11/5/2008

1

Dr. Mohammad Abdul Mukhyi, SE., MM

MAX : Z = 3X1 + 5X2

S.T.: 2X1 ≤ 8

3X2 ≤ 15

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1 >= 0

X2 >= 0

11/5/2008

2

Penyelesaian …….

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8 8/0 = ~

X1 0 0 3 0 1 0 15 15/3= 5

X5 0 6 5 0 0 1 30 30/5 = 6

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

X3 0 2 0 1 0 0 8

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X5 0 6 0 0 -5/3 1 5

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

X3 0 2 0 1 0 0 8 8/2 = 4

X2 0 0 1 0 1/3 0 5 5/0 = ~

X1 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6 = 5/6

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ nilai optimal

X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6⅓

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X3 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

11/5/2008

3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 27.5000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 .833333 .000000

X2 5.000000 .000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 6.333333 .000000

3) .000000 .833333

4) .000000 .500000

SENSITIVITY ANALYSIS

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 3.000000 3.000000 3.000000

X2 5.000000 INFINITY 2.500000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 8.000000 INFINITY 6.333333

3 15.000000 3.000000 11.400000

4 30.000000 19.000000 5.000000

MAX : Z = 3X1 + 5X2

S.T.: 2X1 ≤ 8

3X2 ≤ 15

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1 >= 0

X2 >= 0

2x1 ≤ 8 → 2 x 0,833 + S1 = 8

S1 = 8 – 1,66

S1 = 6,33

3x2 ≤ 15 → 3 x 5 = 15

6x1 + 5x2 ≤ 30

(6 x 0,833) + (5 x 5) = 30

11/5/2008

4

( ) ( )2/16/50

6/1

0

3/1

18/5

3/1

9/5

0

0

1

350 =

−

−

Kaidah I

Fungsi tujuan :

Kaidah II

Fungsi kendala :

=

−

− 6/5

5

6

30

15

8

6/1

0

3/1

18/5

3/1

9/5

0

0

1 21

Kaidah III

Vektor kolom untuk setiap variabel:

5

3

0

6

0

2

X X 21

=

−

=

=

−

=

0

1

0

5

3

0

1/65/18-0

0Y0

3/19/51

X

1

0

0

6

0

2

1/65/18-0

0Y0

3/19/51

X

32

31

Koefisien X1 dan X2

11/5/2008

5

Perubahan nilai kanan fungsi tujuan

3X2 ≤ 15 dirubah menjadi 3X2 ≤ 16

=

−

− 9/5

5

6

30

16

8

6/1

0

3/1

18/5

3/1

9/5

0

0

1

31

98

Fungsi tujuan :

3(5/9) + 5(16/3) = 28⅓

Perubahan pada koefisien-koefisien fungsi tujuan:

MAX : Z = 3X1 + 5X2 berubah menjadi

MAX : Z = 4X1 + 6X2

( ) ( )3/29/80

6/1

0

3/1

18/5

3/1

9/5

0

0

1

460 =

−

−

Fungsi tujuan :

4(5/6) + 6(5) = 33⅓

11/5/2008

6

Perubahan pada koefisien-koefisien teknis

fungsi batasan:

MAX : Z = 3X1 + 5X2

S.T.: 2X1 ≤ 8

3X2 ≤ 15

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1 >= 0 dan X2 >= 0

Dirubah dalam bentuk dual :

MIN: Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3

S.T : 2Y1 + 6Y3 ≥ 3

3Y2 + 5Y3 ≥ 5

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ nilai optimal

X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6⅓

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Bila batasan pertama berubah dari :

2Y1 + 6Y3 ≥ 3 menjadi 4Y1 + 7Y3 ≥ 3 maka nilai X1 pada baris

Z adalah 0 bila dihubungkan dengan fungsi batasan dual yang

menyangkut X1 adalah:

2(0) + 0(5/6)+ 6(1/2) – 3 = 0

Yang baru :

4(0) + 0(5/6) + 7(1/2) – 3 = ½

Maka perubahan pada tabel optimal adalah :

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 ½

X3 0 5/3

X2 0 0

X1 0 7/6

11/5/2008

7

=

−

− 6/7

0

1

7

0

4

6/1

0

3/1

18/5

3/1

9/5

0

0

1 32

Penambahan variabel baru :

Variabel baru akan mempengaruhi penyelesaian optimal bila

mempengaruhi baris tujuan tabel optimal.

Misal ditambah variabel baru Xa dimana;

Koefisien Xa pada fungsi tujuan adalah 8

Koefisein Xa pada kendala pertama adalah 4

Koefisien Xa pada kendala kedua adalah 5

Koefisien Xa pada kendala ketiga adalah 3

Fungsi pembatas dual Xa adalah:

4Y1 + 5Y2 + 3Y3 ≥ 8

Nilai dual optimal : Y1 = 0, Y2 = 30/4, Y3 = 0

Maka : 4(0) + 5(30/4) + 3(0) = 37,5 ≥ 8

Jadi Xa tidak mempengaruhi penyelesaian optimal

Bila Xa pada fungsi tujuan nilainya 40

Maka : 4(0) + 5(30/4) + 3(0) = 37,5 < 40

4(0) + 5(30/4) + 3(0) – 40 = -2,5

=

−

− 98

97

1

3/5

5

3

5

4

6/1

0

3/1

18/5

3/1

9/5

0

0

1

variabel

dasarZ X1 X2 Xa X4 X5 NK Keterangan

Z 1 -2½

X3 0 52/9

X2 0 5/3

X1 0 34/18

11/5/2008

8

Penambahan batasan baru:

Batasan baru akan mempengaruhi penyelesaian optimal bila

batasan tersebut aktif.

MAX : Z = 3X1 + 5X2

S.T.: 2X1 ≤ 8

3X2 ≤ 15

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1 >= 0 dan X2 >= 0

Ditambah batasan ke empat

8X1 + 7X2 ≤ 50

variabel

dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ nilai optimal

X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6⅓

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Maka penyelesaiannya adalah

8X1 + 7X2 ≤ 50

8 (5/6) + 7 (5) = 41,7 < 50

Bila batasan baru adalah

8X1 + 7X2 ≤ 40

variabe

l dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Keterangan

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 0 27½ nilai optimal

X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 0 6⅓

X2 0 0 1 0 1/3 0 0 5

X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 0 5/6

X7 0 8 7 0 0 0 1 40