analogna integrisana elektronika

Analogna integrisana elektronikaAktivni filteri

Prof. dr. Aljo Mujcic

maj 2011

Fakultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli

Laboratorij za informacijsko-komunikacijske tehnologije1 / 44

Aktivni filteri

I Niskofrekventni filteri

I Visokofrekventni filteri

I Filteri propusnici opsega ucestanosti

I Filteri nepropusnici opsega ucestanosti

I Fazni filteri



Filteri propusnici opsega ucestanosti

Slika: Formiranje filtera propusnika opsega ucestanosti na bazi niskofrekventnog opsega

I Serijska veza niskofrekventnog i visokofrekventnog filtera

I Frekventni opseg u kome se preklapaju ta dva filtera

I Karakteristika filtera propusnika opsega ucestanosti se moze dobiti smjenomparametra S sa 1

∆Ω

(s + 1

s

).



Filteri propusnici opsega ucestanosti

Slika: Formiranje filtera propusnika opsega ucestanosti na bazi niskofrekventnog opsega

I Granicne ucestanosti filtera: Ω1 i Ω2

I Normalizirani prenosni opseg fitera:

∆Ω = Ω2 − Ω1 (1)

I Normalizirana srednja frekvencija, pri kojoj je faktor dobrote filtera Q = 1, iznosi

Ωm =Ω1 + Ω2

2. (2)

Kao i kod rezonantnih kola faktor dobrote se definise kao

Q =fmB

=fm

f2 + f1=

1

Ω2 − Ω1=

1

∆Ω(3)



Filter propusnik opsega ucestanosti drugog reda

I Serijska veza niskofrekventnog i visokofrekventnog filtera prvog reda daje filterpropusnik opsega ucestanosti drugog reda.

I Frekventni odziv filtera propusnik opsega ucestanosti drugog reda izvest cemokoristenjem prenosne funkcije niskofrekventnog filtera

A(s) =A0

1 + s(4)

te uvoenjem smjene 1∆Ω

(s + 1

s

).

I U tom slucaju dobijamo

A(s) =A0

1 + 1∆Ω

(s + 1

s

) =A0∆Ωs

1 + ∆Ωs + s2(5)

I Zamjenom A0 sa Am koje predstavlja pojacanje pri Ω = 1 i ∆Ω sa 1/Q dobijamo

A(s) =

AmQ

s

1 + 1Qs + s2

(6)



Filter propusnik opsega ucestanosti drugog reda

Slika: Frekventni odziv filtera drugog reda za razlicite vrijednosti faktora dobrote Q

I Sa povecanjem faktora dobrote dobija se uzi i strmiji frekventni odziv filtera.



Filter propusnik opsega ucestanosti drugog redaSallen-Key topologija

Slika: Sallen-Key filter drugog reda

Napon na neinvertujucem prikljucku operacionog pojacavaca sa slike 4 iznosi

U =Uizl

k(7)

pri cemu je k = 1 + R2R1

.Struja kroz otpornik 2R iznosi

I3 =U

2R=

Uizl

2kR(8)




Prenosna funkcija glasi:

A(s) =gRCωms

1 + RCωm(3− k)s + R2C 2ω2ms2

. (9)

Na osnovu izraza 9 dobijamo sljedece vrijednosti parametra filtera propusnika opsegaucestanosti

I srednja ucestanost fm = 12πRC

I pojacanje pojacavaca k = 1 + R2R1

I pojacanje na srednjoj ucestanosti Am = k3−k

I faktor dobrote filtera Q = 13−k

.




Prednost ove topologije je da se faktor dobrote moze diktirati sa pojacanjempojacavaca u neinvertujucem spoju a bez modifikacije srednje frekvencije. S drugestrane Q i Am se ne mogu podesavati nezavisno jedan od drugog.Ako je poznata srednja frekvencija fm i kapacitet C tada otpor R iznosi

R =1

2πfmC. (10)

Otpor R2 se moze odrediti na bazi pojacanja Am

R2 =2Am − 1

1 + Am(11)

ili na bazi zadatog faktora dobrote Q

R2 =2Q − 1

Q(12)

jer su navedena dva parametra direktno povezana.



Filter propusnik opsega ucestanosti drugog redaTopologija sa visestrukim povratnim vezama

Slika: Filter propusnik opsega ucestanosti drugog reda sa visestrukim povratnim vezama

Struje u kolu iznose

I3 = −Uizl

R2(13)

I2 =UA

R3= − Uizl

R2R3XC (14)

I1 =Uul

R1− UA

R1=

Uul

R1+

Uizl

R1R2XC (15)

I4 =UA −Uizl

XC= −Uizl

R2− Uizl

XC. (16)



Filter propusnik opsega ucestanosti drugog redaTopologija sa visestrukim povratnim vezama

Prenosna funkcija filtera sada glasi

A(s) =Uizl

Uul=

−R2R3R1+R3

Cωms

1 + 2R1R3R1+R3

Cωms + R1R2R3R1+R3

C 2ω2ms2

(17)

Dobijamo sljedece vrijednosti parametra filtera propusnika opsega ucestanosti

I srednja ucestanost fm = 12πC

√R1+R3R1R2R3

I pojacanje na srednjoj ucestanosti −Am = R22R1

I faktor dobrote filtera Q = πfmR2C

I propusni opseg B = 1πR2C

.

Opisana topologija filtera omogucava podesavanje Q , Am i fm nezavisno jedan oddrugog. Q i fm ne zavise od R3 tako da se R3 moze koristiti za podesavanje fm a dane doe do promjene B i Am .



Filter propusnik opsega ucestanosti cetvrtog reda

Na bazi niskofrekventnog filtera drugogo reda i uvoenjem smjene 1∆Ω

(s + 1

s

)moze

se dobiti prenosna funkcija filtera propusnika opsega ucestanosti cetvrtog reda

A(s) =A0

1 + a11

∆Ω

(s + 1

s

)+ b1

(1

∆Ω

(s + 1

s

))2 (18)

odnosno

A(s) =

s2A0(∆Ω)2

b1

1 + a1b1

∆Ωs +[2 + (∆ω)2

b1

]s2 + a1

b1∆Ωs3 + s4

(19)

Razdvajanjem na dva clana drugog reda dobija se

A(s) =

AmiQiαs

1 + αsQ1

+ (αs)2·

AmiQi

sα

1 + 1Q1

sα

+(

sα

)2 (20)



Filter propusnik opsega ucestanosti cetvrtog reda

Izraz 20 predstavlja vezu dva filtera drugog reda gdje je

I Ami pojacanje na srednjoj frekvenciji oba filtera

I Qi pol faktora dobrote pojedinacnih filtera

I α i 1/α su faktori na osnovu kojih se odreuju srednje frekvencije pojedinacnihfiltera fm1 i fm2 na osnovu fm .



Filteri nepropusnici opsega ucestanosti

I Filteri nepropusnici opsega ucestanosti se uglavnom koriste za prigusenjeodreene frekvencije ili uskog opsega frekvencija.

I U praksi se koriste dvije osnovne topologije filtera nepropusnika opsegaucestanosti

I aktivni dvostruki (twin) filterI aktivni Wien-Robinsonov filter.

I Oba su filteri drugog reda.




I Dobijanje prenosne funkcije filtera nepropusnika opsega primjenomtransformacije

A(S) =A0

1 + S=

A0

1 + ∆Ω

S+ 1S

=A0

1 + ∆ΩSS2+1

(21)

A(S) =A0(1 + S2)

1 + ∆ΩS + S2(22)




Slika: Formiranje filtera nepropusnika opsega ucestanosti na bazi niskofrekventnog opsega

I Karakteristika propusnog opsega niskofrekventnog filtera se preslikava u donjiopseg filtera nepropusnika opsega ucestanosti.

I Gornji propusni opseg filtera nepropusnika opsega ucestanosti se dobijapredstavljanjem u ogledalu oko srednje frekvencije fm (Ω = 1) donjeg propusnogopsega

I Granicne frekvencije filtera: Ω1 i Ω2

I Opseg frekvencija koje filter prigusuje

∆ = Ω2 − Ω1 (23)




Faktor dobrote filtera iznosi

Q =fmB

=1

∆Ω(24)

Uvrstavanjem vrijednosti za faktor dobrote kola u izraz 22 dobija se

A(S) =A0(1 + S2)

1 + 1QS + S2

(25)



Filteri nepropusnici opsega ucestanostiAktivni dvostruki (twin) T filter

Slika: Aktivni T filter nepropusnik opsega ucestanosti




Slika: Transformacija pasivnog T filtera nepropusnika opsega ucestanosti

I Prikazana je osnovna konfiguracija T-filtera koristenjem pasivne RC mreze

I T-filter predstavlja paralelnu vezu VF i NF filtera.



Filteri nepropusnici opsega ucestanostiAktivni dvostruki (twin) T filterUsporedbom dobijamo vrijednosti impedansi

Z1 = R (26)

Z2 =1

s2C(27)

Z3 = R (28)

kao i

Z ′1 =1

sC(29)

Z ′2 =R

2(30)

Z ′3 =1

sC(31)

Vrijednosti elemenata Π ekvivalentne seme filtera sada iznosi

ZA = 2R(1 + sCR) (32)

Z ′A = 2

(1

sC+

1

s2C 2R

)= 2

1 + sCR

s2C 2R(33)

ZB = Z ′B = ZC = Z ′C = R +1

sC=

1 + sCR

sC(34)




Slika: Transformirani pasivni T filter nepropusnika opsega ucestanosti u filter Π tipa

Paralelnu vezu ZA i Z ′A oznacit cemo sa Z ′′A i ona iznosi

Z ′′A =ZAZ

′′A

ZA + Z ′′A=

2R(1 + sCR)2 1+sCRs2C2R

2R(1 + sCR) + 2 1+sCRs2C2R

= 2R1 + sCR

1 + s2C 2R2(35)

i isto tako dobijamo

Z ′′B = Z ′′C =1

2

(R +

1

sC

)(36)




Odnos izlaznog i ulaznog napona iznosi

Uizl

Uul=

Z ′′CZ ′′A + Z ′′C

=12

(R + 1

sC

)2R 1+sCR

1+s2C2R2 + 12

(R + 1

sC

)=

1+sCR2sC

2R 1+sCR1+s2C2R2 + 1+sCR

2sC

=1 + s2C 2R2

1 + 4sCR + s2C 2R2




Za povecanje faktora dobrote pasivni filter se ukljucuje u kolo povratne vezepojacavaca kao sto je prikazano na slici

Slika: Aktivni T filter nepropusnik opsega ucestanosti



Filteri nepropusnici opsega ucestanostiAktivni dvostruki (twin) T filterFilter sa slike 9 se poslije transformacije trougao u zvijezda moze prikazatiekvivaletnom semom datom na slici 10.

−

+

UulUizlZB

’’

ZB’’

ZC

ZC’

I1

I2

I3

R2

R1

A

Slika: Ekvivalentna sema aktivnog T filtera nepropusnika opsega ucestanosti

Napon u tacki A se uzima djeliteljem napona koji cine otpornici R1 i R2 i iznosi

UA =R1

R1 + R2Uizl = kUizl . (37)




Prenosna funkcija glasi

Uizl

Uul=

1k(1 + s2C 2R2)

1 + 2sCR(2− 1k) + s2C 2R2

(38)

Vrijednost1

k= 1 +

R2

R1= A0 (39)

i predstavlja pojacanje operacionog pojacavaca u neinvertujucem spoju.




Zamjenom A0 u prethodni izraz dobija se

A(s) =Uizl

Uul=

A0(1 + s2C 2R2)

1 + 2sCR(2−A0) + s2C 2R2(40)

odnosno

A(S) =A0(1 + S2)

1 + 2S(2−A0) + S2(41)

Parametri filtera su

I srednja frekvencija fm = 12πRC

I unutrasnje pojacanje A0 = 1 + R2R1

I pojacanje u propusnom opsegu A0

I faktor dobrote Q = 12(2−A0)

Zapaza se da se faktor dobrote moze podesavati pojacanjem pojacavaca A0.



Filteri nepropusnici opsega ucestanostiAktivni Wien-Robinsonov filter

Slika: Pasivni Wien-Robinsonov most

I Wien-Robinsonov most je pasivni filter neporpusnik opsega ucestanosti sadiferencijalnim izlazom.

I Izlazni napon je razlika izmeu potencijala koji se uzima sa djelitelja napona2R1 i R1 i izlaza filtera propusnika opsega ucestanosti.




Slika: Aktivni Wien-Robinsonov filter

I Za dobijanje vecih vrijednosti za faktor kvaliteta filter se ukljucuje u povratnuvezu operacionog pojacavaca.




Struje u kolu su

I4 =Uul

R4(42)

I3 = −Uizl

R3(43)

Struja I2 iznosi

I2 = I4 − I3 =Uul

R4+

Uizl

R3. (44)

Napon na izlazu prvog operacionog pojacavaca iznosi

U1 = −I2R2 = −R2

R4Uul −

R2

R3Uizl = −(aUul + bUizl) (45)

Struja u grani filtera ima oblik

ICR =U1

XCRXC +R

+ XC + R. (46)



Filteri nepropusnici opsega ucestanostiAktivni Wien-Robinsonov filterNapon na neinvertujucem prikljucku drugog operacionog pojacavaca iznosi

U+ =U1

XCRXC +R

+ XC + R(XC + R) =

U1

1 + XCR(XC +R)2

(47)

Struja kroz otpornik R1 se moze izraziti na osnovu poznavanja napona U1 i U+

I1 =U1 −U+

R1= −Uizl −U+

2R1(48)

Na osnovu zadnje jednacima imamo

2U1 − 3U+ = −Uizl (49)

Uvrstavanjem vrijednosti za U+ dobijamo

2U1 − 3U1

1 + XCR(XC +R)2

= −Uizl (50)

Uvrstavanjem vrijednosti napona U1 imamo

a(X 2C + R2) = −Uizl(X

2C + 3XCR + R2 + bX 2

C + bR2) (51)




Uvrstavanjem XC = 1sC

mozemo pisati

Uizl

Uul= −

a1+b

(1 + s2C 2R2)

1 + 31+b

sCR + s2C 2R2(52)

i konacno

A(S) = −a

1+b(1 + S2)

1 + 31+b

S + S2(53)



Filteri nepropusnici opsega ucestanostiAktivni Wien-Robinsonov filterParametri filtera su

I srednja frekvencija fm = 12πRC

I unutrasnje pojacanje A0 = − a1+b

I pojacanje u propusnom opsegu A0

I faktor dobrote Q = 1+b3

Slika predstavlja usporedbu faktora dobrote pasivnih i aktivnih filtera nepropusnikaopsega ucestanosti

Slika: Usporedba faktora dobrote pasivnih i aktivnih filtera nepropusnika opsega ucestanosti



Fazni filteri

I Konstantna amplitudska karakteristika u cjelokupnom opsegu

I Fazni spektar im se mijenja linearno sa povecanjem frekvencije.

I To za posljedicu ima konstantno grupno kasnjenje filtera.

I Primjena



Fazni filteri

I Najjednostavniji primjer faznog filtera je operator kasnjenja Z = e iω. Faznakarakteristika ovog filtera je jednostano ω.

I Odnos bilo kojeg kompleksnog broja i njegove konjugovano kompleksnevrijednosti x+jy

x−jyima jedninicnu vrijednost amplitude a faza iznosi

x + jy

x − jy=

ρe jφ

ρe−jφ= e j2φ (54)

I Prenosna funkcija faznog filtera se na bazi niskofrekventnog filtera moze dobitizamjenom clana A0 sa konjugovano kompleksnom vrijednosscu imeniocaniskofrekventnog filtera.

I Opsti oblik prenosne funkcije faznog filtera glasi

A(s) =

∏i(1− ais + bis

2)∏i(1 + ais + bis2)

(55)

gdje su ai i bi koeficijenti pojedinacnih filtera drugog reda.



Fazni filteri

I Amplitudska karakteristika faznog filtera izrazena na osnovu prenosne funkcijedate izrazom 46 glasi

A(s) =

∏i

√(1− biΩ2)2 + a2

i Ω2e−jα∏i

√(1− biΩ2)2 + a2

i Ω2e jα(56)

I Iz prethodnog izraza 47 zakljucujemo da je amplitudska karakteristikakonstantna |A| = 1, fazna karakteristika iznosi

φ = −2α = −2∑i

arctanaiΩ

1− biΩ2(57)



Fazni filteri

I Za prenos signala sa minimalnim faznim izoblicenjima fazni filter mora imatikonstantno grupno kasnjenje u zadatom fekventnom opsegu.

I Grupno kasnjenje daje vrijeme za koje fazni filter kasni sve komponente izzadatog frekvetnog opsega.

I Frekvencija pri kojoj grupno kasnjenje opadne na vrijednost 1√2

puta od pocetnevrijednsoti se naziva granicna frekvencija filtera i oznacava sa fC .

I Grupno kasnjenje se odreuje na bazi fazne karakteristike kao

tgk = − dφ

dω. (58)

I Normalizirana vrijednost grupnog kasnjenja se dobija mnozenjem sa granicnomfrekvencijom

Tgk =tgkTC

= tgk fC = tgkωC

2π(59)

I Zamjenom Tgk u izraz 49 dobija se

Tgk = − 1

2π

dφ

dΩ(60)



Fazni filteri

Ukljucivanjem vrijednost φ iz izraza 48 u prethodni izraz 51 dobijamo

Tgk =1

π

∑i

ai(1 + biΩ2)

1 + (a2i − 2bi)Ω2 + b2

i Ω4(61)

Postavljanjem Ω = 0 u prethodnom izrazu dobit cemo grupno kasnjenje za donjiopseg 0 < Ω < 1

Tgk0 =1

π

∑i

ai (62)



Fazni filteri

Slika: Grupno kasnjenje faznih filtera od prvog do desetog reda



Fazni filteri - Fazni filter prvog reda

Slika: Fazni filter prvog reda

I Fazni filter prvog reda sa jedinicnim pojacanjem na niskim frekvencijama i −1na visokim frekvencijama. Pojacanje iznosi jedan dok je promjena faze od 0 do180o .

I Na osnovu seme mozemo pisati

Uul = 2R1I1 + Uizl (63)

Uul = (R + XC )I (64)

U = XC I (65)

(66)Fakultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli



I1 =Uul −U

R1= −Uizl −U

R1(67)

Struja I iznosi

I =Uul

R + XC(68)

Uvrstavanjem u trecu jednacinu dobija se

U = XCUul

R + XC(69)

Na osnovu cetvrte jednacine mozemo pisati

Uul −U = −Uizl + U (70)

odnosno

Uizl = −Uul + 2U = −Uul + 2XCUul

R + XC(71)




Prenosna funkcija faznog filtera prvog reda iznosi

A(s) =Uizl

Uul= −R −XC

R + XC= −

R − 1SCωC

R + 1SCωC

=1− RCωCS

1 + RCωCS(72)

Koeficijent a1 iznosia1 = RC2πfC (73)




Uvrstavanjem vrijednosti a1 u izraz 53 dobija se grupno kasnjenje koje iznosi

Tgk0 =1

piai =

1

piRC2πfC (74)

odnosno

tgkωC

2π=

1

πRC2π

ωC

2π(75)

tgk = 2RC (76)



Fazni filteri - Fazni filter drugog reda

Slika: Fazni filter drugog reda

I Napon na uzlazu je razlika ulaznog napona i filtriranog ulaznog signala safilterom propusnikom opsega ucestanosti drugog reda.

I Prenosna funkcija faznog filtera sa slike 16 glasi

A(S) =1 + (2R1 − αR2)CωCS + R1R2C

2ω2CS

2

1 + 2R1CωCS + R1R2C 2ω2CS

2(77)



Fazni filteri - Fazni filter drugog reda

Usporedbom sa 46 dobijamo

a1 = 4πfCR1C (78)

b1 = a1πfCR2C (79)

α =a2

1

b1=

R

R3(80)



Fazni filteri - Fazni filter viseg redaNa slici 17 prikazan je filter sedmog reda.

Slika: Fazni filter viseg reda



Literatura

T. E. Price,Analog Electronics,Prentice Hall, 1997.

T. Brodic,Analogna integrisana elektronika,Svjetlost, Sarajevo, 1989.

A.S. Sedra, K.C. Smith,Microelectronic Circuits, 4th ed.,Oxford University Press 1998.

P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer,Analysis and Design of Analog Integrated Circuits,,John Wiley & Sons, 2001.

P.Biljanovic,Elektronicki sklopovi,Skolska knjiga, Zagreb, 1995.



analogna integrisana elektronika

Documents

fakultet elektrotehnike

propusnom

faktor dobrote

r1 r2

faktor dobrote

xc

xc

1 scr