analiz a matematic a - curs 1 mult˘imile rk...

Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale

Multimea RSpatiul Rk

Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R

Analiza matematica - curs 1Multimile R, R, Rk . Elemente de topologie

Facultatea de Mecanica

Universitatea Tehnica “Gh. Asachi”, Iasi

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1




Verificare

70% teza scrisa (35% partial saptamana a 9-a, care se ia ın considerare la final,daca nota este ≥ 5)

20% activitatea seminar

10% studiu individual





Bibliografie

Manuale AM clasele XI-XII (Nastasescu et. al.).

Cursuri ın limba romana

I. Craciun, Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.

M. Nicolescu, Analiza matematica, Vol. I si II, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1971.

R. Strugariu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Performantica, Iasi,2013.

Culegeri

L. Arama, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferential si integral,Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978

Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential siintegral, vol.II, III, Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978.

S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1989.

I. Nistor, Probleme de analiza matematica, vol. I, II, Editura Cermi, 2003.

Web

http://math.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri.html





Multimea numerelor reale

In continuare vom nota prin:

R+ – multimea numerelor pozitive;

R∗+ – multimea numerelor strict pozitive;

R− – multimea numerelor negative;

R∗− – multimea numerelor strict negative.

Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.

Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:

(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}, numit interval deschis;

[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, numit interval ınchis;

(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}, numit interval deschis ın a, ınchis ın b;

[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}, numit interval ınchis ın a, deschis ın b.

Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite. De asemenea,definim si urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:

(−∞, a) := {x ∈ R | x < a};(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;

(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;

[a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;

(−∞,+∞) := R.











Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:





Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite.

De asemenea,definim si urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:

(−∞, a) := {x ∈ R | x < a};(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;

(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;

[a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;

(−∞,+∞) := R.











Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:





Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite. De asemenea,definim si urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:

(−∞, a) := {x ∈ R | x < a};(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;

(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;

[a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;

(−∞,+∞) := R.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1

Fie A o multime de numere reale.

1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.

Exemplul 2.2

1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1

Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.

2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.

Exemplul 2.2

1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1

Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.

3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.

Exemplul 2.2

1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1

Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.

Exemplul 2.2

1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1


Exemplul 2.2

1. N.

2. Z.3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1


Exemplul 2.2

1. N.2. Z.

3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Majorant. Minorant

Definitia 2.1


Exemplul 2.2

1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).

4. A =

{1

n| n ∈ N∗

}.





Supremum. Infimum

Definitia 2.3

1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:

(i) M este un majorant al multimii A :

a ≤ M, ∀a ∈ A;

(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :

(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.

2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:(i) m este un minorant al multimii A :

m ≤ a, ∀a ∈ A;

(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :

(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.





Supremum. Infimum

Definitia 2.3

1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:(i) M este un majorant al multimii A :

a ≤ M, ∀a ∈ A;


(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.


m ≤ a, ∀a ∈ A;


(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.





Supremum. Infimum

Definitia 2.3


a ≤ M, ∀a ∈ A;


(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.

2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:

(i) m este un minorant al multimii A :

m ≤ a, ∀a ∈ A;


(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.





Supremum. Infimum

Definitia 2.3


a ≤ M, ∀a ∈ A;


(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.


m ≤ a, ∀a ∈ A;


(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.





Caracterizari ale supremumului si infimumului

Teorema 2.4

1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.

2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.

Observatia 2.5

1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.2. Daca A =

{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2

}atunci sup A =

√2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q este

un corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.

Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind)

Orice submultime nevida a lui R care este majorata admite cel putin o marginesuperioara ın R, adica exista sup A ∈ R.






Teorema 2.4

1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.

Observatia 2.5


{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2

}atunci sup A =










Teorema 2.4


Observatia 2.5

1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.

2. Daca A ={

q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2}

atunci sup A =√

2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q esteun corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.








Teorema 2.4


Observatia 2.5


{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2

}atunci sup A =









Proprietatea lui Arhimede. Densitatea lui Q ın R

Teorema 2.6 (Proprietatea lui Arhimede)

Daca x si y sunt numere reale strict pozitive, atunci exista n ∈ N astfel ıncat nx > y.

Observatia 2.7

1. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := ε > 0 oarecare si y := 1, obtinem

ca exista n ∈ N∗ astfel ıncat1

n< ε. De aici rezulta ca inf

{1

n| n ∈ N∗

}= 0.

2. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := 1 si y := a > 0, obtinem ca existan ∈ N astfel ıncat a < n.

Teorema 2.8 (Densitatea lui Q ın R)

Intre orice doua numere reale distincte se afla cel putin un numar rational.





Multimea RMultimea R ∪ {−∞,+∞} o vom nota cu R si o vom numi dreapta reala ıncheiatasau compactificata. Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R prin:

−∞ < x , x < +∞, −∞ < +∞, ∀x ∈ R.

De asemenea, prelungim si operatiile algebrice din R la R, fara a fi ınsa definite pestetot:x +∞ =∞+ x =∞, ∀x ∈ R \ {−∞}x + (−∞) = −∞+ x = −∞, ∀x ∈ R \ {+∞}∞ · x = x · ∞ =∞, pentru x > 0 si x ∈ R∞ · x = x · ∞ = −∞, pentru x < 0 si x ∈ R.

Urmatoarele operatii sunt nedefinite (se mai numesc si nedeterminari, si vor fi reluatemai tarziu):

∞+ (−∞), (−∞) +∞, 0 · ∞, ∞ · 0,0

0,∞∞, ∞0, 00, 1∞.

Daca A ⊂ R este o multime nevida, majorata, atunci sup A ∈ R, conform axiomei decompletitudine. Daca A nu este majorata, atunci vom pune, prin definitie,sup A := +∞, iar daca A nu este minorata, vom pune inf A := −∞. In acest fel, oricesubmultime nevida din R are margine superioara si margine inferioara ın R.





Spatiul Rk

Consideram k ∈ N∗ si fie

Rk := R× R× ...× R︸︷︷︸de k ori

= {x = (x1, x2, ..., xk ) | xi ∈ R, i = 1, k}.

Aceasta multime se organizeaza ca spatiu liniar real ın raport cu operatiile

“ + ” : Rk × Rk → Rk , x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xk + yk ),

“ · ” : R× Rk → Rk , a · x = (ax1, ax2, ..., axk ),

pentru orice x , y ∈ Rk si orice a ∈ R, operatii numite adunarea si ınmultirea cuscalari. Dupa cum se va vedea la cursul de algebra liniara, acest lucru ınseamna defapt urmatoarele:I. (Rk ,+) este grup abelian;

II. Inmultirea cu scalari satisface proprietatile1. a · (x + y) = a · x + a · y , ∀a ∈ R, ∀x , y ∈ Rk ;2. (a + b) · x = a · x + b · x , ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk ;3. a · (b · x) = (ab) · x , ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk ;4. 1 · x = x , ∀x ∈ Rk .





Norme pe Rk

Definitia 4.1

O aplicatie ‖·‖ : Rk → R se numeste norma pe Rk daca ındeplineste relatiile:(N1) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;(N2) ‖λ · x‖ = |λ| ‖x‖ , ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rk ;(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x , y ∈ Rk .

Proprietatile (N1)− (N3) se mai numesc axiomele normei. Avand definita o norma‖·‖ pe Rk , vom spune ca (Rk , ‖·‖) este spatiu liniar normat. Pentru un elementx ∈ Rk , vom numi ‖x‖ norma sau lungimea vectorului x .

Propozitia 4.2 (Proprietati ale normei)

Presupunem ca ‖·‖ este o norma pe Rk . Atunci:(i) ‖−x‖ = ‖x‖ , ∀x ∈ Rk ;(ii) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rk ;(iii) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖ , ∀x , y ∈ Rk .





Exemple de norme pe Rk

Exemplul 4.3 (Exemple remarcabile de norme)

1. Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma.

2. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin

‖x‖2 :=

√√√√ k∑i=1

x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)

satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.3. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin

‖x‖1 :=k∑

i=1

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)

satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.4. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin

‖x‖∞ := maxi=1,k

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)

satisface (N1)− (N3) si se numeste norma maximum.







1. Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma.2. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin

‖x‖2 :=

√√√√ k∑i=1

x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)

satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.

3. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin

‖x‖1 :=k∑

i=1

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)


‖x‖∞ := maxi=1,k

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)









‖x‖2 :=

√√√√ k∑i=1

x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)


‖x‖1 :=k∑

i=1

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)

satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.

4. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin

‖x‖∞ := maxi=1,k

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)









‖x‖2 :=

√√√√ k∑i=1

x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)


‖x‖1 :=k∑

i=1

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)


‖x‖∞ := maxi=1,k

|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)






Exercitiu

Exercitiul 4.4

Sa se calculeze normele ‖·‖2 , ‖·‖1 , ‖·‖∞ pentru vectorii:a) x = (−1, 3) ∈ R2;b) y = (2,−1, 5) ∈ R3;c) z =

(12,− 1

3, 1

4,− 1

6

)∈ R4.

Solutie. a)‖x‖2 =

√1 + 9 =

√10; ‖x‖1 = |−1|+ |3| = 4; ‖x‖∞ = max {|−1| , |3|} = 3.

b) ‖y‖2 =√

30, ‖y‖1 = 8; ‖y‖∞ = 5.

c) ‖z‖2 =√

14

+ 19

+ 116

+ 136

=√

6512, ‖z‖1 = 5

4; ‖z‖∞ = 1

2. �





Vecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInterior, aderenta, frontiera, multime derivata, puncte izolate

Bile deschise si ınchise. Sfere

Fie a ∈ Rk , r > 0 si ‖·‖ o norma pe Rk .

Definitia 5.1

Se numeste bila deschisa de centru a si raza r multimea

B(a, r) := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ < r}.

Se numeste bila ınchisa de centru a si raza r multimea

D(a, r) := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ ≤ r}.

Se numeste sfera de centru a si raza r multimea

S(a, r) := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ = r}.

Exemplul 5.2

In cazul lui R ınzestrat cu metrica uzuala, obtinem B(a, r) = (a− r , a + r),D(a, r) = [a− r , a + r ], S(a, r) = {a− r , a + r}.






Bile deschise si ınchise. Sfere

Exemplul 5.3

Sa consideram cazul lui R2. Pentru norma euclidiana ‖·‖2 , bila deschisa, bila ınchisa sisfera de centru a = (a1, a2) ∈ R2 si raza r > 0 vor fi, respectiv

B2(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r2},

D2(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 ≤ r2},

S2(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 = r2}.

Deduceti cum arata aceste multimi daca ın locul normei ‖·‖2 se considera ‖·‖1 , ‖·‖∞ .

Definitia 5.4

Multimea A din spatiul Rk se numeste marginita daca exista a ∈ Rk si r > 0 astfelıncat A ⊂ D(a, r). In caz contrar, A se numeste nemarginita.






Vecinatatile unui punct

Definitia 5.5

Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila deschisacentrata ın x . Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vomnumi sistem de vecinatati pentru punctul x .

Exemplul 5.6

Pentru k = 1, avem ca pentru orice x ∈ R,

V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V .

Definitia 5.7

Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .







Definitia 5.5


Exemplul 5.6



Definitia 5.7

Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;

Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .







Definitia 5.5


Exemplul 5.6



Definitia 5.7

Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;

Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .







Definitia 5.5


Exemplul 5.6



Definitia 5.7

Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .






Multimi deschise

Definitia 5.8

O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.

Exemplul 5.9

1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.

Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)

Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.






Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9

1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.

2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.








Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9

1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.

3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.








Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9

1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.

4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.








Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9









Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9



Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;

(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.






Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9



Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;

(iii) Rk este o multime deschisa.






Multimi deschise

Definitia 5.8


Exemplul 5.9









Multimi ınchise

Definitia 5.11

O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.

Exemplul 5.12

1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.

Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)

Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.

Exercitiul 5.14

Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:

A = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0, x2 < 1, x3 6= −2} .






Multimi ınchise

Definitia 5.11


Exemplul 5.12

1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.

2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.



Exercitiul 5.14


A = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0, x2 < 1, x3 6= −2} .






Multimi ınchise

Definitia 5.11


Exemplul 5.12




Exercitiul 5.14


A = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0, x2 < 1, x3 6= −2} .






Multimi ınchise

Definitia 5.11


Exemplul 5.12



Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;

(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.

Exercitiul 5.14


A = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0, x2 < 1, x3 6= −2} .






Multimi ınchise

Definitia 5.11


Exemplul 5.12




Exercitiul 5.14


A = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0, x2 < 1, x3 6= −2} .






Interiorul unei multimi

Definitia 5.15

Fie A ⊂ Rk o multime nevida. Un punct x ∈ Rk se numeste punct interior multimii A

daca A ∈ V(x). Totalitatea punctelor interioare multimii A se noteaza cu◦A sau cu

intA si se numeste interiorul multimii A.

Exemplul 5.16

1. In cazul lui R, fie intervalele: (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]. Interiorul tuturor multimiloreste egal cu (a, b).

2. Fie k = 1 si multimile A = Q, B = R \ Q. Avem◦A =

◦B = ∅, deoarece pentru orice

punct x ∈ R, niciuna din multimile A,B nu poate contine intervale de forma(x − r , x + r) cu r > 0.

3. Fie X = R2 si A ={

(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} . Vom avea

◦A =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9< 1

}.






Aderenta unei multimi

Definitia 5.17

Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A senoteaza cu A sau cu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.

Exemplul 5.18

1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.

Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.

Teorema 5.19

Fie A ⊂ Rk . Atunci:

c◦A = cA si cA =

◦︷︸︸︷cA .







Definitia 5.17


Exemplul 5.18

1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].

2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.


Teorema 5.19


c◦A = cA si cA =

◦︷︸︸︷cA .







Definitia 5.17


Exemplul 5.18

1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.

3. Pentru X = R2 si A ={

(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.


Teorema 5.19


c◦A = cA si cA =

◦︷︸︸︷cA .







Definitia 5.17


Exemplul 5.18

1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.


Teorema 5.19


c◦A = cA si cA =

◦︷︸︸︷cA .






Frontiera unei multimi

Definitia 5.20

Fie A ⊂ Rk . Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.

Exemplul 5.21

1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

FrA =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9= 1

}∪ {(3, 0)} .

Teorema 5.22


(i)◦A = A \ FrA;

(ii) A = A ∪ FrA.







Definitia 5.20


Exemplul 5.21

1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.

2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

FrA =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9= 1

}∪ {(3, 0)} .

Teorema 5.22


(i)◦A = A \ FrA;

(ii) A = A ∪ FrA.







Definitia 5.20


Exemplul 5.21

1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.

3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

FrA =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9= 1

}∪ {(3, 0)} .

Teorema 5.22


(i)◦A = A \ FrA;

(ii) A = A ∪ FrA.







Definitia 5.20


Exemplul 5.21

1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.


(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

FrA =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9= 1

}∪ {(3, 0)} .

Teorema 5.22


(i)◦A = A \ FrA;

(ii) A = A ∪ FrA.







Definitia 5.20


Exemplul 5.21

1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

FrA =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9= 1

}∪ {(3, 0)} .

Teorema 5.22


(i)◦A = A \ FrA;

(ii) A = A ∪ FrA.






Multimea derivata. Puncte de acumulare

Definitia 5.23

Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.

Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.

Exemplul 5.24

1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

A′ =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9≤ 1

}.

Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.







Definitia 5.23

Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.

Exemplul 5.24


{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

A′ =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9≤ 1

}.








Definitia 5.23


Exemplul 5.24

1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].

2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =

{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

A′ =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9≤ 1

}.








Definitia 5.23


Exemplul 5.24

1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.


(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

A′ =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9≤ 1

}.








Definitia 5.23


Exemplul 5.24


{(x , y) ∈ R2 | x2

4+ y2

9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem

A′ =

{(x , y) ∈ R2 |

x2

4+

y2

9≤ 1

}.







Exercitiu

Observatia 5.25

Multimile finite nu au puncte de acumulare.

Exercitiul 5.26

Precizati frontiera, interiorul, ınchiderea urmatoarelor multimi:a) A = {(x , y , z) | |x | < 1, |y | < 1, z ∈ R}b) B =

{(x , y , 1) | x2 + y2 ≤ 1

}.

Solutie. a) Obtinem

FrA = {(x , y , z) | |x | = 1, |y | < 1, z ∈ R}∪ {(x , y , z) |x | < 1, |y | = 1, z ∈ R}∪ {(x , y , z) |x | = 1, |y | = 1, z ∈ R} ,

A = {(x , y , z) | |x | ≤ 1, |y | ≤ 1, z ∈ R} ,◦A = A.

b) In acest caz, vom avea FrB = B = B,◦B = ∅.


analiz a matematic a - curs 1 mult˘imile rk...

Documents