analiza elektronskih kola - leda laboratory for electronic...

1

Analiza kola

Analiza elektronskih kola1. Uvod2. Analiza linearnih kola u DC domenu

(jednosmerni režim)3. Analiza linearnih kola u AC domenu

(frekvencijski domen)4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu5. Analiza linearnih kola u TR domenu

(vremenski domen)6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu

2

Analiza kola





3

Analiza kola

Matematički model3. Linearne

diferencijalne jednačine

Ponašanje linearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu domenu opisuje se sistemom linearnih

diferencijalnih jednačina

0)()(

0)(C)(R

)()(

)(iR

)()(

L2

21L

1

12

1

21

=−

=++−

=−

dttdiLtv

dttdvtitvtv

ttvtv

v1(t)

1 2

v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

Tip kola i analize3. Linearna reaktivna u

TR domenu

4

Analiza kola

Matematički model1. i 2. Linearne jednačine

(realne i kompleksne)

3. Nelinearne algebarske jednačine

4. Linearne diferencijalne jednačine

5. Nelinearne diferencijalne jednačine

Način rešavanja sistema j-na1. i 2. LU faktorizacija

(Gauss)3. Linearizacija - Iterativno

svođenje na linearne algebarske (Newton-Kantorovič)

4. Numeričko integraljenje -diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler)

5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno svođenje na linearne

5

Analiza kola

0)()(

0)(C)(R

)()(

)(iR

)()(

2

21L

1

12

1

21

=−

=++−

=−

dttdiLtv

dttdvtitvtv

ttvtv1 2

v1(t) v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

)(xfdtdxx ==&

hxx

h)x(t)tx(

tt)x(t)tx()t(x

n1nn1n

n1n

n1n1n

−=

−=

−−

=++

+

++&

Diskretizacija vremenske ose

6

Analiza kola

0)()(

0)(C)(R

)()(

)(iR

)()(

2

21L

1

12

1

21

=−

=++−

=−

dttdiLtv

dttdvtitvtv

ttvtv1 2


R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

0)()()(

0)()(C)(R

)()(

)(iR

)()(

L1L12

21211L

1

1112

11

1211

=−

−

=−

++−

=−

++

++

++

+++

htitiLtv

htvtvtitvtv

ttvtv

nnn

nnn

nn

nnn

7

Analiza kola

1 2


R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

nL

nL

n

nnL

nn

nn

ihLi

hLv

vh

ivh

v

vv

−=−

=+++−

=−

++

+++

+++

112

2111

21

1

11

1

1n12

1

11

1

C)CR1(

R1

iR1

R1

)(

)(

)(

11

121

2

111

1

++

++

++

=

=

=

nLnL

nn

nn

tiitvvtvv

8

Analiza kola

1 2


R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

nL

nL

n

nnL

nn

nn

ihLi

hLv

vh

ivh

v

vv

−=−

=+++−

=−

++

+++

+++

112

2111

21

1

11

1

1n12

1

11

1

C)CR1(

R1

iR1

R1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−

− +

+

+

+

nL

n

n

nL

n

n

ihL

vhC

ivv

hL

h1

21

1

1

12

11

1

1

11

11i

10

1CR1

R1

0R1

R1

Sistem linearnih jednačina

nn ivG~

=⋅ +1

9

Analiza kola

Linearne diferencijalne jednačine

Linearne algebarske jednačine

Dis

kre

tiza

cija

vrem

ensk

a pe

tlja

10

Analiza kola

Diskretizacija vremenske ose.

Da bi se našlo rešenje u trenutku t=tn+1, potrebno je da se zna rešenje za trenutak t=tn.

Potrebno je definisati granične uslove za t=0.

Za analizu kola u intervalu do 50ms sa korakom 5µs potrebno je formirati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina 10 000 puta!

11

Analiza kola

Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu

nC

1nC

1nC

nC

1nC

1nC

nC

1nC1n

C

CC

vhCv

hCi

)v(vhCi

h)v(vCi

dtdvCi

+=

−=

−=

=

++

++

++

12

Analiza kola


nC

1nC

1nC

nC

1nC

1nC

nC

1nC1n

C

CC

vhCv

hCi

)v(vhCi

h)v(vCi

dtdvCi

+=

−=

−=

=

++

++

++

13

Analiza kola


Struja iC(tn+1) ima dve komponente:Jedna zavisi od napona vC (tn+1) a druga od vC(tn)

nC

1nC

1nC v

hCv

hCi −=

++

hCG C =

1nCv +

1nCi

+(t)iC

(t) vC nC

nC v

hCi =

14

Analiza kola


)v(v hC n

jni

−−j

i

SVvjn+1Vi

n+1j / v

hC

hC

hC −

hC −

)v(v hC nn

ji−

15

Analiza kola

Primena Eulerove formule na induktivnu granu

nL

1nL

1nL

nL

1nL

1nL

nL

1nL1n

L

LL

ihLi

hLv

)i(ihLv

h)i(iLv

dtdiLv

−=

−=

−=

=

++

++

++

1nCi

+

16

Analiza kola


Napon vL(tn+1) ima dve komponente:Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)

nL

1nL

1nL i

hLi

hLv −=

++

hLRL =

v 1nL

+

nL

nLs i

hL v =

1nLi

+)(tiL

(t)vL

17

Analiza kola


nLs

1nLL

nL

1nL

1nj

1ni

1nL viRi

hLi

hLvvv +=−=−=

+++++

nLs

1nLL

1nj

1ni viRvv =−−

+++

18

Analiza kola


vn

Ls-RL-11NJL

-1j

1i

SViLn+1vj

n+1vi n+1j / v

nLs

1nLL

1nj

1ni viRvv =−−

+++11

U čvor j utiče struja iLn+1 -1 iL

n+1

Nova jednačina

Iz čvora i ističe struja iLn+1 1 iL

n+1

19

Analiza kola


Napon vL(tn+1) ima dve komponente:Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)

nL

1nL

1nL iv

Lhi +=

++

v 1nL

+

LhG L =

nLi

1nLi

+)(tiL

(t)vL

20

Analiza kola


i nL−-1-h/Lh/LNJL

-1j

1i

SViLn+1vj

n+1vi n+1j / v

nL

1nL

1nL iv

Lhi +=

++

21

Analiza kola

Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti

22

Analiza kola


23

Analiza kola


n222

1n222

n121

1n121

1n2

n212

n111

1n212

1n111

1n1

n2

21n2

2n1

1n1

1n2

n2

1n2

n1

11n1

11n1

iRiRiRiRv

iRiRiRiRv

ih

Lih

LihMi

hMv

ihMi

hMi

hLi

hLv

−+−=

−−+=

−+−=

−+−=

+++

+++

+++

+++

24

Analiza kola


nMS2

1n222

1n121

1n2

nMS1

1n212

1n111

1n1

viRiRv

viRiRv

++=

++=

+++

+++

25

Analiza kola


nMS2

1n222

1n121

1n2

nMS1

1n212

1n111

1n1

viRiRv

viRiRv

++=

++=

+++

+++

26

Analiza kola


vms2n-R22-R21-11NJ2

vms1n-R12-R11-11NJ1

-1q

1p

-1j

1i

SVi2 n+1i1

n+1vqn+1vp

n+1vjn+1vi

n+1j / v

27

Analiza kola

Algoritam

28

Analiza kola

Zadavanje graničnih uslova, t=0, n=0

Vin= Vi

0, i=1,…,N

Rešavanje sistema linearnih jednačina, Vi

n+1, i=1,…,N

Formulacija sistema linearnih algebarskih jednačina

t > Tkraj

Štampanje Vin+1

t=t+h, n = n +1

Vin =Vi

n+1, i=1,…,N

kraj

ne

da

29

Analiza kola

Analiza greške diskretizacije

Intuitivno je jasno (a znanja iz numeričke matematike to potvrđuje) da diskretizacija unesi određenu grešku, i da može da se očekuje da greška bude manja ako je korak diskretizacije manji i ako je promena sporija.Želimo da utvrdimo

-koliko iznosi greška i -od čega zavisi.

30

Analiza kola


Neka je x(tn+1) tačna vrednost a xn+1 izračunata vrednost pomenljive x.Tada je lokalna greška zaokruživanja

(Local trncation Error, LTE)εTx= x(tn+1) - xn+1

31

Analiza kolaAnaliza greške diskretizacije

Razvojem funkcije x(t) u Tajlorov red u okolini tačke t=tn+1 dobija se

...xh21xh)x(t)x(t

...xh21xh)x(t)x(t

tth

...x)t(t21x)t(t)x(t)x(t

tt za

...x)t(t21x)t(t)x(tx(t)

1n1n

1n1n

1n1n

1n1n

tt2

ttn1n

tt2

tt1nn

n1n

tt2

1nntt1nn1nn

n

tt2

1ntt1n1n

−−+=

++−=

−=

+−+−+=

=

+−+−+=

++

++

++

++

==+

==+

+

=+=++

=+=++

&&&

&&&

&&&

&&&

,

32

Analiza kola


Na osnovu

1nttn1n xhxx

+=+ += &

sledi da je približna vrednost promenljive x u trenutku t=tn+1

hxx

h)x(t)tx(

tt)x(t)tx()t(x

n1nn1n

n1n

n1n1n

−=

−=

−−

=++

+

++&

1ntt1n

1nTx xhx)x(tε+=

++ −=−= &&2

Ako se pretpostavi da je u t=tn, poznato tačno rešenje i da jex(tn)=xn, tada je

33

Analiza kola


1ntt1n

1nTx xhx)x(tε+=

++ −=−= &&2

Lokalna greška zaokruživanja (local truncation error LTE)proporcionalna je kvadratu veličine koraka h i

brzini promene signala

LTEVremenski korak hBrzina odziva

34

Analiza kola

...xh21

h)x(t)x(t)(txx

tth

...x)t(t21x)t(t)x(t)x(t

tt za

...x)t(t21x)t(t)x(tx(t)

1n1n

1n1n

1n1n

ttn1n

1ntt

n1n

tt2

1nntt1nn1nn

n

tt2

1ntt1n1n

++−

==

−=

+−+−+=

=

+−+−+=

++

++

++

=+

+=

+

=+=++

=+=++

&&&&

&&&

&&&

,


Tokom izračunavanja izvod pravi se, takođe, lokalna greška zaokruživanja izvoda

1n1nTd x)(txε +

+ −= &&

35

Analiza kolaAnaliza greške diskretizacije

Znajući da je

1n

1n

1n

ttTd

ttTd

n1ntt

n1nTd

1n1nTd

xh21ε

...xh21ε

h)x(t)x(t...xh

21

h)x(t)x(tε

x)(txε

+

+

+

=

=

+=

+

++

≈

+=

−−++

−=

−=

&&

&&

&&

&&

h)x(t)x(tx n1n1n −

= ++&

sledi

36

Analiza kola

LTE izvodaVremenski korak hBrzina odziva

Lokalna greška zaokruživanja izvoda (LTE izvoda)proporcionalna je veličini koraka h i

brzini promene signala


37

Analiza kola


Greška je manja za monotone odzive jer se izvod aproksimira pravom linijom

1ntt1n

1nTx xhx)x(tε+=

++ −=−= &&2

1nttTd xh21ε

+== &&

38

Analiza kola

Izbor koraka diskretizacije

Izbor koraka diskretizacije

Kako izabrati pravu veličinu koraka?Korak se bira na osnovu elemenata kola i/ili na

osnovu brzine promene signala pobude.

39


Naravno, ako je ograničavajuća promena u kolu diktirana brzinom pobude tada se izabere korak

koji je u stanju da prati pobudu.

Brzina promene signala u kolu zavisi od vrednosti vremenskih konstanti u kolu.

Dobra je praksa da se izabere korak h < τ/100 gde je τ lokalna vremenska konstanta.

Bira se najmanji korak

40

Primer

RC kolo τ=1ms

Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

41

Primer

RC kolo τ=1ms

Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

5.00003.855433.697113.678791E-3

9.090919.052879.048371E-4

9.00999.9004981E-5

00000

h=1msh=0.1msh=0.01mstačnot

42

Odziv RC kola τ=1ms

•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

43

h=10-3

h=10-4

apsolutna greška


44

relativna greška•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

45



Greška je proporcionalna veličini koraka h i brzini promene signala x&&

Da bi se zadržala konstantna greška, treba smanjiti korak tamo gde je brzina promene signala veća i

obrnuto.Ovo je iskorišćeno u algoritmima za automatsku

kontrolu koraka (Spice)

46


Analiza greške diskretizacijePrimer:

Neka je odziv sinusna funkcija sa amplitudom V=4V i periodom T=5ms. Odrediti minimalni korak da bi

maksimalna LTE bila εTx= 10-4V dobija se:

5,6µ,hV/s106,3tT2π

T2π4x

x2εh

min262

Txmin

=⇒⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

sin&&

&&

8925,6µ,5ms

hTN ≈==

Za jednu periodu !!!

47



Greška može da se nagomilava Ukoliko se ne povećava greška kaže se da je rešenje

stabilno 48


Višekoračna integraciona pravila

Bolja tačnost, manje LTEza dati korak postiže se boljom aproksimacijom izvoda

k - broj koraka

49


Primer Oscilator

50

Analiza kola

Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu

51

Analiza kola





52

Analiza kola

Matematički model5. Nelinearne

diferencijalne jednačine

Ponašanje nelinearnih reaktivnih kolau vremenskom domenu domenu opisuje se sistemom nelinearnih

diferencijalnih jednačina

0)(C)1(eIR

)()(

)(iR

)()(

2V)(

s1

12

1

21

2

=∂

∂+−+

−

=−

ttvtvtv

ttvtv

T

tv1nF

V2

1 2

V1id

R1 1kC1

D1

DIODE PIN

i(t)=510-3cos(2πft+ϕ)

Tip kola i analize5. Neinearna reaktivna

u TR domenu

53

Analiza kola

Tipovi kola i analize

1. Linearna otporna DC domen

2. Linearna reaktivna AC domen

3. Linearna reaktivna TR domen

4. Nelinearna otporna DC domen

5. Nelinearna reaktivna TR domen

Matematički model

1. Linearne algebarske jednačine

2. Linearne algebarske jednačine (kompleksne)

3. Linearne diferencijalne jednačine



54

Analiza kola

Matematički model1. i 2. Linearne jednačine

(realne i kompleksne)3. Linearne diferencijalne

jednačine



Način rešavanja sistema j-na1. i 2. LU faktorizacija (Gauss)3. Numeričko integraljenje -

diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler)

4. Linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske (Newton-Kantorovič)

5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske

55

Analiza kola

Nelinearne diferencijalne jednačine

Nelinearne algebarske jednačine

Linearne algebarske jednačine

Lin

eari

zaci

jaD

iskre

tiza

cija

itera

tivna

pet

lja

vrem

ensk

a pe

tlja

56


Algoritam

57

Analiza kolaIzračunavanje graničnih uslova, t=0, n=0

Vin= Vi

0, i=1,…,N

Formulacija i rešavanje sistema linearnih algeb.jednačina, Vi

n+1,m+1, i=1,…,N

t > Tkraj

Štampanje Vin+1,m+1

t=t+h, n = n +1, m = 0

Vin =Vi

n+1,m+1, i=1,…,N

kraj

ne

da

m = m +1

Izračunavanje greške δ=| Vi

n+1,m+1 /Vin+1,m-1|

δ < ε ne

da

Vin+1,m =Vi

n+1,m+1, i=1,…,N

58


Nelinearna kapacitivna grana

59



60



61



62



63


Nelinearna induktivna grana

64



65



66


Problemi primene

1. Početak analizeKrene se sa jednokoračnim pravilom sa h/8

h/8

h/4h/2

h2h

3h

67


Problemi primene

2. h može da se izračuna za naredni korak, ali ta vrednost ne mora da bude prihvatljiva

suviše veliko h – nestabilno suviše malo h, dugo traje analiza ali i C/h može da postane suviše veliko

Zato se u algoritmima ograničava ho/100 < h < 100 ho

68


Problemi primene

3. Iterativni postupak u trenutku t=tn+1 počinje sa rešenjem dobijenim u t=tn (prediktor); ovo ne mora da bude dobro ako je korak veliki.

4. Skokovita promena pobude korekcija, polovi se korak, ako to ne pomogne, modifikuje se kolo G prema masi (poveća se vrednost lokalnih vremenskih konstanti)

5. Uštede u formiranju matrice (unutar algoritma)

69

Sledeće nedelje:Optimizacija elektronskih kola 1-Izračunavanje koeficijenata osetljivosti-Telegenova teorema

analiza elektronskih kola - leda laboratory for electronic...

Documents