analisis de variables de estado
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Teoría de Control
Capitulo 2) Análisis de variables de estado
2do Parcial
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Teoría de Control Moderna vs.
Teoría del Control Clásico
La TCC utiliza extensamente
la función de transferencia.
Realiza el análisis en el
dominio de s y/o el dominio
de la frecuencia.
LA TCM se basa en el
concepto de Espacio de
Estado, utiliza extensamente
el análisis vectorial -
Matricial
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Definiciones Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0.
Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Vector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0. Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn. Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado).
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Método del Espacio de Estados
Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado:
u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema,
y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,
x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado
del sistema, es decir:
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Se estudia para sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponderá a las ecuaciones Matriciales:
Las Matrices deben ser
de tamaño adecuado:
A = Matriz de Estado
B = Matriz de Entrada
C = Matriz de Salida
D = Matriz de Transmisión Directa
Ecuación de Estado
Ecuación de Salida
Ecuación de Estado
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Diagrama de Bloques del Espacio de Estados
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Representación Espacio Estado a Partir de
Ecuaciones Diferenciales Método sencillo para sistemas SISO:
El sistema queda determinado si se conocen las condiciones Iniciales, así:
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Así, puede escribirse la ED como:
Matricialmente:
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Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC
Aplicando la Leyes de Kirchhoff:
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Organizando las ecuaciones:
En forma matricial:
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Se desea estudiar el comportamiento de Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R:
La representación variable estado del circuito RLC:
Los vectores son:
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Prelectio 2) Sistema Mecánico
• Obtener la ecuación de estado, la ecuación de
salida y la representación matricial del sistema.
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Correlación entre Funciones de
Transferencia y Variables de estado
¿cómo obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y
una sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de estados?
• Consideremos el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante
)()(
)(SG
sU
sY
Este sistema se representa en el espacio de estados mediante las ecuaciones
siguientes:
La transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores se obtienen mediante
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Relación entre Funciones de Transferencia
y Variables de estado
• Sistemas SISO la función de transferencia es:
DBAsICsG 1)()(
Donde A, B, C y D son matrices de:
I es la matriz idéntica correspondiente
Ejemplo: Se tiene de un Sistema Mecánico las siguientes matrices:
0 01 10
10
DC
m
B
m
b
m
kA
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010
*10
0
0*01)(
1
mm
b
m
ks
ssG
A-1 = (1/det(A))*(Adj(A))T
Dónde:
1) det(a) es el Determinante de la matriz A
2) Adj(a) es la matriz adjunta de A
3) AT es la matriz transpuesta de A
mm
bs
m
ks
sG 10
*1
*01)(
1
Matlab
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mm
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*1
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1
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km
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m
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ksbmssG
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2
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Re
m
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1
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