analisis real kita

8/6/2019 Analisis Real Kita

1/78

http://jurnal.math.web.id

PENGANTAR

ANALISIS REAL I(Introduction to Real Analysis I)

Oleh:

M. Zaki Riyanto, M.Sc.

ARSIP JURNAL MATEMATIKA (AJM)

YOGYAKARTA

2011


2/78

Pengantar Analisis Real I

Arsip Jurnal Matematika (AJM)http://jurnal.math.web.id

ii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tulisan ini kami persembahkan kepada

penggiat dan pemerhati Matematika

di Indonesia


3/78



iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur alhamdulillah, akhirnya penulisan buku ini dapat diselesaikan dengan tepat

waktu. Sebagian besar materi buku ini diambil dari catatan kuliah Pengantar Analisis

Real I di Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada pada tahun 2004 dan 2005.

Pengantar Analisis Real I merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa S-1

Matematika. Materi dari buku ini mengacu pada Bartle, R.G dan Sherbert (2000) dalam

bukunya yang berjudul Introduction to Real Analysis. Semoga dengan buku yang

sederhana ini dapat membantu para mahasiswa dalam mempelajari dan memahaminya.

Diharapkan mahasiswa telah mempelajari konsep logika pembuktian, himpunan, dan

Kalkulus Lanjut.

Pada kesempatan ini tak lupa kami mengucapkan banyak terima kasih kepada

semua teman kuliah di Matematika UGM angkatan 2002 dan 2003, khususnya yang

telah banyak membantu, juga kepada rekan-rekan kuliah di Pascasarjana Matematika

UGM angkatan 2008.

Kami sangat menyadari sepenuhnya bahwa buku ini masih jauh dari sempurna.

Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik maupun saran yang membangun

demi kelanjutan dan sempurnanya buku ini, terima kasih.

Yogyakarta, 13 Januari 2011

Penyusun

M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.E-mail : [email protected]

http://zaki.math.web.id


4/78



iv

DAFTAR ISI

Halaman Judul................

Halaman Persembahan...............................

Kata Pengantar...........................................

Daftar Isi.................................

i

ii

iii

iv

Bab I.

Bab II.

BILANGAN REAL

1.1. Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam ......................................

1.2. Nilai Mutlak dan Garis Bilangan Real.........................................

1.3. Sifat Lengkap ..............

1.4. Penggunaan Sifat Aksioma Supremum........................................

1.5. Interval dalam .................

BARISAN DAN DERET

2.1. Barisan dan Limit Barisan............................................................

2.2. Teorema-teorema Limit................................................................

2.3. Barisan Monoton .........................................................................

2.4. Barisan Bagian.............................................................................

2.5. Barisan Cauchy............................................................................

2.6. Sifat Barisan Divergen.................................................................

2.7. Deret Tak Berhingga....................................................................

1

13

17

21

27

38

45

53

56

62

65

68

Daftar Pustaka........ 74


5/78



1

BAB 1

BILANGAN REAL

Pada bab ini dibahas sifat-sifat penting dari sistem bilangan real , seperti sifat-sifat

aljabar, urutan, dan ketaksamaan. Selanjutnya, akan diberikan beberapa pengertian

seperti bilangan rasional, harga mutlak, himpunan terbuka, dan pengertian lainnya yang

berkaitan dengan bilangan real.

1.1. Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam

Sebelum menjelaskan tentang sifat-sifat , diberikan terlebih dahulu tentang struktur

aljabar dari sistem bilangan real. Akan diberikan penjelasan singkat mengenai sifat-sifat

dasar dari penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat aljabar lain yang dapat diturunkan

dalam beberapa aksioma dan teorema. Dalam terminologi aljabar abstrak, sistem

bilangan real membentuk lapangan (field) terhadap operasi biner penjumlahan dan

perkalian biasa.

Sifat-sifat Aljabar

Pada himpunan semua bilangan real terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan

+ dan . yang disebut dengan penjumlahan (addition) dan perkalian

(multiplication). Operasi biner tersebut memenuhi sifat-sifat berikut:

(A1) ( ),a b a b + (tertutup terhadap penjumlahan)

(A2) ( ), , ( ) ( )a b c a b c a b c + + = + + (assosiatif penjumlahan)

(A3)

( ) ( )0 0 0a a a a + = + = (eksistensi elemen nol / elemen netral)

(A4) ( ) ( ) ( ) 0a a a a a a + = + = (eksistensi elemen negatif atau

invers penjumlahan)

(A5) ( ),a b a b b a + = + (komutatif penjumlahan)

(M1) ( ),a b a b (tertutup terhadap perkalian)


6/78



2

(M2) ( ), , ( ) ( )a b c a b c a b c = (assosiatif perkalian)

(M3) ( ) ( )1 1 1a a a a = = (eksistensi elemen satuan)

(M4) { }( ) 1 1 10 1a a aa a a

= =

(eksistensi invers perkalian)

(M5) ( ),a b a b b a = (komutatif perkalian)

(D1) ( ) ( ) ( ), , ( )a b c a b c a b a c + = + (distributif kiri)

(D2) ( )( ) ( ) ( ), ,a b c a b c a c b c + = + (distributif kanan)

Sifat-sifat di atas telah umum diketahui. Sifat (A1)-(A5) menjelaskan sifat penjumlahan,

sifat (M1)-(M5) menjelaskan sifat perkalian, dan sifat terakhir menggabungkan kedua

operasi.

Selanjutnya, diberikan beberapa teorema tentang elemen 0 dan 1 yang telah

diberikan pada sifat (A4) dan (M4) di atas. Juga akan ditunjukkan bahwa perkalian

dengan 0 akan selalu menghasilkan 0.

Teorema 1.1.1.

(a) Jika ,a b dengan a b a+ = , maka 0b = .(b) Jika ,a b dengan 0b dan a b b = , maka 1a = .(c) Jika a , maka 0 0a = .

Bukti.

(a)Diketahui a b a+ = , diperoleh

( )

( )

0 (A3)

(A4)

(A2)

(diketahui)

0. (A4)

b b

a a b

a a b

a a

= +

= + +

= + +

= +

=

(b)Diketahui a b b =


7/78



3

1 (M3)

1(M4)

a a

a bb

=

=

( )1

(M2)a bb

=

1(diketahui)

1. (M4)

bb

=

=

(c)Karena ( )0 1 0 . 1 0 1a a a a a a a+ = + = + = = , maka 0 0a = .Dengan demikian, maka teorema terbukti.

Teorema 1.1.2. Jika a , maka

(a) ( )1 .a a = .(b) ( )a a = .(c) ( ) ( )1 1 1 = .

Selanjutnya, diberikan dua sifat penting dari operasi perkalian, yaitu sifat

ketunggalan elemen inversnya dan bahwa perkalian dua bilangan itu hasilnya nol

apabila salah satu faktornya adalah nol.

Teorema 1.1.3.

(a) Jika 0a b+ = , maka b a= .(b) Jika 0a dan b sedemikian hingga 1a b = , maka 1b

a= .

(c) Jika 0a b = , maka 0a = atau 0b = .

Bukti.

(a)Karena 0a b+ = , maka0a b+ = ( ) ( ) ( ) 0a a b a + + = +


8/78



4

( )( )a a b a + + =

0 b a+ =

b a= .

(b)Karena 1a b = , maka1a b = ( )

1 11a b

a a

=

( )1 1

a ba a

=

1

1 ba

=

1

ba

= .

(c)Diketahui 0a b = , maka0a b = ( )

1 10a b

a a

=

( )1

0a ba

=

( )1 0a ba

=

1 0b =

0b = .

Dengan cara yang sama, kedua ruas dikalikan dengan1

b, maka diperoleh 0a = .

Dengan demikian teorema terbukti.

Teorema tersebut di atas menjelaskan beberapa sifat aljabar sederhana dari

sistem bilangan real. Beberapa akibat dari teorema tersebut diberikan sebagai bahan

latihan soal di bagian akhir subbab ini.


9/78



5

Operasi pengurangan (substraction) didefinisikan dengan : ( )a b a b = +

untuk ,a b . Sama halnya dengan operasi pembagian (division), untuk ,a b

dengan 0b didefinisikan1

:a

ab b

= .

Untuk selanjutnya, a b cukup dituliskan dengan ab , dan penulisan2

a untuk

aa,3

a untuk ( )2a a , dan secara umum didefinisikan ( )1 :n na a a+ = untuk n . Lebih

lanjut,1

a a= , dan jika 0a , maka dapat ditulis0

1a = dan1

a untuk1

a, dan jika

n , dapat ditulis na untuk1

n

a

.

Bilangan Rasional dan Irrasional

Telah diketahui bahwa himpunan dan adalah subset dari . Elemen yang

dapat dituliskan dalam bentukb

adi mana ,a b dan 0a disebut dengan bilangan

rasional (rational numbers). Himpunan semua bilangan rasional di dinotasikan

dengan . Dapat ditunjukkan bahwa penjumlahan dan perkalian dua bilangan rasional

adalah bilangan rasional. Lebih lanjut, sifat-sifat lapangan juga berlaku untuk .

Akan tetapi, tidak semua elemen merupakan elemen , seperti 2 yang

tidak dapat dinyatakan ke dalam bentukb

a. Elemen yang bukan elemen disebut

bilangan irrasional (irrational numbers).

Akan ditunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional yang kuadratnya

adalah 2. Untuk membuktikannya digunakan istilah genap dan ganjil. Suatu bilangan

asli disebut genap apabila bilangan itu mempunyai bentuk 2n untuk suatu n , dan

disebut ganjil apabila bilangan itu mempunyai bentuk 2 1n untuk suatu n .

Teorema 1.1.4. Tidak ada elemen r sedemikian hingga 2 2r = .


10/78



6

Bukti. Andaikan ada r sedemikian hingga 2 2r = . Karena r , maka r dapat

dituliskan sebagaip

qdengan p dan q tidak mempunyai faktor berserikat selain 1,

sehingga diperoleh

2

2p

q

=

atau 2 22p q= . Karena

22q genap, maka 2p genap.

Akibatnya p juga genap, sebab jika ganjil, maka 2 1p m= untuk suatu m , atau

( ) ( )22 2 2

2 1 4 4 1 2 2 2 1p m m m m m= = + = + yang berarti bahwa 2p ganjil. Jadi, p

haruslah genap. Karena p genap, maka 2p k= untuk suatu k , sehingga

( )22 2

2 4p k k = = . Di lain pihak diketahui2 22p q= dan p genap, akibatnya q ganjil,

sebab jika q genap, maka faktor berserikat p dan q bukan 1. Jadi, q haruslah ganjil.

Sehingga diperoleh 2 2 2 2 2 22 4 2 2p q k q k q= = = yang berarti q genap. Timbul

kontradiksi bahwa q ganjil. Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah tidak ada r

sedemikian hingga 2 2r = .

Sifat-sifat Urutan pada Sifat urutan menjelaskan tentang kepositifan (positivity) dan ketaksamaan (inequalities)di antara bilangan-bilangan real.

Ada subset tak kosong P , yang disebut dengan himpunan bilangan-

bilangan real positif tegas, yang memenuhi sifat-sifat berikut:

(i) Jika ,a b P , maka a b+ P .(ii) Jika ,a b P , maka ab P .(iii) Jika a , maka memenuhi tepat satu kondisi berikut:

a P , 0a = , a P .

Sifat pertama dan kedua pada teorema di atas menjelaskan tentang sifat tertutup

P terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sifat yang ketiga (iii) sering disebut

Sifat Trikotomi (Trichotomy Property), sebab akan membagi ke dalam tiga jenis

elemen yang berbeda. Hal ini menjelaskan bahwa himpunan { }:a a P dari bilangan


11/78



7

real negatiftidak mempunyai elemen yang sama dengan himpunan bilangan real positif.

Lebih lanjut, merupakan gabungan tiga himpunan saling asing tersebut, yaitu

{ } { }: 0a a= P P .

Definisi 1.1.5.

(i) Jika a P , ditulis 0a > , artinya a adalah bilangan real positif.(ii) Jika { }0a P , ditulis 0a , artinya a adalah bilangan real nonnegatif.(iii) Jika a P , ditulis 0a < , artinya a adalah bilangan real negatif.(iv) Jika { }0a P , ditulis 0a , artinya a adalah bilangan real nonpositif.

Definisi 1.1.6. Diberikan ,a b .

(a) Jika a b P , maka ditulis a b> atau b a< .(b) Jika { }0a b P , maka ditulis a b atau b a .

Sifat Trikotomi di atas berakibat bahwa untuk ,a b memenuhi tepat satu

kondisi berikut:

a b> , a b= , a b< .

Selanjutnya, jika a b dan b a , maka a b= . Jika a b c< < , maka artinya

bahwa a b< dan b c< .

Teorema 1.1.7. Diberikan sebarang , ,a b c .

(a) Jika a b> dan b c> , maka a c> .(b) Jika a b> , maka a c b c+ > + .(c) Jika a b> dan 0c > , maka ca cb> .

Jika a b> dan 0c < , maka ca cb< .

(d) Jika 0a > , maka 1 0a

> .

Jika a


12/78



8

Bukti.

(a)Diketahui a b> dan b c> , , ,a b c . Karena a b> , maka a b P . Karenab c> , maka b c P . Menurut sifat urutan, maka a b+ P , sehingga

diperoleh

( ) ( )a b b c + P a b b c + P

( ) ( )a c b b + + P

( ) 0a c + P

a c P

.a c >

(b)Jika a b P , maka ( ) ( )a c b c a b+ = P . Sehingga diperoleh bahwaa c b c+ > + .

(c)Jika a b P dan c P , maka ( )ca cb c a b = P . Akibatnya ca cb> untuk0c > . Gunakan langkah yang sama untuk 0c <

(d)Cobalah Anda buktikan sendiri.

Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa bilangan asli juga merupakan bilangan real

positif. Sifat ini diperoleh dari sifat dasar urutan, berikut ini diberikan teoremanya.

Teorema 1.1.8.

(a) Jika a dan 0a , maka 2 0a > .(b) 1 0> .(c) Jika n , maka 0n > .

Teorema 1.1.9. Jika ,a b dan a b< , maka2

a ba b

+< < .


13/78



9

Bukti. Karena a b< , maka 2a a a b a a b+ < + < + , diperoleh( )

2

a ba

+< . Karena

a b< , maka 2a b b b a b b+ < + + < , diperoleh( )

2

a bb

+< . Akibatnya, dari kedua

pernyataan di atas diperoleh bahwa2

a ba b

+< < .

Dapat ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan real positif yang terkecil, sebab jika

diberikan 0a > , dan karena1

02

> , maka diperoleh

10 2 a a< < .

Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan 0a adalah sama

dengan nol, maka harus ditunjukkan bahwa a selalu lebih kecil dari sebarang bilangan

positif yang diberikan.

Teorema 1.1.10. Jika a sedemikian hingga 0 a < untuk setiap 0 > , maka

0a = .

Bukti. Andaikan 0a > , maka 02

aa > > . Diambil 0

2

a = ( 0 bilangan real positif

tegas), maka 0 0a > > . Kontradiksi dengan pernyataan 0 a < untuk setiap 0 > .

Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah 0a = .

Perkalian antara dua bilangan positif hasilnya adalah positif. Akan tetapi, hasil

perkalian yang positif belum tentu setiap faktornya positif.

Teorema 1.1.11. Jika 0ab > , maka berlaku

(i) 0a > dan 0b > , atau(ii) 0a < dan 0b < .


14/78



10

Akibat 1.1.12. Jika 0ab < , maka berlaku

(i) 0a < dan 0b > , atau(ii) 0a > dan 0b < .

Ketaksamaan (Inequalities)Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana sifat urutan dapat digunakan untuk

menyelesaikan suatu ketaksamaan. Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1.1.13.

(a) Tentukan himpunanA dari bilangan realx sedemikian hingga 2 3 6x + .Jawab. Diketahui x A dan 2 3 6x + , maka

2 3 6x + 2 3x 3

2x .

Jadi,3

:2

A x x

=

.

(b) Diberikan { }2: 2B x x x= + > . Tentukan bentuk lain dariB.Jawab. Diketahui x B dan

22x x+ > atau

22 0x x+ > atau

( )( )1 2 0x x + > . Sehingga diperoleh bahwa (i) 1 0x > dan 2 0x + > , atau

(ii) 1 0x < dan 2 0x + < . Untuk kasus (i) diperoleh bahwa 1x > dan

2x > , yang berarti 1x > . Untuk kasus (ii) diperoleh bahwa 1x < dan

2x < , yang berarti 2x < . Jadi, himpunannya adalah

{ } { }: 1 : 2B x x x x= > < .

Teorema 1.1.14. Jika 0a dan 0b , maka

(a) 2 2a b a b a b< < < .(b) 2 2a b a b a b .

1.1.15. Ketaksamaan Bernoulli Jika 1x > , maka (1 ) 1n

x nx+ + untuk semua

n .


15/78



11

Bukti. Akan dibuktikan menggunakan induksi.

Untuk 1n = , maka

( )1

1 1 1 1 1x x x x+ + + + (pernyataan benar).

Misalkan benar untuk n k= , yaitu (1 ) 1k

x kx+ + . Akan dibuktikan benar untuk

1n k= + , yaitu

( ) ( )

( )

1

2

2

(1 ) (1 ) (1 ) 1 1

1

1 1 .

k kx x x kx x

kx x kx

k x kx

++ = + + + +

= + + +

= + + +

Karena2

0kx , maka ( )1(1 ) 1 1kx k x++ + + , yang berarti benar untuk 1n k= + . Jadi,

terbukti bahwa (1 ) 1nx nx+ + untuk semua n .

1.1.16. Ketaksamaan Cauchy Jika n dan 1 1,..., , ,...,n na a b b , maka

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +

atau

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a a= = =

.

Selanjutnya, jika tidak semua 0ib = , maka

2

2 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b= = =

=

jika dan

hanya jika terdapat s sedemikian hingga 1 1a sb= , 2 2a sb= , ..., n na sb= .

Bukti. Didefinisikan fungsi :F sebagai berikut:

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2( ) ... n nF t a tb a tb a tb= + + + , t .

Jelas bahwa ( ) 0F t , untuk setiap t . Selanjutnya,

( )F t ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 22 2 ... 2n n n na ta b t b a ta b t b a ta b t b= + + + + + +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2... 2 ... ...n n n na a a t a b a b a b t b b b= + + + + + + + + + +

2 2 2

1 1 1

2 .n n n

i i i i

i i i

a t a b t b= = =

= +


16/78



12

Ingat bahwa2

2 0A Bt Ct + + jika dan hanya jika ( )2

2 4 0B AC , yang berakibat

2B AC . Sehingga diperoleh bahwa

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a a= = =

.

Dengan demikian teorema terbukti.

SOAL LATIHAN SUBBAB 1.1

1. Jika ,a b , tunjukkan bahwa:(a) ( ) ( ) ( )a b a b + = + .(b) ( )( )a b ab = .(c) ( ) aa b b

= jika 0b .

2. Selesaikan persamaan berikut.(a) 2 5 8x + = .(b) 2 2x x= .

3. Jika 0a dan 0b , tunjukkan bahwa 1 1 1( )ab a b

=

.

4. Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional tsedemikian hingga 2 3t = .5. Buktikan bahwa jika 0a > , maka

( )1

1a

a

= .

6. Jika ,a b , tunjukkan bahwa 2 2 0a b+ = jika dan hanya jika 0a b= = .

7. Buktikan bahwa ( )2

2 21 1

( )2 2a b a b

+ + , untuk semua ,a b .

8. Tunjukkan bahwa jika a dan ,m n , maka m n m na a a+ = dan ( )m n mna a= .(Gunakan induksi matematik.)


17/78



13

1.2. Nilai Mutlak dan Garis Bilangan Real

Dari sifat Trikotomi, dapat ditarik kesimpulan bahwa jika a dan 0a , maka a

atau a merupakan bilangan real positif. Nilai mutlak dari 0a didefinisikan sebagai

nilai positif dari dua bilangan tersebut.

Definisi 1.2.1. Nilai mutlak (absolute value) dari suatu bilangan real a, dinotasikan

dengan |a|, didefinisikan sebagai

jika 0.

: 0 jika 0.

jika 0.

a a

a a

a a

>

= = dan 0b > , maka 0ab > , sehinggaab ab a b= = . Jika 0a > dan 0b < , maka 0ab < , sehingga

( )ab ab a b a b= = = .


18/78



14

(b) Karena 2 0a , maka 22 2a a aa a a a= = = = .(c) Jika a c , maka a c dan a c yang berarti c a c . Sebaliknya, jika

c a c , maka diperoleh a c dan a c . Jadi, a c .

(d) Gunakan langkah yang sama seperti pada (c) dengan mengambil c a= .

Berikut ini diberikan sebuah teorema yang disebut dengan Ketaksamaan

Segitiga (Triangle Inequality).

1.2.3. Ketaksamaan Segitiga Jika ,a b , maka a b a b+ + .

Bukti. Dari Teorema 1.2.2(d), diketahui a a a dan b b b . Dengan

menjumlahkan kedua ketaksamaan diperoleh

( )a b a b a b + + + .

Menggunakan Teorema 1.2.2.(c) diperoleh bahwa a b a b+ + .

Akibat 1.2.4. Jika ,a b , maka

(a) a b a b .(b) a b a b + .

Bukti.

(a) Tulis a a b b= + dan masukkan ke dalam Ketaksamaan Segitiga. Sehingga( )a a b b a b b= + + . Kurangkan kedua ruas dengan b , diperoleh

a b a b . Gunakan cara yang sama untuk b b a a= + , diperoleh

a b a b . Kombinasikan kedua ketaksamaan tersebut, diperoleh

a b a b a b .

Menggunakan Teorema 1.2.2(c) diperoleh bahwa a b a b .


19/78



15

(b) Gantilah b pada Ketaksamaan Segitiga dengan b, sehingga diperoleha b a b + . Karena b b = , maka diperoleh bahwa a b a b + .

Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang

bilangan real yang banyaknya berhingga.

Akibat 1.2.5. Jika 1 2, ,..., na a a adalah sebarang bilangan real, maka

1 2 1 2... ...n na a a a a a+ + + + + + .

Contoh 1.2.6.

Diberikan fungsi f yang didefinisikan dengan22 3 1

( )2 1

x xf x

x

+=

untuk [ ]2,3x .

Tentukan konstantaMsedemikian hingga ( )f x M , untuk setiap [ ]2,3x .

Diketahui

22 2 3 12 3 1( )

2 1 2 1

x xx xf x

x x

+ += =

,

( ) ( )

2 2

2

2

2 3 1 2 3 1

2 3 1

2 3 3 3 1

28

x x x x

x x

+ + +

= + +

+ +

=

dan

( )

2 1 2 1

2 2 1

3.

x x

=

Sehingga

22 3 1 28

( )2 1 3

x xf x

x

+=

. Jadi, dengan mengambil

28

3M = , didapat

( )f x M , untuk setiap [ ]2,3x .


20/78



16

Garis Bilangan Real (The Real Line)

Interpetasi geometri yang dikenal di antaranya garis bilangan real (real line). Pada garis

real, nilai mutlak a dari suatu elemen a

adalah jaraka ke 0. Secara umum,jarak

(distance) antara elemen a dan b di adalah a b . Perhatikan gambar berikut.

-3 -2 -1 0 1 2 3

2 (1) 3 =

Gambar 1.1. Jarak antara 2a = dan 1b = .

Definisi 1.2.6. Diberikan a dan 0 > . Persekitaran- (-neighborhood) dari a

didefinisikan sebagai himpunan

{ } ( )( ) : : ,V a x x a a a = < = + .

Gambar 1.2. Persekitaran ( )V a .

Dapat dilihat bahwa ( )x V a jika dan hanya jika a x a < < + . Persekitaran

juga sering disebut dengan kitaran.

Teorema 1.2.7. Diberikan a . Jika x berada dalam persekitaran ( )V a untuk

setiap 0 > , maka x a= .

Bukti. Jika x memenuhi x a < untuk setiap 0 > , maka berdasarkan Teorema

1.1.10 diperoleh bahwa 0x a = , yang berakibat 0x = .

a a a +

( )V a


21/78



17


1. Jika ,a b dan 0b , tunjukkan bahwa:(a) 2a a= ,(b) aa

b b= .

2. Jika , ,x y z dan x z , tunjukkan bahwa x y z jika dan hanya jikax y y z x z + = .

3. Jika a x b< < dan a y b< < , tunjukkan bahwa x y b a < .4. Carilah semua nilai x sedemikian hingga 1 2 7x x+ + = .5. Buatlah sketsa grafik persamaan 1y x x= .6. Diberikan 0 > dan 0 > , dan a . Tunjukkan bahwa ( ) ( )V a V a dan

( ) ( )V a V a merupakan persekitaran- dari a untuk suatu nilai .

7. Tunjukkan bahwa jika ,a b , dan a b , maka terdapat persekiran- Udari adan Vdari b sedemikian hingga U V = .

8. Tunjukkan bahwa jika ,a b , maka(a) { } ( )1max ,

2a b a b a b= + + dan { } ( )

1min ,

2a b a b a b= + .

(b) { } { }{ }min , , min min , ,a b c a b c= .

1.3. Sifat Lengkap

Pada bagian ini akan diberikan salah satu sifat dari yang sering disebut dengan Sifat

Lengkap (Completeness Property). Tetapi sebelumnya, perlu dijelaskan terlebih dahulu

konsep supremum dan infimum.

Supremum dan Infimum

Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu

himpunan bilangan real.


22/78



18

Definisi 1.3.1. Diberikan subset tak kosong S .

(a) Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapatsuatu bilangan u sedemikian hingga s u untuk semua s S . Setiap

bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.

(b) Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapatsuatu bilangan w sedemikian hingga w s untuk semua s S . Setiap

bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari S.

(c) Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas danterbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas (unbounded).

Sebagai contoh, himpunan { }: : 2S x x=


23/78



19

S, maka sup 'S u , sebab sup S merupakan batas atas terkecil dari S. Suatu subset tak

kosong S mempunyai empat kemungkinan, yaitu

(i) mempunyai supremum dan infimum,(ii) hanya mempunyai supremum,(iii) hanya mempunyai infimum,(iv) tidak mempunyai infimum dan supremum.

Setiap bilangan real a merupakan batas atas dan sekaligus juga merupakan

batas bawah himpunan kosong . Jadi, himpunan tidak mempunyai supremum dan

infimum.

Lemma 1.3.3. Suatu bilangan u merupakan supremum dari subset tak kosong S

jika dan hanya jika u memenuhi kondisi berikut:

(1) s u untuk semua s S ,(2) jika v u< , maka terdapat 's S sedemikian hingga 'x s< .

Lemma 1.3.4. Diberikan subset tak kosong S ,

(a) supu S= jika dan hanya jika untuk setiap 0 > terdapat 1s S sedemikian hingga 1u s < .

(b) infw S= jika dan hanya jika untuk setiap 0 > terdapat 2s S sedemikian hingga 2u s < .

Bukti.

(a) Diketahui supu S= dan diberikan 0 > . Karena u u < , maka u bukan merupakan batas atas S. Oleh karena itu, terdapat 1s S yang lebih besar

dari u , sehingga 1u s < .

Diketahui 1u s < . Jika u merupakan batas atas S, dan jika memenuhi

v u< , maka diambil : u v = . Maka jelas 0 > , dan diperoleh bahwa

supu S= .

(b)Coba buktikan sendiri.


24/78



20

Contoh 1.3.5.

(a)Jika suatu himpunan tak kosong 1S mempunyai elemen sebanyak berhingga,maka dapat dilihat bahwa 1S mempunyai elemen terbesar, namakan u, dan

elemen terkecil, namakan w. Maka 1supu S= dan 1infw S= , dan keduanya

merupakan elemen 1S .

(b)Himpunan { }2 : : 0 1S x x= mempunyai batas atas 1. Akan dibuktikan bahwa1 merupakan supremumnya. Jika 1v < , maka terdapat 2's S sedemikian

hingga 'v s< . Oleh karena itu, v bukan merupakan batas atas 2S dan karena v

merupakan sebarang 1v < , maka dapat disimpulkan bahwa2

sup 1S = . Dengan

cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 2inf 0S = .

Sifat Lengkap

Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong yang terbatas ke atas pasti mempunyai

batas atas terkecil. Sifat seperti ini disebut Sifat Lengkap . Sifat Lengkap juga sering

disebut dengan Aksioma Supremum .

1.3.6. Sifat Lengkap Jika subset tak kosong S terbatas ke atas, maka

supremumnya ada, yaitu terdapat u sedemikian hingga supu S= .

Akibat 1.3.7. Jika subset tak kosong S terbatas ke bawah, maka infimumnya

ada, yaitu terdapat w sedemikian hingga infw S= .

Bukti. Misalkan himpunan T terbatas ke bawah, T . Dibentuk himpunan

{ }:S t t T = , maka S terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Aksioma

Supremum, sup S ada, namakan supu S= , maka infu T = .


25/78



21


1. Diberikan { }: 0S x x= > . Apakah S mempunyai batas bawah dan batasatas? Apakah infS dan sup S ada? Buktikan jawabanmu.

2. Diberikan ( ){ }: 1 1 :nT n n= . Carilah infT dan supT.3. Diberikan S subset tak kosong yang terbatas ke bawah. Buktikan bahwa

{ }inf sup :S s s S= .

4. Tunjukkan bahwa jikaA danB subset terbatas dari , maka A B merupakanhimpunan terbatas. Tunjukkan bahwa ( )sup A B = { }sup sup , supA B .

5.

Diberikan S

dan misalkan *: sups S=

dalam S. Jika u S

, tunjukkan

bahwa { }( ) { }sup sup *,S u s u = .

6. Tunjukkan bahwa himpunan berhingga S memuat supremumnya.7. Jelaskan dan buktikan Lemma 1.3.3.

1.4. Penggunaan Sifat Aksioma SupremumPada subbab ini dibahas beberapa akibat dari aksioma supremum.

Teorema 1.4.1. Diberikan subset tak kosong S yang terbatas ke atas dan

sebarang a . Didefinisikan himpunan { }: :a S a s s S+ = + , maka berlaku

( ) ( )sup supa S a S+ = + .

Bukti. Jika diberikan : supu S= , maka x u untuk semua x S , sehingga

a x a u+ + . Oleh karena itu, a u+ merupakan batas atas dari himpunan a S+ .

Akibatnya ( )sup a S a u+ + . Selanjutnya, misalkan v adalah sebarang batas atas

a S+ , maka a x v+ untuk semua x S . Akibatnya x v a untuk semua x S ,

sehingga v a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, supu S v a= . Karena v

adalah sebarang batas atas a S+ , maka dengan mengganti v dengan supu S= ,


26/78



22

diperoleh ( )supa u a S+ + . Di lain pihak diketahui ( )sup a S a u+ + . Akibatnya

terbukti bahwa ( )sup supa S a u a S+ = + = + .

Teorema 1.4.2. Diberikan subset tak kosong S yang terbatas dan sebarang

bilangan real 0a > . Didefinisikan himpunan { }: :aS as s S= , maka berlaku

( ) ( )inf inf aS a S= .

Bukti. Tulis infu aS= dan infv S= . Akan dibuktikan bahwa u av= . Karena

infu aS= , maka u as , untuk setiap s S . Karena infv S= , maka v s untuk

setiap s S . Akibatnya av as untuk setiap s S . Berarti av merupakan batas bawah

aS. Karena u batas bawah terbesar aS, maka av u . Karena u as untuk setiap s S ,

maka diperolehu

sa

untuk setiap s S (sebab 0a > ). Karena infv S= , makau

va

yang berakibat u av . Di lain pihak diketahui av u . Akibatnya u av= . Jadi, terbukti

bahwa ( ) ( )inf inf aS a S= .

Teorema 1.4.3. Jika A dan B subset tak kosong dan memenuhi a b untuk semua

a A dan b B , maka

sup inf A B .

Bukti. Diambil sebarang b B , maka a b untuk semua a A . Artinya bahwa b

merupakan batas atas A, sehingga supA b . Selanjutnya, karena berlaku untuk semua

b B , maka supA merupakan batas bawah B. Akibatnya diperoleh bahwa

sup inf A B .

Sifat ArchimedesBerikut ini diberikan salah satu sifat yang mengaitkan hubungan antara bilangan real

dan bilangan asli. Sifat ini menyatakan bahwa apabila diberikan sebarang bilangan real

x, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan asli n yang lebih besar darix.


27/78



23

1.4.4. Sifat Archimedes. Jika x , maka terdapat n sedemikian hingga x n< .

Bukti. Ambil sebarang x . Andaikan tidak ada n sedemikian hingga x n< ,

maka n x , untuk setiap n . Dengan kata lain, x merupakan batas atas . Jadi,

, , dan terbatas ke atas. Menurut aksioma supremum, maka sup ada,

tulis supu = . Karena 1u u < , maka terdapat m dengan sifat 1u m < .

Akibatnya 1u m< + dengan 1m + . Timbul kontradiksi dengan supu = . Berarti u

batas atas , yaitu ada 1m + sehingga 1u m< + (u bukan batas atas ). Jadi,

pengandaian salah, yang benar adalah ada n sedemikian hingga x n< .

Akibat 1.4.5. Jika1

: :S nn

=

, maka inf 0S = .

Bukti. Karena S terbatas ke bawah oleh 0, maka S mempunyau infimum, tulis

: inf w S= . Jelas bahwa 0w . Untuk sebarang 0 > , menggunakan Sifat Archimedes,

terdapat n sedemikian hingga1

n

< , akibatnya1

n< . Oleh karena itu, diperoleh

bahwa

10 w

n < .

Akan tetapi karena 0 > sebarang, maka berdasarkan Teorema 1.1.10 berakibat bahwa

0w = . Terbukti bahwa inf 0S = .

Akibat 1.4.6. Jika 0t> , maka terdapat tn sedemikian hingga1

0

t

t

n

< < .

Bukti. Karena1

inf : 0nn

=

dan 0t> , maka t bukan batas bawah himpunan

1: n

n

. Akibatnya terdapat tn sedemikian hingga

10

t

tn

< < .


28/78



24

Akibat 1.4.7. Jika 0y > , maka terdapat yn sedemikian hingga 1y yn y n < < .

Bukti. Sifat Archimedes menjamin bahwa subset { }: :y

E m y m= . Karena

2

1 1

n n

, maka

( )2

2 2

2

1 2 1 12 1x x x x x

n n n n

+ = + + + +

.

Karena2

2 0x > dan 2 1 0x + > , maka2

20

2 1

x

x

>

+. Menurut akibat Sifat Archimedes,

dapat ditemukan n sehingga


29/78



25

21 2

2 1

x

n x

, maka2

2 0x > . Perhatikan bahwa

2

2 2

2

1 2 1 2x xx x x

m m m m

= + >

.

Karena 2 2 0x > dan 2 0x > , maka dipilih m sedemikian hingga

2

2

2

xm

x>

atau

222

xx

m< .

Akibatnya

( )2

2 2 21 2 2 2x

x x x xm m

> > =

.

Diperoleh bahwa

21

2xm

>

. Berarti

1x S

m , yaitu

1x

m batas atas. Kontradiksi

dengan supx S= . Oleh karena itu, tidak mungkin2

2x > . Jadi, pengandaiannya salah,

yang benar adalah2

2x = .

1.4.9. Teorema Densitas (The Density Theorem) Jika ,x y dengan x y< , maka

ada bilangan rasional q sedemikian hingga x q y< < .


30/78



26

Bukti. Dengan tidak mengurangi keumuman (without loss of generality), diambil 0x > .

Karena x y< , maka 0y > dan 0y x > . Akibatnya1

0y x

>

, sehingga dapat dipilih

n sedemikian hingga

1n

y x>

.

Untukn di di atas, berlaku 1ny nx > , yaitu 1nx ny+ < . Karena 0nx > , maka dapat

dipilih m sehingga

1m nx m < .

Bilangan m di atas juga memenuhi m ny< , sebab dari 1m nx diperoleh

1m nx ny + < . Jadi

nx m ny< < .

Akibatnya untukm

qn

= mempunyai sifatm

x q yn

< = < . Jadi, terdapat bilangan

rasionalm

qn

= dengan sifat x q y< < .

Berikut ini diberikan akibat dari Teorema Densitas, yaitu di antara dua bilangan

real pasti dapat ditemukan bilangan irrasional.

Akibat 1.4.10. Jika ,x y dengan x y< , maka ada bilangan irrasional r

sedemikian hingga x r y< < .

Bukti. Menggunakan Teorema Densitas, ada bilangan real

2

xdan

2

ydengan sifat

ada bilangan rasional q dengan sifat2 2

x yq< < . Akibatnya, 2x q y< < dan 2q

merupakan bilangan irrasional.


31/78



27


1. Diberikan himpunan tak kosongXdan :f X mempunyai range terbatas di . Jika a , tunjukkan bahwa:

(a) { } { }sup ( ) : sup ( ) :a f x x X a f x x X + = + .(b) { } { }inf ( ) : inf ( ) :a f x x X a f x x X + = + .

2. Diberikan subset tak kosong A dan B dari . Dibentuk himpunan{ }: : danA B a b a A b B+ = + . Buktikan bahwa ( )sup sup supA B A B+ = +

dan inf( ) inf inf A B A B+ = + .

3. Jika diberikan sebarang x , tunjukkan bahwa terdapat dengan tunggal n sedemikian hingga 1n x n < .

4. Jika 0y > , tunjukkan bahwa terdapat n sedemikian hingga 12n

y< .

5. Jika 0u > adalah sebarang bilangan real dan x y< , tunjukkan bahwa terdapatbilangan rasional rsedemikian hingga x ru y< < .

1.5. Interval dalam

Jika diberikan ,a b dengan a b< , maka interval terbuka yang ditentukan oleh a

dan b adalah himpunan

( ) { }, :a b x a x b= <


32/78



28

( , )a a = , dan interval tertutupnya berkorespondensi dengan himpunan singleton

[ ] { },a a a= .

Berikut ini diberikan lima jenis interval tidak terbatas. Simbol (atau + ) dan

digunakan sebagai simbol titik ujungnya yang tak berhingga. Interval terbuka tak

terbatas adalah himpunan dengan bentuk

( ) { }, : :a x x a = > dan ( ) { }, : :b x x b =


33/78



29

Contoh 1.5.3.

(1)Diberikan 10,nIn

=

, n . Yaitu [ ]1 0,1I = , 21

0,2

I

= , 3

10,

3I

=

, ....

Maka 1 2 3 ...I I I (nested) dan { }1

0nn

I

=

= (mempunyai titik berserikat).

(2)Diberikan 10,nIn

=

, n . Diperoleh bahwa 1n nI I + , untuk setiap n .

Tetapi1

n

n

I

=

= . Jadi, interval susut belum tentu mempunyai titik berserikat.

Sebab, andaikan terdapat1

n

n

x I

=

, maka nx I untuk setiap n . Karena

0x > , maka terdapat n sedemikian hingga1

xn

< . Kontradiksi dengan

pengandaian. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah1

n

n

I

=

= .

(3)Diberikan 10,1nIn

= +

, maka [ ]1 0,2I = , 21

0,12

I

= , 2

10,1

3I

=

, ....

Diperoleh [ ]1

0,1nn

I

== . (Ada tak hingga banyak [ ]0,1 ). Perhatikan

bahwa1

inf 1 : 1nn

+ =

.

1.5.4. Sifat Interval Susut ( Nested Interval Property) Jika [ ],n n nI a b= , n

interval tertutup terbatas dan1n n

I I+

untuk setiap n (interval susut), maka

1

n

n

I

=

,

yaitu terdapat sedemikian hingga nI untuk setiap n . Selanjutnya, jika

panjangn n n

I b a= memenuhi { }inf : 0n nb a n = , maka elemen berserikat

tersebut tunggal.


34/78



30

Bukti. Dibentuk himpunan { }:nA a n= . Jelas A sebab 1a A , danA .

Himpunan A terbatas ke atas, sebab 1n nI I + untuk setiap n . Sehingga diperoleh

bahwa

n na b

untuk setiap n , yang berarti 1b batas atasA. Menggunakan Sifat Lengkap , maka

supremumA ada, yaitu terdapat sedemikian hingga supA = . Jelas bahwa

ma

untuk setiap m . Selanjutnya, untuk sebarang ,m n berlaku

n n m n m ma a b b+ + atau n ma b .

Hal ini berakibat

{ }sup :n ma n b atau mb .

Karena ma dan mb , maka diperoleh m ma b untuk setiap m , berarti

[ ],n n nI a b = , untuk setiap n . Sehingga

1

n

n

I

=

,

yang berakibat1

n

n

I

=

. Jika { }inf :nb n = , maka dengan cara yang sama

(sebelumnya), diperoleh mI untuk setiap m . Sehingga diperoleh

1

n

n

I

=

.

Akan dibuktikan ketunggalannya, yaitu = . Diambil sebarang 0 > . Jika

{ }inf : 0n nb a n = , maka terdapat 0n sehingga

0 00 bn an < atau 0 < .

Karena berlaku untuk sebarang 0 > , maka 0 = atau = . Jadi, terbukti bahwa

1

n

n

I

=

= tunggal.


35/78



31

Himpunan Terhitung (Countable)Diberikan { }1,2,3,...,n n=J , n . Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen,

ditulis A B jika ada fungsi bijektif :f A B . Contoh:

1. Misalkan { }1,2,3A = dan { }, ,B a b c= , maka A B .2. Misalkan :f A C dengan { }, , ,C w x y z= , maka A C .

Suatu himpunan dikatakan tak berhingga (infinite) jika himpunan tersebut

ekuivalen dengan salah satu himpunan bagian sejatinya. Jika tidak demikian, maka

himpunan tersebut dikatakan berhingga (finite), yaitu ekuivalen dengannJ . Contoh:

1. Himpunan { }1,2,3A = berhingga.2. { }1,2,3,...= , { }2,4,6,...T= . fungsi

:

( ) 2

f T

n f n n

=

Jadi, tak berhingga, Tjuga tak berhingga.

Suatu himpunan D dikatakan denumerable jika D . Suatu himpunandikatakan terhitung (countable) jika himpunan tersebut berhingga atau denumerable.

Jika tidak, maka dikatakan himpunan tak terhitung (uncountable atau non

denumerable), yaitu himpunan yang tidak ekuivalen dengan . Jika himpunan A

terhitung, makaA dapat disajikan sebagai { }1 2 3, , ,...A x x x= dengan i jx x untuk i j .

Contoh:

1. Himpunan terhitung berhingga.2. Himpunan terhitung tak berhingga.3. Himpunan { }1,2,3A = terhitung berhingga.

Dapat ditunjukkan bahwa merupakan himpunana tak terhitung. Untuk

membuktikannya cukup hanya dengan membuktikan [ ]0,1I= tak terhitung. Berikut ini

diberikan teoremanya.


36/78



32

Teorema 1.5.5. Himpunan [ ]0,1I= tak terhitung.

Bukti. AndaikanIterhitung, maka dapat ditulis dengan

{ }1 2 3, , ,..., ,...nI x x x x= .

Dikonstruksikan barisan interval tertutup, terbatas, susut (nested), dan

{ }inf : 0n nb a n = . Interval [ ]0,1I= dibagi menjadi tiga sama panjang, yaitu

10,3

, 1 2,3 3

, dan 2 ,13

.

Titik 1x I termuat dalam paling banyak dua sub interval. Pilih sub interval yang tidak

memuat 1x , namakan [ ]1 1 1,I a b= . Jadi, 1 1x I . Selanjutnya, 1I dibagi menjadi tiga

sama panjang, yaitu

1 11,

9a a +

, 1 1

1 2,9 9

a a + +

, dan 1 12 ,

9a b +

.

Kemudian pilih sub interval yang tidak memuat 2x , namakan [ ]1 2 2,I a b= . Jadi, 2 2x I .

Jika proses diteruskan, diperoleh barisan interval tertutup, terbatas,

1 2 3 ... nI I I I dengan { }1

inf : inf

3

n nb a n

=

. Menggunakan sifat

Nested Interval, maka terdapat dengan tunggal1

n

n

y I

=

. Berarti y I , yaitu ny x=

untuk suatu n . Akibatnya1

n n

n

x I

=

, yaitu n nx I . Sedangkan dari konstruksi

diperoleh n nx I . Timbul kontradiksi, yang benar adalah [ ]0,1I= tak terhitung,

sehingga juga tak terhitung.

Teorema Bolzano-WeierstrassSebelum dijelaskan tentang Teorema Bolzano-Weierstrass, terlebih dahulu dijelaskan

mengenai titik cluster. Berikut diberikan definisinya.


37/78



33

Definisi 1.5.6. (Titik Cluster) Diberikan subset tak kosong S . Titik x

disebut titik cluster (cluster points) jika setiap persekitaran ( )( ) ,V x x x = +

memuat paling sedikit satu titik anggota S yang tidak sama denganx. Titik cluster sering

disebut dengan titik akumulasi atau titik limit.

Dengan kata lain, x titik cluster S jika untuk setiap 0 > berlaku

( ) { }( )V x S x atau { }( )( )V x x S .

Ekuivalen dengan mengatakan bahwa x titik cluster S jika untuk setiap n ,

terdapat ns S sedemikian hingga1

0 ns xn

< < .

Contoh 1.5.7.

(1)Diberikan ( )0,2S = . Apakah 0 merupakan titik cluster?Jawab. Diambil 0 > , maka ( ) ( ) ( )0 0 ,0 ,V = + = . Menggunakan

Teorema Densitas, maka 0 merupakan titik cluster S dan 0 S . Demikian juga

bahwa1

2

merupakan titik cluster S dan1

2

S .

(2)Diberikan [ ] { }1,2 4A = . Apakah 4 titik cluster?Jawab. Persekitaran- dari 4 adalah ( ) ( )4 4 ,4V = + . Misal diambil

1

2 = , maka ( )

1 1 1 14 4 ,4 3 , 4

2 2 2 2V

= + =

. Sehingga diperoleh bahwa

[ ] { }1 1

3 ,4 1,2 42 2

=

. Jadi, 4 bukan titik cluster.

(3)Diberikan 1 1 1 1: 1, , , ,...2 3 4

B nn

= =

. Tunjukkan bahwa 0 titik cluster B

dengan 0 B .

Jawab. Menggunakan Sifat Archimedes, jika diberikan sebarang 0 > , maka

terdapat n sedemikian hingga1

0n

< < . Persekitaran titik 0 adalah


38/78



34

( ) ( )0 ,V = . Jika dipilih sangat kecil, maka1

0n

< < . Jadi, 0 merupakan

titik clusterB dengan 0 B .

1.5.8. Teorema Bolzano-Weierstrass Setiap subset yang tak berhingga (infinite)

dan terbatas, mempunyai paling sedikit satu titik cluster.

Bukti. Diberikan sebarang subset S tak berhingga dan terbatas. Karena S terbatas,

maka terdapat interval [ ]1 ,I a b= dengan panjang ( )1I b a= L . Kemudian bagilah 1I

menjadi dua bagian, yaitu , 2

a b

a

+

dan ,2

a b

b

+

. KarenaS

tak berhingga, maka

salah satu interval tersebut memuat tak hingga banyak titik anggota S, sebab apabila

keduanya memuat berhingga banyak anggota S, maka berarti himpunan S berhingga.

Namakan bagian yang memuat tak hingga banyak titik anggota S dengan 2I .

Panjangnya ( )22

b aI

=L . Selanjutnya, 2I dibagi menjadi dua bagian seperti langkah

di atas, maka salah satu bagian memuat tak hingga banyak anggota S. Namakan bagian

tersebut dengan 3I . Panjangnya ( )3 22

b aI =L . Apabila proses diteruskan, maka

diperoleh barisan interval susut (nested)

1 2 3 ... ....nI I I I

Menurut Sifat Interval Susut, maka1

n

n

I

=

, atau terdapat1

n

n

x I

=

.

Akan ditunjukkan bahwax titik cluster S. Diambil sebarang 0 > , maka terdapat n

sedemikian hingga1

2nb a

< , dan persekitarannya ( ) ( ),V x x x = + . Karena nx I

dan ( )1

2n n

b aI

=


39/78



35

Himpunan Terbuka dan TertutupDefinisi 1.5.9.

(i) Himpunan G dikatakan terbuka dalam jika untuk setiap x G ,terdapat persekitaran ( )V x sedemikian hinnga ( )V x G .

(ii)Himpunan F dikatakan tertutup dalam jika komplemen F, yaitucF terbuka dalam .

Contoh 1.5.10.

(1) Himpunan ( ),= terbuka, sebab untuk setiap x , terdapat( )1( ) 1, 1V x x x= + .

(2) Himpunan ( )0,1A = terbuka, sebab jika diambil 1min ,2 2

x x

=

untuk

setiap x A , maka ( ) ( ),V x x x A = + .

(3) Himpunan [ ]1,2B = tertutup, sebab jika diambil 1x = , maka untuk setiap0 > , ( ) ( )1 1 ,1V B = + dan 1 B . Dapat ditunjukkan juga bahwa

cB terbuka, yaitu ( ) ( ),1 2,cB = terbuka.

1.5.11. Sifat Himpunan Terbuka

(a) Jika A himpunan indeks (berhingga atau tak berhingga) danx

G terbuka

untuk setiap A , makaA

G

terbuka.

(b)Jika 1 2, ,..., nG G G masing-masing merupakan himpunan terbuka, maka1

n

i

i

G

=

terbuka.

Bukti.

(a)NamakanA

G G

= . Diambil sebarang x G , maka terdapat 0 A

sedemikian hingga0

x G . Karena 0G terbuka, maka terdapat


40/78



36

( ) 0V x G G . Jadi, terbukti bahwa untuk setiap x G , terdapat ( )V x G ,

yang berartiA

G G

= terbuka.

(b)Namakan1

n

i

i

H G=

= . Akan ditunjukkan bahwa H terbuka. Diambil sebarang

x H , makai

x G , 1,2,...,i n= .

Karena 1x G dan 1G terbuka, maka terdapat 1 0 > sehingga ( )1 1V x G .

Karena 2x G dan 2G terbuka, maka terdapat 2 0 > sehingga ( )2 2V x G .

Demikian seterusnya.

Karena nx G dan nG terbuka, maka terdapat 0n > sehingga ( )n nV x G .

Namakan { }1 2min , ,..., n = , jelas bahwa 0 > . Maka ( ) ( )i iV x V x G

untuk setiap 1,2,...,i n= , yang berakibat bahwa ( )1

n

i

i

V x H G=

= . Jadi,

terbukti bahwa1

n

i

i

G=

terbuka.

Berikut ini diberikan akibat dari sifat himpunan terbuka, yaitu sifat untuk

himpunan tertutup.

Akibat 1.5.12.

(a) Jika A himpunan indeks (berhingga atau tak berhingga) dan xG tertutupuntuk setiap A , maka

A

G

tertutup.

(b)Jika 1 2, ,..., nG G G masing-masing merupakan himpunan tertutup, maka1

n

i

i

G=

tertutup.


41/78



37


1. Jika [ ]: ,I a b= dan [ ]: ,I a b = interval tertutup dalam , tunjukkan bahwaI I jika dan hanya jika a a dan b b .

2. Jika S tidak kosong, tunjukkan bahwa S terbatas jika dan hanya terdapatinterval tertutup terbatasIsedemikian hingga S I .

3. Jika S tidak kosong dan terbatas, dan [ ]: inf ,supSI S S= , tunjukkan bahwaS

S I . Selanjutnya, jika J adalah sebarang interval tertutup terbatas yang

memuat S, tunjukkan bahwa SI J .

4.

Diberikan ( ): ,nK n=

untuk n

. Buktikan bahwa 1 nn K

=

=

.

5. Jika S himpunan terbatas di dan T S tidak kosong, buktikan bahwainf inf sup supS T T S .

6. Buktikan Akibat 1.5.1.2.(b).


42/78



38

BAB 2

BARISAN DAN DERET

Pada bab ini dibahas mengenai pengertian barisan dan deret. Selanjutnya, dibahas

tentang limit dan konvergensi dari suatu barisan. Di antaranya adalah Teorema

Konvergen Monoton, Teorema Bolzano-Weierstrass, dan Kriteria Cauchy untuk barisan

yang konvergen.

2.1. Barisan dan Limit Barisan

Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain dan

mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di dan

konvergensi dari suatu barisan.

Definisi 2.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada

himpunan dengan range dalam .

Dengan kata lain, barisan dalam mengawankan setiap bilangan asli

1,2,3,...n = kepada suatu bilangan real. Jika :X merupakan barisan, maka

biasanya dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi nx . Barisan sering

dinotasikan dengan X atau ( )nx atau ( ):nx n atau { }nx atau { } 1n nx . Apabila

diketahui suatu barisan Y, artinya ( )kY y= .

Contoh 2.1.2.

(a)Barisan ( )nx dengan ( )1 nnx = adalah barisan ( )1,1, 1,1, 1,1,..., 1 ,...n .(b)Barisan ( )nx dengan 1

2n n

x = ,1 1 1 1 1

: , , ,..., ,...2 2 4 8 2n n

n

=

.

(c)Barisan konstan ( )nk dengan 3nk = adalah 3,3,3,3,.... .


43/78



39

(d)Barisan 1 2 3, , ,..., ,...1 2 3 4 1

n n

n n

=

+ + .

Definisi 2.1.3. Diberikan barisan bilangan real ( )nx dan ( )ny , dan . Maka dapat

didefinisikan

(i) ( ) ( ) ( )n n n nx y x y = .(ii) ( ) ( )n nx x = .(iii) ( ) ( ) ( )n n n nx y x y = .

(iv) ( )

( )n n

n n

x x

y y

= , asalkan 0ny .

Definisi 2.1.4.(Limit Barisan) Diketahui ( )nx barisan bilangan real. Suatu bilangan

real x dikatakan limit barisan ( )nx jika untuk setiap 0 > terdapat ( )K

sedemikian hingga untuk setiap n dengan ( )n K berlaku nx x < .

Jika x adalah limit suatu barisan ( )nx , maka dikatakan ( )nx konvergen ke x,

atau ( )nx mempunyai limitx. Dalam hal ini ditulis ( )lim nn

x x

= atau ( )lim nx x= atau

nx x . Jika ( )nx tidak konvergen, maka ( )nx dikatakan divergen.

Teorema 2.1.5. Jika barisan ( )nx konvergen, maka ( )nx mempunyai paling banyak

satu limit(limitnya tunggal).

Bukti.Andaikan ( )lim nn

x x

= dan ( )lim nn

x x

= dengan x x . Maka untuk sebarang

0 > terdapat K sedemikian hingga2n

x x < untuk setiap n K , dan terdapat

K sedemikian hingga2n

x x < untuk setiap n K . Dipilih { }max ,K K K = .

Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n K diperoleh


44/78



40

.

2 2

n n

n n

x x x x x x

x x x x

= +

= +

< + =

Karena berlaku untuk setiap 0 > , maka 0x x = yang berarti x x = . Kontradiksi

dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal.

Teorema 2.1.6. Jika ( )nx barisan bilangan real dan x , maka empat pernyataan

berikut ekuivalen.

(a)Barisan ( )nx konvergen ke x.(b)Untuk setiap 0 > terdapat K sedemikian hingga untuk setiap n K

berlaku nx x < .

(c)Untuk setiap 0 > terdapat K sedemikian hingga untuk setiap n K berlaku nx x x < < + .

(d)Untuk setiap persekitaran ( )V x dari x , terdapat K sedemikian hinggauntuk setiap n K berlaku ( )nx V x .

Bukti.

(a) (b) Jelas (dari definisi).

(b) (c) nx x < nx x < < nx x x < < + .

(c) (d) nx x x < < + ( ),nx x x + ( )nx V x .

(d) (a) ( )nx V x nx x x < < + nx x < .

Contoh 2.1.7.

(a)Tunjukkan bahwa 1lim 0n n

= .


45/78



41

Jawab. Akan ditunjukkan bahwa ( )1

nxn

=

konvergen ke 0, yaitu

10

n . Harus

dibuktikan bahwa untuk setiap 0 > terdapat ( )K sedemikian hingga untuk

setiap n dengan ( )n K berlaku1

0n

< .

Ambil sebarang 0 > , maka1

0

> . Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat

( )K sedemikian hingga ( )1

K

< , atau( )

1

K

< . Akibatnya untuk setiap

( )n K berlaku( )

1 1 1 10

n n n K

= = < . Jadi, terbukti bahwa untuk setiap 0 >

terdapat ( )K sedemikian hingga untuk setiap n dengan ( )n K berlaku

10

n < , atau

1lim 0n n

= .

(b)Tunjukkan bahwa2

1lim 0n n

= .

Jawab. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap 0 > terdapat ( )K sedemikian

hingga untuk setiap n dengan ( )n K berlaku2

10

n < . Diambil sebarang

0 > , maka1

2 0 > , akibatnya1

2

10

> . Menurut Sifat Archimedes, terdapat

( )K sedemikian hingga ( )12

1K

< atau

( )

12

1

K

< , diperoleh

( )2

1

K

< .

Akibatnya untuk setiap ( )n K berlaku( )

22 2

1 1 10

n n K

= < . Jadi, terbukti

bahwa untuk setiap 0 > terdapat ( )K sedemikian hingga untuk setiap n

dengan ( )n K berlaku2

10

n < , atau

2

1lim 0n n

= .


46/78



42

Contoh 2.1.8. Tunjukkan bahwa ( )( )1 n divergen.

Jawab. Andaikan ( )( )1n

konvergen, berarti terdapat bilangan real x sehingga untuk

setiap 0 > terdapat K sedemikian hingga untuk setiap n K berlaku

( )1 1n

x < . Untuk n K dan n genap, maka ( )1 1n

= , diperoleh

1 1x < 1 1 1x < < ,

yang berakibat 0x > . Untuk n K dan n ganjil, maka ( )1 1n

= , diperoleh

1 1x < 1 1 1x < < ,

yang berakibat 0x < . Timbul kontradiksi, yaitu 0x > dan 0x < . Jadi pengandaian

salah, yang benar ( )( )1n

divergen.

Teorema 2.1.9. Diberikan barisan bilangan real ( ):nX x n= dan m . Maka

( ):m m nX x n+= konvergen jika dan hanya jika X konvergen. Dalam hal ini

lim limmX X= .

Bukti. Perhatikan bahwa untuk sebarang p , elemen ke-p dari mX adalah elemen

ke- ( )p m+ dariX. Sama halnya, jika q m> , maka bentuk elemen ke-q dari mX adalah

elemen ke- ( )q m dariX.

Diasumsikan bahwaXkonvergen kex. Diberikan sebarang 0 > , pada barisan

X untuk ( )n K berlaku nx x < , maka pada mX untuk ( )k K m berlaku

kx x < . Dapat diambil ( ) ( )mK K m = , sehingga mX konvergen kex.

Sebaliknya, jika pada mX untuk ( )mk K berlaku kx x < , maka pada X

untuk ( )n K m + berlaku nx x < . Dapat diambil ( ) ( )mK K m = + . Dengan

demikian terbukti bahwaXkonvergen kex jika dan hanya jika mX konvergen kex.


47/78



43

Teorema 2.1.10. Diberikan barisan bilangan real ( )nx dan x . Jika ( )na adalah

suatu barisan bilangan real positif dengan ( )lim 0na = dan jika untuk 0c > dan

m berlaku

n nx x ca untuk semua n m ,

maka ( )lim nx x= .

Bukti. Diambil 0 > , maka 0c

> . Karena ( )lim 0na = , maka terdapat ( )K c

sedemikian hingga untuk setiap ( )n K c berlaku 0nac

< . Akibatnya untuk

setiap ( )n K c berlaku n nx x c a c c

< = atau nx x < . Terbukti bahwa

( )lim nx x= .

Contoh 2.1.11. Jika 0a > , tunjukkan bahwa1

lim 01n na

=+

.

Jawab. Karena 0a > , maka 0 1na na< < + yang berakibat bahwa

1 1 1 10

1 na na n a< < =

+untuk setiap n .

Diperoleh

1 1 1 1 1 10

1 1na na n a a n = < =

+ +untuk setiap n .

Karena telah diketahui bahwa1

lim 0n n

= , maka menurut Teorema 2.1.10 dan dengan

mengambil 1 0ca

= > berakibat bahwa 1lim 01n na

=+

.


48/78



44


1. Tuliskan lima bilangan pertama dari barisan ( )nx untuk nx berikut.(a) ( )1:

n

nxn

= .

(b)2

1:

2nx

n=

+.

2. Tentukan rumus ke-n untuk barisan berikut.(a)5, 7, 9, 11, ....(b) 1 1 1 1, , , ,....

2 4 8 16

3. Untuk sebarang b , buktikan bahwa lim 0bn

=

.

4. Tunjukkan (menggunakan definisi limit barisan).(a) 2lim 2

1

n

n

=

+ .

(b) 22

1 1lim

2 3 2

n

n

=

+ .

5. Tunjukkan bahwa ( )lim 0nx = jika dan hanya jika ( )lim 0nx = .6. Tunjukkan bahwa jika 0nx untuk semua n dan ( )lim 0nx = , maka

( )lim 0nx = .

7. Buktikan bahwa jika ( )lim nx x= dan jika 0x > , maka terdapat M sedemikian hingga 0nx > untuk semua n M .

8. Tunjukkan bahwa 1 1lim 01n n

= + .

9. Tunjukkan bahwa 2lim 0!

n

n

=

.

10.Jika ( )lim 0nx x= > , tunjukkan bahwa terdapat K sedemikian hingga jikan K , maka

12

2nx x x< < .


49/78



45

2.2. Teorema-teorema Limit

Pada subbab ini akan dibahas mengenai beberapa teorema yang berkaitan dengan limit

pada barisan bilangan real, seperti barisan terbatas dan kekonvergenan barisan.

Definisi 2.2.1. Barisan bilangan real ( )nX x= dikatakan terbatas jika terdapat

bilangan real 0M > sedemikian hingga nx M untuk semua n .

Oleh karena itu, barisan ( )nx terbatas jika dan hanya jika himpunan { }:nx n

merupakan subset terbatas dalam .

Teorema 2.2.2. Jika ( )nX x= konvergen, maka ( )nX x= terbatas.

Bukti. Diketahui ( )nX x= konvergen, misalkan konvergen ke x. Diambil 1 = , maka

terdapat K sedemikian hingga untuk setiap n K berlaku 1nx x < .

Menggunakan akibat Ketaksamaan Segitiga, maka 1nx x < atau 1nx x< + untuk

semua n K . Namakan { }1 2 1max , ,..., , 1kM x x x x= + , maka nx M , untuk semua

n . Jadi, terbukti bahwa ( )nX x= terbatas.

Teorema 2.2.3. Jika ( )nX x x= , ( )nY y y= , dan c , maka

(i) X Y x y + .(ii) X Y xy .(iii) cX cx .

Bukti.

(i) Ambil sebarang 0 > . Karena ( )nX x x= , maka terdapat 0n sedemikianhingga untuk setiap 0n n berlaku

2nx x

< . Karena ( )nY y y= , maka


50/78



46

terdapat 1n sedemikian hingga untuk setiap 1n n berlaku2

ny y

< . Pilih

{ }2 0 1max ,n n n= , maka akibatnya untuk 2n n berlaku

( ) ( ) ( )

.2 2

n n n n

n n

x y x y x x y y

x x y y

+ = +

+ < + =

Karena berlaku untuk sebarang 0 > , maka ( )n nx y+ konvergen ke x y+ .

Dengan cara yang sama diperoleh bahwa ( )n nx y konvergen ke x y . Jadi,

terbukti bahwa X Y x y + .

(ii) Akan dibuktikan bahwa untuk setiap 0 > terdapat K sedemikian hinggauntuk setiap n K berlaku n nx y xy < . Diketahui

.

n n n n n n

n n n n

n n n

x y xy x y x y x y xy

x y x y x y xy

x y y x x y

= +

+

= +

Karena ( )nx x , maka ( )nx terbatas, akibatnya terdapat 1 0M > sedemikian

hingga 1nx M

, untuk semua n

. Namakan { }1max ,M M y=

. Diambil

sebarang 0 > . Karena ( )nx x , maka terdapat 1K sedemikian hingga

untuk setiap 1n K berlaku2

nx xM

< . Karena ( )ny y , maka terdapat

2K sedemikian hingga untuk setiap 2n K berlaku2

ny yM

< . Namakan

{ }1 2max ,K K K= , maka untuk setiap n K berlaku

. . .2 2 2 2

n n n n nx y xy x y y x x y

M MM M

+

< + = + =

Jadi, terbukti bahwa untuk setiap 0 > terdapat K sedemikian hingga untuk

setiap n K berlaku n nx y xy < . Dengan kata lain, terbukti bahwa

X Y xy .


51/78



47

(iii) Ambil sebarang 0 > . Karena ( )nx x , maka terdapat K sedemikianhingga untuk setiap n K berlaku

2nx x

< . Perhatikan bahwa

1 .

n n n n

n n n

n n

cx x cx x x x

cx x x x

x c x x

= +

+

= +

Karena ( )nx x , maka ( )nx terbatas, yaitu terdapat 0M > sedemikian hingga

nx M , untuk semua n . Akibatnya

( )1 . 1 . 12 2

n nx c x x M c M c

+ < + = + < .

Terbukti bahwa untuk setiap 0 > terdapat K sedemikian hingga untuk

setiap n K berlaku ncx x < . Dengan kata lain, terbukti bahwa cX cx .

Teorema 2.2.4. Jika ( )nX x x= dan ( ) 0nZ z z= dengan 0nz untuk semua

n , maka

n

n

xX x

Z z z

= .

Bukti. Terlebih dahulu harus dibuktikan bahwa1 1 1

nZ z z

=

. Diambil

1

2z = ,

maka 0 > . Karena ( )lim nz z= , maka terdapat 1K sedemikian hingga untuk

setiap 1n K berlaku nz z < . Menggunakan akibat Ketaksaman Segitiga bahwa

n nz z z z untuk 1n K , yang berarti1

2nz z z= untuk 1n K .

Oleh karena1 2

nz z untuk 1n K , maka diperoleh

2

1 1 1 2nn

n n n

z zz z

z z z z z z z

= = .


52/78



48

Selanjutnya, diberikan 0 > , maka terdapat 2K sedemikian hingga jika 2n K ,

maka21

2nz z z < . Jika diambil { }1 2( ) max ,K K K = , maka

1 1

nz z < untuk semua ( )n K .

Karena berlaku untuk sebarang 0 > , maka terbukti bahwa1 1

limnz z

=

atau

1

nz

konvergen ke1

z. Menggunakan Teorema 2.2.3(ii) dan dengan mengambil Y sebagai

barisan

1

nz

, maka

1n

n

x x

X Y xz z z

= = .

Teorema 2.2.5. Jika ( )nX x= barisan bilangan real dengan 0nx untuk semua

n dan ( )nx x , maka 0x .

Bukti. Diambil 0x = > . Karena ( )nx x , maka terdapat K sedemikian hingga

untuk setiap n K berlaku

( ) ( )

2 0.

n n

n

n

n

x x x x

x x x

x x x x x

x x

< < , maka terbukti bahwa ( )lim ny w= .


54/78



50

Teorema 2.2.9. Jika ( )nX x x= , maka ( )nX x x= .

Bukti. Diberikan 0 > . Karena ( )nX x x= , maka terdapat K sedemikian

hingga untuk setiap n K berlaku nx x < . Menggunakan akibat Ketaksamaan

Segitiga, diperoleh bahwa untuk setiap n berlaku

n nx x x x < .

Jadi, diperoleh bahwa nx x < , atau ( )nX x x= .

Teorema 2.2.10. Jika( )n

X x x= dan 0n

x , maka barisan bilangan real positif

( )nx x .

Bukti. Menurut Teorema 2.2.5 diperolah bahwa 0x . Akan ditunjukkan bahwa

teorema benar untuk 0x = dan 0x > .

Kasus I: Jika 0x = , diberikan 0 > . Karena ( ) 0nx x = , maka terdapat K

sedemikian hingga untuk setiap n K berlaku

20 0n nx x = < .

Sehingga diperoleh bahwa 0 nx < . Karena berlaku untuk setiap 0 > , maka

terbukti bahwa ( )nx x .

Kasus II: Jika 0x > , maka 0x > . Diberikan 0 > , maka terdapat K

sedemikian hingga untuk setiap n K berlaku nx x < . Perhatikan bahwa

( )( )n n n

n

n n

x x x x x xx xx x x x

+ = =+ +

.

Karena 0nx x x+ > , maka diperoleh

1n nx x x x

x x

, maka terbukti bahwa ( )nx x .


55/78



51

Teorema 2.2.11. Jika ( )nx barisan bilangan real (tegas) dengan1lim n

n

xL

x

+

=

(ada)

dan 1L < , maka ( )nx konvergen dan ( )lim 0nx = .

Bukti. Dipilih r sedemikian hingga 1L r< < . Diambil 0r L = > . Karena

1lim n

n

xL

x

+

=

, maka terdapat K sedemikian hingga untuk setiap n K berlaku

1n

n

xL

x+ < . Karena

1 1n n

n n

x xL Lx x

+ + ,

maka

1n

n

xL

x+ < .

Sehingga diperoleh

1n

n

xL

x

+ < 1n

n

xL L r L r

x

+ < + < + = 1n nx x r + < ,

Jadi, untuk setiap n K berlaku

2 3 1 1

1 1 20 ...n k nk

n n n n k k

xx x r x r x r x r r

r

+ +

+ < < < < < < = .

Jika diambil kk

xc

r= , maka diperoleh

1

10n

nx cr +

+< < untuk semua n K .

Mengingat bahwa ( )lim 0n

r = (sebab 0 1r< < ), maka

( ) ( ) ( ) ( )1 1lim 0 lim 0 lim 0 lim 0n n

n nr r x x+

+= = = = .

Jadi, terbukti bahwa ( )nx konvergen dan ( )lim 0nx = .


56/78



52

SOAL LATIHAN SUBBAB 2.2.

1. Tentukan apakah barisan berikut konvergen atau divergen.

(a) 2

: 1nn

x n= + . (b)

2

2

2 3

: 1nn

x n

+

= + .

(c) ( )1:1

n

n

nx

n

=

+

2. Tunjukkan bahwa jika X dan Y barisan bilangan real sedemikian hingga X danX Y+ konvergen, maka Ykonvergen.

3. Tunjukkan bahwa barisan ( )( )21 n n tidak konvergen.4. Diberikan : 1ny n n= + untuk n . Tunjukkan bahwa ( )ny dan ( )nny

konvergen. Carilah nilai limitnya.

5. Jika 0, 0a b> > , tunjukkan bahwa ( ) ( )( )lim2

a bn a n b n

++ + = .

6. Gunakan Teorema Squeeze (2.2.8) untuk menentukan limit barisan berikut.(a) 1 2nn

. (b) ( )( )2

1

! nn .

7. Berilah sebuah contoh barisan konvergen ( )nx dengan 1lim 1nn

x

x

=

.

8. Diberikan barisan bilangan real positif ( )nX x= dengan 1lim 1nn

xL

x

= >

.

Tunjukkan bahwaXtidak terbatas dan tidak konvergen.

9. Diberikan ( )nx barisan konvergen dan ( )ny sedemikian hingga untuk sebarang0 > terdapat M sedemikian hingga untuk setiap n M berlaku

n nx y < . Apakah ( )ny konvergen?

10.Tunjukkan bahwa jika ( )nx dan ( )ny barisan konvergen, maka barisan ( )nu dan( )nv yang didefinisikan dengan { }: max ,n n nu x y= dan { }: min ,n n nv x y=

konvergen.


57/78



53

2.3. Barisan Monoton

Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun monoton.

Definisi 2.3.1. Diberikan barisan bilangan real ( )nX x= .

(i) BarisanXdikatakan naik (increasing) jika 1n nx x + untuk semua n .(ii) BarisanXdikatakan naik tegas (strictly increasing) jika 1n nx x +< untuk semua

n .

(iii) BarisanXdikatakan turun (decreasing) jika 1n nx x + untuk semua n .(iv) Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika 1n nx x +> untuk

semua n .

Definisi 2.3.2. Barisan ( )nX x= dikatakan monoton jika berlaku salah satu Xnaik

atauXturun.

Contoh 2.3.3.

(a)Barisan berikut ini naik (monoton).(i) (1, 2, 3, 4,..., n,...).(ii) (1, 2, 2, 3, 3, 3, ...).(iii) ( )2 3 4, , , ,..., ,...na a a a a jika 1a > .

(b)Barisan berikut ini turun (monoton).(i) 1 1 11, , ,..., ,...

2 3 n

.

(ii) 2 3 11 1 1 11, , , ,..., ,...2 2 2 2n .(iii) ( )2 3 4, , , ,..., ,...nb b b b b jika 0 1b< < .

(c)Barisan berikut ini tidak monoton.(i) ( )( )11, 1, 1,..., 1 ,...n++ + .(ii) ( )1, 2, 3, 4,... + + .


58/78



54

2.3.4. Teorema Konvergensi Monoton

(a) Jika ( )nX x= naik(monoton) dan terbatas ke atas, maka ( )nX x= konvergendengan

( ) { }lim sup :n nx x n= .

(b) Jika ( )nX x= turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka ( )nX x= konvergen dengan

( ) { }lim inf :n nx x n= .

Bukti.

(a) Karena ( )nX x= terbatas ke atas, maka terdapat M sedemikian hingganx M untuk semua n . Namakan { }:nA x n= , maka A ,

terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap , maka supremum

A ada, namakan supx A= . Diambil 0 > , maka terdapat K sedemikian

hinggakx x x < . KarenaXnaik monoton, maka untuk n K berlaku

k nx x x x x < < +

atau

nx x x < < + nx x < .

Jadi, terbukti bahwa ( )nX x= konvergen ke ( ) { }lim sup :n nx x x n= = .

(b) Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).

Contoh 2.3.5. Diketahui barisan ( )ny dengan 1 1y = dan 1 2n ny y+ = + , 1n . Apakah

( )ny konvergen? Jika ya, tentukan ( )lim ny .

Jawab. Akan ditunjukkan menggunakan induksi bahwa ( )ny naik monoton.

Untuk 1n = , diperoleh 2 2 1 3 1y = + = (benar). Misalkan benar untuk n k= , yaitu

1 2k ky y+ = + , 1k ky y+ . Akan dibuktikan benar untuk 1n k= + , yaitu

2 1 12 2k k k k y y y y+ + += + + = .


59/78



55

Berarti benar untuk 1n k= + . Jadi, menurut induksi ( )ny naik monoton. Selanjutnya,

ditunjukkan bahwa ( )ny terbatas ke atas (oleh 3), yaitu 3ny , untuk semua n .

Untuk 1n = benar, sebab 1 1 3y = . Misalkan benar untuk n k= , yaitu 3ky . Maka

1 2 2 3 5 3k ky y+ = + + = yang berarti benar untuk 1n k= + . Jadi, menurut

induksi terbukti bahwa 3ny , untuk semua n . Karena ( )ny naik monoton dan

terbatas ke atas, maka menurut Teorema 2.3.4 barisan ( )ny konvergen. Misalkan

( )lim ny y= , maka diperoleh

( ) ( )2 22 2 2 0 2 1 0y y y y y y y y= + = + = + = .

Diperoleh 2y = atau 1y = . Untuk 1y = jelas tidak mungkin, sebab 1 3ny

untuk semua n . Jadi, terbukti bahwa ( )ny konvergen dan ( )lim 2ny = .


1. Diberikan 1 1x > dan 1 1: 2nn

xx

+= untuk n . Tunjukkan bahwa ( )nx terbatas

dan monoton. Carilah nilai limitnya.

2. Diberikan 1 2x dan 1 : 1 1n nx x+ = + untuk n . Tunjukkan bahwa ( )nx turun dan terbatas ke bawah oleh 2. Carilah nilai limitnya.

3. Diberikan A tak berhingga yang terbatas ke atas dan misalkan : supu A= .Tunjukkan bahwa terdapat barisan naik ( )nx dengan nx A untuk semua n

sedemikian hingga ( )lim nu x= .

4. Tentukan apakah barisan ( )ny konvergen atau divergen, dengan1 1 1

: ...1 2 2

nyn n n

= + + ++ +

untuk n .


60/78



56

5. Diberikan2 2 2

1 1 1: ...

1 2nx

n= + + + untuk setiap n . Buktikan bahwa ( )nx naik

dan terbatas, sehingga ( )nx konvergen. (Petunjuk: Jika 2k , maka

( )21 1 1 1

1 1k k k k k =

).

6. Tentukan konvergensi dan hitunglah limit barisan berikut.(a)

11

1

n

n

+ +

. (b)

21

1

n

n

+

.

(c)1

11

n

n

+ +

. (d)1

1

n

n

.

2.4. Barisan Bagian

Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences) dari suatu barisan

bilangan real.

Definisi 2.4.1. Diberikan barisan bilangan real ( )nX x=

dan diberikan barisan

bilangan asli naik tegas 1 2 ... ...kn n n< < < < . Barisan ( )knX x = dengan

( ) ( )1 2, ,..., ,...

k kn n n nx x x x=

disebut dengan barisan bagian atau sub barisan (subsequences) dariX.

Contoh 2.4.2. Diberikan1 1 1 1

: , , ,..., ,...1 2 3

Xn

=

.

(i) Barisan 1 1 1 1 1, , ,..., ,...2 4 6 2

Xn

=

merupakan barisan bagian dariX.

(ii) Barisan 2 1 1 1 1, , , ,...4 5 6 7

X

=

merupakan barisan bagian dariX.

(iii) Barisan 3 1 1 1 1, , , ,...3 2 4 5

X

=

bukan barisan bagian dariX, sebab 2 1n n< .


61/78



57

Teorema 2.4.3. Jika ( )nX x= konvergen ke x, maka setiap barisan bagian ( )knX x =

dari X juga konvergen ke x.

Bukti. Diambil 0 > . Karena ( )nx x , maka terdapat ( )K sedemikian hingga

untuk setiap ( )n K berlaku nx x < . Karena untuk setiap n berlaku 1k kn n+ ,

maka untuk setiap ( )n K berlaku ( )kn k K . Sehingga

knx x < .

Terbukti bahwa ( )kn

X x = konvergen kex.

Teorema 2.4.4. Diberikan barisan bilangan real ( )nX x= , maka pernyataan berikut

ini ekuivalen.

(i) Barisan ( )nX x= tidak konvergen ke x .(ii) Ada 0 0 > sedemikian hingga untuk sebarang k , terdapat kn

sedemikian hingga kn k dan 0knx x .

(iii) Ada 0 0 > dan suatu barisan bagian ( )knX x = sedemikian hingga0kn

x x untuk semua k .

Bukti.

(i) (ii) Jika ( )nx tidak konvergen ke x, maka untuk suatu 0 0 > tidak mungkin

ditemukan k sedemikian hingga untuk setiap kn k berlaku 0knx x < .

Akibatnya tidak benar bahwa untuk setiap k , n k memenuhi 0knx x < .

Dengan kata lain, untuk setiap k terdapat kn sedemikian hingga kn k dan

0knx x .


62/78



58

(ii) (iii) Diberikan 0 0 > sehingga memenuhi (ii) dan diberikan 1n sedemikian

hingga 1 1n dan 1 0nx x . Selanjutnya, diberikan 2n sedemikian hingga

2 1n n> dan 2 0nx x . Demikian seterusnya sehingga diperoleh suatu barisan bagian

( )kn

X x = sehingga berlaku 0knx x untuk semua k .

(iii) (i) Misalkan ( )nX x= mempunyai barisan bagian ( )knX x = yang memenuhi

sifat (iii). Maka X tidak konvergen ke x, sebab jika konvergen ke x, maka ( )kn

X x =

juga konvergen kex. Hal ini tidak mungkin, sebab ( )kn

X x = tidak berada dalam

persekitaran ( )0V x .

Teorema 2.4.5. (Kriteria Divergensi) Jika barisan bilangan real ( )nX x= memenuhi

salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen.

(i) X mempunyai dua barisan bagian konvergen ( )kn

X x = dan ( )kr

X x =

dengan limit keduanya tidak sama.

(ii) X tidak terbatas.

Contoh 2.4.6. Tunjukkan bahwa barisan1 1

1, ,3, ,...2 4

divergen.

Jawab. Namakan barisan di atas dengan ( )nY y= , dengan1

nyn

= jika n genap, dan

ny n= jika n ganjil. Jelas bahwa Ytidak terbatas. Jadi, barisan ( )nY y= divergen.

Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa barisan bilangan

real ( )nX x= pasti mempunyai barisan bagian yang monoton. Untuk membuktikan

teorema ini, diberikan pengertian puncak (peak), mx disebut puncak jika m nx x untuk

semua n sedemikian hingga n m . Titik mx tidak pernah didahului oleh sebarang


63/78



59

elemen barisan setelahnya. Perhatikan bahwa pada barisan yang menurun, setiap elemen

adalah puncak, tetapi pada barisan yang naik, tidak ada elemen yang menjadi puncak.

2.4.7. Teorema Barisan Bagian Monoton Jika ( )nX x= barisan bilangan real,

maka terdapat barisan bagian dari X yang monoton.

Bukti. Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu X mempunyai tak hingga banyak

puncak, danXmempunyai berhingga banyak puncak.

Kasus I:Xmempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik,

yaitu1 2

, ,..., ,...k

m m mx x x . Maka1 2

... ,...k

m m mx x x . Oleh karena itu,

( )k

mx merupakan

barisan bagian yang turun (monoton).

Kasus II: X mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik,

yaitu1 2, ,...,

rm m mx x x . Misalkan 1 : 1rs m= + adalah indeks pertama dari puncak yang

terakhir. Karena1s

x bukan puncak, maka terdapat 2 1s s> sedemikian hingga 1 2s sx x< .

Karena2s

x bukan puncak, maka terdapat 3 2s s> sedemikian hingga 2 3s sx x< . Jika

proses ini diteruskan, diperoleh barisan bagian

( )ks

x yang naik (monoton).

Teorema 2.4.8. (Bolzano-Weierstrass) Setiap barisan bilangan real yang terbatas

pasti memuat barisan bagian yang konvergen.

Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas ( )nX x= . Namakan { }:nS x n=

range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak berhingga.

Kasus I: Diketahui S berhingga. Misalkan { }1 2, ,..., tS x x x= , maka terdapat m

dengan 1 m t dan barisan ( ):kr k dengan 1 2 3 ...r r r< < < sehingga

1 2...r r mx x x= = = . Hal ini berarti terdapat barisan bagian ( ):krx k yang konvergen

kemx .


64/78



60

Kasus II: Karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik cluster atau

titik limit, namakanx titik limit S. Misalkan1 1

,kU x xk k

= +

persekitaran titikx.

Untukk= 1, maka terdapat1 1r

x S U ,1r

x x sedemikian hingga1

1rx x < .


x S U ,2r


1

2rx x < .


x S U ,3r


1

3rx x < .

Demikian seterusnya, sehingga diperoleh:

Untukk= n, maka terdapatnr n

x S U ,nr


nrx x

n

< .

Ambil 0 > . Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat K sedemikian hingga

1

K< . Maka untuk setiap n K berlaku

1 1nr

x xn K

< < . Terbukti bahwa ( )nr

x

konvergen kex dengan ( )nr

x barisan bagian ( )nx .

Teorema 2.4.9. Diberikan barisan bilangan real terbatas ( )nX x= dan diberikan

x yang mempunyai sifat bahwa setiap barisan bagian dari X konvergen ke x. Maka

barisan X konvergen ke x.

Bukti. Misalkan 0M > adalah batas dari barisan X sehingga nx M untuk semua

n . Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menggunakan Teorema 2.4.4 terdapat

0 0 > dan barisan bagian ( )knX x = sedemikian hingga 0knx x untuk semua

K . Karena X barisan bagian dari X, maka Mjuga batas dari X . Menggunakan

Teorema Bolzano-Weierstrass berakibat bahwa X memuat barisan bagian X . Karena

X juga barisan bagian dariX, maka X juga konvergen kex. Dengan demikian, akan

selalu berada dalam persekitaran ( )0

V x . Timbul kontradiksi, yang benar adalah X

selalu konvergen kex.


65/78



61

SOAL LATIHAN SUBBAB 2.4.

1. Tunjukkan bahwa barisan berikut ini divergen.

(a)

( )

1

1 1

n

n

+

. (b) sin 4

n

.

2. Berikan contoh barisan tak terbatas yang memuat barisan bagian konvergen.3. Diberikan barisan ( )nX x= dan ( )nY y= . Diberikan barisan ( )nZ z= dengan

definisi 1 1:z x= , 2 1:z y= ,..., 2 1 :n nz x = , 2 :n nz y= . Tunjukkan bahwaZkonvergen

jika dan hanya jikaXdan Ykonvergen dan ( ) ( )lim limn nx y= .

4. Tentukan konvergensi dan limit barisan berikut.(a) 2

2

11

n

+ . (b)

2

2

2

11

n

n

+

.

5. Hitunglah limit barisan berikut.(a) ( ) 123 nn

. (b)

31

12

n

n

+

.

6. Misalkan setiap barisan bagian dari ( )nX x= mempunyai suatu barisan bagianyang konnvergen ke 0. Tunjukkan bahwa ( )lim 0nx = .

7. Diberikan barisan terbatas ( )nx dan untuk setiap n diberikan{ }: sup :n ks x k n= dan { }: inf nS s= . Tunjukkan bahwa terdapat barisan bagian

dari ( )nx yang konverge

analisis real kita

Documents