ANALISIS SISTEM DINAMIK DIMENSI 2 UNTUK MODELHOST-PARASITOID DENGAN KENDALA PARASITOID

TIDAK DAPAT MENEKAN INANG

(Skripsi)

Oleh

RIZCA MUTHIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2018

ABSTRACT

ANALYSIS OF DYNAMIC DIMENSION 2 FOR SYSTEMS HOST-PARASITOID MODELS WITH CONSTRAINTS WHEN PARASITOID

CANNOT PRESS THE HOST

By

RIZCA MUTHIA

The host-parasitoid model is a dynamic system that can be found in various casesof natural phenomena, such as pests and diseases in plants. Among these modelsthere are a number of parasitoid models with varied cases, for example the host-parasitoid model with parasitoid can suppress the host. In this essay discussed thesolution and dynamics of the host-parasitoid models which has a parasitoidconstraints that cannot suppress the host. Efforts to show the dynamics of themodel discussed are through analysis of fixed points and system stability.

Keywords: host-parasitoid model, parasitoid cannot suppress host, fixed point,stability.

ABSTRAK

ANALISIS SISTEM DINAMIK DIMENSI 2 UNTUK MODEL HOST-PARASITOID DENGAN KENDALA PARASITOID TIDAK DAPAT

MENEKAN INANG

Oleh

RIZCA MUTHIA

Model host-parasitoid merupakan sebuah sistem dinamik yang dapat ditemuidalam berbagai kasus pada fenomena alam, misalnya hama dan penyakit padatanaman. Diantara model tersebut terdapat sejumlah model host-parasitoid dengankasus yang bervariasi, misalnya model host-parasitoid dengan parasitoid dapatmenekan inang. Dalam skripsi ini dibahas solusi dan dinamika model host-parasitoid yang memiliki kendala parasitoid tidak dapat menekan inang. Upayamemperlihatkan dinamika model yang dibahas adalah melalui analisis titik tetapdan kestabilan sistem.

Kata kunci: model host-parasitoid, parasitoid tidak dapat menekan inang, titiktetap, kestabilan.

ANALISIS SISTEM DINAMIK DIMENSI 2 UNTUK MODELHOST-PARASITOID DENGAN KENDALA PARASITOID

TIDAK DAPAT MENEKAN INANG

Oleh

Rizca Muthia

SkripsiSebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar

SARJANA SAINS

PadaJurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2018

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Rizca Muthia, anak ketiga dari empat bersaudara yang

dilahirkan di Metro pada tanggal 19 Juli 1997 oleh pasangan Bapak Yuswan

Darizal dan Ibu Mashuda.

Penulis menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK PKK I Yosodadi

Metro Timur pada tahun 2003. Sekolah dasar di SD Negeri 04 Metro Timur pada

tahun 2009. Sekolah menengah pertama di SMP Negeri 04 Metro pada tahun

2012. Sekolah menengah atas di SMA Negeri 04 Metro pada tahun 2015.

Pada tahun 2015 penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

Jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswi, penulis ikut serta dalam organisasi

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNILA sebagai anggota aktif

bidang kaderisasi dan kepemimpinan. Pada tahun 2018, sebagai bentuk aplikasi

bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah melaksanakan Kerja Praktik (KP) selama

40 hari di kantor Badan Pengelola Pajak dan Retribusi Daerah Kota Bandar

Lampung. Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada

masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32

hari di Desa Wana, Kecamatan Melinting, Kabupaten Lampung Timur.

Kata Inspirasi

“The future belongs to those who prepare for it today”(Malcolm X)

“Fighter who lost it usually is a fighter who already think notdeserve to win”

(Napoleon Bonaparte)

“You don’t have to be great to start, but you have to start to begreat”

(Zig Ziglar)

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah Wasyukurillah.

Puji dan syukur tiada hentinya terpanjatkan kepada Allah S.W.T dimana tiada kata

yang lebih mampu mewakili setiap rasa bahagia yang ingin tercurahkan, penulis

persembahkan skripsi ini untuk kalian orang tersayang :

Kedua orangtuaku yang selalu memberi semangat dan pengorbanan yang tulus,

motivasi dan bimbingan serta selalu mendoakan untuk keberhasilan penulis.

Kakak-kakak, adikku dan keluarga besar yang selalu memberi semangat, motivasi,

menjadi pendengar selama penulis mencurahkan keluh kesah dan mendoakan

setiap waktu untuk keberhasilan penulis.

Dosen pembimbing dan pembahas yang sangat berjasa dan selalu memberikan

motivasi serta semangat kepada penulis.

Sahabat-sahabat tersayang, terimakasih atas kebersamaan, keceriaan, canda, tawa,

do’a dan semangat yang telah kalian berikan.

SANWACANA

Alhamdulillahirobbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin

serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Sistem

Dinamik Dimensi 2 Untuk Model Host-Parasitoid Dengan Kendala Parasitoid

Tidak Dapat Menekan Inang”. Shalawat serta salam tak lupa kepada Nabi

Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bimbingan,

bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc. selaku Dosen Pembimbing I, yang

senantiasa selalu membimbing dan memberikan arahan, ide, kritik dan saran

serta semangat kepada penulis selama proses pembuatan skripsi ini.

2. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Pembimbing Akademik dan Dosen

Pembimbing II, yang telah memberikan bimbingan dari awal hingga akhir

menjadi mahasiswa serta arahan, ide, semangat, kritik dan saran yang

membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembahas, terima kasih atas

kesediaannya untuk membahas, memberikan saran dan kritik yang

membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Buyah dan ibu tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa,

dorongan, nasihat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak

tergantikan hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada

di depan.

8. Mahkota, jungan dan adikku yang selalu mendengarkan keluh kesah dan

selalu menyemangati penulis hingga terselesaikannya skripsi ini.

9. Sahabat-sahabat sejak SMA: Selvi, Laila, Bella, Deby, Rani, Nadia, Fitry,

Adel, Ajeng, yang selalu memberi semangat dan tempat penulis berkeluh

kesah.

10. Sahabat-sahabat seperjuangan: Purwanti, Salma, Anisa, Lelvi, Vina, Sela,

Agung Hidayat, Della, Aulia Putri, Aulia Rahman, Bagus, Adhe, Wilma,

Nurlitta Widoarti yang selalu menemani hari-hari penulis selama

menjalani masa perkuliahan.

11. Teman-teman KKN: Pipit, Dina, Mei, Kak Aldi dan Fajri terimakasih

untuk kebersamaan dan dukungan yang telah kalian berikan.

12. Teman-temanku Matematika 2015, terimakasih telah memberikan warna

dan keceriaan kepada penulis selama menjadi mahasiswi.

13. Abang dan yunda matematika yang tak bisa disebutkan satu persatu.

14. Almamater tercinta Universitas Lampung.

15. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Bandar Lampung, Desember 2018

Penulis,

Rizca Muthia

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR .......................................................................... i

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................... 2

1.3 Manfaat Penelitian .................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Dinamik .................................................................... 4

2.2 Persamaan Diferensial .......................................................... 5

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 6

2.4 Kestabilan Sistem di Sekitar Titik Equilibrium ..................... 7

2.5 Model Umum Mangsa dan Pemangsa.................................... 8

2.6 Inang dan Parasit .................................................................. 9

2.7 Respon Fungsional Holling Tipe II Untuk Interaksi Inang

dan Parasit ............................................................................ 10

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.................................................. 14

3.2 Metode Penelitian ................................................................... 14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil ....................................................................................... 16

4.1.1 Model Inang-Parasitoid Kondisi Saat Parasitoid Tidak

Berhasil Menakan Inangnya...................................... 16

4.1.2 Titik Equilibrium ...................................................... 18

4.2 Pembahasan.................................................................................. 19

4.2.1 Analisa Titik Equilibrium ......................................... 19

4.2.2 Geometri Solusi Sistem ............................................ 24

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik Solusi ( )h t dan ( )p t untuk t [0.7] ..................................... 24

2. Grafik Solusi Hubungan antara ( )h t dan ( )p t ............................... 25

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Model matematika merupakan cabang matematika yang mengkaji penerapan

matematika yang berkenaan dengan kehidupan sehari-hari. Model matematika

juga berperan dalam menyelesaikan masalah riil secara efektif dan efisien

misalnya penerapan dalam bidang biologi, pertanian dan entomologi. Contohnya

yaitu model matematika pada interaksi host dengan parasitoid.

Terdapat sejumlah sistem persamaan yang digunakan dalam pemodelan

matematika, misalnya persamaan diferensial. Ditinjau dari interaksi host dengan

parasitoid, model matematika yang dinyatakan dalam persamaan diferensial,

sistem persamaan diferensial dan sistem dinamik merupakan cara yang cocok

dalam menggambarkan interaksi antara host-parasitoid.

Parasitoid adalah serangga yang hidup dengan cara menumpang dan mengambil

sari-sari makanan dari host. Host adalah organisme yang menampung parasit

yang umumnya menyediakan makanan dan tempat berlindung. Host merupakan

sejenis serangga hama yang menyerang tanaman. Host menyebabkan kerugian

2

petani karena berkurangnya produktivitas pertanian, kerusakan tanaman dan

kerugian secara ekonomis.

Penggunaan bahan-bahan kimia seperti pestisida dan insektisida pada tanaman

pertanian selain menyebabkan kerusakan tanaman juga menyebabkan hama

menjadi kebal terhadap pestisida (resisten). Hal ini bisa menyebabkan dampak

kerusakan lingkungan dan ekonomi bagi petani. Untuk itu diperlukan cara untuk

mengendalikan populasi hama yang alami. Seperti yang kita ketahui, banyak

sekali tanaman yang diserang oleh host. Baik tanaman rumah kaca, jambu mete,

mangga, dll yang diserang oleh host. Kebanyakan dari petani atau pemilik

tanaman menggunakan parasitoid untuk mengurangi populasi host. Parasitoid

merupakan jenis serangga yang digunakan secara luas untuk mengendalikan host

yang menyerang tanaman. Parasitoid digunakan sebagai musuh alami atau

pengendali hayati bagi host. Oleh karena itu, peneliti disini akan meneliti laju

pertumbuhan antara host dan parasitoid dengan menggunakan sistem persamaan

diferensial. Sehingga dapat menganalisis laju pertumbuhan host-parasitoid

tersebut.

1.2 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan memberikan informasi tentang dinamika sistem host-

parasitoid dengan kendala parasitoid tidak dapat menekan inang.

3

1.3 Manfaat Penelitian

Penelitian ini selain dapat digunakan sebagai refrensi dalam membahas sistem

dinamik host-parasitoid dengan kendala parasitoid tidak dapat menekan inang,

juga memberikan teknik mengeksplorasi secara numerik dinamika model host-

parasitoid melalui kajian titik tetap dan kestabilan sistem.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Dinamik

Secara umum sistem dinamik adalah pemodelan sebuah masalah nyata secara

matematis dengan menggunakan persamaan diferensial yang di dalam

persamaannya mengandung parameter-parameter yang saling berhubungan.

Sistem dinamik dipengaruhi variabel-variabel yang saling berkaitan dan berubah

terhadap waktu (Perko, 2001).

Sistem dinamik dibedakan menjadi dua yaitu sistem dinamik autonomous dan

nonautonomous (Campbell dan Haberman, 2008). Sistem diamik autonomous

adalah sistem dinamik yang secara eksplisit tidak bergantung terhadap waktu.

Sistem dinamik autonomous dapat dinyatakan sebagai berikut :

= ( , ) (2.1) = ( , ) (2.2)

Dimana dan secara eksplisit merupakan fungsi yang bebas dari peubah t

(Giordino, Weir dan Fox, 2003). Sedangkan sistem nonautonomous adalah sistem

5

dinamik yang secara eksplisit bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik

nonautonomous dapat dinyatakan sebagai berikut :

= ( , , ) (2.3) = ( , , ) (2.4)

Dimana fungsi dan bergantung pada variabel bebas t (Perko, 2001).

2.2 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak

bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ini

adalah beberapa contoh persamaan diferensial :

1.2

22

6 0d y dy

x xdx dx var.bebas = x , var.tak bebas = y

2. sinxy e x var.bebas = x , var.tak bebas = y

3.2

23 10 4

d Q dQQ

dt dt var.bebas = t , var.tak bebas = Q

4.2 2

2 20

V V

x y

var.bebas = ,x y , var.tak bebas = V

Persamaan diferensial memainkan peranan penting dalam matematika, terutama

aplikasi dalam bidang rekayasa Hukum Newton tentang gerak misalnya,

dinyatakan secara matematis dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan

diferensial yang didasari pada banyaknya peubah diferensial yang terlibat, dapat

diklasifikasikan dalam dua kelompok yaitu persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial parsial.

6

Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) adalah suatu

persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x)

adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y

dinamakan variabel tak bebas. Persamaan diferensial dalam contoh (1), (2) dan

(3) adalah contoh Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah suatu persamaan diferensial yang

mempunyai dua atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial dalam contoh (4)

adalah persamaan diferensial parsial (Waluya, 2006).

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen sistem dinamik dapat digunakan untuk mempelajari

keadaan dinamik dari suatu sistem khususnya sistem linear. Misalkan adalah

matriks × , maka vektor yang tidak nol di ℝ disebut vektor eigen dari

jika adalah kelipatan skalar dari , yaitu := (2.5)

untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai eigen dari .

Persamaan = dapat dituliskan sebagai berikut := (2.6)− = 0 (2.7)( − ) = 0 (2.8)

7

Persamaan ( − ) = 0 memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika( − ) = 0 tidak memiliki invers, akibatnya ( − ) = 0 (Anton,

1988).

2.4 Kestabilan Sistem di Sekitar Titik Equlibrium

Kestabilan suatu sistem linear dapat dilihat dari nilai eigen sistem tersebut. Pada

persamaan diferensial orde satu = ( ) dimana yaitu dengan solusi awal

( , ) pada waktu dan dengan kondisi awal (0) = , pernyataan berikut

bernilai benar :

1. Nilai dimana memenuhi ( ) = 0 maka nilai disebut sebagai titik

equilibrium.

2. Titik equilibrium dikatakan stabil jika untuk setiap > 0 dan > 0,sedemikian hingga jika ∥ − ∥ < maka∥ ( , ) − ∥ < untuk

setiap ≥ 0.3. Titik equilibrium dikatakan stabil asimtotis jika titik equilibrium tersebut

stabil dan selain itu untuk > 0 sedemikian hingga lim → ∥ ( , ) − ∥= 0 dengan ketentuan bahwa ∥ − ∥ <4. Titik equilibrium dikatakan tidak stabil jika terdapat radius > 0 dengan

ciri untuk sebarang > 0 terdapat posisi awal memenuhi ∥ − ∥ < ,

berakibat solusi ( ) memenuhi ∥ − ∥ ≥ untuk setiap ≥ 0 (Olsder,

2004).

8

2.5 Model Umum Mangsa dan Pemangsa

Dalam sebuah model yang membahas kehidupan dua spesies yang bertindak

sebagai mangsa dan pemangsa, kedua spesies saling mempengaruhi secara

signifikan. Asumsikan jika terdapat berlimpah spesies yang dimangsa, maka

pertumbuhan populasi pemangsa akan menjadi lebih cepat karena ketersediaan

makanan yang berlebih. Sebaliknya jika pertumbuhan spesies yang dimangsa

lambat maka spesies pemangsa akan banyak yang mati karena kekurangan

makanan. Salah satu model interaksi antara kedua spesies, yang dapat terjadi

pemangsa dan yang dimangsa adalah ketika tidak ada interaksi antar spesiesnya

tersebut. Pertumbuhan spesies yang dimangsa dinotasikan dengan ( )x t adalah :

dxax

dt (2.9)

Dimana 0a merupakan konstanta pertumbuhan. Dalam hal ini diasumsikan

bahwa persediaan makanan cukup tak terbatas untuk spesies yang dimangsa

sehingga pertumbuhannya tak terbatas yang berarti tak ada spesies yang mati.

Seperti dalam model pertumbuhan spesies yang dimangsa, dalam hal

pertumbuhan spesies pemangsa notasikan dengan y( )t , diberikan dengan:

dycy

dt (2.10)

Dimana c adalah konstanta penurunan. Alasan mengapa dalam hal ini terjadi

penurunan adalah karena pada dasarnya akan mati kelaparan karena tak ada

makanan. Sekarang kita mencoba model yang ada kaitannya antara spesies yang

dimangsa dan pemangsa. Dasarnya interaksi diperhitungkan dengan fakta bahwa

9

pemangsa akan memakan spesies yang dimangsa. Dengan demikian interaksinya

akan menghasilkan sistem sebagai berikut :

dxx xy

dt

(2.11)dy

cy xydt

Dimana 0 adalah konstanta interaksi. Parameter merupakan aksi

penurunan dalam populasi yang dimangsa sebagai akibat adanya spesies

pemangsa yang memakannya. Konsekuensinya akan terjadi pertumbuhan pada

spesies pemangsa dengan adanya ketersediaan makanan. Sistem di atas dikenal

sebagai sistem Lotka-Volterra (Waluya, 2006).

2.6 Inang dan Parasit

Secara umum, parasit dapat didefinisikan sebagai organisme yang hidup pada

organisme lain, yang disebut inang, dan mendapat keuntungan dari kehidupan

inang yang ditempatinya, sedangkan inang menderita kerugian. Parasitology

merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari tentang kehidupan parasit.

Kehidupan parasit memiliki keunikan karena adanya ketergantungan pada inang.

Mempelajari parasit memerlukan pengertian tentang konsep simbiosis atau hidup

bersama antara dua organisme. Ada beberapa jenis bentuk simbiosis, antara lain,

yaitu komensalisme dimana pada hubungan ini kedua organisme yang

bersimbiosis masing-masing memperoleh keuntungan dan tidak ada yang

dirugikan, sedangkan mutualisme adalah kedua organisme mendapatkan

10

keuntungan, dan jika salah satu diantaranya tidak tersedia maka tidak akan terjadi

kehidupan.

Parasitisma merupakan suatu bentuk hubungan antara dua organisme yang

berlainan jenis yang satu disebut inang sedangkan yang lainnya disebut parasit,

dimana parasit sangat bergantung pada hidup atas pengorbanan inangnya, baik

secara biokimia maupun secara fisiologi. Selanjutnya menambahkan bahwa sifat-

sifat esensial yang dimilki oleh bentuk hubungan tersebut adalah:

1. Adanya ketergantungan fisiologo parasit terhadap inangnya.

2. Inang yang terinfeksi berat akan mengalami kematian.

3. Distribusi frekuensi parasit pada populasi inang umumnya overdispers, yang

berarti bahwa varians (S2) dari populasi parasit jauh lebih besar dari rata-rata

(X) populasi parasit.

Di dalam hubungan parasitisme, organisme parasit memanfaatkan organisme

lainnya (inang) sebagai tempat hidup untuk melangsungkan sebagian besar siklus

hidupnya. Inang seringkali merupakan tempat tinggal sekaligus sebagai sumber

makanan bagi parasit. Dengan kata lain, parasit memiliki ketergantungan yang

sangat tinggi terhadap kondisi organisme lain yang dijadikan sebagai inangnya

(Arbi dan Vimono, 2010).

2.7 Respon Fungsional Holling Tipe II untuk Interaksi Inang dan Parasit

Sebelumnya akan ditunjukan terlebih dahulu model dasar mangsa pemangsa dari

dua interaksi populasi diberikan oleh persamaan Lotka-Volterra, yaitu :

11

*dhmh a hp

dt

(2.12)*dp

qp ra hpdt

Dalam sistem persamaan di atas p adalah populasi pemangsa (parasitoid) dan h

adalah populasi mangsa (host). Persamaandh

dtmenyatakan perubahan populasi

mangsa terhadap waktu dan persamaandp

dtmenyatakan perubahan populasi

pemangsa terhadap waktu. Konstanta *, , ,m a q r semua bernilai positif, dengan m

adalah angka pertumbuhan murni dari populasi mangsa, q adalah angka kematian

murni dari populasi pemangsa, *a adalah angka penangkapan mangsa oleh

pemangsa (angka kematian dari populasi mangsa), r adalah angka pertumbuhan

dari populasi pemangsa, sedangkan hp adalah lambang interaksi antara mangsa

(host) dan pemangsa (parasitoid).

Dalam kehidupan yang nyata saat ini, model persamaan Lotka Volterra di atas

sudah tidak relevan karena populasi mangsa tidak selamanya meningkat atau

populasi pemangsa tidak selamanya menurun dan dalam interaksi terdapat saling

respon antara mangsa dan pemangsa. Selanjutnya, akan diberikan pembentukan

respon fungsional Holling tipe II interaksi inang- parasitoid berdasarkan model

dasar interaksi mangsa- pemangsa persamaan Lotka Volterra. Representatif dari

populasi mangsa yang ditangkap pemangsa dari model Lotka Volterra adalah

*a h yang tidak bergantung waktu pemangsaan, kemudian*a h dinamakan aN .

Berdasarkan asumsi yaitu terjadi respon antara mangsa dan pemangsa, mangsa

12

merespon pemangsa sehingga pemangsa memerlukan waktu untuk menangkap

mangsa.

Selanjutnya aN dimodifikasi menjadi representatif baru ( bN ) yang bergantung

waktu mencari mangsa, angka penangkapan mangsa, dan populasi mangsa yang

tersedia. Hal ini menyatakan bahwa populasi mangsa yang ditangkap per

pemangsa akan berbanding lurus dengan angka penangkapan mangsa oleh

pemangsa ( *a ), populasi mangsa yang tersedia ( h ), dan waktu yang digunakan

untuk mencari mangsa ( sT ). Parameter ini tidak bergantung pada populasi

mangsa, sehingga diperoleh persamaan :

*b sN a hT (2.13)

Dengan bN populasi mangsa yang ditangkap pemangsa per satuan waktu. Selain

itu, seluruh waktu yang tersedia bagi pemangsa untuk mencari dan menangani

mangsa dilambangkan dengan T , sedangkan waktu yang digunakan untuk

mencari mangsa dilambangkan dengan sT dan waktu yang digunakan untuk

menangani mangsa (mengejar, menangkap, mengolah, memakan, mengolah dan

mencerna) dilambangkan dengan hT . Parameter hT ini bergantung dengan

populasi mangsa yang ditangkap pemangsa yang dinamakan aN sehingga

diperoleh persamaan:

*as hT T T N (2.14)

Dari persamaan (4.2) dan (4.3) diperoleh hubungan sebagai berikut :

13

*

* *

* *

* *

*

*

*

( )

(1 )

(1 )

(1 )

b h a

b h a

b h a

ab h

b

ba

hb

b

N a h T T N

N a hT a hT N

N a hT N a hT

NN a hT a hT

N

a hTN

Na T h

N

N a h

T bh

Dengan *ah

b

Na T b

N dan bN

Tadalah laju pemangsaan predator atau populasi

mangsa yang ditangkap pemangsa per satuan waktu bergantung mangsa.

Selanjutnya persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk :

*

( )1

a hf h

bh

(2.15)

Dengan b menyatakan waktu untuk menangani satu inang, ( )f h menyatakan

banyaknya inang yang diserang parasitoid per satuan waktu atau banyaknya inang

yang diparasit, *a menyatakan angka penyerangan inang oleh parasit. Persamaan

(2.15) merupakan respon fungsional Holling tipe II untuk interaksi inang dan

parasit (Anggreini, 2016).

15

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2018/2019 melalui

pendekatan studi pustaka. Penelitian dilaksanakan di Jurusan Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Untuk merealisasikan ketercapaian tujuan penelitian, sejumlah refrensi yang

berkaitan dengan topik yang dibahas, diobservasi dan dikaji. Selain itu untuk

memudahkan penyelesaian aritmatika yang dijumpai selama penelitian

berlangsung digunakan perangkat lunak mathematica.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian adalah sebagai berikut:

1. Melalui buku dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini, dipelajari

dan dipahami model karakteristik interaksi inang dan parasit.

2. Mengkaji proses pemodelan matematika host-parasitoid, khususnya untuk

kasus parasitoid tidak dapat menekan inang.

15

3. Mengupayakan diperolehnya solusi model tersebut untuk kemudian dilakukan

analisa model.

4. Melakukan interpretasi model matematika yang dibahas dalam penelitian ini.

62

V. KESIMPULAN

Dari bagian hasil dan pembahasan disimpulkan bahwa model interaksi host-

parasitoid pada sistem yang dibahas dengan asumsi bahwa laju pertumbuhan

maksimum host lebih besar dari laju pertumbuhan parasitoid diperoleh jumlah

populasi host dan parasitoid masing-masing adalah0( ) r th t h e dan

0 0( t ) ( )r t r trp p e h t e

a

. Selain itu jika ( )h t naik secara terus-menerus,

maka ( )p t akan turun mencapai kepunahannya.

DAFTAR PUSTAKA

Anggreini, D. 2016. Local Stability Analysis of a Mathematical Model of theinteraction of Two Populations of Differential Equations (Host-Parasitoid).5(1): 9-14.

Anton, H. 1988. Aljabar Linear Elementer. Erlangga, Jakarta.

Arbi dan Vimono. 2010. Hubungan Parasitisma Siput Thycacrystallina danBintang Laut Biru Linckia Laevigata di Perairan Ternate Maluku Utara.Jurnal Oseanologi dan Limnologi di Indonesia. 36(2): 227-242.

Campbell, S. L & Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equationswith Dynamical System. Princeton University Press, New Jersey.

Giordano, F.R, M. D. Weir & W. P. Fox. 2003. A First Course in MathematicalModeling. Brooks/Cole, USA.

Olsder, G.J & Woude.J.W. 2004. Mathematical System Theory. VVSD,Netherland.

Perko, L. 2001. Differential Equations and Dynamical System. Springer-Verlag,New York.

Waluya, Budi. 2006. Persamaan Diferensial. Graha Ilmu, Yogyakarta.