 ,

e da queste condizioni, sia supponendo o = 2, sia o> 2, si può ricavare una relazione lineare fra fi e v con coefficienti funzioni di *i.

Concludendo: una F 3 luogo di co1 coni situati nei singoli #3

di un sistema A ed aventi il vertice nel punto caratteristico del relativo $3 gode della proprietà che il piano tangente al cono gene­ratore è componente quadrupla del cono V2

6 delle direzioni princi­pali. Non può essere componente di molteplicità maggiore eccetto nel caso che il cono generatore si riduca ad un piano.

7. - Eiprendo lo studio del caso generale iniziato al n. 4 ossia considero V5 luoghi di superfìcie F di #3 appartenenti ciascuna ad un #3 di un sistema A.

Ho dimostrato (Cfr. n. 4) che per una tale V3 il piano tangente alla superfìcie generatrice F è componente almeno tripla del cono delle direzioni principali; cerco ora di determinare in quali casi esso è componente almeno quadrupla, ^rimanendo nel caso più generale che l'ordine di approssimazione inerente al sistema A sia 0=2.

Inoltre supporremo che la superficie generatrice non si riduca ad un cono nelle condizioni già esaminate al n. 6.

Individuando lo S3 coi punti x, x'9 y, z, funzioni di TXJ la F 3

luogo delle superfìcie F si può pensare descritta dal punto:

dove X, JLI, v come funzioni di T2, T3 soddisfano al sistema [2) del n .4 .

— 301 —

Conviene anzitutto trasformare l'equazione [3] nella [3'], che sarà scritta fra poco, in base al fatto che attualmente gli S3

di appartenenza delle superfìci generatrici della V3 appartengono ad un sistema A ed esplicitare opportunamente alcune fra le derivate terze del punto w che compaiono in questa equa­zione.

Dall'espressione di w, w^ w2ì w3ì w12ì iv22, w13 posso ricavare oltre alle [5] del n. 3 le

x' = —

X i" V

À2 f,l2 *2

Aq /½ *3

Q w22 + 8(1)

y' = (...)w22+ —w12 — ^ ww + S(i) CO CO

Z' = ( . . . ) ^ 2 2 - - ^ 1 2 + - ^ 3 + ^ ( 1 ) OJ CO

« » - (...) «,22 +*ft» - ^ Wlf + p» - * * co co

W1B + 8(1)

dove co = ju2v3 — jit3v2. Nel caso attuale oltre alla i 2 ^ 0 ( n . 4) si ha anche co ̂ 0 perchè l'ipotesi opposta cioè l'esistenza di un legame funzionale per \ = cost. fra le /u, v porterebbe ad una V3

luogo di oo i coni nelle condizioni esaminate al n. 6. Sostituendo nella [3] i valori di w23 e di w33 a norma della [6] ed i valori

v>iti=-jjwt2+ S(l) i,j,l = 2,3

Wiji= ( . » ) w a 2 + PflVz —Vjite

co w12 —

Hi v2 — vn /½

co w13 + 8(1),

dove

A-,; ijl

Hjl ftijl vijl

h /½ V2

ed infine

Wur = CrWn + drW12 + fr W22 + 9rw13 + #(1) T = 1, 2, 3

— 302 —

la [3] diventa

I WjWl^Wa^jTj ' + W ^ ' + ^ T g ' , W21V+ (V + ClTg') W22> W31V + 3

+ (aT2' + 0T3')t02a, Wmt^+3^'2 2(crwn + drw12+ frW22 + grwls)rr' + 2

'] 3 + 3 V 2[(...) w22 + (...) w12 + (...) tr18] T / V +

2 3 J , r,s,<=2 <«

+ 2 -%• Tr'Ta'Tt'W22 I = 0 .

Avendo supposto ¢ = 2 i punti x, x', x", x"\ y, y', z, 0' sono linear­mente indipendenti ed ogni altro punto dello S7 si può espri­mere come loro combinazione lineare cosicché

y" = a0x + axx' + a2x" + a.àx'" + aày + a6« + a$' + 07«'

2" = bQx + fr^' + ~b2x" + 63a?,,/ + 64i/ + \z + 662/' + ò7s'

dove le %, &̂ sono funzioni di T1P

Sostituendo y'' e 2" nella w n si ricava

0 ' " = (...) w22 + (...) wu + (...) w13 + w u + S (1) a3iw + o3?> + 1

(dove l'espressione scritta a denominatore è certo diversa da zero) e quindi

y" = (...) w22 + (...) w12 + (...) w13 + 3 w u + £ (1)

a3/w+ 03r + 1

z" = (...) w22 + (...) w12 + (...) Wl8 + 3 , «?u + #(1) fl3^+ 03y -r 1

da cui

%lr = (...)^22 + (..-)^12+ (-..)^13+ J ^ t Sl\ WU + S(1). r=2,3

Imponiamo ora che il piano tangente alla F sia componente quadrupla del cono delle direzioni principali, annullando i coeffi­cienti dei termini in V ^ V 3 c o n V + 2 = 3. Si ottengono così le

— 303 —

quattro seguenti condizioni:

A '222

Q • q / A*22^2 ^22/^2 /^22^3 ^ 2 2 / ½ ] , o

\ ft) CO )

% - 3 + 2 « /^23^2 ^23/½ r> /^23^3 ^23/½ , o

CO CO

(hf*2 + & 3 y 2

az/j, 4- &3̂ + 1

/^22y2 y 2 2 ^ 2

CO

0

M a

/ W 3 — ^22^3 , «3^3 + V s , 2 a ^ / ½ + hV2 = Q

+ CO

233 , „ A*33y2 ^33/^2

« 3 / * + &8V " h i

/^33^3 ^33/½

£ co co + 20

ct3/.t + b3v + 1

/^23^2 ^23/½

CO

0 „ /*23y3 ~ y 2 3 ^ 3 , Q „ ^ 3 ^ 3 + &3y3 , n ft3^2 + h^2 A — ja h iia + p ; — — - — 0

co a3ju + bsv + 1 a3itt -f o3v + 1

333 + 3 lo fozV9. — y 3 3 ^ 2 q /*33y3 ~ ^ 3 3 ^ • 3 ^ ^3/^3 + &3y3 = Q

Q \ co co 1 a»Li + boV + l

che legano i coefficienti a e (3 del sistema (2") e le tre solu­zioni A, JLI, v del sistema stesso.

Si t rat ta ora d'interpretare geometricamente queste condizioni. A ta l uopo conviene operare una trasformazione di parametri che lasci inalterato il parametro t19 introducendo in luogo di T2 e r3

due nuovi parametri u, v definiti dalle

/*(T1T2T3> = U V (T1T2T3) = ^ ?

(trasformazione lecita perchè lo JACOBIANO della trasformazione è co = ju2v3 — ju3v2^0). In funzione dei nuovi parametri, posto X(T-,T2T3) = <p(xxuv) il punto w si esprime nella forma:

w (T-LUV) = <p (T1? U, V) • x (TX) + uy (tj) + vz (TX) + x' ( ¾ ) ,

in base alla quale attualmente si ha:

a — <P uv

<Px

o *Pvv

— 304 —

mentre il sistema delle condizioni [y] diventa:

I &1L1UI „ ^ 3 + 3 =2 - = 0

lyoì

cpuu asu + bBv + 1

9?«« tt3?^ + b3v -f 1 a3w + 63^ + 1

2s= + 2« 1 + /3 £ = 0 <pM« < V + 63v + 1 a3w + b3v + 1

^ + 3£ \ = 0 . (puu a3u + b5v + 1

La prima e l'ultima equazione in cui si sia sostituito il valore di fi diventano con una quadratura:

<Puu (<V^ + 63« + l ) 8 = / (Tl> ^) ,

9>w ( V + 63¾ + i ) 3 = 9 (Ti> ^) •

Dalle altre due condizioni di [y0] discende come conseguenza una relazione che lega le funzioni sinora arbitrarie f(*iv) e g(i\u)

[7] 2 (a32gf — ò3

2/) + bzf (a3u + &3v + 1) — asg' (a3u + b3v + 1) = 0 ,

( d o v e / = - , e < / = - ) •

Derivando due volte la [7] rispetto a v, oppure rispetto ad u, si ottengono due relazioni che, essendo a3u+b3v+l ^ 0 si scri­vono: /'"63=0 , g'"a3=0.

Vi sono quindi quattro possibilità dipendentemente dall'an-nullarsi dei primi o dei secondi fattori.

Se a^ 0 e b^ 0 si ricava (tenendo anche conto separata­mente delle due equazioni di [y0] delle quali precedentemente si si era solo considerato la conseguenza [7] (4))

w Av* + Bv+C r, (r, A .

2a32(a3u + b3v + 1) \ 2<%3

2&3

d o v e A , B, C, D, E, F sono funz ion i di d i T2.

oc + uy + vz + so',

(4) Avvertenza analoga vale anche per i casi successivi.

— 305 —

Se a3= 0 e è 3 ^ 0 si ricava

(bo2Hu2 + Ku+ L _\ w = n , 0 /1 r^n 1- Mv + Nu + P)x + uy + vz + oc',

dove Jff, JT, L, M, N, P , sono ancora funzioni di TV

Analogamente salvo lo scambio di u con v se b3 = 0, e a 3 ^ 0 . Se #3=&3 = 0 si ricava infine

w — (anu2 + 2a12uv + ^22^2 + 2%¾7½ + 2a23fl + a33) oc + uy + vz + oc' ,

dove le aifc (per à, A; = 1,2,3) sono anche questa volta funzioni di -cv

In tutt i i casi la superfìcie F è una quadrica e sulle espressioni trovate per w si riconosce senz'altro che essa passa per il punto caratteristico x e che (introducendo nello S3 generatore del si­stema A coordinate Q1 Q2 Q3 Q± in quanto i punti dello S3 si espri­mano nella forma Q1x+g2y+Q3Z+Q4:X') in detto punto essa am­mette come tangente il piano ^2+^323+^4=0-

Viceversa tali condizioni inerenti alla superficie F sono anche sufficienti affinchè sussisti il sistema [y0].

Ora è essenziale notare che il piano ^sQ2+b3Q3-\rQ4: = 0 — del quale quanto precede già ci assicura che deve avere significato geometrico, e perciò deve essere indipendente dai punti y e z che con x ed x/ individuano lo S3 generatore — è suscettibile della definizione geometrica diretta che emerge dalla seguente osserva­zione (5). Per ogni sistema A di S3 esiste in ogni S3 generatore un piano tale che assumendo in esso una qualsiasi retta uscente dal punto caratteristico x, questa e le analoghe rette di due ulte­riori piani consecutivi sono contenute nella $ 6 di due S3 consecu­tivi del sistema (piano che ho chiamato «fondamentale» dello S3).

Concludendo, l'enunciato finale del n. 4 si può ora precisare in questo modo: una V3 luogo di oo1 superficie F giacenti negli S3

di un sistema A, con a=2 (se la superfìcie generatrice non è un piano né un cono col vertice nel punto caratteristico), gode della proprietà che il piano tangente alla superficie generatrice nel punto x è componente almeno quadrupla del cono delle direzioni principali nel punto stesso se e solo se la superficie generatrice è una quadrica passante per il punto x caratteristico dello S3 ed avente come piano tangente in x il piano «fondamentale» del predetto S3.

(5) Essa consegue come caso particolare da una analoga osservazione più generale contenuta nella mia Nota: Sui sistemi semplicemente infiniti di spazi con incidenza di spazi generatori infinitamente vicini, in corso di redazione.

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