analytische meetkunde of meetkunde met co ö rdinaten
DESCRIPTION
Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten. DVD Delft, 18 oktober 2012 Wim Caspers & Jeroen Spandaw. Programma. 16:00 – 17:30 : deel 1 (inleiding) 17:30 – 18:30 : diner 18:30 – 20:00: deel 2 (nieuw materiaal) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/1.jpg)
Analytische Meetkundeof Meetkunde met Coördinaten
DVD Delft, 18 oktober 2012
Wim Caspers & Jeroen Spandaw
![Page 2: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/2.jpg)
Programma
• 16:00 – 17:30 : deel 1 (inleiding)
• 17:30 – 18:30 : diner
• 18:30 – 20:00: deel 2 (nieuw materiaal)
Diner in Kronigzaal (lift C-vleugel, 4e verdieping; koffie/thee
meenemen!)
![Page 3: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/3.jpg)
Programma deel 1
Thema: axiomatische meetkunde versus analytische (coördinaten-)meetkunde
• Presentatie
• Opgaven
• Bespreking opgaven
![Page 4: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/4.jpg)
Voorbeeld 1: Zwaartepunt
Stelling: De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door een punt.
![Page 5: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/5.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 1
• A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2).• P = ½ (b1+c1, b2+c2)
• AP : y – a2 = rico · (x – a1) • AP : rico = (b2+c2 – 2a2) / (b1+c1 – 2a1)• AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) =
= (b2+c2 – 2a2) · (x – a1)
![Page 6: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/6.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 1
• AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) =
= (b2+c2 – 2a2) · (x – a1)
Analoog (a b):
• BQ : (a1+c1 – 2b1) · (y – b2) =
= (a2+c2 – 2b2) · (x – b1)
Snijpunt berekenen…
![Page 7: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/7.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 1
• Na afschuwelijke rekenpartij:
• Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2).
• Nu checken dat Z op de lijn CR ligt, dus voldoet aan
• CR : (a1+b1 – 2c1) · (y – c2) = = (a2+b2 – 2c2) · (x – c1)
• Deze verificatie is gemakkelijk!
Beide zijden (a1+b1 – 2c1) · (a2+b2 – 2c2)
![Page 8: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/8.jpg)
Bewijs successief verbeteren
• Eerste bewijs vaak onhandig
• Gaan bewijs successief vereenvoudigen
![Page 9: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/9.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 2
• Als bewijs 1,
• maar gebruik symmetrie van
• Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2).
• Als Z op AP ligt, dan
• vanwege symmetrie ook op BQ en CR. (Verwisselen van a’s, b’s en c’s.)
![Page 10: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/10.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 3?
• Als bewijs 1,• maar vereenvoudig (?) rekenwerk• door in eerste stap• A = (0, 0), B = (1, 0), C = (p, q)• te veronderstellen.• “Zonder beperking der algemeenheid”.• Waarom eigenlijk?• Nadeel: Symmetrie weg uit berekening.
![Page 11: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/11.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 4
• Als bewijs 1,• maar raad het antwoord• Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2).• Wegens symmetrie voldoende te checken
dat Z op AP ligt.• Los op Z = · A + (1 – ) · P.• (1/3)·(ai+bi+ci) = · ai + (1 – ) · ½·(bi+ci) = 1/3 is een (de) oplossing!
![Page 12: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/12.jpg)
Zwaartepunt: Bewijs 5
• Als bewijs 4,
• maar dan met vectoren:
• v1 := OA, v2 := OB, v3 := OC.
• Dan OP = ½ (v2 + v3)
• Punt Z met OZ := (1/3) (v1 + v2 + v3) ligt op de lijn OP, want OZ = ·OA + (1 – )·OP.
• Wegens symmetrie ligt Z ook op OQ & OR
![Page 13: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/13.jpg)
Zwaartepunt, Bewijs 6
ACB QCP• dus PQ // AB• en |AB| = 2 · |PQ|AZB PZQ• |AZ| = 2 · |ZP|• Het punt Z op AP met |AZ| = 2 · |ZP| ligt
ook op BQ.• Rollen B en C verwisselen: Z ook op CR.
![Page 14: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/14.jpg)
Didactiek• Vaak veel variabelen.
• Getallenvoorbeelden nuttig?
• Rekenen/algebra met verstand:– Wat is gegeven? Wat is te bewijzen?– Oplossing verifiëren versus oplossing vinden– Gebruik maken van symmetrie van
uitdrukkingen en situaties– “Analoog…”– “We mogen z.b.d.a. aannemen dat…”
![Page 15: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/15.jpg)
Voorbeeld 2: Pythagoras
• Pythagoras in coördinaten?
• Geldt bijna per definitie van de afstand!
![Page 16: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/16.jpg)
Pythagoras in coördinaten
• z.b.d.a. A = O
• OB OC, dus b1c1 + b2c2 = 0.
• Te bewijzen: BC 2 = OB 2 + OC 2, dus
• (c1 – b1)2 + (c2 – b2)2 = b12 + b2
2 + c12 + c2
2
• Simpel!
![Page 17: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/17.jpg)
Pythagoras met algebra
• c2 = (a+b)2 – 4·½·ab• dus c2 = a2 + b2
• Meetkundig bezwaar:• geen pure meetkunde• maar mix met algebra• Niet lengte-kwadraat,• maar oppervlakte!
![Page 18: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/18.jpg)
Algebra geëlimineerd?
![Page 19: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/19.jpg)
Pythagoras met schalen
• De 3 driehoeken in plaatje zijn gelijkvormig.• Dus hun oppervlakten zijn s·a2, s·b2, s·c2 met
dezelfde evenredigheidsconstante s. • Dus s·a2 +s·b2 = s·c2
![Page 20: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/20.jpg)
Axiomatiek versus coördinaten
1. Pythagoras in coördinaten geldt vrijwel per definitie van de afstand in coördinaten-meetkunde.
2. Pythagoras in axiomatische meetkunde is moeilijker.
Is (1) dan wel echt bewijs?
Ja, maar alleen in Cartesisch vlak
![Page 21: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/21.jpg)
Axiomatisch vlak versus Cartesisch vlak R2
Axiomatisch vlak:• vlak, punten, lijnen,
incidentie, congruentie ongedefinieerd!
• We nemen aan dat ze aan axioma’s voldoen.
• Onderzoeken logische gevolgen van axioma’s
Cartesisch vlak:• vlak := R2
• punt := element in R2
• lijn := oplossings-verzameling van lineaire vergelijking
• Enzovoorts• Kunnen bewijzen dat
axioma’s in dit model van Euclidische meetkunde
![Page 22: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/22.jpg)
Congruentie
In Euclidisch vlak:• alleen congruentie,• geen lengte van
lijnstukken.• Geen hoekmaat van
hoeken,• alleen vergelijk van
lijnstukken en hoeken (=, < of >).
In Cartesisch vlak• wel begrip lengte• lijnstukken per
definitie congruent als ze even lang zijn
• Lengte lijnstuk AB gedefinieerd als [(a1–b1)2 + [(a2–b2)2]
![Page 23: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/23.jpg)
Congruentie van hoeken
• Een hoek is gedefinieerd als twee halve lijnen m en n met een gemeenschappelijk eindpunt A zodat m en n niet bevat zijn in één lijn.
• Definieer congruentie van dergelijke hoeken.
• Hint: Definieer eerst grootte van hoek.
![Page 24: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/24.jpg)
Een oplossing
• z.b.d.a. A = O.• kies B O op halve lijn m• kies C O op halve lijn n• definieer (m, n) := arccos(p) met• p := (b1c1 + b2c2) / ((b1
2 + b22)(c1
2 + c22))
• (Check dat -1 p 1.)• Hoeken (m, n) en (m', n') per definitie
congruent als (m, n) = (m', n').• Simpeler: congruent als p = p'.
![Page 25: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/25.jpg)
Vectoren: inproduct, lengte & hoek
• Definitie: Inproduct v·w van vectoren v = (v1, v2) en w = (w1, w2) is v1w1 + v2w2.
• Inproduct van twee vectoren is getal.
• Definitie: Lengte |v| van vector is (v·v) = (v1
2 + v22)
• Definitie: Hoek (v,w) tussen twee vectoren is arccos(p) met p:= v·w / |v|·|w|
![Page 26: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/26.jpg)
Opgave voor masochisten
• Definieer alle ongedefinieerde begrippen uit Euclidische meetkunde in R2
• en controleer alle axioma’s van Hilbert:• 4 incidentie-axioma’s over punten op lijnen• 4 axioma’s over ordening• 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken• 3 axioma’s over congruentie van hoeken• axioma van Dedekind
Gevolg: Alle axiomatisch bewezen stellingen gelden in R2.
![Page 27: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/27.jpg)
Voordelen axiomatische meetkunde
• Meetkundig verklaren i.p.v. algebraïsch verifiëren
• Axiomatische bewijzen gelden in alle modellen.
• Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolisch vlak
![Page 28: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/28.jpg)
Voordelen axiomatische meetkunde
• Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolisch vlak
• Voorbeelden:– congruentiecriteria– constructie loodlijnen– één richting Z-hoeken– stelling buitenhoek
![Page 29: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/29.jpg)
Coördinaten versus axiomatiek
• Axiomatiek mooier?
• Ik vind symmetrische uitdrukkingen en slimme berekeningen (soms one-liners!) ook mooi.
• Coördinaten = vals spelen? Te gemakkelijk?
• Nee, maar deels andere vaardigheden nodig.
![Page 30: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/30.jpg)
Coördinaten versus axiomatiek
• Cartesische meetkunde is belangrijker dan axiomatische meetkunde.
• Met de kennis van nu: • “vergissing” van Euclides om 2d- en 3d-
meetkunde te axiomatiseren.• Beter: Axiomatiseer de getallenlijn R • en doe meetkunde in Rn
• of nog algemener: differentiaalmeetkunde, algebraïsche meetkunde, enzovoorts.
![Page 31: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/31.jpg)
Euclidische meetkunde heeft rijk verleden
![Page 32: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/32.jpg)
Coördinatenmeetkunde is meetkunde met toekomst
![Page 33: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/33.jpg)
Didactiek: coördinaten of axioma’s?
• Deels gelijk: van start (gegevens) naar finish (te bewijzen bewering)
• Andere vaardigheden• Klaas Landsman:
– Oefen axiomatische redeneren niet met meetkunde, maar in kansrekening.
– Twee voordelen:• cleaner: 3 axioma’s i.p.v.15• kansrekening is belangrijker dan meetkunde
• Jeroen Spandaw: Meetkunde minder geschikt voor oefenen logisch redeneren, want meestal p q en zelden p q zonder q p.
![Page 34: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/34.jpg)
Driedeling van een hoek
Kan met gemarkeerde liniaal:
Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.
![Page 35: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/35.jpg)
Ervaring met leraren in opleiding
Moeilijk:1. Kiezen van handig coördinatensysteem2. Vertalen van gegevens naar “algebra”3. Vertalen van “te bewijzen” naar “algebra”4. Een weg vinden van start naar finish5. Overzicht behouden6. Goniometrie en algebra7. Logica (richting van implicaties)
![Page 36: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/36.jpg)
Driedeling van een hoek
Kan met gemarkeerde liniaal:
Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.Voorwaarden?
![Page 37: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/37.jpg)
Driedeling van een hoek (2)
• A = (0,0) en B = (1,0)• C = (1,t) en Q = (1,s)• AQ : y = s·x• P = (t/s, t)
• Bewijs/verifieer dat (s,t)=(tan(),tan(3)) voldoet aan
• PQ2 = 4·AC2
![Page 38: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/38.jpg)
Driedeling van een hoek (3)
• Y1 = tan(X)• Y2 = tan(3X) • Y3 = (Y2/Y1-1)2 +
(Y2-Y1)2 – 4*(1+Y22)• Maak tabel of grafiek
voor Y3• Conclusie: Y3 = 0.• Puur algebraïsch
bewijs is lastig.
![Page 39: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/39.jpg)
Driedeling van een hoek (4)
![Page 40: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/40.jpg)
Opgaven
![Page 41: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/41.jpg)
Opgave 1: Thales 1
Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.
![Page 42: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/42.jpg)
Opgave 2: Thales 2
Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'
![Page 43: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/43.jpg)
Opgave 3: Hoogtelijn
a) Bewijs met coördinaten: De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan
door 1 punt.b) Bewijs dezelfde stelling zonder coördinaten
![Page 44: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/44.jpg)
Opgave 4: Cosinusregel
Bewijs met vectoren:
• De cosinusregel: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()
![Page 45: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/45.jpg)
Opgave 5: Stelling constante hoek
• Constante hoek: ACB hangt niet van C, maar alleen van A en B af.
• Volgt uit:• Omtrekshoek: ACB is
de helft van AMB• Bewijs met coördinaten
voor het geval AMB = 90.
![Page 46: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/46.jpg)
Uitwerkingen
![Page 47: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/47.jpg)
Opgave 1: Thales 1
Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.
![Page 48: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/48.jpg)
Bewijs Thales 1
Bewijs: Mogen z.b.d.a. aannemen dat A = (-1,0) en B = (1,0).Schrijf C = (p,q).
AC = (p + 1, q) en BC = (p – 1, q).Inproduct is AC · BC = p2 – 1 + q2.Dus AC BC d.e.s.d. p2 + q2 = 1
d.e.s.d. C op cirkel met middellijn AB.
![Page 49: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/49.jpg)
Opgave 2: Thales 2
Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'
![Page 50: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/50.jpg)
Bewijs Thales 2
• z.b.d.a. A = (0,0), B = (1,0), B' = (g, 0).• Schrijf C = (r, s).• C' = (kr, ks), want op lijn AC.
• BC = (r – 1, s), B'C' = (kr – g, ks),• dus BC // B'C' d.e.s.d. B'C' = k · BC• d.e.s.d. k = g.• Rest simpel.
![Page 51: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/51.jpg)
Opgave 3: Hoogtelijn
a) Bewijs met coördinaten: De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan
door 1 punt.b) Bewijs dezelfde stelling zonder coördinaten
![Page 52: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/52.jpg)
Hoogtelijn met coördinaten
• z.b.d.a. A = (0,0), B = (1,0) en C = (p,q).• Hoogtelijn door C: x = p.• BC = (p – 1, q) is normaalvector voor hoogtelijn
op BC• Die hoogtelijn: (p – 1) x + qy = 0.• Snijden met x = p: y = (1 – p)p/q.• Dus H = (p, (1 – p)p/q)• Dus BH = (p – 1, (1 – p)p/q)• Inproduct met AC = (p, q) is nul, dus BH AC• Dus hoogtelijn door B op AC gaat door H.
![Page 53: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/53.jpg)
Hoogtelijn zonder coördinaten
Verdubbel de driehoek:
De hoogtelijnen van ABC zijn de middelloodlijnen van PQR, dus ze gaan door 1 punt.
![Page 54: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/54.jpg)
Opgave 4: Cosinusregel
Bewijs met vectoren:
• De cosinusregel: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()
![Page 55: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/55.jpg)
Cosinusregel met vectoren
• Te bewijzen: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()
• a := CB, b := CA, c := AB (vectoren)
• a = b + c (som van vectoren)
• a = || a ||,
• dus a2 = || a ||2 = a · a =: a2
• a2 is kwadraat van getal (lengte a)
• a2 is inproduct van vector a met zichzelf
![Page 56: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/56.jpg)
Cosinusregel met vectoren
• Te bewijzen: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()
• Per definitie van =(a,b) geldt:
• cos() = a·b / ab
• c2 = c2 = (a – b)2 = (a – b)·(a – b)
• c2 = a2 – 2 a·b + b2
• c2 = a2 – 2 a·b + b2 = a2 – 2ab cos() + b2
![Page 57: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/57.jpg)
Opgave 5: Stelling constante hoek
• Constante hoek: ACB hangt niet van C, maar alleen van A en B af.
• Volgt uit:• Omtrekshoek: ACB is
de helft van AMB• Bewijs met coördinaten
voor het geval AMB = 90.
![Page 58: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/58.jpg)
Speciaal geval stelling v.d. omtrekshoek met coördinaten (1)
• b := CA = (1 – cos(t), - sin(t))• a := CB = (-cos(t), 1 – sin(t))• cos() = a · b / ab• a · b = -cos(t) + cos2(t)
– sin(t)) + sin2(t)• a · b = 1 – cos(t) – sin(t)• a2 = cos2(t) + (1 – sin(t))2 • a2 = 2 – 2sin(t)• b2 = 2 – 2cos(t)
![Page 59: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/59.jpg)
Speciaal geval stelling v.d. omtrekshoek met coördinaten (2)
• cos() = a · b / ab• a · b = 1 – cos(t) – sin(t)• a2 = 2 – 2sin(t), b2 = 2 – 2cos(t)• cos2() = (a · b)2 / a2b2
• (a · b)2 = 1 + cos2(t) + sin2(t) – 2cos(t) – 2sin(t) + 2cos(t)sin(t)
• (a · b)2 = 2 – 2cos(t) – 2sin(t) + 2cos(t)sin(t)• a2b2 = (2 – 2sin(t)) · (2 – 2cos(t))• a2b2 = 4 – 4cos(t) – 4sin(t) + 4cos(t)sin(t) • a2b2 = 2 (a · b)2, dus cos() = a · b / ab = ½2.
![Page 60: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/60.jpg)
Speciaal geval stelling v.d. omtrekshoek met coördinaten (3)
• cos() = a·b/ab = ½2 = 45 als a·b > 0• a · b = 1 – cos(t) – sin(t)• dus a·b > 0 als 90 < t < 360.
= 135 als a·b < 0,• dus als 0 < t < 90.
ongedefinieerd als t = 0 of t = 90
![Page 61: Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062718/56812f70550346895d94f857/html5/thumbnails/61.jpg)
Slotwoord