anÁlise do regime de escoamento hipersÔnico...
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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DO CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
ENGENHARIA MECÂNICA
GUILHERME DIAS VICENTINI
ANÁLISE DO REGIME DE ESCOAMENTO HIPERSÔNICO ATRAVÉS
DE BOCAIS DO TIPO CONVERGENTE-DIVERGENTE
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
GUARAPUAVA
2016
GUILHERME DIAS VICENTINI
ANÁLISE DO REGIME DE ESCOAMENTO HIPERSÔNICO ATRAVÉS
DE BOCAIS DO TIPO CONVERGENTE-DIVERGENTE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel, em Engenharia Mecânica, da Coordenação do Curso de Engenharia Mecânica, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos Amaro de Faria Jr.
Co-Orientador: Prof. Dr. Christian Naaktgeboren
GUARAPUAVA
2016
TERMO DE APROVAÇÃO
ANÁLISE DO REGIME DE ESCOAMENTO HIPERSÔNICO ATRAVÉS DE BOCAIS
DO TIPO CONVERGENTE-DIVERGENTE
por
GUILHERME DIAS VICENTINI
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi apresentado em 02 de dezembro de 2016
como requisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia
Mecânica. O candidato foi arguido pela Banca Examinadora composta pelos
professores abaixo assinados. Após deliberação, a Banca Examinadora considerou
o trabalho aprovado.
__________________________________ Dr. Antônio Carlos de Amaro Faria Jr.
Prof. Orientador
___________________________________
Dr. Christian Naaktgeboren Prof. Co-Orientador
___________________________________
Dr. Sérgio Dalmás Membro titular
___________________________________
Dr. Luan J. Franchini Ferreira Coordenador do curso de Engenharia Mecânica
- O Termo de Aprovação assinado encontra-se na Coordenação do Curso -
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Guarapuava
Diretoria de Graduação e Educação Profissional
Coordenação de Engenharia Mecânica
Engenharia Mecânica
Dedico esse trabalho à minha filha Bianca Passos Vicentini. Essa criança abençoada que apareceu na minha vida em um momento crucial, para não desistir dos meus sonhos e do caminho na qual desejava trilhar para o meu futuro profissional e pessoal.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de, através destes parágrafos, poder agradecer aos envolvidos que
tanto colaboraram para que fosse possível chegar ao final dessa longa jornada. Sendo
assim, primeiramente agradeço à Deus por sempre me abençoar, ajudar nos
momentos mais difíceis e dar esperança quando necessário. Em segundo lugar, aos
meus pais, por darem o melhor para que eu tivesse uma educação de excelência,
uma base forte consolidada, experiências de vida, alegrias e ensinamentos que serão
levados para a vida toda. Desde pequeno recebi um apoio incondicional, que foi
essencial para ser possível a realização do meu sonho.
Também gostaria de agradecer a minha namorada Andressa Passos, por todo
amor e apoio emocional, estando sempre ao meu lado me ajudando. Agradeço
também aos meus colegas e, especialmente, meus melhores amigos Lucas Staciaki,
Rafael Serbay, Felipe Nascimento, Andrey Fiorin e Leonardo Augusto, por estarem
comigo durante todos esses anos de graduação, me trazendo alegria, companhia para
qualquer hora e por colaborarem muito para o meu desenvolvimento profissional e
social.
Além do mais, gostaria de agradecer especialmente ao meu orientador
Antônio Carlos, no qual respeito e admiro muito. Desde o início, ele me incentivou na
área da pesquisa, me orientou em vários projetos, teve paciência o suficiente com as
minhas dúvidas, além de passar parte de todo o vasto conhecimento que possui. Por
fim, agradeço também a toda ajuda que me foi dada, em especial ao meu co-
orientador Christian e ao professor Dalmás, por passarem seus conhecimentos,
pensamentos e atitudes. São grandes profissionais que possuo imenso respeito e me
espelho com alegria.
Muito obrigado a todos, pois só consegui chegar aqui graças a vocês e espero
conseguir retribuir em dobro toda essa ajuda que foi proporcionada!
RESUMO
VICENTINI, Guilherme Dias. Análise do Regime de Escoamento Hipersônico Através de Bocais do Tipo Convergente-Divergente. 2016. 64 f. Trabalho de Conclusão de Curso – Curso de Engenharia Mecânica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Guarapuava, 2016.
O interesse na simulação de escoamentos de regime em alta velocidade tem se tornado mais presente, nessas últimas décadas, como consequência do crescente estudo na área da aerodinâmica e do início da Era Espacial. No caso de veículos de subida ou de reentrada atmosférica, tais corpos estão submetidos à um escoamento hipersônico, cujo Número de Mach, M, maior ou igual a 5. Em tal escoamento, dois fenômenos importantes ocorrem, sendo eles a interação viscosa e a relação de altas temperaturas entre o corpo e a onda de choque. Isso fará com que, a partir de certo ponto, o gás comece a sofrer reações químicas, visto que este estará sob efeito das altas temperaturas. Consequentemente, proporciona-se que o expoente de expansão
isentrópico, 𝛾, não seja mais constante, devido a ocorrência de dissociação dos gases. A utilização de códigos de CFD (Computational Fluid Dynamic) é um exemplo de elemento essencial para a modelagem desse tipo de escoamento. Tal abordagem é baseada em soluções (numéricas) aproximadas de equações governantes sobre uma malha discreta, que quanto mais refinada, tende a ser mais precisa sua solução numérica. O presente trabalho visa investigar numericamente esse escoamento hipersônico, através de um desenvolvimento teórico, para se obter a geometria da tubeira do tipo convergente-divergente, utilizando uma simulação em MATLAB.
Palavras-chave: Escoamento Hipersônico. Tubeiras. CFD. Simulação.
ABSTRACT
VICENTINI, Guilherme Dias. Analysis of a Hypersonic Flow Regime Through Convergent-Divergent Nozzles. 2016. 64 pages. Completion of Coursework – Mechanical Engineering, Federal Technology University of Paraná. Guarapuava, 2016.
The interest in simulation of regime flows at high speed, has become more present in recent decades, consequent to the increasing study in aerodynamics and the beginning of the Space Age. In the case of ascent or atmospheric reentry vehicles, such bodies are subjected to a hypersonic flow, whose Number of Mach, M, is greater or equal to 5. In such flow, two important phenomena occur, being the viscous interaction and the relation of high temperatures, between the body and the shock wave. This will cause, from a certain point, the gas to begin to undergo chemical reactions, as this will be under the effect of high temperatures. Consequently, it is provided that the isentropic expansion exponent, γ, is no longer constant due to the occurrence of gas dissociation. The use of CFD (Computational Fluid Dynamic) codes is an example of an essential element for the modeling of this type of flow. Such an approach is based on approximate (numerical) solutions of governing equations over a discrete mesh, which the more refined its numerical solution tends to be. The present work aims at numerically investigating this hypersonic flow, through a theoretical development, to obtain the convergent-divergent type nozzle geometry, using a MATLAB simulation.
Keywords: Hypersonic Flow. Nozzle. CFD. Simulation.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Modelo esquemático do veículo hipersônico 14 – X .................................. 3
Figura 2 – Escoamento sobre um volume de controle finito ........................................ 4
Figura 3 – Comportamento de uma onda e semelhança com choque normal .......... 10
Figura 4 – Exemplos de comportamentos de onda de choque normal ..................... 12
Figura 5 – Volume de controle para análise de choque normal ................................ 13
Figura 6 – Cone de Mach (a) e choque oblíquo (b) gerados por um avião, onde α = µ .................................................................................................................................. 17
Figura 7 – Escoamento supersônico através de um canto inclinado ......................... 18
Figura 8 – Perturbações geradas por uma fonte sonora ........................................... 19
Figura 9 – Relações de ângulo de onda de choque oblíqua e ângulo de Mach, através da propagação de perturbações ................................................................... 20
Figura 10 – Geometria de choque oblíquo em um escoamento supersônico ........... 21
Figura 11 – Propriedades de choque oblíquo: 𝛾 = 1,4. Diagrama θ – β – M ............. 25
Figura 12 – Escoamento unidimensional em comparação ao escoamento quase unidimensional .......................................................................................................... 28
Figura 13 – Volume de controle finito para um escoamento quase unidimensional .. 29
Figura 14 – Volume de controle incremental ............................................................. 31
Figura 15 – Escoamento compressível em dutos convergentes e divergentes ......... 34
Figura 16 – Geometria para derivar a relação de número de área-Mach .................. 35
Figura 17 – Camada de choque fina e viscosa em um escoamento hipersônico ...... 37
Figura 18 – Alta temperatura em camada de choque ............................................... 38
Figura 19 – Seções de um túnel de choque hipersônico ........................................... 43
Figura 20 – Túnel de choque hipersônico T3 do Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica ............................................................................................................... 43
Figura 21 – Análise de pontos de malha para linhas características (a) e diferenças finitas (b).................................................................................................................... 45
Figura 22 – Exemplo de design de bocal utilizando o método das linhas características ........................................................................................................... 46
Figura 23 – Gráfico resultante da malha modelada em x e y .................................... 48
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Propriedades de escoamento isentrópico. Apêndice A do livro ............... 36
Tabela 2 – Propriedades de onda de choque normal. Apêndice B do livro ............... 39
LISTA DE SÍMBOLOS
a – Velocidade do som;
𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 – Calor específico à pressão e volume constate;
e – Energia interna;
h – Entalpia;
M – Número de Mach;
Mn e Mt – Componente normal tangencial do número de Mach;
𝑝 – Pressão;
𝑝0 – Pressão de estagnação;
R – Constante internacional do gás;
T – Temperatura;
𝑇0 – Temperatura de estagnação;
𝑢 – Velocidade na direção x, ou normal;
V – Velocidade vetorial;
𝑣 – Velocidade na direção y;
𝑤 – Velocidade na direção z, ou tangencial;
β – Ângulo de onda;
θ – Ângulo de deflexão;
ρ – Densidade;
𝜌0 – Densidade de estagnação;
𝑇0 – Temperatura de estagnação;
µ – Ângulo de Mach;
Ѵ – Volume;
γ – Expoente de expansão isentrópica
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................1
1.1 OBJETIVO GERAL ...........................................................................................2
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................2
1.3 JUSTIFICATIVA ................................................................................................2
2 REFERÊNCIAL TEÓRICO ...................................................................................4
2.1 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DE ESCOAMENTO ........................................4
2.1.1 Equação da Continuidade (Conservação da Massa) ......................................4
2.1.2 Equação do Momentum ..................................................................................5
2.1.3 Equação da Energia .......................................................................................6
2.2 REVISÕES DE ALGUMAS EQUAÇÕES TERMODINÂMICAS ........................8
2.3 RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DO SOM E O NÚMERO DE MACH .......9
2.4 ONDA DE CHOQUE NORMAL .........................................................................12
2.5 ONDA DE CHOQUE OBLÍQUA ........................................................................16
2.5.1 Equações Fundamentais de Choque Oblíquo ................................................20
2.6 ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL ATRAVÉS DE UM BOCAL ........................27
2.6.1 Equações Fundamentais para Escoamento Quase Unidimensional ..............27
2.6.2 Bocais .............................................................................................................34
2.7 ESCOAMENTO HIPERSÔNICO ......................................................................36
2.7.1 Aspectos Qualitativos de Escoamento Hipersônico ........................................37
2.7.2 Relações de Onda de Choque Hipersônica ....................................................40
3 METODOLOGIA ...................................................................................................42
3.1 HIPÓTESES INICIAIS .......................................................................................42
3.2 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL .....................................................................42
3.2.1 Montagem do Código Computacional .............................................................44
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................47
5 CONCLUSÃO E PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS ...............................49
REFERÊNCIAS .......................................................................................................50
1
1 INTRODUÇÃO
A aerodinâmica é um ramo de estudo que, nas últimas décadas, tem sofrido
um aumento significativo em pesquisas. Isso ocorre devido aos problemas de
engenharia, nos quais envolvem as forças que o ar exerce sobre corpos, em repouso
ou em movimento. Esse ramo toma como base os estudos de mecânica dos fluidos,
na qual é capaz de analisar tal comportamento físico dos fluidos e suas propriedades.
(FOX, 2006)
Historicamente, as observações em aerodinâmica derivam de três importantes
vertentes. A primeira pode ser percebida através da Guerra Anglo-Espanhola, onde
havia um confronto naval, no qual a Espanha possuía navios mais largos e pesados,
enquanto a Inglaterra possuía navios menores e mais leves. Ao entrar em conflito, os
navios espanhóis não tiveram chances contra os ingleses, que eram mais rápidos e
manobráveis. Isso resultou que o poder naval passaria a depender consideravelmente
em agilidade e manobrabilidade. Consequentemente, para proporcionar tais
resultados, estudos em mecânica dos fluidos se tornaram cada vez mais importantes
(ANDERSON, 2001).
Na segunda vertente, tem-se as primeiras observações de Leonardo da Vinci
acerca do voo dos pássaros, seguido, anos mais tarde, pelas colaborações dos irmãos
Wright e por Alberto Santos Dummont (ANDERSON, 2001). Sendo assim, através do
pontapé inicial gerado, a possibilidade humana de voo se tornar realidade era mais
presente. Portanto, a indústria aeronáutica e profissionais especializados na área,
desenvolvem equipamentos com o intuito de romper a barreira da velocidade do som,
assim, atingindo grandes velocidades.
Por fim, a terceira vertente surge com as relações de foguetes e voos espaciais.
Os voos supersônicos se tornaram ferramentas importantes durante a Segunda
Guerra Mundial e, consequentemente, aumentou-se o estudo sobre o formato do
corpo (geralmente pontiagudo) de forma a reduzir o arrasto (FOX, 2006).
Seguindo esse intuito, é possível ver o quanto a aerodinâmica tem se tornado
presente e, cada vez mais, gerando desafios na área. Com toda essa ocorrência, um
dos pontos atuais na pesquisa, tem sido o dimensionamento de motores scramjet e
de tubeiras (também chamados de bocais).
2
Essas tubeiras convertem energia termodinâmica do fluido em energia cinética
e, dependendo da aplicação desejada, tem como propósito acelerar esse fluido.
Portanto, devido a importância da aerodinâmica discorrida, esse trabalho tem o
objetivo de apresentar as características de um escoamento hipersônico, a
importância de um bocal, os efeitos de convergência e divergência e executar
simulação com apoio computacional.
1.1 OBJETIVO GERAL
Aprendizagem do desenvolvimento teórico e computacional em aerodinâmica,
aplicada ao escoamento hipersônico.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Introduzir conceitos e equações governantes de ondas de choque normais e
oblíquas.
Analisar o comportamento do escoamento hipersônico dentro de um bocal.
Realizar uma simulação computacional desse escoamento para adquirir a
geometria do bocal convergente-divergente.
1.3 JUSTIFICATIVA
Como a aerodinâmica tem se tornado cada vez mais presente como ramo
da engenharia, junto com o crescente teste em voos espaciais, o estudo do
escoamento hipersônico se faz necessário. Um dos projetos mais recentes no
Brasil neste ramo, é o veículo hipersônico 14 – X, como mostra a Figura 1,
desenvolvido pelo Instituto de Estudos Avançados (IEAv).
Esse veículo espacial possui tecnologia waverider, para proporcionar
sustentação ao veículo espacial e tecnologia scramjet, proporcionando sistema de
3
propulsão hipersônica aspirada baseada na combustão hipersônica. Para acelerar
o 14 – X em condições pré-estabelecidas, deve-se definir a posição (altitude,
longitude e latitude), pressão dinâmica, velocidade (Número de Mach) e ângulo de
ataque, a partir do centro de lançamento.
Além disso, ao entrar em um escoamento de característica hipersônica, o
veículo aeroespacial obterá sustentação, utilizando a onda de choque gerada
durante o escoamento na atmosfera terrestre. Essa onda, originada no bordo de
ataque, vai gerar uma região de alta pressão, resultando em alta sustentação e o
mínimo de arrasto.
Já o motor scramjet, utiliza de um estato-reator (motor aeronáutico aspirado)
que não possui partes móveis e que utiliza ondas de choque para promover a
compressão e a desaceleração do ar atmosférico (COSTA, 2013). Ou seja, desde
o lançamento do veículo, até o funcionamento do motor scramjet, há necessidade
de estudos teóricos e simulações para conseguir efetuar o voo, sendo uma opção
mais econômica do que montar o veículo para depois efetuar os devidos testes.
Figura 1 – Modelo esquemático do veículo hipersônico 14 – X Fonte: LaRC (2010)
4
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DE ESCOAMENTO
As equações governantes a seguir são de suma importância para os tópicos
posteriores. Isso ocorre porque, dadas as condições iniciais do problema para a
entrada do escoamento, é possível determinar as razões de densidade, pressão e
temperatura, as relacionando com os respectivos números de Mach. Essas equações
são conhecidas como: equação da conservação da massa, do momentum e da
energia.
2.1.1 Equação da Continuidade (Conservação de Massa):
Pela Figura 2, considere que um ponto da superfície de controle, tem-se um
componente de fluxo de velocidade V, um elemento vetorial de área de superfície dS,
além de um elemento de volume dѴ. Através do conceito de fluxo de massa, aplicado
em um volume de controle escolhido, temos o princípio físico na qual a massa não
pode ser criada e nem destruída. (ANDERSON, 2001)
Figura 2 – Escoamento sobre um volume de controle finito Fonte: Fundamento da Aerodinâmica (2001)
Com isso, temos a seguinte equação da continuidade na forma integral:
5
𝑑
𝑑𝑡∰ 𝜌𝑑Ѵ
Ѵ
+ ∯ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= 0 (2.1)
Em uma análise mais cautelosa, o primeiro termo da equação diz respeito a
taxa de variação da massa dentro do volume de controle dѴ. Enquanto o segundo
termo, trata do fluxo de massa líquida para fora do volume de controle através da
superfície S. Pela equação (2.1) estar na forma integral, tem-se a vantagem de
relacionar o fenômeno aerodinâmico sobre uma região finita do espaço, sem estar
interessado sobre os detalhes de um dado ponto distinto do escoamento (STEWART,
2013). Porém, existem muitos casos em que se tem interesse nos detalhes. Para isso,
como o volume de controle é fixo no espaço, os limites de integração também são
fixos. Consequentemente, a derivada de tempo pode ser colocada dentro da integral
de volume (FOX, 2006).
Por fim, aplicando o teorema do divergente na equação (2.1) e considerando
que todos os pontos dentro do volume de controle serão zero, para que a integral do
volume de controle arbitrário também seja zero, a equação será reduzida para:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ ∇ ∙ (𝜌𝑽) = 0 (2.2)
Para um escoamento estacionário, consequentemente a equação (2.2) se
reduz à:
∇ ∙ (𝜌𝑽) = 0 (2.3)
2.1.2 Equação do Momentum (Quantidade de Movimento):
A equação do momento é equivalente às duas relações a seguir:
1. Segunda lei de Newton: 𝐅 = m. 𝐚;
2. Força = taxa temporal de variação do momento.
Para se deduzir esta equação, deve-se obter as expressões de ambos lados
(direito e esquerdo) da relação. Utilizando ainda a mesma Figura 2, do lado esquerdo
6
da equação, a força exercida no fluido aparece de duas formas: forças de corpo e
forças de superfície. Já para o lado direito, temos a relação de fluxo líquido de
momento fora do volume de controle através da superfície S e a taxa de tempo de
mudança de momento devido a variações das propriedades de escoamento dentro de
Ѵ (STEWART, 2013). Sendo assim, a equação do momento na forma integral é:
𝑑
𝑑𝑡∰ 𝜌𝑽𝑑Ѵ
Ѵ
+ ∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑽
𝑆
= − ∯ 𝑝𝒅𝑺 +
𝑆
∰ 𝜌𝒇𝑑Ѵ
Ѵ
+ 𝑭𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 (2.4)
A equação é aplicada para o escoamento não estacionário, tridimensional,
compressível ou incompressível, viscoso ou invíscido. Especialmente, para um fluxo
estacionário (𝑑/𝑑𝑡 = 0), invíscido (𝑭𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 = 0) e sem forças de corpo (𝒇 = 0), a
equação ficará:
∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑽
𝑆
= − ∯ 𝑝𝒅𝑺
𝑆
(2.5)
Por fim, a forma diferencial da equação (2.5) em cada direção será:
∇ ∙ (𝜌𝑢𝑽) = −𝜕𝑝
𝜕𝑥 (2.6a)
∇ ∙ (𝜌𝑣𝑽) = −𝜕𝑝
𝜕𝑦 (2.6b)
∇ ∙ (𝜌𝑤𝑽) = −𝜕𝑝
𝜕𝑧 (2.6c)
Onde u, v e w são as velocidades nas direções x, y e z, respectivamente.
2.1.3 Equação da Energia:
Para o estudo de escoamentos incompressíveis, as equações da continuidade
e do momentum já seriam o suficiente, visto que 𝜌 é considerado constante.
Entretanto, para escoamentos compressíveis, 𝜌 é uma variável adicional ao problema,
7
tendo como consequência a necessidade dessa terceira equação, denominada
equação da energia. Tal equação é necessária para variações de temperatura, sendo
assim, a ferramenta que colaborará para encontrá-la, será através da primeira lei da
termodinâmica:
𝛿𝑞 + 𝛿𝑤 = 𝑑𝑒 (2.7)
Onde e, é considera a energia interna do sistema, na qual será retomada pela
seção 2.2
Aplicando a primeira lei para um fluido escoando através de um volume de
controle fixo, esquematizado pela Figura 2, teremos a taxa de calor adicionada dentro
do volume de controle da vizinhança, a taxa de trabalho feito sobre o fluido dentro
desse volume e a taxa de mudança de energia do fluido a medida que flui através
desse volume (FOX, 2006). Consequentemente, o resultado na forma integral da
equação é:
∰ �̇�𝜌𝑑Ѵ
Ѵ
+ �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 − ∯ 𝑝𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
+ ∰ 𝜌(𝒇 ∙ 𝑽)𝑑Ѵ
Ѵ
+ �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
=𝑑
𝑑𝑡∰ 𝜌 (𝑒 +
𝑉2
2) 𝑑Ѵ
Ѵ
+ ∯ 𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
(2.8)
Se o fluxo é estacionário (𝑑/𝑑𝑡 = 0), invíscido (�̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 = 0 e �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 = 0),
adiabático (�̇� = 0) e sem forças de corpo (𝒇 = 0), a equação será reduzida para:
∯ 𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= − ∯ 𝑝𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
(2.9)
Já na sua forma diferencial, a equação (2.9) será:
∇ ∙ [𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑽] = −∇ ∙ (p𝐕) (2.10)
8
2.2 REVISÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES TERMODINÂMICAS
Em questão de familiarização com os conceitos posteriores, uma revisão de
alguns conceitos de termodinâmica se faz necessário, visto que algumas substituições
serão necessárias já que o tipo de escoamento tratado será o compressível.
Sendo assim, serão enumeradas as equações que necessitam de devida
atenção (ÇENGEL, 2013):
1. Gás Ideal:
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 (2.11)
ou
𝑝𝑣 = 𝑅𝑇 (2.12)
Onde R é a constante do gás.
2. Energia Interna e Entalpia:
Considerando que 𝑒𝑡𝑜𝑡 = 𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙, lembre-se que a
energia interna é chamada apenas de e. Sendo assim, temos que:
ℎ = 𝑒 + 𝑝𝑣 (2.13)
𝑒 = 𝑐𝑣𝑇 (2.14)
ℎ = 𝑐𝑝𝑇 (2.15)
𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 = 𝑅 (2.16)
Dividindo a equação (2.16) por 𝑐𝑝 e que 𝑐𝑝/𝑐𝑣 = 𝛾, onde para o ar 𝛾 = 1,4,
teremos:
1 −1
𝛾=
𝑅
𝑐𝑝 (2.17)
𝑐𝑝 =𝛾𝑅
𝛾 − 1 (2.18)
Analogamente,
𝑐𝑣 =𝑅
𝛾 − 1 (2.19)
3. Primeira Lei da Termodinâmica: relembrando a equação (2.7),
temos:
𝛿𝑞 + 𝛿𝑤 = 𝑑𝑒 (2.7)
9
4. Segunda Lei da Termodinâmica:
𝑑𝑠 =𝛿𝑞𝑟𝑒𝑣
𝑇 (2.20)
5. Entropia:
𝛿𝑞𝑇𝑑𝑠 = 𝑑𝑒 + 𝑝𝑑𝑣 (2.21)
𝛿𝑞𝑇𝑑𝑠 = 𝑑ℎ − 𝑣𝑑𝑝 (2.22)
Onde as equações (2.21) e (2.22) são chamadas de equações de Gibbs.
Através dessas equações de Gibbs, é possível desenvolver as seguintes equações
abaixo, para um gás caloricamente ideal, considerando um processo termodinâmico
com estados iniciais e finais denotados por 1 e 2, respectivamente:
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 𝑙𝑛𝑇2
𝑇1− 𝑅 𝑙𝑛
𝑝2
𝑝1 (2.23)
Analogamente,
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑣 𝑙𝑛𝑇2
𝑇1+ 𝑅 𝑙𝑛
𝑣2
𝑣1 (2.24)
6. Relações Isentrópicas:
𝑣2
𝑣1= (
𝑇2
𝑇1)
−1/(𝛾−1)
(2.25)
𝜌2
𝜌1= (
𝑇2
𝑇1)
1/(𝛾−1)
(2.26)
𝑝2
𝑝1= (
𝜌2
𝜌1)
𝛾
= (𝑇2
𝑇1)
𝛾/(𝛾−1)
(2.27)
2.3 RELAÇAO ENTRE A VELOCIDADE DO SOM E O NÚMERO DE MACH
Som é a propagação de uma onda mecânica através de um meio sólido,
líquido ou gasoso. A propagação sonora ocorre baseada em movimento molecular,
com velocidade dependente das características elásticas e inerciais do meio. A onda
está sujeita a reflexões em obstáculos, interferências construtivas e destrutivas,
atenuação e Efeito Doppler (NUSSENZVEIG, 2002). Para o tipo de escoamento que
está sendo estudada no momento, o fluído destacado é o ar, com razão de calores
específicos 𝛾 = 1,4 (valor tabelado), sendo que sua velocidade depende
10
fundamentalmente da temperatura do fluido. Para conseguir visualizar melhor essa
relação com a temperatura, observe a figura 3, onde c é a velocidade do som, na qual
denotamos por a nesse trabalho:
Figura 3 – Comportamento de uma onda e semelhança com o choque normal. Fonte: Introdução a Mecânica dos Fluidos (2006)
Analisando mais atenciosamente, é possível notar que o fluxo é
unidimensional (apenas no sentido x) e adiabático, por não ter fonte de transferência
de calor dentro e fora da onda. Além disso, os gradientes são muito pequenos e a
influência do fenômeno dissipativo é negligenciado, o que consequentemente nos diz
que a onda é reversível (BERTIN, 1998). Sendo assim, ao aplicar a equação da
conservação da massa e do momento para a Figura 2.b, o resultado obtido para a
velocidade do som a é:
𝑎 = √𝛾𝑅𝑇 (2.28a)
Ou
𝑎 = √𝛾𝑝
𝜌 (2.28b)
As equações (2.28a) e (2.28b) são importantes por estarem associadas à
definição de um número adimensional conhecido como Número de Mach:
11
𝑀 =𝑉
𝑎 (2.29)
Onde V é a velocidade do escoamento e a é velocidade do som. O número
de Mach se torna uma ferramenta de grande importância, porque é através de seus
valores que definimos se o escoamento que está ocorrendo é subsônico, supersônico,
sônico etc.
Sendo assim, para cada valor de Número de Mach referente ao regime
tomado em questão associado ao escoamento não-perturbado M∞, tem-se a seguinte
divisão (FOX, 2006):
Subsônico (0 < M < 0,8): são caracterizações por linhas de corrente
suave, onde a velocidade do escoamento em todo o perfil é menor que
a velocidade do som (V < a). Por essa velocidade ser menor, os
distúrbios que ocorrerem no escoamento se propagam para todos os
lados e podem ser sentidas em todo o campo de escoamento;
Transônico (0,8 < M < 1,2): é uma região mista, ou de transição, onde
ocorre um escoamento parte subsônica e parte supersônica. É a partir
desse estágio que se inicia a ocorrência de algumas ondas de choque;
Supersônico (1,2 < M < 5,0): são frequentemente caracterizados pela
presença de ondas de choque, no qual as propriedades do escoamento
e as linhas de corrente mudam descontinuamente. Nesse regime, o
escoamento permanece supersônico atrás da onda de choque e suas
perturbações sofrem leituras mais lentas devido a velocidade do objeto
ser maior que a velocidade do som (V > a);
Hipersônico (M > 5,0): nesse regime, as ondas de choque são
oblíquas, assim como no supersônico, porém mais próximas à
superfície do corpo. Ocorre também o surgimento de dissociações das
moléculas que constituem o fluido, além de uma transferência de calor
intensa e presença de íons na região da onda de choque. Sendo assim,
o escoamento não pode ser considerado com expoente de expansão
isentrópica constante, assim como é feito no supersônico. Será
demonstrado posteriormente, considerações importantes durante a
12
modelagem matemática, onde será mais perceptível tais diferenças
entre o hipersônico e o supersônico.
2.4 ONDA DE CHOQUE NORMAL
A onda de choque é uma onda de compressão de larga amplitude, assim
como a produzida por uma explosão, causada por movimento supersônico de um
corpo em um meio. O propósito da introdução desse conceito é o de desenvolver a
teoria de onda de choque, além calcular as mudanças nas propriedades do
escoamento através de uma onda. A espessura de um choque é cerca de 0,2 µm (10-
5 polegadas). (FOX, 2006)
Ondas de choque normais ocorrem frequentemente na natureza, sendo ondas
que são normais à montante do escoamento analisado. Embora a onda de choque
seja curvada, a região de choque mais próxima ao nariz é essencialmente
considerada normal ao escoamento (ANDERSON, 2001). Um outro exemplo, como
mostra a Figura 3.b, é de um escoamento supersônico que se estabiliza dentro de um
bocal onde a pressão atrás é alta o suficiente para causar uma onda de choque normal
que fica dentro do bocal.
Figura 4 – Exemplos de comportamentos de onda de choque normal Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
13
Sendo assim, em um escoamento supersônico onde existe uma onda de
choque normal que precisa ser vencida, é necessário ter as condições inicias de
entrada e, através das equações governantes, identificar os parâmetros de saída.
Então, considerando um volume de controle do caso da Figura 5, onde o escoamento
é unidimensional, estacionário, adiabático, invíscido e sem ação de forças de corpo,
além das condições à frente da onda ser dada, enquanto atrás da onda é
desconhecida. Sendo assim, teremos como dados de entrada p1, ρ1, T1, M1 que são a
pressão, densidade, temperatura e Número de Mach, respectivamente.
Figura 5 – Volume de controle para análise de choque normal Fonte: Introdução a Mecânica dos Fluidos (2006)
Aplicando a equação da continuidade (2.1) para a Figura 4, teremos:
∯ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= 0 (2.30)
𝜌1𝑢1 = 𝜌2𝑢2 (2.31)
Desenvolvendo o momentum na forma da equação (2.5), teremos:
∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑽
𝑆
= − ∯ 𝑝𝒅𝑺
𝑆
(2.5)
𝑝1 + 𝜌1𝑢12 = 𝑝2 + 𝜌2𝑢2
2 (2.32)
E a equação da energia (2.9) dada por:
∯ 𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= − ∯ 𝑝𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
(2.9)
14
𝑝1𝑢1 + 𝜌1 (𝑒1 +𝑢1
2
2) 𝑢1 = 𝑝2𝑢2 + 𝜌2 (𝑒2 +
𝑢22
2) 𝑢2 (2.33)
Dividindo pela equação (2.31) e relembrando a equação (2.13), resultará em:
ℎ1 +𝑢1
2
2= ℎ2 +
𝑢22
2 (2.34)
Porém, como temos três equações algébricas para cinco variáveis, deve-se
relembrar das equações do estado (equação (2.11)) e da entalpia (equação (2.15)),
na qual dará relação das duas variáveis faltantes para solução do problema. Sendo
assim, o caminho para conseguir solucionar o problema dos valores desconhecidos
atrás da onda, será encontrar a relação dessas incógnitas com o Número de Mach de
entrada M1. Para chegar em tal relação, vamos utilizar a equação (2.34) e fazer as
devidas substituições em conjunto das equações (2.15), (2.18) e (2.28a) como segue
abaixo:
ℎ1 +𝑢1
2
2= ℎ2 +
𝑢22
2
𝛾𝑅𝑇1
𝛾 − 1+
𝑢12
2=
𝛾𝑅𝑇2
𝛾 − 1+
𝑢22
2
𝑎1
2
𝛾 − 1+
𝑢12
2=
𝑎22
𝛾 − 1+
𝑢22
2 (2.35)
Considerando a região 2 como um fluxo sônico, teremos que u2 = a2 = a* e
substituindo na equação anterior (2.35):
𝑎2
𝛾 − 1+
𝑢2
2=
𝑎∗2
𝛾 − 1+
𝑎∗2
2
𝑎2
𝛾 − 1+
𝑢2
2=
𝛾 + 1
2(𝛾 − 1)𝑎∗2 (2.36)
Dividindo a equação (2.36) por u2, encontraremos o número de Mach
característico definido como M* o qual é função de Mach:
15
(𝑎/𝑢)2
𝛾 − 1+
𝑢2
2=
𝛾 + 1
2(𝛾 − 1)(
𝑎∗
𝑢)
2
𝑀∗2 =(𝛾 + 1)𝑀2
2 + (𝛾 − 1)𝑀2 (2.37)
Tendo a relação da equação (2.37), agora é possível retornar para a equação
(2.35) e rearranjar para encontrar a1 e a2 aplicado para as regiões 1 e 2 do escoamento
esquematizado pela Figura 4:
𝑎12 =
𝛾 + 1
2𝑎∗2 −
𝛾 − 1
2𝑢1
2 (2.38a)
𝑎22 =
𝛾 + 1
2𝑎∗2 −
𝛾 − 1
2𝑢1
2 (2.38b)
Armazenando as equações (2.38a) e (2.38b), antes de prosseguir, deve-se
dividir a equação do momento, pela equação da conservação da massa. É através da
razão dessas duas equações que será possível retirar a Relação de Prandtl
(SABERSKY, 1999). Consequentemente, após encontrar a relação, será possível
encontrar a fórmula do Número de Mach para a região 2. Sendo assim, dividindo a
equação (2.5) por (2.31):
𝑝1
𝜌1𝑢1+ 𝑢1 =
𝑝2
𝜌2𝑢2+ 𝑢2
𝑝1
𝜌1𝑢1−
𝑝2
𝜌2𝑢2= 𝑢2 − 𝑢1
𝑎1
2
𝛾𝑢1−
𝑎12
𝛾𝑢1= 𝑢2 − 𝑢1 (2.39)
Substituindo (2.38a) e (2.38b) dentro de (2.39), e dividindo por 𝑢2 − 𝑢1, obtém-
se:
𝛾 + 1
2𝛾𝑢1𝑢2𝑎∗2 +
𝛾 − 1
2𝛾= 1
𝑎∗2 = 𝑢1𝑢2 (2.40a)
ou
16
1 = 𝑀1∗𝑀2
∗ (2.40b)
A equação (2.40) encontrada, é conhecida como Relação de Prandtl e é usual
para relação intermediária de onda de choque normal (SABERSKY, 1999). Por fim,
substituindo a equação (2.37) em (2.40b), enquanto isola M2*:
𝑀22 =
1 + [(𝛾 − 1)/2]𝑀12
𝛾𝑀12 − (𝛾 − 1)/2
(2.41)
Por essa fórmula, em análise mais detalhada, é possível notar que o Mach da
região 2 depende apenas do Mach da região 1 de entrada. No caso dos outros valores
desconhecidos da região 2, basta encontrar pelas razões das propriedades
termodinâmicas (ANDERSON, 2001):
𝜌2
𝜌1=
𝑢1
𝑢2= 𝑀1
∗ = 𝑀∗2 =(𝛾 + 1)𝑀1
2
2 + (𝛾 − 1)𝑀12 (2.42)
𝑝2
𝑝1= 1 +
2𝛾
𝛾 + 1(𝑀1
2 − 1) (2.43)
𝑇1
𝑇2= (
𝑝2
𝑝1) (
𝜌1
𝜌2) =
ℎ1
ℎ2= [1 +
2𝛾
𝛾 + 1(𝑀1
2 − 1)]2 + (𝛾 − 1)𝑀1
2
(𝛾 + 1)𝑀12 (2.44)
Por fim, é claramente notável que todos os dados desconhecidos da região 2
dependem de Mach M1 do escoamento montante, sendo assim, todas são funções
apenas de M1, por ser o parâmetro determinante para as mudanças através da onda
de choque normal em um gás perfeito (SABERSKY,1999).
2.5 ONDA DE CHOQUE OBLÍQUA
Como foi visto pela seção anterior, a onda de choque normal possui extrema
importância, pois, através de seu estudo, providencia uma relação direta para a
introdução de fenômeno de onda. Porém, a onda de choque normal é nada mais do
que um caso particular de onda de choque oblíqua, onde forma um ângulo de onda
de 90o. Uma aeronave ao percorrer um escoamento com M > 1, conforme
17
esquematizada pela Figura 6, forma uma onda de choque oblíqua próxima ao nariz
do corpo, causando uma variação brusca na direção das linhas de corrente. Porém,
quanto mais distante da aeronave, o choque obliquo se torna progressivamente mais
fraco e as linhas de corrente sofrem uma deflexão baixa, até que se torne um cone de
Mach (FOX, 2006). Esse cone é uma onda de pressão muito fraca, na qual mal
perturba as linhas de corrente, sendo o caso limite da onda de choque obliqua.
Figura 6 – Cone de Mach (a) e choque oblíquo (b) gerados por um avião, onde α = µ. Fonte: Introdução a Mecânica dos Fluidos (2006)
Outro caso que pode ser considerado para melhor visualização, é como o que
está representado pela Figura 7 onde se considera uma parede com canto de ponto
A. Essa parede é deslocada para cima ou para baixo, semelhante a um aclive (canto
côncavo) ou declive (canto convexo), através de um ângulo de deflexão θ. O
escoamento na parede deve ser tangente à parede, de maneira que as linhas de
corrente também são defletidas referente ao ângulo θ. Para o caso de canto côncavo,
o número de Mach decrescerá continuamente, enquanto a pressão, densidade e
temperatura aumentarão. Porém, o canto convexo trabalha de forma oposta,
consequentemente, o número de Mach crescerá, enquanto a pressão, densidade e
temperatura diminuirão, provando que a expansão de onda é uma antítese direta a
onda de choque (ANDERSON, 2001).
18
Figura 7 – Escoamento supersônico através de um canto inclinado Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
As ondas de choque obliquas são mais comuns na natureza ou em aplicações
de engenharia, isso se torna mais visível em análise de perturbações, visto que as
características do escoamento dependem da velocidade uma fonte de perturbação se
move através do fluido (WHITE, 2011). Para exemplificar, considere uma fonte sonora
de perturbação se movendo através de um gás estagnado, como mostra a Figura 8
onde as perturbações viajam em um fluido com a velocidade do som nesse meio
(FOX, 2006).
19
Figura 8 – Perturbações geradas por uma fonte sonora Fonte: Castro (2009) em Aerodinâmica em Regime Transônico e Supersônico
Como a perturbação gerada se propaga em todas as direções, se a velocidade
da fonte for nula (V = 0), as perturbações geradas encontram-se em superfícies
esféricas cujo centro é a posição ocupada pela fonte. Caso a fonte se mover
horizontalmente, com velocidade inferior a velocidade do som no meio (V < a), as
perturbações geradas percorrerão um caminho de at (figura 9), enquanto a fonte
percorrerá um espaço de Vt (figura 9) e as perturbações serão percebidas antes da
passagem da fonte.
Porém, caso a fonte se mover com velocidade igual à velocidade do som no
meio (V = a), as perturbações serão notadas de maneira acumulada na posição
ocupada pela fonte a cada instante de tempo, por percorrerem o mesmo espaço (Vt =
20
at). Por fim, se a fonte se mover com uma velocidade superior à velocidade do som
no meio (V > a), significará que as perturbações estarão sempre atrás da fonte que as
gerou, sendo a partir dela formam as linhas de perturbações conhecidas como onda
de Mach, possuindo um ângulo de Mach definida como (WHITE, 2011):
sin 𝜇 =𝑎𝑡
𝑉𝑡=
1
𝑀
𝜇 = sin−11
𝑀 (2.45)
Com isso, é notável que em escoamento supersônico se forma uma onda
oblíqua. Segundo a Figura 9, se os distúrbios forem mais intensos do que uma simples
onda de som, consequentemente, a onda frontal se torna mais intensa que a onda de
Mach, fazendo com que o choque obliquo criado tenha um ângulo β na corrente livre,
onde β > µ (ANDERSON, 2001).
Figura 9 – Relação de ângulo de onda de choque oblíqua e ângulo de Mach, através da propagação de perturbações
Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
2.5.1 Equações Fundamentais Para Relação de Choque Oblíquo:
Assim como numa onda de choque normal, para identificar as características
do fluido e que comportamento teria, era necessário encontrar as equações que
regiam a relação das propriedades termodinâmicas e de número de Mach após a onda
de choque, sendo assim, para a onda de choque oblíqua, será feito o processo
semelhantemente (SABERSKY, 1999). Pela Figura 10, considere uma onda de
21
choque oblíqua onde o ângulo de onda – que é o ângulo entre a onda de choque e a
direção de escoamento montante – é definida por β.
O escoamento montante (região 1) é horizontal, com velocidade V1 e número
de Mach M1 e podem ser decompostas em componentes normais e tangenciais: u1,
w1, Mn,1 e Mt,1, respectivamente. Enquanto isso, o fluxo jusante (região 2) é inclinada
para cima (canto côncavo) com um ângulo de deflexão θ, velocidade V2 e número de
Mach M2, onde também possui componentes normais e tangenciais: u2, w2, Mn,2 e Mt,2,
respectivamente (ANDERSON, 2001).
Figura 10 – Geometria de choque oblíquo em um escoamento supersônico Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Considere também o volume de controle demonstrado pela Figura 10 definida
por a, b, c, d, e e f, onde a e d são paralelas à onda de choque, enquanto os segmentos
b, c, e e f, são paralelas à velocidade e seguem as linhas de corrente superior e
inferior, sendo que as áreas de a e d são iguais (A1 = A2) (ANDERSON, 2001).
Relembrando que está sendo lidado com escoamento estacionário, invíscido,
adiabático e sem forças de corpo. Sendo assim, devido as hipóteses desenvolvidas
na seção 2.1, é possível encontrar::
Equação da conservação da massa: Para a equação da
continuidade, as componentes de velocidade são normais à onda de
22
choque, logo, a equação será semelhante a que foi encontrada para
choque normal:
∯ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= 0 (2.30)
𝜌1𝑢1𝐴1 = 𝜌2𝑢2𝐴2
𝜌1𝑢1 = 𝜌2𝑢2 (2.46)
Equação do momento: Como a equação é vetorial e existem
componentes tangenciais e normais, vamos dividir a equação para
cada caso separado:
∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑤
𝑆
= − ∯(𝑝𝑑𝑆)𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑆
(2.47)
(𝜌1𝑢1𝐴1)𝑤1 = (𝜌2𝑢2𝐴2)𝑤2
𝑤1 = 𝑤2 (2.48)
Com isso, é possível notar que a componente tangencial de velocidade
é constante através do choque oblíquo. Porém, para o componente
normal, a fórmula será semelhante com a equação do momento para
choque normal:
∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑢
𝑆
= − ∯(𝑝𝑑𝑆)𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝑆
𝑝1 + 𝜌1𝑢12 = 𝑝2 + 𝜌2𝑢2
2 (2.49)
Equação da energia: Nesse caso da equação da energia,
∯ 𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= − ∯ 𝑝𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
(2.9)
−𝜌1 (𝑒1 +𝑉1
2
2) 𝑢1𝐴1 + 𝜌2 (𝑒2 +
𝑉22
2) 𝑢2𝐴2 = −(−𝑝1𝑢1𝐴1 + 𝑝2𝑢2𝐴2)
𝜌1𝑢1 (ℎ1 +𝑉1
2
2) = 𝜌2𝑢2 (ℎ2 +
𝑉22
2)
23
ℎ1 +𝑉1
2
2= ℎ2 +
𝑉22
2 (2.50)
Desenvolvendo a equação (2.49), pela Figura 10 é possível notar a
relação do Teorema de Pitágoras, onde V2 = u2 + w2. Porém, como foi
visto pela equação do momento, w1 = w2, a equação (2.49) resultará
em:
ℎ1 +𝑢1
2
2= ℎ2 +
𝑢22
2 (2.51)
Analisando os resultados obtidos pelas equações (2.46), (2.48), (2.49) e (2.51)
– sendo a solução para equação da continuidade, momento tangencial, normal e
energia, respectivamente – é possível perceber que elas envolvem apenas os
componentes normais de velocidade u1 e u2. Sendo assim, para as mudanças que
ocorrem através do choque oblíquo, o método algébrico é o mesmo para choque
normal, em termos da componente normal de escoamento montante Mn,1. Note que:
𝑀𝑛,1 = 𝑀1 sin 𝛽 (2.52)
Então, assim como as equações (2.41), (2.42), (2.43) e (2.44) da seção 2.3,
teremos as equações em termos da componente normal:
𝑀𝑛,22 =
1 + [(𝛾 − 1)/2]𝑀𝑛,12
𝛾𝑀𝑛,12 − (𝛾 − 1)/2
(2.53)
𝜌2
𝜌1=
(𝛾 + 1)𝑀𝑛,12
2 + (𝛾 − 1)𝑀𝑛,12 (2.54)
𝑝2
𝑝1= 1 +
2𝛾
𝛾 + 1(𝑀𝑛,1
2 − 1) (2.55)
𝑇1
𝑇2= (
𝑝2
𝑝1) (
𝜌1
𝜌2) = [1 +
2𝛾
𝛾 + 1(𝑀𝑛,1
2 − 1)]2 + (𝛾 − 1)𝑀𝑛,1
2
(𝛾 + 1)𝑀𝑛,12 (2.56)
Note que Mn,2 é normal ao número de Mach atrás da onda de choque, ou seja,
pela relação geométrica da Figura 10, tem-se:
𝑀2 =𝑀𝑛,2
sin(𝛽 − 𝜃) (2.57)
24
Apesar da equação (2.57) demonstrar que existe mais um parâmetro para ser
visto, além de número de Mach M1 e ângulo de onda β. Porém, o ângulo de deflexão
não é um parâmetro independente, sendo assim, ele também pode ser escrito em
termos de M1 e β, da mesma forma que é apresentada abaixo para as regiões 1 (tan
β) e 2 (tan (β - θ)):
tan 𝛽 =𝑢1
𝑤1 (2.58a)
tan(𝛽 − 𝜃) =𝑢2
𝑤2 (2.58b)
Dividindo a equação (2.58b) por (2.58a), lembrando que w1 = w2, tem-se:
tan(𝛽 − 𝜃)
tan 𝛽=
𝑢2
𝑢1=
𝜌1
𝜌2=
2 + (𝛾 − 1)𝑀12 sin2 𝛽
(𝛾 + 1)𝑀12 sin2 𝛽
tan 𝜃 = 2 cot 𝛽 [𝑀1
2 sin2 𝛽 − 1
𝑀12(𝛾 + cos 2𝛽) + 2
] (2.59)
Por fim, a equação (2.59) acima, é chamada de relação θ – β – M e especifica,
como foi dito anteriormente, que θ é uma função única de M1 e β. Por ser uma relação
vital para análise de choque oblíquo, os resultados são plotados, como mostra o
gráfico de ângulo de onda versus ângulo de deflexão da Figura 11, quando 𝛾 = 1,4
25
Figura 11 – Propriedades de choque oblíquo: 𝜸 = 𝟏, 𝟒. Diagrama θ – β – M. Gráfico de ângulo de onda (eixo y) por ângulo de deflexão (eixo x).
Fonte: NACA Report 1135, Ames Research Staff, "Equations, Tables and Charts For Compressible Flow," 1953
26
Figura 11 (continuação) – Propriedades de choque oblíquo: 𝜸 = 𝟏, 𝟒. Diagrama θ – β – M. Gráfico de ângulo de onda (eixo y) por ângulo de deflexão (eixo x)
Fonte: NACA Report 1135, Ames Research Staff, "Equations, Tables and Charts For Compressible Flow," 1953
27
2.6 ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL ATRAVÉS DE UM BOCAL
Pelas seções 2.4 e 2.5, foi visto a importância das relações das ondas de
choque normais e oblíquas. Essas ondas estão presentes em qualquer veículo
aerodinâmico em voo supersônico, o que causa devida preocupação aos engenheiros
aeronáuticos com a observação das características e geração de sustentação e
arrasto em velocidades supersônicas (FOX, 2006). Outras características importantes
são os detalhes do campo de fluxo, incluindo os modelos de ondas de choque e de
expansão. Contudo, para fazer tais tipos de observações, existem dois tipos mais
comuns de escolhas, sendo elas: conduzir testes de voo usando o veículo produzido
ou simular em um túnel de vento, em uma escala menor do modelo do veículo. Entre
essas duas opções de escolhas, preferencialmente é utilizada a segunda opção,
porque para efetuar tal tipo de teste em um modelo de escala real, o custo de
manutenção e possíveis falhas seria muito oneroso, se tornando inviável e perigoso.
(ANDERSON, 2001)
Portanto, para efetuar eventuais testes e simulações, se faz necessário o
estudo nesses fundamentos aerodinâmicos de escoamento compressível através de
dutos. Ou seja, primeiro será necessário definir as equações governantes que derivam
o problema, tendo em sequência o tratamento de casos em um bocal, que é um dos
pontos importantes desse trabalho (WHITE, 2011).
2.6.1 Equações Fundamentais Para Escoamento Quase Unidimensional:
Em contraste ao fluxo unidimensional tratado na seção sobre onda de choque
normal, para esse caso, assumimos que a área do tubo de escoamento muda em
função de x, ou seja, A = A(x), assim como é apresentado na Figura 12.b abaixo:
28
Figura 12 – Escoamento unidimensional em comparação ao escoamento quase unidimensional.
Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Apesar do fluxo ser tridimensional, como mostra a Figura 12.b, se a variação
de área for moderada, ou seja, se os componentes y e z são pequenos em relação ao
componente x, pode-se assumir que o campo de fluxo varia apenas em x (as outras
componentes se tornam praticamente desprezadas). Sendo assim, tal fluxo onde A =
A(x), mas p = p(x), ρ = ρ(x), u = u(x) etc, é definido como escoamento quase
unidimensional. Todavia, a suposição de escoamento quase unidimensional é uma
aproximação do atual fluxo em um duto de área variável e a forma integral das
equações de conservação da continuidade, momento e energia, que já é conhecida
até aqui, pode também ser aplicada para um caso quase unidimensional, visto ser
fisicamente consistente (ANDERSON, 2001).
Portanto, considere um volume de controle dado pela Figura 13 em que na
região 1, o fluxo sobre uma área A1 é assumida uniformemente, com propriedades p1,
ρ1, u1 etc.
29
Figura 13 – Volume de controle finito para um escoamento quase unidimensional Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Similarmente, na região 2, o fluxo sobre uma área A2 também é assumida
uniformemente, com propriedades p2, ρ2, u2 etc. Para a aplicação da equação da
continuidade, em um duto de área variável, tem-se a seguinte relação:
∯ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= 0 (2.30)
∬ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝐴1
+ ∬ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝐴2
+ ∬ 𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
= 0
𝜌1𝑢1𝐴1 = 𝜌2𝑢2𝐴2 (2.60)
Agora, considerando a equação do momento, para um escoamento estável,
invíscido, adiabático e sem forças de corpo:
∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑽
𝑆
= − ∯ 𝑝𝒅𝑺
𝑆
(2.5)
∯(𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑺)𝑢
𝑆
= − ∯(𝑝𝑑𝑆)𝑥
𝑆
Como a equação (2.5) é escalar, o sinal de x tem que ser analisado com
devido cuidado ao calcular as integrais de superfície. Sendo assim, a solução será:
30
−𝜌1𝑢12𝐴1 + 𝜌2𝑢2
2𝐴2 = −(−𝑝1𝐴1 + 𝑝2𝐴2) + ∫ 𝑝 𝑑𝐴𝐴2
𝐴1
𝑝1𝐴1 + 𝜌1𝑢12𝐴1 + ∫ 𝑝 𝑑𝐴
𝐴2
𝐴1
= 𝑝2𝐴2 + 𝜌2𝑢22𝐴2 (2.61)
Agora, considerando a equação da energia, para um escoamento estável,
invíscido, adiabático e sem forças de corpo:
∯ 𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
= − ∯ 𝑝𝑽 ∙ 𝒅𝑺
𝑆
(2.9)
−𝜌1 (𝑒1 +𝑢1
2
2) 𝑢1𝐴1 + 𝜌2 (𝑒2 +
𝑢22
2) 𝑢2𝐴2 = −(−𝑝1𝑢1𝐴1 + 𝑝2𝑢2𝐴2)
𝑝1𝑢1𝐴1 + 𝜌1𝑢1𝐴1 (𝑒1 +𝑢1
2
2) = 𝑝2𝑢2𝐴2 + 𝜌2𝑢2𝐴2 (𝑒2 +
𝑢22
2) (2.62)
Dividindo a equação (2.62) pela equação (2.31), além de relembrar as
equações (2.11) e (2.13), a equação será reduzida da seguinte forma:
ℎ1 +𝑢1
2
2= ℎ2 +
𝑢22
2 (2.63)
Analisando as equações para escoamento quase unidimensional
encontradas, no caso, as equações (2.60), (2.61) e (2.63), é possível notar que elas
formam uma expressão algébrica (exceto o único termo integral da equação do
momento). Como na região 1, os dados de escoamento de entrada são dados e
assumindo um gás perfeito no sistema – relembrando as equações (2.11) e (2.15) da
seção 2.3 –, é possível encontrar os dados da região 2 de escoamento de saída, a
princípio, resolvendo diretamente as equações encontradas (ANDERSON, 2001).
Porém, para facilitar os cálculos, um método torna mais simples a resolução, na qual
se passa as equações governantes encontradas, para a forma diferencial. Sendo
assim, a equação do momento em sua forma diferencial será:
𝜌𝑢𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑑(𝜌𝑢𝐴) = 0 (2.64)
31
Para obter a equação do momento em sua forma diferencial, considere o
volume de controle infinitesimal esquematizado pela Figura 14:
Figura 14 – Volume de controle incremental Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Sendo assim, a equação do momento, onde as integrais podem ser
substituídas pelos seus integrandos para volume diferencial, será:
𝑝𝐴 + 𝜌𝑢2𝐴 + 𝑝𝑑𝐴 = (𝑝 + 𝑑𝑝)(𝐴 + 𝑑𝐴) + (𝜌 + 𝑑𝜌)(𝑢 + 𝑑𝑢)2(𝐴 + 𝑑𝐴) (2.65)
Os termos dp dA, dρ(du)² da equação (2.65) são muito pequenos, então,
podem ser desprezados, resultando em:
𝐴𝑑𝑝 + 𝐴𝑢2𝑑𝜌 + 𝜌𝑢2𝑑𝐴 + 2𝜌𝑢𝐴𝑑𝑢 = 0 (2.66)
Expandindo a equação da continuidade (2.64) e multiplicando por u:
𝜌𝑢2𝑑𝐴 + 𝜌𝑢𝐴𝑑𝑢 + 𝐴𝑢2𝑑𝜌 = 0 (2.67)
Por fim, subtraindo a equação (2.67) por (2.66), é possível obter:
𝑑𝑝 = −𝜌𝑢𝑑𝑢 (2.68)
32
No qual a equação (2.68) também é conhecida como equação de Euler (FOX,
2006). Além disso, para a equação da energia, basta utilizar a equação (2.63) e aplicar
o diferencial:
ℎ +𝑢2
2= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑑ℎ + 𝑢𝑑𝑢 = 0 (2.69)
Tendo em mãos as equações governantes na forma diferencial, para um
escoamento quase unidimensional, é necessário ainda desenvolver mais alguns
estudos sobre algumas características físicas que esse fluxo possui. Tal característica
física pode ser obtida, ao rearranjar a equação da continuidade (2.64) para:
𝑑𝜌
𝜌+
𝑑𝑢
𝑢+
𝑑𝐴
𝐴= 0 (2.70)
Sendo assim, com o intuito de obter uma relação entre a mudança de
velocidade du com a mudança de área dA e, consequentemente, para eliminar dρ / ρ,
na equação anterior, considere a equação do momento (2.68):
𝑑𝑝
𝜌=
𝑑𝑝
𝑑𝜌
𝑑𝜌
𝜌= −𝑢 𝑑𝑢 (2.71)
Tendo em mente também que esse escoamento é invíscido e adiabático,
porém, para um dado tempo, não está sendo assumido ondas de choque no fluxo,
fará com que, consequentemente, o escoamento seja isentrópico. Isso implica em que
𝑑𝑝/𝑑𝜌 = (𝑑𝑝/𝑑𝜌)𝑠, lembrando que 𝑎 = √(𝑑𝑝/𝑑𝜌)𝑠 , logo, a equação (2.71), resultará:
𝑎2𝑑𝜌
𝜌= −𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝜌
𝜌= −
𝑢 𝑑𝑢
𝑎2= −
𝑢2
𝑎2
𝑑𝑢
𝑢= −𝑀2
𝑑𝑢
𝑢 (2.72)
Voltando para a equação (2.70) e substituindo o termo encontrado pela
equação (2.72), teremos:
33
−𝑀2𝑑𝑢
𝑢+
𝑑𝑢
𝑢+
𝑑𝐴
𝐴= 0
𝑑𝐴
𝐴= (𝑀2 − 1)
𝑑𝑢
𝑢 (2.73)
Por fim, a equação (2.73) desejada, é denominada de relação área-
velocidade, na qual, dependendo do seu número de Mach, o aumento ou decremento
de velocidade em relação ao aumento ou decremento de área. Ou seja, segundo o
autor John D. Anderson (2001), teremos os seguintes casos:
Para 0 ≤ M < 1 (escoamento subsônico): A quantidade entre
parênteses da equação (2.73) será negativa, fazendo com que,
consequentemente, o aumento de velocidade (du positivo) esteja
relacionado com o decremento de área (dA negativo) e vice-versa.
Claramente, para um escoamento subsônico compressível, para
aumentar a velocidade, devemos ter um duto convergente e, para
diminuir a velocidade, devemos ter um duto divergente. Sendo assim,
os resultados são apresentados assim como demonstra a Figura 15;
Para M > 1 (escoamento supersônico): A quantidade nos parênteses
será positiva, fazendo com que, consequentemente, ao ocorrer
aumento de velocidade (du positivo), estará associado com o aumento
de área (dA positivo) e vice-versa. Para gerar aumento de velocidade,
será necessário um duto divergente, enquanto para diminuir a
velocidade, será necessário um duto convergente. Sendo assim, são
relações opostas ao escoamento subsônico e também esta
demonstrado pela Figura 15;
Para M = 1 (escoamento sônico): A equação mostrará que dA = 0
mesmo que haja um du finito, correspondente ao local máximo ou
mínimo em uma área de distribuição.
34
Figura 15 – Escoamento compressível em dutos convergentes e divergentes. Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
2.6.2 Bocais:
Os resultados encontrados da relação de área-velocidade, demonstra que se
quisermos utilizar um gás em repouso e expandir isentropicamente para uma
velocidade supersônica, primeiro devemos acelerar o gás subsonicamente por um
duto convergente. Todavia, quando a condição sônica for alcançada, devemos
expandir o gás para uma velocidade supersônica pelo duto divergente.
Consequentemente, quem é designado para efetuar tal função é o bocal, na qual sua
saída é de um duto convergente – divergente (WHITE, 2011).
Além disso, para estudar o escoamento compressível através de um bocal,
devemos encontrar qual equação apresenta a relação de número de Mach com a
razão de áreas do duto e da garganta. Sendo assim, considere o duto mostrado pela
Figura 16, assumindo que escoamento sônico ocorre na garganta, onde a área é A*,
o número de Mach é denotado por M* e a velocidade na garganta de u*. Como o
escoamento é sônico na garganta, o número de Mach característico e a velocidade
serão M* = 1 e u* = a*, respectivamente. Sobre qualquer outra seção do duto, a área,
o número de Mach e a velocidade são denotadas por A, M e u.
35
Figura 16 – Geometria para derivar a relação de número de área-Mach. Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Relembrando a equação da continuidade desenvolvida para quase
unidimensional, onde está sendo analisado entre A e A*, onde u* = a*, será obtido:
𝜌∗𝑢∗𝐴∗ = 𝜌𝑢𝐴 (2.74)
𝐴
𝐴∗=
𝜌∗
𝜌
𝑎∗
𝑢=
𝜌∗
𝜌0
𝜌0
𝜌
𝑎∗
𝑢 (2.75)
Onde 𝜌0 é a densidade de estagnação e é constante ao longo do fluxo
isentrópico. Sendo assim, a razão de densidade característica por densidade de
estagnação, a razão da densidade de estagnação pela densidade e, por fim,
relembrando a equação (2.37), teremos as três equações seguintes:
𝜌∗
𝜌0= (
2
𝛾 + 1)
1/(𝛾−1)
(2.76)
𝜌0
𝜌= (1 +
𝛾 − 1
2𝑀2)
1/(𝛾−1)
(2.77)
𝑢
𝑎∗= 𝑀∗2 =
[(𝛾 + 1)/2]𝑀2
1 + [(𝛾 − 1)/2]𝑀2 (2.78)
Sendo assim, utilizando as equações (2.76), (2.77) e (2.78) e substituindo na
equação (2.75) elevada ao quadrado, teremos:
(𝐴
𝐴∗)
2
=1
𝑀2[
2
𝛾 + 1(1 +
𝛾 − 1
2𝑀2)]
(𝛾+1)/(𝛾−1)
(2.79)
36
Essa equação é importante por ser definida como a relação de área–número
de Mach e dita que Mach de qualquer local do duto, está em função da razão das
áreas de duto e garganta. Além disso, em qual valor M tem em determinado caso,
depende das pressões de entrada e saída do duto e, o resultado da razão das áreas
em função de M, são valores tabelados assim como mostra a Tabela 1 (ANDERSON,
2001).
Tabela 1 – Propriedades de escoamento isentrópico. Apêndice A do livro
M 𝒑𝟎
𝒑
𝝆𝟎
𝝆
𝑻𝟎
𝑻
𝑨
𝑨∗
0,9400 + 00 0,1767 + 01 0,1502 + 01 0,1177 + 01 0,1003 + 01
0,9600 + 00 0,1808 + 01 0,1526 + 01 0,1184 + 01 0,1001 + 01
0,9800 + 00 0,1850 + 01 0,1552 + 01 0,1192 + 01 0,1000 + 01
0,1000 + 01 0,1893 + 01 0,1577 + 01 0,1200 + 01 0,1000 + 01
0,1020 + 01 0,1938 + 01 0,1604 + 01 0,1208 + 01 0,1000 + 01
0,1040 + 01 0,1985 + 01 0,1632 + 01 0,1216 + 01 0,1001 + 01
0,1060 + 01 0,2033 + 01 0,1660 + 01 0,1225 + 01 0,1003 + 01
Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Ao analisar a Tabela 1, nota-se que para escoamento subsônico, os valores
de M aumentam e as razões de áreas decrescem, ou seja, o duto é convergente.
Similarmente, se o escoamento for sônico M = 1, A / A* e se o escoamento for
supersônico, ambos os valores de M e da razão de áreas aumentam, ou seja, o duto
é divergente (ANDERSON, 2001).
2.7 ESCOAMENTO HIPERSÔNICO
Desde os primórdios da história da aviação, sempre tem se direcionado para
a filosofia “mais rápido e mais alto”. Com esse intuito, o progresso no ramo ocorreu
de forma exponencial até o ponto de para missões de voo espacial tripulado. A maior
altitude e velocidade registradas em voo tripulado, foi até a lua e 36 vezes a velocidade
do som, registrado pela cápsula Apollo lunar. Porém, a maioria dos voos da Apollo
ocorreram no espaço, fora da atmosfera terrestre, além disso, um dos aspectos mais
críticos era a reentrada dentro da atmosfera, após completar a missão lunar. Devido
37
à alta velocidade de voo, faz com que ocorra um fenômeno aerodinâmico,
denominada aerodinâmica hipersônica. Outra aplicação hipersônica que também
ocorre, é sobre motor de um ramjet hipersônico, ou scramjet, ou um transporte
hipersônico, a tecnologia básica sobre a qual está sendo estudada pela NASA
(ANDERSON, 2001).
2.7.1 Aspectos Qualitativos de Escoamento Hipersônico:
Considere a metade do ângulo de cunha sendo 15o voando com um M∞ = 36.
Pelo gráfico da Figura 11, anteriormente, é possível ver que o ângulo de choque
obliquo será 18o, ou seja, essa onda é muito próxima a superfície do corpo. A camada
de choque formada entre a onda de choque e o corpo é bem fina, sendo uma das
características de escoamento hipersônico (ANDERSON, 2001). Uma consequência
pratica dessa fina camada de choque, é que a maior interação frequentemente ocorre
entre o escoamento invíscido atrás do choque e a camada limite de viscosidade na
superfície. Ou seja, veículos hipersônicos geralmente voam em altitudes onde a
densidade e, consequentemente, o número de Reynolds, é baixo, portanto as
camadas limite são espessas (ANDERSON, 2001).
Quanto maior o número de Mach, mais além contribui para a camada limite
ser mais espessa, de forma que, pela Figura 17, nos apresenta uma camada de
choque inteiramente viscosa e a forma da onda de choque e pressão de superfície
são afetadas pelos efeitos viscosos.
Figura 17 – Camada de choque fina e viscosa de um escoamento hipersônico. Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
38
Esse fenômeno é conhecido como fenômeno de interação viscosa e é uma
das maiores áreas de pesquisa moderna de aerodinâmica hipersônica. Outra área
frequentemente dominante em aspectos de escoamento hipersônico é a análise de
altas temperaturas na onda de choque, junto com o aquecimento aerodinâmico do
veículo (ANDERSON, 2001). Por exemplo, considere um corpo com a ponta
arredondada reentrando na atmosfera com Mach 36, como demonstra a Figura 18.
Figura 18 – Alta temperatura em uma camada de choque. Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Pela Tabela 2 representada abaixo, é possível encontrar que a razão de
temperatura estática em relação a Mach M∞ = 36, denotada por Ts / T∞, é 252,9. Sendo
assim, para uma altitude padrão de 59 km e T∞ = 258 K, tem-se que Ts = 65248 K, que
é uma temperatura muito alta, sendo seis vezes mais quente que a superfície do sol.
Porém, isso na realidade é um valor equivocado, porque os dados da Tabela 2 só é
conveniente para gases perfeitos com 𝛾 = 1,4. Porém, como o corpo sofre ação de
temperaturas bem altas, o gás começará a sofrer reações químicas e 𝛾 não será mais
igual a 1,4 já que não será constante (ANDERSON, 2001).
39
Tabela 2 – Propriedades de onda de choque normal. Apêndice B do livro
M 𝒑𝟐
𝒑𝟏
𝝆𝟐
𝝆𝟏
𝑻𝟐
𝑻𝟏
𝒑𝟎𝟐
𝒑𝟎𝟏
𝒑𝟎𝟐
𝒑𝟏
M2
0,3400+ 02 0,1348+ 04 0,5974+ 01 0,2257+ 03 0,7804– 05 0,1489+ 04 0,3788+ 00
0,3600+ 02 0,1512+ 04 0,5977+ 01 0,2529+ 03 0,5874– 05 0,1669+ 04 0,3786+ 00
0,3800+ 02 0,1684+ 04 0,5979+ 01 0,2817+ 03 0,4488 - 05 0,1860+ 04 0,3786+ 00
Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Sendo assim, o valor de Ts encontrado anteriormente, se fosse levado em
conta às reações químicas, teria um valor aproximado de Ts ≈ 11000 K, implicando
também em alta temperatura, porém, menor que a anterior. Examinando com maior
detalhe os efeitos de altas temperaturas, se considerar o ar com p = 1 atm e T = 288
K (nível do mar), a composição química é de 20% O2 e de 80% N2 pelo volume.
Entretanto, se a temperatura aumentar para 2000 K, as moléculas de oxigênio
começarão a se dissociar, através de reações endotérmicas. Se a temperatura passar
para 4000 K, boa parte das moléculas de oxigênio terão se dissociados enquanto as
moléculas de nitrogênio também começarão a se dissociar (mas não completamente)
(ANDERSON, 2001). Ao passar pela temperatura de 9000 K, boa parte das moléculas
de nitrogênio já terão se dissociados e assim uma ionização começará a ocorrer,
assim como está esquematizado abaixo:
𝑂2 → 2𝑂 2000 𝐾 < 𝑇 < 4000 𝐾
𝑁2 → 2𝑁 4000 𝐾 < 𝑇 < 9000 𝐾
𝑁 → 𝑁+ + 𝑒− 𝑇 > 9000 𝐾
𝑂 → 𝑂+ + 𝑒− 𝑇 > 9000 𝐾
Consequentemente, a camada de choque na região do nariz do corpo é
parcialmente plasma ionizado, consistindo de átomos de N e O, de íons N+ e O+ e
elétrons e–. Por fim, as equações que haviam sido desenvolvidas anteriormente não
podem ser aplicadas da mesma forma para o escoamento hipersônico, visto que elas
dependem da constante 𝛾 = 1,4 (ANDERSON, 2001).
40
2.7.2 Relações de Onda de Choque Hipersônica:
Assim como foi discutido em onda de choque normal e oblíqua, é necessário
definir as razões de pressão, densidade e temperatura. Quando se leva em
consideração as relações para todos os números de Mach, maior do que a unidade
supersônica ou hipersônica, algumas aproximações e simplificações devem ser
tomadas. Sendo assim, algumas limitações ocorrerão para números de Mach
exorbitantes e essas limitações, são chamadas de relações de choque hipersônico
(ANDERSON, 2001).
Portanto, relembrando pela seção de choque oblíquo, as exatas equações
(2.54), (2.55) e (2.56), terão termos desconsiderados devido ao grande valor que o
número de Mach poderá assumir. Por fim, lembrando que 𝑀𝑛,1 = 𝑀1 sin 𝛽, as
equações serão divididas da seguinte forma, com suas respectivas limitações:
Equações exatas:
𝜌2
𝜌1=
(𝛾 + 1)𝑀12 sin2 𝛽
2 + (𝛾 − 1)𝑀12 sin2 𝛽
(2.82)
𝑝2
𝑝1= 1 +
2𝛾
𝛾 + 1(𝑀1
2 sin2 𝛽 − 1) (2.83)
𝑇1
𝑇2= (
𝑝2
𝑝1) (
𝜌1
𝜌2) = [1 +
2𝛾
𝛾 + 1(𝑀1
2 sin2 𝛽 − 1)]2 + (𝛾 − 1)𝑀1
2 sin2 𝛽
(𝛾 + 1)𝑀12 sin2 𝛽
(2.84)
tan 𝜃 = 2 cot 𝛽 [𝑀1
2 sin2 𝛽 − 1
𝑀12(𝛾 + cos 2𝛽) + 2
] (2.85)
Equações quando 𝑴𝟏 → ∞:
𝜌2
𝜌1=
(𝛾 + 1)
(𝛾 − 1) (2.86)
𝑝2
𝑝1=
2𝛾
𝛾 + 1𝑀1
2 sin2 𝛽 (2.87)
𝑇1
𝑇2= (
𝑝2
𝑝1) (
𝜌1
𝜌2) =
2𝛾(𝛾 − 1)
(𝛾 + 1)2𝑀1
2 sin2 𝛽 (2.88)
41
Para a relação θ – β – M, no limite hipersônico, tem-se que θ e β são
pequenos, portanto, pode ser usado a usual aproximação para ângulos
pequenos:
sin 𝛽 = 𝛽
cos 2𝛽 = 1
tan 𝜃 = sin 𝜃 = 𝜃
Sendo assim, resultará em:
𝜃 =2
𝛽[
𝑀12𝛽2 − 1
𝑀12(𝛾 + 1) + 2
] (2.89)
Aplicando o número de Mach alto, resultará:
𝜃 =2
𝛽[
𝑀12𝛽2
𝑀12(𝛾 + 1)
]
𝛽
𝜃=
𝛾 + 1
2 (2.90)
Considerando 𝛾 = 1,4, o resultado final será:
𝛽 = 1,2𝜃 (2.91)
Afinal, em uma relação de onda de choque hipersônica, nota-se que para uma
dada razão de pressão, se o número de Mach tender ao infinito, essa razão se tornará
infinitamente grande (ANDERSON, 2001). Por outro lado, o coeficiente de pressão
atrás do choque, é um valor constante para altos valores de número de Mach. Ou
seja, o escoamento hipersônico não depende do Número de Mach, contato que seja
suficientemente alto, implicando em uma independência ao mesmo (ANDERSON,
2001).
42
3 METODOLOGIA
3.1 HIPÓTESES INICIAIS
Antes de se efetuar a modelagem, algumas hipóteses básicas devem ser
consideradas, sendo elas: estar em regime permanente, ausência de força de campo,
de trabalho do eixo, de forças viscosas e de dissociação molecular, o sistema ser
adiabático e equilíbrio térmico entre as espécies químicas.
Por ser um escoamento hipersônico, reações químicas irão ocorrer, enquanto
as concentrações de espécies químicas variam ao longo desse escoamento. Se
ocorrer um escoamento em não-equilíbrio, deve-se apresentar uma variação na
entropia ao longo desse escoamento.
3.2 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
Como exemplo de análise do escoamento do ar, em regime de alta
velocidade, em uma tubeira convergente-divergente, o código NOZ3T (Three
Temperature Nozzle Flow Code) é uma ferramenta capaz de efetuar tais simulações
nessas características. Além disso, o NOZ3T foi desenvolvido pelo Dr. Chul Park da
NASA Ames Research Center, na qual utiliza das temperaturas de rotação-translação,
vibração e eletrônica. Para isso, a tubeira é acoplada a um tubo de choque na
extremidade do reservatório de baixa pressão. A presença desta tubeira permite que
o gás (do reservatório de baixa pressão) pressurizado e aquecido pela onda de
choque incidente (no tubo de choque) seja acelerado e expelido pela seção de testes,
e assim, seja denominado túnel de choque hipersônico (SILVA, 2009).
Os túneis de choque, também conhecidos como tuneis de vento hipersônico,
são equipamentos onde geralmente são acopladas tais tubeiras. O túnel de choque
possui um tubo de choque, que é um tubo fechado nas extremidades e separado por
um diafragma. Nessas seções do tubo, coloca-se um gás a alta pressão (seção do
“driver”) e na outra o sistema que se deseja estudar, onde a pressão é bem mais baixa
(região do “driven”) (DOS SANTOS, 2008). Sendo assim, um protótipo, ao ser
ensaiado dentro do tubo de choque, passará pelo bocal convergente-divergente para
43
que seja possível aumentar a sua velocidade e assim adquirir os dados dos testes ao
romper os diafragmas. Um exemplo disso, é a figura abaixo onde demostra o que
compõe tal túnel de choque hipersônico:
Figura 19 – Seções de um túnel de choque hipersônico. Fonte: A. M. dos Santos (2008)
O Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica Prof. Henry T. Nagamatsu
possui, atualmente, três túneis de choque hipersônico, Figura 20, com capacidade de
reproduzir, com boa proximidade, o ambiente encontrado em voos hipersônicos,
considerando velocidade, composição química, temperatura e entalpia do
escoamento, com tempo de escoamento hipersônico permanente (tempo de teste),
variando de 0,1 a 10 ms (milésimos de segundo) (SILVA, 2009).
Figura 20 – Túnel de choque hipersônico T3 do Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica.
Fonte: Débora da Silva (2009)
44
3.2.1 Montagem do Código Computacional:
Como a garganta da tubeira é o ponto onde ocorre a mudança de
convergência para divergência e vice-versa, para a confecção do código
computacional, alguns parâmetros deverão ser definidos de antemão. Visto que o
código trabalha com equações de conservação unidimensionais, a concepção de
montagem é similar ao código NOZ3T. Sua modelagem através do método de
volumes finitos, deverá utilizar de células para definir o fator de estiramento x e y.
Sendo assim, os parâmetros iniciais que devem ser definidos são: tamanho da célula
em x e y, partindo do centro ou da parede da garganta; comprimento total em x (antes
e depois da garganta); o número de células; as razões de área; largura da garganta
em y; raios de entrada e saída do bocal; pontos de tangência antes e depois da
garganta.
Tais células, ou pontos, serão importantes para definir a malha na qual o
escoamento está ocorrendo no bocal. Por exemplo, em um escoamento hipersônico
que possua N pontos de grade, em cada uma dessas grades deverá ser calculada a
conservação da massa, momentum e energia com suas respectivas derivadas
parciais substituídas pelas expressões de diferenças finitas. Uma análise quase
unidimensional não poderá ser aplicada para esse caso, visto que a importância desse
equacionamento seria apenas para facilidade de entendimento da base teórica. Ou
seja, um escoamento unidimensional é simples, porém possui desvantagens como:
falta de detalhes para um escoamento real tridimensional e não dá informação sobre
o contorno da parede adequado de tais bocais. Portanto, a solução mais adequada é
pela utilização de método dos volumes finitos ou pelo método de características.
Para que o computador suporte utilizar um certo nível de refinamento para
desenvolvimento do programa, as condições de contorno serão propriedades que
devem ser levadas em conta, assim como as instabilidades numéricas.
As células fantasmas, nesse caso, permitem armazenar os valores para as
condições de contorno de cada bloco, de forma a evitar que os operadores diferenciais
sejam redefinidos nas suas formas (DE LIMA, 2012). Dessa forma, o mesmo estêncil
usado no interior das células de uma malha pode também ser usado nas células
localizadas nas bordas das malhas. Por isso, devido aos parâmetros inicias, o número
de células fantasmas consideradas, dependem do tamanho do estêncil necessário
para a discretização do operador diferencial, sendo necessária uma camada de
45
células fantasmas ao redor de cada malha. Sendo assim, para o programa, é
necessário definir carreiras de células fantasmas na entrada e saída do bocal, acima
da linha de centro e abaixo da linha de parede do bocal.
Tanto o método das linhas características quanto o método dos volumes
finitos, representam um campo de fluxo contínuo por uma série de pontos de grades
distintas no espaço. Como foi dito anteriormente, em cada ponto da grade deverá ser
calculado as propriedades do escoamento utilizando as equações governantes.
Sendo assim, as figuras 21 e 22 demonstram um exemplo de análise de pontos para
ambos os métodos:
Figura 21 – Análise de pontos de malha para linhas características (a) e diferenças finitas (b). Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
46
Figura 22 – Exemplo de design de bocal utilizando o método das linhas características. Fonte: Fundamentos da Aerodinâmica (2001)
Visto que o código modelado no trabalho será desenvolvido utilizando o
método de diferenças finitas, primeiro, será necessário o uso de representações de
diferenças finitas para derivadas parciais usando séries de Taylor, como, por exemplo:
(𝜕𝑢
𝜕𝑥)
𝑖,𝑗=
𝑢𝑖+1,𝑗 − 𝑢𝑖,𝑗
∆𝑥 (𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) (2.92a)
(𝜕𝑢
𝜕𝑥)
𝑖,𝑗=
𝑢𝑖,𝑗 − 𝑢𝑖−1,𝑗
∆𝑥 (𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) (2.92b)
(𝜕𝑢
𝜕𝑥)
𝑖,𝑗=
𝑢𝑖+1,𝑗 − 𝑢𝑖−1,𝑗
2∆𝑥 (𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙) (2.92c)
Sendo que a diferença anterior e posterior, se referem a entrada e saída do
bocal, respectivamente.
47
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Assim que foi realizada a montagem do código, os resultados computacionais
obtidos delimitaram linhas de escoamento na qual, através delas, é possível analisar
a geometria que a tubeira tomará. Além disso, os valores dos parâmetros iniciais
escolhidos para a simulação dessa tubeira convergente-divergente é de:
comprimento total de 0,08 u e de largura de garganta de 0,01 u, razão em y de 0,98,
com 21 número de pontos em y e com 38 número de pontos em x. Para tal
modelagem, foi escolhida uma malha espessa, ou seja, detém de 10 células em y e
20 células em x.
Portanto, a malha desenvolvida e calculada para cada ponto resultará na
geometria do bocal, propriamente dita. Porém, o que denotará as paredes limitantes
da tubeira, será a utilização das células fantasmas para colaborar na modelagem
desse formato. Como queremos utilizar a tubeira para acelerar o escoamento até
um número de Mach desejado, deve-se reescrever e analisar a equação da relação
de área – velocidade. Basta relembrar pela seção 2.6.1 do trabalho, que a relação
de área é de suma importância, assim como mostrou a equação 2.73 que será
reescrita abaixo:
𝑑𝐴
𝐴= (𝑀2 − 1)
𝑑𝑢
𝑢 (2.73)
Ao desenvolvermos a equação 2.73 para o bocal, tem-se a relação número
de Mach-velocidade denominada por:
(𝐴
𝐴∗)
2
=1
𝑀2[
2
𝛾 + 1(1 +
𝛾 − 1
2𝑀2)]
(𝛾+1)/(𝛾−1)
(2.79)
Por consequência, pelos dados iniciais tomados acima e pela a equação
2.79, definiu-se que é possível analisar o Mach de qualquer local do duto, em função
da razão das áreas de duto e da garganta, além do formato que a tubeira deve
possuir para realizar esse escoamento desejado.
48
Por fim, a modelagem matemática através do método das diferenças finitas
e demais operações, foram realizadas pelo MATLAB, na qual o gráfico resultante, é
definido abaixo pela Figura 23:
Figura 23 – Gráfico resultante da malha modelada em x e y.
Fonte: Autoria própria.
49
5 CONCLUSÃO E PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS
O presente trabalho teve como motivação o problema de engenharia, que
envolve a complexidade de se realizar simulações de voo a partir do instante que
entra em escoamento hipersônico. Assim como foi visto, o escoamento hipersônico
é de difícil simulação, mesmo através da utilização de código CFD, devido as
instabilidades decorrentes, como as fortes interações de temperaturas entre o
veículo e a onda de choque, ou as forças viscosas presentes. Tal aumento de
temperatura na superfície do corpo afeta a atmosfera na qual o corpo está inserido,
porque a partir de certo momento, reações químicas ocorrerão devido a dissociação
de gases. Sendo assim, um veículo espacial como o 14 – X, encontrará problemas
caso não seja possível prever o que ocorrerá na superfície de seu material, devido
ao aumento de temperatura. Para poder prever tais problemas, seria necessário
realizar testes, porém, esses testes são caros. Consequentemente, a simulação
computacional foi a solução mais econômica para tal problema.
A temática do trabalho consistiu em definir a base teórica necessária para
realizar a simulação computacional de um escoamento hipersônico através de uma
tubeira. A teoria envolvida desde a análise em ondas de choque, até relações entre
o número de Mach e a razão de área, para conseguir definir o aumento de
velocidade empregada no problema. Com isso, foi possível também determinar a
geometria do bocal, conforme os parâmetros iniciais pré-definidos. Ao gerar o
gráfico da seção anterior e analisar os resultados obtidos, é possível concluir que
os objetivos do trabalho foram atingidos.
Códigos bases importantes, como o código NOZ3T utilizado para realizar
análises de escoamentos hipersônicos, foram de grande importância para o
desenvolvimento do código computacional para cálculo de fator de estiramento.
Portanto, o código gerado vem a se tornar uma boa ferramenta para ser utilizada
futuramente, caso queira realizar testes no escoamento hipersônico. Além disso,
uma proposta de trabalho futuro é a análise de um protótipo veicular, nesse regime
de escoamento. Como foi citado anteriormente, ao entrar em regime hipersônico, o
veículo sofre uma maior interação de temperatura e isso ocorre devido a onda de
choque ficar cada vez mais próxima a sua superfície. Sendo assim, uma simulação
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computacional, seguida de experimento laboratorial, seria uma proposta ideal para
analisar tal comportamento e trazer possíveis soluções devido a essa grande
interação.
Para o experimento laboratorial, o túnel de choque hipersônico é a
ferramenta ideal para poder realizar os testes e analisar os resultados. Um exemplo
disso é o túnel de choque do Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica do
Instituto de Estudos Avançados (IEAv).
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