Theorems Proofs LogicTheorems, Proofs, Logic

And Incidence Geometry

Summer 2009 1MthEd/Math 362 Chapter 3

Theorems, Proofs, and LogicTheorems, Proofs, and Logic

• You’ve all had 190 (mostly) If it worked forYou ve all had 190 (mostly).  If it worked for you, you should know all you need to about proof for this class If not talking about “howproof for this class.  If not, talking about  how to prove things” for a day or two probably won’t help Instead we’ll work on somewon t help.  Instead, we ll work on some simple theorems of Incidence Geometry togethertogether.  

• There. That takes care of Sections 3.1 – 3.5.

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Incidence GeometryIncidence Geometry

• Undefined terms: point line lie onUndefined terms:  point, line, lie on.

• Axioms:1 F i f di ti t i t P d Q th1. For every pair of distinct points P and Q there 

exists exactly one line l such that both P and Q lie on llie on l.

2. For every line l there exist two distinct points P and Q such that both P and Q lie on l.and Q such that both P and Q lie on l.

3. There exist three points that do not all lie on any one line.  

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Incidence GeometryIncidence Geometry

• Undefined terms: point line lie onUndefined terms:  point, line, lie on.

• Axioms:1 F i f di ti t i t P d Q th1. For every pair of distinct points P and Q there 

exists exactly one line l such that both P and Q lie on llie on l.

2. For every line l there exist (at least) two distinct points P and Q such that both P and Q lie on l.points P and Q such that both P and Q lie on l.

3. There exist (at least) three points that do not all lie on any one line.  y

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.

L l b bi lior, Let l be an arbitrary line.

or, Choose any line l.

or, Suppose l is an arbitrary line.  

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3.6.2: If l is any line, then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on l.  

Proof:  Let l be any line.(This means we need to stop and think about(This means we need to stop and think about how to find that point.  Which axiom guarantees the existence of a point?)

• That’s right, Axiom 2 or Axiom 3.  Why is 3 better?

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.

Proof:  Let l be any line.

That’s right.  Because Axiom 3 gives us 3 points that DO NOT LIE ON the same LINE.  

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line. By Axiom 3, there are three points that do not lie on the same linethree points that do not lie on the same line. 

These three points cannot all lie on l, so one of h li lthem must not lie on l.  

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line. By Axiom 3, there are three points that do not lie on the same linethree points that do not lie on the same line. These three points cannot all lie on l, so one of them must not lie on lthem must not lie on l.  

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line. By Axiom 3, there are three points that do not lie on the same linethree points that do not lie on the same line. These three points cannot all lie on l, so one of them must not lie on l T I J (That’s It Jack!)them must not lie on l. T.I.J. (That s It, Jack!)

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Theorem 3.6.2Theorem 3.6.2

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line. By Axiom 3, there are three points that do not lie on the same linethree points that do not lie on the same line. These three points cannot all lie on l, so one of them must not lie on l Q E Dthem must not lie on l. Q.E.D.

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Theorem 3.6.2 (Alternate Path)Theorem 3.6.2 (Alternate Path)

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line. By Axiom 3, there are three points that do not lie on the same linethree points that do not lie on the same line.

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Theorem 3.6.2 (Alternate Path)Theorem 3.6.2 (Alternate Path)

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.  Suppose for contradiction that there were no point P thatcontradiction that there were no point P that did not lie on l.  

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Theorem 3.6.2 (Alternate Path)Theorem 3.6.2 (Alternate Path)

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.  Suppose for contradiction that there were no point P thatcontradiction that there were no point P that did not lie on l.  

N Wh ?Now What?

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Theorem 3.6.2 (Alternate Path)Theorem 3.6.2 (Alternate Path)

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.  Suppose for contradiction that there were no point P thatcontradiction that there were no point P that did not lie on l.  Then every point would lie on the line l which contradicts Axiom 3the line l, which contradicts Axiom 3.  

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Theorem 3.6.2 (Alternate Path)Theorem 3.6.2 (Alternate Path)

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.  Suppose for contradiction that there were no point P thatcontradiction that there were no point P that did not lie on l.  Then every point would lie on the line l which contradicts Axiom 3 Thusthe line l, which contradicts Axiom 3. Thus some such P not on lmust exist.  

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Theorem 3.6.2 (Alternate Path)Theorem 3.6.2 (Alternate Path)

Theorem 3 6 2: If l is any line then there existsTheorem 3.6.2:  If l is any line, then there exists at least one point P such that P does not lie on ll.  

Proof:  Let l be any line.  Suppose for contradiction that there were no point P thatcontradiction that there were no point P that did not lie on l.  Then every point would lie on the line l which contradicts Axiom 3 Thusthe line l, which contradicts Axiom 3. Thus some such P not on lmust exist. Q.E.D

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Theorem: If P is any point then there are atTheorem:  If P is any point, then there are at least two distinct lines l and m such that P lies on both l andmon both l and m.

Proof:  Let P be any point.  By Axiom 3, there exist three points not all on the same lineexist three points not all on the same line.  Call them A, B, and C.  

W d b f l b f hWe need to be careful because one of these three points could be the point P we already h Schose.  So. . . 

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Theorem: If P is any point then there are atTheorem:  If P is any point, then there are at least two distinct lines l and m such that P lies on both l andmon both l and m.

Proof:  Let P be any point.  By Axiom 3, there exist three points not all on the same lineexist three points not all on the same line.  

Call them A, B, and C.  

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Theorem: If P is any point then there are atTheorem:  If P is any point, then there are at least two distinct lines l and m such that P lies on both l andmon both l and m.

Proof:  Let P be any point.  By Axiom 3, there exist three points not all on the same lineexist three points not all on the same line.  

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Theorem: If P is any point then there are atTheorem:  If P is any point, then there are at least two distinct lines l and m such that P lies on both l andmon both l and m.

Proof:  Let P be any point.  By Axiom 3, there exist three points not all on the same line Weexist three points not all on the same line.  We consider two cases.  Case 1:  P is one of these three points; call the other two A and B Bythree points; call the other two A and B.  By Axiom 1, there is exactly one line l such that P and A lie on land A lie on l.

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Proof (continued) By Axiom 1 there is exactlyProof (continued) By Axiom 1, there is exactly one line m such that P and B lie on m.

OK we seem to have two lines But we betterOK, we seem to have two lines.  But we better make sure they are distinct.  Is they any way they could really be the same line?they could really be the same line?

Of course you are right:  if so, A, B, and P would b h h li di ibe together on the same line, contradicting Axiom 3.  

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Proof (continued) By Axiom 1 there is exactlyProof (continued) By Axiom 1, there is exactly one line m such that P and B lie on m. Lines landm cannot be the same line since if theyand m cannot be the same line, since if they were, A, B, and P would be on the same line together which is a contradiction Thus l andtogether, which is a contradiction.  Thus l and m are distinct.  

Case 2: P is not one of the three point A B or CCase 2:  P is not one of the three point A, B, or C. 

Oh boy.  Now what?  Can I just grab 2 of the 3 i d d i C 1?points and proceed as in Case 1?

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Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Let’s say I pick A and BLet s say I pick A and B again, and go to work making lines using P

P BA

making lines using P and A, and P and B.  What could happen?

CDag, yo!

What could happen?

Yup, those two lines might not be distinctmight not be distinct.  But, there is point C out thereout there. . . 

Summer 2009 MthEd/Math 362 Chapter 3 27

Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Proof (continued) By Axiom 1 there is exactlyProof (continued) By Axiom 1, there is exactly one line m such that P and B lie on m. Lines landm cannot be the same line since if theyand m cannot be the same line, since if they were, A, B, and P would be on the same line together which is a contradiction Thus l andtogether, which is a contradiction.  Thus l and m are distinct.  

Case 2: P is not one of the three point A B or CCase 2:  P is not one of the three point A, B, or C. We know there is one line containing P and  A, and one line containing P and Band one line containing P and B.   

Summer 2009 MthEd/Math 362 Chapter 3 28

Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

Proof (continued) If these two lines areProof (continued).   If these two lines are distinct, the theorem is proved.  If not, then points P A and B are all together on the samepoints P, A, and B are all together on the same line; call it l.  By Axiom 1, there is exactly one line containing points P and C This lineline containing points P and C.  This line cannot be the same as line l since if so, A, B, and C would all be together on the same lineand C would all be together on the same line, contradicting Axiom 3.  Thus we have two distinct lines containing Point P T I Jdistinct lines containing Point P.    T.I.J.  

Summer 2009 MthEd/Math 362 Chapter 3 29

Theorem 3.6.3Theorem 3.6.3

• Alternatives:Alternatives:

• Could have formed three lines, each with point P and one of A B or C and then arguedpoint P and one of A, B, or C, and then argued that they couldn’t all have been the same line, so there must be two distinct linesso there must be two distinct lines.

• Perhaps others.

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Your TurnYour Turn

• For the rest of the time today let’s finishFor the rest of the time today, let s finish problems 3.6.4 – 3.6.8 on the board.  Then for homework write your own complete proofs ofhomework, write your own complete proofs of 3.6.2 – 3.6.8.  (This is the same as doing exercises 3 8 – 3 14 on page 42 )exercises 3.8  3.14 on page 42.)

Summer 2009 MthEd/Math 362 Chapter 3 31