Analiza si evaluarea riscurilor ın economie si

informaticaPartea I

I. TOFAN

1. Introducere

Din ”preistoria” teoriei riscurilor amintim cateva ipoteze aflate ın circulatie

si anume: cuvantul ”risc” - provine din limba castiliana;

- provine din limba d′Oc; - ısi are originea in spatiul bizantin; - provine

din cuvantul grecesc ”rizikon” ce apare ın scrierile lui Homer (atunci cand se

refera la calatoriile lui Ulise, anume la trecerea printre Scila si Caribda);

- poate fi identificat conceptual cu un termen provenit din vocabularul

maritim (mai exact, firmele maritime indicau drept ”situatie riscanta” pentru

o nava cazul cand aceasta trebuia sa despice valuri de tip vertical, temute ca

si cum ar fi pereti de stanca).

In 1193, ın cartea ”Carta Picena” apare cuvantul ”risicu” pentru a sugera

(ceea ce numim astazi) riscul asumat de personaje ale cartii. Totusi, termenul

de risc nu era utilizat (ca si ın ıntreg secolul al XII-lea) relativ la activitatile

comerciale ci, mai degraba, ın legatura cu cele politice sau juridice lucru ce

denota ca acest termen ınca nu se bucura de o totala penetrare sociala ci mai

mult de o difuzare a cuvantului ın sectoarele vietii civile.

Dimensiunea juridica a termenului de risc era folosita pentru a indica

posibilitatea aplicarii unei pedepse, ın timp ce la nivel politic termenul era

folosit pentru a descrie pericolele ce ar aparea ın cazul declansarii unui razboi.

Literatura, de inspiratie ”cortese” mai ales, foloseste cuvantul risc pentru

a indica punerea voluntara ın pericol a eroului sau a cavalerului luptator.

Abordarea termenului ”risc” nu poate fi desprinsa de contextul istoric al

epocii ın care este folosit. Acest aspect tine, de exemplu, de permeabilitatea

ıntre clasele sociale. In secolul XI multi comercianti erau, ınainte de toate,

luptatori, ce ısi ınsotesc marfurile si le aparau ımpotriva piratilor, iar alteori

au fost ei ınsisi jefuitori, atrasi de valorea prazilor. Ca atare, nu a existat

niciodata o delimitare neta ıntre comerciantii si razboinicii din secolul XI

si, ın consecinta nu este posibila o delimitare/identificare stricta a anumitor

tipuri de risc (riscuri specifice).

2

Incepand cu secolul XIII clasele sociale par sa se distinga mult mai clar.

Pe de alta parte cariera mercantila s-a institutionalizat. In secolul al XIV-lea

”scoala comerciala” (unde se preda calculul aritmetic prin intermediul soco-

titoarei de lemn) s-a impus ca un tip de educatie de ”ciclu secund” pentru

fiii comerciantilor. Acestia nu mai ınsotesc marfurile lor si inventeaza ”ce-

dolele”, precursoarele contractelor actuale. Diverse texte aparute ın Italia ın

secolele XIII si XIV pun ın evidenta faptul ca raspandirea termenului de risc

se realizeaza prin intermediul comerciantilor, ce impun, de fapt, conceptul

de ”risc comercial”. In acelasi timp se contureaza specificitatea pericoleleor

asociate conflictelor sociale, altfel spus se distinge ”riscul social”.

In secolul al XVII-lea, termenul apare ın Franta legat tot de vocabularul

maritim. Termenul ramane utilizat cu precadere ın domeniul asigurarilor

maritime dar nu numai (ın 1670 ıl gasim utilizat si ın domeniul asigurarilor

de viata si de incendiu).

Conceptul de risc s-a dezvoltat apoi si s-a propagat ın timp pentru a

ajunge pana ın timpurile noastre.

Ce trebuie ınsa remarcat este faptul ca societatea a resimtit ınca din

timpuri ındepartate necesitatea de a cuantifica riscul.

Primele tentative ın acest sens apartin calugarului parizian Antoine Ar-

nould, confrate al lui Pascal, ce apartinea manastirii ”PortRoyale”. In 1662

a fost publicata, ın cadrul confreriei, o lucrare foarte importanta ”Logica,

sau arta gandirii”, fara a fi precizate ınsa numele autorilor. In aceasta lu-

crare este utilizat pentru prima data conceptul de ”dezvoltare statistica”

adica dezvoltarea unei ipoteze pornind de la o totalitate limitata de de fapte.

Acest concept poate fi considerat o prima tentativa ın construirea Teoriei

probabilitatilor. Citim ın aceiasi carte o afirmatie cruciala pentru defini-

rea riscului: ”frica de o dauna ar trebuie sa fie proportionala nu numai cu

gravitatea acesteia dar si cu probabilitatea evenimentului”.

O formulare mai precisa apare abia ın 1711 ın opera lui Abraham De-

3

Moivre, ”De Mensura Sortis”, publicata ıntr-un numar din Philosophilcal

Transactions, revista apartinand Societatii Regale.

In aceasta lucrare apare ın premiera o definitie a riscului ınteles ca posibi-

litate de pierdere: ”riscul de a pierde o suma oarecare este opusul asteptarii

si adevarata masura a riscului este produsul dintre suma riscata si probabi-

litatea de a o pierde”.

Cateva decade mai tarziu, ın 1780, termenului de risc i se atribuie un

sens abstract si general ın operele lui Condorcet si, respectiv, Tetens, opere

apartinand domeniului economic.

In acceptiune comuna se tinde a confunda termenul de ”risc” cu cel de

”incertitudine”, asociind ambilor incapacitatea umana de a prevedea evolutia

viitoarea a evenimentelor.

Doctrina stiintifica, dimpotriva, a sustinut adeseori existenta unei mari

diferente ıntre cei doi termeni, unul dintre cei mai recunoscuti sustinatori ai

acestei distinctii fiind F. Knight.

Dupa parerea acestuia, conditiile de incertitudine se realizeaza de fiecare

data cand operatorul se gaseste ın fata unor evenimente irepetabile, ale caror

rezultate posibile se cunosc, dar nu se cunosc respectivele distributii de pro-

babilitate, iar situatiile de risc, se realizeaza ın prezenta unor evenimente care

pot fi considerate repetabile ın aceleasi conditii, de aceea urmarind un numar

mare de probe, se poate defini distributia frecventelor rezultatelor posibile.

Schema statistica a observatiilor experimentale ın aceste cazuri, poate fi

considerata valabila pentru a defini probabilitatea de verificare a evenimen-

telor singulare.

Analiza continutului conceptului de risc conduce la faptul ca acesta poate

fi vazut ca o cantitate multidimensionala care include:

- probabilitatea evenimentului;

- consecintele asociate evenimentului;

- consecinta semnificativa;

4

- populatia expusa pericolului; aceasta observatie conducand la o even-

tuala formula de cuantificare a riscului.

Remarcam si ca definitia actuala data conceptului de risc, prezenta ın

dictionare ıi releva conotatiile negative si se refera la posibilitatea aparitiei

unor evenimente nedorite, cu impact negativ. Detalierile conduc la diverse

categorii mari (cu diviziunile respective) cum ar fi: riscuri tehnologice (nu-

cleare, chimice,etc.), riscuri naturale (seismice, vulcanice, etc.), riscuri eco-

nomice, financiare, informatice, etc. Fiecare caz ın parte, alaturi de formulele

generale ce i se pot aplica, presupune metode specifice de evaluare, monito-

rizare si control.

O continuare a discutiei presupune distingerea ıntre incertitudine masu-

rabila si, respectiv nemasurabila precum si incursiuni ın teoria informatiei

utilizand clasificari de genul: informatii cantitative/calitative; metrice/per-

ceptionale, etc.

Vom ıncepe prin a preciza ca ın teoria clasica a multimilor se pleaca si de

la urmatoarele premise:

- prin obiect se ıntelege ceea ce este sau poate fi cunoscut (la nivel ”fizic”

sau la nivel ”ideal”);

- prin multime se ıntelege o colectie de obiecte (numite elementele multimii)

bine determinate, considerate ca o enitate (notam multimile prin A,B, . . .).

- un obiect a capata ”calitatea” de a fi element prin constientizarea fap-

tului ca face parte dintr-o multime (A) (notam a ∈ A).A da o multime ınseamna fie a enumera elementele sale (posibil ın cazul

ın care numarul acestora este finit) fie a preciza o proprietate caracteristica

(pe care o au elementele multimii respective si numai acestea). Pentru cea

de a doua varianta ın general, se accepta ca, pentru un domeniu ın discutie

exista o multime U (numita multime universala - a respectivului domeniu) ce

contine obiectele de interes pentru acesta. Atunci formularea x ∈ U ∣P (x)semnifica multimea elementelor din U ce satisfac proprietatea P .

5

In descrierea sistemelor concrete ale lumii reale, a sistemelor abstracte

cat si a relatiilor dintre sisteme se utilizeaza notiuni (obiecte sau prorietati)

si predicate (relatii ıntre notiuni).

Conceptul de proprietate ce apare ın formularile anterioare este intrinsec

legat de cel de informatie.

Din punctul de vedere al acestei conexiuni distingem

- informatii:

- obtinute prin masurare;

- perceptionale;

- informatii:

- exacte;

- aproximative;

- informatii:

- cantitative;

- calitative.

In fine putem avea si urmatoarea clasificare

- informatii:

- declarative (date, fapte);

- procedurale (reguli, strategii);

- structurale (organizare, relatii ıntre concepte);

- metainformatii (logica asociata).

6

Detaliind unele aspecte remarcam urmatoarele:

i) informatiile pot fi de natura metrica (de exemplu, ınaltimea unui ar-

bore), informatii quasimetrice (de exemplu, arbore ınalt), informatii per-

ceptionale (de exemplu, frumos sau (si) arbore ınalt);

Informatiile de natura metrica pot fi, la randul lor, informatii perfect

determinabile sau (nu ın mod disjunctiv) informatii de natura probabilista.

In ceea ce priveste informatiile quasimetrice este necesara stabilirea unor

multimi de valori acceptabile ce depind de context, de exemplu, pentru arbore

ınalt [15m,20m] sau pentru om ınalt [1,80m,2m]) precum si a unor grade de

”preferinta” pentru valorile numerice punctuale considerate. Remarcam si ca

informatiile de natura metrica conduc de obicei la informatii quasimetrice (de

exemplu, ”temperatura” sau ”ınaltimea unui arbore” sunt informatii metrice,

ın timp ce ”temperatura mare”, ”arbore ınalt” sunt informatii quasimetrice).

Acestea din urma pot fi clasificate si ca informatii perceptionale.

ii) informatiile obtinute prin masuratori au un corespondent perceptional

(de exemplu, ”x are 30 ani” ”x este tanar”, sau ”afaraa sunt 30” ”Este

cald”). Reciproca nu este ınsa ıntotdeauna adevarata;

iii) putem avea informatii derivate (obtinute prin adaugarea de atribute

(de exemplu, ınalt foarte ınalt)) fapt ce poate fi interpretat si ca o rafinare

a informatiilor.

Se constata ın legatura cu informatia atat sub aspectul de ”concept” cat

si sub cel de ”predicat” prezenta incertitudinii (anterior a aparut ın sintagma

”grad de preferinta”). Aceasta se gaseste ın relatie directa cu ıncrederea (mai

exact cu lipsa de ıncredere) ın informatia obtinuta (dependenta de sursa, de

modul de obtinere, etc.) si cu precizia continutului informatiei. Distingem:

- incertitudinea ce rezulta drept consecinta a cunoasterii incomplete a

modului de functionare a sistemelor abstracte sau concrete si se refera ın

mod special la fenomenele dinamice;

- imprecizia ce rezulta din limbaj sau are un sens mai concret legat de

7

procesul de masurare;

- ”vagul” referitor la notiuni (sursele sale pot fi: limbajul, modul uman

de gandire, un tip de indeterminism aprioric).

Reamintim ca ın matematica traditionala (clasica) pentru ”a da multimi”

se folosesc doar proprietati perfect determinabile (pentru care se poate ras-

punde ın mod fara echivoc daca un obiect satisface sau nu aceasta propri-

etate). Decurge aceasta si din logica bivalenta ca ”temei” al matematicii

clasice.

Rezulta imediat ca un pot intra ın discutie proprietatile quasimetrice sau

perceptionale limitandu-se astfel posibilitatile de modelare a realitatii.

O largire relativa a campului de actiune al matematicii este adusa de

teoria aproximarii si de teoria probabilitatilor. Dar modul uman de a gandi

este mult mai nuantat si permite inferente cu notiuni cu sens vag, imprecis

si accepta cu naturalete proprietati quasimetrice sau necuantificabile.

Pentru a putea modela matematic astfel de situatii se impune largirea

acceptiunii notiunii de apartenenta, anume prin introducerea unei tranzitii

graduale de la apartenenta la ne-apartenenta. Aceasta se poate realiza in-

dicand o ”functie de apartenenta” (cu valori ın intervalul [0,1]). Atunci,

de exemplu, pentru cazul proprietatii ”numar mare capata sens asertiunea

ca un numar ”merita” eticheta de ”numar mare” ıntr-o masura mai mare

(sau mai mica) decat altul. Mai mult se va putea vorbi ulterior de multimea

numerelor ce pot fi considerate ”numere mari” ıntr-un anumit grad.

Revenind la cazul clasic amintim si ca data o submultime A0 ⊆ A (spunem

ca A0 ⊆ A daca ∀a ∈ A0, a ∈ A) aceasta este perfect determinata de asa

numita ”functie caracteriastica” a sa φA0 ∶ A→ 0,1, φA0(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1, x ∈ A0

0, in rest.

Ulterior 0,1 va fi ınlocuita cu [0,1] ın spiritul celor anterioare.

Acceptam si existenta multimii vide (notate ∅).Amintim si ca se noteaza

cu P(A) = A0∣A0 ⊆ A si ca vom lucra cu submultimi ale unei multimi

8

(multime universala).

Fie U o multime (universala) si A,B . . . ⊆ U Se definesc

- reuniunea A ∪B = x ∈ U ∣x ∈ A sau x ∈ B;- intersectia A ∩B = x ∈ U ∣x ∈ A si x ∈ B;- complementul A = x ∈ U ∣x ∉ A;- diferenta A/B = A ∩B;

- diferenta simetrica AB = (A/B) ∪ (B/A);- implicatia A→ B = A ∪B;

- echivalenta A↔ B = (A→ B) ∩ (B → A) = AB;

- produsul cartezian A ×B = (a, b)∣a ∈ A, b ∈ B.Utilizand functiile caracteristice vom avea:

φA ∶ U → 0,1, φB ∶ U → 0,1

φA∪B ∶ U → 0,1, φA∪B(x) =maxφA(x), φB(x)

φA∩B ∶ U → 0,1, φA∩B(x) =minφA(x), φB(x);

φA ∶ U → 0,1, φA(x) = 1 − φA(x),

9

2. Multimi nuantate (fuzzy)

Definitie: Prin multime fuzzy (sau multime nuantata) se ıntelege o

multime de perechi (x,µx) unde x este un obiect, iar µx este un numar

din intervalul [0,1].

Observatie: Notand prin U multimea obiectelor precizate anterior se

obtine µ ∶ U → [0,1], µ(x) = µx. Se ajunge la:

Definitie: Numim multime fuzzy (de univers U) un cuplu (U,µ), undeU este o multime nevida si µ ∶ U → [0,1] este o aplicatie.

µ mai poarta numele de submultime fuzzy a lui U , iar µ(x) poate fi

interpretat drept gradul de apartenenta al elementului x la submultimea

determinata de µ.

Exemple: i) Multimea (fuzzy) a arborilor (..putin, foarte..) ınalti: ac-

ceptand o clasificare de tipul .. arbore ınalt, arbore foarte ınalt.. si faptul ca

un arbore poate fi considerat, de exemplu, ınalt (foarte ınalt) cu diverse grade

de acceptare, daca ınaltimea sa h satisface 30m < h < 30m (25m < h < 35m),

atunci notand A multimea arborilor putem considera

.................

µınalt ∶ A→ [0,1]

µfoarte ınalt ∶ A→ [0,1]

..............

date de

10

5 10 15 20 25 30 35 40

mminalt

foarte inalt1

De exemplu, daca h este de 22,5 m, atunci gradul de apartenenta la

multimea arborilor ınalti este de 0.5.

Mentionam ca ın loc de triunghiuri putem utiliza, de exemplu, ”clopotul

lui Gauss”.

ii) Pentru calculul impozitelor ın concordanta cu veniturile se utlizeaza

de obicei un model tip ”functie scara”:

- venituri cuprinse ıntre 5001 si 20000 un impozit de 15%;

- pentru intervalul [20001,40000] un impozit 17%; etc.

Rezulta ca ar fi mai convenabil un venit de 20000 (impozit de 3000) ın

loc de 20200 (impozit de 3439).

Mai aproape de realitate este un model fuzzy: presupunem ca de la 500000

impozitul va fi de 35%.

Consideram µ ∶ [0,∞)→ [0,1]

µ(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 0 ≤ x ≤ 5000x−5000

500000−5000 , 5000 < x < 500000

1, x ≥ 500000.

Apoi, pentru un venit ın valoare de x, impozitul va fi de 0,35.µ(x)%.

S-a obtinut un model de tipul

µ(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, x ≤mx −mM −m

, m < x <M

1, x ≥M

11

unde m,M un o interpretare similara aceleia din exemplul anterior.

Alt model utilizat pentru indicatori ai dezvoltarii umane pleaca de la

µ(x) = 1

1 + e−a(x−b)

unde valoarile pentru a si b individualizeaza indicatorii.

Definitie: µ∅ ∈ F(U) definita de µ∅(x) = 0, ∀x ∈ U se numeste submultime

fuzzy vida a lui U . Mai notam prin ϕ.

Observatie: µU ∶ U → [0,1], µU(x) = 1, ∀x ∈ U poate fi numita si

submultime fuzzy totala a lui U . Mai notam prin U .

Notam cu F(U) familia tuturor submultimilor fuzzy ale lui U .

Observatie: Pentru orice H ⊆ U , functia φH ∶ U → 0,1 poate fi

interpretata ca avand codomeniul [0,1] si prin aceasta identificare rezulta

P(U) ⊆ F(U).Definitie:

i) Pentru µ, τ ∈ F(U), se spune ca µ este inclus ın τ , si scriem µ ⊆ τ, dacaµ(x) ≤ τ(x), ∀x ∈ U.

ii) Pentru µ, τ ∈ F(U), numim reuniune a submultimilor fuzzy µ si τ :

µ⊍ τ ∶ U → [0,1], (µ⊍ τ)(x) =maxµ(x), τ(x).

iii) Pentru µ, τ ∈ F(U), numim intersectie a submultimilor fuzzy µ si τ :

µ⩀ τ ∶ U → [0,1], (µ⩀ τ)(x) =minµ(x), τ(x).

iv) Pentru µ ∈ F(U), numim complement a lui µ submultimea fuzzy µ′ ∈F(U) asa ıncat µ′(x) = 1 − µ(x), ∀x ∈ U.

12

Observatie:

Pot fi definite si alte operatii ın F(U):”+”, data de µ + τ ∶ U → [0,1],

(µ + τ)(x) = µ(x) + τ(x) − µ(x)τ(x);

”⋅”, data de µ ⋅ τ ∶ U → [0,1],

(µ ⋅ τ)(x) = µ(x)τ(x);

”⊕”, data de µ⊕ τ ∶ U → [0,1],

(µ⊕ τ)(x) =min1, µ(x) + τ(x);

”⊙”, data de µ⊙ τ ∶ U → [0,1],

(µ⊙ τ)(x) =max0, µ(x) + τ(x) − 1.

Vom nota ın mod generic prin ∩t operatiile ⩀, ⋅ si ⊙, respectiv prin ∪toperatiile (corespondente) ⊍, +, ⊕.

In mod corespunzator se introduc operatiile derivate, de exemplu:

µt− η ∶ U → [0,1], µ t− η = µ ∩t η;

µtÐ→ η ∶ U → [0,1], µ tÐ→ η = µ ∪t η.

Definitie: Prin relatie fuzzy ıntre multimileX si Y se ıntelege o submultime

fuzzy a produsului cartezian X ×Y. In cazul ın care X = Y, se obtine o relatie

fuzzy pe X.

Daca ρ ∶ X × Y → [0,1], atunci ρ−1 ∶ Y ×X → [0,1], ρ−1(y, x) = ρ(x, y)este numita inversa relatiei fuzzy ρ.

Definitie: O relatie fuzzy ρ pe (X,µ) este numita:

i) relatie fuzzy reflexiva daca ρ(x,x) = µ(x),∀x ∈X;

13

ii) relatie fuzzy s-reflexiva daca ρ(x,x) = 1, ∀x ∈X;

iii) relatie fuzzy simetrica daca ρ(x, y) = ρ(y, x), pentru orice x, y ∈X;

iv) relatie fuzzy antisimetrica daca x ≠ y ⇒ ρ(x, y) ≠ ρ(y, x) sau ρ(x, y) =ρ(y, x) = 0, pentru orice x, y ∈X.

v) relatie fuzzy z-tranzitiva daca, pentru orice x, z ∈X avem

ρ(x, z) ≥ supy∈Xminρ(x, y), ρ(y, z),

In cazul tranzitivitatii se mai utilizeaza si alte variante: ρ este numita

relatie fuzzy w-tranzitiva daca ρ(x, y) ≥ supy∈Xmax0, ρ(x, y) + ρ(y, z) − 1,etc.

Definitie: O relatie fuzzy s-reflexiva, simetrica si z-transitiva mai este

numita relatie fuzzy de similitudine.

In unele lucrari s-reflexivitatea este ınlocuita cu reflexivitatea ceea ce

duce la invalidarea unora dintre proprietatile relatiilor respective.

Exemplu: daca X = [0,∞), ρ ∶X ×X → [0,1]

ρ(x, y) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1, daca x = y;

e−maxx,y, daca x ≠ y;

este o relatie de similitudine.

Propozitie. Relatia ρ ∶X ×X → [0,1] este o relatie de similutudine daca

si numai daca ∀α ∈ [0,1], ρ(X ×X)α este o relatie de echivalenta pe X.

14

3. Numere nuantate (fuzzy)

Puternica proliferare a aplicatiilor potenteaza interesul pentru studiul nu-

merelor fuzzy ınca suficient aprofundate din punct de vedere teoretic. Vom

prezenta pe scurt problemele principale relative la numere fuzzy.

Definitie: Numim numar fuzzy o aplicate µ ∶ R → [0,1] (unde R este

multimea numerelor reale) convexa, asa ıncat:

i) exista xµ ∈ R astfel ıncat µ(xµ) = 1;

ii) multimea x∣µ(x) ≠ 0 este marginita.

Pentru orice r ∈ R, aplicatia

r ∶ R→ [0,1], r(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1, daca x = r;

0, ın caz contrar,

este numit numar fuzzy degenerat.

De obicei, se utilizeaza numere fuzzy de tipul urmator:

(∗) µ(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, daca x < a

π1(x), daca x ∈ [a, b)

1, daca x ∈ [b, c];

π2(x), daca x ∈ (c, d]

0, daca x > d

unde a ≤ b ≤ c ≤ d sunt numere reale si π1, π2 ∶ R→ R sunt astfel ınca conditiile

cerute de definitie sunt satisfacute.

Daca π1(x) = x−ab−a , π2(x) = d−x

d−c , µ este numit numar fuzzy trapezoidal si

daca, ın plus, b = c, µ este numit numar fuzzy triunghiular. Notam cu (a, b, c)un numar fuzzy triunghiular.

15

Semnificatia numerelor a, b, c poate fi:

a(b)=cea mai mica (mare) valoare posibila;

c=cea mai probabila valoare.

Diferenta c − a poate fi interpretata drept ”cantitatea de incertitudine”

continuta de numarul fuzzy triunghiular (a, b, c).Mai mult, pentru (a, b, c), b − a respectiv c− b reprezinta, indeterminarea

(incertitudinea) la stanga respectiv dreapta. Notand λ = b − a, ρ = c − bobtinem o noua reprezentare a numerelor fuzzy triunghiulare, anume (b, λ, ρ).Pentru (a, b, c), λ = b−a, ρ = c−b si din (b, λ, ρ) obtinem reprezentarea (a, b, c)unde a = b − λ, c = b + ρ.

In problema ordonarii numerelor fuzzy (ın cazul numerelor fuzzy triun-

ghiulare), asociem numarului A = (a, b, c) fuzzy un numar dat de

A = ka + 2(2 − k)b + kc4

(k ∈ N)

Atunci A ≼ B daca:

c1 ≤ a2,

sau a2 ≤ c1, dar A < B,

sau a2 ≤ c1, A = B, dar b1 < b2,

sau a2 = c1, A = B, b1 = b2 dar c1 − a1 < c2 − a2.

De exemplu, fie A1 = (−2,3,5), A2 = (−1,3,7), A3 = (0,2,8), A4 =(−1,3,5), A5 = (−2,3,8), A6 = (1,2,7). Avem (pentru k = 1),

A1 =9

4, A2 = 3, A3 = 3, A4 =

5

2, A5 = 3, A6 = 3

deci

A3 ≼ A1 ≼ A4 ≼ A6 ≼ A5 ≼ A2.

16

In legatura cu operatiile cu numere fuzzy definim:

(a, λ, ρ)⊕ (b, λ′, ρ′) = (a + b,maxλ,λ′,maxρ, ρ′);

(a,λ, ρ)⊙ (b, λ′, ρ′) = (ab,maxλ,λ′,maxρ, ρ′)

si relatia ”∼” data de

(a, λ, ρ) ∼ (b, λ′, ρ′)daca⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

a = b

λ − λ′ = ρ − ρ′.

Se obtine ca

(i) ⊕,⊙ sunt comutative si asociative;

(ii) ⊙ este distributiva ın relatie cu ⊕;

(iii) (0,0,0) este element neutru relativ la ⊕; (1,0,0) este element neutru

relativ la ⊙;

(iv) (a, λ, ρ)⊕ (−a, ρ, λ) ∼ (0,0,0); daca a ≠ 0 (a, λ, ρ)⊙ ( 1a , ρ, λ) ∼ (1,0,0);

(v) ”∼” este relatie de echivalenta pe Rt.

17

4. Probabilitati nuantate (fuzzy) si aplicatii

In cazul clasic fie Ω ≠ ∅.Definitie: Prin camp de evenimente (relativ la Ω) se ıntelege K ⊆ P(Ω)

asa ıncat:

i) Ω ∈K;

ii) A,B ∈K ⇒ A ∪B ∈K;

iii) A ∈K ⇒ A ∈K.

Observatie: Fie K un camp de evenimente. Avem:

i) A,B ∈K ⇒ A ∩B ∈K;

ii) A,B ∈K ⇒ A/B ∈K;

iii) A,B ∈K ⇒ A→ B ∈K;

iv) A,B ∈K ⇒ AB ∈K;

v) A,B ∈K ⇒ A↔ B ∈K;

vi) ∅ ∈K.

Fie K un camp de evenimente.

Definitie: Prin probabilitate pe K se ıntelege P ∶K → [0,1] astfel ıncat:

i) P (Ω) = 1;

ii) A ∩B = ∅⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B).

Observatie: Avem:

i) P (∅) = 0;

18

ii) P (A) = 1 − P (A);

iii) P (A/B) = P (A) − P (A ∩B);

iv) P (A ∩B) + P (A ∪B) = P (A) + P (B);

v) P (A→ B) = 1 − P (A) + P (A ∩B);

vi) P (A) + P (A→ B) = P (B) + P (B → A).

Observatie: Daca P ∶ K → [0,1] satisface P (∅) = 0, P (Ω) = 1, atunciii), (din definitie) si vi) (din observatie) sunt echivalente.

In cazul fuzzy fie Ω ≠ ∅ si F(Ω) si ∩t,∪t fixate.Prin camp de evenimente fuzzy se ıntelege K ⊆ F(Ω) asa ıncat:

i) Ω ∈K

ii) µ, η ∈K ⇒ µ⋃t η ∈K;

iii) µ ∈K ⇒ µ ∈K.

Observatie: Avem:

i) ϕ ∈K;

ii) µ, η ∈K ⇒ µ⋂t η ∈K; µt− η ∈K, µ

t→ η ∈K;

iii) (µ ∈K ⇒ µ ∈K)⇔ (µ, η ∈K ⇒ µt− η ∈K)⇔ (µ, η ∈K ⇒ µ

t→ η ∈K).

Fie K un camp de evenimente fuzzy.

Definitie: Prin probabilitate pe K se ıntelege P ∶K → [0,1] asa ıncat

i) P (Ω) = 1

ii) µ⋂t η = ϕ⇒ P (µ⋃t η) = P (µ) + P (η).

19

In cazul cuplului ⩀,⊍, presupunand ca µ, η ∈ K ⇒ µ⩀η ∈ K, vom nota

P (µ/η) = P (µ⩀ η)/P (η)(P (η) ≠ 0).

Propozitie:

P (µ/η) = P (µ)P (η/µ)P (µ)P (η/µ) + P (η)P (µ/η)

.

Propozitie: Daca µ1, . . . , µn ∈K si µi⩀µj = ∅ pentru orice i ≠ j, atunciP (µ1⋃t, . . . ,⋃t µn) = P (µ1) + . . . + P (µn).

Urmatorul pas consta ın ınlocuirea intervalului [0,1] (ın definitia proba-

biliatii) cu

It = (a, λ, ρ) ∈ Rt/λ ≤ a, ρ ≤ 1 − a, a ∈ [0,1].

Observatie: Daca (a, λ, ρ) este asa ıncat a ∈ [0,1], atunci exista (a′, λ′, ρ′) ∈It asa ıncat (a,λ, ρ) ∼ (a′, λ′, ρ′).

Fie K un camp de evenimente fuzzy.

Definitie: Prin probabilitate pe K se ıntelege P ∶K → It asa ıncat

i) P (ϕ) = 0;

ii) µ⋂t η = ϕ⇒ P (µ⋃t η) ∼ P (µ)⊕ P (η);

iii) Daca P (µ) = (α,λ, ρ) atunci P (µ) = (1 − a, ρ, λ).

Obsevatie: Pentru a obtine mai multe proprietati ii), poate fi ınlocuita

prin ii′) P (µ)⊕ P (η) ∼ P (µ⋂t η) ⊞ P (µ⋃t η).O alta posibilitate consta ın considerarea operatiilor:

(a, λ, ρ)+(a′, λ′, ρ′) = (a+ a′ − aa′, a+ a′ − aa′ −maxa+λ, a′ +λ′,mina+ρ + a′ + ρ′,1 − a − a′ + aa′)(a, λ, ρ)⋅(a′, λ′, ρ) = (aa′, aa′−maxa−λ+a′−λ′−1,0mina+ρ, a′+ρ′−aa′)Pentru cazul scrierii (a, b, c) (a ≤ b ≤ c), operatiile devin

(a, b, c)+(a′, b′, c′) = (maxa, a′, b + b′ − bb′,minc + c′,1)

20

(a, b, c)⋅(a′, b′, c′) = (maxa + a′ − 1,0, bb′,minc, c′).

Observatie:

0 ≤maxa, a′ ≤ b + b′ − bb′ ≤minc + c′,1 ≤ 1

0 ≤maxa + a′ − 1,0 ≤ bb′ ≤minc, c′ ≤ 11.

Putem atunci propune:

Definitie: Prin probabilitate fuzzy se ıntelege P ∶K → It asa ıncat

i) P (Ω) = (1,1,1), P (ϕ) = (0,0,0);

ii) P (µ)+P (η) = P (µ⋂t η)+P (µ⋃t η);

iii) µ ≤ η, P (µ) ≲ P (η).

In final vom prezenta doua aplicatii:

1. Introducerea jocurilor fuzzy are ın vedere faptul ca, ın general, informatiile

utilizate de jucatori ın luarea deciziilor sunt ın cea mai mare parte de na-

tura perceptionala (cunoastere de natura euristica). Pentru exemplificare

consideram jocurile de 2 persoane.

Precizam ıntai ca prin matrice fuzzy se ıntelege o matrice cu elemen-

tele numere fuzzy operatiile cu matrice fiind cele ce deriva din operatiile cu

numere fuzzy definite anterior.

Fie un joc de doua persoane, ne-cooperativ. Notam jucatorii cu G1,G2 si

multimile corespunzatoare de strategii X = x1, . . . , xm si Y = y1, . . . , yn.Presupunem ca oricare dintre strategii poate fi utilizata ıntr-un procent

cuprins ıntre 0% si 100% Intrucat modul uman de a gandi foloseste cu

predilectie atribute lingvistice consideram A = a1, . . . , ak (multime de atri-

bute lingvistice) reprezentate de µ1, . . . , µk (asa ıncat pentru orice x ∈ [0,100]exista cel mult doua µi, µj, (i ≠ j) pentru care µi(x) ≠ 0 ≠ µj(x). De exemplu,

ın cazul A = mic,mediu,mare putem avea

21

mic mediu mare

1

50 1001

Pentru orice pereche (xi, ak), (yj, ah)G1 siG2 se stabilesc indici de preferinta

(numere ıntre 0 si 1) H(ℓ,h)1(i,j) si respectiv H

(ℓ,h)2(i,j).

Fie strategiile xi, yi utilizate ın procent de x respectiv y.

Practic se obtine o rafinare (se obtin strategii noi) anume xi(x), yj(y).Pentru x(y) exista cel mult doua µp, µq pentru care µp(x) ≠ 0 ≠ µq(x)

(respectiv µr, µs pentru care µr(y) ≠ 0 ≠ µs(y)).Pentru (xi(x), yj(y)) consideram

Hxi(x),yj(y)1 = (minµp(x), µr(y)Hp,r

1(i,j) +minµp(x), µs(y)H(p,s)1(i,j)+

+minµq(x), µr(y)Hq,r1(i,j) +minµq(x), µs(y)H(q,s)1(i,j))/

(minµp(x), µr(y) +minµp(x), µs(y) +minµq(x), µr(y)+

+minµq(x), µs(y)),

si analog Hxi(x)yj(y)2 .

Se ajunge la cazul clasic al jocurilor matriceale.

Rezulta ca orice joc fuzzy de tipul prezentat anterior admite solutie (ın

sens Nash).

2. In cazul in care apar operatii aritmetice (de exemplu, ın calculul

primelor de asigurare) se pot utiliza tehnicile fuzzy dupa cum urmeaza. Ne

vom ocupa de cazul general al sumelor de forma:

Γ = S0 +S1

1 + i1+ . . . + Sn

1 + in.

22

Este plauzibila situtia ın care previziunile pentru rata procentuala ik sa

fie mai corect exprimate prin triplete ik = (rk,mk, sk); altfel spus prin nu-

mere fuzzy triunghiulare. Interpretarea este aceea ca valoarea ratei procen-

tuale pentru anul k poate fi estimata ca fiind cuprinsa ıntre rk si sk, iar

cea mai probabila estimare este mk. De remarcat ca acest numar fuzzy re-

prezinta ın mod suficient de exact atributele lingvistice cu impact ın teoria

asigurarilor. De exemplu (55,70,75) reprezinta multimea oamenilor batrani,

iar (70,80,90) multimea oamenilor foarte batrani. In mod grafic avem:

50 60 70 80 90

1,0

0,5

0,3

0,2

Atunci, de exemplu, o persoana avand 60 ani poate fi considerata batrana

cu gradul de apartenenta la multimea oamenilor batrani 0,3 (conform figurii

anterioare). La 68 ani avem ca gradul de apartenenta la multimea oameni-

lor batrani este de 0,2, iar cel de apartenenta la multimea oamenilor foarte

batrani este 0,5. O alta modalitate de reprezentare a multimii oamenilor

batrani (discutia va fi reluata la sfarsitul paragrafului) ar fi cea reprezentata

de graficul:

Abordarea prin intermediul numerelor fuzzy triunghiulare aduce o corecta

trecere ıntre nivelurile ce se ıntalnesc ın tabelele statistice ce discretizeaza

caracteristici continue (de exemplu, varsta, timpul, etc.).

23

10

1

20 30 40 50 60 70

In acest context pentru calculul lui Γ, ın situatia ik = (rk,mk, sk) vomavea intervalele de incredere (ik)α = [rk(α), sk(α)] si:

Γα =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

S0 + S1

1+s1(α) +S2

(1+s1(α))(1+s2(α)) + . . . +Sn

(1+s1(α))...(1+sn(α)) ,

S0 + S1

1+r1(α) +S2

(1+r1(α))(1+s2(α)) + . . . +Sn

(1+r1(α))...(1+rn(α)) ,

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Se deduce astfel valoarea lui Γ ca numar fuzzy triunghiular.

De exemplu: pentru

i1 = (8,10,13), (i1)α = [8 + 2α,13 − 3α];

i2 = (9,12,15), (i2)α = [9 + 3α,15 − 3α];

i3 = (7,10,12), (i3) = [7 + 3α,12 − 2α],

exprimate ın procente luand S0 = 3000, S1 = 5000, S2 = 4000, S3 = 2000

obtinem: Γ = (11876,12267,12615). In cazul Sk = (S1k , S

2k , S

3k) (si ik = (rk,mk, sk))

ın prima varianta se obtine ca:

Γ = (n

∑k=0

S1krk,

n

∑k=0

S2knk,

n

∑k=0

S3ksk) .

Pentru a evita ”diluarea” informatiei (amintita anterior) pot fi utilizate noile

operatii definite anterior ⊕ si ⊙.

24