analisis corto

Lima, Elon Lages

Analisis Real, Volumen 1.

Instituto de Matematica y Ciencias Afines, UNI, 1997.240pp. (Coleccion Textos del IMCA)

Textos del IMCA

Analisis Real

Volumen 1

Elon Lages Lima

Traducido por Rodrigo Vargas

IMCA Instituto de Matematica y Ciencias Afines

Copyright c©, 1997 by Elon Lages LimaImpreso en Chile / Printed in ChileCaratula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger

Textos del IMCA

Editor: Cesar Camacho

Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-yendo a la difucion de la cultura matematica por medio de unaliteratura de alta calidad cientıfica.

Esta coleccion busca poner a disposicion de alumnos y profe-sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvancomo textos de cursos de graduacion.

La publicacion de este libro conto con el apoyo decidido de laSociedad Brasileira de Matematica y de la Universidad Nacional deIngenierıa del Peru que compartieron su costo. A estas institucio-nes damos nuestro agradecimiento.

El Editor

Prefacio

Este libro pretende servir de texto para un primer curso de Anali-sis Matematico. Los temas tratados se exponen de manera simpley directa, evitando digresiones. Ası espero facilitar el trabajo delprofesor que, al adoptarlo, no necesitara perder mucho tiempo se-leccionando los temas que tratara y los que omitira. Grupos espe-ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentacionmas completa y los alumnos, por ası decirlo, normales que busquenlecturas complementarias pueden consultar el “Curso de AnalisisMatematico, vol. 1”que trata de la misma materia con un enfoquemas amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tamano.

Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientosequivalentes a dos perıodos lectivos de Calculo*, ya familiarizadoscon las ideas de derivada e integral en sus aspectos mas elemen-tales, principalmente los calculos con las funciones mas conocidasy la resolucion de ejercicios sencillos. Tambien espero que tenganuna idea suficientemente clara de lo que es una demostracion ma-tematica. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lectordebe estar habituado a las notaciones usuales de la teorıa de con-juntos, tales como x ∈ A, A ⊂ B, A ∪ B, A ∩B, etc.

Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirvenpara fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el texto ycomo oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-tendido lo que acabo de leer. En el capıtulo final se presentan lassoluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-cionados. Los restantes son, en mi opinion, bastante faciles. Natu-ralmente, me gustarıa que el lector solo consultase las solucionesdespues de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada pro-

*N.T. dos cuatrimestres

blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin exito, el que nosconduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-lizaron Marıa Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos yopiniones sensatas durante la preparacion del libro. La revision deltexto original en portugues la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-do Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo misagradecimientos cordiales.

La publicacion de la edicion original brasilena fue financiada porla CAPES; con su director, profesor Jose Ubirajara Alves, estoy endeuda por el apoyo y la compresion demostrados.

Rio de Janeiro

Elon Lages Lima

Prefacio a la edicion en espanol

La iniciativa de editar este libro en espanol se debe al ProfesorCesar Camacho que, con su empeno caracterıstico, tuvo la idea,superviso la traduccion, cuido de la impresion y aseguro la publi-cacion. Es a el, por lo tanto, que tengo la satisfacion de manifestarmis agradecimientos.

Tambien estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo latraduccion y a Roger Metzger y Francisco Leon por el trabajo derevision.

Rio de Janeiro, noviembre de 1997.

Elon Lages Lima

Indice general

Capıtulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 11. Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Capıtulo 2. Numeros reales 131. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 153. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Capıtulo 3. Sucesiones de numeros reales 251. Limite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Lımites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Operaciones con lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. Lımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Capıtulo 4. Series de numeros 411. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 443. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 454. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Capıtulo 5. Algunas nociones de topologıa 531. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9

10 INDICE GENERAL

3. Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Capıtulo 6. Lımites de funciones 69

1. Definicion y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69

2. Lımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3. Lımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Capıtulo 7. Funciones continuas 83

1. Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . 83

2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86

3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90

4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Capıtulo 8. Derivadas 101

1. La nocion de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2. Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Capıtulo 9. Formula de Taylor y aplicaciones de la de-rivada 117

1. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2. Funciones concavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121

3. Aproximaciones sucesivas y el metodo de Newton . . . 127

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Capıtulo 10. La integral de Riemann 135

1. Revision de sup e ınf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Capıtulo 11. Calculo con integrales 1511. Teorema clasicos del Calculo Integral . . . . . . . . . . 1512. La integral como lımite de sumas de Riemann . . . . . 1553. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 1574. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Capıtulo 12. Sucesiones y series de funciones 1711. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 1712. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 1753. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. Series trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Capıtulo 13. Soluciones de los ejercicios 193

Lecturas recomendadas 223

1

Conjuntos finitose infinitos

En este capıtulo se establecera con precision la diferencia entre con-junto finito y conjunto infinito. Tambien se hara la distincion entreconjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partidaes el conjunto de los numeros naturales.

1. Numeros naturales

El conjunto N de los numeros naturales se caracteriza por lassiguientes propiedades:

1. Existe una funcion inyectiva s : N → N. La imagen s(n) decada numero natural n se llama sucesor de n.

2. Existe un unico numero natural 1 ≤ N tal que 1 6= s(n) paratodo n ∈ N.

3. Si un conjunto X ⊂ N es tal que 1 ∈ X y s(X) ⊂ X (esto es,n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X) entonces X = N.

Estas afirmaciones pueden ser reformuladas ası:

1

2 Conjuntos Finitos Cap. 1

1′. Todo numero natural tiene un sucesor, que tambien es un nume-ro natural; numeros diferentes tienen sucesores diferentes.

2′. Existe un unico numero natural que no es sucesor de ninguno.

3′. Si un conjunto de numeros naturales contine el numero 1 y tam-bien contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entoncesese conjunto contiene a todos los numeros naturales.

Las propiedades 1, 2, 3 de arriba se llaman axiomas de Peano.El axioma 3 es conocido como “principio de induccion”. Intuitiva-mente, este significa que todo numero natural puede obtenerse apartir del 1, tomando su sucesor s(1), el sucesor de este, s(s(1))y ası en adelante, en un numero finito de etapas. (Evidentemente“numero finito” es una expresion que, en este momento, no tienetodavıa significado. La formulacion del axioma 3 es una maneraextraordinariamente habil de evitar la introduccion de un nuevoprincipio hasta que la nocion de conjunto finito este dada).

El principio de induccion es la base de un metodo para demos-trar teoremas sobre numeros naturales, conocido como el metodo deinduccion (o recurrencia), que funciona ası: “si una propiedad P esvalida para el numero 1 y si, suponiendo P valida para el numeron, como consecuencia se tiene que P tambien es valida para su su-cesor, entonces P es valida para todos los numeros naturales”.

Como ejemplo de demostracion por induccion, probaremos quepara todo n ∈ N, se tiene s(n) 6= n. Esta afirmacion es verdedaracuando n = 1, porque el axioma 2 se tiene 1 6= s(n) para todo n,luego, en particular, 1 6= s(1). Si suponemos verdadera la afirma-cion para algun n ∈ N, se cumple n 6= s(n). Como la funcion s esinyectiva, entonces s(n) 6= s(s(n)), esto es, la firmacion es verdade-ra para s(n).

En el conjunto de los numeros naturales se definen dos opera-ciones fundamentales, la adicion, que asocia a cada par de numerosnaturales (m,n) su suma m + n, y la multiplicacion que hace co-rresponder al par (m,n) su producto m · n. Estas dos operacionesse caracterizan por las siguientes igualdades, que sirven como defi-

Seccion 1 Numeros naturales 3

nicion:

m+ 1 = s(m) ;

m+ s(n) = s(m+ n), esto es, m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;

m · 1 = m

m · (n + 1) = m · n+m.

Con otras palabras: sumar 1 a m significa tomar su sucesor. Yuna vez conocida la suma m+ n tambien es conocido m+ (n+ 1),que es el sucesor de m + n. En cuanto a la multiplicacion: multi-plicar por 1 no altera el numero. Y conocido el producto m · n esconocido m · (n+ 1) = m · n+m. La demostracion de la existenciade las operaciones + y · con las propiedades anteriores, ası comosu unicidad, se hace por induccion. Los detalles se omiten aqui. Ellector interesado puede consultar el “Curso de Analisis Matemati-co”, vol. 1, o las referencias bibliograficas de dicho libro, donde sedemuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de la adi-cion y la multiplicacion:

asociativa: (m+ n) + p = m+ (n+ p), m · (n · p) = (m · n) · p;distributiva: m · (n+ p) = m · n+m · p;conmutativa: m+ n = n+m, m · n = n ·m;ley de corte: m+ n = m+ p⇒ m = p, m · n = m · p⇒ n = p.

Dados dos numeros reales m,n se escribe m < n cuando existep ∈ N tal que m + p = n. Se dice que m es menor que n. La no-tacion m ≤ n significa que m < n o m = n. Se puede probar quem < n y n n.

Una de las propiedades mas importantes de la relacion de ordenm < n entre numeros naturales es el llamado principio de buenaordenacion, enunciado y probado a continuacion.

Todo subconjunto no vacıo A ⊂ N posee un menor elemento,esto es, un elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.

Para probar esta afirmacion llamemos, para cada numero n ∈ N,In al conjunto de los numeros naturales ≤ n. Si 1 ∈ A entonces


1 es el menor elemento de A. Si 1 /∈ A entonces consideramos elconjunto X de los numeros naturales n tales que In ⊂ N−A. ComoI1 = {1} ⊂ N − A, vemos que 1 ∈ X . Por otra parte, como A noes vacıo, concluımos que X 6= N. Luego la conclusion del axioma 3no es valida. Se sigue que debe existir n ∈ X tal que n + 1 /∈ X .Entonces In = {1, 2, . . . , n} ⊂ N−A y n0 = n+1 ∈ A. Por lo tanton0 es el menor elemento del conjunto A.

2. Conjuntos finitos

Continuaremos usando la notacion In = {p ∈ N; p ≤ n}. Unconjunto X se dice finito cuando es vacıo o bien existen n ∈ N y unabiyeccion f : In → X . Escribiendo x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn =f(n) tenemos X = {x1, . . . , xn}. La biyeccion f se llama enume-racion de los elemento de X , y el numero n se llama numero deelementos o cardinal del conjunto finito X . El Corolario 1 masadelante prueba que el cardinal esta bien definido, esto es, que nodepende de la enumeracion f escogida.

Lema 1. Si existe una biyeccion f : X → Y , entonces dados a ∈ Xy b ∈ Y tambien existe una biyeccion g : X → Y tal que g(a) = b.

Demostracion: Sea b′ = f(a). Como f es sobreyectiva, existe a′ ∈X tal que f(a′) = b. Definamos g : X → Y como g(a) = b, g(a′) = b′

y g(x) = f(x) si x ∈ X no es igual ni a a ni a b. Es facil ver que ges una biyeccion.

Teorema 1. Si A es un subconjunto propio de In, no puede existiruna biyeccion f : A→ In.

Demostracion: Supongamos, por reduccion al absurdo, que elteorema sea falso y consideremos n0 ∈ N el menor numero na-tural para el que existen un subconjunto propio A ⊂ In0 y unabiyeccion f : A→ In0 . Si n0 ∈ A entonces, por el Lema, existe unabiyeccion g : A→ In0 con g(n0) = n0. En este caso la restriccion deg a A− {n0} es una biyeccion del subconjunto propio A− {n0} enIn0−1, lo que contradice la minimalidad de n0. Si, por el contrario,tuviesemos n0 /∈ A entonces tomarıamos a ∈ A con f(a) = n0 y la

Seccion 2 Conjuntos finitos 5

restriccion de f al subconjunto propio A − {a} ⊂ In0−1 serıa unabiyeccion en In0−1, lo que de nuevo contradice la minimalidad den0.

Corolario 1. Si f : Im → X y g : In → X son biyecciones, entoncesm = n.

En efecto, si tuviesemos m < n entonces In serıa un subconjuntopropio de In, lo que violarıa el Teorema 1, pues g−1 ◦ f = Im → Ines una biyeccion. Analogamente se demuestra que no es posiblem < n. Luego m = n.

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Corolario 2. Sea X un conjunto finito. Una aplicacion f : X → Xes inyectiva si, y solo si, es sobreyectiva.

En efecto, existe una biyeccion ϕ : In → X . La aplicacion f :X → X es inyectiva o sobreyectiva si, y solo si, ϕ−1◦f ◦ϕ : In → Inlo es. Luego podemos considerar f : In → In. Si f es inyectivaentonces tomando A = f(In) tendremos una biyeccion f−1 : A →In. Por el Teorema 1, A = In y f es sobreyectiva, Recıprocamente,si f es sobreyectiva entonces, para cada x ∈ In podemos escogery = g(x) ∈ In tal que f(y) = e. Entonces g es inyectiva y, por loque acabamos de probar, g es sobreyectiva. Ası, si y1, y2 ∈ In sontales que f(y1) = f(y2), tomamos x1, x2 con g(x1) = y1, g(x2) = y2y tendremos x1 = f ◦ g(x1) = f(y1) = f(y2) = f(g(x2)) = x2, dedonde y1 = g(x1) = g(x2) = y2, luego f es inyectiva.

Corolario 3. No puede existir una biyeccion entre un conjuntofinito y una parte propia de este.

El Corolario 3 es una mera reformulacion del Teorema 1.

Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

Demostracion: En primer lugar probaremos el siguiente caso par-ticular: si X es finito y a ∈ X entonces X−{a} es finito. En efecto,existe una biyeccion f : In → X que, por el Lema, podemos su-poner que cumple f(n) = a. Si n = 1 entonces X − {a} es finito.Si n > 1, la restriccion de f a In−1 es una biyeccion en X − {a},luego X − {a} es finito y tiene n− 1 elementos. El caso general seprueba por induccion sobre el numero n de elementos de X . Este es

evidente si X = ∅ o n = 1. Supongamos el Teorema verdadero paraconjuntos de n elementos, sean X un conjunto de n + 1 elementose Y un subconjunto de X . Si Y = X no hay nada que probar. Encaso contrario, existe a ∈ X tal que a /∈ Y . Entonces tambien secumple Y ⊂ X − {a}. Como X − {a} tiene n elementos, se sigueque Y es finito.

Corolario 1. Dada f : X → Y , si Y es finito y f es inyectivaentonces X es finito; si X es finito y f es sobreyectiva entonces Yes finito.

En efecto, si f es inyectiva entonces es una biyeccion de X enel subconjunto f(X) del conjunto finito Y . Por otra parte, si fes sobreyectiva y X es finito entonces, para cada y ∈ Y podemoselegir x = g(y) ∈ X tal que f(x) = y. Esto define una aplicaciong : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Se concluye queg es inyectiva luego, por lo que acabamos de probar, Y es finito.

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Un subconjunto X ⊂ N se dice acotado cuando existe p ∈ N talque x ≤ p para todo x ∈ X .

Corolario 2. Un subconjunto X ⊂ N es finito si, y solo si, esta aco-tado.

En efecto, si X = {x1, . . . , xn} ⊂ N es finito, tomando p =x1 + · · · + xn vemos que x ∈ X ⇒ x < p, luego X esta acotado.Recıprocamente, si X ⊂ N esta acotado entonces X ⊂ Ip paraalgun p ∈ N, por tanto del Teorema 2 se sigue que X es finito.

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3. Conjuntos infinitos

Se dice que un conjunto es infinito cuando no es finito. Ası, X esinfinito cuando ni es el conjunto vacıo ni existe para ningun n ∈ Nuna biyeccion f : In → X .

Por ejemplo, en virtud del Corolario 2 del Teorema 2, el conjuntoN de los numeros naturales es infinito. Por el mismo motivo, sik ∈ N entonces el conjunto k · N de los multiplos de k es infinito.

Teorema 3. Si X es un conjunto infinito, entonces existe una apli-cacion inyectiva f : N → X .

Seccion 4 Conjuntos numerables 7

Demostracion: Para cada subconjunto no vacıo A ⊂ X escoge-mos un elemento xA ∈ A. A continuacion, definimos f : N → Xinductivamente. Hacemos f(1) = xX y, suponiendo ya definidosf(1), . . . , f(n), escribimos An = X − {f(1), . . . , f(n)}. Como X esinfinito An no es vacıo. Entonces definimos f(n + 1) = xAn . Estocompleta la definicion de f . Para probar que f es inyectiva, seanm,n ∈ N, por ejemplo m < n. Entonces f(m) ∈ {f(1), . . . , f(n −1)} mientras que f(n) ∈ X − {f(1), . . . , f(n − 1)}, luego f(m) 6=f(n).

Corolario. Un conjunto X es infinito si, y solo si, existe una bi-yeccion ϕ : X → Y es un subconjunto propio Y ⊂ X .

En efecto, sea X infinito y f : N → X una aplicacion inyec-tiva. Escribimos, para cada n ∈ N, f(n) = xn. Consideremos elsubconjunto propio Y = X−{x1}. Definimos entonces la biyeccionϕ : X → Y tomando ϕ(x) = x si x no es ninguno de los xn yϕ(xn) = xn+1 (n ∈ N). Recıprocamente, si existe una biyeccion deX en un subconjunto propio entonces X es infinito, en virtud delCorolario 3 del Teorema 1.

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Si N1 = N − {1} entonces ϕ : N → N1, ϕ(n) = n + 1, esuna biyeccion de N en su subconjunto propio N1 = {2, 3, . . .}. Deforma general, dado p ∈ N podemos considerar Np = {p + 1, p +2, . . .} y definir la biyeccion ϕ : N → Np, ϕ(n) = n + p. Estetipo de fenomenos ya eran conocidos por Galileo, el primero enobservar que “hay tantos numeros pares como numeros naturales”,que demostro que si P = {2, 4, 6, . . .} es el conjunto de los numerospares entonces ϕ : N → P , dada por ϕ(n) = 2n, es una biyeccion.Evidentemente, si I = {1, 3, 5, . . .} es el conjunto de los numeroimpares, entonces ψ : N → I, ψ(n) = 2n − 1, tambien es unabiyeccion. En estos dos ultimos ejemplos, N− P = I y N− I = Pson infinitos, mientras que N− Np = {1, 2, . . . , p} es finito.

4. Conjuntos numerables

Un conjunto X se dice numerable cuando es finito o cuando exis-te una biyeccion f : N → X . En este caso, f se llama numeracion delos elementos de X . Si escribimos f(1) = x1, f(2) = x2, . . . , f(n) =xn, . . . se tiene entonces X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}.

Teorema 4. Todo subconjunto X ⊂ N es numerable.

Demostracion: Si X es finito no hay nada que demostrar. Encaso contrario, numeramos los elementos de X tomando x1 = me-nor elemento de X . Suponiendo definidos x1 < x2 < · · · < xn,escribimos An = X − {x1, . . . , xn}. Observando que A 6= ∅, puesX es infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An. EntoncesX = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. En efecto, si existiese algun elemento deX diferente de todos los xn tendrıamos que x ∈ An para todo n ∈ N,luego x serıa un numero natural mayor que todos los elementos delconjunto infinito {x1, . . . , xn, . . .}, lo que contradice el Corolario 2de Teorema 2.

Corolario 1. Sea f : X → Y inyectiva. Si Y es numerable Xtambien lo es. En particular, todo subconjunto de un conjunto nu-merable es numerable.

En efecto, basta considerar el caso en que existe una biyeccionϕ : Y → N. Entonces ϕ ◦ f : X → N es una biyeccion de X enun subconjunto de N, que es numerable, por el Teorema 4. En elcaso particular X ⊂ Y , tomamos f : X → Y igual a la aplicacioninclusion.

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Corolario 2. Sea f : X → Y sobreyectiva. Si X es numerableentonces Y tambien lo es.

En efecto, para cada y ∈ Y podemos tomar x = g(y) ∈ Xtal que f(x) = y. Esto define una aplicacion g : Y → X tal quef(g(y)) = y para todo y ∈ Y . De donde se concluye que g esinyectiva. Por el Corolario 1, Y es numerable.

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Corolario 3. El producto cartesiano de dos conjuntos numerableses un conjunto numerable.

En efecto, siX e Y son numerables entonces existen aplicacionessobreyectivas f : N → X y g : N → Y , luego ϕ : N × N → X × Ydada por ϕ(m,n) = (f(m), g(n)) es sobreyectiva. Por tanto, essuficiente probar que N× N es numerable. Para esto consideremosla aplicacion ψ : N × N → N dada por ψ(m,n) = 3m · 2n. Por launicidad de la descomposicion de un numero en factores primos, ψes inyectiva. Se concluye que N× N es numerable. �

Seccion 4 Conjuntos numerables 9

Corolario 4. La union de una familia numerable de conjuntos nu-merables es numerable.

Tomando X =⋃∞

n=1Xn, definimos la aplicacion sobreyectivaf : N× N → X haciendo f(m,n) = fn(m), El caso de union finitase reduce al caso anterior ya que X = X1∪X2∪· · ·∪Xn∪Xn+1∪· · · .

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El Teorema 3 significa que el infinito numerable es el “menor”delos infinitos. En efecto, el teorema se puede reformular como sigue:

Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numera-ble.

Ejemplo 1. El conjunto Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} de los nume-ros enteros es numerable. Se puede definir una biyeccion f : N → Zcomo f(n) = (n− 1)/2 si n es impar y f(n) = −n/2 si n es par.

Ejemplo 2. El conjunto Q = {m/n : m,n ∈ Z, n 6= 0} de losnumeros racionales es numerable. En efecto, si escribimos Z∗ =Z− {0} podemos definir una funcion sobreyectiva f : Z× Z∗ → Qcomo f(m,n) = m/n.

Ejemplo 3. (Un conjunto no numerable). Sea S el conjunto detodas las sucesiones infinitas formadas con los sımbolos 0 y 1, comopor ejemplo s = (0 1 1 0 0 0 1 0 . . .). Con otras palabras, Ses el conjunto de todas las funciones s : N → {0, 1}. Para cadan ∈ N, el valor s(n), igual a 0 o 1, es el n-esimo termino de lasucesion s. Afirmamos que ningun subconjunto numerable X ={s1, s2, . . . , sn, . . .} ⊂ S es igual a S. En efecto, dado X , indiquemosmediante snn el n-esimo termino de la sucesion sn ∈ X . Formamosuna nueva sucesion s∗ ∈ X tomando el n-esimo termino de s∗ iguala 0 si snn = 0. La sucesion s∗ no pertenece al conjunto X porquesu n-esimo termino es diferente del n-esimo termino de sn. (Esteargumento, debido a G. Cantor, es conocido como “metodo de ladiagonal”).

En el proximo capıtulo demostraremos que el conjunto R de losnumeros reales no es numerable.

5. Ejercicios

Seccion 1: Numeros naturales

1. Usando el metodo de induccion, pruebe que

(a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)/2.

(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

2. Dados m,n ∈ N con n > m, pruebe que o n es multiplo de m oque existen q, r ∈ N tales que n = mq + r, r < m. Pruebe que qy r son unicos con esta propiedad.

3. Sea X ⊂ N un subconjunto no vacıo tal que m,n ∈ X ⇔ m,m+n ∈ X . Pruebe que existe k ∈ N tal que X es el conjunto de losmultiplos de k.

4. Dado n ∈ N, pruebe que no existe x ∈ N tal que n < x < n+ 1.

5. Obtenga el principio de induccion como consecuencia del princi-pio de buena ordenacion.

Seccion 2: Conjuntos finitos

1. Indicando mediant card X el numero de elementos del conjuntofinito X , pruebe que:

(a) Si X es finito e Y ⊂ X , entonces card Y ≤ card X .

(b) Si X e Y son finitos, entonces X ∪ Y es finito y

card (X ∪ Y ) = cardX + card Y − card (X ∩ Y ).

(c) Si X e Y son finitos, entonces X × Y es finito y

card(X × Y ) = cardX · card Y.

2. Sea P(X) el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos deX . Pruebe, usando el metodo deinduccion, que si X es finito

entonces card P(X) = 2cardX .

3. Sea F(X ; Y ) el conjunto de las funciones f : X → Y . Si cardX =m y card Y = n, pruebe que card (F(X ; Y )) = nm.

Seccion 4 Ejercicios 11

4. Pruebe que todo conjunto finito X de numeros naturales poseeun elemento maximo (esto es, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0∀ x ∈ X).

Seccion 3: Conjuntos infinitos

1. Dada f : X → Y , pruebe que:

(a) Si X es infinito y f es inyectiva entonces Y es infinito.

(b) Si Y es infinito y f es sobreyectiva entonces X es infinito.

2. Sean X un conjunto finito e Y un conjunto infinito. Pruebe queexiste una funcion inyectiva f : X → Y y una funcion sobreyec-tiva g : Y → X .

3. Pruebe que el conjunto P de los numeros primos es infinito.

4. De un ejemplo de una sucesion decreciente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃Xn ⊃ · · · de conjuntos infinitos cuya interseccion

⋂∞n=1Xn sea

vacıa.

Seccion 4: Conjuntos numerables

1. Defina f : N×N → N mediante f(1, n) = 2n−1 y f(n+1, n) =2n(2n− 1). Pruebe que f es una biyeccion.

2. Pruebe que existe g : N → N sobreyectiva tal que g−1(n) esinfinito para cada n ∈ N.

3. Escriba N = N1 ∪ N2 ∪ · · · ∪ Nn ∪ · · · como union inifnita desubconjuntos infinitos disjuntos dos a dos.

4. Para cada n ∈ N, sea Pn = {X ⊂ N : card X = n}. Prue-be que Pn es numerable. Concluya que el conjunto Pf de lossubconjuntos finitos de N es numerable.

5. Pruebe que el conjunto P(N) de todos los subconjuntos de N noes numerable.

6. Sea Y numerable y f : X → Y sobreyectiva tal que, para caday ∈ Y , f−1(y) es numerable. Pruebe que X es numerable.

2

Numeros reales

El conjunto de los numeros reales se denotara por R. En este capıtu-lo haremos una descripcion completa de sus propiedades; estas,ası como sus consecuencias, se utilizaran en los proximos capıtu-los.

1. R es un cuerpo

Esto significa que en R estan definidas dos operaciones, llamadasadicion y multiplicacion, que cumplen ciertas condiciones, especifi-cadas a continuacion.

La adicion hace corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R,su suma x + y ∈ R, mientras que la multiplicacion asocia a estoselementos su producto x · y ∈ R.

Los axiomas a los que obedecen estas operaciones son:

Asociatividad: para cualesquiera x, y, z ∈ R se tiene (x + y) + z =x+ (y + z) y x · (y · z) = (x · y) · z.

Conmutatividad: para cualesquiera x, y ∈ R se tiene x+ y = y + xy x · y = y · x.

Elementos neutros: existen en R dos elementos distintos 0 y 1 talesque x+ 0 = x y x · 1 = x para cualquier x ∈ R.

13

14 Numeros reales Cap. 2

Inversos: todo x ∈ R posee un inverso aditivo −x ∈ R tal quex + (−x) = 0 y si x 6= 0, tambien existe un inverso multiplicativox−1 ∈ R tal que x · x−1 = 1.

Distributividad: para cualesquiera x, y, z ∈ R se tiene x · (y + z) =x · y + x · z.

De estos axiomas resultan todas las reglas familiares del calculocon numeros reales. A tıtulo de ejemplo, establecemos algunas.

De la conmutatividad resulta que 0 + x = x y −x+ x = 0 paratodo x ∈ R. Analogamente, 1 · x = 1 y x−1 · x = 1 cuando x 6= 0.La suma x+ (−y) se indicara con x− y y se llama diferencia entrex e y. Si y 6= 0, el producto x · y−1 tambien se representara por x/yy se llamara cociente entre x e y. Las operaciones (x, y) → x − yy (x, y) → x/y se llaman, respectivamente, substraccion y division.Evidentemente, la division de x por y solo tiene sentido cuandoy 6= 0, pues el numero 0 no tiene inverso multiplicativo.

De la distributividad se concluye que, para todo x ∈ R, se tienex · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x · (0 + 1) = x · 1 = x. Sumando −x aambos miembros de la igualdad x ·+x = x obtenemos x · 0 = 0.

Por otro parte, si x · y = 0 podemos concluir que x = 0 o y = 0.En efecto, si y 6= 0 entonces podemos multiplicar ambos miembrosde la igualdad por y−1 y obtenemos x · y · y−1 = 0 · y−1, de dondex = 0.

Tambien es resultado de la distributividad la “regla de los sig-nos”: x · (−y) = (−x) · y = −(x · y) y (−x) · (−y) = x · y. Enefecto, x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0, sumando −(x · y)a ambos miembros de la igualdad x · (−y) + x · y = 0 se tienex · (−y) = −(x · y). Analogamente, (−x) · y = −(x · y). Luego(−x) · (−y) = −[x · (−y)] = −[−(x · y)] = x · y. En particular(−1) · (−1) = 1. (Observacion: la igualdad −(−z) = z, anterior-mente usada, resulta al sumar z a ambos miembros de la igualdad−(−z) + (−z) = 0.)

Si dos numeros reales x, y tienen cuadrados iguales, entonces

Seccion 2 R es un cuerpo ordenado 15

x = ±y. En efecto, si x2 = y2 entonces 0 = x2−y2 = (x−y)(x+y),y como sabemos, el producto de dos numeros reales solo es cero sial menos uno de los factores es nulo.

2. R es un cuerpo ordenado

Esto significa que existe un subconjunto R+ ⊂ R llamado con-junto de los numeros reales positivos, que cumple las siguientes con-diciones:

P1. La suma y el producto de numeros reales positivos son positi-vos. O sea, x, y ∈ R+ ⇒ x+ y ∈ R+ y x · y ∈ R+.

P2. Dado x ∈ R se verifica una, y solo una, de las 3 alternativassiguientes: o x = 0, o x ∈ R+ o −x ∈ R+.

Si indicamos mediante R− al conjunto de los numeros −x, don-de x ∈ R+, la condicion P2 nos dice que R = R+ ∪R− ∪ {0}, y quelos conjuntos R+, R− y {0} son disjuntos dos a dos. Los numerosy ∈ R− se llaman negativos.

Todo numero real x 6= 0 tiene cuadrado positivo. En efecto,si x ∈ R+ entonces x2 = x · x ∈ R+ por P1. Si x /∈ R+ en-tonces (como x 6= 0) −x ∈ R+, luego, tambien por P1, tenemosx2 = (−x) · (−x) ∈ R+. En particular, 1 es un numero positivo,pues 1 = 12.

Se escribe x < y, y se dice que x es menor que y, cuandoy − x ∈ R+, esto es, y = x + z donde z es positivo. En este ca-so, tambien se escribe y > x, y se dice que y es mayor que x. Enparticular, x > 0 significa que x ∈ R+, esto es, que x es positivo,mientras que x < 0 quiere decir que x es negativo, esto es, que−x ∈ R+.

Se tiene las siguientes propiedades para la relacion de ordenx < y en R:

O1. Transitiva: si x < y e y < z entonces x < z.

O2. Tricotomıa: dados x, y ∈ R, ocurre una, y sola una, de lassiguientes alternativas siguientes, o x = y, o x < y o x > y.

O3. Monotonıa de la adicion: si x < y entonces, para todo z ∈ R,se tiene x+ z < y + z.

O4. Monotonıa de la multiplicacion: si x < y entonces para todoz > 0 se tiene x · z < y · z. Si, por el contrario, z < 0 entoncesx < y implica x · z > y · z.

Demostracion: O1. x < y e y < z significan y − x ∈ R+ ez − y ∈ R+. De P1 se sigue que (y − x) + (z − y) ∈ R+, estoes, z − x ∈ R+, o sea, x < z.

O2. Dados x, y ∈ R, o y − x ∈ R+, o y − x = 0 o y − x ∈ R− (estoes, x − y ∈ R+). En el primer caso se tiene x < y, en el segundox = y y en tercero y < x. Por P2 estas posibilidades se excluyenmutuamente.

O3. Si x < y entonces y − x ∈ R+, de donde (y + z) − (x + z) =y − x ∈ R+, esto es x+ z < y + z.

O4. Si x < y y z > 0 entonces y − x ∈ R+ y z ∈ R+, luego(y− x) · z ∈ R+, o sea, yz − xz ∈ R+, lo que significa que xz < yz.Si x < y y z < 0 entonces y − x ∈ R+ y y − z ∈ R+, de dondexz − yz = (y − x)(−z) ∈ R+, lo que significa que yz < xz.

En general, x < y y x′ < y′ implican x + x′ < y + y′ puesyy′ − xx′ = yy′ − yx′ + yx′ − xx′ = y(y′ − x′) + (y − x)x′ > 0.

Si 0 < x < y entonces y−1 < x−1. Para probar esto observeprimero que x > 0 ⇒ x−1 = x(x−1)2 > 0. A continuacion multi-plicando ambos miembros de la desigualdad x < y por x−1y−1 setiene y−1 < x−1.

Como 1 ∈ R es positivo, se sigue que 1 < 1+1 < 1+1+1 < · · · .Entonces podemos considerar N ⊂ R. Se tiene Z ⊂ R, pues 0 ∈ Ry n ∈ R ⇒ −n ∈ R. Ademas, si m,n ∈ Z, donde n 6= 0, entoncesm/n = mn−1 ∈ R, lo que no permite concluir que Q ⊂ R. Ası,N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

En la proxima seccion veremos que la inclusion Q ⊂ R es propia.

Seccion 2 R es un cuerpo ordenado 17

Ejemplo 1. (Desigualdad de Bernoulli) Para todo numero realx ≥ −1 y todo n ∈ N, se tiene (1 + x)n ≥ 1 + nx. Esto se de-muestra por induccion respecto a n. La desigualdad es obvia sin = 1. Suponiendo la desigualdad valida para n, multiplicamosambos miembros por el numero (1 + x) ≥ 0 y obtenemos

(1 + x)n+1=(1 + x)n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx+ x+ nx2

= 1 + (n+ 1)x+ nx2

≥ 1 + (n+ 1)x .

Usando el mismo argumento se puede ver que (1 + x)n > 1 + nxcuando n > 1, x > −1 y x 6= 0.

La relacion de orden de R nos permite definir el valor absoluto(o modulo) de un numero real x ∈ R como sigue: |x| = x si x > 0,|0| = 0 y |x| = −x si x < 0. Con otras palabras, |x| = max{x,−x}es el mayor de los numeros reales x y −x.

Se tiene −|x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R. En efecto, la desigual-dad x ≤ |x| es obvia, mientras que −|x| ≤ x resulta al multiplicarpor −1 ambos miembros de la desigualdad −x ≤ |x|. Ası podemoscaracterizar |x| como el unico numero ≥ 0 cuyo cuadrado es x2.

Teorema 1. Si x, y ∈ R entonces |x+y| ≤ |x|+|y| y |x·y| = |x|·|y|.

Demostracion: Sumando miembro a miembro las desigualdades|x| ≥ x e |y| ≥ y se tiene |x|+ |y| ≥ x+ y. Analogamente, de |x| ≥−x y |y| ≥ −y resulta |x|+|y| ≥ −(x+y). Luego |x|+|y| ≥ |x+y| =max{x + y,−(x + y)}. Para probar |x · y| = |x| · |y| es suficientedemostrar que estos dos numeros tienen el mismo cuadrado, puesambos son ≥ 0. Ahora bien, el cuadrado de |x ·y| es (x ·y)2 = x2 ·y2,mientras que (|x| · |y|)2 = |x|2 · |y|2 = x2 · y2.

Teorema 2. Sean a, x, δ ∈ R. Se tiene |x − a| < δ si, y solo si,a− δ < x < a+ δ.

Demostracion: Como |x−a| es el mayor de los dos numeros x−ay −(x−a), afirmar que |x−a| < δ es equivalente a decir que se tienex−a < δ y −(x−a) < δ, o sea, x−a < δ y x−a > −δ. Al sumar a seconcluye: |x−a| < δ ⇔ x < a+δ y x > a−δ ⇔ a−δ < x < a+δ.

De modo analogo se puede ver que |x− a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤a+ δ.

Usaremos la siguiente notacion para representar tipos especialesde conjuntos de numeros reales, llamados intervalos:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} [a,∞) = {x ∈ R : a ≤ x}(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}

(−∞,+∞) = R

Los cuatro intervalos de la izquierda estan acotados, sus extre-mos son a, b; [a, b] es un intervalo cerrado, (a, b) es abierto, [a, b) escerrado por la izquierda y (a, b] cerrado por la derecha. Los cincointervalos a la derecha son no acotados : (−∞, b] es la semirrectacerrada a la derecha con origen en b. Los demas tienen denomina-ciones analogas. Cuando a = b, el intervalo [a, b] se reduce a ununico elemento y se llama intervalo degenerado.

En terminos de intervalos, el Teorema 2 afirma que |x− a| < δsi, y solo si, x pertenece al intervalo abierto (a − δ, a + δ). Analo-gamente, |x− a| ≤ δ ⇔ x ∈ [a− δ, a + δ].

Es muy util imaginar el conjunto R como una recta (la “rectareal”) y los numero reales como sus puntos. Entonces la relacion x <y significa que el punto x esta a la izquierda de y (e y a la derecha dex), los intervalos son segmentos de la recta y |x− y| es la distanciadel punto x al punto y. Ası, el significado del Teorema 2 es que elintervalo (a−δ, a+δ) esta formado por los puntos que distan menosque δ del punto a. Tales interpretaciones geometricas constituyenun valioso auxilio para comprender los conceptos y teoremas delAnalisis Matematico.

3. R es un cuerpo completo

Nada de lo dicho hasta ahora nos permite distinguir R de Q,pues los numero racionales tambien forman un cuerpo ordenado.A continuacion acabaremos nuestra caracterizacion de R, descri-biendolo como un cuerpo ordenado y completo, propiedad que no

Seccion 3 R es un cuerpo completo 19

cumple Q.

Un conjunto X ⊂ R se dice acotado superiormente cuando exis-te b ∈ R tal que x ≤ b para todo x ∈ X . En este caso se dice que bes una cota superior de X . Analogamente, se dice que el conjuntoX esta acotado inferiormente cuando existe a ∈ R tal que a ≤ xpara todo x ∈ X . Entonces el numero a es una cota inferior deX . Si X esta acotado superiormente e inferiormente se dice que esun conjunto acotado. Esto significa que X esta contenido en algunintervalo acotado de la forma [a, b], o, equivalentemente, que existek > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k.

Sea X ⊂ R acotado superiormente y no vacıo. Un numero b ∈ Rse llama supremo del conjunto X cuando es la menor de las cotassuperiores de X . De forma explıcita, b es el supremo de X cuandose cumple las dos condiciones siguientes:

S1. Para todo x ∈ X se tiene x ≤ b.

S2. Si c ∈ R es tal que x ≤ c para todo x ∈ X , entonces b ≤ c.

La condicion S2 admite la siguiente reformulacion

S2′. Si c 0 existe x ∈ X tal que b− ε < x.

Escribimos b = supX para indicar que b es el supremo del con-junto X .

Analogamente, si X es un conjunto no vacıo acotado, inferior-mente se dice que un numero real a es el ınfimo de X , y se escribea = ınfX , cuando es la mayor de las cotas inferiores de X . Esto esequivalente a las dos afirmaciones siguientes:

I1. Para todo x ∈ X se tiene a ≤ x.

I2. Si c ≤ x para todo x ∈ X , entonces c ≤ a.

La condicion I2 se puede formular tambien ası:

I2′. Si a < c entonces existe x ∈ X tal que x < c.

De hecho, I2′ nos dice que ningun numero mayor que a es unacota inferior de X . Equivalentemente: para todo ε > 0 existe x ∈ Xtal que x < a + ε.

Se dice que un numero b ∈ X es el maximo del conjunto Xcuando b ≥ x para todo x ∈ X . Esto quiere decir que b es unacota superior de X que pertenece a X . Por ejemplo b es el maximodel intervalo [a, b], sin embargo el intervalo [a, b) no posee maximo.Evidentemente, si un conjunto X posee un maximo este es su supre-mo. La nocion de supremo sirve precisamente para substituir a laidea de maximo de un conjunto cuando este no existe. El supremodel conjunto [a, b) es b. Se pueden hacer consideraciones totalmenteanalogas con relacion al ınfimo.

Afirmar que el cuerpo ordenado R es completo significa afirmarque todo conjunto no vacıo y acotado superiormente X ⊂ R poseeun supremo b = supX .

No es necesario postular tambien que todo conjunto no vacıo yacotado inferiormente posee un ınfimo. En efecto, en este caso elconjunto Y = {−x : x ∈ X} no es vacıo y esta acotado superior-mente, luego posee un supremo b ∈ R. Entonces, como se puede verfacilmente, el numero a = −b es el ınfimo de X .

A continuacion veremos algunas consecuencias de la completitudde R.

Teorema 3.

i) El conjunto N ⊂ R de los numero naturales no esta acotadosuperiormente;

ii) El ınfimo del conjunto X = {1/n : n ∈ N} es igual a 0;

iii) Dados a, b ∈ R+, existe n ∈ N tal que n · a > b.

Demostracion: Si N estuviese acotado superiormente, existirıac = supN. Entonces c − 1 no serıa una cota superior de N, estoes, existirıa n ∈ N tal que c − 1 < n. De donde c < n + 1, luego

Seccion 3 R es un cuerpo completo 21

c no serıa una cota superior de N. Esta contradiccion prueba i).Respecto a ii): 0 es, evidentemente, una cota inferior de X . Enton-ces basta probar que cualquier c > 0 no es un cota inferior de X .Ahora bien, dado c > 0, existe, por i), un numero natural n > 1/c,de donde 1/n < c, lo que prueba ii). Finalmente, dados a, b ∈ R+

usamos i) para obtener n ∈ N tal que n > b/a. Entonces na > b, loque demuestra iii).

Las propiedades i), ii) y iii) del teorema anterior son equivalentesy significan que R es un cuerpo arquimediano. En realidad, iii) sedebe al matematico griego Eudoxo, que vivio algunos siglos antesque Arquımedes.

Teorema 4. (Principio de los intervalos encajados) Dadauna sucesion decreciente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervaloscerrados y acotados, In = [an, bn], existe al menos un numero realc tal que c ∈ In para todo n ∈ N.

Demostracion: Las inclusiones In ⊃ In+1 significan que

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 .

El conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . .} esta, por tanto, acotado supe-riormente; sea c = supA. Evidentemente, an ≤ c para todo n ∈ N.Ademas, como cada bn es una cota superior de A, tenemos c ≤ bnpara todo n ∈ N. Por tanto c ∈ In para todo n ∈ N.

Teorema 5. El conjunto de los numeros reales no es numerable.

Demostracion: Demostraremos que ninguna funcion f : N → Rpuede ser sobreyectiva. Para esto, suponiendo f dada, construire-mos una sucesion decreciente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervaloscerrados y acotados tales que f(n) /∈ In. Entonces, si c es un nume-ro real que pertenece a todos los In ningun valor de f(n) puedeser igual a c, luego f no es sobreyectiva. Para obtener los inter-valos, comenzaremos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1 y,suponiendo obtenidos I1, I2, . . . , In tales que f(j) /∈ Ij , considera-mos In = [an, bn]. Si f(n + 1) ∈ In, al menos uno de los extremos,por ejemplo an, es diferente de f(n + 1), esto es, an < f(n + 1).En este caso tomamos In+1 = [an+1, bn+1], donde an+1 = an ybn+1 = (an + f(n+ 1))/2.

Un numero se llama irracional cuando no es racional. Comoel conjunto Q de los numeros racionales es numerable, del teore-ma anterior resulta que existen numeros irracionales y, aun mas,como R = Q ∪ (R − Q), los irracionales constituyen un conjuntono numerable (por tanto son la “mayorıa” de los numeros reales)pues la union de dos conjuntos numerables es numerable. Eviden-temente, se pueden exhibir numero irracionales explıcitamente. Enel Capıtulo 3, Ejemplo 15, veremos que la funcion f : R → R+,dada por f(x) = x2, es sobreyectiva. Luego existe un numero realpositivo, expresado por

√2, cuyo cuadrado es igual a 2. Pitagoras

y sus discıpulos demostraron que ningun numero racional puede te-ner cuadrado igual a 2. (En efecto, si (p/q)2 = 2 entonces 2q2 = p2,donde p y q son enteros, lo que es absurdo pues el factor primo2 aparece un numero par de veces en la descomposicion de p2 enfactores primos y un numero impar de veces en la de 2q2).

Corolario 1. Todo intervalo no degenerado no es numerable.

En efecto, todo intervalo no degenerado contiene un intervaloabierto (a, b). Como la funcion f : (−1, 1) → (a, b), definida comof(x) = 1

2[(b − a)x + a + b], es una biyeccion, basta probar que

(−1, 1) no es numerable. Ahora bien, la funcion ϕ : R → (−1, 1),dada por ϕ(x) = x/(1 + |x|), es una biyeccion cuya inversa es ψ :(−1, 1) → R, definida mediante ψ(y) = y/(1−|y|), pues ϕ(ψ(y)) =y e ψ(ϕ(x)) = x para cualesquiera y ∈ (−1, 1) y x ∈ R, como sepuede ver facilmente.

�

Teorema 6. Todo intervalo no degenerado I contiene numeros ra-cionales e irracionales.

Demostracion: Obviamente I contiene numeros irracionales, puesen caso contrario I serıa numerable. Para probar que I contienenumeros racionales consideramos [a, b] ⊂ I, donde a < b se puedentomar irracionales. Tomemos n ∈ N tal que 1/n < b − a. Losintervalos Im = [m/n, (m+1)/n], m ∈ Z, cubren la recta real, estoes, R =

⋃

m∈Z Im. Por lo tanto existe m tal que a ∈ Im. Como a esirracional, tenemos m/n < a < (m + 1)/n. Como 1/n, la longituddel intervalo Im, es menor que b − a, se tiene que (m + 1)/n < b.Luego el numero racional (m+ 1)/n pertenece al intervalo [a, b], ypor tanto al intervalo I.

5. Ejercicios

Seccion 1: R es un cuerpo.

1. Pruebe las siguientes unicidades:

(a) Si x+ θ = x para todo x ∈ R entonces θ = 0;

(b) Si x · u = x para todo x ∈ R entonces u = 1;

(c) Si x+ y = 0 entonces y = −x;(d) Si x · y = 1 entonces y = x−1.

2. Dados a, b, c, d ∈ R, si b 6= 0 y d 6= 0 pruebe que (a/b + c/d) =(ad+ bc)/bd y (a/b)(c/d) = (ac/bd).

3. Si a, b ∈ R, a 6= 0 y b 6= 0, pruebe que (ab)−1 = a−1 · b−1 yconcluya que (a/b)−1 = b/a.

4. Pruebe que (1−xn+1)/(1−x) = 1+x+ · · ·+xn para todo x 6= 1.

Seccion 2: R es un cuerpo ordenado

1. Para cualesquiera x, y, z ∈ R, pruebe que |x−z| ≤ |x−y|+|y−z|.

2. Pruebe que ||x| − |y|| ≤ |x− y| para cualesquiera x, y ∈ R.

3. Dados x, y ∈ R, si x2 + y2 = 0 pruebe que x = y = 0.

4. Pruebe por el metodo de induccion que (1 + x)n ≥ 1 + nx +[n(n− 1)/2]x2 si x ≥ 0.

5. Para todo x 6= 0, pruebe que (1 + x)2n > 1 + 2nx.

6. Pruebe que |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε.

7. Usando que el trinomio de segundo grado f(λ) =∑n

i=1(xi +λyi)

2 es ≥ 0 para todo λ ∈ R pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

(

n∑

i=1

xiyi

)2

≤(

n∑

i=1

x2i

)(

n∑

i=1

y2i

)

Pruebe tambien que se tiene la igualdad si, y solo si, existe λ talque xi = λyi para todo i = 1, . . . , n.

8. Si a1/b1, . . . , an/bn pertenecen al intervalo (α, β) y b1, . . . , bn sonpositivos, pruebe que (a1 + · · · + an)/(b1 + · · · + bn) pertenecea (α, β). Con las mismas hipotesis, si t1, . . . , tn ∈ R+, pruebeque (t1a1 + · · ·+ tnan)/(t1b1 + · · ·+ tnbn) tambien pertenece alintervalo (α, β).

Seccion 3: R es un cuerpo ordenado completo

1. Se dice que una funcion f : X → R esta acotada superiormentecuando su imagen f(X) = {f(x) : x ∈ X} es un conjunto aco-tado superiormente. Entonces se escribe sup(f) = sup{f(x) :x ∈ X}. Pruebe que si f, g : X → R estan acotadas superior-mente ocurre lo mismo con la suma f + g : X → R; ademas setiene sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g). De un ejemplo en el quesup(f + g) < sup(f) + sup(g). Enuncie y pruebe un resultadoanalogo con ınf.

2. Dadas funciones f, g : X → R+ acotadas superiormente pruebeque el producto f · g : X → R es una funcion acotada (superiore inferiormente) tal que sup(f · g) ≤ sup(f) sup(g) e ınf(f · g) ≥ınf(f) · ınf(g). De ejemplos en los que se tenga < en vez de =.

3. Con las hipotesis del ejercicio anterior demuestre que sup(f 2) =sup(f)2 e ınf(f 2) = ınf(f)2.

4. Dados a, b ∈ R+ con a2 < 2 < b2, tome x, y ∈ R+ tales quex < 1, x < (2 − a2)/(2a + 1) e y < (b2 − 2)/2b. Pruebe que(a+ x)2 < 2 < (b− y)2 y (b− y) > 0. A continuacion, considereel conjunto acotado X = {a ∈ R+ : a2 < 2} y concluya que elnumero real c = supX cumple c2 = 2.

5. Pruebe que el conjunto de los polinomios con coeficientes enteroses numerable. Un numero real se llama algebraico cuando es raızde un polinomio con coeficiente enteros. Pruebe que el conjuntode los numeros algebraicos es numerable. Un numero real sellama trascendente cuando no es algebraico. Pruebe que existennumeros trascendentes.

6. Pruebe que un conjunto I ⊂ R es un intervalo si, y solo si,a < x < b, a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.

3

Sucesionesde numeros reales

En este capıtulo se introducira la nocion de lımite en su forma massimple, el lımite de una sucesion. A partir de aquı, todos los con-ceptos importantes del Analisis Matematico, de una forma u otrase reduciran a algun tipo de lımite.

1. Limite de una sucesion

Una sucesion de numeros reales es una funcion x : N → R queasocia a cada numero natural n un numero real xn, llamado n-esi-mo termino de la sucesion.

Se escribe (x1, x2, . . . , xn, . . .) o (xn)n∈N, o simplemente (xn), pa-ra indicar la sucesion cuyo n-esimo termino es xn.

No debe confundirse la sucesion (xn) con el conjunto {x1, x2, . . . ,xn, . . .} de sus terminos. Por ejemplo, la sucesion (1, 1, . . . , 1, . . .) noes lo mismo que el conjunto {1}. O de otra forma: las sucesiones(0, 1, 0, 1, . . .) y (0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .) son diferentes pero el conjunto desus terminos es el mismo, igual a {0, 1}.

Una sucesion (xr) se dice acotada superiormente (respectiva-mente inferiormente) cuando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (respec-tivamente xn ≥ c) para todo n ∈ N. Se dice que la sucesion (xn)

25

26 Sucesiones de numeros reales Cap. 3

esta acotada cuando esta acotada superior e inferiormente. Estoequivale a decir que existe k > 0 tal que |xn| ≤ k para todo n ∈ N.

Ejemplo 1. Si a > 1 entonces la sucesion (a, a2, . . . , an, . . .) esta aco-tada inferiormente pero no superiormente. En efecto, multiplican-do ambos miembros de la desigualdad 1 < a por an obtenemosan < an+1. Se sigue que a < an para todo n ∈ N, luego (an) esta aco-tada inferiormente por a. Por otra parte, tenemos a = 1 + d, cond > 0. Por la desigualdad de Bernoulli, para todo n ∈ N se tienean > 1+nd. Por tanto, dado cualquier c ∈ R podemos hacer an > csiempre que tomemos 1 + nd > c, esto es, n > (c− 1)/d.

Dada una sucesion x = (xn)n∈N, una subsucesion de x es la res-triccion de la funcion x a un subconjunto infinito de N′ = {n1 <n2 < · · · < nk < · · · } de N. Se escribe x′ = (xn)n∈N′ o (xn1 , xn2, . . . ,xnk

, . . .}, o (xnk)k∈N para indicar la subsucesion x′ = x|N′. La nota-

cion (xnk)k∈N indica que una subsucecion se puede considerar como

una sucesion, esto es, una funcion cuyo dominio es N.

Recordemos que N′ ⊂ N es infinito si, y solo si, no esta acotado,esto es, para todo n0 ∈ N existe nk ∈ N′ tal que nk > n0.

Ejemplo 2. Dado un numero real a < −1, consideremos la sucesion(an)n∈N. Si N′ ⊂ N es el conjunto de los numeros pares y N′′ es elconjunto de los numeros impares entonces la subsucesion (an)n∈N′′

solamente esta acotada superiormente.

Se dice que un numero real a es el lımite de la sucesion (xn)cuando para todo numero real ε > 0, dado arbitrariamente, se pue-de obtener n0 ∈ N tal que todos los terminos xn con ındice n > n0

cumplen la condicion |xn − a| < ε. Se escribe entonces a = lım xn.

Esta importante definicion significa que, para valores muy gran-des de n, los terminos xn permanecen tan proximos a a cuando sedesee. Mas precisamente, estipulandose un error ε > 0, existe unındice n0 ∈ N tal que todos los terminos de la sucesion con ındicen > n0 son valores aproximados de a con un error menor que ε.

Con sımbolos matematicos, se escribe:

a = lım xn · ≡ · ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N;n > n0 ⇒ |xn − a| < ε,

Seccion 1 Limite de una sucesion 27

en donde el sımbolo · ≡ · significa que lo que sigue es la definicionde lo que antecede, ∀ significa “para todo” o “cualquier que sea”y ∃ significa “existe”. El punto y como quiere decir “tal que” y laflecha ⇒ significa “implica”.

Es conveniente recordar que |xn − a| < ε es lo mismo quea− ε < xn < a+ ε, esto es, xn pertenece al intervalo (a− ε, a+ ε).

Ası, decir que a = lım xn significa que cualquier intervalo abiertocentrado en a contiene todos los terminos xn de la sucesion exceptoun numero finito de estos (a saber, los de ındice n ≤ n0, donde n0

se escoge en funcion del radio ε del intervalo).

En vez de a = lım xn, tambien se escribe a = lımn∈N

xn, a = lımn→∞

xn,

o xn → a. Esta ultima expresion se lee “xn tiende a a” o “xnconverge a a”. Una sucesion que posee lımite se llama convergente.En caso contrario se llama divergente.

Teorema 1. (Unicidad del lımite) Una sucesion no puede con-verger a dos lımites diferentes.

Demostracion: Sea lım xn = a. Dado b 6= a podemos tomar ε > 0tal que los intervalo abiertos I = (a− ε, a+ ε) y J = (b− ε, b+ ε)sean disjuntos. Existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0, implica xn ∈ I.Entonces, para todo n ≥ n0, tenemos xn /∈ J . Luego no se tienelım xn = b.

Teorema 2. Si lım xn = a entonces toda subsucesion de (xn) con-verge a.

Demostracion: Sea (xn1 , xn2, . . . , xnk, . . .) una subsucesion. Dado

cualquier intervalo abierto centrado en a existe n0 ∈ N tal quetodos los terminos xn, con n ≥ n0, pertenecen a I. En particular,todos los terminos xnk

con nk ≥ n0, tambien pertencen a I. Luegolım xnk

= a.

Teorema 3. Toda sucesion convergente esta acotada.

Demostracion: Sea a = lım xn. Tomando ε = 1 vemos que existen0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ (a − 1, a + 1). Sean b el mayor y cel menor elemento del conjunto finito {x1, x2 . . . , xn0 , a− 1, a+ 1}.

Todos los terminos xn de la sucesion estan contenidos en [c, b], luegola sucesion esta acotada.

Ejemplo 3. La sucesion (2, 0, 2, 0, . . .), cuyo n-esimo termino esxn = 1 + (−1)n+1, esta acotada. Sin embargo no es convergenteporque posee dos sucesiones constantes, x2n−1 = 2 y x2n = 0, conlımites diferentes.

Ejemplo 4. La sucesion (1, 2, 3, . . .), con xn = n, no es convergenteporque no esta acotada.

Una sucesion (xn) se llama monotona cuando se tiene xn ≤ xn+1

para todo n ∈ N, o bien xn ≥ xn+1 para todo n ∈ N. En el pri-mer caso se dice que (xn) es monotona creciente, y en el segundocaso que (xn) es monotona decreciente. En particular, si tenemosxn < xn+1 (respec. xn > xn+1) para todo n ∈ N decimos que la su-cesion es estrictamente creciente (respc. estrictamente decreciente).

Toda sucesion monotona creciente (resp. decreciente) esta aco-tada inferiormente (respec. superiormente) por su primer termino.Para que este acotada es suficiente que tenga una subsucesion acota-da. En efecto, sea (xn)n∈N′ una subsucesion acotada de una sucesionmonotona (supongamos creciente) (xn). Tenemoos, xn ≤ c para to-do n ∈ N′. Dado cualquier n ∈ N existe n′ ∈ N′ tal que n < n′.Entonces xn ≤ xn′ ≤ c.

El proximo teorema nos da una condicion suficiente para queuna sucesion converja. Cuando intentaba demostrarlo mientras pre-paraba sus clases, a mediados del siglo XIX, R. Dedekind percibio lanecesidad de una formalizacion rigurosa del concepto de numeroreal.

Teorema 4. Toda sucesion monotona y acotada es convergente.

Demostracion. Sea (xn) monotona, supongamos que creciente, yacotada. Escribimos X = {x1, . . . , xn, . . .} y a = supX . Afirmamosque a = lım xn. En efecto, dado ε > 0, el numero a − ε no es unacota superior de X . Luego existe n0 tal que a − ε < xn0 ≤ a. Ası,n > n0 ⇒ a− ε < xn0 ≤ xn < a+ ε, de donde lım xn = a.

Analogamente, si (xn) es decreciente y acotada entonces lım xnes el ınfimo del conjunto de valores xn.

Seccion 2 Lımites y desigualdades 29

Corolario. (Teorema de Bolzano.Weierstrass) Toda suce-sion acotada de numeros reales posee una subsucesion convergente.

En efecto, basta demostrar que toda sucesion acotada (xn) poseeuna subsucesion monotona. Decimos que xn es un termino destacadode la sucesion (xn) si xn ≥ xp para todo p > n. Sea D el conjunto deındices n tal que xn es un termino destacado. Si D es un conjuntoinfinito, D = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · }, entonces la subsucesion(xn)n∈D es monotona decreciente. Por el contrario, si D es finitosea n ∈ N el mayor de los n ∈ D. Entonces xn1 , donde n1 = n + 1,no es destacado, luego existe n2 > n1 tal que xn1 < xn2 . A suvez, xn2 no es destacado, luego existe n3 > n2 con xn1 < xn2 <xn3 . Prosiguiendo obtenemos una sucesion estrictamente crecientexn1 < xn2 < · · · < xnk

< · · · . �

Ejemplo 5. La sucesion cuyo n-esimo termino es xn = 1/n esmonotona, estrictamente decreciente y acotada. Tenemos entonceslım 1/n = ınf{1/n;n ∈ N} = 0, por el Teorema 3, Capıtulo 2.

Ejemplo 6. Sea 0 < a < 1. La sucesion (a, a2, . . . , an, . . .), formadapor las sucesivas potencias, de a es estrictamente decreciente y aco-tada, pues multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an.Afirmamos que lımn→∞ an = 0. En efecto, como 1/a > 1, del Ejem-plo 1 se deduce que, dado ε > 0 arbitrario existe n0 ∈ N tal que(1/a)n0 > 1/ε, o sea, an0 < ε. Se sigue que lım an = ınf{an;n ∈N} = 0.

2. Lımites y desigualdades

Sea P una propiedad referente a los terminos de una sucesion(xn). Diremos que “para todo n suficientemente grande xn cumple lapropiedad P”para significar que “existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xncumple la propiedad P”.

Teorema 5. Sea a = lım xn. Si b < a entonces, para todo n suficien-temente grande, se tiene b < xn. Analogamente, si a 0 y b = a − ε.Por la definicion de lımite, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a− ε <xn < a + ε ⇒ b < xn. La otra afirmacion se prueba de formaanaloga.

Corolario 1. Sea a = lım xn. Si a > 0 entonces, para todo nsuficientemente grande, se tiene xn > 0. Analogamente, si a < 0entonces xn < 0 para todo n suficientemente grande.

Corolario 2. Sean a = lım xn y b = lım yn. Si xn ≤ yn, para todon suficientemente grande entonces a ≤ b. En particular, si xn ≤ bpara todo n suficientemente grande entonces lım xn ≤ b.

En efecto, si tuviesemos b < a entonces tomarıamos c ∈ R talque b < c < a y tendrıamos, por el Teorema 5, yn < c < xn paratodo n suficientemente grande, contradiciendo la hipotesis. �

Observacion: Si tuviesemos xn < yn no podrıamos concluir quea < b. Basta considerar xn = 0 e yn = 1/n.

Teorema 6. (Teorema del Sandwich.) Si lım xn = lım yn = a yxn ≤ zn ≤ yn para todo n suficientemente grande entonces lım zn =a.

Demostracion: Dado cualquier ε > 0, existen n1, n2 ∈ N talesque n > n1 ⇒ a− ε < xn < a + ε y n > n2 ⇒ a− ε < yn < a + ε.Sea n0 = max{n1, n2}. Entonces n > n0 ⇒ a− ε < xn ≤ zn ≤ yn <a+ ε⇒ zn ∈ (a− ε, a+ ε), luego lım zn = a.

3. Operaciones con lımites

Teorema 7. Si lım xn = 0 e (yn) es una sucesion acotada (conver-gente o no) entonces lım(xnyn) = 0.

Demostracion: Existe c > 0 tal que |yn| ≤ c para todo n ∈ N.Dado cualquier ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn| < ε/c.Entonces, n > n0 ⇒ |xn · yn| = |xn| · |yn| < (ε/c) · c = ε. Luegolım(xnyn) = 0.

Ejemplo 7. Si xn = 1/n e yn = sin(n) entonces (yn) no es conver-gente, sin embargo como −1 ≤ yn ≤ 1, se tiene lım(xn · yn) =lım(sin(n)/n) = 0. Por otra parte, si lım xn = 0 pero (yn) noesta acotada, la sucesion producto (xn · yn) puede ser divergente(tome xn = 1/n e yn = n2) o tender a cualquier valor c (tomexn = 1/n e yn = c · n).

Seccion 3 Operaciones con lımites 31

Para uso posterior, observamos que, como resultado directo dela definicion de lımite, se tiene:

lım xn = a⇔ lım(xn − a) = 0 ⇔ lım |xn − a| = 0.

Teorema 8. Si lım xn = a y lım yn = b entonces:

1. lım(xn ± yn) = a± b

2. lım(xn · yn) = a · b3. lım

xnyn

=a

bsi b 6= 0.

Demostracion: 1. Dado cualquier ε > 0, existen n1, n2 ∈ N talesque n > n1 ⇒ |xn − a| < ε/2 y n > n2 ⇒ |yn − b| < ε/2. Sean0 = max{n1, n2}. Entonces n > n0 ⇒ n > n1 y n > n2, luego|(xn + yn)− (a+ b)| = |(xn − a) + (yn − b)| ≤ |xn − a|+ |yn − b| <ε2+ ε

2< ε. Por lo tanto, lım(xn + yn) = a+ b. El mismo argumento

sirve para (xn − yn).

2. Tenemos xnyn−ab = xn ·yn−xnb+xnb−ab = xn(yn−b)+(xn−a)b. Por el Teorema 3, (xn) esta acotada. Ademas, lım(yn − b) =lım(xn − a) = 0. Se deduce del Teorema 7 y de la parte 1 quelım(xnyn − ab) = lım[xn(yn − b)] + lım[(xn − a)b] = 0, de dondelım(xnyn) = ab.

3. Se cumple xn/yn−a/b = (xnb−yna)/ynb. Como lım(xnb−yna) =ab − ba = 0, para concluir que lım

(

xn

yn− a

b

)

= 0, y por tanto que

lım(

xn

yn

)

= ab, basta probar que (1/ynb) es una sucesion acotada.

Ahora, escribiendo c = b2/2, tenemos 0 < c < b2. Como lım ynb =b2, se sigue del Teorema 5 que, para todo n suficientemente grande,se tiene c < ynb, y por tanto 1/ynb < 1/c, lo que completa lademostracion.

Ejemplo 8. Si xn > 0 para todo n ∈ N y lım(xn+1/xn) = a < 1entonces lım xn = 0. En efecto, tomemos c ∈ R con a < c < 1.Entonces 0 < xn+1/xn < c para todo n suficientemente grande.Se sigue que 0 < xn+1 = (xn+1/xn)xn < cxn < xn, luego, paran suficientemente grande, la sucesion (xn) es monotona y acotada.Sea b = lımxn. De xn+1 < c ·xn para todo n suficientemente grande

resulta, haciendo n→ ∞, que b ≤ c · b, esto es, (1− c)b ≤ 0. Comob ≥ 0 y 0 < c < 1, concluımos que b = 0.

Ejemplo 9. Como aplicacion del ejemplo anterior, se obtiene que,si a > 1 y k ∈ N son constantes, entonces:

lımn→∞

nk

an= lım

an

n!= lım

n!

nn= 0.

En efecto, escribiendo xn = nk

an, yn = an

n!y zn = n!

nn resulta yn+1/yn =a/n + 1, luego lım(yn+1/yn) = 0 y, por el Ejemplo 8, lım yn = 0.

Tambien tenemos xn+1/xn =(

1 + 1n

)k ·a−1, por tanto (por el Teore-ma 8) lım(xn+1/xn) = 1/a < 1. Del Ejemplo 8 se deduce lım xn = 0.Finalmente, zn+1/zn = [n/(n + 1)]n, de donde lım(zn+1/zn) = 1/e.(vea el Ejemplo 12 mas adelante). Como 1/e < 1, se sigue quelım zn = 0.

Ejemplo 10. Dado a > 0 demostraremos que la sucesion dada porxn = n

√a = a1/n tiene lımite igual a 1. En efecto, se trata de una

sucesion monotona (estrictamente decreciente si a > 1 y crecientesi a < 1) y acotada, por lo tanto existe L = lım

n→∞a1/n. Se tiene

L > 0. En efecto, si 0 < a < 1 entonces a1/n > a para todo n ∈ N,de donde L ≥ a. Sin embargo, si a > 1 entonces a1/n > 1 para todon ∈ N, de donde L ≥ 1. Consideremos la subsucesion (a1/n(n+1)) =(a1/2, a1/6, a1/12, . . .). Como 1/n(n+1) = 1/n−1/(n+1), el Teorema2 y el apartado 3 del Teorema 8 nos dan:

L = lım a1/n(n+1) = lıma1/n

a1/(n+1)=L

L= 1.

Ejemplo 11. Sea 0 < a < 1. La sucesion cuyo termino generales xn = 1 + a + · · · + an = (1 − an+1)/(1 − a) es estrictamen-te creciente y acotada, pues xn < 1/(1 − a) para todo n ∈ N.Ademas, lım

n→∞(1/(1− a) − xn) = lım

n→∞an/(1 − a) = 0, por lo tanto

lımn→∞

xn = lım(1 + a + · · ·+ an) = 1/(1− a).

La igualdad anterior tambien es valida cuando se tiene −1 <a < 1, esto es, |a| < 1. En efecto, el argumento se basa en quelımn→∞

an = 0, lo que persiste cuando se tiene solamente |a| < 1, pues

lım |a|n = 0 ⇔ lım an = 0.

Seccion 3 Operaciones con lımites 33

Ejemplo 12. La sucesion cuyo termino general es

an = 1 + 1 +1

2!+ · · ·+ 1

n!

es, evidentemente, creciente. Tambien esta acotada pues

2 ≤ an ≤ 1 + 1 +1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n< 3.

Escribimos e = lım an. El numero e es una de las constantesmas importantes del Analisis Matematico. Como acabamos de ver,se tiene 2 < e ≤ 3. En realidad la expresion de e con sus cuatroprimeros decimales es e = 2, 7182.

Ejemplo 13. Consideremos la sucesion cuyo termino general esbn = (1 + 1/n)n = [(n + 1)/n]n. Por la formula del binomio deNewton:

bn = 1 +n · 1n

+n(n− 1)

2!

1

n2+ · · ·+ n(n− 1)(n− 2) · · ·1

n!

1

nn

= 1 + 1 +1

2!

(

1− 1

n

)

− 1

3!

(

1− 1

n

)(

1− 2

n

)

+ · · ·+ 1

n!

(

1− 1

n

)

· · ·(

1− n− 1

n

)

.

Luego bn es una suma donde todos los sumandos son positivos.El numero de sumandos, ası como cada una de ellos, crece con n.Por tanto la sucesion (bn) es estrictamente creciente. Es claro quebn < an (ver el Ejemplo 12). Se sigue que bn < 3 para todo n ∈ N.Afirmamos que lım bn = lım an. En efecto, si n > p:

bn ≥ 1+1+1

2!

(

1− 1

n

)

+· · ·+ 1

p!

(

1− 1

n

)(

1− 2

n

)

· · ·(

1− p− 1

n

)

.

Tomando un p cualquiera y haciendo n→ ∞, de la ultima desigual-

dad obtenemos lımn→∞

bn ≥ 1+1

2!+· · ·+ 1

p!= ap. Como esta desigual-

dad es valida para todo p ∈ N, se sigue que lımn→∞

bn ≥ lımp→∞

ap = e.

Pero como ya hemos visto que ba < an para todo n ∈ N, entonceslım bn ≤ lım an. Esto completa la prueba de lım bn = e.

Ejemplo 14. Consideremos la sucesion cuyo n-esimo termino esxn = n

√n = n1/n. Tenemos xn ≥ 1 para todo n ∈ N. Esta sucesion

es estrictamente decreciente a partir del tercer termino. En efecto,la desigualdad n

√n > n+1

√n + 1 es equivalente a nn+1 > (n + 1)n,

esto es, n > (1+1/n)n, que es verdad si n ≥ 3 pues, como acabamosde ver, (1+ 1/n)n < 3 para todo n. Por tanto existe L = lımn1/n yse tiene L ≥ 1. Consideremos la subsucesion (2n)1/2n tenemos:

L2 = lım[(2n)1/2n]2 = lım[21/n · n1/n] = lım 21/n · lımn1/n = L,

(cfr. Ejemplo 10.) Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Conclui-mos por tanto que lım n

√n = 1.

Ejemplo 15. (Aproximaciones sucesivas de la raız cuadrada.)El siguiente metodo iterativo para obtener, con error tan pequenocuanto se desee, raıces cuadradas de un numero real a > 0 yaera conocido por lo babilonios 17 siglos antes de la era cristiana.Se toma de forma arbitraria un valor x1 > 0 y se define induc-tivamente xn+1 = [xn + a/xn]/2. Para demostrar que la sucesion(xn) ası obtenida converge a

√a primero observamos que, para

todo x 6= 0, se tiene [x + a/x]2 ≥ 4a. En efecto, desarrollandoel cuadrado y pasando 4a al primer termino, vemos que esta de-sigualdad es equivalente a afirmar que (x − a/x)2 ≥ 0, lo quees obvio. De aquı resulta x2n+1 = [xn + a/xn]

2/4 ≥ a para todon ∈ N. Ademas, si x2 ≥ a entonces [x + a/x]2/4 = x2. En efecto,a ≤ x2 ⇒ [x + a/x]2/4 ≤ [x + x2/x]2/4 = x2. Como x2n+1 ≥ apara todo n, se sigue que x2n+2 ≤ x2n+1, luego xn+2 ≤ xn+1, puesestos numeros son ≥ 0. Por lo tanto, inclusive si x1 <

√a, siem-

pre se cumple x2 ≥ x3 ≥ x4 ≥ · · · , con x2n+1 ≥ a para todo n.Por lo tanto, existe c = lım xn. Haciendo n → ∞ en la igual-dad xn+1 = [xn + a/xn]/2 obtenemos c = [c + a/c]/2, de dondec2 = a, esto es lım xn =

√a. Ası vemos que todo numero real

a > 0 posee una raız cuadrada real. Mas aun, el proceso iterativoxn+1 = [xn + a/xn]/2 muestra rapidamente buenas aproximacionesde

√a, como se puede verificar tomando ejemplos concretos.

4. Lımites infinitos

Dada una sucesion (xn), se dice que “el lımite de xn es mas infi-nito” y se escribe lım xn = +∞, para significar que, dado cualquier

Seccion 4 Lımites infinitos 35

A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn > A.

Analogamente, lım xn = −∞ significa que, para todo A > 0dado, se puede encontrar n0 tal que n > n0 ⇒ xn < −A.

Se debe enfatizar que +∞ y −∞ no son numeros y que, silım xn = +∞ y lım ym = −∞, las sucesiones (xn) e (yn) no sonconvergentes.

Como lım(xn) = +∞ ⇔ lım(−xn) = −∞, limitaremos nuestroscomentarios al primer caso.

Si lım xn = +∞ entonces la sucesion (xn) no esta acotadasuperiormente. El recıproco es falso. La sucesion dada por xn =n+(−1)nn no esta acotada superiormente, sin embargo no se tienelım xn = +∞, pues x2n−1 = 0 para todo n ∈ N. No obstante si (xn)es creciente, entonces (xn) no es acotada ⇒ lım xn = +∞.

En el Ejemplo 1 demostramos que las potencias a, a2, a3, . . . deun numero a > 1 forman una sucesion que no esta acotada y real-mente probamos que lım an = +∞.

Teorema 9.

(1) Si lım xn = +∞ y (yn) esta acotada inferiormente entonceslım(xn + yn) = +∞.

(2) Si lımxn = +∞ y existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ Nentonces lım(xnyn) = +∞.

(3) Si xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N y lım yn = 0 entonceslım xn

yn= +∞.

(4) Si (xn) esta acotada y lım(yn) = +∞ entonces lım xn

yn= 0.

Demostracion: (1) Existe c ∈ R tal que yn ≥ c para todo n ∈ N.Dado cualquier A >=, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn >a − c. Se sigue que n > n0 ⇒ xn + yn > A − c + c = A. Luegolım(xn + yn) = +∞.(2) Dado cualquier A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn >A/c. Luego n > n0 ⇒ xnyn > (A/c) · c = A, de donde lım(xnyn) =

+∞.(3) Dado A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn < c/a. Entoncesn > n0 ⇒ xn/yn > c · A/c = A, de donde lım(xn/yn) = +∞.(4) Existe c > 0 tal que |xn| ≤ c para todo n ∈ N. Dado cualquierε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn > c/ε. Entoncesn > n0 ⇒ |xn/yn| < c · ε/c = ε, luego lım(xn/yn) = 0.

Las hipotesis de los diversos apartados del teorema anterior tie-nen por objeto evitar algunas de las llamadas “expresiones indeter-minadas”. En el apartado (1) se intenta evitar la expresion +∞−∞.De hecho, si lım(xn) = +∞ y lım(yn) = −∞ nada puede afirmarsesobre lım(xn+ yn). Este lımite puede no existir (como en el caso enque xn = n+ (−1)n e yn = −n), puede ser igual a +∞ (si xn = 2ne yn = −n), puede ser −∞ (tome xn = n e yn = −2n) o puede serun valor cualquiera c ∈ R (por ejemplo, xn = n + c e yn = −n).Debido a este compartamiento erratico, se dice que +∞ − ∞ esuna expresion indeterminada. En los apartados (2), (3) y (4), lashipotesis excluyen los lımites del tipo 0 × ∞ (tambien evitado enel Teorema 7), 0/0 y ∞/∞, respectivamente, que constituyen ex-presiones indeterminadas en el sentido que acabamos de explicar.Otras expresiones indeterminadas frecuentes son ∞0, 1∞ y 00.

Los lımites mas importantes del Analisis Matematico casi siem-pre aparecen en forma de expresiones indeterminadas. Por ejemplo,el numero e = lım

n→∞(1 + 1/n)n es de la forma 1∞. Y, como veremos

mas adelante, la derivada es un lımite del tipo 0/0.

Proseguimos con una afirmacion sobre el orden de magnitud. Sik ∈ N y a es un numero real > 1 entonces lım

n→∞nk = lım

n→∞an =

lımn→∞

n! = lımn→∞

nn. Todas estas sucesiones tienen lımite infinito. El

Ejemplo 9 nos dice que, para valores muy grandes de n, tenemosnk ≪ an ≪ n! ≪ nn, donde el sımbolo ≪ quiere decir “es una frac-cion muy pequena de” o “es insignificante en comparacion con”.Por eso se dice que el crecimiento exponencial supera al polinomial,el crecimiento factorial supera al exponencial con base constantepero es superado por el crecimiento exponencial con base creciente.Por otro lado, el crecimiento de nk (inclusive cuando k = 1) superaal crecimiento logarıtmico, como demostraremos a continuacion.

En el Capıtulo 9 probaremos la existencia de una funcion es-trictamente creciente log : R+ → R, tal que log(xy) = log x+ log yy log x < x para cualesquiera x, y ∈ R+. De aquı resulta quelog x = log(

√x · √x) = 2 log

√x, de donde log

√x = (log x)/2.

Ademas, log x = log 1 + log x, de donde log 1 = 0. Como log es es-trictamente creciente, se tiene log x > 0 para todo x > 1. Tambiense cumple log(2n) = n log(2), por tanto lım

n→∞log(2n) = +∞. Como

log es creciente, se sigue lımn→∞

log n = +∞.

Probaremos ahora que lımn→∞

logn

n= 0.

Para todo n ∈ N, tenemos log√n <

√n. Como log

√n =

12logn, se deduce que logn < 2

√n. Dividiendo por n resulta que

0 < log n/n < 2/√n. Haciendo n→ ∞ se tiene lım

n→∞

logn

n= 0.

5. Ejercicios

Seccion 1: Lımite de una sucesion.

1. Se dice que una sucesion (xn) es periodica cuando existe p ∈ Ntal que xn+p = xn para todo n ∈ N. Pruebe que toda sucesionperiodica convergente es constante.

2. Dadas las sucesiones (xn) e (yn), defina (zn) como z2n−1 = xn yz2n = yn. Pruebe que si lım xn = lım yn = a entonces lım zn = a.

3. Pruebe que si lım xn = a entonces lım |xn| = |a|.

4. Si una sucesion monotona tiene una subsucesion convergente,pruebe que entonces la propia sucesion es convergente.

5. Un numero a se llama valor de adherencia de la sucesion (xn)cuando es el lımite de alguna subsucesion de (xn). Para cada unade los conjuntos A,B y C dados a continuacion encuentre suce-siones que tengan dichos conjuntos como valores de adherencia:A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1].

6. Para que un numero real a sea valor de adherencia de la sucesion(xn) es necesario y suficiente que, para todo ε > 0 y k ∈ N, existan > k tal que |xn − a| < ε.

7. Para que un numero real b no sea valor de adherencia de lasucesion (xn) es necesario y suficiente que exista n0 ∈ N y ε > 0tales que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ ε.

Seccion 2: Lımites y desigualdades

1. Si lımxn = a, lım yn = b y |xn−yn| ≥ ε para todo n ∈ N, pruebeque entonces |a− b| ≥ ε.

2. Sean lım xn = a y lım yn = b. Pruebe que si a > b entonces existen0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < yn.

3. Si el numero real a no es el lımite de la sucesion acotada (xn),pruebe que existe alguna subsucesion convergente de (xn) conlımite b 6= a.

4. Pruebe que una sucesion acotada es convergente si, y solo si,posee un unico valor de adherencia.

5. ¿Cuales son los valores de adherencia de la sucesion (xn) definidapor x2n−1 = n y x2n = 1/n? ¿Es esta sucesion convergente?

6. Dados a, b ∈ R+ defina inductivamente las sucesiones (xn) e(yn) como x1 =

√ab, y1 = (a + b)/2 y xn+1 =

√xnyn, yn+1 =

(xn + yn)/2. Pruebe que (xn) e (yn) convergen al mismo lımite.

7. Se dice que (xn) es una sucesion de Cauchy cuando, para todoε > 0, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < ε.

(a) Pruebe que toda sucesion de Cauchy esta acotada.

(b) Pruebe que una sucesion de Cauchy no puede tener dos va-lores de adherencia distintos.

(c) Pruebe que una sucesion (xn) es convergente si, y solo si, esde Cauchy.

Seccion 3: Operaciones con lımites

1. Pruebe que, para todo p ∈ N, se tiene lımn→∞

n+p√n = 1.

2. Si existen ε > 0 y k ∈ N tales que ε ≤ xn ≤ nk para todo nsuficientemente grande, pruebe que lım n

√xn = 1. Use esto para

calcular lımn→∞

n√n + k, lım

n→∞n

√

n√n, lım

n→∞n√

log n y lımn→∞

n√

n logn.

3. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesion (xn) mediantex1 =

√a y xn+1 =

√a + xn. Pruebe que (xn) es convergente y

calcule su lımite:

L =

√

a+

√

a+√a + · · ·

4. Sea en = (xn − √a)/

√a el error relativo de la n-esima etapa

del calculo de√a. Pruebe que en+1 = e2n/2(1 + en). Concluya

que en ≤ 0, 01 ⇒ en+1 ≤ 0, 00005 ⇒ en+2 ≤ 0, 00000000125 yobserve la rapidez de la convergencia del metodo.

5. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesion (xn) como x1 =1/a y xn+1 = 1/(a + xn). Considere c la raız positiva de laecuacion x2 + ax − 1 = 0, el unico numero positivo tal quec = 1/(a + c). Suponga que x1 < c (El caso x1 > c se puedetratar de forma analoga). Pruebe que x1 < x3 < · · · < x2n−1 <· · · < c < · · · < x2n < · · · < x4 < x2 y que lım xn = c. El numeroc se puede considerar como la suma de la fraccion continua:

1

a+1

a+1

a +1

a+ . . .

6. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesion (yn) mediantey1 = a e yn+1 = a + 1/yn. Demuestre que lım yn = a + c, dondec esta definido como en el ejercicio anterior.

7. Defina la sucesion (an) inductivamente como a1 = a2 = 1 yan+1 = an+1 + an para todo n ∈ N. Escriba xn = an/an+1 ypruebe que lım xn = a, donde a es el unico numero positivo talque 1/(a + 1) = a. El termino an se llama n-esimo numero deFibonacci y a = (−1+

√5)/2 es el numero de oro de la Geometrıa

Clasica.

Seccion 4: Lımites infinitos

1. Pruebe que lım n√n = +∞.


2. Si lım xn = +∞ y a ∈ R, pruebe que:

lımn→∞

[√

log(xn + a)− log√xn] = 0 .

3. Dados k ∈ N y A > 1, determine el lımn→∞

n!

nk · an . Suponiendo

que a > 1 y a 6= e, calcule lımn→∞

an · n!nn

y lımn→∞

nk · an · n!nn

.

4. Demuestre que lımn→∞

log(n+ 1)/ log(n) = 1.

5. Sean (xn) cualquier sucesion y (yn) una sucesion estrictamen-te creciente tal que lım yn = +∞. Suponiendo que lım(xn+1 −xn)/(yn+1 − yn) = a, pruebe que lım xn/yn = a. Concluya quesi lım(xn+1 − xn) = a entonces lım xn/n = a. En particular, delım log(1 + 1/n) = 0, concluya que lım(logn)/n = 0.

6. Si lım xn = a y (tn) es una sucesion de numeros positivos talque:

lım(t1 + · · ·+ tn) = +∞ ,

entonces pruebe que:

lımt1x1 + · · ·+ tnxnt1 + · · ·+ tn

= a .

En particular, si yn = x1+···+xn

n, tambien se tiene lım yn = a.

4

Series de numeros

Una serie es una suma s = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · con un numeroinfinito de sumandos. Para que esto tenga sentido escribiremos s =lımn→∞

(a1 + · · ·+ an). Como todo lımite, este puede existir o no. Por

eso hay series convergentes y divergentes. Aprender a distingir lasunas de las otras es el objetivo principal de este capıtulo.

1. Series convergentes

A partir de una sucesion (an) de numeros reales dada formamosuna nueva sucesion (sn), donde

s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + a2 + · · ·+ an, etc .

Los numeros sn se llaman sumas parciales de la serie∑

an. Elsumando an es el n-esimo termino o termino general de la serie.

Cuando existe el lımite s = lımn→∞

sn, decimos que la serie∑

an

es convergente y s =∑

an =∑∞

n=1 an = a1 + a2 + · · · + an + · · ·se llama suma de la serie. Si lım sn no existe decimos que

∑

an esuna serie divergente.

A veces es conveniente considerar series del tipo∑∞

n=0 an queempiezan en a0 en vez de a1.

Ejemplo 1. Como ya hemos visto (Ejemplos 11 y 12, Capıtulo 3),cuando |a| < 1 la serie geometrica 1 + a + a2 + · · · + an + · · · esconvergente y su suma es 1/(1 − a) y la serie 1 + 1 + 1/2! + · · ·+1/n! + · · · tambien es convergente, y su suma es igual a e.

41

42 Series de numeros Cap. 4

Ejemplo 2. La serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , cuyo termino general es(−1)n+1, es divergente, pues la suma parcial sn es cero si n es par,e igual a 1 si n es impar. Por lo tanto no existe lım sn.

Ejemplo 3. La serie∑

1/n(n + 1), cuyo termino general es an =1/n(n+ 1) = 1/n− 1/(n+ 1), tiene como n-esima suma parcial:

sn =

(

1 +1

2

)

+

(

1

2− 1

3

)

+ · · ·+(

1

n− 1

n+ 1

)

= 1− 1

n+ 1.

Por lo tanto lım sn = 1, esto es,∑

1/n(n+ 1) = 1.

Si an ≥ 0 para todo n ∈ N, las sumas parciales de la serie∑

anforman una sucesion creciente. Por lo tanto una serie

∑

an cuyosterminos no son negativos, converge si, y solo si, existe una cons-tante k tal que a1+· · ·+an ≤ k para todo n ∈ N. Por esto usaremosla notacion

∑

an < +∞ para expresar que la serie∑

an, tal quean ≥ 0, es convergente.

Si an ≥ 0 para todo n ∈ N y (a′n) es una subsucesion de (an)entonces

∑

an < +∞ implica∑

a′n < +∞.

Ejemplo 4. (La serie armonica) La serie∑

1/n es divergente.De hecho, si

∑

1n

= s fuese convergente entonces∑

12n

= t y∑

12n−1

= u tambien lo serıan. Ademas sn = tn + un, haciendo

n → ∞ tendrıamos s = t + u. Pero t =∑

12n

= 12

∑

1n= s

2, por lo

tanto u = t = s2.

Por otra parte

u− t = lımn→∞

(un − tn)

= lımn→∞

[(

1− 1

2

)

+

(

1

3− 1

4

)

+ · · ·+(

1

2n− 1− 1

2n

)]

= lımn→∞

(

1

1 · 2 +1

3 · 4 + · · ·+ 1

(2n− 1)2n

)

> 0 ,

luego u > t. Lo que nos da una contradiccion.

Teorema 1. (Criterio de comparacion) Sean∑

an y∑

bnseries de terminos mayores o iguales a 0. Si existen c > 0 y n0 ∈ Ntales que an ≤ cbn, para todo n > n0, entonces la convergenciade∑

bn implica la de∑

an, mientras que la divergencia de∑

animplica la de

∑

bn.

Seccion 1 Series convergentes 43

Sin perdida de generalidad podemos suponer que an ≤ cbn paratodo n ∈ N.

Demostracion: Las sumas parciales sn y tn, de∑

an y∑

bn res-pectivamente, forman sucesiones crecientes tales que sn ≤ ctn paratodo n > n0. Como c > 0, (tn) acotada implica (sn) acotada, ysi (sn) no esta acotada entonces (tn) tampoco esta acotada, puestn ≥ sn/c.

Ejemplo 5. Si r > 1, la serie∑

1/nr converge. En efecto, sea cla suma de la serie geometrica

∑∞n=0(2/2

r)n. Demostraremos quetoda suma parcial sn de la serie

∑

1nr es menor que c. Sea n tal que

m ≤ 2n − 1. Entonces

sm ≤ 1 +

(

1

2r+

1

3r

)

+

(

1

4r+

1

5r+

1

6r+

1

7r

)

+

+ · · ·+(

1

(2n−1)r+ · · ·+ 1

(2n − 1)r

)

,

sm < 1 +2

2r+

4

4r+ · · ·+ 2n−1

(2n−1)r=

n−1∑

i=0

(

2

2r

)i

< c .

Como la serie armonica diverge, del criterio de comparacionresulta que

∑

1nr tambien diverge cuando r < 1 pues, en este caso,

1/nr > 1/n.

Teorema 2. El termino general de una serie convergente tiene cerocomo lımite.

Demostracion: Si la serie∑

an es convergente, entonces escri-biendo sn = a1 + · · · + an, existe s = lım

n→+∞sn. Consideremos la

sucesion (tn) con t1 = 0 y tn = sn−1 cuando n > 1. Evidentemente,lım tn = s y sn − tn = an. Por lo tanto lım an = lım(sn − tn) =lım sn − lım tn = s− s = 0.

El criterio contenido en el Teorema 2 es la primera cosa que sedebe verificar cuando se quiere saber si una serie es convergente ono. Si el termino general no tiende a cero, la serie diverge. La seriearmonica demuestra que la consicion lım an = 0 no es suficientepara garantizar la convergencia de

∑

an.

2. Series absolutamente convergentes

Una serie∑

an se dice absolutamente convergente cuando∑ |an|

converge.

Ejemplo 6. Una serie convergente cuyos terminos son todos delmismo signo es absolutamente convergente. Cuando −1 < a < 1,la serie geometrica

∑∞n=0 a

n es absolutamente convergente, pues|an| = |a|n, con 0 ≤ |a| < 1.

El ejemplo clasico de serie convergente∑

an tal que∑ |an| =

+∞ es dado por∑

(−1)n+1/n = 1− 12+ 1

3− 1

4+· · · . Cuando tomamos

la suma de los valores absolutos, obtenemos la serie armonica, quediverge. La convergencia de la serie dada se deduce del siguienteresultado:

Teorema 3. (Leibniz) Si (an) es una sucesion monotona decre-ciente que tiende a cero entonces

∑

(−1)n+1an es una serie conver-gente.

Demostracion: Sea sn = a1 − a2 + · · · + (−1)n+1an. Entoncess2n = s2n−2 + a2n−1 − a2n e s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1. Luego lassumas parciales de ındice par forman una sucesion creciente (puesa2n−1 − a2n ≥ 0) y las de ındice impar una sucesion decreciente(pues −a2n+a2n+1 ≤ 0). Ademas, como s2n = s2n−1−a2n, tenemoss2n−1 − s2n = a2n ≥ 0. Esto demuestra que

s2 ≤ s4 ≤ · · · ≤ s2n ≤ · · · ≤ s2n−1 ≤ · · · ≤ s3 ≤ s1

y que lım s2n = lım s2n−1, pues lım an = 0. Luego (sn) converge y elteorema esta probado.

Ejemplo 7. Por el Teorema 3, la serie∑

(−1)n+1 log(

1 + 1n

)

esconvergente. Sin embargo no es absolutamente convergente pues lan-esima suma parcial de la serie

∑

log(1 + 1/n) =∑

log(

n+1n

)

es

sn = log 2 + log

(

3

2

)

+ log

(

4

3

)

+ · · ·+ log

(

n+ 1

n

)

= log 2 + log 3− log 2 + log 4− log 3 + · · ·+ log(n+ 1)− log(n)

= log(n+ 1) .

Por tanto, lım sn = +∞.

Seccion 3 Criterios de convergencia 45

Una serie convergente∑

an tal que∑

|an| = +∞ se llama con-dicionalmente convergente.

El proximo teorema se puede interpretar de la siguiente manera:si tomamos una serie convergente cuyos terminos son todos ≥ 0 y,de forma completamente arbitraria, cambiamos el signo de algunosterminos (inclusive de un numero infinito de estos), obtenemos unaserie que tambien es convergente.

Teorema 4. Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostracion: Sea∑

|an| convergente. Para cada n ∈ N, defini-mos los numeros pn y qn del modo siguiente: pn = an, si an ≥ 0 ypn = 0 si an < 0; analogamente, qn = −an si an ≤ 0 y qn = 0 sian > 0. Los numero pn y qn se llaman, respectivamente, parte posi-tiva y parte negativa de an. Entonces pn ≥ 0, qn ≥ 0, pn+ qn = |an|(en particular pn ≤ |an| y qn ≤ |an|) y pn − qn = an. (Observe que,para cada n ∈ N, al menos uno de los numeros pn y qn es cero). Porel Teorema 1 las series

∑

pn y∑

qn son convergentes. Luego tam-bien es convergente la serie

∑

an =∑

(pn−qn) =∑

pn−∑

qn.

Dada la serie∑

an, acabamos de definir los numeros pn =max{an, 0} y qn = max{−an, 0}, las partes positiva y negativade an. Si

∑

an es condicionalmente convergente, necesariamente∑

pn = +∞ y∑

qn = +∞. En efecto, si solo una de estas dos se-ries fuese convergente (por ejemplo, la primera), tendrıamos

∑

an =∑

pn −∑

qn = a − ∞ = −∞. Y si ambas,∑

pn y∑

qn, fuesenconvergentes tendrıamos

∑

|an| =∑

pn +∑

qn < +∞, y la serieserıa absolutamente convergente.

3. Criterios de convergencia

Teorema 5. Sea∑

bn una serie absolutamente convergente tal quebn 6= 0 para todo n ∈ N. Si la sucesion (an/bn) esta acotada (enparticular, converge) entonces la serie

∑

an es absolutamente con-vergente.

Demostracion: Si para algun c > 0 tuviesemos |an/bn| ≤ c, seacual fuere n ∈ N, entonces |an| ≤ c|bn|. Por el criterio de compara-cion (Teorema 1) la serie

∑

an es absolutamente convergente.

Corolario. (Criterio de d’Alambert) Sea an 6= 0 para todon ∈ N. Si existe una constante c tal que |an+1/an| ≤ c < 1 paratodo n suficientemente grande (en particular, si lım |an+1/an| < 1)entonces la serie

∑


En efecto, si para todo n suficientemente grande se tiene|an+1/an| ≤ c = cn+1/cn, entonces |an+1|/cn+1 ≤ |an|/cn.

Ası la sucesion de numeros mayores o iguales a cero |an|/cn esdecreciente a partir de un determinado ındice, luego esta acotada.Como la serie

∑

cn es absolutamente convergente, se deduce delTeorema 5 que

∑

an converge absolutamente. En el caso particularen que existe lım |an+1|/|an| = L < 1, escogemos un numero c talque L < c < 1 y ası tendremos |an+1|/|an| < c para todo n sufi-cientemente grande (Teorema 5 del Capıtulo 3). Estamos entoncesen el caso ya demostrado.

Observacion: Cuando se aplica el criterio de d’Alambert, en ge-neral se intenta calcular lım |an+1/an| = L. Si L > 1 entonces laserie es divergente pues se tiene |an+1/an| > 1, de donde |an+1| >|an| para todo n suficientemente grande y ası el termino general anno tiende a cero. Si L = 1 el criterio nada nos permite concluir; laserie puede ser convergente (como en el caso

∑

1/n2) o divergente(como en el caso

∑

1/n).

Ejemplo 8. Sea an = 1/(n2−3n−1). Considerando la serie conver-gente

∑

1/n2, como lım[(n2−2n+1)/n2] = lım[1/(1−3/n+1/n2)] =1, concluimos que la serie es convergente.

Ejemplo 9. Se sigue del Ejemplo 9 del Capıtulo 3 y del criterio ded’Alambert que las series

∑

(an/n!),∑

(n!/nn) y∑

(nk/an), estaultima con a > 1, son convergentes.

Teorema 6. (Criterio de Cauchy) Si existe un numero real ctal que n

√

|an| ≤ c < 1 para todo n ∈ N suficientemente grande

(en particular, si lım n√

|an| < 1) la serie∑

an es absolutamenteconvergente.

Demostracion: Si n√

|an| ≤ c < 1 entonces |an| ≤ cn para todo nsuficientemente grande. Como la serie geometrica

∑

cn es conver-gente, del criterio de comparacion se deduce que

∑

an converge ab-solutamente. En el caso particular en que existe lım n

√

|an| = L < 1,

Seccion 3 Criterios de convergencia 47

escogemos c tal que L < c < 1 y tendremos n√

|an| < c para todon suficientemente grande (Teorema 5, Capıtulo 3) y estamos ası enel caso anterior.

Observacion: Cuando se aplica el criterio de Cauchy tambien seintenta calcular lım n

√

|an| = L. Si L > 1, la serie es divergente. En

efecto, en este caso se tiene n√

|an| > 1 para todo n suficientementegrande, de donde |an| > 1, luego la serie

∑

an es divergente puessu termino general no tiende a cero. Cuando L = 1, la serie pue-de ser divergente (como en el caso

∑

(1/n)) o convergente (como∑

(1/n2)).

Ejemplo 10. Sea an = (logn/n)n. Como n√an = log /n tiende a

cero, la serie∑

an es convergente.

El proximo teorema relaciona los criterios de d’Alambert yCauchy.

Teorema 7. Sea (an) una sucesion cuyos terminos son diferentesde cero. Si lım |an+1|/|an| = L, entonces lım n

√

|an| = L.

Demostracion: Para simplificar la notacion supondremos quean > 0 para todo n ∈ N. En primer lugar consideremos el casoL 6= 0. Dado ε > 0, fijamos K, M tales que L − ε < K < L <M < L+ ε. Entonces existe p tal que n ≥ p⇒ K < an+1/an < M .Multiplicando miembro a miembro las n − p desigualdades K <ap+i/ap+i−1 < M i = 1, . . . , n − p, obtenemos Kn−p < an/ap <Mn−p para todo n > p. Escribimos α = ap/K

p y β = ap/Mp.

Entonces Knα < an < Mnβ. Extrayendo raıces se obtiene K n√α <

n√an < M n

√β para todo n > p. Si tenemos en cuenta L − ε < K,

M < L + ε, lım n√α = 1 y lım n

√β = 1, concluımos que existe

r0 > p tal que n > n0 ⇒ L− ε < K n√α y M n

√β < L+ ε. Entonces

n > n0 ⇒ L− ε < n√an < L + ε. Si L = 0 es suficiente considerar

exclusivamente M en la prueba del caso L 6= 0.

Ejemplo 11. Del Teorema 7 resulta que lımn/ n√n! = e. En efecto,

escribiendo an = nn/n! se tiene n/ n√n! = n

√an. Ahora bien,

an+1

an=

(n + 1)n+1

(n + 1)!

n!

nn=

(n+ 1)(n+ 1)n

(n+ 1)n!

n!

n ∗ n =

(

n+ 1

n

)n

,

luego lım(an+1/an) = e, y de aquı lım n√an = e.


4. Reordenaciones

Una serie∑

an se dice incondicionalmente convergente si, paracualquier biyeccion ϕ : N → N, haciendo bn = aϕ(n), la serie

∑

bnes convergente. (En particular, tomando ϕ(n) = n, vemos que

∑

anes convergente). Como consecuencia de los resultados que demos-traremos mas adelante, se tiene que si

∑

an es incondicionalmenteconvergente, entonces

∑

bn =∑

an, independiente de la biyeccionϕ. Esta es la manera mas precisa de afirmar que la suma

∑

an nodepende del orden de sus terminos. No obstante, esto no ocurresiempre.

Ejemplo 12. La serie

s = 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

converge, pero no incondicionalmente. En efecto, tenemos

s

2=

1

2− 1

4+

1

6− 1

8+ · · · .

Entonces podemos escribir

s = 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+

1

7− 1

8+ · · ·

s

2= 0 +

1

2+ 0− 1

4+ 0 +

1

6+ 0− 1

8+ · · · .

Sumando termino a termino

3s

2= 1 +

1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+

1

9+

1

11− 1

6+ · · · .

La ultima serie, cuya suma es 3s2, tiene los mismos terminos que

la serie inicial, cuya suma es s, pero en orden diferente.

Teorema 8. Si∑

an es absolutamente convergente entonces paratoda biyeccion ϕ : N → N, haciendo bn = aϕ(n), se tiene

∑

bn =∑

an.

Demostracion: Supongamos inicialmente que an ≥ 0. Escribimossn = a1+ · · ·+an y tn = b1+ · · ·+bn. Para cada n ∈ N, los numeros

Seccion 4 Reordenaciones 49

ϕ(1), . . . , ϕ(n) pertenecen al conjunto {1, 2, . . . , m}, donde m es elmayor de los ϕ(i). Entonces:

tn =n∑

j=1

bn ≤m∑

j=1

aj = sm .

Ası, para cada n ∈ N existe m ∈ N tal que tn ≤ sm. Recıprocamen-te, (considerando ϕ−1 es vez de ϕ) para cada m ∈ N existe n ∈ Ntal que sm ≤ tn. Se sigue que lım tn = lım sn, esto es,

∑

bn =∑

an.En el caso general, tenemos

∑

an =∑

pn −∑

qn, donde pn es laparte positiva y qn la parte negativa de an. Toda reordenacion (bn)de los terminos an determinan reordenaciones (un) de los pn y (vn)de los qn, de forma que un es la parte positiva y vn la parte negativade bn. Por lo que acabamos de ver

∑

un =∑

pn y∑

vn =∑

qn.Luego

∑

an =∑

un −∑

vn =∑

bn.

El proximo teorema implica que solamente las series absoluta-mente convergentes son incondicionalmente convergentes.

Teorema 9. (Riemann) Alterando convenientemente el orden delos terminos de una serie condicionalmente convergente es posiblehacer que su suma sea igual a cualquier numero real prefijado.

Demostracion: Sea∑

an la serie dada. Escogido un numero c,empezamos a sumar los terminos positivos de

∑

an, en su ordennatural, uno a uno, parando cuando, al sumar an1 , la suma superepor primera vez a c. (Esto es posible por que la suma de los termi-nos positivos de

∑

an es +∞). A esta suma anadimos los terminosnegativos, tambien en su orden natural, uno a uno, parando encuanto al sumar an2 (< 0) la suma resulte menor que c (lo que esposible porque la suma de los terminos negativos es −∞). Prosi-guiendo analogamente, obtenemos una nueva serie, cuyos terminosson los mismos de

∑

an en orden diferente. Las sumas parciales deesta nueva serie oscilan alrededor de c de forma que (a partir delındice n1) la diferencia entre cada una de ellas es inferior, en va-lor absoluto, al termino ank

donde tuvo lugar el ultimo cambio designo. Ahora bien, lım

k→∞ank

= 0 pues la serie∑

an converge. Luego

las sumas parciales de la nueva serie convergen a c.


5. Ejercicios

Seccion 1: Series Convergentes

1. Dadas las series∑

an y∑

bn, tales que an =√n+ 1 − √

n ybn = log(1 − 1

n), demuestre que lım an = lım bn = 0. Calcule

explıcitamente las n-esimas sumas parciales sn y tn de dichasseries y demuestre que lım sn = lım tn = +∞, luego las seriesdadas son divergentes.

2. Use el criterio de comparacion para probar, a partir de la con-vergencia de

∑

2/n(n+ 1), que∑

1/n2 es convergente.

3. Sea sn la n-esima suma parcial de la serie armonica. Pruebe quepara n = 2m se tiene sn > 1 + m

2y concluya de aquı que la serie

armonica es divergente.

4. Demuestre que la serie∞∑

n=2

1

n logndiverge.

5. Demuestre que si r > 1 la serie∞∑

n=2

1

n(log n)rconverge.

6. Pruebe que la serie∑ log n

n2converge.

7. Pruebe que si a1 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · y∑

an converge, entonceslımn→∞

nan = 0.

Seccion 2: Series absolutamente convergentes

1. Si∑

an es convergente y an ≥ 0 para todo n ∈ N entonces laserie

∑

anxn es absolutamente convergente para todo x ∈ [−1, 1]

y∑

an sen(nx) ,∑

an cos(nx)

son absolutamente convergentes para todo x ∈ R.

2. La serie 1− 12+ 2

3− 1

3+ 2

4− 1

4+ 2

5− 1

5+ 2

6− 1

6+ · · · tiene terminos

alternadamente positivos y negativos y su termino general tiendea cero. No obstante es divergente. ¿Por que esto no contradiceel Teorema de Leibniz?

3. De un ejemplo de una serie convergente∑

an y de una sucesionacotada (xn) tales que la serie

∑

anxn se divergente. Examinelo que sucede si una de los siguientes hipotesis se cumple: (a) xnes convergente; (b)

∑


4. Pruebe que la serie obtenida a partir de la serie armonica al-ternando el signo de los terminos de modo que a p terminospositivos (p ∈ N fijo) sigan p terminos negativos es convergente.

5. Si∑

an es absolutamente convergente y lım bn = 0, escriba cn =a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0. Pruebe que lım cn = 0.

6. Si∑

an es absolutamente convergente, pruebe que entonces∑

a2nconverge.

7. Si∑

a2n y∑

b2n convergen, pruebe que∑

anbn converge absolu-tamente.

8. Pruebe que una serie es absolutamente convergente si, y solo si,el conjunto de todas las sumas finitas formadas con los terminosan esta acotado.

Seccion 3: Criterios de convergencia

1. Pruebe que si existen infinitos ındices n tales que n√

|an| ≥ 1entonces la serie

∑

an diverge. Si an 6= 0 para todo n y |an +1/an| ≥ 1 para todo n > n0 entonces

∑

an diverge. Por otraparte, la serie 1/2+1/2+1/22+1/22+1/23+1/23+· · · convergey sin embargo se tiene an+1/an = 1 para todo n impar.

2. Si 0 < a < b < 1, la serie a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + · · ·es convergente. Demuestre que el criterio de Cauchy nos lleva aeste resultado y que, sin embargo, el criterio de d’Alambert nadanos permite concluir.

3. Determine si la serie∑

(log n/n)n es convergente usando los cri-terios de d’Alambert y Cauchy.

4. Dada una sucesion de numeros positivos xn, tal que lım xn = a,demuestre que lım n

√x1x2 · · ·xn = a.

5. Determine para que valores de x converge cada una de las si-guientes series:

∑

nkxn ,∑

nnxn ,∑

xn/nn ,∑

n!xn ,∑

xn/n2

Seccion 4: Reordenaciones

1. Demuestre que si una serie es condicionalmente convergente en-tonces existen reordenaciones tales que las sumas de las nuevasseries son iguales a +∞ y −∞.

2. Efectue explıcitamente una reordenacion de los terminos de laserie 1− 1/2 + 1/3− 1/4 + 1/5− · · · de modo que su suma serigual a 1/2.

3. Se dice que una sucesion (an) es sumable, con suma s, cuandopara todo ε > 0 existe un subconjunto finito J0 ⊂ N tal que,para todo J finito, J0 ⊂ J ⊂ N, se tiene |s −∑n∈J an| < ε.Pruebe que:

(a) Si la sucesion (an) es sumable entonces, para toda funcionsobreyectiva ϕ : N → N, la sucesion bn, definida como bn =aϕ(n), es sumable, con la misma suma.

(b) Si la sucesion (an) es sumable, con suma s, entonces la serie∑

an = s es absolutamente convergente.

(c) Recıprocamente, si∑

an es una serie absolutamente conver-gente, entonces la sucesion (an) es sumable.

5

Algunas nocionesde topologıa

La topologıa es la rama de las matematicas donde se estudian, congran generalidad, las nociones de lımite y de continuidad y las ideasanexas. En este capıtulo abordaremos algunos conceptos topologi-cos de caracterer elemental referentes a subconjuntos de R, pre-tendiendo establecer las bases para desarrollar adecuadamente losproximos capıtulos. Adoptaremos un lenguaje geometrico, diciendo“punto” en vez de “numero real”, y “recta” en vez del “conjuntoR”.

1. Conjuntos abiertos

Se dice que a es un punto interior del conjunto X ⊂ R cuandoexiste un numero ε > 0 tal que el intervalo abierto (a − ε, a + ε)esta contenido en X . El conjunto de los puntos interiores de Xse llama interior del conjunto X , y se representa mediante int X .Cuando a ∈ int X se dice que el conjunto X es un entorno o unavencidad del punto a. Un conjunto A ⊂ R se llama abierto si A =int A, esto es, cuando todos los puntos de A son puntos interioresde A.

Ejemplo 1. Todo punto c del intervalo abierto (a, b) es un puntointerior de (a, b). Los puntos a y b, extremos del intervalo cerrado[a, b], no son interiores. El interior del conjunto Q de los numerosracionales es vacıo. Por otra parte, int [a, b] = (a, b). El intervalocerrado [a, b] no es un entorno ni de a ni de b. Un intervalo abierto

53

54 Algunas nociones de topologıa Cap. 5

es un conjunto abierto. Todo intervalo abierto (acotado o no) es unconjunto abierto.

La definicion de lımite de una sucesion puede ser reformuladoen terminos de conjuntos abiertos: se tiene a = lım xn si, y solosi, para todo abierto A que contiene a a existe n0 ∈ N tal quen > n0 ⇒ xn ∈ A.

Teorema 1.

a) Si A1 y A2 son conjuntos abiertos entonces la interseccion A1 ∩A2 es un conjunto abierto.

b) Si (Aλ)λ∈L es una familia cualquiera de conjuntos abiertos, launion A =

⋃

λ∈LAλ es un conjunto abierto.

Demostracion: a) Si x ∈ A1 ∩ A2 entonces x ∈ A1 y x ∈ A2.Como A1 y A2 son abiertos, existen ε1 > 0 y ε2 > 0 tales que(x− ε1, x+ ε1) ⊂ A y (x− ε2, x+ ε2) ⊂ A2. Sea ε el menor de losnumeros ε1, ε2. Entonces (x− ε, x+ ε) ⊂ A1 y (x− ε, x+ ε) ⊂ A2,luego (x− ε, x+ ε) ⊂ A1 ∩ A2. Ası, todo punto x ∈ A1 ∩ A2 es unpunto interior, o sea, el conjunto A1 ∩ A2 es abierto.

b) Si x ∈ A entonces existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ. Como Aλ esabierto, existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ Aλ ⊂ A, luego todopunto de A es interior, esto es, A es abierto.

Ejemplo 2. Resulta inmediatamente de a) en el Teorema 1 que lainterseccion A1∩· · ·∩An de un numero finito de conjuntos abiertoses un conjunto abierto. No obstante, aunque por b) la union finita deconjuntos abiertos tambien es un conjunto abierto, la interseccionde un numero infinito de conjuntos abiertos no es necesariamenteabierta. Por ejemplo, si A = (−1, 1), A2 = (−1/2, 1/2), . . . , An =(−1/n, 1/n), . . . entonces A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An · · · = {0}. Enefecto, si x 6= 0 existe n ∈ N tal que |x| > 1/n, luego x /∈ An, dedonde x /∈ A.

2. Conjuntos cerrados

Se dice que un punto a es adherente el conjunto X ⊂ R cuandoes lımite de alguna sucesion de puntos xn ∈ X . Evidentemente, to-do punto a ∈ X es adherente a X : basta tomar todos los xn = a.

Seccion 2 Conjuntos cerrados 55

Se llama cierre, clausura o adherencia de un conjunto X alconjunto X formado por todos los puntos adherentes a X . Se tieneX ⊂ X. Si X ⊂ Y entonces X ⊂ Y . Un conjunto se dice cerradocuandoX = X , esto es, cuando todo punto adherente aX pertenecea X . Si X ⊂ Y , se dice que X es denso en Y cuando Y ⊂ X, estoes, cuando todo b ∈ Y es adherente a X . Por ejemplo, Q es densoen R.

Teorema 2. Un punto a es adherente al conjunto X si, y solo si,todo entorno de a contiene algun punto de X.

Demostracion: Sea a adherente a X . Entonces a = lım xn, dondexn ∈ X para todo n ∈ N. Dada cualquier entorno V de a tenemosxn ∈ V para todo n suficientemente grande (por la definicion delımite), luego V ∩ X 6= ∅. Recıprocamente, si todo entorno V dea contiene puntos de X podemos escoger en cada intervalo (a −1/n, a + 1/n), n ∈ N, un punto xn ∈ X . Entonces |xn − a| < 1/n,luego lım xn = a, y ası a es adherente a X .

Por el teorema anterior, para que un punto a no pertenezca aX es necesario y suficiente que exista un entorno V de a tal queV ∩X = ∅.

Corolario. El cierre de cualquier conjunto es un conjunto cerrado.

(O sea, X = X para todo X ⊂ R).

En efecto, si a es adherente a X entonces todo conjunto abiertoA que contiene a a tambien contiene algun punto b ∈ X. Ası, A esun entorno de b. Como b es adherente a X , se sigue que A contienealgun punto de X . Luego cualquier punto adherente a X tambienes adherente a X , esto es, a ∈ X.

Teorema 3. Un conjunto F ⊂ R es cerrado si, y solo si, su com-plementario A = R− F es abierto.

Demostracion: Sean F cerrado y a ∈ A, esto esm a /∈ F . Por elTeorema 2, existe algun entorno V de a que no contiene puntos deF , esto es, V ⊂ A. Ası, todo punto de A es interior a A, o sea, A esabierto. Recıprocamente, si el conjunto A es abierto y el punto a esadherente a F = R−A entonces todo entorno de a contiene puntosde F , luego a no es interior a A. Como A es abierto, tenemos a /∈ A,

o sea, a ∈ F . Ası, todo punto adherente a F pertenece a F , luegoF es cerrado.

Teorema 4.

a) Si F1 y F2 son cerrados entonces F1 ∪ F2 es cerrado.

b) Si (Fλ)λ∈L es una familia cualquiera de conjuntos cerrados en-tonces su interseccion F =

⋂

λ∈F Fλ es un conjunto cerrado.

Demostracion: a) Los conjuntos A1 = R−F1 y A2 = R−F2 sonabiertos, por el Teorema 3. Luego, por el Teorema 1, A1 ∩ A2 =R − (F1 ∪ F2) es abierto. De nuevo por el Teorema 3, F1 ∪ F2 escerrado.

b) Para cada λ ∈ L, Aλ = R − Fλ es abierto. Se sigue que A =⋃

λ∈LAλ es abierto. Como A = R− F , F es cerrado.

Ejemplo 3. Sea X acotado no vacıo. Entonces a = ınfX y b =supX son adherentes a X . En efecto, para todo n ∈ N, podemosescoger xn ∈ X tal que a ≤ xn < a + 1/n, luego a = lım xn.Analogamente se ve que b = lım yn, con yn ∈ X . En particular, a yb son adherentes a (a, b).

Ejemplo 4. El cierre de los intervalos (a, b), (a, b] y [a, b) es elintervalor [a, b]. Q es denso en R y, para todo intervalo I, Q ∩ I esdenso en I. Una union infinita de conjuntos cerrados puede no serun conjunto cerrado; en efecto, todo conjunto (cerrado o no) es launion de sus puntos, que son conjuntos cerrados.

Una escision de un conjunto X ⊂ R es una descomposicionX = A∪B tal que A∩B = ∅ y A∩B = ∅, esto es, ningun puntode A es adherente a B y ningun punto de B es adherente a A. (Enparticular, A y B son disjuntos). La descomposicion X = X ∪∅ sellama escision trivial.

Ejemplo 5. SiX = R−{0}, entonces X = R+∪R− es una escision.Dado un numero irrracional α, sean A = {x ∈ Q : x < α} yB = {x ∈ Q : x > α}. La descomposicion Q = A∪B es un escisiondel conjunto Q de los racionales. Por otra parte, si a < c < b,entonces [a, b] = [a, c] ∪ (c, b] no es una escision.

Teorema 5. Un intervalo de la recta solo admite la escision trivial.

Seccion 3 Puntos de acumulacion 57

Demostracion: Supongamos, por reduccion al absurdo, que el in-tervalo I admite una escision no trivial I = A∪B. Tomemos a ∈ A,b ∈ B y supongamos que a < b, con lo que [a, b] ⊂ I. Sea c el puntomedio del intervalo [a, b]. Entonces c ∈ A o c ∈ B. Si c ∈ A, to-maremos a1 = c, b1 = b. Si c ∈ B, escribiremos a1 = a y b1 = c.En cualquier caso obtendremos un intervalo [a1, b1] ⊂ [a, b], conb1 − a1 = (b− a)/2 y a1 ∈ A, b1 ∈ B, A su vez, el punto medio de[a1, b1] descompone a este en dos intervalos cerrados yuxtapuestosde longitud (b−a)/4. Para uno de estos intervalos, que llamaremos[a2, b2], se tiene a2 ∈ A y b2 ∈ B.Prosiguiendo analogamente obtendremos una sucesion de interva-los encajados [a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · tales que(bn − an) = (b − a)/2n, an ∈ A y bn ∈ B para todo n ∈ N. Porel Teorema 4, Capıtulo 2, existe c ∈ R tal que an ≤ c ≤ bn paratodo n ∈ N. El punto c ∈ I = A ∪ B no puede estar ni en A, puesc = lım bn ∈ B, ni en B, pues c = lım an ∈ A, lo que nos lleva auna contradiccion.

Corolario. Los unicos subconjuntos de R que son simultaneamenteabiertos y cerrados son el conjunto vacıo y R.

En efecto, si A ⊂ R es abierto y cerrado, entonces R = A∪ (R−A) es una escision, luego o A = ∅ y R − A = R, o bien A = R yR− A = ∅.

3. Puntos de acumulacion

Se dice que a ∈ R es un punto de acumulacion del conjuntoX ⊂ R cuando todo entorno V de a contiene algun punto de Xdiferente del propio a. (Esto es, V ∩ (X − {a}) 6= ∅). Equivalente-mente: para todo ε > 0 se tiene (a− ε, a+ ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅. Serepresenta mediante X ′ al conjunto de los puntos de acumulacionde X . Por lo tanto, a ∈ X ′ ⇔ a ∈ X − {a}. Si a ∈ X no es unpunto de acumulacion de X se dice que a es un punto aislado deX . Esto significa que existe ε > 0 tal que a es el unico punto de Xen el intervalo (a− ε, a+ ε). Cuando todos los puntos del conjuntoX son aislados se dice que X es un conjunto discreto.

Teorema 6. Dados X ⊂ R y a ∈ R, las siguientes afirmacionesson equivalentes:


(1) a es punto de acumulacion de X;

(2) a es lımite de una sucesion de puntos xn ∈ X − {a};

(3) Todo intervalo abierto centrado en a contiene infinitos puntosde X.

Demostracion: Suponiendo (1), para todo n ∈ N podemos en-contrar un punto xn ∈ X , xn 6= a, en el entorno (a− 1/n, a+1/n).Luego lım xn = a, lo que prueba (2). Por otra parte, suponiendo(2), entonces, para cualquier n0 ∈ N, el conjunto {xn : n > n0}es infinito, pues en caso contrario existirıa un termino xn1 que serepite infinitas veces, lo que nos darıa una sucesion constante conlımite xn1 6= a. Por lo tanto, de la definicion de lımite se ve que(2)⇒(3). Finalmente, la implicacion (3)⇒(1) es obvia.

Ejemplo 6. Si X es finito entonces X ′ = ∅ (un conjunto finito notiene puntos de acumulacion). Z es infinito pero todos los puntosde Z son aislados. Q′ = R. Si X = [a, b) entonces X ′ = [a, b]. SiX = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} entonces X ′ = {0}, esto es, 0 es el unicopunto de acumulacion de X . Observe que todos los puntos de esteultimo conjunto son aislados (X es discreto).

A continuacion presentaremos una version del Teorema deBolzano-Weiertrass en terminos de puntos de acumulacion.

Teorema 7. Todo conjunto infinito y acotado de numeros realestiene, al menos, un punto de acumulacion.

Demostracion: Sea X infinito y acotado; X posee un subconjun-to infinito numerable {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Fijando esta numeraciontenemos una sucesion (xn) de terminos, distintos dos a dos, pertene-cientes a X , por lo tanto una sucesion acotada que, por el Teoremade Bolzano-Weiertrass, posee una subsucesion convergente. Elimi-nado los terminos que no estan en esta subsucesion y cambiando lanotacion, podemos admitir que (xn) converge. Sea a = lımxn. Co-mo los terminos xn son todos distintos, como maximo uno de ellospuede ser igual a a. Descartandolo, en caso de que este exista, ten-dremos que a es el lımite de una sucesion de puntos xn ∈ X −{a},luego a ∈ X ′.

Seccion 4 Conjuntos compactos 59

4. Conjuntos compactos

Un conjunto X ⊂ R se llama compacto si es cerrado y acotado.

Todo conjunto finito es compacto. Un intervalo de la forma [a, b]es compacto. Por otra parte, (a, b) esta acotado pero no es cerrado,luego no es compacto. Tampoco Z es compacto pues no esta acota-do, aunque es cerrado (su complementario R−Z es la union de losintervalos abiertos (n, n+1), n ∈ Z, luego es un conjunto abierto).

Teorema 8. Un conjunto X ⊂ R es compacto si, y solo si, todasucesion de puntos de X posee una subsucesion que converge a unpunto de X.

Demostracion: Si X ⊂ R es compacto, toda sucesion de pun-tos de X esta acotada, luego (por Bolzano-Weierstrass) posee unasubsucesion convergente, cuyo lımite es un punto de X (pues X escerrado). Recıprocamente, sea X un conjunto tal que toda sucesionde puntos xn ∈ X posee una subsucesion que converge a un puntode X . Entonces X esta acotado pues, en caso contrario, para ca-da n ∈ N podrıamos encontrar xn ∈ X con |xn| > n. La sucesion(xn) ası obtenida no contendrıa ninguna subsucesion acotada luegono tendrıa ninguna subsucesion convergente. Ademas, X es cerradopues en caso contrario existirıa un punto a /∈ X con a = lım xn,donde cada xn ∈ X . La sucesion xn no poseerıa entonces ningunasubsucesion convergente a un punto de X pues todas sus subsuce-siones tendrıan lımite a. Luego X es compacto.

Observacion: Si X ⊂ R es compacto entonces, por el Ejemplo3, a = ınfX y b = supX pertenecen a X . Ası, todo conjunto com-pacto posee un elemento mınimo y un elemento maximo. O sea, Xcompacto ⇒ ∃x0, x1 ∈ X tales que x0 ≤ x ≤ x1 para todo x ∈ X .

El proximo teorema generaliza el principio de los intervalos en-cajados.

Teorema 9. Dada una sucesion decreciente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃Xn ⊃ · · · de conjuntos compactos no vacıos, existe (como mınimo)un numero real que pertenece a todos los Xn.

Demostracion: Definimos una sucesion (xn) escogiendo, para ca-da n ∈ N, un punto xn ∈ Xn. Esta sucesion esta contenida en el

compacto X1, luego posee una subsucesion (xn1 , xn2, . . . , xnk, . . .)

que converge a un punto a ∈ X1. Dado cualquier n ∈ N tenemosxnk

∈ Xn siempre que nk > n. Como Xn es compacto, se sigue quea ∈ Xn. Esto prueba el teorema.

Terminamos nuestro estudio de los conjuntos compactos de larecta con la demostracion del Teorema de Heine-Borel.

Se llama recubrimiento de un conjunto X a una familia ϕ deconjuntos Cλ cuya union contiene a X . La condicion X ⊂

⋃

λ∈L Cλ

significa que, para cada x ∈ X , existe, necesariamente, (al menos)un λ ∈ L tal que x ∈ Cλ. Cuando todos los conjuntos Cλ sonabiertos, se dice que ϕ es un recubrimiento abierto. Cuando L ={λ1, . . . , λn} es un conjunto finito, se dice que X ⊂ Cλ1 ∪ · · · ∪Cλn

es un recubrimiento finito. Si existe L′ ⊂ L tal que aun se tieneX ⊂ ⋃λ∈L′ Cλ′ , se dice que ϕ′ = (Cλ′)λ′∈L′ es un subrecubrimientode ϕ.

Teorema 10. (Borel-Lebesgue) Todo recubrimiento abierto deun conjunto compacto posee un subrecubrimiento finito.

Demostracion: Inicialmente consideremos un recubrimiento abier-to [a, b] ⊂ ⋃λ∈LAλ del intervalo compacto [a, b]. Supongamos, porreduccion al absurdo, que ϕ = (Aλ)λ∈L no admite ningun subrecu-brimiento finito. El punto medio del intervalo [a, b] lo subdivide endos intervalos de longitud (b− a)/2. Al menos uno de esto interva-los, que llamaremos [a1, b1], no puede ser recubierto por un numerofinito de conjuntos Aλ. Mediante subdivisiones sucesivas obtene-mos una sucesion decreciente [a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⊃[anbn] ⊃ · · · de intervalos tales que (bn − an) = (b− a)/2n y ningun[an, bn] puede estar contenido en una union finita de abiertos Aλ.Por el Teorema 9 existe un numero real c que pertenece a todoslos intervalos [an, bn]. En particular c ∈ [a, b]. Por la definicion derecubrimiento, existe λ ∈ L tal que c ∈ Aλ. Como Aλ es abierto,tenemos (c−ε, c+ε) ⊂ Aλ para un cierto ε > 0. Entonces, tomandon ∈ N tal que (b−a)/2n < ε, tenemos c ∈ [an, bn] ⊂ [c−ε, c+ε], dedonde [an, bn] ⊂ Aλ, luego [an, bn] se puede recubrir con el conjuntoAλ, lo que es absurdo. En el caso general, tenemos un recubrimien-to abierto X ⊂

⋃

λ∈LAλ del compacto X . Tomemos un intervalocompacto [a, b] que contenga a X y, anadiendo a los Aλ el nuevo

Seccion 5 El conjunto de Cantor 61

abierto Aλ0 = R−X , obtenemos un recubrimiento abierto de [a, b],del que podemos extraer, por la parte ya probada, un subrecubri-miento finito [a, b] ⊂ Aλ0 ∪ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Como ningun puntode X puede pertencer a Aλ0 , tenemos X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ; estocompleta la demostracion.

Ejemplo 7. Los intervalos An = (1/n, 2), n ∈ N, forman un recu-brimiento abierto del conjunto X = (0, 1], pues (0, 1] ⊂ ⋃

n∈NAn.No obstante, este recubrimiento no admite un subrecubrimiento fi-nito pues, como A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · , toda union finita delos conjuntos An coincide con el conjunto de mayor ındice, luego nocontiene a (0, 1].

El Teorema de Borel-Lebesgue, cuya importancia es crucial, seusara en este libro solamente una vez, en el Capıtulo 10, Seccion 4,(cfr. Teorema 7 en dicho capıtulo.) Se puede probar, recıprocamen-te, que si todo recubrimiento abierto de un conjunto X ⊂ R poseeun subrecubrimiento finito entonces X es cerrado y acotado (cfr.Curso de Analisis Matematico, vol. 1, p.147.)

5. El conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor, que describiremos a continuacion, tienelas siguientes propiedades:

1) Es compacto.

2) Tiene interior vacıo (no contine intervalos).

3) No contiene puntos aislados (todos sus puntos son puntos deacumulacion).

4) No es numerable.

El conjunto de Cantor K es un subconjunto cerrado del interva-lo [0, 1] obtenido como el complemento de una union de intervalosabiertos, de la siguiente forma. Se retira del intervalo [0, 1] el inter-valo abierto centrado en el punto medio de [0, 1] de longitud 1/3,(1/3, 2/3) (su tercio central). Se retiran despues los tercios centralesde cada uno de los intervalos restantes, [0, 1/3] y [2/3, 1]. Entoncessobra [0, 1/9, ] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. A continuacion seretira el tercio central de cada uno de estos cuatro intervalos. Se

repite este proceso inductivamente. El conjunto K de los puntos noretirados es el conjunto de Cantor.

Si indicamos mediante I1, I2, . . . , In, . . . los intervalos retiradosvemos que F = R −

⋃∞n=1 In es un conjunto cerrado, luego K =

F ∩ [0, 1] es cerrado y acotado, o sea, el conjunto de Cantor escompacto.

Fig. 1 - Construyendo el conjunto de Cantor

0 1/3 2/3 1

0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1

Para demostrar que K tiene interior vacıo, observamos que des-pues de la etapa n-esima de la construccion solo restan intervalosde longitud 1/3n. Por tanto, dado cualquier intervalo J ⊂ [0, 1]de longitud c > 0, si tomamos n tal que 1/3n < c, el intervalo Jhabra sido subdividido despues de la n-esima etapa de la construc-cion de K. Ası, K no contiene intervalos.

Los puntos extremos de los intervalos retirados en las diversasetapas de la construccion de K, tales como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9,8/9, etc, pertenecen a K, pues en cada etapa solo se retiran puntosinteriores de los intervalos que quedaban de la etapa anterior. Estosforman un conjunto numerable, sin puntos aislados. En efecto, seac ∈ K extremo de algun intervalo, digamos (c, b), retirado de [0, 1]para obtener K. Cuando (c, b) fue retirado quedo un cierto intervalo[a, c]. En las siguientes etapas de la construccion de K, quedaransiempre tercios finales de intervalos, del tipo [an, c], con an ∈ K.La longitud de [an, c] tiende a cero, luego an → c y ası c no es unpunto aislado de K.

Seccion 5 El conjunto de Cantor 63

Ahora supongamos que c ∈ K no es extremo de ningun interva-lo retirado de [0, 1] durante la construccion de K. (De hecho, hastaahora, no sabemos si tales puntos existen, pero en seguida vamosa ver que estos constituyen la mayorıa de los puntos de K). Pro-bemos que c no es un punto aislado de K. En efecto, para cadan ∈ N, c pertenece al interior de un intervalo [xn, yn] de los quequedaron despues de la n-esima etapa de la construccion de K.Tenemos xn < c < yn, con xn, yn ∈ K, y xn − yn = 1/3n. Luegoc = lım xn = lım yn es un punto de acumulacion de K.

Constatamos ası que K no posee puntos aislados. Probaremosahora que el conjunto de Cantor no es numerable. Dado cualquiersubconjunto numerable {x1, x2, . . . , xn, . . .} ⊂ K, obtendremos unpunto c ∈ K tal que c 6= xn para todo n ∈ N. Para esto, concentro en un punto de K, tomamos un intervalo compacto I1 talque x1 /∈ I1. Como ningun punto de K en el interior de I1, toma-mos un intervalo compacto I2 ⊂ I1 tal que x2 /∈ I2. Prosiguiendode forma analoga, obtenemos una sucesion decreciente de interva-los compactos I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · tales que xn ∈ In eIn ∩K 6= ∅. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que Intiene longitud < 1/n. Entonces el punto c, perteneciente a todoslos In (cuya existencia esta asegurada por el Teorema 9), es unico,esto es,

⋂∞n=1 In = {c}. Escogiendo, para cada n ∈ N, un punto

yn ∈ In ∩ K, tendremos |yn − c| ≤ 1/n, de donde lım yn = c. Co-mo K es cerrado, se deduce que c ∈ K. Por otra parte, para todon ∈ N, tenemos c ∈ In, luego c 6= xn, concluyendo la demostracion.

Los puntos del conjunto de Cantor admiten una caracterizacioninteresante y util en terminos de su representacion en base 3. Dadox ∈ [0, 1], representar x en base 3 significa escribir x = 0, x1x2x3 · · · ,donde cada uno de los dıgitos xn es 0, 1 o 2, de modo que

x =x13

+x232

+ · · ·+ xn3n

+ · · · .

Para tener x = 0, x1x2 · · ·xn000 es necesario y suficiente que x seaun numero de la forma m/3n, con m y n enteros y m ≤ 3n. Porejemplo, 17/27 = 0, 122000 . . . en base 3. Cuando el denominadorde la fraccion irreducible p/q no es una potencia de 3 la repre-sentacion de p/q en base 3 es perıodica. Por ejemplo, en base 3,


1/4 = 0, 020202 . . . y 1/7 = 0, 010212010212 . . .. Los numeros irra-cionales tienen representacion no periodica.

En la primera etapa de la formacion del conjunto de Cantor, alretirar el intervalo abierto (1/3, 2/3) quedan excluidos los numerosx ∈ [0, 1] cuya representacion en base 3 tienen x1 = 1, con la unicaexcepcion de 1/3 = 0, 1, que permanece. En la segunda etapa, sonexcluıdos los numeros de los intervalos (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9), o sea,aquellos de la forma 0, 01x3x4 . . . o de la forma 0, 21x3x4 . . . (excep-to 1/9 = 0, 01 y 7/9 = 0, 21 que permanecen). En general, podemosafirmar que los elementos del conjunto de Cantor son los numerosdel intervalo [0, 1] cuya representacion x = 0, x1x2 · · ·xn . . . en base3 solo contiene los dıgitos 0 y 2, excepto aquellos que solo contienenun unico dıgito 1 como dıgito final, como, por ejemplo, x = 0, 20221.Si observamos que 0, 02222 · · · = 0, 1 podemos substituir el dıgito1 por la sucesion 0222 . . .. Por ejemplo: 0, 20201 = 0, 20200222 . . ..Con este acuerdo se puede afirmar, sin excepciones, que los elemen-tos del conjunto de Cantor son los numeros del intervalo [0, 1] cuyarepresentacion en base 3 solo contiene los dıgitos 0 y 2.

De aquı resulta facilmente que el conjunto de Cantor no es nu-merable (ver Ejemplo 3, Capıtulo 1) y que 1/4 = 0, 0202 perteneceal conjunto de Cantor.

6. Ejercicios

Seccion 1: Conjuntos Abiertos

1. Pruebe que, para todo X ⊂ R, se tiene int(int X) = int X ;concluya que intX es un conjunto abierto.

2. Sea A ⊂ R un conjunto con la siguiente propiedad: “Si (xn) esuna sucesion que converge hacia un punto a ∈ A, entonces xnpertenece a A para todo n suficientemente grande”. Pruebe queA es abierto.

3. Pruebe que int(A∪B) ⊃ intA∪ intB e int(A∩B) = intA∩ intBpara cualesquiera A,B ⊂ R. Si A = (0, 1] y B = [1, 2], demuestreque int (A ∪B) 6= int A ∪ int B.


4. Para todo X ⊂ R, pruebe que se tiene la union disjunta R =int X ∪ int (R − x) ∪ F , donde F esta formado por los puntosx ∈ R tales que todo entorno de x contiene puntos de X y puntosde R−X . El conjunto F = frX = ∂X se llama frontera o bordede X . Pruebe que A ⊂ R es abierto si, y solo si, A ∩ frA = ∅.

5. Determine la frontera de cada uno de los siguientes conjuntos:X = [0, 1], Y = (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q y W = Z.

6. Sean I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · intervalos acotados distintos dosa dos cuya interseccion I =

⋂∞n=1 In no es vacıa. Pruebe que I

es un intervalo, que nunca es abierto.

Seccion 2: Conjuntos cerrados

1. Sean I un intervalo no degenerado y k > 1 un numero natural.Pruebe que el conjunto de los numeros racionales m/kn, cuyosdenominadores son potencias de k con exponente n ∈ N, es densoen I.

2. Pruebe que, para todo X ⊂ R, se tiene X = X ∪ frX . Concluyaque X es cerrado si, y solo si, X ⊃ frX .

3. Pruebe que, para todo X ⊂ R, R− intX = R−X e R−X =int (R−X).

4. Si X ⊂ R es abierto (respectivamente, cerrado) y X = A∪B esuna escision, pruebe que A y B son abiertos (respectivamente,cerrados).

5. Pruebe que si X ⊂ R tiene frontera vacıa entonces X = ∅ oX = R.

6. Sean X, Y ⊂ R. Pruebe que X ∪ Y = X ∪ Y y que X ∩ Y ⊂X ∩ Y . De un ejemplo en el que X ∩ Y 6= X ∩ Y .

7. Dada una sucesion (xn), pruebe que la clausura del conjuntoX = {xn : n ∈ N} es X = X ∪A, donde A es el conjunto de lospuntos adherentes de (xn).


Seccion 3: Puntos de acumulacion

1. Pruebe que, para todo X ⊂ R, se tiene X = X ∪X ′. Concluyaque X es cerrado si, y solo si, contiene a todos sus puntos deacumulacion.

2. Pruebe que toda coleccion de intervalos no degenerados disjuntosdos a dos es numerable.

3. Pruebe que si todos los puntos del conjunto X ⊂ R son aisladosentonces, para cada x ∈ X , se puede escoger un intervalo Ixcentrado en x tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.

4. Pruebe que todo conjunto no numerable X ⊂ R posee algunpunto de acumulacion a ∈ X .

5. Pruebe que, para todo X ⊂ R, X ′ es un conjunto cerrado.

6. Sea a un punto de acumulacion del conjunto X . Pruebe queexiste una sucesion estrictamente creciente o estrictamente de-creciente de puntos xn ∈ X tal que lım xn = a.

Seccion 4: Conjuntos Compactos

1. Pruebe que el conjunto A de los valores de adherencia de unasucesion (xn) es cerrado. Si la sucesion esta acotada, A es com-pacto, luego existen ℓ y L, respectivamente, el menor y el mayorvalor de adherencia de la sucesion acotada (xn). Se suele escribirℓ = lım inf xn y L = lım sup xn.

2. Pruebe que la union finita y la interseccion arbitraria de conjun-tos compactos es un conjunto compacto.

3. De ejemplos de una sucesion decreciente de conjuntos cerradosno vacıos F1 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · y de una sucesion decrecientede conjuntos acotados no vacıos L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tales que⋂

Fn = ∅ y⋂

Ln = ∅.

4. Sean X, Y conjuntos disjuntos no vacıos, X compacto e Y ce-rrado. Pruebe que existen x0 ∈ X e y0 ∈ Y tales que |x0 − y0| ≤|x− y| para cualesquiera x ∈ X e y ∈ Y .

5. Un conjunto compacto cuyos puntos son todos aislados es fini-to. De ejemplos de un conjunto cerrado y acotado X y de unconjunto acotado que no sea cerrado Y , cuyos puntos sean todosaislados.

6. Pruebe que si X es compacto los siguientes conjuntos tambienson compactos:

a) S = {x+ y : x, y ∈ X}b) D = {x− y : x, y ∈ X}c) P = {x · y : x, y ∈ X}d) C = {x/y : x, y ∈ X}, si 0 /∈ X .

Seccion 5: El conjunto de Cantor

1. Determine que numeros 1/n, 2 ≤ n ≤ 10, pertenecen al conjuntode Cantor.

2. Dado cualquier a ∈ [0, 1] pruebe que existen x < y pertenecientesal conjunto de Cantor tales que y − x = a.

3. Pruebe que la suma de la serie cuyos terminos son las longitudesde los intervalos retirados al formar el conjunto de Cantor esigual a 1.

4. Pruebe que los extremos de los intervalos retirados forman unsubconjunto numerable denso en el conjunto de Cantor.

6

Lımitesde funciones

El concepto de lımite, que estudiamos en el Capıtulo 3 en el casoparticular de sucesiones, se extendera ahora al caso mas general enel que se tiene una funcion f : X → R, definida en un subconjuntocualquiera de R.

1. Definicion y primeras propiedades

Sean X ⊂ R un conjunto de numeros reales, f : X → R unafuncion cuyo dominio es X y a ∈ X ′ un punto de acumulacion delconjunto X . Se dice que el numero real L es el lımite de f(x) cuan-do x tiende a a, y se escribe lım

x→af(x) = L, cuando, para cualquier

ε > 0, se puede obtener δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε siempre quex ∈ X y 0 < |x− a| < δ.

Con sımbolos matematicos se escribe:

lımx→a

f(x) = L. ≡ .∀ε > 0∃δ > 0; x ∈ X ; 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ε.

Informalmente: lımx→a

f(x) = L quiere decir que se puede tomar f(x)

tan proximo a L cuanto se quiera siempre que se tome x ∈ X sufi-cientemente proximo, pero diferente, a a.

La restriccion 0 < |x − a| significa x 6= a. Ası, en el lımiteL = lımx→a f(x) no esta permitido que la variable x tome el valora. Por lo tanto, el valor f(a) no tiene nunguna importancia cuando

69

70 Lımites de funciones Cap. 6

se quiere determinar L: lo que importa es el comportamiento def(x) cuando x se aproxima a a, siempre con x 6= a.

En la definicion de lımite es esencial que a se un punto de acu-mulacion del conjunto X , pero es irrelevante si a pertence o no aX , esto es, que f este definida o no en el punto a. Por ejemplo, enuno de los lımites mas importantes, a saber, la derivada, se estudialımx→a

q(x), donde la funcion q(x) = (f(x)− f(a))/(x− a) no esta de-

finida en el punto x = a.

En las condiciones f : X → R, a ∈ X ′, negar que lımx→a

f(x) = L

es equivalente a decir que existe un numero ε > 0 con la siguientepropiedad: sea cual fuere δ > 0, siempre se puede encontrar xδ ∈ Xtal que 0 < |xδ − a| < δ y |f(xδ)− L| ≥ ε.

Teorema 1. Sean f, g : X → R, a ∈ X ′, lımx→a

f(x) = L y lımx→a

g(x) =

M . Si L < M entonces existe δ > 0 tal que f(x) < g(x) para todox ∈ X con 0 < |x− a| < δ.

Demostracion: Sea K = (L +M)/2. Si tomamos ε = K − L =M − K tenemos ε > 0 y K = L + ε = M − ε. Por la definicionde lımite, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x ∈ X , 0 < |x − a| <δ1 ⇒ L − ε < f(x) < K y x ∈ X , 0 < |x − a| < δ2 ⇒ K <f(x) < M + ε. Por tanto, escribiendo δ = mın{δ1, δ2} se tiene:x ∈ X ′, 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < K < g(x). Lo que prueba elTeorema.

Observacion: En el Teorema 1 no se puede substituir la hipote-sis L < M por L ≤ M .

Observacion: Para el Teorema 1 y sus corolarios, ası como parael Teorema 2 abajo, valen versiones analogas con > en lugar de <.Usaremos tales versiones sin mayores comentarios.

Corolario 1. Si lımx→a

f(x) = L < M entonces existe δ > 0 tal que

f(x) < M para todo x ∈ X con 0 < |x− a| < δ.

Corolario 2. Sean lımx→a

f(x) = L y lımx→a

g(x) = M . Si f(x) ≤ g(x)

para todo x ∈ X − {a} entonces L ≤ M .

Seccion 1 Definicion y primeras propiedades 71

En efecto, si se tuviese M < L entonces tomarıamos un numeroreal K tal que M < K < L. En tal caso, existirıa δ > 0 tal quex ∈ X , 0 < |x− a| < δ ⇒ g(x) < K < f(x), lo que es absurdo.

�

Teorema 2. (Teorema del Sandwich) Sean f, g, h : X → R,a ∈ X ′, y lım

x→af(x) = lım

x→ag(x) = L. Si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para

todo x ∈ X − {a} entonces lımx→a

h(x) = L.

Demostracion: Dado cualquier ε > 0, existen δ1 > 0 y δ2 > 0tales que x ∈ X , 0 < |x−a| < δ1 ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε y x ∈ X ,0 < |x − a| < δ2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε. Sea δ = mın{δ1, δ2}.Entonces x ∈ X , 0 < |x− a| < δ ⇒ L− ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) <L+ ε⇒ L− ε < h(x) < L+ ε. Luego lım

x→ah(x) = L.

Observacion: La nocion de lımite es local, esto es, dadas funcio-nes f, g : X → R y a ∈ X ′, si existe un entorno V del punto a talque f(x) = g(x) para todo x 6= a en V ∩X entonces existe lım

x→af(x)

si, y solo si, existe lımx→a

g(x). Ademas, si existen, estos lımites son

iguales. Ası, por ejemplo, en el Teorema 2, no es necesario suponerque f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a}. Es suficiente queexista un entorno V del punto a tal que estas desigualdades valganpara todo x 6= a perteneciente a V ∩ X . Una observacion analogavale para el Teorema 1 y su Corolario 2.

Teorema 3. Sean f : X → R y a ∈ X ′. Para que lımx→a

f(x) = L

es necesario y suficiente que, para toda sucesion de puntos xn ∈X − {a} con lım xn = a, se tenga lım f(xn) = L.

Demostracion: En primer lugar supongamos que lımx→a

f(x) = L y

que se tiene una sucesion de puntos xn ∈ X − {a} con lımxn = a.Dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X y 0 < |x − a| <δ ⇒ |f(x) − L| < ε. Existe tambien n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒0 < |xn − a| < δ (ya que xn 6= a para todo n). Por consiguiente,n > n0 ⇒ |f(xn) − L| < ε, luego lım f(xn) = L. Recıprocamente,supongamos que xn ∈ X−{a} y lım xn = a impliquen lım f(xn) = Ly probemos que en tal caso lım

x→af(x) = L. En efecto, negar esta

igualdad es equivalente a afirmar que existe un numero ε > 0 conla siguiente propiedad: para cualquier n ∈ N podemos encontrar

xn ∈ X tal que 0 < |xn − a| < 1/n y |f(xn) − L| ≥ ε. Entoncestenemos xn ∈ X − {a}, lım xn = a sin que lım f(xn) = L. Estacontradiccion completa la demostracion.

Corolario 1. (Unicidad del lımite) Sean f : X → R y a ∈ X ′.Si lım

x→af(x) = L y lım

x→af(x) =M entonces L =M .

En efecto, basta tomar una sucesion de puntos xn ∈ X − {a}con lımxn = a, la que es siempre posible por el Teorema 6 delCapıtulo 5. Tendremos entonces L = lım f(xn) y M = lım f(xn).De la unicidad del lımite de la sucesion (f(xn)) se tiene L =M .

�

Corolario 2. (Operaciones con lımites) Sean f, g : X → R,a ∈ X ′, con lım

x→af(x) = L y lım

x→ag(x) =M . Entonces

lımx→a

[f(x)± g(x)] = L±M

lımx→a

[f(x) · g(x)] = L ·M

lımx→a

f(x)

g(x)=

L

Msi M 6= 0 .

Ademas, si lımx→a

f(x) = 0 y g esta acotada en un entorno de a, se

tiene lımx→a

[f(x) · g(x)] = 0.

En efecto, dada cualquier sucesion de puntos xn ∈ X − {a}tal que lım xn = a, por el Teorema 8 del Capıtulo 3 se tienelım[f(xn) ± g(xn)] = lım f(xn) ± lım g(xn) = L ± M , lım f(xn) ·g(xn) = lım f(xn) · lım g(xn) = L ·M y tambien lım[f(xn)/g(xn)] =lım f(xn)/ lım g(xn) = L/M . Finalmente, si existen un entorno Vde a y una constante c tal que |g(x)| ≤ c para todo x ∈ V enton-ces, como xn ∈ V para todo n suficientemente grande, la sucesiong(xn) esta acotada; luego, por el Teorema 7 del Capıtulo 3, se tienelım f(xn) · g(xn) = 0, pues lım f(xn) = 0. Por lo tanto, el Corolario2 es consecuencia del Teorema.

�

Teorema 4. Sean f : X → R y a ∈ X ′. Si existe lımx→a

f(x) entonces

f esta acotada en un entorno de a, esto es, existen δ > 0 y c > 0tales que x ∈ X, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)| ≤ c.

Seccion 1 Definicion y primeras propiedades 73

Demostracion: Sea L = lımx→a

f(x). Tomando en la definicion de

lımite ε = 1, se obtiene δ > 0 tal que x ∈ X , 0 < |x − a| < δ ⇒|f(x)−L| < 1 ⇒ |f(x)| = |f(x)−L+L| ≤ |f(x)−L|+|L| < |L|+1.Basta entonces tomar c = |L|+ 1.

El Teorema 4 generaliza el hecho de que toda sucesion conver-gente esta acotada.

Ejemplo 1. Si f, g : R → R estan dadas por f(x) = c y g(x) = x(funcion constante y funcion identidad), entonces es evidente que,para todo a ∈ R, se tiene lım

x→af(x) = c y lım

x→ag(x) = a. Del Corolario

2 del Teorema 3 se sigue que, para todo polinomio p : R → R,p(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn, se tiene lım

x→ap(x) = p(a), sea cual fuere

a ∈ R. Analogamente, para toda funcion racional f(x) = p(x)/q(x),cociente de dos polinomios, se tiene lım

x→af(x) = p(a)/q(a) siempre

que se tenga q(a) 6= 0. Cuando q(a) = 0, el polinomio es divisiblepor x − a y en tal caso escribimos q(x) = (x − a)mq1(x) y p(x) =(x − a)kp1(x), donde m ∈ N, k ∈ N ∪ {0}, q1(a) 6= 0 y p1(a) 6= 0.Si m = k entonces lım

x→af(x) = p1(a)/q1(a). Si k > m, se tiene

lımx→a

f(x) = 0 pues f(x) = (x− a)k−m[p1(x)/q1(x)] para todo x 6= a.

No obstante, si k < m, entonces f(x) = p1(x)/[(x − a)m−kq1(x)]para todo x 6= a. En este caso, el denominador de f(x) tiene lımitecero y el numerador no. Esto implica que no puede existir lım

x→af(x).

En efecto, si f(x) = ϕ(x)/ψ(x), donde lımx→a

ϕ(x) = 0 y existe L =

lımx→a

f(x), entonces existe lımx→a

ϕ(x) = lımx→a

[ψ(x) · f(x)] = L · 0 = 0.

Por tanto se trata de una regla general: si lımx→a

ψ(x) = 0, entonces

solo puede existir lımx→a

[ϕ(x)/ψ)] en el caso que tambien se tenga

lımx→a

ϕ(x) = 0 (aunque esta condicion de por sı no es suficiente para

garantizar la existencia de lım[ϕ/ψ].)

Ejemplo 2. Sea X = R − {0}. Entonces 0 ∈ X ′. La funcion f :X → R definida mediante f(x) = sen(1/x) no posee lımite cuandox → 0. En efecto, la susecion de puntos xn = 2/(2n − 1)π es talque lım xn = 0, pero f(xn) = ±1 segun sea n impar o par, luegono existe lım f(xn). Por otra parte, si g : X → R se define comog(x) = x sen(1/x) , se tiene lım

x→0g(x) = 0, pues | sen(1/x)| ≤ 1 para


todo x ∈ X , y lımx→0

x = 0. Los graficos de estas dos funciones estan

en la Fig.2 abajo.

Fig. 2

Ejemplo 3. Sea f : R → R, definida como f(x) = 0 si x esracional y f(x) = 1 si x es irracional. Dado cualquier a ∈ R, po-demos obtener una sucesion de numeros racionales xn 6= a y otrade numeros irracionales yn 6= a con lım xn = lım yn = a. Entonces,lım f(xn) = 0 y lım f(yn) = 1, luego no existe lım x→ af(x).

Observacion: Dos de los lımites mas importantes que aparecenen el Analisis Matematico son lım x→ 0(sen x/x) = 1 y lım x→ 0(ex−1)/x = 1. Para calcularlos es necesario, sin embargo, realizar unestudio riguroso de las funciones trigonometricas y de la funcionexponecial. Esto se hara en los Capnitulos 9 y 10. Continuaremos,no obstante, usando estas funciones, ası como sus inversas (comoel logaritmo), en ejemplos, inclusive antes de estos capıtulos, de-bido a que estos ejemplos ayudan a fijar ideas sin interferir en elencadenamiento logico de la materia presentada. Informamos al lec-tor interesado que una presentacion rigurosa de caracter elementalsobre logaritmos y la funcion exponencial puede encontrarse en ellibrillo “Logaritmos”, citado en la bibliografıa.

2. Lımites laterales

Sea X ⊂ R. Se dice que el numero real a es un punto de acu-mulacion por la derecha de X , y se escribe a ∈ X ′

+, cuando todoentorno de a contiene algun punto de x ∈ X tal que x > a. Equi-valentemente: para todo ε > 0 se tiene X ∩ (a, a + ε) 6= ∅. Para

Seccion 1 Lımites laterales 75

que a ∈ X ′+ es necesario y suficiente que a se lımite de una sucesion

de puntos xn > a. pertenecientes a X . Finalmente, a es un puntode acumulacion por la derecha del conjunto X si, y solo si, es unpunto de acumulacion ordinario del conjunto Y = X ∩ (a,+∞).

Analogamente se define punto de acumulacion por la izquierda.Por definicion, a ∈ X ′

− significa que, para todo ε > 0, se tieneX ∩ (a − ε, a) 6= ∅, o sea, a ∈ Z ′, donde Z = (−∞, a) ∩ X . Paraque esto suceda, es necesario y suficiente que a = lım xn, donde(xn) es una sucesion cuyos terminos xn < a pertencen a X . Cuandoa ∈ X ′

+ ∩X ′− se dice que a es un punto de acumulacion bilateral de

X .

Ejemplo 4. Sea X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .}; entonces 0 ∈ X ′+ pero

0 /∈ X ′−. Sea I un intervalo. Si c ∈ int I entonces c ∈ I ′+ ∩ I ′−; sin

embargo, si c es uno de los extremos de I entonces solamente setiene c ∈ I ′+ si c es el extremo inferior y c ∈ I ′− si c es el extremosuperior de I.

Ejemplo 5. Sea K el conjunto de Cantor. Sabemos que todo puntoa ∈ K es punto de acumulacion. Si a es extremo de un intervaloretirado en alguna de las etapas de la construccion de K entoncessolo una de las posibilidades a ∈ K ′

+ o a ∈ K ′− es valida. Sin

embargo, si a ∈ K no es extremo de ningun intervalo retirado,entonces a ∈ K ′

+ ∩ K ′− como se deduce de los argumentos usados

en el Capıtulo 5, seccion 5.

Sean f : X → R, a ∈ X ′+. Se dice que el numero real L es

el lımite por la derecha de f(x) cuando x tiene a a, y se escribeL = lım

x→a+f(x) cuando para todo ε > 0, es posible obtener δ > 0

tal que |f(x) − L| < ε siempre que x ∈ X y 0 < x − a < δ. Consımbolos matematicos:

lımx→a+

f(x) = L. ≡ .∀ε > 0∃δ > 0; x ∈ X∩(a, a+δ) ⇒ |f(x)−L| < ε.

Analogamente se define el lımite por la izquierda L = lımx→a− f(x),en el caso en que f : X → R y a ∈ X ′

−: esto significa que, paracualquier ε > 0, se puede escoger δ > 0 tal que x ∈ X ∩ (a−δ, a) ⇒|f(x)− L| < ε.

Las demostraciones de las propiedades generales de los lımites,seccion 1, se adaptan facilmente a los lımites laterales. Basta obser-var que el lımite por la derecha lım

x→a+f(x) se reduce al lımite ordi-

nario lımx→a

g(x), donde g es la restriccion de la funcion f : X → R al

conjuntoX∩(a,+∞). Analogamente para el lımite por la izquierda.

Por ejemplo, el Teorema 3 en el caso del lımite por la derechase expresa ası:

“Para que lımx→a+

f(x) = L es necesario y suficiente que para to-

da sucesion de puntos xn ∈ X con xn > a y lım xn = a, se tengalım f(xn) = L.”

Como puede verse facilmente, dado a ∈ X ′+∩X ′

−, existe lımx→a

f(x) =

L si, y solo si, existen y son iguales los lımites laterales lımx→a+

f(x) =

lımx→a−

f(x) = L.

Ejemplo 6. Las funciones f, g, h : R − {0} → R, definidas comof(x) = sen(1/x), g(x) = x/|x| y h(x) = 1/x no poseen lımitescuando x→ 0. Respecto a los lımites laterales, tenemos lım

x→0+g(x) =

1 y lımx→0−

g(x) = −1 porque g(x) = 1 para x > 0 y g(x) = −1 si

x < 0. Las funciones f y h no poseen lımites laterales cuandox → 0, ni por la izquierda ni por la derecha. Por otra parte, ϕ :R − {0} → R, definida como ϕ(x) = e−1/x, posee lımite por laderecha, lım

x→0+ϕ(x) = 0, pero no existe lım

x→0−ϕ(x) pues ϕ(x) no

esta acotada para valores negativos de x proximos a cero.

Ejemplo 7. Sea I : R → R la funcion ‘parte entera de x’. Paracada x ∈ R, existe un unico numero entero n tal que n ≤ x < n+1;se escribe entonces I(x) = n. Si n ∈ Z se tiene y lım

x→n−

I(x) = n−1.

En efecto, n < x < n + 1 ⇒ I(x) = n, mientras que n − 1 <x < n ⇒ I(x) = n − 1. Por otra parte, si a no es entero entonceslımx→a+

I(x) = lımx→a−

I(x) = I(a) pues en este caso I(x) es constante

en un entorno de a.

Se dice que una funcion f : X → R es monotona creciente cuan-do para todo x, y ∈ X , x < y ⇒ f(x) ≤ f(y). Si x < y ⇒ f(x) ≥f(y) se dice que f es monotona decreciente. Si se cumple la implica-cion con la desigualdad estricta, x < y ⇒ f(x) < f(y), decimos que

Seccion 3 Lımites en el infinito 77

f es estrictamente creciente. Finalmente, si x < y ⇒ f(x) > f(y)decimos que f es una funcion estrictamente decreciente.

Teorema 5. Sea f : X → R una funcion monotona y acota-da. Para todo a ∈ X ′

+ y todo b ∈ X ′− existen L = lım

x→a+f(x) y

L = lımx→b−

f(x). O sea: siempre existen los lımites laterales de una

funcion monotona y acotada.

Demostracion: Para fijar ideas, supongamos que f es creciente.Sea L = ınf{f(x) : x ∈ X, x > a}. Afirmamos que lım

x→a+f(x) = L.

En efecto, dado cualquier ε > 0, L + ε no es una cota inferior delconjunto acotado {f(x) : x ∈ X, x > a}. Luego existe δ > 0 talque a + δ ∈ X y L ≤ f(a + δ) < L + ε. Como f es crecientex ∈ X∩(a, a+δ) ⇒ L ≤ f(x) < L+ε, lo que prueba la afirmacion.De forma analoga se ve que M = sup{f(x) : x ∈ X, x < b} es ellımite por la izquierda, esto es, M = lım

x→b−f(x).

Observacion: Si en el Teorema 5 tenemos que a ∈ X entoncesno es necesario suponer que f este acotada. En efecto, supongamos,para fijar ideas, que f es monotona creciente y que a ∈ X ′

+. Enton-ces f(a) es una cota inferior de {f(x) : x ∈ X, x < a} y el ınfimode este conjunto es lım

x→a+f(x). Analogamente, si a ∈ X ′

− entonces

f(a) es una cota superior del conjunto {f(x) : x ∈ X, x < a}, cuyosupremo es el lımite por la izquierda lım

x→a−f(x).

3. Lımites en el infinito, lımites infinitos, expresiones inde-terminadas

Sea X ⊂ R un conjunto no acotado superiormente. Dada f :X → R, se escribe

lımx→+∞

f(x) = L

cuando el numero real L cumple la siguiente condicion:

∀ ε > 0 ∃A > 0; x ∈ X , x > A⇒ |f(x)− L| < ε .

O sea, dado cualquier ε > 0, existe A > 0 tal que |f(x) − L| < εsiempre que x > A.

De manera analoga se define lımx→−∞

f(x) = L, cuando el dominio

de f no esta acotado inferiormente: para todo ε > 0 dado, existeA > 0 tal que x < −A⇒ |f(x)− L| < ε.

En estos casos son validos los resultados ya demostrados parael lımite cuando x→ a, a ∈ R, con las adaptaciones obvias.

Los lımites cuando x → +∞ y x → −∞ son, de cierta forma,lımites laterales (el primero es un lımite por la izquierda y el se-gundo por la derecha). Luego el resultado del Teorema 5 es valido:si f : X → R es monotona y acotada entonces existen lım

x→+∞f(x)

(si el dominio X no esta acotado superiormente) y lımx→−∞

f(x) (si el

dominio X no esta acotado inferiormente).

El lımite de una sucesion es un caso particular de lımite en elinfinito: se trata de lım

x→+∞f(x), donde f : N → R es una funcion

definida en el conjunto N de los numeros naturales.

Ejemplo 8. lımx→+∞

1/x = lımx→−∞

1/x = 0. Por otra parte, no exis-

ten lımx→+∞

sen x ni lımx→−∞

sen x. Se tiene lımx→−∞

ex = 0 pero no existe

lımx→+∞

ex, en el sentido de la definicion anterior. Como hicimos en

el caso de las sucesiones, introduciremos “lımites infinitos” paraabarcar situaciones como esta.

En primer lugar, sean X ⊂ R, a ∈ X ′ y f : X → R. Diremosque lım

x→af(x) = +∞ cuando, para todo A > 0 existe δ > 0 tal que

0 < |x− a| < δ, x ∈ X ⇒ f(x) > A.

Por ejemplo, lımx→a

1/(x− a)2 = +∞, pues dado A > 0, tomamos

δ = 1/√A. Entonces 0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < (x − a)2 < 1/A ⇒

1/(x− a)2 > A.

Definiremos lımx→a

f(x) = −∞ de modo semejante. Esto significa

que, para todo A > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X , 0 < |x − a| <δ ⇒ f(x) < −A. Por ejemplo, lım

x→a−1/(x− a)2 = −∞.

Seccion 3 Lımites en el infinito 79

Evidentemente, las definiciones de lımx→a+

f(x) = +∞, lımx→a−

f(x) =

+∞, etc no presentan mayores dificultades y se dejan a cargo dellector. Tambien omitiremos las definiciones obvias de lım

x→+∞f(x) =

+∞, lımx→−∞

f(x) = +∞, etc. Por ejemplo,

lımx→a+

1

(x− a)= +∞ , lım

x→a−

1

(x− a)= −∞ ,

lımx→+∞

ex = +∞ , lımx→+∞

xk = +∞ (k ∈ N) .

Insistimos en que +∞ y −∞ no son numeros reales; ası pues, lasafirmaciones lım

x→af(x) = +∞ y lım

x→af(x) = −∞ no expresan lımites

en el sentido estricto del termino.

Observacion: Se tiene para lım(f + g), lım(f ·) y lım(f/g) resul-tados analogos a los del Capıtulo 3 (cf. Teorema 9) sobre lımites desucesiones.

Observacion: Admitiendo lımites infinitos, existen siempre loslımites laterales de una funcion monotona f : X → R en todos lospuntos a ∈ X ′, inclusive cuando x → ±∞. Se tiene lım

x→a+f(x) = L,

L ∈ R, si, y solo si, para algun δ > 0, f esta acotada en el con-junto X ∩ (a, a + δ). Si, por el contrario, para todo δ > 0, f noesta acotada (por ejemplo superiormente) en X ∩ (a, a+ δ) enton-ces lım

x→a+f(x) = +∞.

En anadidura a los comentarios hechos en la seccion 4 del Capıtu-lo 3, diremos algunas palabras sobre las expresiones indeterminadas0/0, ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 00, ∞0 y 1∞.

Veamos, por ejemplo, 0/0. Como la division por cero no esta de-finida, esta expresion no tiene sentido aritmetico. Afirmar que 0/0es un indeterminada tiene el siguiente significado preciso:

SeanX ⊂ R, f, g : X → R, a ∈ X ′. Supongamos que lımx→a

f(x) =

lımx→a

g(x) = 0 y que, escribiendo Y = {x ∈ X : g(x) 6= 0}, aun se

tiene a ∈ Y ′. Entonces cuando x ∈ Y , f(x)/g(x) esta definido y tie-ne sentido preguntarse si existe o no el lım

x→af(x)/g(x). No obstante,


en general nada puede afirmarse sobre dicho lımite. Dependiendode las funciones f y g, este puede ser cualquier valor real o noexistir. Por ejemplo, dada cualquier c ∈ R, si tomamos f(x) = cxy g(x) = x, tenemos que lım

x→0f(x) = lım

x→0g(x) = 0, mientras que

lımx→0

f(x)/g(x) = c. Por otra parte, si tomasemos f(x) = x sen(1/x),

(x 6= 0), y g(x) = x, tendrıamos lımx→0

f(x) = lımx→0

g(x) = 0, sin que

exista lımx→0

f(x)/g(x).

Por el mismo motivo, ∞−∞ es una indeterminada. Esto quie-re decir: podemos encontrar funciones f, g : X → R, tales quelımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = +∞, mientras que lımx→a

[f(x) − g(x)], depen-

diendo de nuestra eleccion de f y g, puede tomar cualquier valorc ∈ R o no existir. Por ejemplo, si f, g : R − {a} → R son dadaspor:

f(x) = c+1

(x− a)2y g(x) =

1

(x− a)2,

entonces lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = +∞ y lımx→a

[f(x)− g(x)] = c. Analo-

gamente, si

f(x) = sen1

x− a+

1

(x− a)2y g(x) =

1

(x− a)2,

entonces no existe lımx→a

[f(x)− g(x)].

Para terminar, un nuevo ejemplo: Dado cualquier numero realc ∈ R podemos encontrar funciones f, g : X → R, con a ∈ X ′,lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = 0 y f(x) > 0 para todo x ∈ X , tales que

lımx→a

f(x)g(x) = c. Basta, por ejemplo, definir f, g : (0,+∞) → R co-

mo f(x) = x, g(x) = log c/ log x. En este caso, se tiene lımx→0

f(x)g(x) =

c. (Tome los logaritmos de ambos miembros.) Todavıa en este caso,es posible escoger f y g de forma que el lımite de f(x)g(x) no exista.Basta tomar, por ejemplo, f(x) = x y g(x) = log(1 + | sen 1/x|) ·(log x)−1. Entonces f(x)g(x) = 1 + | sen 1/x| y por tanto no existelımx→0

f(x)g(x).

Estos ejemplos deben ser suficientes para entender el significadode “expresiones indeterminada”. El instrumento mas eficaz para


el calculo del lımite de una expresion indeterminada es la llamada“Regla de L’Hopital”, objeto de un sinfın de ejercicios en los cursosde Calculo.

4. Ejercicios

Seccion 1: Definicion y primeras propiedades

1. Sean f : X → R, a ∈ X ′ e Y = f(X − {a}). Pruebe que silımx→a

f(x) = L, entonces L ∈ Y .

2. Sean f : X → R y a ∈ X ′. Pruebe que para que exis-ta lım

x→af(x) es suficiente que, para toda sucesion de puntos

xn ∈ X − {a} tal que lım xn = a, la sucesion (f(xn)) seaconvergente.

3. Sean f : X → R, g : Y → R con f(X) ⊂ Y , a ∈ X ′

y b ∈ Y ′ ∩ Y . Si lımx→a

f(x) = b y lımy→b

g(y) = c, pruebe que

lımx→a

g(f(x)) = c, siempre que c = g(b) o que x 6= a implique

f(x) 6= b.

4. Sean f, g : R → R, definidas mediante f(x) = 0 si x esirracional y f(x) = x si x ∈ Q; g(0) = 1 y g(x) = 0 six 6= 0. Demuestre que lım

x→0f(x) = 0 y lım

x→0g(x) = 0, y que sin

embargo no existe lımx→0

g(f(x)).

5. Sea f : R → R definida mediante f(0) = 0 y f(x) = sen(1/x)si x 6= 0. Demuestre que para todo c ∈ [−1, 1] existe unasucesion de puntos xn 6= 0 tales que lım xn = 0 y lım f(xn) =c.

Seccion 2: Lımites laterales

1. Pruebe que a ∈ X ′+ (respectivamente, a ∈ X ′

−) si, y solo si,a = lım xn es el lımite de una sucesion estrictamente decre-ciente (respectivamente, estrictamente creciente) de puntospertenecientes al conjunto X .

2. Pruebe que lımx→a+

f(x) = L (respectivamente, lımx→a−

f(x) = L)

si, y solo si, para toda sucesion estrictamente decreciente (res-pectivamente, estrictamente creciente) de puntos xn ∈ X talque lım xn = a se tiene lım f(xn) = L.

3. Sea f : R− {0} → R definida mediante f(x) = 1/(1 + a1/x),donde a > 1. Pruebe que lım

x→0+f(x) = 0 y lım

x→0−f(x) = 1.

4. Sean f : X → R monotona y a ∈ X ′+. Si existe una sucesion

de puntos xn ∈ X tal que xn > qa, lım xn = a y lım f(xn) =L, pruebe que lım

x→a+f(x) = L.

5. Dada f : R− {0} → R, definida como f(x) = sen(1/x)/(1 +21/x), determine el conjunto de los numeros L tales que L =lım f(xn), con lım xn = 0, xn 6= 0.

Seccion 3: Lımites en el infinito, lımites infinitos, etc.

1. Sea p : R → R un polinomio no constante, esto es, para todox ∈ R, p(x) = a0+a1x+· · ·+anxn, con an 6= 0 y n ≥ 1. Pruebeque, si n es par, entonces lım

x→+∞p(x) = lım

x→−∞p(x) = +∞ si

an > 0 y lımx→+∞

p(x) = lımx→−∞

p(x) = −∞ si an < 0. Si n es

impar entonces lımx→+∞

p(x) = +∞ y lımx→−∞

p(x) = −∞ cuando

an > 0 y los signos de los lımites se invierten cuando an < 0.

2. Sea f : R → R definida por f(x) = x sen x. Pruebe que, paratodo c ∈ R, existe una sucesion xn ∈ R con lım

x→∞xn = +∞ y

lımx→∞

f(xn) = c.

3. Sea f : [a,+∞) → R una funcion acotada. Para cada t ≥ adenotaremos mediante Mt y mt el sup y el ınf de f en elintervalo I = [t,+∞), respectivamente. Mediante wt =Mt −mt denotamos las oscilacion de f en I. Pruebe que existenlım

t→+∞Mt y lım

t→+∞mt. Pruebe que existe lım

t→+∞f(x) si, y solo si,

lımt→+∞

wt.

7

Funcionescontinuas

La nocion de funcion continua es uno de los puntos centrales dela Topologıa. Sera estudiada en este capıtulo en sus aspectos masbasicos, como introduccion a un enfoque mas amplio y como ins-trumento que sera usado en capıtulos posteriores.

1. Definicion y propiedades basicas

Una funcion f : X → R, definida en el conjunto X ⊂ R, sedice que es continua en el punto a ∈ X cuando, para todo ε > 0,se puede obtener δ > 0 tal que x ∈ X y |x − a| < δ impliquen|f(x) − f(a)| < ε. Con sımbolos matematicos, f continua en elpunto a significa:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; x ∈ X, |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε .

Se llama discontinua en el punto a ∈ X a una funcion f : X →R que no es continua en dicho punto. Esto quiere decir que existeε > 0 con la siguiente propiedad: para todo δ > 0 se puede encontrarxδ ∈ X tal que |xδ − a| < δ y |f(xδ)− f(a)| ≥ ε. En particular, sitomamos δ igual a 1, 1/2, 1/3, . . . y ası sucesivamente y escribimosxn en vez de x1/n, vemos que f : X → R es discontinua en el puntoa ∈ X si, y solo si, existe ε > 0 con la siguiente propiedad: paracada n ∈ N se puede encontrar xn ∈ X con |xn − a| < 1/n y|f(xn)− f(a)| ≥ ε. Evidentemente, |xn−a| < 1/n para todo n ∈ Nimplica lım xn = a.

83

84 Funciones continuas Cap. 7

Se dice que f : X → R es una funcion continua cuando f escontinua en todos los puntos a ∈ X .

La continuidad es un fenomeno local, esto es, la funcion f : X →R es continua si, y solo si, existe un entorno V de a tal que la res-triccion de f a V ∩X es continua en el punto a.

Si a es un punto aislado del conjunto X , esto es, si existe δ > 0tal que X∩(a−δ, a+δ) = {a}, entonces toda funcion f : X → R escontinua en el punto a. En particular, si X es un conjunto discreto,como por ejemplo Z, entonces toda funcion f : X → R es continua.

Si a ∈ X ∩ X ′ esto es, si a ∈ X es un punto de acumulacionde X , entonces f : X → R es continua en el punto a si, y solo si,lımx→a

f(x) = f(a).

Al contrario de lo que sucede con el lımite, en la definicion defuncion continua el punto a pertenece necesariamente al conjuntoX y se puede tomar x = a, pues en tal caso, la condicion |f(x) −f(a)| < ε se convierte en 0 < ε, lo que es obvio.

Teorema 1. Sean f, g : X → R continuas en el punto a ∈ X, conf(a) < g(a). Entonces existe δ > 0 tal que f(x) < g(x) para todox ∈ X ∩ (a− δ, a + δ).

Demostracion: Tomemos c = [g(a) + f(a)]/2 y ε = g(a) − c =c−f(a). Entonces ε > 0 y f(a)+ε = g(a)−ε = c. Por la definicionde continuidad, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x ∈ X , |x− a| <δ1 ⇒ f(a) − ε < f(x) < c y x ∈ X , |x − a| < δ2 ⇒ c < g(x) <g(a) + ε. Sea δ el menor de los numeros δ1 y δ2. Entonces x ∈ X ,|x− a| < δ ⇒ f(x) < c < g(x), lo que prueba el teorema.

Corolario 1. Sea f : X → R continua en el punto a ∈ X. Sif(a) 6= 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X ∩ (a− δ, a+ δ), f(x)tiene el mismo signo que f(a).

En efecto, para fijar ideas supongamos que f(a) < 0. Entoncesbasta tomar g identicamente nula en el Teorema 1.

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Corolario 2. Dadas f, g : X → R continuas, sean Y = {x ∈ X :f(x) < g(x)} y Z = {x ∈ X : f(x) ≤ g(x)}. Existen A ⊂ R abierto

Seccion 1 Definicion y propiedades basicas 85

y F ⊂ R cerrado tales que Y = X ∩A y Z = X ∩F . En particular,si X es abierto tambien Y es abierto, y si X es cerrado tambien Zes cerrado.

En efecto, por el Teorema 1, para cada y ∈ Y existe un intervaloabierto Iy, centrado en y, tal que {y} ⊂ X ∩ Iy ∩ Y . De donde⋃

y∈Y {y} ⊂⋃

y∈Y (X ∩ Iy) ⊂ Y , o sea: Y ⊂ X ∩ (⋃

y∈Y Iy) ⊂ Y .Escribiendo A =

⋃

y∈Y Iy, el Teorema 1, Capıtulo 5, nos asegura queA es un conjunto abierto. Ademas, de Y ⊂ X ∩A ⊂ Y concluımosque Y = X∩A. Respecto al conjunto Z, tenemos que Z = X−{x ∈X : g(x) < f(x)}. Por lo que acabamos de ver, existe B ⊂ R abiertotal que Z = X − (X ∩ B) = X ∩ (R − B). Por el Teorema 3 delCapıtulo 5, F = R − B es cerrado, y por tanto Z = X ∩ F comopretendıamos demostrar.

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Teorema 2. Para que la funcion f : X → R sea continua en elpunto a es necesario y suficiente que, para toda sucesion de puntosxn ∈ X con lım xn = a, se tenga lım f(xn) = f(a).

La demostracion se deduce usando exactamente los mismos ar-gumentos que en el Teorema 3, Capıtulo 6, y por tanto se omite.

Corolario 1. Si f, g : X → R son continuas en el punto a ∈X entonces tambien son continuas en dicho punto las funcionesf + g, f · g : X → R, ası como la funcion f/g, en el caso en queg(a) 6= 0.

El dominio de la funcion f/g, bien entendido, es el subconjuntode X formado por los puntos x tales que g(x) 6= 0. Ası, existe δ > 0tal que X ∩ (a− δ, a + δ) esta contenido en dicho dominio.

Ejemplo 1. Todo polinomio p : R → R es una funcion continua.Toda funcion racional p(x)/q(x) (cociente de dos polinomios) escontinua en su dominio, que es el conjunto de los puntos x tales queq(x) 6= 0. La funcion f : R → R, definida mediante f(x) = sen(1/x)si x 6= 0 y f(0) = 0, es discontinua en el punto 0 y continua enlos demas puntos de la recta. La funcion g : R → R, dada comog(x) = x sen(1/x) si x 6= 0 y g(0) = 0, es continua en toda larecta. La funcion ϕ : R → R, definida por ϕ(x) = 0 para todox racional y ϕ(x) = 1 para todo x irracional, es discontinua entodos los puntos de la recta; sin embargo, sus restricciones a Q y a

R−Q son continuas porque son constantes. Si definimos ψ : R → Rescribiendo ψ(x) = x·ϕ(x) vemos que ψ es continua exclusivamenteen el punto x = 0.

Teorema 3. Sean f : X → R continua en el punto a ∈ X, g : Y →R continua en el punto b = f(a) ∈ Y y f(X) ⊂ Y , de forma quela funcion compuesta g ◦ f : X → R esta bien definida. Entoncesg ◦ f es continua en el punto a. (La composicion de dos funcionescontinuas es continua.)

Demostracion: Dado ε > 0 existe, por la continuidad de g en elpunto b, un numero η > 0 tal que y ∈ Y ; |y − b| < η implican|g(y)− g(b)| < ε. A su vez, la continuidad de f en el punto a nosasegura que existe δ > 0 tal que x ∈ X , |x − a| < δ implican|f(x)−b| < η. Por consiguiente, x ∈ X ∩ (a−δ, a+δ) ⇒ |g(f(x))−g(b)| = |(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)| < ε, lo que prueba el teorema.

2. Funciones continuas en un intervalo

Teorema 4. (Teorema del valor intermedio) Sea f : [a, b] →R continua. Si f(a) < d < f(b) entonces existe c ∈ (a, b) tal quef(c) = d.

Demostracion: Consideremos los conjuntos A = {x ∈ [a, b] :f(x) ≤ d} y B = {x ∈ [a, b] : f(x) ≥ d}. Por el corolario 2del Teorema 1, A y B son cerrados, luego A ∩ B = A ∩ B =A∩B. Ademas, es claro que [a, b] = A∪B. Si tuvieramos A∩B 6=∅ entonces el teorema estarıa demostrada ya que f(c) = d paracualquier c ∈ A ∩ B. Si, por el contrario, tuviesemos A ∩ B = ∅entonces [a, b] = A ∪ B serıa una escision no trivial (pues a ∈ A yb ∈ B), lo que esta prohibido por el Teorema 5 del Capıtulo 5. Luegonecesariamente A∩B 6= ∅; ası pues el teorema estna probado.

Corolario 1. Si I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es continua,entonces f(I) es un intervalo.

El resultado es obvio si f es constante. En caso contrario, seaα = ınf(f(I)) = ınf{f(x) : x ∈ I} y β = sup(f(I)) = sup{f(x) :x ∈ I}. Si f(I) no esta acotado tomaremos α = −∞ y β = +∞.Para probar que f(I) es un intervalo (abierto, cerrado o semiabier-to) cuyos extremos son α y β tomemos d tal que α < d < β. Por

Seccion 2 Funciones continuas en un intervalo 87

las definiciones de ınf y sup, existen a, b ∈ I tales que α ≤ f(a) <d < f(b) ≤ β. Por el Teorema 4 existe C ∈ [a, b], por tanto c ∈ I,tal que f(c) = d. Ası d ∈ f(I). Esto prueba que (α, β) ⊂ f(I).Como α es el ınf y β es el sup de f(I), ningun numero real menorque α o mayor que β puede pertenecer a f(I). Por tanto f(I) es unintervalo cuyos extremos son α y β.

�

Observacion: Si I = [a, b] es un intervalo compacto entoncesf(I) tambien es un intervalo compacto; ver el Teorema 7 mas ade-lante. Pero si I no es cerrado o no esta acotado, f(I) puede noser del mismo tipo que I. Por ejemplo, sea f : R → R dadapor f(x) = sen x. Tomando sucesivamente los intervalos abiertosI1 = (0, 7), I2 = (0, π/2) e I3 = (0, π), tenemos f(I1) = [−1, 1],f(I2) = (0, 1) y f(I3) = (0, 1].

Ejemplo 2. Como aplicacion demostraremos que todo polinomiop : R → R de grado impar tiene alguna raız real. Sea p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn con n impar y an 6= 0. Para fijar ideas supongamosque an > 0. Sacando anx

n como factor comun, podemos escribirp(x) = anx

n · r(x), donde

r(x) =a0an

· 1

xn+a1an

· 1

xn−1+ · · ·+ an−1

an· 1x+ 1 .

Es claro que lımx→+∞

r(x) = lımx→−∞

r(x) = 1. Luego lımx→+∞

p(x) =

lımx→+∞

anxn = +∞ y lım

x→−∞p(x) = lım

x→−∞anx

n = −∞ (pues n es

impar). Por tanto, el intervalo p(R) no esta acotado, ni superior niinferiormente, esto es, p(R) = R. Esto significa que p : R → R essobreyectiva. En particular existe c ∈ R tal que p(c) = 0. Eviden-temente, un polinimio de grado par puede no tener raıecs reales,como por ejemplo, p(x) = x2 + 1.

Ejemplo 3. (Existencia de n√a) Dado n ∈ N, la funcion f :

[0,+∞) → [0,+∞), definida como f(x) = xn, es creciente (portanto inyectiva), con f(0) = 0 y lım

x→+∞f(x) = +∞. Por tanto, su

imagen es un subintervalo no acotado de [0,+∞) que contiene a suextremo inferior, igual a cero. Luego f([0,+∞)) = [0,+∞), esto es,f es una biyeccion de [0,+∞) en sı mismo. Esto significa que, paratodo numero real a ≥ 0, existe un unico numero real b ≥ 0 tal que

a = bn, o sea, b = n√a. En el caso particular en que n es impar, la

funcion x→ xn es una biyeccion de R en R; ası, en este caso, todonumero real a tiene una unica raız n-esima que es positiva cuandoa > 0 y negativa cuando a < 0.

Ejemplo 4. El Teorema 4 es uno de los denominados “teoremasde existencia”. En ciertas condiciones nos asegura la existencia deuna raız para la ecuacion f(x) = d. Una de sus aplicaciones massencillas es la que sigue. Sea f : [a, b] → R una funcion continua talque f(a) ≤ a y b ≤ f(b). En estas condiciones existe al menos unnumero c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. En efecto, la funcion ϕ : [a, b] →R, definida mediante ϕ(x) = x − f(x), es continua con ϕ(a) ≥ 0y ϕ(b) ≤ 0. Por el Teorema 4, existe c ∈ [a, b] tal que ϕ(c) = 0,esto es, f(c) = c. Un punto x ∈ X tal que f(x) = x se denominapunto fijo de la funcion f : X → R. El resultado que acabamos deprobar es una version unidemensional del conocido “Teorema delpunto fijo de Brouwer”.

Otra aplicacion del Teorema 4 es la que se refiere a la conti-nuidad de la funcion inversa. Sean X, Y ⊂ R y f : X → Y unabiyeccion. Suponiendo que f es continua, ¿se puede concluir que suinversa f−1 tambien lo es? La respuesta es, en general, negativa,como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5. Sean X = [−1, 0] ∪ (1, 2] e Y = [0, 4]. La funcionf : X → Y definida como f(x) = x2, es una biyeccion de X enY , que es obviamente continua (ver Fig. 3). Su inversa g : Y → Xesta dada por g(y) = −√

y si 0 ≤ y ≤ 1 y g(y) =√y si 1 < y ≤ 4.

Luego g es discontinua en el punto y = 1 (pues lımy→1−

g(y) = −1 y

lımy→1+

g(y) = 1.)

Seccion 2 Funciones continuas en un intervalo 89

+

+

+

4

3

2

1

2

Fig. 3

Demostraremos ahora que si una biyeccion entre intervalos f :I → J es continua, entonces su inversa tambien lo es. En la seccion3, mas adelante, veremos que, si el dominio es compacto, la inversade una biyeccion continua tambien es continua. (En el Ejemplo 5el dominio de f no es ni un intervalo ni un conjunto compacto.)

Teorema 5. Sea I ⊂ R un intervalo. Toda funcion continua einyectiva f : I → R es monotona y su inversa g : J → I, definidaen el intervalo J = f(I), es continua.

Demostracion: Supongamos, inicialmente, que I = [a, b] sea unintervalo cerrado y acotado. Para fijar ideas, sea f(a) < f(b). De-mostraremos que f es estrictamente creciente. En caso contrarioexistirıan puntos x < y en [a, b] con f(x) > f(y). Hay dos posi-bilidades: f(a) < f(y) y f(a) > f(y). En el primer caso, tenemosf(a) < f(y) < f(x), luego, por el Teorema 4, existe c ∈ (a, x) coonf(c) = f(y), contradiciendo la inyectividad de f . En el segundocaso, se tiene f(y) < f(a) < f(b), por tanto existe c ∈ (y, b) conf(c) = f(a), obteniendose otra contradiccion, luego f es estricta-mente creciente. Sea ahora f : I → R continua e inyectiva en unintervalo cualquiera I. Si f no fuese monotona existirıan puntosu < v y x < y en I tales que f(u) < f(v) y f(x) > f(y). Seana el menor y b el mayor de los numeros u, v, x, y. Entonces, la res-triccion de f al intervalo [a, b], serıa continua e inyectiva, pero nomonotona, contradiciendo lo que acabamos de probar. Finalmen-te, consideremos la invaersa g : J → I de la biyeccion continua

estrictamente creciente f : I → J . Evidentemente, g es estricta-mente creciente. Sea a ∈ I un punto cualquiera y b = f(a). Paraprobar que g es continua en el punto b comenzaremos suponiendoque a es interior a I. Entonces, dado ε > 0 podemos admitir que(a − ε, a + ε) ⊂ I. Ası, f(a − ε) = b − α y f(a + ε) = b + β, don-de α > 0 y β > 0. Sea δ = mın{α, β}. Como g es estrictamentecreciente, y ∈ J , b − δ < y < b + δ ⇒ b − α < y < b + β ⇒g(b − α) < g(y) < g(b + β) ⇒ a − ε < g(y) < a + ε. Luego g escontinua en el punto b. Si, por el contrario, a es un extremo de I,supongamos inferior, entonces b = f(a) es el extremo inferior de J .Dado cualquier ε > 0 podemos suponer que a+ ε ∈ I y tendremosque f(a+ ε) = b+ δ, δ > 0. Entonces:

y ∈ J , b− δ < y < b+ δ ⇒ b ≤ y < b+ δ

⇒ a ≤ g(y) ≤ g(b+ δ)

⇒ a ≤ g(y) < a + ε

⇒ a− ε < g(y) < a+ ε ,

luego g, tambien en este caso, es continua en el punto b.

Corolario 1. Para todo n ∈ N, la funcion g : [0,+∞) → [0,+∞),definida mediante g(x) = n

√x es continua.

En efecto, g es la inversa de la biyeccion continua f : [0,+∞) →[0,+∞) definida como f(x) = xn.

�

En el caso particular en que n es impar, f : R → R dada porf(x) = xn es una biyeccion continua y su inversa g : R → R, tam-bien denotada por g(x) = n

√x, es continua en toda la recta.

Sean X ⊂ R e Y ⊂ R. Un homeomorfismo entre X e Y esuna biyeccion continua f : X → Y cuya inversa f−1 : Y → Xtambien es continua. El Teorema 5 nos deice, por tanto, que si I esun intervalo entonces toda funcion continua e inyectiva f : I → Res un homeomorfismo local entre I y el intervalo J = f(I).

3. Funciones continuas en conjuntos compactos

Muchos problemas de las matematicas, ası como de sus apli-caciones, consisten en encontrar los puntos de un conjunto X en

Seccion 3 Funciones continuas en conjuntos compactos 91

los que una determinada funcion real f : X → R alcanza su valormaximo o su valor mınimo. Antes de intentar resolver un problemade este ripo es ncesario saber si tales puntos existen. Para empe-zar, la funcion f puede no estar acotada superiormente (y entoncesno posee valor maximo) o inferiormente (y entonces no posee valormınimo). Sin embargo, inclusive en el caso de estar acotada, f pue-de no alcanzar un valor maximo en X , o el mınimo, o ninguno delos dos.

Ejemplo 6. Sean X = (0, 1) y f : X → R dada por f(x) = x.Entonces f(X) = (0, 1), luego para todo x ∈ X existen x′, x′′ ∈ Xtales que f(x′) < f(x) < f(x′′). Esto significa que, para cualquierx ∈ X , el valor f(x) no es ni el mayor ni el menor que f alcanza enX . Un ejemplo: podemos considerar g : R → R, g(x) = 1/(1 + x2).Tenemos 0 < g(x) ≤ 1 para todo x ∈ R. Como g(0) = 1, vemosque g(0) es el mayor maximo de g(x), donde x ∈ R. Sin embargo,no existe x ∈ R tal que g(x) sea el menor valor g. En efecto, six > 0 basta tomar x′ > x para tener g(x′) < g(x). Y si x < 0,basta tomar x′ < x y nuevamente se tiene g(x′) < g(x).

Fig. 4 - Grafico de la funcion g(x) = 11+x2

El proximo teorema garantiza la existencia de valores maximosy mınimos de una funcion continua cuando su dominio es compacto.

Teorema 6. (Weierstrass) Sea f : X → R continua en el con-junto compacto X ⊂ R. Entonces existen x0, x1 ∈ X tales quef(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ X .

Obtendremos el Teorema de Weierstrass como consecuencia del


Teorema 7. La imagen f(X) de un conjunto compacto X ⊂ R poruna funcion continua f : X → R es un conjunto compacto.

Demostracion: Por el Teorema 8 del Capıtulo 5 tenemos que pro-bar que toda sucesion de puntos yn ∈ f(X) posee una subsucesionque converge a algun punto b ∈ f(X). Ahora bien, para cada n ∈ Ntenemos yn = f(xn), con xn ∈ X . Como X es compacto, la suce-sion (xn) posee una subsucesion (xn)n∈N′ que converge a un puntoa ∈ X . Como f es continua en el punto a, de lım

n∈N′

xn = a concluımos

que b = lımn→N′

yn = lımn∈N′

f(xn) = f(a), y ası b = f(a) y b ∈ f(X),

como querıamos demostrar.

Demostracion: (del Teorema 6) Como vimos en la seccion 4 delCapıtulo 5, el conjunto compacto f(X) posee un menor elementof(x0) y un mayor elemento f(x1). Esto quiere decir que existenx0, x1 ∈ X tales que f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ X .

Corolario 1. Si X ⊂ R es compacto entonces toda funcion conti-nua f : X → R esta acotada, esto es, existe c > 0 tal que |f(x)| ≤ cpara todo x ∈ X.

Ejemplo 7. La funcion f : (0, 1] → R, definida mediante f(x) =1/x, es continua pero no esta acotada. Esto es posible ya que eldominio (0, 1] no es compacto.

Teorema 8. Si X ⊂ R es compacto entonces toda biyeccion conti-nua f : X → Y ⊂ R tiene inversa continua g : Y → X.

Demostracion: Tomaremos un punto cualquiera b = f(a) ∈ Y ydemostraremos que g es continua en el punto b. Si no fuese ası, exis-tirıan un numero ε > 0 y una sucesion de puntos yn = f(xn) ∈ Ytales que lım yn = b y |g(yn) − g(b)| ≥ ε, esto es, |xn − a| ≥ εpara todo n ∈ N. Considerando, si ası fuese necesario, una subsuce-sion, podemos suponer que lım xn = a′ ∈ X , pues X es compacto.Se tiene |a′ − a| ≥ ε. En particular, a′ 6= a. Sin embargo, por lacontinuidad de f , lım yn = lım f(xn) = f(a′). Como ya tenemoslım yn = b = f(a), se deduce que f(a) = f(a′), contradiciendo lainyectividad de f .

Ejemplo 8. El conjunto Y = {0, 1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} es compactoy la biyeccion f : N → Y , definida mediante f(1) = 0, f(n) =

Seccion 4 Continuidad uniforme 93

1/(n − 1) si n > 1, es continua, pero su inversa f−1 : Y → N esdiscontinua en el punto 0. Luego en el Teorema 8 la compacidad deX no puede ser substituida por la de Y .

4. Continuidad uniforme

Sea f : X → Y continua. Dado ε > 0, para cada x ∈ X se puedeencontrar δ > 0 tal que y ∈ X , |x−y| < δ implican |f(x)−f(y)| < ε.El numero positivo δ depende no solo del ε > 0 dado sino tambiendel punto x donde se examina la continuidad. Dado ε > 0 no essimpre posible encotrar un δ > 0 que sirva para todos los puntosx ∈ X (inclusive cuando f es continua en todos estos puntos).

Ejemplo 9. Sea f : R − {0} → R definida mediante f(x) = x|x| ,

luego f(x) = 1 si x > 0 y f(x) = −1 para x < 0. Esta funcion escontinua en R−{0} pues es constante en un entorno de cada puntox 6= 0. No obstante, si tomamos ε < 2, para todo δ > 0 escogido,siempre existiran puntos x, y ∈ R − {0} tales que |y − x| < δ y|f(x)− f(y)| ≥ ε. Basta tomar x = δ/3 e y = −δ/3.

Ejemplo 10. La funcion f : R+ → R, definida mediante f(x) =1/x, es continua. Sin embargo, dado ε > 0, con 0 < ε < 1, sea cualfuere el δ > 0 escogido, tomamos un numero natural n > 1/δ yescribimos x = 1/n e y = 1/2n. Entonces 0 < y < x < δ, de donde|y − x| < δ, pero |f(y)− f(x)| = 2n− n = n ≥ 1 > ε.

Una funcion f : X → R se dice uniformemente continua en elconjunto X cuando, para todo ε > 0 dado, se puede obtener δ > 0tal que x, y ∈ X , |y − x| < δ implican |f(y)− f(x)| < ε.

Una funcion uniformemente continua f : X → R es continua entodos los puntos del conjunto X . El recıproco es falso, como puedeverse en los Ejemplos 9 y 19 de arriba.

La continuidad de una funcion f : X → R en el punto a ∈ Xsignifica que f(x) esta tan proximo a f(a) cuanto se desee, siempreque se tome x suficientemente proximo a a. Observese la asimetrıa:el punto a esta fijo y x tiene que aproximarse a a para que f(x)se aproxime a f(a). En la continuidad uniforme se puede hacer quef(x) − f(y) esten tan proximos cuanto se quiera: basta con que x

e y tambien lo esten. Aquı, x e y son variables y juegan papelessimetricos en la definicion.

Otra diferencia entre la mera continuidad y la continuidad uni-forme es la siguiente: si cada punto x ∈ X posee un entorno V talque la restriccion de f a V ∩ X es continua, entonces la funcionf : X → R es continua. Sin embargo, como lo demuestram losEjemplos 9 y 10, si cada punto x ∈ X posee un entorno V tal quef es uniformemente continua en X ∩ V , no se puede concluir quef : X → R sea uniformemente continua en el conjunto X . Esto seexpresa diciendo que la continuidad es una nocion local, mientrasque la continuidad uniforme es un concepto global.

Ejemplo 11. Una funcion f : X → R se llama lipschitziana cuandoexiste una constante k > 0 (llamada constante de Lipschitz de lafuncion f) tal que |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| sean cuales fuerenx, y ∈ X . Para que f sea Lipschitziana es necesario y suficiente queel cociente (f(x) − f(y))/(x− y) este acotado, esto es, exista unaconstante k > 0 tal que x, y ∈ X , x 6= y ⇒ |f(x)−f(y)|/|x−y| ≤ k.Toda funcion lipschitziana f : X → R es uniformemente continua:dado ε > 0, se toma δ = ε/k. Entonces x, y ∈ X , |x − y| < δ ⇒|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y| < k ·ε/k = ε. Si f es un polinomio de grado≤ 1, esto es, f(x) = ax+b, con a, b ∈ R, entonces f es lipschitzianacon constante k = |a|, pues |f(y)−f(x)| = |ay+b−(ax+b)| = |a||y−x|. La funcion del Ejemplo 10, evidentemente, no es lipschitzianapues no es uniformemente continua. No obstante, para todo a > 0,la restriccion de f al intervalo [a,+∞) es lipschitziana (y, por tanto,uniformemente continua) con constante de Lipschitz k = 1/a2. Enefecto, si x ≥ a e y ≥ a entonces |f(y) − f(x)| = |y − x|/|xy| ≤|y − x|/a2 = k|y − x|.

Teorema 9. Para que f : X → R sea uniformemente continua esnecesario y suficiente, para todo par de sucesiones (xn), (yn) en Xtales que lım(yn − xn) =, se tenga lım(f(yn)− f(xn)) = 0.

Demostracion: Si f es uniformemente continua y lım |yn−xn| = 0entonces dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X ,|y−x| < δ implican |f(y)−f(x)| < ε. Existe tambien n0 ∈ N tal quen > n0 implica |yn−xn| < δ. Luego n > n0 implica |f(yn)−f(xn)| <ε, de donde lım(f(yn)− f(xn)) = 0. Recıprocamente, supongamos

Seccion 4 Continuidad uniforme 95

valida la condicion estipulada en el enunciado del teorema. Si fno fuese uniformemente continua, existirıa ε > 0 con la siguientepropiedad: para todo n ∈ N podrıamos encontrar puntos xn, yn enX tales que |xn − yn| < 1/n y |f(xn) − f(yn)| ≥ ε. Tendrıamosentonces lım(yn − xn) = 0 sin que lım(f(yn) − f(xn)) = 0. Estacontradiccion concluye la prueba del teorema.

Ejemplo 12. La funcion f : R → R, dada por f(x) = x2 noes uniformemente continua. En efecto, tomando xn = n e yn =n + (1/n) tenemos lım(yn − xn) = lım(1/n) = 0, pero f(yn) −f(xn) = n2 + 2 + (1/n2) − n2 = 2 + 1/n2 > 2, luego no se tienelım[f(yn)− f(xn)] = 0.

Teorema 10. Sea X ⊂ R compacto. Toda funcion continua f :X → R es uniformemente continua.

Demostracion: Si f no fuese uniformemente continua existirıanε > 0 y dos sucesiones (xn), (yn) en X tales que lım(yn −xn) = 0 y|f(yn)−f(xn)| ≥ ε para todo n ∈ N. Considerando una subsucesion,si ası fuese necesario, podemos suponer, en virtud de la compacidadde X , que lım xn = a ∈ X . Entonces, como yn = (yn − xn) + xn,tambien se tiene lım xn = a. Como f es continua en el punto a,tenemos lım[f(yn)−f(xn)] = lım f(yn)− lım f(xn) = f(a)−f(a) =0, lo que contradice que |f(yn)− f(xn)| ≥ ε para todo n ∈ N.

Ejemplo 13. La funcion f : [0,+∞) → R, dado por f(x) =√x,

no es lipschitziana. En efecto, multiplicando el numerador y eldenominador por (

√y +

√x) vemos que (

√y − √

x)/(y − x) =1/(

√y +

√x). Tomando x 6= y suficientemente pequenos, podemos

conseguir que√y +

√x sea tan peueno cuanto se desee, luego el

cociente (√y − √

x)/(y − x) no esta acotado. No obstante, f eslipschitziana (por tanto uniformemente continua) en el intervalo[1,+∞), ya que x, y ∈ [1,+∞) ⇒ √

x +√y ≥ 2 ⇒ |√y − √

x| =|y − x|/(√y +√

x) ≤ 12|y − x|. En el intervalo [0, 1], f tambien es

uniformemente continuam aunque no se lipschitziana, pues [0, 1] escompacto. De aquı resulta que f : [0,+∞) → R es uniformementecontinua. En efecto, dado ε > 0 existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales quex, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ1 ⇒ |f(y) − f(x)| < ε

2, y x, y ∈ [1,+∞),

|y − x| < δ2 ⇒ |f(y) − f(x)| < ε/2. Sea δ = mın{δ1, δ2}. Da-dos x, y ∈ [0,+∞) con |y − x| < δ, obviamente si x, y ∈ [0, 1]o x, y ∈ [1,+∞) tenemos |f(y) − f(x)| < ε. Si, por ejemplo,

x ∈ [0, 1] e y ∈ [1,+∞) entonces |y − 1| < δ y |x − a| < δ, luego|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− f(1)|+ |f(1)− f(x)| < ε

2+ ε

2= ε.

Teorema 11. Toda funcion f : X → R uniformemente continuaen un conjunto acotado X esta acotada.

Demostracion: Si f no estuviera acotada (supongamos superior-mente) existirıa una sucesion de puntos xn ∈ X tales que f(xn+1) >f(xn) + 1 para todo n ∈ N. Como X esta acotado, podemos (con-siderando una subsucesion si ası fuera necesario) suponer que lasucesion (xn) es convergente. Entonces, escribiendo yn = xn+1,tendrıamos lım(yn − xn) = 0, pero como f(yn) − f(xn) > 1, noes verdad que lım[f(yn) − f(xn)] = 0, luego f no serıa uniforme-mente continua.

El Teorema 11 nos da otra forma de ver que f(x) = 1/x noes uniformemente continua en el intervalo (0, 1], pues f(0, 1] =[1,+∞).

Teorema 12. Si f : X → R es uniformemente continua entonces,para todo a ∈ X ′ (inclusive si a no pertenece a X), existe lım

x→af(x).

Demostracion: Escojamos una sucesion de puntos an ∈ X − {a}tal que lım an = a. Del Teorema 11 se sigue que la sucesion (f(an))esta acotada. Considerando una subsucesion, si ası fuese necesario,podemos suponer que lım f(an) = b. Ahora afirmamos que se tienelım f(xn) = b se cual fuere la sucesion de puntos xn ∈ X − {a}con lım xn = a. En efecto, tenemos lım(xn − an) = 0. Como f esuniformemente continua, se sigue que lım[f(xn)−f(an)] = 0, luegolım f(xn) = lım f(an) + lım[f(xn)− f(an)] = b.

Ejemplo 14. El Teorema 12 implica que 1/x en R+, ası como x/|x|y sen(1/x) en R− {0}, no son uniformemente continuas.

5. Ejercicios

Seccion 1: Definicion y primeras propiedades

1. Sean f, g : X → R continuas en el punto a ∈ X . Pruebeque tambien son continuas en el punto a las funciones ϕ, ψ :X → R, definidas mediante ϕ(x) = max{f(x), g(x)}, ψ(x) =mın{f(x), g(x)} para todo x ∈ X .

2. Sean f, g : X → R continuas. Pruebe que si X es abiertoentonces el conjunto A = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)} es abiero, yque si X es cerrado el conjunto F = {x ∈ X : f(x) = g(x)}es cerrado.

3. Una funcion f : X → R se dice semicontinua superiormente(scs) en el punto a ∈ X cuando, para todo c > f(a), existeδ > 0 tal que x ∈ X , |x − a| < δ, implican f(x) < c. Definael concepto de funcion semicontinua inferiormemente (sci)en el punto a. Pruebe que f es continua en el punto a si, ysolo si, es scs y sci en dicho punto. Pruebe que si f es scs,g es sci y f(a) < g(a) entonces existe δ > 0 tal que x ∈ X ,|x− a| < δ ⇒ f(x) < g(x).

4. Sea f : R → R es continua. Pruebe que si f(x) = 0 para todox ∈ X entonces f(x) = 0 para todo x ∈ X.

5. Pruebe que si f : R → R es continua si, y solo si, para todoX ⊂ R se tiene f(X) ⊂ f(X).

6. Sean f, g : X → R continuas en el punto a. Suponga que, paracada entorno V de a, existen puntos x, y tales que f(x) < g(x)y f(y) > g(y). Pruebe que f(a) = g(a).

7. Sea f : X → R discontinua en el punto a ∈ X . Pruebe queexiste ε > 0 con la siguiente propiedad: o se puede encontraruna sucesion de puntos xn ∈ X con lım xn = a y f(xn) >f(a)+ε para todo n ∈ N, o bien se encuentra (yn) con yn ∈ X ,lım yn = a y f(y − n) < f(a)− ε para todo n ∈ N.

Seccion 2: Funciones continuas en un intervalo

1. Una funcion f : X → R se dice localmente constante cuandotodo punto de X posee un entorno V tal que f es constanteen V ∩ X . Pruebe que toda funcion f : I → R localmenteconstante en un intervalo I es constante.

2. Sea f : I → R una funcion monotona definida en un intervaloI. Si la imagen f(I) es un intervalo pruebe que entonces f escontinua.


3. Se dice que una funcion f : I → R definida en un intervalo Itiene la propiedad del valor intermedio cuando la imagen f(J)de cualquier intervalo J ⊂ I es un intervalo. Demuestre quela funcion f : R → R, dada por f(x) = sen(1/x) si x 6= 0 yf(0) = 0 tiene la propiedad del valor intermedio y sin embargono es continua.

4. Sea f : I → R una funcion con la propiedad del valor inter-medio. Si para cada c ∈ R existen como maximo un numerofinito de puntos x ∈ I tales que f(x) = c, pruebe que f escontinua.

5. Sea f : [0, 1] → R continua y tal que f(0) = f(1). Pruebe queexiste x ∈ [0, 1] tal que f(x) = f(x+ 1/2). Pruebe el mismoresultado con 1/3 en vez de 1/2. Generalice.

Seccion 3: Funciones continuas en conjuntos compactos

1. Sea f : R → R continua, tal que lımx→+∞

f(x) = lımx→−∞

f(x) =

+∞. Pruebe que existe x0 ∈ R tal que f(x0) ≤ f(x) paratodo x ∈ R.

2. Sea f : R → R continua con lımx→+∞

f(x) = +∞ y lımx→−∞

f(x) =

−∞. Pruebe que, para todo c ∈ R, entre las raıces de laecuacion f(x) = c existe una cuyo modulo |x| es mınimo.

3. Pruebe que no existe ninguna funcion continua f : [a, b] → Rque alcance cada uno de sus valores f(x), x ∈ [a, b], exacta-mente 2 veces.

4. Una funcion f : R → R se dice periodica cuando existe p ∈ R+

tal que f(x + p) = f(x) para todo x ∈ R. Pruebe que todafuncion continua periodica f : R → R esta acotada y alcanzasus valores maximo y mınimo, esto es, existen x0, x1 ∈ R talesque f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ R.

5. Sea f : X → R continua en un conjunto compacto X . Pruebeque, para todo ε > 0, existe kε > 0 tal que x, y ∈ X , |y−x| ≥ε ⇒ |f(y) − f(x)| ≤ kε|y − x|. (Esto significa que f cumplela condicion de Lipschitz siempre que los puntos x, y no estenmuy proximos.)


Seccion 4: Continuidad uniforme

1. Si toda funcion continua f : X → R es uniformemente conti-nua pruebe que el conjunto X es cerrado pero no necesaria-mente compacto.

2. Demuestre que la funcion continua f : R → R, dada porf(x) = sen(x2), no es uniformemente continua.

3. Dada f : X → R uniformemente continua, defina ϕ : X → Rmediante ϕ(x) = f(x) si x ∈ X es un punto aislado y ϕ(x) =lımy→x

f(y) si x ∈ X ′. Pruebe que ϕ es uniformemente continua

y que ϕ(x) = f(x) para todo x ∈ X .

4. Sea f : R → R continua. Pruebe que si existen lımx→+∞

f(x) y

lımx→−∞

f(x) entonces f es uniformemente continua. La misma

conclusion es valida si existen los lımites de f(x)− x cuandox→ ±∞.

5. Sean f, g : X → R uniformemente continua. Pruebe quef + g es uniformemente continua. Lo mismo ocurre con elproducto f · g siempre que f y g esten acotadas. Pruebeque ϕ, ψ : X → R dadas por ϕ(x) = max{f(x), g(x)} yψ(x) = mın{f(x), g(x)}, x ∈ X , son uniformemente conti-nuas.

8

Derivadas

Sean f : X → R y a ∈ X . El cociente q(x) = [f(x)− f(a)]/(x− a)tiene sentido si x 6= a, luego define una funcion q : X − {a} → R;el valor q(x) es la pendiente de la secante (recta que une los puntos(a, f(a)) y (x, f(x)) del grafico de f) en relacion al eje x.

Si imaginamos x como el tiempo y f(x) como la abscisa, en elinstante x, de un punto movil que se desplaza a lo largo del eje x,entonces q(x) es la velocidad media de dicho punto en el intervalode tiempo comprendido entre los instantes a y x.

De modo general, el cociente q(x) es la relacion existente entrela variacion de f(x) y la variacion de x a partir del punto x = a.

En el caso en que a ∈ X ′∩X en natural considerar lımx→a q(x).Las interpretaciones de este lımite en los contextos anteriores sonmrespectivamente, la pendiente de la tangente al grafico de f en elpunto (a, f(a)), y la velocidad instantanea del movil en el instantex = a, o, en general, el “cociente incremental” de la funcion f enel punto a.

Dicho lımite es una de las nociones mas importantes de las Ma-tematicas y de sus aplicaciones. Este sera el objetivo de estudio deeste capıtulo.

101

102 Derivadas Cap. 8

1. La nocion de derivada

Sea f : X → R y a ∈ X ∩X ′. La derivada de la funcion f en elpunto a es el lımite:

f(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a= lım

h→0

f(a+ h)− f(a)

h.

Bien entendido, el lımite anterior puede existir o no. Si existese dice que f es derivable en el punto a. Cuando existe la deriva-da f ′(x) en todos los puntos x ∈ X ∩ X ′ se dice que la funcionf : X → R es derivable en el conjunto x, obteniendose una nuevafuncion f ′ : X ∩X ′ → R, x → f ′(x), llamada funcion derivada def . Si f ′ es continua se dice que f es de clase C1.

Otras notaciones para la derivada de f en el punto a son

Df(a) ,df

dx(a) , y

df

dx

∣

∣

∣

∣

x=a

Teorema 1. Para que f : X → R sea derivable en el punto a ∈X ∩ X ′ es necesario y suficiente que exista c ∈ R tal que a + h ∈X ⇒ f(a+ h) = f(a) + c ·h+ r(h), donde lım

h→0r(h)/h = 0. En caso

afirmativo se tiene c = f ′(a).

Demostracion: Sea Y = {h ∈ R : a + h ∈ X}. Entonces 0 ∈Y ∩ Y ′. Suponiendo que f ′(a) exista, definimos r : Y → R comor(h) = f(a+ h)− f(a)− f ′(a) · h. Entonces,

r(h)

h=f(a+ h)− f(a)

h− f ′(a) ,

luego lımh→0

r(h)/h = 0. La condicion es, por tanto, necesaria. Recıpro-

camente, si la condicion es valida, entonces r(h)/h = [f(a + h) −f(a)]/h− c, luego lım

h→0(f(a+h)−f(a))/h− c = lım

h→0r(h)/h = 0, por

tanto f ′(a) existe y es igual a c.

Corolario 1. Una funcion es continua en los puntos donde es de-rivable.

En efecto, si f es derivable en el punto a, entonces f(a + h) =f(a)+f ′(a) ·h+[r(h)/h]h con lım

h→0r(h)/h = 0, luego lım

h→0f(a+h) =

f(a), o sea, f es continua en el punto a.

Seccion 1 La nocion de derivada 103

Observacion: Para toda funcion f , definida en los puntos a ya + h, y todo numero real c, siempre se puede escribir la igualdadf(a + h) = f(a) + c · h + r(h), que simplemente define el nume-ro r(h). Lo que afirma el Teorema 1 es que existe como maximoun unico c ∈ R tal que lım

h→0r(h)/h = 0. Dicho numero c, cuando

existe, es igual a f ′(a). El Teorema 1 nos dice tambien que, cuandof ′(a) existe, el incremento f(a + h) − f(a) es igual a la suma deuna “parte lineal” c · h, proporcional al incremento h de la variableindependiente, y de un resto r(h), que es infinitamente pequeno enrelacion a h, en el sentido de que el cociente r(h)/h tiende a cerocon h.

Cuando a ∈ X es un punto de acumulacion por la derecha, estoes, a ∈ X ∩ X ′

+, se puede considerar el lımite f ′+(a) = lım

x→a+q(x).

Cuando existe, dicho lımite se llama derivada por la derecha de f enel punto a. Analogamente, si a ∈ X ∩X ′

−, tiene sentido considerarel lımite por la izquierda f−(a) = lım

x→a−q(x); si existe, este se llama

derivada por la izquierda de f en el punto a.

En el caso en que a ∈ X ∩ X ′+ ∩ X ′

−, esto es, si a es un puntode acumulacion bilateral, la funcion f es derivable en el punto a si,y solo si, existen y son iguales las derivadas por la derecha y por laizquierda, en cuyo caso f ′(a) = f ′

+(a) = f ′−(a). El Teorema 1 (con

lımh→0+

r(h)/h = 0 y lımh→0− r(h)/h = 0), ası como su contrario valen

para las derivadas laterales. Por ejemplo, si existe la derivada porla derecha f ′

+(a) entonces f es continua por la derecha en el puntoa, esto es, f(a) = lımh→0+ f(a+ h).

En particular, si a ∈ X ∩ X ′− ∩ X ′

+ y existen ambas deriva-das laterales, f+(a) y f

′−(a), entonces f es continua en el punto a.

(Inclusive si estas derivadas laterales son diferentes).

Ejemplo 1. Una funcion constante es derivable y su derivada esidenticamente nula. Si f : R → R esta dada por f(x) = ax + bentonces, para cualesquiera c ∈ R y h 6= 0, [f(c+ h)− f(c)]/h = a,luego f ′(c) = a. Para cualquier n ∈ N, la funcion f : R → R, conf(x) = xn, tiene derivada f ′(x) = nxn−1. En efecto, por el binomiode Newton, f(x+ h) = (x+ h)n = xn + hnxn−1 + h2p(x, h), donde

p(x, h) es un polinomio en x y h. Por tanto [f(x+ h)− f(x)]/h =nxn−1+hp(x, h). Se sigue que f ′(x) = lımh→0[f(x+h)− f(x)]/h =nxn−1.

Ejemplo 2. La funcion f : R → R, definida mediante f(x) =x sen(1/x) cuando x 6= 0 y f(0) = 0, es continua y posee deri-vada en todo punto x 6= 0. En el punto 0, tenemos [f(0 + h) −f(0)]/h = [h sen(1/h)]/h = sen(1/h). Como no existe lım

h→0sen(1/h),

se concluye que f no es derivable en el punto x = 0, donde tam-poco existe ninguna derivada lateral. Por otra parte, la funciong : R → R, definida mediante g(x) = x · f(x), esto es, g(x) =x2 sen(1/x), x 6= 0, g(0) = 0, es derivable en el punto x = 0, porquelımh→0

[g(0 + h) − g(0)]/h = lımh→0

h · sen(1/h) = 0. Luego g′(0) = 0.

Cuando x 6= 0 las reglas de derivacion conocidas nos dan g′(x) =2x · sen(1/x) − cos(1/x). Observe que no existe lımx→0 g

′(x). Enparticular, la funcion derivada, g′ : R → R, no es continua en elpunto 0, luego g no es de clase C1.

Ejemplo 3. La funcion ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = |x|, esderivable en todo x 6= 0. En efecto, ϕ(x) = x si x > 0 y ϕ(x) = −xsi x < 0. Luego ϕ(x) = 1 para x > 0 y ϕ′(x) = −1 si x < 0. En elpunto 0 no existe la derivada ϕ′(0). De hecho, existen ϕ′

+(0) = 1 yϕ′−(0) = −1. La funcion I : R → R, definida como I(x) = n cuando

n ≤ x < n + 1, n ∈ Z, es derivable, con I ′(x) = 0, en los puntosx /∈ Z. Si n es entero, existe I ′+(n) = pero no existe I ′−(n). En efecto,si 1 > h > 0, se tiene I(n+ h) = I(n) = n, pero para −1 < h < 0,I(n+ h) = n− 1, I(n) = n. Por tanto lım

h→0+[I(n+ h)− I(n)]/h = 0

y lımh→0−

[I(n + h)− I(n)]/h = lımh→0

(−1/h), que no existe.

Ejemplo 4. Regla de L’Hopital Esta regla constituye una de lasaplicaciones mas populares de la derivada. En su forma mas sencillasirve para clacular lımites de la forma lım

x→af(x)/g(x) cuando f y g

son derivables en el punto a y lımx→a

f(x) = f(a) = 0 = g(a) =

lımx→a

g(x). Ası, por la definicion de derivada, f ′(a) = lımx→a

f(x)/(x−a)y g′(a) = lım

x→ag(x)/(x− a). Si g′(a) 6= 0, la Regla de L’Hopital nos


dice que lımx→a

f(x)

g(x)=f ′(a)

g′(a). La prueba es inmediata:

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f(x)

(x− a)

g(x)

(x− a)

=

lımx→a

f(x)

(x− a)

lımx→a

g(x)

(x− a)

=f ′(a)

g′(a).

Como aplicacion consideremos los lımites lımx→0

(sen x/x) y lımx→0

(ex −1)/x. Aplicando la Regla de L’Hopital, el primer lımite se reduce acos 0 = 1 y el segundo a e0 = 1. Sin embargo, conviene observar queestas aplicaciones (y otras analogas) de la Regla de L’Hopital no sontotalmente correctas pues, para utilizarla, es necesario conocer lasderivadas f ′(a) y g′(a). En estos dos ejemplos los lımites a calcularson, por definicion, las derivadas de sen x y de ex en el punto x = 0.

2. Reglas de derivacion

Teorema 2. Sean f, g : X → R derivables en el punto a ∈ X ∩X ′.Las funciones f±g, f ·g y f/g (si g(a) 6= 0) tambien son derivablesen el punto a, con

(f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ,

(f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a) y(

f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

g(a)2.

Demostracion: Vea cualquier libro de Calculo.

Teorema 3. (Regla de la Cadena) Sean f : X → R, g : Y → R,a ∈ X ∩X ′, b ∈ Y ∩ Y ′, f(X) ⊂ Y y f(a) = b. Si f es derivable enel punto a y g derivable en el punto b entonces g ◦ f es derivable enel punto a, con (g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).

Demostracion: Consideremos una sucesion de puntos xn ∈ X −{a} tal que lımxn = a y escribamos yn = f(xn), de modo quelım yn = b. Sean N1 = {n ∈ N : f(xn) 6= f(a)} y N2 = {n ∈ N :f(xn) = f(a)}. Si n ∈ N1 entonces yn ∈ Y − {b} y

g(f(xn))− g(f(a))

xn − a=g(yn)− g(b)

yn − b· f(xn)− f(a)

xn − a.


Por lo tanto, si N1 es infinito, se tiene lımn∈N1

g(f(xn))−g(f(a))]/(xn−a) = g′(f(a)) · f ′(a). Si N2 es infinito se tiene lımn∈N2[f(xn) −f(a)]/(xn − a) = 0, luego f ′(a) = 0. Ası, inclusive en este caso, setiene n∈N2[g(f(an)) − g(f(a))]/(xn − a) = 0 = g′(f(a)) · f ′(a). DeN = N1 ∪N2, resulta que, en cualquier caso,

lımn∈N

g(f(xn))− g(f(a))

xn − a= g′(f(a)) · f ′(a) ,

lo que prueba el teorema.

Corolario 1. Sea f : X → Y una biyeccion entre los conjuntosX, Y ⊂ R, con inversa g = f−1 : Y → X. Si f es derivable en elpunto a ∈ X ∩X ′ y g es continua en el punto b = f(a) entonces ges derivable en el punto b si, y solo si, f ′(a) 6= 0. En caso afirmativose tiene g′(b) = 1/f ′(a).

En efecto, si xn ∈ X − {a} para todo n ∈ N y lım xn = aentonces, como f es inyectiva y continua en el punto a, se tieneyn = f(xn) ∈ Y − {b} y lım yn = b. Por lo tanto b ∈ Y ∩ Y ′. Si g esderivable en el punto b, la igualdad g(f(x)) = x, valida para todox ∈ X , junto con la Regla de la Cadena implican que g′(b)·f ′(a) = 1.En particular, f ′(a) 6= 0. Recıprocamente, si f ′(a) 6= 0 entonces,para cualquier sucesion de puntos yn = f(xn) ∈ Y − {b} tal quelım yn = b, la continuidad de g en el punto b, nos da lım xn = a,por tanto:

lımg(yn)− g(b)

yn − b= lım

[

yn − b

g(yn)− g(b)

]−1

= lım

[

f(xn)− f(a)

xn − a

]−1

= 1/f ′(a) .

Ejemplo 5. Dada f : R → R derivable, consideremos las funcionesg : R → R y h : R → R, definidas por g(x) = f(x2) y h(x) = f(x)2.Se tiene g′(x) = 2x ·f ′(x2) y h′(x) = 2f(x) ·f ′(x), para todo x ∈ R.

Ejemplo 6. Para n ∈ N fijo, la funcion g : [0,+∞) → [0,+∞),dada por g(x) = n

√x, es derivable en el intervalo (0,+∞) con

g′(x) = 1/nn√xn−1. En efecto, g es la inversa de la biyeccion f :

[0,+∞) → [0,+∞), dada por f(x) = xn. Por el corolario anterior,escribiendo y = xn, tenemos g′(y) = 1/f ′(x) si f ′(x) = nxn−1 6= 0,

esto es, si x 6= 0. Ası g′(y) = 1/nxn−1 = 1/n n√

yn−1 y, cambian-

do la notacion, g′(x) = 1/nn√xn−1. En el punto x = 0 la funcion

g(x) = n√x no es derivable (excepto si n = 1). Por ejemplo, la fun-

cion ϕ : R → R dada por ϕ(x) = x3, es un homeomorfismo, cuyainversa y → 3

√y no tiene derivada en el punto 0.

3. Derivada y crecimiento local

Las proposiciones que siguen, que hacen referencia a derivadaslaterales y desigualdades, tienen versiones analogas con f ′

− en vezde f ′

+ con > substituido por <, etc. Para evitar repeticiones tedio-sas trataremos solamente un caso, aunque utilizaremos con totallibertad sus analogos.

Teorema 4. Si f : X → R es derivable por la derecha en el puntoa ∈ X ∩ X ′

+, con f ′+(a) > 0 entonces existe δ > 0 tal que x ∈ X,

a < x < a+ δ, implican f(a) < f(x).

Demostracion: Tenemos lımx→a+

[f(x) − f(a)]/(x − a) = f ′+(a) >

0. De la definicion de lımite por la derecha, tomando ε = f ′+(a),

obtenemos δ > 0 tal que

x ∈ X , a < x < a+ δ ⇒ [f(x)− f(a)]/(x− a) > 0 ⇒ f(a) < f(x) .

Corolario 1. Si f : X → R es monotona creciente entonces susderivadas laterales, donde existan, son ≥ 0.

En efecto, si alguna derivada lateral, digamos f ′+(a), fuese ne-

gativa entonces el (analogo del) Teorema 4 nos darıa x ∈ X cona < x y f(x) < f(a), lo que es absurdo.

�

Corolario 2. Sea a ∈ X un punto de acumulacion bilateral. Sif : X → R es dierivable en el punto a, con f ′(a) > 0, entoncesexiste δ > 0 tal que x, y ∈ X, a− δ < x < a < y < a + δ, implicanf(x) < f(a) < f(y).

Se dice que una funcion f : X → R tiene un maximo local enel punto a ∈ X cuando existe δ > 0 tal que x ∈ X , |x − a| < δimplican f(x) ≤ f(a). Cuando x ∈ X , 0 < |x − a| < δ implicanf(x) < f(a) se dice que f tiene un maximo local estricto en elpunto a. Las definiciones de mınimo local y mınimo local estrictoson analogas. Cuando x ∈ X es tal que f(a) ≤ f(x) para todox ∈ X , se dice que a es un punto de mınimo absoluto de la funcionf : X → R. Si se tiene f(a) ≥ f(x) para todo x ∈ X , se dice que aes un punto de maximo obsoluto-

Corolario 3. Si f : X → R es derivable por la derecha en elpunto a ∈ X∩X ′

+ y tiene en dicho punto un maximo local entoncesf ′+(a) ≤ 0.

En efecto, si tuvieramos f ′+(a) > 0, entonces, por el Teorema

4, obtendrıamos f(a) < f(x) para todo x ∈ X a la derecha ysuficientemente proximo a a, luego f no tendrıa un maximo localen el punto a.

�

Corolario 4. Sea a ∈ X un punto de acumulacion bilateral. Sif : X → R tiene en a un punto de maximo o mınimo local y esderivable en dicho punto, entonces f ′(a) = 0.

En efecto, por el Corolario 3 tenemos f ′+(a) ≤ 0 y f ′

−(a) ≥ 0.Como f ′(a) = f ′

+(a) = f ′−(a), se sigue que f ′(a) = 0

�

Ejemplo 7. Del Teorema 4 y de su Corolario 2 no se puede concluirque una funcion con derivada positiva en un punto a sea estricta-mente creciente en un entorno de a (excepto si f ′ es continua enel punto a). Lo maximo que se puede afirmar es que f(x) < f(a)si x < a, x proximo a a, y f(x) > f(a) si x esta proximo a a conx > a. Por ejemplo, sea f : R → R dada por f(x) = x2 sen(1/x)+ x

2

si x 6= 0 y f(0) = 0. La funcion f es derivable, con f ′(0) = 1/2 yf ′(x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) + 1/2 si x 6= 0. Si tomamos x 6= 0pequeno con sen(1/x) = 0 y cos(1/x) = 1 tendremos f ′(x) < 0.Luego existen puntos x arbitrariamente proximos a 0 con f ′(x) < 0y con f ′(x) > 0. Del Corolario 1 se deduce que f no es monotonaen ningun entorno de 0.

Ejemplo 8. En el Corolario 1, incluso si f es monotona estricta-mente creciente y derivable, no se puede garantizar que su derivadasea positiva en todos los puntos. Por ejemplo, f : R → R dada porf(x) = x3, es estrictamente creciente, pero su derivada f ′(x) = 3x2

se anula en x = 0.

Ejemplo 9. Si f : X → R tiene, por ejemplo, un mınimo local enel punto a ∈ X , no se puede concluir de aquı que f ′(a) = 0. Enprimer lugar, f ′(a) tal vez no exista. Este es el caso de f : R → R,f(x) = |x|, que posee un mınimo local en x = 0, donde se tienef ′+(0) = 1 y f ′

−(0) = −1, lo que esta de acuerdo con el Corolario4. En segundo lugarm inclusive si f es derivable en el punto a, esposible que dicho punto no sea un punto de acumulacion bilateral, yentonces puede suceder que f ′(a) 6= 0. Este es el caso de la funcionf : [0, 1] → R, f(x) = x. Tenemos f ′(0) = f ′(1) = 1; sin embargo ftiene un mınimo en el punto x = 0 y un maximo en el punto x = 1.

Un punto c ∈ X se llama punto crıtico de la funcion derivablef : X → R cuando f ′(c) = 0. Si c ∈ X ∩X ′

+ ∩X ′− es un punto de

mınimo o de maximo local entonces c es crıtico, pero el recıprocoes falso: la biyeccion estrictamente creciente f : R → R, dada porf(x) = x3, no puede tener maximos ni mınimos locales pero tieneun punto crıtico en x = 0.

4. Funciones derivables en un intervalo

Como se vera a continuacion la derivada goza de la propiedaddel valor intermedio, incluso cuando es discontinua.

Teorema 5. (Darboux) Sea f : [a, b] → R derivable. Si f ′(a) <d < f ′(b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = d.

Demostracion: Supongamos inicialmente que d = 0. Por el Teore-ma de Weierstrass, la funcion continua f alcanza su valor mınimoen algun punto c del conjunto compacto [a, b]. Como f ′(a) < 0,el Teorema 4 nos asegura que existen puntos x ∈ (a, b) tales quef(x) < f(a), luego tal mınimo no se alcanza en el punto a, esto es,a < c. Por los mismos motivos se tiene c < b. Ası el Corolario 4 nosda f ′(c) = 0. El caso general se reduce a este considerando la fun-cion auxiliar g(x) = f(x)−dx. Entonces g′(x) = f ′(x)−d, de dondeg′(c) = 0 ⇔ f ′(c) = d, y g′(a) < 0 < g′(b) ⇔ f ′(a) < d < f ′(b).

Ejemplo 10. Sea g : [−1, 1] → R definida como g(x) = −1 si−1 ≤ x < 0 y g(x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1. La funcion g no goza de lapropiedad del valor intermedio ya que, en el intervalo [−1, 1], solotoma los valores −1 y 1. Luego no existe f : [−1, 1] → R derivabletal que f ′ = g. Por otra parte, la funcion h : [−1, 1] → R, dada porh(x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) si x 6= 0 y h(0) = 0, que presentauna discontinuidad bastante complicada en el punto x = 0, es laderivada de la funcion f : [−1, 1] → R, f(x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0y f(0) = 0. En el Capıtulo 10 veremos que toda funcion continuag : [a, b] → R es la derivada de alguna funcion f : [a, b] → R, y enel Ejercicio 4.1 de este capıtulo se invita al lector a demostrar quesi g : [a, b] → R es discontinua en un punto c ∈ (a, b), donde existenlos lımites laterales lım

x→c−g(x) y lım

x→c+g(x), entonces no es posible

que g sea la derivada de una funcion f : [a, b] → R.

Teorema 6. (Rolle) Sea f : [a, b] → R continua con f(a) = f(b).Si f es derivable en (a, b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demostracion: Por el Teorema de Weierstrass, f alcanza su valormınimom y su valor maximoM en puntos de [a, b]. Si dichos puntosfuesen a y b entonces m = M y f serıa constante, luego f ′(x) = 0para cualquier x ∈ (a, b). Si uno de estos puntos, llamemosle c,estuviera en (a, b), entonces f ′(c) = 0.

Teorema 7. (Teorema del Valor Medio, de Lagrange) Seaf : [a, b] → R continua. Si f es derivable en (a, b), existe c ∈ (a, b)tal que f ′(c) = [f(b)− f(a)]/(b− a).

Demostracion: Consideremos la funcion auxiliar g : [a, b] → R,dada por g(x) = f(x) − dx, donde d es escogido de forma queg(a) = g(b), o sea, d = [f(b) − f(a)]/(b − a). Por el Teorema deRolle, existe c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0, esto es, f ′(c) = d =[f(b)− f(a)]/(b− a).

Un enunciado equivalente: Sea f : [a, a + h] → R continua yderivable en (a, a+h). Entonces existe un numero θ, 0 < θ < 1, talque f(a+ h) = f(a) + f ′(a+ θh) · h.

Corolario 1. Una funcion f : I → R, continua en el intervalo I,con derivada f ′(x) = 0 para todo x ∈ int I, es constante.

En efecto, dados cualesquiera x, y ∈ I, existe c comprendidoentre x e y tal que f(y)− f(x) = f ′(c)(y − x) = 0 · (y − x), luegof(x) = f(y).

Corolario 2. Si f, g : I → R son funciones continuas, derivablesen∫

I con f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ int I, entonces existe c ∈ Rtal que g > (x) = f(x) + c para todo x ∈ I.

En efecto, basta aplicar el Corolario 1 a la diferencia g − f .

Corolario 3. Sea f : I → R derivable en el intervalo I. Si existek ∈ R tal que |f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I entonces x, y ∈ I ⇒|f(y)− f(x)| ≤ k|y − x|.

En efecto, dados x, y ∈ I, f es continua en el intervalo cerrado deextremos x e y, y derivable en su interior. Luego existe z entre x e ytal que f(y)−f(x) = f ′(z)(y−x), de donde 1f(y)−f(x)| ≤ k|y−x|.

Corolario 4. Para que una funcion derivable f : I → R seamonotona creciente en el intervalo I es necesario y suficiente quef ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ I entoncesf es una biyeccion estrictamente creciente de I en un intervalo J ysu inversa g = f−1 : J → I es derivable, con g′(y) = 1/f ′(x) paratodo y = f(x) ∈ J .

En efecto, ya sabemos, por el Corolario 1 del Teorema 4, quesi f es monotona creciente entonces f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.Recıprocamente, si se cumple esta condicion entonces, para cuales-quiera x, y ∈ I, tenemos f(y)− f(x) = f ′(z)(y − x), donde z ∈ Iesta entre x e y. Como f ′(z) ≥ 0, vemos que f(y)− f(x) ≥ 0, estoes, x, y ∈ I, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y). De igual forma se ve que, supo-niendo f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, f es estrictamente creciente. Lasdemas afirmaciones son consecuencia del Teorema 5, Capıtulo 7, ydel corolario de la Regla de la Cadena (Teorema 3).

Ejemplo 11. El Corolario 3 es el recurso mas natural para versi una funcion es Lipschitziana. Por ejemplo, si p : R → R es unpolinomio entonces, para cada subconjunto acotado X ⊂ R, la res-triccion p|X es lipschitziana porque la derivada p′, al ser continua,esta acotada en el compacto X . Como toda funcion lipschitziana esuniformemente continua, se sigue del Teorema 12, Capıtulo 7, quesi la derivada de f : (a, b) → R esta acotada entonces existen los

lımites laterales lımx→a+

f(x) y lımx→b−

f(x). La derivada de la funcion

f : R+ → R, dada por f(x) = sen(1/x), no puede estar acotada enningun intervalo de la forma (0, δ) pues no existe lım

x→0+f(x).

5. Ejercicios

Seccion 1: La nocion de derivada

1. Demuestre que para que f : X → R sea derivable en el puntoa ∈ X ∩ X ′ es necesario y suficiente que exista una funcionη : X → R continua en el punto a tal que f(x) = f(a) +η(x)(x− a) para todo x ∈ X

2. Sean f, g, h : X → R tales que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) paratoodo x ∈ X . Si f y h son derivables en el punto a ∈ X ∩X ′,con f(a) = h(a) y f ′(a) = h′(a), demuestre que g es derivableen dicho punto y que g′(a) = f ′(a).

3. Sea f : X → R derivable en el punto a ∈ X ∩ X ′+ ∩ X ′

−. Sixn < a < yn para todo n y lımxn = lım yn = a, pruebe quelımn→∞

[f(yn)− f(xn)]/(yn−xn) = f ′(a). Interprete geometrica-

mente esta propiedad.

4. De un ejemplo de una funcion derivable f : R → R y desucesiones de puntos 0 < xn < yn, con lım xn = lım yn = 0,tales que no exista el lımite lım

n→∞[f(yn)− f(xn)]/(yn − xn).

5. Sea f : X → R derivable en el punto a ∈ X∩X ′+∩X ′

−. Pruebeque lım

h→0[f(a + h) − f(a − h)]/2h = f ′(a). De un ejemplo en

que dicho lımite exista y sin embargo f no sea derivable en elpunto a.

Seccion 2: Reglas de derivacion

1. Admitiendo que (ex)′ = ex y que lımy→+∞

ey/y = +∞, pruebe

que la funcion f : R → R, definida por f(x) = e−1/x2cuando

x 6= 0 y f(0) = 0, tiene derivada igual a cero en el puntox = 0, y que lo mismo ocurre con f ′ : R → R, f ′′, . . . yası sucesivamente.


2. Sea I un intervalo abierto. Una funcion f : I → R se dice declase C2 cuando es derivable y su derivada f ′ : I → R es declase C1. Pruebe que si f(I) ⊂ J y g : J → R es de clase C2

entonces la funcion compuesta g ◦ f : I → R es de clase C2.

3. Sea f : I → R de clase C2 con f(I) = J y f ′(x) 6= 0 para todox ∈ I. Calcule la derivada segunda de f−1

J → R y demuestreque f−1 es de clase C2.

4. Sea I un intervalo centrado en 0. Una funcion f : I → R sellama par cuando f(x) = f(−x) e impar cuando f(−x) =−f(x) para todo x ∈ I. Si f es par, sus derivadas de ordenpar (si existen) son funciones pares y sus derivadas de ordenimpar son funciones impares. En particular estas ultimas seanulan en el punto 0. Enuncie un resultado analogo para fimpar.

5. Sea f : R → R derivable, tal que f(tx) = tf(x) para cuales-quiera t, x ∈ R. Pruebe que existe c ∈ R tal que f(x) = c · xpara todo x ∈ R. En general, si f : R → R es k veces deriva-ble y f(tx) = tk · f(x) para cualesquiera t, x ∈ R, pruebe queexiste c ∈ R tal que f(x) = c · xk para todo x ∈ R.

Seccion 3: Derivada y crecimiento local.

1. Si f : R → R es de clase C1, demuestre que el conjunto desus puntos crıticos es cerrado. De un ejemplo de una funcionderivable f : R → R tal que 0 sea el lımite de una sucesionde puntos crıticos de f y sin embargo f ′(0) > 0.

2. Sea f : I → R derivable en el intervalo abierto I. Un puntocrıtico c ∈ I se llama no degenerado cuando f ′′(c) es diferentede cero. Pruebe que todo punto crıtco no degenerado es unpunto de maximo local o de mınimo local.

3. Si c ∈ I es un punto crıtico no degenerado de una funcion f :I → R, derivable en el intervalo abierto I, pruebe que existeδ > 0 tal que c es el unico punto crıtico de f en el intervalo(c − δ, c + δ). Concluya que en un conjunto compacto K ⊂I, donde todos los puntos crıticos de f son no degenerados,exiten como maximo un numero finito de estos.


4. Pruebe directamente (sin usar el ejercicio anterior) que si unpunto crıtico c de una funcion f : I → R es el lımite de unasucesion de puntos crıticos cn 6= c entonces f ′′(c) = 0.

5. Pruebe que el conjunto de los puntos de maximo o mınimolocal estricto de cualquier funci´´on f : R → R es numerable.

Seccion 4: Funciones derivables en un intervalo

1. Sea g : I → R continua en el intervalo abierto I, exceptoen el punto c ∈ I. Pruebe que si existen los lımites lateraleslımx→c−

g(x) = A y lımx→c+

g(x) = B, con A 6= B, entonces no

existe ninguna funcion derivable f : I → R tal que f ′ = g.

2. Sea f : R+ → R definida mediante f(x) = log x/x. Admitien-do que (log′)(x) = 1/x, indique los intervalos de crecimientoy decrecimiento de f , sus puntos crıticos y los lımites de fcuando x→ 0 y cuando x→ +∞.

3. Realice un estudio similar al del ejercicio anterior con la fun-cion g : R+ → R, definida por g(x) = ex/x; para esto admitaque (ex)′ = ex.

4. Suponiendo conocidas las reglas de derivacion de las funcio-nes seno y coseno, pruebe que sen : (−π/2, π/2) → (−1, 1),cos : (0, π) → (−1, 1) y tan = sen / cos : (−π/2, π/2) → R sonbiyecciones con derivadas 6= 0 en todo punto; calcule las deri-vadas de las funciones inversas arc sen : (−1, 1) → (π/2, π/2),arc cos : (−1, 1) → (0, π) y arctan : R → (−π/2, π/2).

5. Dada f derivable en el intervalo I, sean X = {f ′(x) : x ∈ I}e Y = {[f(y)− f(x)]/(y − x) : x 6= y y, x ∈ I}. El Teoremadel Valor Medio nos asegura que Y ⊂ X . De un ejemplo en elque Y 6= X . Pruebe que Y = X , concluya que supX = supYe ınfX = ınf Y .

6. Sea f : (a, b) → R acotada y derivable. Si no existe lımx→a+

f(x)

o lımx→b−

f(x), pruebe que, para todo c ∈ R, existe x ∈ (a, b) tal

que f ′(x) = c.


7. Sea f : [a, b] → R continua y derivable en el intervalo abierto(a, b), tal que f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f ′(x) = 0 so-lamente en un conjunto finito, pruebe que f es estrictamentecreciente.

8. Use el principio de los intervalos encajados para probar direc-tamente (sin usar el Teorema del Valor Medio) que si f : I →R es derivable, con f ′(x) = 0 en todo punto x del intervalo I,entonces f es constante.

9. Usando la tecnica del ejercicio anterior, pruebe que una fun-cion derivable f : I → R, tal que |f ′(x)| ≤ k para to-do x en el intervalo I, cumple la condicion de Lispschitz|f(y)− f(x)| ≤ k|y − x| para todo x, y ∈ I.

10. Sea f : [a, b] → R una funcion con derivada acotada en (a, b)que cumple la propiedad del valor intermedio (cfr. Ejercicio2.3, Capıtulo 7). Pruebe que f es continua.

11. Si f : I → R cumple |f(y) − f(x)| ≤ c|y − x|α para todox, y ∈ I, con α > 1 y c ∈ R, pruebe que f es constante.

12. Pruebe que si f : X → R es derivable y f ′ : X ∩ X ′ → Res continua en el punto a, entonces, para cualquier par desucesiones xn 6= yn ∈ X con lım xn = lım yn = a, se tienelım[f(yn)− f(xn)]/(yn − xn) = f ′(a).

9

Formula de Taylory aplicaciones de la derivada

Las aplicaciones mas elementales de la derivada, relacionadas conproblemas de maximos y mınimos, y la regla de L’Hopital, se en-cuentran ampliamente divulgadas en los libros de calculo. Aquı ex-pondremos dos aplicaciones, a saber, el estudio de las funcionesconvexas y el metodo de Newton.

1. Formula de Taylor

La n-esima derivada (o derivada de orden n) de una funcion f enel punto a se indicara con la notacion f (n)(a). Para n = 1, 2 y3 se escribe f ′(a), f ′′(a) y f ′′′(a), respectivamente. Por definicionf ′′(a) = (f ′)′(a), y ası sucesivamente: f (n)(a) = (f (n−1))′(a). Paraque f (n)(a) tenga sentido es necesario que f (n−1)(x) este definidaen un conjunto del que a sea punto de acumulacion y que sea deri-vable en el punto x = a. En todos lo casos que consideraremos talconjunto sera un intervalo. Cuando existe f (n)(x) para todo x ∈ I,se dice que la funcion f : I → R es derivable n veces en el intervaloI. Cuando f es derivable (n− 1) veces en un entorno de a y existef (n)(a) decimos que f : I → R es derivable n veces en el puntoa ∈ I.

Decimos que f : I → R es un funcion de clase Cn, y escribimosf ∈ Cn, cuando f es derivable n veces y, ademas, la funcion f (n) :I → R es continua. Cuando f ∈ Cn para todo n ∈ N, decimos quef es de clase C∞, y escribimos f ∈ C∞. Es conveniente considerarf como su propia “derivada de orden cero” y escribir f (0) = f .

117

118 Formula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9

Ası f ∈ C0 quiere decir que f es una funcion continua.

Ejemplo 1. Para n = 0, 1, 2, . . . sea fn : R → R definida mediantefn(x) = xn|x|. Entonces, fn(x) = xn+1 si x ≥ 0 y fn(x) = −xn+1

si x ≥ 0. Cada funcion fn es de clase Cn pues su n-esima derivadaes igual a (n+ 1)!|x|. Sin embargo fn no es derivable (n+ 1) vecesen el punto 0, luego no es de clase Cn+1. Las funciones de uso masfrecuente, tales como polinomios, funciones racionales, funcionestrigonometricas, exponenciales y logaritmo son de clase C∞.

Sea f : I → R definida en el intervalo I y derivable n veces en elpunto a ∈ I. El polinomio de Taylor de orden n de la funcion f enel punto a es el polinomio p(h) = a0+a1h+ · · · anhn (de grado ≤ n)cuyas derivadas de orden≤ n en el punto h = 0 coinciden con las de-rivadas del mismo orden de f en el punto a, esto es, p(i)(0) = f (i)(a),i = 0, 1, . . . , n. Ahora bien, las derivadas p(0)(0), p(1)(0), . . . , p(n)(0)determinan unıvocamente el polinomio p(h), pues p(i)(0) = i!ai. Portanto, el polinomio de Taylor de orden n de la funcion f en el puntoa es:

p(h) = f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!hn .

Si p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de la funcion f :I → R es el punto a ∈ I entonces la funcion r(h) = f(a+h)−p(h),definida en el intervalo J = {h ∈ R : a + h ∈ I}, es derivable nveces en el punto 0 ∈ J ; ademas r(0) = r′(0) = · · · = r(n)(0) = 0.

Lema 1. Sea r : J → R derivable n veces en el punto 0 ∈ J .Para que r(i) = 0, i = 0, 1, . . . , n, es necesario y suficiente quelımh→0

r(h)/hn = 0.

Demostracion: En primer lugar supongamos que las derivadasde r de orden menor o igual a n, se anulan en el punto 0. Paran = 1, esto quiere decir r(0) = r′(0) = 0. Entonces lım

h→0r(h)/h =

lımh→0

[r(h)− r(0)]/h = r′(0) = 0. Para n = 2 tenemos r(0) = r′(0) =

r′′(0) = 0. Por lo que acabamos de ver esto implica lımx→0

r′(x)/x = 0.

El Teorema del Valor Medio nos asegura que, para todo h 6= 0,existe x en el intervalo de extremos 0 y h tal que r(h)/h2 = [r(h)−r(0)]/h2 = r′(x)h/h2 = r′(x)/h. Por consiguente, lım

h→0r(h)/h2 =

Seccion 1 Formula de Taylor 119

lımh→0

r′(x)/h = lımh→0

[r′(x)/x][x/h] = 0, pues h → 0 implica x → 0

y, ademas. |x/h| ≤ 1. El mismo argumento nos permite pasar den = 2 a n = 3 y ası sucesivamente. Recıprocamente, supongamosque lım

h→0r(h)/hn = 0. De aquı resulta que, para i = 0, 1, . . . , n,

lımh→0

r(h)/hi = lımh→0

(r(h)/hn)hn−i = 0. Por tanto r(0) = lımh→0

r(h) =

lımh→0

r(h)/h0 = 0. Ademas, r′(0) = lımh→0

r(h)/h = 0. Respecto a r′′(0)

consideremos la funcion auxiliar ϕ : J → R, definida como ϕ(h) =r(h) − r′′(0)h2/2. Evidentemente, ϕ(0) = ϕ′(0) = ϕ′′(0) = 0. Dela parte del lema ya demostrada se deduce que lım

h→0ϕ(h)/h2 = 0.

Como ϕ(h)/h2 = r(h)/h2−r′′(0)/2 y sabemos que lımh→0

r(h)/h2 = 0,

resulta que r′′(0) = 0. El mismo argumento nos permite pasar den = 2 a n = 3, y ası sucesivamente.

Teorema 1. (Formula de Taylor infinitesimal) Sea f : I → Rn veces derivable en el punto a ∈ I. La funcion r : J → R, definidaen el intervalo J = {h ∈ R : a+ h ∈ I} mediante la igualdad

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ f ′′(a)

2!· h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!· hn + r(h) ,

cumple lımh→0

r(h)/hn = 0. Recıprocamente, si p(h) es un polinomio

de grado ≤ n tal que r(h) = f(a+h)−p(h) cumple lımh→0

r(h)/hn = 0,

entonces p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de f en el puntoa, esto es,

p(h) =n∑

i=0

f (i)(a)

i!· hi .

Demostracion: La funcion r, definida a partir de la formula deTaylor, es n veces derivable en el punto 0 y sus derivadas, hastala de orden n, son nulas en dicho punto. Luego, por el Lema, setiene lım

h→0r(h)/hn = 0. Recıprocamente, si r(h) = f(a + h) − p(h)

es tal que lım r(h)/hn = 0 entonces, de nuevo por el Lema, lasderivadas, hasta la de orden n, de r en el punto 0 son nulas, luegop(i)(0) = f (i)(a) para i = 0, 1, . . . , n, o sea, p(h) es el polinomio deTaylor de orden n de la funcion f en el punto a.

Ejemplo 2. Sea f : I → R n veces derivable en el punto a ∈ int Iy tal que f (i)(a) = 0 para 1 ≤ i < n y f (n)(a) 6= 0. Si n es par,

entonces f posee un mınimo local estricto en el punto a siempreque f (n)(a) > 0, un maximo local estricto siempre que f (n)(a) < 0.Si n es impar entonces a no es punto ni de mınimo ni de maximolocal. En efecto, en este caso podemos escribir la formula de Taylorcomo

f(a+ h)− f(a) = hn[

f (n)(a)

n!+r(h)

hn

]

.

Por la definicion de lımite existe δ > 0 tal que para a + h ∈ I,0 < |h| < δ, la suma de los terminos dentro de los corchetes tiene elmismo signo que f (n)(a). Como a ∈ intI, podemos tomar δ de modoque |h| < δ → a+h ∈ I. Entonces, cuando n es par y f (n)8a) > 0, ladiferencia f(a+h)−f(a) es positiva siempre que 0 < |h| < δ, luegof posee un mınimo local estricto en el punto a. Analogamente, sin es par y f (n)(a) < 0, la diferencia f(a + h) − f(a) es negativacuando 0 < |h| < δ, luego f tiene un maximo local en el punto a.Finalmente, si n es impar, el factor hn tiene el mismo signo que h,luego la diferencia f(a+ h)− f(a) cambia de signo cuando h ası lohace, luego f no tiene ni un maximo ni un mınimo local en el puntoa.

Ejemplo 3. (De nuevo la Regla de L’Hopital) Sean f, g :I → R n veces derivables en el punto a ∈ I, con derivadas nulas endicho punto hasta la de orden n− 1. Si g(n)(a) 6= 0 entonces

lımx→a

f(x)

g(x)=f (n)(a)

g(n)(a).

En efecto, por la formula de Taylor, tenemos

f(a+ h) = hn[

f (n)(a)

n!+r(h)

hn

]

y

g(a+ h) = hn[

g(n)(a)

n!+s(h)

hn

]

,

donde lımh→0

r(h)

hn= lım

h→0

s(h)

hn= 0. Por tanto

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

h→0

f(a+ h)

g(a+ h)= lım

h→0

f(n)(a)n!

+ r(h)hn

g(n)(a)n!

+ s(h)hn

=f (n)(a)

g(n)(a).

Seccion 2 Funciones concavas y convexas 121

La formula de Taylor infinitesimal se denomina ası porque soloafirma algo cuando h → 0. A continuacion daremos otra versionde esta formula donde se calcula de forma aproximada el valor def(a + h) para h fijo. Esta es una generalizacion del Teorema delValor Medio de Lagrange. Igual que en aquel teorema, se trata deun resultado de caracter global, donde se supone que f es n vecesderivable en todos los puntos del intervalo (a, a+ h).

Teorema 2. (Formula de Taylor, con resto de Lagrange.)Sea f : [a, b] → R derivable n veces en el intervalo abierto (a, b) yf (n−1) continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

f(b) = f(a)+f ′(a)(b−a)+· · ·+f(n−1)(a)

(n− 1)!(b−a)n−1+

f (n)(c)

n!(b−a)n .

Escribiendo b = a+ h, esto quiere decir que existe θ, 0 < θ < 1, talque

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ ·+ f (n−1)(a)

(n− 1)!hn−1 +

f (n)(a + θh)

n!hn .

Demostracion: Sea ϕ : [a, b] → R definida mediante

ϕ(x) = f(b)−f(x)−f ′(x)(b−x)−· · ·−f(n−1)(x)

(n− 1)!(b−x)n−1−K

n!(b−x)n,

donde la constante K se escoge de forma que ϕ(a) = 0. Entoncesϕ es continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Seve facilmente que

ϕ′(x) =K − f (n)(x)

(n− 1)!(b− x)n−1 .

Por el Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0. Estosignifica que K = f (n)(c). Ahora el Teorema 2 se obtiene haciendox = a en la definicion de ϕ y recordando que ϕ(a) = 0.

2. Funciones concavas y convexas

Si a 6= b, la recta que une los puntos (a, A) y (b, B) en el planoR2 es el conjunto de los puntos (x, y) tales que

y = A+B − a

b− a(x− a) ,

o equivalentemente

y = B +B − A

b− a(x− b) .

a x b

f(a)

f(x)

f(b)

Cuando se tiene una funcion f : X → R, definida en un conjuntoX ⊂ R, dados a, b ∈ X , la recta que une los puntos (a, f(a)) y(b, f(b)) del grafico de f se llama secante ab.

Sea I ⊂ R un intervalo. Una funcion f : I → R se llama conve-xa cuando su grafico esta situado debajo de cualquier secante. Deforma mas precisa, la convexidad de f se expresa como sigue:

a < x < b en I ⇒ f(x) ≤ f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) ,

o sea

a < x < b en I ⇒ f(x) ≤ f(b) +f(b)− f(a)

b− a(x− b) .

Por tanto, f : I → R es convexa en el intervalo I si, y solo si,se cumplen las desigualdaddes fundamentales:

(∗) a < x < b en I ⇒ f(x)− f(a)

x− a≤ f(b)− f(a)

b− a≤ f(x)− f(b)

x− b.

Una cualquiera de las dos desigualdades anteriores implica laotra. Significa que, si a < x < b, la secante ax tiene menor pendienteque la secante ab y esta, a su vez, tiene menor pendiente que lasecante xb.

Teorema 3. Si f : I → R es convexa en el intervalo I entoncesexisten las derivadas laterales f ′

+(c) y f′−(c) en todo punto c ∈ intI.

Demostracion: En virtud de las observaciones que acabamos dehacer la funcion ϕc(x) =

f(x)−f(c)x−c

es monotona creciente en el inter-valo J = I ∩ (c,+∞). Ademas, como c ∈ int I, existe a ∈ I, tal quea < c. Por tanto, ϕc(x) ≥ [f(a) − f(c)]/(a − c) para todo x ∈ J .Ası, la funcion ϕc : J → R esta acotada inferiormente. Luego existeel lımite por la derecha f ′

+(c) = lımx→c+

ϕc(x). Para la derivada por la

izquierda usamos un razonamiento semejante.

Corolario 5. Una funcion convexa f : I → R es continua en todopunto del interior del intervalo I.

Observese que f : [0, 1] → R, definida por f(0) = 1 y f(x) = 0si 0 < x ≤ 1, es convexa y sin embargo discontinua en el punto 0.

Teorema 4. Las siguiente afirmaciones sobre la funcion f : I → R,derivable en el intervalo I, son equivalentes:

(1) f es convexa.

(2) La derivada f ′ : I → R es monotona creciente.

(3) Para cualesquiera a, x ∈ I se tiene f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x− a),o sea, el grafico de f esta situado encima de sus tangentes.

Demostracion: Probaremos las implicaciones (1)⇒(2)⇒(3)⇒(1).(1)⇒(2). Sean a < x < b en I. Haciendo primero x → a+, ydespues x → b−, en las desigualdades fundamentales (∗), se tienef ′+(a) ≤ [f(b)−f(a)]/(b−a) ≤ f ′

−(b). Luego a < b⇒ f ′(a) ≤ f ′(b).

(2)⇒(3). Consideremos a < x en I. Por el Teorema del Valor Me-dio existe z ∈ (a, x) tal que f(x) = f(a) + f ′(z)(x − a). Comof ′ es monotona creciente, tenemos f ′(z) ≥ f ′(a). Luego f(x) ≥f(a)+f ′(a)(x−a). En el caso x < a se usa un razonamiento analo-go.

(3)⇒(1). Sean a < c < b en I. Escribimos α(x) = f(c)+ f ′(c)(x− cy llamamos H = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ α(x)} al semiplano superiorlimitado por la recta tangente al grafico de f en el punto (c, f(c)),y = α(x). Evidentemente, H es un subconjunto convexo del plano,esto es, el segmento que une dos puntos cualesquiera de H esta con-tenido en H . La hipotesis (3) nos asegura que los puntos (a, f(a))

y (b, f(b)) pertenecen a H . En particular, el punto de dicho seg-mento que tiene abcisa c pertenece a H , esto es, tiene ordenada≥ α(c) = f(c). Esto significa que f(c) ≤ f(a) + f(b)−f(a)

b−a(c − a).

Como a < c < b son puntos cualesquiera de I, la funcion f esconvexa.

Corolario 1. Todo punto crıtico de una funcion convexa es unpunto de mınimo absoluto.

c a x

Fig. 6 - La funcion f : R+ → R, dada por f(x) = x2

16+ 1

x,

es convexa. Su punto crıtico c = 2 es un mınimo absoluto.Su grafico esta situado encima de sus tangentes.

En efecto, decir que a ∈ I es un punto crıtico de la funcionf : I → R equivale a afirmar que f tiene derivada nula en dichopunto. Si f es convexa y a ∈ I es un punto crıtico de f entoncesla condicion (3) de arriba nos asegura que f(x) ≥ f(a) para todox ∈ I, luego a es un punto mınimo absoluto de f .

Corolario 2. Una funcion dos veces derivable en el intervalo I,f : I → R, es convexa si, y solo si, f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.

En efecto, f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I equivale a afirmar quef ′ : I → R es monotona creciente.

Una funcion f : I → R se dice concava cuando −f es convexa,esto es, cuando el grafico de f esta encima de sus secantes. Lasdesigualdades que caracterizan a una funcion concava son analogasa las de (∗) de arriba, con≥ en vez de≤. En cada punto interior a desu dominio existen las derivadas laterales de una funcion concava,

luego la funcion es continua en dichos puntos. Una funcion derivablees concava si, y solo si, su derivada es monotona decreciente. Unafuncion dos veces derivable es concava si, y solo si, su derivadasegunda es ≤ 0. Una funcion derivable es concava si, y solo si, suderivada segunda es ≤ 0. Una funcion derivable es concava si, ysolo si, su grafico esta situado debajo de sus tangentes. Todo puntocrıtico de una funcion concava es un punto de maximo absoluto.

Existen tambien las nociones de funcion estrictamente convexay estrictamente concava, donde se exige que

a < x en vez de < en el caso concavo. Estacondicion impide que el grafico de f posea partes rectilıneas. Laconvexidad estricta implica que f ′ es estrictamente creciente, perono implica f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I. No obstante, f ′′(x) > 0para todo x ∈ I ⇒ f ′ estrictamente creciente ⇒ f estrictamenteconvexa.

Ejemplo 4. Para todo n ∈ N la funcion f : R → R, f(x) = x2n esestrictamente convexa, pero f ′′(x) = 2n(2n−1)x2n−2 se anula en elpunto x = 0. La funcion exponencial f(x) = ex es (estrictamente)convexa, mientras que log x (si x > 0) es concava. La funcion g :R− {0} → R, g(x) = 1/x, es concava si x < 0 y convexa si x > 0.

Los puntos x del intervalo [a, b] se escriben de forma unica, comox = (1 − t)a + tb, con 0 ≤ t ≤ 1. En efecto, esta igualdad esequivalente a t = (x − a)/(b − a). El segmento de recta que unelos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en el plano, el punto de abscisa x =(1 − t)a + tb tiene como ordenada (1 − t)f(a) + tf(b). Por tanto,una funcion es convexa si, y solo si,

a, b ∈ I, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ f((1− t)a+ tb) ≤ (1− t)f(a) + tf(b) .

Equivalentemente, f : I → R es convexa si, y solo si, paracualesquiera a1, a2 ∈ I y t1, t2 ∈ [0, 1] tales que t1 + t2 = 1, se tiene

f(t1a1 + t2a2) ≤ t1f(a1) + t2f(a2) .

Ahora consideremos f : I → R convexa, a1, a2, a3 ∈ I y t1, t2, t3 ∈[0, 1], con t1 + t2 + t3 = 1. Afirmamos que

f(t1a1 + t2a2 + t3a3) ≤ t1f(a1) + t2f(a2) + t3f(a3) .


En efecto, esta desigualdad es obvia si t1 = t2 = 0 y t3 = 1. Noobstante, si t1 + t2 6= 0, podemos escribir

t1a1 + t2a2 + t3a3 = (t1 + t2)

[

t1t1 + t2

a1 +t2

t1 + t2a2

]

+ t3a3 .

Como

(t1 + t2) + t3 = 1 yt1

t1 + t2+

t2t1 + t2

= 1 ,

aplicando dos veces el caso ya conocido, en el que se tiene dossumandos, resulta la desigualdad que queremos obtener.

Analogamente, si f : I → R es convexa, entonces, dados a1, . . . , an ∈I y t1, . . . , tn ∈ [0, 1] tales que t1 + · · ·+ tn = 1, se tiene

f(t1a1 + · · ·+ tnan) ≤ t1f(a1) + · · ·+ tnf(an) .

Este resultado aplicado a la funcion convexa f(x) = exp(x), cont1 = t2 = · · · = tn = 1/n, a1 = log x1, . . . , an = log xn, nos da, paracualesquiera n numeros reales positivos x1, . . . , xn, la desigualdad

n√x1x2 · · ·xn = n

√ea1ea2 · · · ean

= exp

(

a1 + · · ·+ ann

)

= f(t1a1 + · · ·+ tnan)

≤ t1f(a1) + · · ·+ tnf(an)

=ea1 + · · ·+ ean

n=x1 + · · ·+ xn

n,

o sea:n√x1x2 · · ·xn ≤ x1 + · · ·+ xn

n.

Esta es la desigualdad clasica entre las medias aritmeticas y geometri-ca.

En general, el mismo metodo sirve para demostrar la desigual-dad:

xt11 · xt22 · · ·xtnn ≤ t1x1 + t2x2 + · · ·+ tnxn

validas para numeros mayores o iguales a x1, . . . , xn y t1, . . . , tntales que t1 + t2 + · · · + tn = 1. La desigualdad anterior entre lasmedias aritmeticas y geometrica corresponde al caso particular t1 =· · · = tn = 1/n.

Seccion 3 Aproximaciones sucesivas y el metodo de Newton 127

3. Aproximaciones sucesivas y el metodo de Newton

Se dice que una funcion f : X → R es una contraccion cuandoexiste una constante k ∈ [0, 1) tal que |f(y)− f(x)| ≤ k|y−x| paracualesquiera x, y ∈ X . Los ejemplos mas comunes de contraccionesson las funciones f : I → R, derivables en el intervalo I, tales que|f ′(x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ I. Evidentemente, toda contracciones una funcion uniformemente continua.

Teorema 5. (Punto fijo de las contracciones) Si X ⊂ R escerrado entonces toda contraccion f : X → X posee un unico puntofijo. De forma mas precisa, dado cualquier x0 ∈ X , la sucesion delas aproximaciones sucesivas

x1 = f(x0), x2 = f(x1), . . . , xn+1 = f(xn), . . .

converge para el unico punto a ∈ X tal que f(a) = a.

Demostracion: Sea |f(y) − f(x)| ≤ k|y − x| para cualesquierax, y ∈ X , donde 0 ≤ k < 1. Entonces |xn+1 − xn| ≤ k|xn − xn−1|,luego, por el Criterio de dAlembert, la serie s =

∑∞n=1(xn−xn−1) es

absolutamente convergente. Ahora bien, la suma de los n primerosterminos de esta serie es sn = xn − x0. De lım sn = s se siguelım xn = s+x0 = a. Como el conjunto X es cerrado se tiene a ∈ X .Haciendo n→ ∞ en la igualdad xn+1 = f(xn), como f es continua,se obtiene a = f(a). Finalmente, si a = f(a) y b = f(b) entonces|b − a| = |f(b) − f(a)| ≤ k|b − a|, o sea, (1 − k)|b − a| ≤ 0. Como1 − k > 0, concluimos que a = b, luego el punto fio a ∈ X esunico.

Ejemplo 5. La funcion f : R → R, dada por f(x) =√1 + x2,

no tiene ningun punto fijo, pues f(x) > x para todo x ∈ R. Suderivada f ′(x) = x/

√x2 + 1 cumple |f ′(x)| < 1, luego se tiene

|f(y) − f(x)| < |y − x| para cualesquiera x, y ∈ R. Este ejemplodemuestra que solamente la condicion |f(y)− f(x)| < |y− x| no essuficiente para obtener un punto fijo.

Ejemplo 6. La funcion f : [1,+∞) → R, dada por f(x) = x/2,es una contraccion; sin embargo, no tiene ningun punto fijo a ∈[1,+∞). Esto demuestra que en el metodo de las aproximacionessucesivas es esencial verificar que la condicion f(X) ⊂ X se cumple.En este ejemplo, no se tiene f([1,+∞)) ⊂ [1,+∞).


Ejemplo 7. f : (0, 1) → (0, 1), dada por f(x) = x/2, tiene derivadaf ′(x) = 1/2; sin embargo no posee ningun punto fijo, pues (0, 1) noes cerrado.

Una aplicacion importante del metodo de las aproximacionessucesivas es el llamado metodo de Newton para la obtencion deaproximaciones de una raız de la ecuacion f(x) = 0. En este metodose tiene una funcion f : I → R de clase C1 en el intervalo I, tal quef ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, se toma un valor inicial x0 y se escribe

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0),

x2 = x1 −f(x1)

f ′(x1),

...

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn), etc.

Cuando la sucesion (xn) converge, su lımite a es una raız de laecuacion f(x) = 0 pues, haciendo n→ ∞ en la igualdad

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn),

resulta a = a− f(a)/f ′(a), de donde f(a) = 0.El metodo de Newton resulta al observar que las raıces de la

ecuacion f(x) = 0 son los puntos fijos de la funcion N = Nf : I →R, definida mediante

N(x) = x− f(x)

f ′(x).

El numero N(x) = x − f(x)/f ′(x) es la abscisa del punto enque la tangente al grafico de f en el punto (x, f(x)) intersecta aleje horizontal. La idea que motiva el metodo de Newton es que, si latangente es una aproximacion de la curva, entonces su interseccioncon el eje x es una aproximacion del punto de interseccion de lacurva con dicho eje, esto es, el punto x tal que f(x) = 0.

Es facil dar ejemplos en los que la sucesion (xn) de las aproxi-maciones del metodo de Newton no converge: es suficiente tomaruna funcion, como por ejemplo f(x) = ex, que no alcance el valor0.

Seccion 3 Aproximaciones sucesivas y el metodo de Newton 129

y

x

y = f(x)

0 x0x1x2

f(x0)

f(x1)

Fig. 7 - Como la pendiente de la tangente es f ′(x) =f(x0)/(x0 − x1), se sigue que x1 = x0 − f(x0)/f

′(x0)

Incluso en el caso en que la ecuacion f(x) = 0 tenga una raız real lasucesion (xn) puede ser divergente, por ejemplo si x0 se toma lejosde la raız.

Existen, evidentemente, infinitas funciones cuyos puntos fijosson las raıces de la ecuacion f(x) = 0. La importancia de la fun-cion N(x) reside en la rapidez con que las aproximaciones sucesivasconvergen a la raız a de la ecuacion f(x) = 0 (cuando convergen):cada xn+1 = N(xn) es una aproximacion de a cerca del doble de losdıgitos decimales exactos de xn. (Vea el Ejemplo 9).

A continuacion demostraremos que si la derivida segunda def : I → R es continuam f ′′ : I → R y f ′(x) 6= 0 para todox ∈ I, entonces cada punto a ∈ I tal que f(a) = 0 tiene un entornoJ = [a − δ, a + δ] tal que, comenzando con cualquier valor inicialx0 ∈ J , la sucesion de puntos (xn+1) = N(xn) converge a a.

En efecto, la derivada N ′(x) = f(x)f ′′(x)/f ′(x)2 se anula en elpunto x = a. ComoN ′(x) es continua, si fijamos cualquier k ∈ (0, 1)obtendremos δ > 0 tal que J = [a− δ, a+ δ] ⊂ I y |N ′(x)| ≤ k < 1para todo x ∈ J . Afirmamos que x ∈ J ⇒ N(x) ∈ J . De hecho,x ∈ J ⇒ |N(x) − N(a)| ≤ k|x − a| < |x − a| ≤ δ ⇒ N(x) ∈ J .Por tanto, N : J → I es una contraccion. Luego la sucesion x1 =N(x0), . . . , xn+1 = N(xn) converge al unico punto fijo a ∈ J de lacontraccion N .


-x0-1/2

x0 1/2

Fig. 8 - La funcion f : [−1/2, 1/2] → R, dada por f(x) =x− x3, se anula si x = 0. Los valores aproximados de estaraız por el metodo de Newton, cuando el valor inicial es

x0 =√5/5, son sucesivamente x0,−x0, x0,−x0, etc. Ası,

el metodo no converge.

Ejemplo 8. (Calculo aproximado de n√n). Dado c > 0 y n ∈

N, consideremos el intervalo I = [ n√c,+∞) y la funcion f : I → R,

dada por f(x) = xn−c. Como f ′(x) = nxn−1, la funcion de NewtonN : I → R es de la forma N(x) = 1

n[(n − 1)x + c/xn−1]. Ası,

para todo x > 0, N(x) es la media aritmetica de los n numerosx, x, . . . , x, c/xn−1. Como la media geometrica de estos n numeroses n

√c, concluımos que N(x) ≥ n

√c para todo x > 0. En particular,

x ∈ I ⇒ N(x) ∈ I. Ademas N ′(x) = n−1n(1 − c/xn), luego 0 ≤

N ′(x) ≤ (n− 1)/n para todo x ∈ I. Esto demuestra que N : I → Ies una contraccion. Por tanto, tomando cualquier x0 > 0, tenemosN(x0) = x1 ∈ I y las aproximaciones sucesivas xn+1 = N(xn)convergen (rapidamente) a n

√c.

Ejemplo 9. (El metodo de Newton converge cuadratica-mente.) Consideremos f : I → R de clase C2 en el intervaloI, tal que |f ′′(x)| ≤ A y |f ′(x)| ≥ B para todo x ∈ I, dondeA y B son constantes positivas. Acabamos de ver que, si toma-mos la aproximacion inicial x0 suficientemente cerca de un puntoa tal que f(a) = 0, la sucesion de las aproximaciones de Newtonxn+1 = xn−f(xn)/f ′(xn) converge a a. A continuacion usaremos elTeorema 2 para obtener una comparacion entre los errores |xn+1−a|y |xn − a|. Existe un numero c comprendido entre a y xn tal que:

0 = f(a) = f(xn) + f ′(xn)(a− xn) +f ′′(c)

2(a− xn)

2 .

Entonces

f ′(xn)xn − f(xn)− f ′(xn)a =f ′′(c)

2(xn − a)2 .

Dividiendo por f ′(xn) obtenemos:

xn −f(xn)

f ′(xn)− a =

f ′′(c)

2f ′(xn)(xn − a)2 ,

esto es,

xn+1 − a =f ′′(c)

2f ′(xn)(xn − a)2 .

De donde, inmediatamente, se tiene |xn+1−a| ≤ A2B

|xn−a|2. Cuando|xn−a| < 1, el cuadrado |xn−a|2 es mucho menor, lo que muestra larapidez de la convergencia en el metodo de Newton. Por ejemplo, sif(x) = xn− c tenemos f ′′/2f ′ = (n−a)/2x. Por tanto, si queremoscalcular valores aproximados de n

√c, donde c > 1, podemos empezar

con x0 > 1 y siempre tendremos |xk+1 − n√c| ≤ n−1

2|xk − n

√c|2. Si

n ≤ 3 se tiene |xk+1− n√c| ≤ |xk − n

√c|2. Luego si xk tiene p dıgitos

decimales exactos entonces xk+1 tiene 2p.

5. Ejercicios

Seccion 1: Formula de Taylor

1. Use la igualdad

1

(1− x)= 1 + x+ · · ·+ xn +

xn+1

(1− x)

y la formula de Taylor infinitesimal para calcular las derivadassucesivas en el punto x = 0, de la funcion f : (−1, 1) → R,dada por f(x) = 1/(1− x).

2. Sea f : R → R definida por f(x) = x5/(1 + x6). Calcule lasderivadas de orden 2001 y 2003 de f en el punto x = 0.

3. Sea f : I → R de clase C∞ en el intervalo I. Supongamosque existe k > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ k para todo x ∈ I yn ∈ N. Pruebe que para cualesquiera x0, x ∈ I se tiene f(x) =∑∞

n=0f(n)(x)

n!(x− x0)

n.

132 Formila de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9

4. Usando la formula de Taylor con resto de Lagrange demuestreque f ′′ ≥ 0 ⇒ f convexa.

5. Sea f : I → R de clase C2 en el intervalo I. Dado a ∈ I definala funcion ϕ : I → R como ϕ(x) = [f(x) − f(a)]/(x − a) six 6= a y ϕ(a) = f ′(a). Pruebe que ϕ es de clase C1. Demuestreque f ∈ C3 ⇒ ϕ ∈ C2.

6. Sea p : R → R un polinomio de grado n. Pruebe que paracualesquiera a, x ∈ R se tiene:

p(x) = p(a) + p′(a)(x− a) + · · ·+ p(n)(a)

n!(x− a)n .

7. Sean f, g : I → R dos veces derivables en el punto a ∈ int I.Si f(a) = g(a), f ′(a) = g′(a) y f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ I,demuestre que f ′′(a) ≥ g′′(a).

Seccion 2: Funciones concavas y convexas

1. Sean f : I → R y g : J → R funciones convexas tales quef(I) ⊂ J y g monotona creciente. Pruebe que g ◦ f es con-vexa. De otra demostracion suponiendo que f y g son dosveces derivables. Demuestre mediante un ejemplo que si g noes monotona creciente el resultado no es necesariamente ver-dadero.

2. Si f : I → R posee un punto crıtico no degenerado c ∈ int Ien el que f ′′ es continua, demuestre que existe δ > 0 tal quef es convexa o concava en el intervalo (c− δ, c+ δ).

3. Analice la convexidad de la suma y el producto de dos fun-ciones convexas.

4. Una funcion f : I → R, definida en el intervalo I, se llamaquasi-convexa (respectivamente, quasi-concava) cuando, paratodo c ∈ R, el conjunto {x ∈ I : f(x) ≤ c} (respectivamen-te, {x ∈ I : f(x) ≥ c}) es vacıo o es un intervalo. Pruebeque toda funcion convexa (respectivamente, concava es quasi-convexa (respectivamente, quasi-concava) y que toda funcionmonotona es, simultaneamente, quasi-convexa y quasi-conca-va.

5. Pruebe que f : I → R es quasi-convexa si, y solo si, pa-ra todo x, y ∈ I y t ∈ [0, 1], se tiene f((1 − t)x + ty) ≤max{f(x), f(y)}. Enuncie el resultado analogo para f quasi-concava.

6. Sea f : [a, b] → R una funcion continua quasi-convexa, cu-yo valor mınimo se alcanza en el punto c ∈ [a, b]. Pruebeque si c = a entonces f es monotona creciente, si c = b, fes monotona decreciente, y, finalmente, si a < c < b, f esmonotona decreciente en [a, c] y monotona creciente en [c, b].Enuncie un resultado analogo para f quasi-concava. Concluyaque una funcion continua f : [a, b] → R es quasi-convexa si, ysolo si, existe c ∈ [a, b] tal que f es monotona decreciente enel intervalo [a, c] y monotona creciente en el intervalo [c, b].

7. Para cada n ∈ N, sea fn : I → R una funcion convexa. Supon-ga que la sucesion de numeros (fn(x))n∈N converge para todox ∈ I. Pruebe que la funcion f : I → R, definida median-te f(x) = lım

n→∞fn(x) es convexa. Pruebe resultados analogos

para funciones quasi-convexas, concavas y quasi-concavas.

8. Sea f : [a, b] → R una funcion continua y convexa tal quef(a) < 0 < f(b). Pruebe que existe un unico punto c ∈ (a, b)tal que f(c) = 0.

Seccion 3: Aproximaciones sucesivas. Metodo de Newton

1. Sean I = [a − δ, a + δ] y f : I → R tal que |f(x) − f(y)| ≤k|x−y|, donde 0 ≤ k < 1. Pruebe que si |f(a)−a| ≤ (1−k)δentonces existe un unico x ∈ I tal que f(x) = x.

2. Defina f : [0,+∞) → [0,+∞) mediante f(x) = 2−x/2. De-muestre que f es una contraccion y que si a es su unico puntofijo entonces −a es la raız negativa de la ecuacion x2 = 2x. Useel metodo de las aproximaciones sucesivas y una calculadorapara obtener el valor de a con 8 dıgitos decimales exactos.

3. Sea I = [a− δ, a + δ]. Si la funcion f : I → R es de clase C2,con f ′(x) 6= 0 y f(x)f ′′(x)/f ′(x)2| ≤ k < 1 para todo x ∈ I, y|f(a)/f ′(a9| < (1− k)δ, pruebe que entonces, para cualquiervalor inicial x0 ∈ I, el metodo de Newton converge hacia launica raız x ∈ I de la ecuacion f(x) = 0.

134 Formila de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9

4. Dado a > 1, considere la funcion f : [0,+∞) → R, dada porf(x) = 1/(a + x). Pruebe que, dado cualquier x0 > 0, la su-cesion definida inductivamente como x1 = f(x0), . . . , xn+1 =f(xn), converge a la raız positiva c de la ecuacion x

2+ax−1 =0. (Cfr. Ejercicio 3.6, Capıtulo 3).

5. Pruebe que 1, 0754 es un valor aproximado, con 4 dıgitos deci-males exactos, de la raız positiva de la ecuacion x6+6x−8 = 0.

6. Sea f : [a, b] → R convexa y dos veces derivable. Si f(a) <0 < f(b), pruebe que comenzando con un punto x0 ∈ [a, b] talque f(x0) > 0, el metodo de Newton siempre converge a launica raız x ∈ [a, b] de la ecuacion f(x) = 0.

10

La integralde Riemann

Las nociones de derivada e integral constituyen los dos conceptosmas importantes del Analisis Matematico. Mientras que la derivadacorresponde a la nocion geometrica de tangente y a la idea fısicade velocidad, la integral esta asociada a la nocion geometrica dearea y a la idea fısica de trabajo. Es un hecho notable de sumaimportancia que estas dos nociones, aparentemente tan distintas,esten ıntimamente relacionadas.

1. Revision de sup e ınf

Demostraremos, para su uso inmedianto, algunos resultados ele-mentales sobre supremos e ınfimos de conjuntos de numeros reales.

Dada una funcion acotada f : X → R, recordemos que sup f =sup f(X) = sup{f(x) : x ∈ X} e ınf f = ınf f(X) = ınf{f(x) : x ∈X}. Todos los conjuntos que consideraremos a continuacion seranno vacıos.

Lema 1. Sean A,B ⊂ R tales que, para todo x ∈ A e y ∈ B, setiene x ≤ y. Entonces supA ≤ supB. Para que supA = ınf B esnecesario y suficiente que, para todo ε > 0, existan x ∈ A e y ∈ Btales que y − x < ε.

Demostracion: Cada y ∈ B es una cota superior de A, luegosupA ≤ y. Lo que demuestra que supA es una cota inferior de By por tanto supA ≤ ınf B. Si tuviesemos la desigualdad estricta

135

136 La integral de Riemann Cap. 10

supA < ınf B; entonces ε = ınf B − supA > 0 e y − x ≥ ε paracualesquiera x ∈ A e y ∈ B. Recıprocamente, si supA = ınf Bentonces, dado ε > 0, supA − ε/2 no es una cota superior de Ae ınf B + ε/2 no es una cota inferior de B, luego existen x ∈ A ey ∈ B tales que supA−ε/2 < x ≤ supA = ınf B ≤ y < ınf B+ε/2.Por lo tanto y − x < ε.

Lema 2. Sean A y B conjuntos acotados y c ∈ R. Entonces losconjuntos A+B = {x+ y : x ∈ A, y ∈ B} y c · A = {c · x : x ∈ A}tambien son acotados. Ademas, se tiene sup(A + B) = supA +supB, ınf(A+B) = ınf A+ınf B, sup(c·A) = c·supA y ınf(c·A) =c ınf A, cuando c ≥ 0. Si c < 0 entonces, sup(c · A) = c · ınf A eınf(c · A) = c · supA.Demostracion: Escribiendo a = supA y b = supB, para todox ∈ A e y ∈ B se tiene x ≤ a e y ≤ b, luego x + y ≤ a + b. Portanto, a + b es una cota superior de A + B. Ademas, dado ε > 0,existen x ∈ A e y ∈ B tales que a−ε/2 < x y b−ε/2 < y, de dondea + b − ε < x + y. Lo que demuestra que a + b es la menor cotasuperior de A+B, o sea, sup(A+B) = supA+supB. La igualdadsup(c · A) = c · supA es obvia si c = 0. Si c > 0, dado cualquiernumero d menor que c · a tenemos d/c < a, luego existe x ∈ A talque d/c < x. De donde d < c · x. Lo que demuestra que c · a es lamenor cota superior de c ·A, o sea, sup(c ·A) = c · supA. Los demascasos enunciados en el lema se prueban de forma analoga.

Corolario 3. Sean f, g : X → R funciones acotadas. Entonces lasfunciones f + g, cf : X → R tambien estan acotadas para todo c ∈R. Ademas sup(f + g) ≤ sup f +sup g, ınf(f + g) ≥ ınf(f)+ ınf(g),sup(cf) = c · sup f e ınf(cf) = c · ınf f cuando c ≥ 0. Si c < 0, setiene sup(cf) = c · ınf(f) e ınf(cf) = c · sup f .

En efecto, sean A = f(X),B = g(X), C = (f+g)(X) = {f(x)+g(x) : x ∈ X}. Evidentemente, C ⊂ A + B, luego sup(f + g) =sup(C) ≤ sup(A + B) = supA + supB = sup f + sup g. Ademas,sup(cf) = sup{c · f(x) : x ∈ X} = sup(cA) = c · supA = c · sup f ,cuando c ≥ 0. Los demas casos enunciados en el Corolario se prue-ban de forma analoga.

Observacion: De hecho se puede tener sup(f + g) ınf f + ınf g. Basta considerar f, g : [0, 1] → R,f(x) = x y g(x) = −x.

Seccion 2 Integral de Riemann 137

Lema 3. Dada f : X → R acotada, sean m = ınf f , M = sup f yω =M −m. Entonces ω = sup{|f(x)− f(y)| : x, y ∈ X}.

Demostracion: Dados cualesquiera x, y ∈ X , que para fijar ideassupondremos tales que f(x) ≥ f(y), se tiene m ≤ f(y) ≤ f(x) ≤M , de donde |f(x) − f(y)| ≤ M − m = ω. Por otra parte, dadocualquier ε > 0 podemos encontrar x, y ∈ X tales que f(x) >M −ε/2 y f(x) < m+ ε/2. Entonces |f(x)−f(y)| ≥ f(x)−f(y) >M −m− ε = ω − ε. Ası, ω es la menor de las cotas superiores delconjunto {|f(x)− f(y)| : x, y ∈ X}, lo que prueba el lema.

Lema 4. Sean A′ ⊂ A y B′ ⊂ B conjuntos acotados de numerosreales. Si para cada a ∈ A y b ∈ B existen a′ ∈ A′ y b′ ∈ B′ talesque a ≤ a′ y b′ ≤ b, entonces supA′ = supA e ınf B′ = ınf B.

Demostracion: Evidentemente, supA es una cota superior de A′.Ademas, si c < supA existe a ∈ A tal que c < a, luego existe a′ ∈ A′

tal que c < a ≤ a′, por tanto c no es una cota superior de A′. Ası,supA es la menor cota superior de A′, esto es, supA = supA′. Unrazonamiento analogo demuestra el resultado para ınf B = ınf B′.

2. Integral de Riemann

Una particion del intervalo [a, b] es un subconjunto finito depuntos P = {t0, t1, . . . , tn} ⊂ [a, b] tal que a ∈ P y b ∈ P . Siempreusaremos esta notacion de forma que a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Elintervalo [ti−1, ti], de longitud ti − ti−1, se llamara i-esimo intervalode la particion P . Evidentemente,

∑ni=1(ti − ti−1) = b− a.

Sean P y Q particiones del intervalo [a, b]. Se dice que Q refinaP cuando P ⊂ Q. La manera mas sencilla de refinar una particionconsiste en anadirle un nuevo punto.

Dada una funcion acotada f : [a, b] → R, usaremos la nota-cion m = ınf{f(x) : x ∈ [a, b]} y M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}.En particular, tenemos m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. SiP = {t0, t1, . . . , tn} es una particion de [a, b], la notacion mi =ınf{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}, Mi = sup{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti} yωi = Mi −mi, indica el ınfimo, el supremo y la oscilacion de f(x)


en el i-esimo intervalo de P . Cuando f es continua los valores mi

y Mi son alcanzados por f en [ti−1, ti]. En particular, en este casoexisten xi, yi ∈ [ti−1, ti] tales que ωi = |f(yi)− f(xi)|.

La suma inferior de f relativa a la particion P es el numero

s(f ;P ) = m1(t1 − t0) + · · ·+mn(tn − tn−1) =

n∑

i=1

mi(ti − ti−1) .

La suma superior de f relativa a la particion P es, por defini-cion,

S(f ;P ) =M1(t1 − t0) + · · ·+Mn(tn − tn−1) =

n∑

i=1

Mi(ti − ti−1) .

Evidentemente, m(b − a) ≤ s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) ≤ M(b − a), seacual fuere la particion P . Ademas S(f ;P )− s(f ;P ) =

∑ni=1 ωi(ti−

ti−1).

Cuando en el contexto este claro quien es f , se puede escribirsimplemente s(P ) y S(P ) en vez de s(f ;P ) y S(f ;P ), respectiva-mente.

a t1 t2 t3 t4 b a t1 t2 t3 t4 b

Fig. 9 - La suma inferior y la suma superior

En el caso en que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], los numeross(f ;P ) y S(f ;P ) son valores aproximados, por defecto y por excesorespectivamente, del area de la region limitada por el grafico de f ,el intervalo [a, b] en el eje de abcisas y las perpendiculares a dichoeje en los puntos a y b. Cuando f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], esassumas son aproximadamente de dicha area con el signo invertido.

Seccion 2 Integral de Riemann 139

La integral superior y la integral inferior de una funcion acotadaf : [a, b] → R se definen, respectivamente, como

∫ b

a

f(x)dx = supPs(f ;P ) ,

∫ b

a

f(x)dx = ınfPS(f ;P ) ,

donde el sup y el ınf se toman en el conjunto de todas las particionesP del intervalo [a, b].

Teorema 1. Cuando se refina una particion, la suma inferior nodisminuye y la suma superior no aumenta. O sea: P ⊂ Q⇒ s(f ;P ) ≤s(f ;Q) y S(f ;Q) ≤ S(f ;P ).

Demostracion: Supongamos inicialmente que la particion Q =P ∪ {r} resulte al anadir a P un unico punto r y que, por ejemplo,tj−1 < r < tj . Seanm

′ ym′′ los ınfimos de f en los intervalos [tj−1, r]y [r, tj ], respectivamente. Evidentemente, mj ≤ m′, mj ≤ m′′ ytj − tj−1 = (tj − r) + (r − tj−1). Por tanto

s(f ;P )− S(f ;P ) = m′′(tj − r) +m′(r − tj−1)−mj(tj − tj−1)

= (m′′ −mj)(tj − r) + (m′ −mj)(r − tj−1) ≥ 0 .

Para obtener el resultado en el caso general, donde Q se obtiene alanadir a P k puntos, se usa k veces lo que acabamos de probar.Analogamente, se tiene P ⊂ Q⇒ S(f ;Q) ≤ S(f ;P ).

Corolario 1. Para cualesquiera particiones P,Q del intervalo [a, b]y cualquier funcion acotada f : [a, b] → R se tiene s(f ;P ) ≤S(f ;Q).

En efecto, la particion P ∪ Q refina simultaneamente P y Q,lugeo s(f ;P ) ≤ s(f ;P ∪Q) ≤ S(f ;P ∪Q) ≤ S(f ;Q).

Corolario 2. Dada f : [a, b] → R, si m ≤ f(x) ≤ M para todox ∈ [a, b], entonces:

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b − a) .

En efecto, las desigualdades de los extremos son obvias, la cen-tral resulta del Corolario y del Lema 1.


Corolario 3. Sea P0 una particion de [a, b]. Si consideremos lassumas s(f ;P ) y S(f ;P ) relativas exclusivamente a las particiones

P que refinan P0, obtendremos los mismos valores de∫ b

af(x)dx y

de∫ b

af(x)dx.

En efecto, es suficiente combinar el Teorema 1 y el Lema 4.

Una funcion acotada f : [, b] → R se dice integrable cuando suintegral inferior y su integral superior son iguales. Este valor comunse llama integral (de Riemann) de f , y se denota

∫ b

af(x)dx.

En el sımbolo∫ b

af(x)dx, x es lo que se denomina “variable mu-

da”, esto es,∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(y)dy =

∫ b

af(t)dt, etc.

A veces se prefiere usar la notacion mas simple∫ b

af . La razon

para usar la notacion mas complicada se vera en el Teorema 2,Capıtulo 11.

Cuando f es integrable, su integral∫ b

af(x)dx es el numero real

cuyas aproximaciones por defecto son las sumas inferiores s(f ;P ) ycuyas aproximaciones por exceso son las sumas superiores S(f ;P ).El Teorema 1 afirma que estas aproximaciones mejoran cuando serefina la particion P . Geometricamente, cuando f(x) ≥ 0 para todo

x ∈ [a, b], la existencia de∫ b

af(x)dx significa que la region limita-

da por el grafico de f , el segmento [a, b] en eje de abcisas y lasperpendiculares a dicho eje en los puntos a y b es medible (esto es,posee area), y el valo de la integral es, por definicion, el area de esta

region. En el caso general, se tienen el area externa∫ b

af(x)dx y el

area interna∫ b

af(x)dx, que pueden ser diferentes, como veremos a

continuacion.

Ejemplo 1. Sea f : [a, b] → R, definida mediante f(x) = 0 six es racional y f(x) = 1 si x es irracional. Dada una particioncualquiera P , como cada intervalo [ti−1, ti] contiene numeros racio-nales e irracionales, tenemos mi = 0 y Mi = 1, luego s(f ;P ) = 0

y S(f ;P ) = b − a. Ası, f no es integrable, pues∫ b

af(x)dx = 0 y

∫ b

af(x) = dx = 1.

Ejemplo 2. Sea f : [a, b] → R constante, f(x) = c para todo x ∈[a, b]. Entonces, sea cual fuere la particion P , tenemos mi =Mi = c

Seccion 3 Propiedades de la integral 141

en todos los intervalos de la particion, luego s(f ;P ) = S(f ;P ) =

c(b − a). Ası, f es integrable y∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x) =

∫ b

af(x)dx =

c(b− a).

Teorema 2. (Condicion inmediata de integrabilidad) Seaf : [a, b] → R acotada. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) f es integrable.

(2) Para todo ε > 0, existen particiones P,Q de [a, b] tales queS(f,Q)− s(f, P ) < ε.

(3) Para todo ε > 0, existe una particion P = {t0, . . . , tn} de [a, b]tal que S(f ;P )− s(f ;P ) =

∑ni=1 ωi(ti − ti−1) < ε.

Demostracion: Sean A el conjunto de las sumas inferiores y B elconjunto de las sumas superiores de f . Por el Corolario 1 del Teo-rema 1, se tiene s ≤ S para toda s ∈ A y toda S ∈ B. Suponiendo(1), entonces supA = ınf B. Luego, por el Lema 1, (1)⇒ (2). Paraprobar que (2)⇒ (3) basta observar que si S(f ;Q) − s(f ;P ) < εentonces, como la particion P0 = P ∪Q refina ambas, del Teorema1 se sigue que s(f ;P ) ≤ s(f ;P0) ≤ S(f ;P0) ≤ S(f,Q), de dondese sigue que S(f ;P0) − s(f ;P0) < ε. Finalmente, (3)⇒ (1) por elLema 1.

Ejemplo 3. Sea f : [a, b] → R, definida como f(x) = c cuando a <

x ≤ b y f(a) = A. Afirmamos que f es integrable y que∫ b

af(x)dx =

c(b − a). Para fijar ideas, supongamos que c < A. Entonces, dadacualquier particion P = {t0, t1, . . . , tn} tenemos m1 = c, M1 = Ay mi = Mi = c para 1 0, tomamos una particion P talque t1−t0 < ε/(A−c), y obtenemos S(f ;P )−s(f ;P ) < ε. Luego fes integrable. Ademas, como s(f ;P ) = c(b−a) para toda particion

P , tenemos∫ b

af(x)dx = c(b−a). Finalmente, como f es integrable,

resulta∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx = c(b − a). Evidentemente, se tiene

un resultado analogo cuando f(x) = c para x ∈ [a, b).

3. Propiedades de la integral

Teorema 3. Sean a < c < b. Una funcion acotada f : [a, b] →R es integrable si, y solo si, sus restricciones f |[a,c] y f |[c,b] son

integrables. En caso afirmativo, se tiene∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx.

Demostracion: Sean A y B, respectivamente, los conjuntos de lassumas inferiores de f |[a,c] y f |[c,b]. Es facil ver que A+B es el con-junto de las sumas inferiores de f relativas a las particiones de [a, b]que contienen al punto c. Por el Corolario 3 del Teorema 1, paracalcular la integral inferior de f basta considerar las particiones deeste tipo, pues estas son las que refinan P0 = {a, c, b}. Por el Lema

2,∫ b

af(x)dx = sup(A+B) = supA+supB =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx.

Analogamente se demuestra que∫ b

af(x)dx = sup(A+B) = supA+

supB =∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx. Luego

∫ b

a

f −∫ b

a

f =

(

∫ c

a

f −∫ c

a

f

)

+

(

∫ b

c

f −∫ b

c

f

)

.

Como las dos restas dentro de los parentesis son ≥ 0, su suma escero si, y solo si, ambas son nulas. Ası, f es integrable si, y solo si,sus restricciones f |[a,c] y f |[c,b] lo son. En el caso afirmativo, se tiene

la igualdad∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf .

Ejemplo 4. Se dice que f : [a, b] → R es una funcion escalonadacuando existe una particion P = {t0, t1, . . . , tn} de [a, b] y numerosreales c1, . . . , cn tales que f(x) = ci cuando ti−1 < x < ti. (Observeque no se exige nada a los valores f(ti)). Del Teorema 3 y delEjemplo 3 se sigue que toda funcion escalonada es integrable y que∫ b

af(x)dx =

∑ni=1 ci(ti − ti−1).

Convenio: La igualdad∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx tiene

sentido exclusivamente cuando a < c < b. Para que sea valida, secuales fueren a, b, c ∈ R, de aquı en adelante adoptaremos dos con-venios: Primero

∫ a

af(x)dx = 0. Segundo

∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx.

Aceptado esto, es valida para toda funcion integrable la igualdadanterior. Para verificar esto hasy seis casos a considerar: a ≤ b ≤ c,a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b y c ≤ b ≤ a. Bas-ta en cada caso admitir la integrabilidad de f en el mayor de losintervalos.

Teorema 4. Sean f, g : [a, b] → R integrables. Entonces:

Seccion 3 Propiedades de la integral 143

(1) La suma f + g es integrable y

∫ b

a

[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx .

(2) El producto f · g es integrable. Si c ∈ R,∫ b

ac · f(x)dx = c ·

∫ b

af(x)dx.

(3) Si 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b], entonces el cociente f/ges integrable.

(4) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

(5) |f | es integrable y∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx

∣

∣

∣≤∫ b

a|f(x)|dx.

Demostracion: Dada cualquier particion P de [a, b], denotamospor m′

i, m′′i y mi los ınfimos de f, g y f + g en el i-esimo intervalo

de P , respectivamente. Del Corolario del Lema 2 se deduce que,m′

i +m′′i ≤ mi, luego s(f ;P ) + s(g;P ) ≤ s(f + g;P ) ≤

∫ b

a(f + g)

para toda particion P . Si tomamos dos particiones P y Q tambientendremos:

s(f ;P ) + s(g;Q) ≤ s(f ;P ∪Q) + s(g;P ∪Q) ≤∫ b

a

f + g ,

por consiguiente,

∫ b

a

f +

∫ b

a

g = supPs(f ;P ) + sup

Qs(g;Q)

= supP,Q

[s(f ;P ) + s(g;Q)] ≤∫ b

a

(f + g) .

Esto prueba la primera de las desigualdades que vienen a conti-nuacion; la tercera se demuestra de forma analoga y la segunda esobvia:

∫ b

a

f +

∫ b

a

g ≤∫ b

a

(f + g) ≤∫ b

a

(f + g) ≤∫ b

a

f +

∫ b

a

g .

Cuando f y g son integrales las tres desigualdades se conviertenen igualdades, lo que prueba (1).(2) Sea K tal que |f(x)| ≤ K y |g(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b].Dada una particion P sean, respectivamente, ω′

i, ω′′i y ωi las oscila-

ciones de f, g y f · g en el i-esimo intervalo [ti−1, ti]. Tenemos:

|f(y) · g(y)− f(x) · g(x)| = |(f(y)− f(x))g(y) + f(x)(g(y)− g(x))|≤ |f(y)− f(x)||g(y)|+ |f(x)||g(y)− g(x)|≤ K|ω′

i + ω′′i | .

De donde∑

ωi(ti − ti−1) ≤ K[∑

ω′i(ti − ti−1) +

∑

ω′′i (ti − ti−1)].

Por el Teorema 2, la integrabilidad de f · g es consecuencia dela integrabilidad de f y g. Con respecto a c · f , su integrabilidadresulta de lo que acabamos de probar. Ademas, si c ≥ 0, tenemoss(cf ;P ) = c · s(f ;P ) para cualquier particion P , de donde, por elLema 2,

∫ b

a

cf =

∫ b

a

= c ·∫ b

a

f = c

∫ b

a

f .

Cuando c < 0, tenemos s(cf ;P ) = cS(f ;P ), luego∫ b

acf =

∫ b

acf =

c∫ b

af = c

∫ b

af .

(3) Como f/g = f · (1/g), basta probar que si g es integrable y 0 <k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b] entonces 1/g tambien es integrable.Indicamos mediante ωi y ω

′i, respectivamente, las oscilaciones de g y

1/g en el i-esimo intervalo de la particion P . Dado ε > 0, podemostomar P de forma que

∑

ωi(ti − ti−1) < ε ·K2. Para cualesquierax, y en el i-esimo intervalo de P se tiene:

∣

∣

∣

∣

1

g(y)− 1

g(x)

∣

∣

∣

∣

=|g(x)− g(y)||g(y)g(x)| ≤ ωi

K2,

por tanto ω′i < ωi/K

2. Ası∑

ω′i(ti − ti−1) < ε, luego 1/g es inte-

grable.(4) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces s(f ;P ) ≤ s(g;P )

y S(f ;P ) ≤ S(g;P ) para toda particion P , de donde∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

(5) La desigualdad evidente ||f(y)|−|f(x)|| ≤ |f(y)−f(x)| demues-tra que la oscilacion de |f | en cualquier conjunto no supera la def . Luego, f integrable ⇒ |f | integrable. Ademas, como −|f(x)| ≤

Seccion 4 Condiciones suficientes para la integrabilidad 145

f(x) ≤ |f(x)| para todo x ∈ [a, b], de (4) resulta que−∫ b

a|f(x)|dx ≤

∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

a|f(x)|dx, o sea,

∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx

∣

∣

∣≤∫ b

a|f(x)|dx.

Corolario 1. Si f : [a, b] → R es integrable y |f(x)| ≤ K para

todo x ∈ [a, b] entonces∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx

∣

∣

∣≤ K(b− a).

Observacion: Si una funcion integrable f : [a, b] → R es tal que

f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces∫ b

af(x)dx ≥ 0. Esto es

consecuencia del apartado (4) del teorema anterior. Sin embargo,

es posible que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y∫ b

af(x)dx = 0 sin

que f se identicamente nula. Basta tomar f(x) = 1 en un con-junto finito de puntos de [a, b] y f(x) = 0 en los demas puntosde [a, b]. Por el Ejemplo 4, f es integrable y su integral es nula.No obstante, si f es continua y f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]

entonces∫ b

af(x)dx = 0 implica que f es identicamente nula. En

efecto, si hubiese algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = c > 0entonces existirıa un intervalo [α, β], donde x0 ∈ [α, β] ⊂ [a, b], talque f(x) > c/2 para todo x ∈ [α, β]. Entonces, como f(x) ≥ 0,

tendrıamos∫ b

af(x)dx ≥

∫ β

αf(x)dx > c

2(β − α) > 0, lo que es ab-

surdo.

4. Condiciones suficientes para la integrabilidad

Teorema 5. Toda funcion continua f : [a, b] → R es integrable.

Demostracion: Dado ε > 0, por la continuidad uniforme de f enel compacto [a, b]. existe δ > 0 tal que x, y ∈ [a, b], |y − x| < δimplican |f(y) − f(x)| < ε/(b − a). Sea P una particion de [a, b]tal que rodos sus intervalos tienen longitud < δ. En cada intervalo[ti−1, ti] de P existen xi, yi tales que mi = f(xi) y Mi = f(yi), dedonde ωi = f(yi)− f(xi) < ε/(b− a). Ası,

∑

ωi(ti − ti−1) < ε. Porel Teorema 2, f es integrable.

Teorema 6. Toda funcion monotona f : [a, b] → R es integrable.

Demostracion: Para fijar ideas, sea f creciente. Dado ε > 0, seaP = {t0, t1, . . . , tn} una particion de [a, b] tal que todos sus inter-valos tienen longitud < ε/(f(b) − f(a)). Para cada i = 1, . . . , n

tenemos ωi = f(ti)− f(ti−1), por tanto∑

ωi = f(b)− f(a) y

∑

ωi(ti − ti−1) =ε

f(b)− f(a)·∑

ωi

=ε

f(b)− f(a)

∑

[f(ti)− f(ti−1)] = ε .

Luego f es integrable.

Las consideraciones que siguen son una preparacion para el Teo-rema 7, que engloba a los Teoremas 5 y 6 como casos particulares.

Si a < b, denotaremos mediante |J | = b−a la longitud del inter-valo (abierto, cerrado o semiabierto) I cuyos extremos son a y b. Sedice que el conjunto X tiene medida nula cuando, dado cualquierε > 0, existe un recubrimiento numerable (finito o infinito) de X ,X ⊂

⋃

Ik, cuyos elementos son intervalos abiertos Ik tales que lasuma de sus longitudes es

∑

|Jk| < ε.

Ejemplo 5. Todo conjunto numerable X = {x1, . . . , xk, . . .} tienemedida nula. En efecto, dado cualquier ε > 0, sea Jk el intervaloabierto centrado en xk de longitud ε/2k+1. Entonces X ⊂

⋃

Ik y∑

|Ik| = ε/2 < ε. En particular, el conjunto Q de los numerosracionales tiene medida nula.

Teorema 7. Si el conjunto D de los puntos de discontinuidad deuna funcion acotada f : [a, b] → R tiene medida nula entonces f esintegrable.

Demostracion: Dado ε > 0, existen intervalos I1, . . . , Ik, . . . talesque D ⊂

⋃

Ik y∑

|Jk| < ε/2K, donde K =M −m es la oscilacionde f en [a, b]. Para cada x ∈ [a, b]−D, sea Jx un intervalo abiertocentrado en x donde la oscilacion de f es menor que ε/2(b − a).Por el Teorema de Borel-Lebesgue, el recubrimiento abierto [a, b] ⊂(⋃

k Ik) ∪ (⋃

x Jx) posee un subcubrimiento finito [a, b] ⊂ I1 ∪ · · · ∪Im ∪ Jx1 ∪ · · · ∪ Jxn. Sea P la particion de [a, b] formada oir lospuntos a, b y los extremos de estos m+n intervalos que pertenecena [a, b]. Indicaremos mediante [tα−1, tα] los intervalos de P que estancontenidos en algun Ik y mediante [tβ−1, tβ] los demas intervalos deP . Entonces

∑

(tα − tα−1) < ε/2K y la oscilacion de f en cada

Seccion 4 Condiciones suficientes para la integrabilidad 147

intervalo [tβ−1, tβ] es ωβ < ε/2(b− a). Luego

S(f ;P )− s(f ;P ) =∑

ωα(tα − tα−1) +∑

ωβ(tβ − tβ−1)

<∑

K(tα − tα−1) +∑ ε(tβ − tβ−1)

2(b− a)

< Kε

2K+ε(b− a)

2(b− a)= ε .

Luego f es integrable.

Observacion: Se puede demostrar que el recıproco del Teorema 7es verdadero, o sea, que el conjunto de puntos de discontinuidad deuna funcion integrable tiene medida nula (cfr. “Curso de AnalisisMatematico, vol 1”.)

Ejemplo 6. El conjunto de Cantor K (seccion 5 del Capıtulo 5),tiene medida nula, aunque no es numerable. En efecto, si paramosen la n-esima etapa de su construccion, vemos que el conjunto deCantor esta contenido en la union de 2n intervalos, cada uno delongitud 1/3n. Dado ε > 0 podemos tomar n ∈ N tal que (2/3)n <ε, ası concluimos que la medida de K es cero. Podemos considerarla funcion f : [0, 1] → R, definida mediante f(x) = 0 si x ∈ Ky f(x) = 1 si x /∈ K. Como [0, 1] − K es abierto, la funcion fes localmente constante, por tanto continua en los puntos x /∈ K.Como K no posee puntos interiores, f es discontinua en todos lospuntos de K. Por el Teorema 7, f es integrable. Dada cualquierparticion P de [0, 1], todos los intervalos de P contienen puntosque no pertenecen a K, pues intK = ∅. Ası, Mi = 1 y S(f ;P ) = 1

para toda particion P . De donde∫ 1

0f(x)dxd =

∫ 1

0f(x)dx = 1.

Ejemplo 7. Si a < b el intervalo [a, b] no tiene mediada nula. Paraprobar esto recordemos que la funcion caracterıstica de un conjuntoX ⊂ [c, d] es la funcion ξX(x) = 1 si x ∈ X y ξX(x) = 0 si x /∈ X . Esfacil ver que si X ⊂ X1 ∪ · · · ∪Xk ⊂ [c, d], entonces ξX ≤∑k

i=1 ξXi.

Supongamos que [a, b] ⊂ I1∪· · ·∪Ik ⊂ [c, d]. dondew c es el menor yd el mayor extremo de los intervalos Ij . Para simplificar escribamos

ξ = ξ[a,b] y ξj = ξIj . Entonces ξ ≤∑k

j=1 ξj : [c, d] → R, luego

b− a =∫ d

cξ(x)dx ≤

∑kj=1 ξj(x)dx =

∑kj=1 |Ij|. Ası, la suma de las

longitudes de cualquier coleccion finita de intervalos abiertos cuyaunion contiene [a, b] es, como mınimo, b− a. De donde resulta que

[a, b] no tiene medida nula. En efecto, por el Teorema de Borel-Lebesgue, si [a, b] ⊂

⋃∞j=1 Ij entonces [a, b] ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk para

algun k ∈ N.

5. Ejercicios

Seccion 1: Integral de Riemann

1. Defina f : [0, 1] → R como f(0) = 0 y f(x) = 1/2n si1/2n+1 < x ≤ 1/2n, n ∈ N ∪ {0}. Pruebe que f es integrable

y calcule∫ 1

0f(x)dx.

2. Sea f : [−a, a] → R integrable. Si f es una funcion impar,pruebe que

∫ a

−af(x)dx = 0. Si, por el contrario, f es par

pruebe entonces que∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0f(x)dx.

3. Sea f : [a, b] → R definida como f(x) = 0 si x es irracional yf(x) = 1/q si x = p/q es una fraccion irreducible con q > 0.(Haga f(0) = 1 su 0 ∈ [a, b]). Pruebe que f es continuaexclusivamente en los puntos irracionales de [a, b], que f es

integrable y que∫ b

af(x)dx = 0.

4. Sea f : [a, b] → R una funcion integrable, tal que f(x) ≥ 0para todo x ∈ [a, b]. Pruebe que si f es continua en el punto

c ∈ [a, b] y f(c) > 0, entonces∫ b

af(x)dx > 0.

5. Sea f : [a, b] → R definida como f(x) = x cuando x es racionaly f(x) = x + 1 cuando x es irracional. Calcule las integralessuperior e inferior de f . Use una funcion integrable g : [a, b] →R en vez de x, y defina ϕ(x) = g(x) si x es racional y ϕ(x) =g(x) + 1 si x es irracional. Calcule las integrales (inferior ysuperior) de ϕ en funcion de la integral de g.

Seccion 2: Propiedades de la integral

1. Sea f : [a, b] → R integrable. Pruebe que la funcion F :[a, b] → R, definida mediante F (x) =

∫ x

af(t)dt, es lipschit-

ziana.

2. Pruebe que si f, g : [a, b] → R son integrables entonces tam-bien lo son las funciones ϕ, ψ : [a, b] → R, definidas como

ϕ(x) = max{f(x).g(x)} y ψ(x) = mın{f(x), g(x)}. Deduzcaque las funciones f+, f− : [a, b] → R dadas por f+(x) = 0 sif(x) ≤ 0, f+(x) = f(x) si f(x) ≥ 0; f−(x) = 0 si f(x) ≥ 0,f−(x) = f(x) si f(x) ≤ 0, son integrables (suponiendo que flo sea).

3. Pruebe que si f, g : [a, b] → R son continuas entonces:

[∫ b

a

f(x)g(x)dx

]2

≤∫ b

a

f(x)2dx

∫ b

a

g(x)2dx ,

(Desigualdad de Schwarz.)

Seccion 3: Condiciones suficientes de integrabilidad

1. Pruebe que la funcion f del Ejercicio 1.3 es integrable.

2. Pruebe que el conjunto de los puntos de discontinuidad de unafuncion monotona es numerable. Concluya que el Teorema 6es consecuencia del Teorema 7.

3. Sea D el conjunto de los puntos de discontinuidad de unafuncion acotada f : [a, b] → R. Si D′ (el conjunto de lospuntos de acumulacion de D) es numerable pruebe entoncesque f es integrable.

4. Una funcion acotada f : [a, b] → R, que se anula fuera de unconjunto de medida nula, puede no ser integrable. En estascondiciones, y suponiendo que f es integrable, pruebe que suintegral es igual a cero.

5. Se dice que un conjunto X ⊂ R tiene contenido nulo cuando,para todo ε > 0, existe un recubrimiento finito X , X ⊂ I1 ∪· · ·∪Ik, formado por intervalos abiertos tal que

∑kj=1 |Ij| < ε.

Pruebe que:

(a) Si X tiene contenido nulo lo mismo sucede con su cierreX .

(b) Existen conjuntos de medida nula que no tienen contenidonulo.

(c) Un conjunto compacto tiene medida nula si, y solo si,tiene contenido nulo.

(d) Sea g : [a, b] → R una funcion acotada que coincide conuna funcion integrable f : [a, b] → R excepto en un con-junto de contenido nulo. Pruebe que g es integrable y quesu integral es igual a la de f .

6. Si un conjunto X ⊂ [a, b] no tiene medida nula pruebe enton-ces que existe ε > 0 tal que, para toda particion P de [a, b],la suma de los intervalos de P que contienen puntos de X ensu interior es mayor que ε.

7. Sea ϕ : [a, b] → R una funcion positiva (esto es, ϕ(x) > 0 paratodo x ∈ [a, b]). Entonces existe α > 0 tal que el conjuntoX = {x ∈ [a, b] : ϕ(x) ≥ α} no tiene medida nula.

8. Si la funcion ϕ : [a, b] → R es positiva e integrable, enton-

ces∫ b

aϕ(x)dx > 0. Concluya que si f, g : [a, b] → R son

integrables y f(x) < g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x)dx <

∫ b

ag(x)dx.

9. Sea p : [a, b] → R integrable, tal que p(x) ≥ 0 para todo

x ∈ [a, b]. Pruebe que si∫ b

ap(x)dx = 0, entonces el conjunto

formado por los puntos x ∈ [a, b] tales que p(x) = 0 es densoen [a, b]. Si f : [a, b] → R es una funcion integrable cualquie-ra que se anula en un conjunto denso en [a, b], pruebe que∫ b

af(x)dx = 0.

11

Calculocon integrales

Este capıtulo es continuacion del anterior. En aquel se definio laintegral y se establecieron condiciones generales que asegurabanla integrabilidad de una funcion. Es este se probaran las reglaspara el uso eficaz de las integrales, entre estas el llamdo TeoremaFundamental del Calculo, un movido camino de ida y vuelta querelaciona derivadas e integrales. Tambien usaremos la integral paradar las definiciones precisas de logaritmo y exponencial. El capıtulotermina con una breve discusion sobre integrales impropias.

1. Teoremas clasicos del Calculo Integral

Para comenzar estableceremos la conexion entre derivada e in-tegral.

Teorema 1. (Teorema Fundamental del Calculo). Sea f :I → R continua en el intervalo I. Las siguientes afirmaciones sobrela funcion F : I → R son equivalentes:

(1) F es una integral indefinida de f , esto es, existe a ∈ I tal queF (x) = F (a) +

∫ x

af(t)dt para todo x ∈ I.

(2) F es una primitica de f , esto es, F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I.

Demostracion: (1)⇒ (2) Si x0, x0 + h ∈ I entonces F (x0 + h)−F (x0) =

∫ x0+h

x0f(t)dt y h · f(x0) =

∫ x0+h

x0f(x0)dt, por tanto:

F (x0 + h)− F (x0)

h− f(x0) =

1

h

∫ x0+h

x0

[f(t)− f(x0)]dt .

151

152 Calculo con integrales Cap. 11

Dado ε > 0, por la continuidad de f en el punto x0, existe δ > 0tal que t ∈ I, |t − x0| < δ implican |f(t) − f(x0)| < ε. Entonces,0 < |h| < δ, x0 + h ∈ I implican:

∣

∣

∣

∣

F (x0 + h)− F (x0)

h− f(x0)

∣

∣

∣

∣

≤ 1

h

∫ x0+h

x0

|f(t)− f(x0)|dt

<1

|h| |h| · ε = ε .

Lo que demuestra que F ′(x0) = f(x0).(2)⇒ (1) Sea F ′ = f . Como acabamos de ver, si fijamos a ∈ Iy definimos ϕ(x) =

∫ x

0f(t)dt, tendremos ϕ′ = f . Las dos fun-

ciones F, ϕ : I → R tiene la misma derivada, luego difieren enuna constante. Como ϕ(a) = 0, esta constante es F (a). Por tantoF (x) = F (a) + ϕ(x), esto es, F (x) = F (a) +

∫ x

af(t)dt para todo

x ∈ I.

Comentarios. (1) Acabamos de probar que toda funcion continuaposee una primitiva. De forma mas precisa: si f : [a, b] → R es inte-grable, entonces F : [a, b] → R, definida como F (x) =

∫ x

af(t)dt, es

derivable en todo punto x0 donde f es continua, y se tiene F ′(x0) =f(x0). En dicho punto tambien es derivable la funcion G : [a, b] → Rdada por G(x) =

∫ b

xf(t)dt, y se tiene G′(x0) = −f(x0). En efecto,

F (x) +G(x) =∫ b

af(t)dt =constante, luego F ′(x0) +G′(x0) = 0.

(2) Tambien hemos probado que si F : [a, b] → R es de clase C1 (es-to es, tiene derivada continua) entonces F (x) = F (a) +

∫ x

aF ′(t)dt.

En particular, F (b) = F (a) +∫ b

aF ′(t)dt. Esto reduce el calculo de

la integral∫ b

af(x)dx a encontrar una primitiva de f . Si F ′ = f ,

entonces∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a).

Teorema 2. (Cambio de variables) Sean f : [a, b] → R con-tinua, g : [c, d] → R con derivada integrable y g([c, d]) ⊂ [a, b].Entonces

∫ g(d)

g(c)

f(x)dx =

∫ d

c

f(g(t))g′(t)dt .

Demostracion: Por el Teorema 1, f posee una primitiva F :

[a, b] → R y se tiene∫ g(d)

g(c)f(x)dx = F (g(d)) − F (g(c)). Por otra

parte, la regla de la cadena nos da (F ◦ g)′(t) = F ′(g(t))g′(t) =

Seccion 1 Teoremas clasicos del Calculo Integral 153

f(g(t))g′(t) para todo t ∈ [a, b]. Luego F ◦ g : [c, d] → R esuna primitiva de la funcion integrable t → f(g(t))g′(t). Por tanto∫ d

cf(g(t))g′(t)dt = F (g(d))−F (g(c)), lo que prueba el teorema.

Observacion: El Teorema 2 nos da una buena justificacion parausar la notacion

∫ b

af(x)dx en vez de

∫ b

af . Para cambiar de variables

en∫ g(d)

g(c)f(x)dx, se toma x = g(t). La diferencial de x sera dx =

g′(x)dx. Estas substituciones nos dan

∫ g(d)

g(c)

f(x)dx =

∫ d

c

f(g(x))g′(x)dx .

El cambio de los lımites de integracion es natural:; cuando t varıaentre c y d, x = g(t) lo hace entre g(c) y g(d).

Es tradicional en el calculo la notacion F |ba = F (b)− F (a).

Teorema 3. (Integracion por partes) Si f, g : [a, b] → R tienenderivadas integrables entonces:

∫ b

a

f(x) · g′(x)dx = f · g|ba −∫ b

a

f ′(x)g(x)dx .

Demostracion: Es suficiente observar que f · g es una primitivade f · g′+ f ′ · g e integrar la suma usando el Teorema Fundamentaldel Calculo.

Teorema 4. (Formula del Valor Medio para integrales).Sean f, p : [a, b] → R, f continua y p integrable con p(x) ≥ 0para todo x ∈ [a, b]. Entonces existe un numero c ∈ (a, b) tal que∫ b

af(x)p(x)dx = f(c) ·

∫ b

ap(x)dx.

Demostracion: Para todo x ∈ [a, b], tenemos m ≤ f(x) ≤ M ,donde m es el ınfimo y M el supremo de f en [a, b]. Como p(x) ≥ 0se tiene m · p(x) ≤ f(x) · p(x) ≤ M · p(x) para todo x ∈ [a, b].

Sea A =∫ b

ap(x)dx, De las desigualdades anteriores resulta m ·

A ≤∫ b

af(x)p(x)dx ≤ M · A. Luego existe d ∈ [m,M ] tal qu

∫ b

af(x)p(x)dxd · A. Como f es continua, tenemos d = f(c) para

algun c ∈ (a, b), lo que prueba el teorema.

Corolario 1. Sea f : [a, b] → R continua. Entonces existe c ∈ (a, b)

tal que∫ b

af(x)dx = f(c) · (b− a).


Lema 5. Si ϕ : [0, 1] → R tiene derivada de orden n integrable,entonces:

ϕ(1) =n−1∑

i=0

ϕ(i)(0)

i!+

∫ 1

0

(1− t)n−1

(n− 1)!ϕ(n)(t)dt .

Demostracion: Si n = 1, esta formula se reduce a ϕ(1) = ϕ(0) +∫ 1

0ϕ′(t)dt, valida por el Teorema Fundamental del Calculo. Para

n = 2, la integracion por partes nos da

∫ 1

0

(1− t)ϕ′′(t)dt = (1− t)ϕ′(t)|10 +∫ 1

0

ϕ′(t)dt

= −ϕ′(0) + ϕ(1)− ϕ(0) ,

luego

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +

∫ 1

0

(1− t)ϕ′′(t)dt .

Para n = 3, de nuevo la integracion por partes nos da

∫ 1

0

(1− t)2

2!ϕ′′′(t)dt =

(1− t)2

2!· ϕ′′(t)

∣

∣

∣

1

0+

∫ 1

0

(1− t)ϕ′′(t)dt

= −ϕ′′(0)

2+ ϕ(1)− ϕ(0)− ϕ′(0) ,

luego

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +ϕ′′(0)

2!+

∫ 1

0

(1− t)2

2ϕ′′(t)dt .

El proceso inductivo esta claro, ası el lema es valido para todon.

Teorema 5. (Formula de Taylor con resto integral). Si f :I → R tiene derivada n-esima integrable en el intervalo de extremosa, a+ h entonces

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h + · · ·+ f (n−1)(a)

(n− 1)!hn−1

+

[∫ 1

0

(1− t)n−1

(n− 1)!f (n)(a + th)dt

]

· hn .

Seccion 2 La integral como lımite de sumas de Riemann 155

Demostracion: Definiendo ϕ : [0, 1] → R como ϕ(t) = f(a + th),se tiene ϕ(i)(0) = f (i)(a)hi. Ahora el Teorema 5 resultado del lemaanterior.

Corolario 1. (Formula de Taylor con resto de Lagrange).Si f : I → R es de clase Cn en el intervalo de extremos a, a+ h ∈ Ientonces existe θ ∈ (0, 1) tal que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ · · ·+ f (n−1)(a)

(n− 1)!hn−1 +

f (n)(a+ θh)

n!hn .

En efecto, si llamamos A a la integral que aparece en el enun-ciado del Teorema 5, por el Teorema 4 existe θ ∈ (0, 1) tal que

A = f (n)(a + θh)

∫ 1

0

(1− t)n−1

(n− 1)!dt =

f (n)(a+ θh)

n!.

Observacion: Esta demostracion es mas natural que la que sedio en el Teorema 2, Capıtulo 9; sin embargo, se exige mas a lafuncion f .

2. La integral como lımite de sumas de Riemann

La norma de una particion P = {t0, t1, . . . , tn} ⊂ [a, b] es elnumero |P | = mayor longitud ti − ti−1 de los intervalos de P .

Teorema 6. Sea f : [a, b] → R acotada. Para todo ε > 0, existe

δ > 0 tal que |P | < δ⇒ S(f ;P ) ≤∫ b

af(x)dx+ ε.

Demostracion: Supongamos inicialmente que f(x) ≥ 0 en [a, b].Dado ε > 0 existe una particion P0 = {t0, t1, . . . , tn} de [a, b] tal

que S(f ;P0) <∫ b

af(x)dx + ε/2. Sea M = sup f . Tomemos δ tal

que 0 < δ < ε/2Mn. Si P es una particion cualquiera de [a, b] talque |P | < δ, indicaremos mediante [rα−1, rα] los intervalos de P queesten contenidos en algun [ti−1, ti] de P0, y mediante [rβ−1, rβ] losrestantes intervalos de P . Cada uno de estos contiene, al menos,un punto ti en su interior, luego hay como maximo n intervalos deltipo [rβ−1, rβ]. Escribiremos α ⊂ i si [rα−1, rα] ⊂ [ti−1, ti]. Cuandoα ⊂ i se tiene Mα ≤ Mi y

∑

α⊂i(rα − rα−1) ≤ ti − ti−1. Estos

numero son todos ≥ 0, luego∑

α⊂iMα(rα − rα−1) ≤ Mi(ti − ti−1)y Mβ(rβ − rβ−1) ≤Mδ. Por tanto:

S(f ;P ) =∑

α

Mα(rα − rα−1) +∑

β

Mβ(rβ − rβ−1)

≤n∑

i=1

Mi(ti − ti−1) +M · n · δ

< S(f ;P ) + ε/2

<

∫ b

a

f(x)dx+ ε .

En el caso general, como f esta acotada, existe una constante c talque f(x) + c ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Tomando g(x) = f(x) + c,tenemos S(g;P ) = S(f ;P ) + c(b− a) y

∫ b

a

g(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+ c(b− a) ,

luego estamos en el caso anterior.

Afirmar que S(f ;P ) <∫ b

af(x)dx+ε es equivalente a |

∫ b

af(x)dx−

S(f ;P )| < ε, Luego el Teorema 6 significa que lım|P |→0

S(f ;P ) =∫ b

af(x)dx.

De forma totalmente analoga se prueba que∫ b

af(x)dx = lım

|P |→0s(f ;P ).

Una particion puntuada del intervalo [a, b] es un par P ∗ = (P, ξ)donde P = {t0, . . . , tn} es una particion de [a, b] y ξ = (ξ1, . . . , ξn)es una coleccion de n numeros escogidos de forma que ti−1 ≤ ξi ≤ tipara cada i = 1, . . . , n.

Dada una funcion acotada f : [a, b] → R y una particion pun-tuada P ∗ de [a, b], se define la suma de Riemann:

∑

(f ;P ∗) =n∑

i=1

f(ξi)(ti − ti−1) .

Evidentemente, sea cual fuere la forma en que se puntue la par-ticion P , se tiene

s(f ;P ) ≤∑

(f ;P ∗) ≤ S(f ;P ) .

Seccion 3 Logaritmos y exponenciales 157

Se dice que el numero real I es el lımite de∑

(f ;P ∗) cuando

|P | → 0, y se escribe I = lım|P |→0

∑

(f ;P ∗), cuando, para todo ε > 0,

se puede escoger δ tal que |∑

(f ;P ∗) − I| < ε sea cual fuere laparticion puntuada P ∗ tal que |P | < delta.

Teorema 7. Si f : [a, b] → R es integrable entonces∫ b

af(x)dx =

lım|P |→0

∑

(f ;P ∗).

Demostracion: Del Teorema 6 se sigue que si f es integrable,entonces

lım|P |→0

s(f ;P ) = lım|P |→0

S(f ;P ) =

∫ b

a

f(x)dx .

Como se tiene s(f ;P ) ≤ ∑

(f ;P ∗) ≤ S(f ;P ), es inmediato que

lım|P |→0

∑

(f ;P ∗) =

∫ b

a

f(x)dx.

Observacion: El recıproco del Teorema 7 es verdadero, pero esmenos interesante. (Vea “Curso de Analisis Matematico”, vol. 1).

3. Logaritmos y exponenciales

Sea a un numero real mayor que 1. Se suele definir el logaritmode un numero real x en base a como el exponente y, y = loga x, talque ay = x.

O sea, la funcion loga : R+ → R se suele definir como la in-versa de la funcion exponencial y → ay. Para esto se requiere eltrabajo previo de establecer el significado y las propiedades de laspotencias ay, donde y es un numero real cualquiera, lo que se puedehacer rigurosamente. Sin embargo, nos parece mas sencillo definiren primer lugar el logaritmo y, a partir de este, la exponencial, talcomo haremos a continuacion.

Definiremos la funcion log : R+ → R, como

log x =

∫ x

1

dt

t,

para cada x ∈ R+.

El numero log x se llama logaritmo de x. Si recordamos que∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx, vemos que log x < 0 si 0 < x < 1,

log 1 = 0 y log x > 0 cuando x > 1.

La funcion logaritmo es monotona, estrictamente creciente yderivable; ademas (log x)′ = 1/x, (log x)′′(x) = −1/x2, etc. Portanto, log es derivable infinitas veces, esto es, log ∈ C∞. Tambiense puede ver que log es una funcion concava.

Teorema 8. Para cualesquiera x, y ∈ R+ se tiene log(xy) = log x+log y.

Demostracion: log(xy) =∫ xy

1dt/t =

∫ x

1dt/t+

∫ xy

xdt/t = log x+

∫ xy

xdt/t. Cuando s varıa entre 1 e y, el producto xs varıa entre x y

xy, luego el cambio de variable t = xs nos da dt = xds y∫ xy

xdt/t =

∫ x

1xds/xs =

∫ y

1ds/s = log y, lo que prueba el teorema.

Corolario 1. Para todo numero racional r se tiene log(xr) =r log x.

En efecto, del Teorema 8 se deduce log(xn) = n log x cuando n ∈N. De xn ·x−n = 1 resulta 0 = log(xn ·x−n) = log(xn)+ log(x−n) =n log x+log(x−n), de donde log(x−n) = −n log x. Esto demuestra elcorolario cuando r ∈ Z. En el caso general, r = p/q donde p, q ∈ Z,por definicion (xp/q)q = xp, de aquı, por lo que acabamos de probar,q log(xp/q) = p log x, de donde log(xp/q) = (p/q) log x.

Corolario 2. log : R+ → R es sobreyectiva.

Como log es continua, su imagen es un intervalo, por tanto bastademostrar que log no esta acotada, ni superior ni inferiormente, loque es consecuencia de las igualdades log(2n) = n log 2 y log(2−n) =−n log 2.

Como log es una funcion estrictamente creciente, entonces esuna biyeccion de R+ en R. Su inversa, exp : R → R+, se llamafuncion exponencial. Por definicion, exp(x) = y ⇔ log y = x, o sealog(exp(x)) = x y exp(log y) = y.

Existe un unico numero real cuyo logaritmo es igual a 1. Estese denota con el sımbolo e. En breve demostraremos que e coincidecon el numero introducido en los Ejemplos 12 y 13 del Capıtulo 3.De momento, su definicion es e = exp(1).

Seccion 3 Logaritmos y exponenciales 159

Teorema 9. La funcion exponencial exp : R → R+ es una biyec-cion creciente de clase C∞, tal que (exp x)′ = exp(x) y exp(x+y) =exp(x)·exp(y) para cualesquiera x, y ∈ R. Ademas, para todo r ∈ Qse tiene exp(r) = er.

Demostracion: Por la regla de derivacion de la funcion inversa,para cada x ∈ R, tal que exp(x) = y, se tiene (exp x)′ = 1/(log y)′ =y = exp(x). Ası exp′ = exp, de donde exp ∈ C∞. Dados x, y ∈ R,sean x′ = exp x e y′ = exp y, luego x = log x′ e y = log y′. Entoncesexp(x+ y) = exp(log x′ + log y′) = exp[log(x′y′)] = exp(x) · exp(y).Si r es racional, el Corolario 1 del Teorema 8 nos da log(exp(r)) =r = r · 1 = r log(e) = log(er); ası, por la inyectividad de log,exp(r) = er.

La igualdad exp(r) = er, si r ∈ Q, junto con la relacion exp(x+y) = exp(x) · exp(y) nos indican que exp(x) se comparta comouna potencia con base e y exponente x. Escribiremos entonces, pordefinicion, ex = exp(x) para todo x ∈ R. Gracias a esto, pasa atener significado la potencia ex para cualquier x real.

Con esta notacion tenemos

ex+y = ex · ey , e0 = 1 , e−x = 1/ex ,

x < y ⇔ ex < ey

log(ex) = x = elog x .

Tambien tenemos lımx→∞

ex = +∞ y lımx→−∞

ex = 0, como se puede

ver facilmente.

Por el Teorema del Valor Medio, para todo x > 1, existe c talque 1 < c < x y log x = log x − log 1 = (log c)′(x− 1) = (x− 1)/c.Ası se tiene log x < x para todo x ≥ 1. Como log x = 2 log

√x,

tenemos 0 < log x < 2√x, de donde 0 < log x/x < 2/

√x para todo

x ≥ 1. Como lımx→+∞

(2/√x) = 0, se tiene que lım

x→∞log x/x = 0, lo

que ya habıa sido probado en el final del Capıtulo 3 suponiendo quex = n ∈ N.

Por otra parte, dado cualquier polinomio p(x), se tiene lımx→+∞

p(x)/ex =

0. Para probar esto es suficiente considerar el caso p(x) = xk. En-tonces escribimos ex/k = y, de donde x = k · log y. Evidentemente,x→ +∞ si, y solo si, y → +∞.

Por tanto

lımx→+∞

( x

ex/k

)

= lımy→+∞

(

klog y

y

)

= 0 ,

y ası

lımx→+∞

xk

ex= lım

x→+∞

( x

ex/k

)k

= 0 .

Si c y k son constantes reales, la funcion f(x) = c · ekx tienederivada k · c · ekx = kf(x). Esta propiedad de ser la derivada dela funcion f proporcional a sı misma es la causa de gran parte delas aplicaciones de la funcion exponencial. Demostraremos que estapropiedad es exclusiva de las funciones de este tipo.

Teorema 10. Sea f : I → R derivable en el intervalo I, conf ′(x) = k · f(x). Si para algun x0 ∈ I se tiene f(x0) = c, entoncesf(x) = c · ek(x−x0) para todo x ∈ I.

Demostracion: Sea ϕ : I → R definida como ϕ(x) = f(x) ·e−k(x−x0). Entonces ϕ′(x) = f ′(x)e−k(x−x0) − kf(x)e−k(x−x0) = 0.Luego ϕ es constante. Como ϕ(x0) = c, se tiene ϕ(x) = c para todox ∈ I, o sea, f(x) = c · ek(x−x0).

Como la derivada de la funcion f(x) = ex tambien es f ′(x) = ex,tenemos f ′(0) = 1. Por tanto, de la definicion de derivada se deduceque lım

x→0(ex − 1)/x = 1.

Dados a > 0 y x ∈ R, definiremos la potencia ax de forma quesea valida la formula log(ax) = x log a. Para esto, tomaremos dichaigualdad como definicion, o sea, diremos que ax es el (unico) numeroreal cuyo logaritmo es igual a x · log a.

En otras palabras, ax = ex log a.La funcion f : R → R, definida como f(x) = ax, tiene las

propiedades esperadas.La primera es que si x = p/q ∈ Q (donde q > 0), f(x) = q

√ap.

En efecto, f(x) = exp((p/q) log a) = exp(log q√ap) = q

√ap.

Se tiene ax+y = ax · ay, a0 = 1, a−x = 1/ax y (ax)y = axy.La funcion f(x) = ax tiene derivada f ′(x) = ax · log a, por tanto

es de clase C∞. La derivada f ′ es positiva si a > 1 y negativa si0 < a < 1.

Luego en el primer caso f es creciente, y decreciente en el se-gundo. Cuando a > 1, se tiene lım

x→+∞ax = +∞ y lım

x→−∞ax = 0. Si

Seccion 4 Integrales impropias 161

0 < a < 1, los valores de estos lımites se intercambian. En cualquiercaso, f(x) = ax es una biyeccion de R en R+ cuya inversa se denotamediante loga : R

+ → R; loga x se llama logaritmo de x en base a.Ası, y = loga x ⇔ ax = y, volviendo a la definicion clasica.

Cuando a = e, se tiene loge x = log x. Por tanto, el logaritmo quedefinimos al principio de esta seccion tiene base e. Es el llamadalogaritmo natural o logaritmo neperiano. Para todo x > 0 tenemos

elog x = x = a loga x = eloga z·log a ,

por tanto, log x = loga x · log a, o sea, loga x = log x/ log a. Comoconsecuencia de esta ultima formula tenemos las propiedades deloga x analogas a las de log x, como loga(xy) = loga x + loga y o(loga x)

′ = 1x log a

.Para finalizar esta seccion demostraremos que e coincide con el

numero definido en los Ejemplos 12 y 13 del Capıtulo 3.La derivada de la funcion log x es igual a 1/x. En el punto x = 1

esta derivada vale 1. Esto significa que

lımx→0

log(1 + x)

x= 1 ,

o sea,lımx→0

log(1 + x)x = 1 .

Como (1 + x)1/x = exp{log[(1 + x)1/x]}, entonces lımx→0

(1 + x)1/x =

exp(1) = e, Si hacemos y = 1/x concluimos que lımy→∞

(1+1/y)y = e.

En particular, lımn∈N

(1 + 1/n)n = e.

4. Integrales impropias

Las hay de dos clases: integrales de funciones que no estan acota-das (definidas en un intervalo acotado pero no cerrado) e integralesde funciones definidas en un intervalo que no esta acotado.

El siguiente teorema descarta el caso trivial.

Teorema 11. Sea f : (a, b] → R acotada, tal que la restriccionf |[c,d] es integrable para todo c ∈ (a, b]. Entonces, sea cual fuere elvalor que se le asigne a f(a), se obtiene una funcion integrable tal

que∫ b

af(x)dx = lım

c→a+

∫ b

c

f(x)dx.

Demostracion: Sea K tal que a ≤ x ≤ b⇒ |f(x)| ≤ K. Dado ε >0 tomemos c ∈ (a, b] con K ·(c−a) < ε/4. Como f |[c,b] es integrable,existe una particion P de [c, d] tal que S(f ;P ) − s(f ;P ) < ε/2.Entonces Q = P ∪ {a} es una particion de [a, b] tal que

S(f ;P )− S(f ;Q) ≤ 2K(c− a) + S(f ;P )− s(f ;P ) < ε ,

luego f : [a, b] → R es integrable. La integral indefinida F : [a, b] →R, F (x) =

∫ b

xf(x)dx, cumple la condicion de Lipschitz |F (y) −

F (x)| ≤ K|y − x|, luego es (uniformemente) continua, de donde

F (a) = lımc→a+

F (c) = lımc→a+

∫ b

c

f(x)dx.

Un resultado analogo es valido para f : [a, b) → R.

Por tanto, es suficiente considerar f : (a, b] → R que no estanacotadas. Supondremos tambien que f es continua. La integral im-propia

∫ b

af(x)dx se define como

∫ b

a

f(x)dx = lımε→0+

∫ b

a+ε

f(x)dx .

En cada intervalo cerrado [a+ ε, b], f es continua, luego es inte-grable. El problema reside en saber si existe o no el lımite anterior.Si el lımite existe la integral es convergente, si este no existe la in-tegral es divergente.

Evidentemente, el caso de una funcion continua f : [a, b) → Rque no esta acotada se trata de forma semejante, haciendo

∫ b

af(x)dx =

lımε→0+

∫ b−ε

a

f(x)dx. Finalmente, el caso f : (a, b) → R continua

se reduce a los dos anteriores tomando c ∈ (a, b) y escribimoa∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx.

Ejemplo 1. Sea f : [0, 1] → R dada por f(x) = 1/xα. Suponiendoα 6= 1, tenemos

∫ 1

0

dx

xα= lım

ε→0+

∫ 1

ε

dx

xα= lım

ε→0+

x1−α

1− α

∣

∣

∣

∣

1

ε

= lımε→0+

1− ε1−α

1− α

=

{

+∞ si α > 11

1− αsi α < 1

.

Cuando α = 1, tenemos∫ 1

0

dx

x= lım

ε→0+

∫ 1

ε

dx

x= lım

ε→0+log x

∣

∣

∣

1

ε= lım

ε→0+(− log ε) = +∞ .

Por tanto∫ 1

0dx/xα diverge cuando α ≥ 1 y converge a (1−α)−1 si

α < 1. En particular, α = 1/2 nos da∫ 1

0dx/

√x = 2.

Ejemplo 2. Sea f : [0, 1) → R, f(x) = 1/√1− x2. Entonces

∫ 1

0

dx/√1− x2 = lım

ε→0+

∫ 1−ε

0

dx/√1− x2

= lımε→0+

arc sen x∣

∣

∣

1−ε

0

= lımε→0+

arc sen(1− ε)

= arc sen 1 =π

2.

Cuando f : (a, b] → R cumple f(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b],

la integral∫ b

af(x)dx converge si, y solo si, existe k > 0 tal que

∫ b

a+εf(x)dx ≤ k para todo ε ∈ (b − a), pues la funcion ϕ(ε) =

∫ b

a+εf(x)dx es creciente. Si existe una funcion g : (a, b] → R tal

que∫ b

ag(x)dx es convergente y 0 ≤ f(x) ≤ k · g(x) para todo

x ∈ (a, b], entonces∫ b

af(x)dx es convergente pues, en este caso,

ϕ(ε) ≤ k ·∫ b

ag(x)dx para todo ε ∈ (0, b− a).

Ejemplo 3. La integral I =∫ 1

0dx/√

(1− x2)(1− k2x2) conver-ge siempre que k ∈ R cumpla k2 < 1. En efecto, como 0 ≤x ≤ 1, tenemos 1 − k2 ≤ 1 − k2x2. Haciendo K = 1/

√1− k2

se tiene que 1/√

(1− x2)(1− k2x2) ≤ K/√1− x2, por tanto I ≤

∫ 1

0k/

√1− x2 = kπ/2.

Se dice que la integral impropia∫ b

af(x)dx es absolutamente con-

vergente cuando∫ b

a|f(x)|dx es convergente. Como en el caso de las

series, la convergencia de∫ b

a|f(x)|dx implica la de

∫ b

af(x)dx.

En efecto, dada f : (a, b] → R continua, definimos, para a <x < b, su parte positiva y su parte negativa, f+, f− : (a, b] → R,como:

f+(x) = max{f(x), 0} y f−(x) = max{−f(x), 0} .

Entonces f+(x) =12[|f(x)|+f(x)] y f−(x) = 1

2[|f(x)|−f(x)], ası f+

y f− son continuas. Ademas, tenemos que f+(x) ≥ 0, f−(x) ≥ 0,f = f+ − f− y |f | = f+ + f−, de donde f+ ≤ |f | y f− ≤ |f |.De estas desigualdades se deduce que si

∫ b

af(x)dx es absolutamen-

te convergente entonces∫ b

af+(x)dx y

∫ b

af−(x)dx convergen. Luego

∫ b

af(x)dx =

∫ b

af+(x)dx−

∫ b

af−(x)dx es convergente.

Por tantto sirve el criterio de comparacion: si f, g : [a, b) → Rson continuas y

∫ b

ag(x)dx converge entonces la condicion |f(x)| ≤

k · g(x) para todo x ∈ [a, b) implica que∫ b

af(x)dx es (absoluta-

mente) convergente. Por ejemplo, si f : [a, b) → R es continua yexisten constantes k > 0 y α < 1 tales que |f(x)| ≤ k/(b−x)α para

todo x ∈ [a, b), entonces la integral∫ b

af(x)dx es (absolutamente)

convergente.A continuacion trataremos de integrales definidas en intervalos

que no estan acotados.Dada f : [a,+∞) → R continua, se define la integral impropia

de f como:∫ +∞

a

f(x)dx = lımA→+∞

∫ A

a

f(x)dx .

Si el lımite anterior existe, se dice que la integral es conver-gente. En caso contrario se dice que es divergente. Una definicionanaloga sirve para f : (−∞, b] → R. Entonces

∫ b

−∞ f(x)dx =

lımB→−∞∫ b

Bf(x)dx. Finalmente, para f : (−∞,+∞) → R se toma

un punto cualquiera a ∈ R (en general a = 0) y se escribe

∫ +

−∞∞f(x)dx =

∫ a

−∞f(x)dx+

∫ +∞

a

f(x)dx .

Ejemplo 4. Sea f : [1,+∞) → R, f(x) = 1/xα. Si α 6= 1 se tiene

∫ A

1

dx

xα=A1−α − 1

1− α,

luego∫ ∞

1

dx

xα=

1

1− α

converge si α > 1. Por otra parte, si α ≤ 1,∫ +∞1

dx/xα diverge.Esto contrasta con el comportamiento de la integral de la mismafuncion en el intervalo (0, 1].


Ejemplo 5.∫ +∞0

dx/(1 + x2) = π/2. En efecto, arctan x es unaprimitiva de 1/(1 + x2). Por consiguiente

∫ +∞

0

dx

1 + x2= lım

A→+∞(arctanA− arctan 0) =

π

2.

Se dice que una integral∫ +∞a

es absolutamente convergente

cuando∫ +∞a

|f(x)|dx converge. Como cuando tenıamos intervalos

acotados, se prueba que en tal caso,∫ +∞a

f(x)dx converge.Por tanto sirve el criterio de comparcion: si f, g : [a,+∞) → R

son continuas,∫ +∞a

g(x)dx converge y existe k > 0 tal que |f(x)| ≤k · |g(x)| para todo x ∈ [a,+∞), entonces

∫ +∞a

f(x)dx es (absolu-tamente) convergente. En particular, si |f(x)| ≤ k/xα, con α > 1,entonces

∫ +∞a

f(x)dx es (absolutamente) convergente.

Ejemplo 6. Sea a > 0. La integral∫ +∞a

dx/x2 es convergente, comose puede ver facilmente, su valor es 1/a. Incluso su no supiesemosque la derivada de arctanx es 1/(1 + x2), concluirıamos, por com-paracion, que

∫ +∞a

dx/(1 + x2) converge, pues 1/(1 + x2) ≤ 1/x2.

Ejemplo 7. (La funcion Gamma) Se trata de la funcion Γ : (0,+∞) →R, definida para todo t > 0 como la integral Γ(t) =

∫ +∞0

e−xxt−1dx.Para demostrar que dicha integral converge la descompondremosen la suma

∫ 1

0+∫ +∞1

. La integral∫ 1

0e−xxt−1dx converge porque

e−xxt−1 ≤ 1/x1−t. El segundo sumando,∫ +∞1

e−xxt−1dx, conver-ge porque e−xxt−1 ≤ 1/x2 para todo x suficientemente grande.En efecto, esta desigualdad es equivalente a xt+1/ex ≤ 1. Ahorabien, sabemos que lım

x→+∞xt+1/ex = 0, luego existe a > 0 tal que

x > a⇒ xt+1/ex ≤ 1. La funcion gamma extiende la nocion defactorial pues Γ(n) = (n − 1)! para todo n, como se puede verintegrando por partes.

Ejemplo 8. La integral de Dirichlet I =∫∞0(sen x/x)dx converge,

pero no absolutamente. En efecto, para todo n ∈ N, sea an =∫ (n+1)π

nπ| sen x/x|dx. Entonces I = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · . Es claro

que a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥ · · · y que lım an = 0. Luego, por el Teoremade Leibniz, la serie

∑∞n=0(−1)nan (y en consecuencia la integral)

converge. Por otra parte,∫ +∞0

| sen x|/xdx es la suma de la serie∑∞

n=0 an, cuyo termino an es el area de una region que contiene un


triangulo de base π y altura 2/(2n+1)π. El area de dicho trianguloes igual 1/(2n+ 1). Como la serie armonica es divergente, se tieneque

∑

an = +∞. (Se puede probar que∫∞0

sen x/xdx = π/2).

Una aplicacion bastante conocida de las integrales impropias esel criterio de convergencia de series de numeros, recogido en el si-guiente teorema, cuya demostracion se puede encontrar en cualquierlibro de calculo.

Teorema 12. Sea f : [a,+∞) → R, continua y monotona crecien-te. Para cada numero natural n ≥ a, sea an = f(x). Entonces laserie

∑

an converge si, y solo si, la integral∫ +∞a

f(x)dx converge.

5. Ejercicios

Seccion 1: Teorema clasicos del Calculo Integral

1. Sea f : [a, b] → R integrable y continua por la derecha enel punto x0 ∈ [a, b). Pruebe que F : [a, b] → R, median-te F (x) =

∫ x

af(t)dt, es derivable por la derecha en punto

x0 y que F ′+(x0) = f(x0). Enuncie un resultado similar con

“izquierda” en vez de derecha. De ejemplos de funciones fintegrables y discontinuas en el punto x0 tales que:

(a) Existe F ′(x0).

(b) No existe F ′(x0).

2. Sea f : [a, b] → R derivable tal que f ′ es integrable. Prue-be que para cualesquiera x, c ∈ [a, b] se tiene f(x) = f(c) +∫ x

cf ′(x)dx. Concluya que el Teorema 5 es valido con “inte-

grable” en vez de continua.

3. Sea f : [a, b] → R derivable, tal que f ′ es integrable y f ′(x) ≥0 para todo x ∈ [a, b]. Si {x ∈ [a, b] : f ′(x) = 0} tiene conte-nido nulo, pruebe que f es estrictamente creciente.

4. Dada f : [a, b] → R con derivada continua, pruebe el Teoremadel Valor Medio (Teorema 7 del Capıtulo 8) como consecuen-cia de la formula del mismo nombre para integrales (Corolarioal Teorema 11 en este capıtulo).


5. Sean f : [a, b] → R continua y α, β : I → [a, b] derivables.

Defina ϕ : I → R escribiendo ϕ(x) =∫ β(x)

α(x)f(t)dt para todo

x ∈ I. Pruebe que ϕ es derivable y que ϕ′(x) = f(β(x))β ′(x)−f(α(x))α′(x).

6. Sean f : [0, 1] → R la funcion del Ejercicio 1.3 y g : [0, 1] → Rdefinida como g(0) = 0 y g(x) = 1 si x > 0. Demuestre que fy g son integrables pero que g ◦ f : [0, 1] → R no lo es.

7. Dada f : [a, b] → R con derivada integrable, sea m = (a +

b)/2. Pruebe que f(a) + f(b) = [2/(b − a)]∫ b

a[f(x) − f(x −

m)f ′(x)]dx.

8. Sean f : [a, b] → R, f continua y p integrable tal que p(x) ≥ 0

para todo x ∈ [a, b]. Pruebe que si∫ b

af(x)p(x)dx = f(a)

∫ b

ap(x)dx

entonces existe x ∈ (a, b) tal que f(a) = f(c) (existe un re-sultado analogo con f(b) en vez de f(a)). Concluya que en elTeorema 4 se puede tomar c ∈ (a, b) y que en el corolario deTeorema 6 se puede exigir que θ ∈ (0, 1).

Seccion 2: La integral como lımite de sumas de Riemann

1. Con la ayuda de las sumas de Riemann pruebe la validez delas siguientes igualdades:

(a) lımn→∞

1

np+1

n∑

i=1

ip =1

p+ 1,

(b) lımn→∞

1

n

n∑

i=1

sen

(

iπ

n

)

=2

π.

2. Dada f : [a, b] → R, acotada o no, tiene sentido considerarpara cualquier particion puntuada P ∗ la suma de Riemann∑

(f ;P ∗). Pruebe que si existe lım|P |→0

∑

(f ;P ∗), entonces f es

una funcion acotada.

3. Pruebe el recıproco del Teorema 7: si existe lım|P |→0

∑

(f ;P ∗) =

L, entonces la funcion acotada f : [a, b] → R es integrable y∫ b

af(x)dx = L.


4. Sean f, g : [a, b] → R integrables. Para cada particion P ={t0, . . . , tn} de [a, b] sean P ∗ = (P, ξ) y P# = (P, η) dos parti-

ciones puntuadas de P . Pruebe que lım|P |→0

∑

(f(ξ)g(ηi))(ti −

ti−1) =

∫ b

a

f(x)g(x)dx.

5. Dadas f, g : [a, b] → R, para cada particion puntuada P ∗ de[a, b] se define la suma de Riemann-Stieltjes

∑

(f, g;P ∗)∑

f(xi)[g(ti)−g(ti−1)]. Pruebe que si f es integrable y g posee derivada in-tegrable, entonces

lım|P |→0

∑

(f, g;P ) =

∫ b

a

f(x)g′(x)dx .

6. Dada f : [a, b] → R, para cada n ∈ N sea

M(f ;n) =1

n

n∑

i=1

f(a+ ih), h =(b− a)

n,

la media aritmetica de los valores f(a+h), f(a+2h), . . . , f(a+kh) = f(b). Pruebe que si la funcion f es integrable, entonces

lımn→∞

M(f ;n) =1

(b− a)

∫ b

a

f(x)dx.

Por esto, el segundo miembro de esta igualdad se llama valorde la funciıon f en el intervalo [a, b].

7. Pruebe que si f : [a, b] → R es convexa entonces f

(

a+ b

2

)

≤1

(b−a)

∫ b

af(x)dx.

8. Demuestre que lımn→∞

n!en

nn= +∞. (Calcule

∫ n

1log xdx y consi-

dere la suma superior de log x relativa a la particion {1, 2, . . . , n}de [1, n]).

Seccion 3: Logaritmos y exponenciales

1. Sean f : R → R y g : R+ → R funciones continuas, noidenticamente nulas, tales que f(x+y) = f(x)·f(y) y g(uv) =

g(u) + g(v) para cualesquiera x, y ∈ R y u, v ∈ R+. Pruebeque existen a, b ∈ R tales que f(x) = eax para todo x ∈ R yg(x) = b log x para todo x ∈ R+.

2. Pruebe que la sucesion cuyo n-esimo termino es xn = 1 +1/2+ · · ·+1/n− logn es decreciente y acotada, luego conver-gente. (Su lımite es conocido como la constante γ de Euler-Mascheroni, que vale aproximadamente y ≃ 0, 5772.)

3. Pruebe que lımx→0

x log x = 0.

4. Pruebe que, para todo x ∈ R, se tiene lımn→∞

(

1 +x

n

)n

= ex.

Seccion 4: Integrales impropias

1. Estudie la convergencia o divergencia de las integrales∫ 1

0

dx

1− cos x,

∫ 3

−3

dx

x3,

∫ 1

−1

dx3√x.

2. Estudie la convergencia o divergencia de las integrales∫ +∞

0

dx

(1 + x)√x,

∫ +∞

−∞

dx

1 + x6,

∫ +∞

1

xdx

1− ex.

3. Demuestre que∫ +∞0

sen(x2)dx converge, pero no absoluta-mente.

4. Demuestre que, aunque la funcion f(x) = x sen(x4) no esta aco-tada, la integral

∫ +∞0

x sen(x4)dx es convergente.

5. Sea f : [a,+∞) → R continuas, positiva y monotonna cre-ciente. Pruebe que si

∫ +∞a

f(x)dx es convergente, entonceslım

x→+∞x · f(x) = 0.

6. Sea f : [a,+∞) → R integrable en cada intervalo acotado[a, x]. Pruebe que su integral impropia

∫ +∞

a

f(x)dx = lımx→∞

∫ x

a

f(x)dx

existe si, y solo si, dado ε > 0, existe A > 0 tal que A < x < yimplica |

∫ y

xf(t)dt| < ε. (“Criterio de Cauchy”).

7. Pruebe el Teorema 12.

12

Sucesionesy series de funciones

En muchos problemas de Matematicas y de sus aplicaciones se bus-ca una funcion que cumpla determinadas condiciones. Es frecuenteen estos casos obtener una sucesion de funciones f1, f2, . . . , fn, . . . ,cada una de las cuales cumple las condiciones exigidas, pero solo deforma aproximada; sin embargo estas aproximaciones son cada vezmejores. Entonces se espera que la funcion lımite de esta sucesiontambien cumpla tales condiciones. Esto nos lleva a estudiar lımitesde sucesiones de funciones.

Muchas veces cada funcion de la sucesion se obtiene a partirde lo anterior sumando una funcion gn. En este caso se tiene unaserie de funciones

∑

gn. En este capıtulo se estudiaran sucesionesy series de funciones.

Mientras que para las sucesiones y series de numeros existe so-lamente una nocion de lımite, para las funciones existen varias.Aquı examinaremos las dos nociones mas comunes, que definiremosa continuacion.

1. Convergencia puntual y convergencia uniforme

Se dice que una sucesion de funciones fn : X → R (n = 1, 2, . . .)converge puntualmente a una funcion f : X → R cuando para todox ∈ X , la sucesion de numeros f1(x), . . . , fn(x), . . . converge a f(x).

171

172 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12

Ası, fn → f puntualmente en X cuando, dados ε > 0 y x ∈ Xexiste n0 (que depende de ε y de x) tal que n > n0 ⇒ |fn(x) −f(x)| < ε.

Graficamente, en cada recta vertical que pasa por un punto x ∈X queda determinada una sucesion de puntos (x, f1(x)), . . . , (x, fn(x)), . . .las intersecciones de dicha recta con los graficos de f1, . . . , fn. Estospuntos convergen a (x, f(x)), la interseccion de la recta vertical conel grafico de f .

Ejemplo 1. La sucesion de funciones fn : R → R, donde fn(x) =x/n converge puntualmente a la funcion f : R → R identicamentenula. En efecto, para cada x, se tiene lım

n→∞(x/n) = 0.

Un tipo de convergencia de funciones, mas fuerte que la con-vergencia puntual, es la convergencia uniforme, que definimos acontinuacion.

Una sucesion de funciones fn : X → R converge uniformementea una funcion f : X → R cuando, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N(que depende exclusivamente de ε) tal que n > n0 ⇒ |fn(x)−f(x)|εse cual fuere x ∈ X .

En el plano R2, dado ε > 0, la banda de radio ε alrededor delgrafico de f es el conjunto

F (f ; ε) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ X, f(x)− ε < y < f(x) + ε} .

Decir que fn → f uniformemente en X significa que, para todoε > 0, existe n0 ∈ N tal que el grafico de fn esta contenido en labanda de radio ε alrededor de f para todo n > n0.

Seccion 1 Convergencia puntual y convergencia uniforme 173

fnf

x

}ε}ε

Fig. 10 - El grafico de fn esta contenido en la bandaF (f ; ε).

Ejemplo 2. Nunguna banda de radio ε alrededor del eje de abscisas(grafico de la funcion identicamente nula) contiene al grafico decualquier funcion fn : R → R, fn = x/n. Luego la sucesion (fn) delEjemplo 1 no converge uniformemente a la funcion identicamentenula. Por otra parte, si X ⊂ R es un conjunto acotado, supongamosque |x| ≤ c para todo x ∈ X , entonces fn → 0 uniformementeen X . En efecto, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Entoncesn > n0 ⇒ |fn(x)| = |x|/n < c/n0 < ε.

Ejemplo 3. La sucesion de funciones continuas fn : [0, 1] → R,fn(x) = xn, converge puntualmente a la funcion discontinua f :[0, 1] → R, f(x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f(1) = 1. La convergencia esuniforme en cada intervalo de la forma [0, 1 − δ], 0 < δ < 1, perono es uniforme en [0, 1]. Estas dos afirmaciones son consecuencia depropiedades generales (a saber, los Teoremas 1 y 2 de abajo), perose pueden probar facilmente a partir de la definicion. En efecto,si escribimos a = 1 − δ, tenemos 0 < a < 1, luego lım

n→∞an = 0.

Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ an < ε. Entoncesn > n0 ⇒ 0 < fn(x) < an < ε para todo x ∈ [0, a]. Por tantofn → 0 uniformemente en el intervalo [0, 1 − δ]. Por otra parte, sitomamos ε = 1/2 afirmamos que, sea cual fuere n0 ∈ N, existenpuntos x ∈ [0, 1] tales que |fn0(x) − f(x)| ≥ 1/2, o sea, xn0 ≥1/2. Basta observar que lım

x→1−xn = 1. Luego existe δ > 0 tal que

1 − δ < x < 1⇒ xn0 > 1/2. Esto demuestra que fn no convergeuniformemente a f en el intervalo [0, 1].

y=x

y=x2

y=x3

y=x4

Fig. 11 - Las funciones fn(x) = xn convergen puntual-

mente en el intervalo [0, 1] a una funcion discontinua.

Ejemplo 4. La sucesion de funciones continuas fn : [0, 1] → R,fn(x) = xn(1 − xn), converge puntualmente a la funcion identica-mente nula. Esta convergencia no es uniforme. En efecto, para todon ∈ N tenemos fn(

n√

1/2) = 1/4. Luefo, si ε = 1/4, ninguna fun-cion fn tiene su grafico contenido en la banda de radio ε alrededorde la funcion 0. Por otra parte, si 0 < δ < 1, tenemos fn → 0 uni-formemente en el intervalo [0, 1 − δ], pues xn → 0 uniformementeen dicho intervalo y 0 ≤ xn(1− xn) ≤ xn.

1

4

10

f1

f2

f3

Fig. 12

Las consideraciones hechas en esta seccion incluyen a la sumaf =

∑

fn de una serie de funciones fn : X → R. En este importantecaso particular se tiene f = lım sn, sn(x) = f1(x)+ · · ·+fn(x) para

Seccion 2 Propiedades de la convergencia uniforme 175

todo n ∈ N y x ∈ X . Ası, decir que la serie∑

fn converge uniforme-mente significa que la sucesion (sn) converge uniformemente, y esequivalente a afirmar que la sucesion de funciones rn : X → R (“res-tos” de la serie), definidas mediante rn(x) = fn+1(x)+fn+2(x)+ · · ·converge uniformemente a 0. En efectom basta observar que rn =f − sn.

2. Propiedades de la convergencia uniforme

Teorema 1. Si una sucesion de funciones fn : X → R convergeuniformemente a f : X → R y cada fn es continua en el puntoa ∈ X entonces f es continua en el punto a.

Demostracion: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn(x)−f(x)| < ε/3 para todo x ∈ X . Fijemos un numero natural n > n0.Como fn es continua en el punto a, existe δ > 0 tal que x ∈ X ,|x− a| < δ⇒ |fn(x)− fn(a)| < ε/3, de donde

|f(x)− f(a)| ≤ 1fn(x)− f(x)|+ |fn(x)− fn(a)|+ |fn(a)− f(a)|<

ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Lo que prueba el teorema.

Ejemplo 5. La sucesion de funciones continuas fn(x) = xn nopuede converger uniformemente en [0, 1], pues converge puntual-mente a la funcion discontinua f : [0, 1] → R, f(x) = 0 si 0 ≤x < 1, f(1) = 1. Por otra parte, la sucesion de funciones continuasfn(x) = xn(1− xn) converge puntualmente a la funcion 0 en el in-tervalo [0, 1], que es continua, sin que esto implique la convergenciauniforme. La misma observacion se puede hacer a proposito de lasucesion de funciones continuas fn : R → R, fn(x) = x/n. De es-to trata el proximo teorema. Antes de demostrarlo, daremos unadefinicion.

Se dice que una sucesion de funciones fn : X → R, convergemonotonamente a f : X → R cuando, para todo x ∈ X , la suce-sion de funciones (fn(x))n∈N es monotona y converge a f(x). Porejemplo, las funciones de los Ejemplos 1 y 3 convergen monotona-mente.

Es claro que si fn → f monotonamente enX , entonces |fn+1(x)−f(x)| ≤ |fn(x)− f(x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N.

Teorema 2. (Dini). Si la sucesion de funciones continuas fn :X → R converge monotonamente a la funcion continua f : X → Ren un conjunto compacto X entonces la convergencia es uniforme.

Demostracion: Dado ε > 0, escribimos, para cada n ∈ N, Xn ={x ∈ X : |fn(x) − f(x)| ≥ ε}. Como fn y f son continuas, cadaXn es compacto. A su vez, la monotonıa de la convergencia implicaX1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · · . Finalmente, como lım

n→∞fn(x) = f(x) para

todo x ∈ X , vemos que⋂∞

n=1Xn = ∅. Del Teorema 9, Capıtulo 5,se deduce que algun Xn0 (y por tanto todo Xn tal que n > n0) esvacıo. Esto significa que n > n0 ⇒ |fn(x)−f(x)| < ε, sea cual fuerex ∈ X .

Ejemplo 6. La sucesion de funciones continuas fn : [0, 1) → R,fn(x) = xn, converge monotonamente a la funcion (continua) identi-camente nula en el conjunto [0, 1), que no es compacto; sin embargo,la convergencia no es uniforme. En efecto, dado 0 < ε < 1, paratodo n ∈ N existen puntos x ∈ [0, 1) tales que xn > ε, ya quelımx→−1

xn = 1 > ε.

Teorema 3. (Paso al lımite bajo el signo integral). Si lasusesion de funciones integrables fn : [a, b] → R converge uniforme-mente a f : [a, b] → R entonces f es integrable y

∫ b

a

f(x)dx = lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx .

En otra palabras: si la convergencia es uniforme,∫ b

af(x)dx = lım

n→∞

∫ b

a

fn.

Demostracion: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn(x)−f(x)| < ε/4(b − a) para todo x ∈ [a, b]. Fijemos m > n0, como fmes integrable exist una particion P tal que, si indicamos medianteωi, ω

′i las oscilaciones de f y fm, respectivamente, en el intervalo

[ti−1, ti] de P , se tiene∑

ω′i(ti − ti−1) < ε/2. Por otra parte, para

cualesquiera x, y ∈ [ti−1, ti] se tiene:

|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− fm(y)|+ |fm(y)− fm(x)|+ |fm(x)− f(x)|< ω′

i +ε

2(b− a).

Por tanto, ωi < ω′i + ε/2(b− a). De donde

∑

ωi(ti − ti−1) ≤∑

ω′i(ti − ti−1) + [ε/2(b− a)]

∑

(ti − ti−1)

< ε/2 + ε/2 = ε .

Esto demuestra que f es integrable. Ademas,∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

fn(x)dx

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

[f(x)− fn(x)]dx

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|f(x)− fn(x)|dx

≤ (b− a)ε

4(b− a)< ε

si n > n0. En consecuencia, lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

Observacion. Si cada fn es continua la demostracion se simplificaconsiderablemente pues entonces f tambien es continua, y por tantointegrable.

Ejemplo 7. Si una sucesion de funciones integrables fn : [a, b] → Rconverge puntualmente a f : [a, b] → R, puede suceder que f no seaintegrable. Por ejemplo, si {r1, r2, . . . , rn, . . .} es una enumeracionde los numeros racionales en [a, b] y definimos fn como la funcionque vale 1 en los puntos r1, r2, . . . , rn y cero en los demas puntos de[a, b], entonces fn converge puntualmente a la funcion f : [a, b] → Rtal que f(x) = 1 si x ∈ Q ∩ [a, b] y f(x) = 0 si x es racional.Evidentemente, cada fn es integrable, y sin embargo f no lo es.

Ejemplo 8. Incluso cuando una sucesion de funciones integrablesfn : [a, b] → R converge puntualmente a una funcion integrable

f : [a, b] → R, puede suceder que lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx 6=∫ b

a

f(x)dx.

Por ejemplo, para cada n ∈ N, sea fn : [0, 1] → R definida comofn(x) = nxn(1− xn). Entonces fn(1) = 0 y 0 ≤ fn(x) < nxn si 0 ≤x < 1. Ahora bien, lım

n→∞nxn = 0 si 0 ≤ x < 1. Por tanto fn converge

puntualmente en [0, 1] a la funcion identicamente nula. Ademas∫ 1

0fn(x)dx = n2/(n+ 1)(2n+ 1); por tanto lım

n→∞

∫ b

0

fn(x)dx = 1/2

y sin embargo∫ 1

0f(x)dx = 0.


Para que se verifique que la derivada del lımite sea igual al lımitede las derivadas, en vez de suponer que fn converge uniformemen-te, se tiene que postular que la sucesion de las derivadas converjauniformemente.

Teorema 4. (Derivacion termino a termino). Sea (fn) unasucesion de funciones de clase C1 en el intervalo [a, b]. Si la sucesionformada por los numeros (fn(c)) converge para algun c ∈ [a, b] ylas derivadas f ′

n convergen uniformemente a una funcion g en [a, b],entonces (fn) converge uniformemente a una funcion f , de clase C1,tal que f ′ = g en [a, b]. En resumen: (lım fn)

′ = lım f ′n siempre que

las derivadas f ′n converjan uniformemente.

Demostracion: Por el Teorema Fundamental del Calculo, paracada n ∈ N y todo x ∈ [a, b], tenemos fn(x) = fn(c) +

∫ x

cf ′n(t)dt.

Si hacemos n → ∞, vemos por el Teorema 3, que existe f(x) =lımn→∞

fn(x) y que f(x) = f(c) +∫ x

cg(t)dt. Ademas, por el Teorema

1, g es continua, luego (de nuevo por el Teorema Fundamental delCalculo) f es derivable y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. Enparticular, f ′ es continua, esto es, f es de clase C1. Solo nos faltaprobar que la convergencia fn → f es uniforme. Ahora bien,

|fn(x)− f(x)| ≤ |fn(c)− f(c)|+∫ x

c

|f ′n(t)− g(t)|dt .

Como f ′n → g uniformemente, resulta que fn → f uniformemente.

Ejemplo 9. La sucesion de funciones fn(x) = sen(nx)/n conver-ge uniformemente cero en toda la recta. Sin embargo la sucesionf ′n(x) = cos(nx) no converge, ni tal siquiera puntualmente, enningun intervalo. (Todo intervalo contiene algun numero de la for-ma x = mπ/p, con m, p enteros, luego cos(nx) alcanza infinitasveces los valores 1 y −1.

En el caso de una serie∑

fn los teoremas anteriores se formulancomo sigue:

1. Si∑

fn converge uniformemente a f y cada fn es continua en elpunto a entonces f es continua en el punto a.

2. Si cada termino fn : X → R es una funcion continua tal quefn(x) ≥ 0 para todo x ∈ X , y la serie

∑

fn converge a unafuncion continua f : X → R en el compacto X , entonces laconvergencia es uniforme.

3. Si cada fn : [a, b] → R es integrable y∑

fn converge uniforme-

mente a f : [a, b] → R, entonces f es integrable y∫ b

a

∑

fn(x)dx =∫ b

af(x)dx.

4. Si cada fn : [a, b] → R es de clase C1,∑

f ′n converge uniforme-

mente en [a, b] y∑

fn(c) converge para algun c ∈ [a, b], enton-ces

∑

fn converge uniformemente a una funcion de clase C1 y(∑

fn)′ =∑

f ′n.

Ejemplo 10. La serie∑∞

n=0 x2/(1 + x2)n, cuyos terminos son fun-

ciones continuas definidas en toda la recta, converge a la suma 1+x2

para todo x 6= 0. En el punto x = 0 todos los terminos de la serieson nulos, luego la suma es cero. De donde la serie dada convergepuntualmente en toda la recta; sin embargo, la convergencia no esuniforme, pues la suma es una funcion discontinua.

El teorema basico sobre convergencia de series de funciones,enunciado a continuacion, no tiene analogo para sucesiones.

Teorema 5. (Criterio de Weiertrass). Dada la sucesion defunciones, fn : X → R, sea

∑

an una serie convergente de numerosreales an ≥ 0 tales que |fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N y xd ∈ X .En estas condicionesm las series

∑

|fn| y∑

fn son uniformementeconvergentes.

Demostracion: Por el criterio de comparacion, para todo x ∈ Xla serie

∑

|fn| (y por tanto la serie∑

fn) es convergente. Dadoε > 0, existe n0 ∈ N tal que

∑

n>n0an < ε. Escribiendo

Rn(x) =∑

k>n

|fn(x)| y rn(x) =∑

k>n

fn(x) ,

se tiene inmediatamente que |rn(x)| ≤ Rn(x) ≤∑

k>n ak < ε paratodo n > n0 luego

∑

|fn| y∑

fn son uniformemente convergentes.


3. Series de potencias

Las funciones mas importantes del Analisis se pueden escribircomo sumas de series de la forma:

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x−x0) + · · ·+ an(x− x0)

n + · · · .

Estas series, que son la generalizacion natural de los polinomios,se llaman series de potencias.

Para simplificar la notacion, preferimos tratar el caso en quex0 = 0, esto es, series de la forma

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n + · · · .

El caso general se reduce a este haciendo el cambio de varia-bles y = x− x0. Ası, los resultados que obtengamos para las series∑

anxn se pueden adaptar facilmente al caso

∑∞n=0 an(x− x0)

n.

La primera propiedad destacable sobre la serie de potencias∑∞

n=0 an(x − x0)n es que el conjunto de valores de x para los que

esta converge es un intervalo centrado en x0. Dicho intervalo puedeser acotado (abierto, cerrado o semiabierto), igual a R, o simple-mente reducirse a un unico punto. Demostraremos esto en breve;antes veamos un ejemplo que ilustra todas estas posibilidades.

Ejemplo 11. Por el criterio de d’Alembert, la serie∑

xn/n! con-verge para cualquier valor de x. La serie

∑

[(−1)n/(2n + 1)]x2n

converge si, y solo si, x ∈ [−1, 1]. La serie∑

[(−1)n/n]xn convergesi x ∈ (−1, 1] y diverge fuera de dicho intervalo. El conjunto depuntos x ∈ R para los que la serie geometrica

∑

xn converge esel intervalo abierto (−1, 1). Finalmente, la serie

∑

nnxn convergeexclusivamente en el punto x = 0.

Dada una serie de potencias∑

anxn, la localizacion de los pun-

tos x donde esta converge se hace mediante el criterio de Cauchy(Teorema 6, Capıtulo 4), que pone de manifiesto el compartamientode la sucesion ( n

√

|an|).

Seccion 3 Series de potencias 181

Si la sucesion ( n√

|an|) no esta acotada entonces la serie∑

anxn

converge solamente cuando x = 0. En efecto, para todo x 6= 0 lasucesion de numeros n

√

|anxn| = |x| n√

|an| no esta acotada, ası queocurre los mismo con |anxn|, luego el termino general de la serie∑

anxn no tiende a cero.

Por otro parte, si la sucesion ( n√

|an|) esta acotada entonces elconjunto:

R = {ρ > 0 : n√

|an| < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande}

no es vacıo. En realidad, es facil ver que si ρ ∈ R y 0 < x < ρ enton-ces x ∈ R. Luego R es un intervalo del tipo (0, r), (0, r] o (0,+∞),donde r = supR. El numero r se llama radio de convergencia dela serie

∑

anxn. (Si R no esta acotada convendremos en escribir

r = +∞).

El radio de convergencia r de la serie de potencias∑

anxn ve-

rifica las siguientes propiedades;

1. Para todo x ∈ (−r, r) la serie∑

anxn converge absolutamente.

En efecto, tomando ρ tal que |x| < ρ < r tenemos n√

|an| < 1/ρ,

por consiguiente n√

|anxn| = |x| n√

|an| < |x|/ρ < 1 para todon ∈ N suficientemente grande. Luego, por el criterio de Cauchy,∑

anxn converge absolutamente.

2. Si |x| > r la serie∑

anxn diverge. En efecto, en este caso x /∈ R,

luego no se tiene n√

|an| < 1/|x| para todo n suficientemente

grande. Esto significa que n√

|an| ≥ 1/|x|, y por tanto |anxn| ≥ 1,para infinitos valores de n. Luego el termino general de la serie∑

anxn no tiende a cero y por tanto la serie diverge.

3. Si x = ±r, en general, no puede afirmarse nada: la serie∑

anxn

puede ser divergente o convergente, segun los diferentes casos.

4. Si existe L = lımn→∞

n√

|an| entonces r = 1/L. (Se sobreentiende

que si L = 0 entonces r = +∞). En efecto, para todo ρ ∈ Rexiste n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ n

√

|an| < 1/ρ. Haciendo n → ∞obtenemos L ≤ 1/ρ, de donde ρ ≤ 1/L. Se deduce que r =supR ≤ 1/L. Ahora supongamos, por reduccion al absurdo, quer < 1/L, entonces tomarıamos c tal que r < c < 1/L, de donde

L < 1/c. Por la definicion de lımite tendrıamos n√

|an| < 1/cpara todo n suficientemente grande, de donde c ∈ R y ası c ≤ r,que es una contradiccion. Luego r = 1/L.

El analisis que acabamos de hacer se puede resumir como sigue:

Teorema 6. Una serie de potencias∑

anxn, o converge exclusiva-

mente cuando x = 0, o existe r, 0 < r ≤ +∞, tal que la serie con-verge absolutamente en el intervalo abierto (−r, r) y diverge fueradel intervalo cerrado [−r, r]. En los extremos −r y r la serie puedeconverger o diverger. Si existe L = lım n

√

|an| entonces r = 1/L. Elnumero r se llama radio de convergencia de la serie. Ademas, setiene 0 < ρ < r ⇔ n

√

|an| < 1/ρ para todo n ∈ N suficientementegrande.

Observacion: Del Teorema 7, Capıtulo 4, se deduce que si loscoeficientes an son diferentes de cero y existe lım |an+1|/|an| = L,entonces el radio de convergencia de la serie

∑

anxn es r = 1/L.

Teorema 7. Una serie de potencias∑

anxn converge uniforme-

mente en todo intervalo compacto de la forma [−ρ, ρ], donde 0 <ρ < radio de convergencia.

Demostracion: La serie∑

anρn es absolutamente convergente y,

para todo x ∈ [−ρ, ρ]. se tiene |anxn| ≤ |an|ρn. Del criterio deWeiertrass (Teorema 5) se sigue que la serie

∑

anxn converge uni-

formemente en el intervalo [−ρ, ρ].Corolario 1. Si r > 0 es el radio de convergencia de la serie∑

anxn, entonces la funcion f : (−r, r) → R, definida mediante

f(x) =∑

anxn, es continua.

Ejemplo 12. La serie∑

anxn no es necesariamente uniformemente

convergente en todo el intervalo (−r, r), donde r es el radio de con-vergencia. Esto esta claro en el caso de la serie

∑

xn/n!, que tieneradio de convergencia infinito, para la cual rn(x) =

∑

k>n xk/k! >

xn+1/(n + 1)! si x es positivo. Dado ε > 0, independiente del nescogido, es imposible que rn(x) < ε para todo x positivo.

Teorema 8. (Integracion termino a termino). Sea r el radiode convergencia de la serie

∑

anxn. Si [α, β] ⊂ (−r, r) entonces:

∫ β

α

(

∑

anxn)

dx =∑ an

n + 1(βn+1 − αn+1) .

Seccion 3 Series de potencias 183

Demostracion: La convergencia de∑

anxn es uniforme en el in-

tervalo [α, β], pues si escribimos ρ = max{|α|, |β|} < r tendremos[α, β] ⊂ [−ρ, ρ]. Luego, por el Teorema 3, podemos integrar terminoa termino.

Teorema 9. (Derivacion a termino a termino). Sea r el radiode convergencia de la serie de potencias

∑

anxn. La funcion f :

(−r, r) → R, definida como f(x) =∑

anxn, es derivable y f ′(x) =

∑∞n=1 nanx

n−1; ademas la serie de potencias f ′(x) tambien tieneradio de convergencia r.

Demostracion: Sea r′ el radio de convergencia de la serie∑

n≥1 nanxn−1,

que converge si, y solo si, x∑

nanxn−1 =

∑

nanxn converge. Luego

r′ tambien es el radio de convergencia de esta ultima serie. Abrevia-mos la expresion “para todo n suficientemente grande” escribiendo“n≫ 1”. Si 0 < ρ < r entonces, tomando c con 0 < ρ < c < r, tene-mos n

√

|an| < 1/c, n≫ 1. Por otra parte, como lım n√n = 1 entonces

n√n < c/ρ, n ≫ 1. Multiplicando las dos ultimas desigualdades se

tiene n√

|an| < 1/ρ, n ≫ 1. Por tanto, 0 < ρ < r⇒ 0 < ρ < r′. Co-mo es obvio que 0 < ρ < r′ ⇒ 0 < ρ < r, concluimos que r = r′. Ası,las serie de potencias

∑

n≥0 anxn y

∑

n≥1 nanxn−1 tienen el mismo

radio de convergencia. Dado cualquier x ∈ (−r, r) tomamos ρ talque |x| < ρ < r. Ambos series son uniformemente convergentes en[−ρ, ρ] luego, por el Teorema 4, tenemos f ′(x) =

∑

n≥1 nanxn−1.

Corolario 1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias∑

anxn. La funcion f : (−r, r) → R, definida mediante f(x) =

∑

anxn, es de clase C∞. Ademas para cualesquiera x ∈ (−r, r) y

k ∈ N se tiene

f (k)(x) =∑

n≥k

n(n− 1) · · · (n− k + 1)anxn−k .

En particular, ak = f (k)(0)/k!.

Por tanto, a0 + a1x + · · · + anxn es el polinomio de Taylor de

orden n de la funcion f(x) =∑

anxn en un entorno del punto

x = 0.

Corolario 2. (Unicidad de la representacion en serie de po-tencias). Sean

∑

anxn y∑

bnxn series de potencias convergentes

en el intervalo (−r, r) y X ⊂ (−r, r) un conjunto que tiene al 0


como punto de acumulacion. Si∑

anxn =

∑

bnxn para todo x ∈ X

entonces an = bn para todo n ≥ 0.

En efecto, las hipotesis nos aseguran que las funciones f, g :(−r, r) → R, definidas como f(x) =

∑

anxn y g(x) =

∑

bnxn,

tienen las mismas derivadas, f (n)(0) = g(n)(0), n = 0, 1, 2, . . .. Luegoan = f (n)(0)/n! = g(n)(0)/n! = bn.

4. Series trigonometricas

Demostraremos ahora, sucintamente, como se pueden definir deforma precisa las funciones trigonometricas sin apelar a la intuiciongeometrica.

Las series de potencias:

c(x) =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n y s(x) =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1

tienen radio de convergencia inifinita, luego definen funciones c :R → R y s : R → R, ambas de clase C∞.

Es inmediato que c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x) y s(−x) =−s(x). Derivando termino a termino, se tiene s′(x) = c(x) y c′(x) =−s(x).

La derivada de la funcion f(x) = c(x)2 + s(x)2 es

2cc′ + 2ss′ = −2cs+ 2cs = 0 ,

luego es constante. Como f(0) = 1, concluimos que c(x)2+s(x)2 = 1para todo x ∈ R.

De forma analoga se prueban las formulas de la suma:

s(x+ y) = s(x)c(y) + s(y)c(x) ,

yc(x+ y) = c(x)c(y)− s(x)s(y) .

Para esto basta fijar y ∈ R y definir las funciones f(x) =s(x+y)−s(x)c(y)−c(x)s(y) y g(x) = c(x+y)−c(x)c(y)+s(x)s(y).

Seccion 4 Series trigonometricas 185

Se tiene f ′ = g y g′ = −f , de donde f 2 + g2 tiene derivada identi-camente nula, luego es constante. Como f(0) = g(0) = 0, se deduceque f(x)2 − g(x)2 = 0 para todo x ∈ R. Por tanto f(x) = g(x) = 0para todo x ∈ R y ası las formulas estan probadas.

Afirmamos ahora que, necesariamente, existe algun x ∈ R talque c(x) = 0.

En caso contrario, como c(0) = 1, tendrıamos c(x) > 0 paratodo x > 0 y, como c es la derivada de s, la funcion s serıa crecien-teen la semirecta R+. Entonces, para cualquier x > 1, se tendrıac(x) = c(1)−

∫ x

1s(t)dt > 0, de donde c(1) >

∫ x

1s(t)dt > s(1)(x−1);

la ultima desigualdad se debe a que s es creciente. Pero la desigual-dad c(1) > s(1)(x − 1) para todo x > 1 es absurdo. Luego existealgun x tal que c(x) = 0.

El conjunto de los numeros x ≥ 0 tales que c(x) = 0 es cerradoporqie c es continua. Luego posee un menor elemento, que no es ce-ro pues c(0) = 1. Llamaremos π/2 al menor numero positivo parael que se tiene c(x) = 0.

Veremos ahora que las funciones c(x) y s(x) son periodicas,con perıodo 2π. En efecto, la segunda formula de la suma nos da:c(2x) = c(x)2 − s(x)2 = 2c(x)2 − 1, luego c(π) = −1 y c(2π) = 1,de donde s(π) = s(2π) = 0. De nuevo las formulas de la suma de-muestran que s(x + 2π) = s(x) y c(x + 2π) = c(x), lo que pruebala afirmacion.

Las notaciones usuales para estas funciones son c(x) = cos x ys(x) = sen x.

Este pequeno resumen justifica el uso de las funciones sen x ycosx en el Analisis Matematico. A partir de aquı se definen lasdemas funciones trigonometricas de la forma habitual: tanx =sen x/ cosx, sec x = 1/ cosx, etc.

En particular, lımx→0

sen x/x = 1 porque, como sen(0) = 0, este

lımite es la derivada de sen x en el punto x = 0, que es igual a cos 0,o sea, a 1.

5. Series de Taylor

Cuando la serie de potencias∑

an(x− x0)n tiene radio de con-

vergencia r > 0, se dice que es la serie de Taylor, alrededor delpunto x0, de la funcion f : (x0 − r, x0 + r) → R, definida mediantef(x) =

∑

an(x−x0)n. Esta denominacion se debe a que la suma delos n+ 1 primeros terminos de esta serie es el polinomio de Taylorde orden n de f en el punto x0. Veremos ahora las serie de Taylorde algunas funciones conocidas.

A veces la serie de Taylor de una funcion en el punto x0 = 0se llama “serie de Maclaurin”; sin embargo, no adoptaremos estaterminologıa.

1. Funciones seno y coseno

Sus series de Taylor en un entorno del punto x = 0 son:

sen x = x− x3

3!+x5

5!− · · · y cosx = 1− x2

2+x4

4!− · · ·

en virtud de la propia definicion de dichas funciones.

2. Funcion 1/(1− x)

La serie de potencias 1 + x + x2 + · · · es una serie geometrica,que converge a la suma 1/(1− x) cuando |x| < 1, y diverge cuando|x| ≥ 1. Luego es la serie de Taylor de la funcion f : (−1, 1) → R,definida como f(x) = 1/(1− x).

Se deduce que 1−x+x2−· · · =∑

n≥0(−1)nxn es la serie de Tay-lor de la funcion 1/(1+x), que converge si |x| < 1 y diverge |x| ≥ 1.

De aquı tambien resulta que 1− x2 + x4 − · · · =∑n≥0(−1)nx2n

es la serie de Taylor de la funcion g(x) = 1/(1 + x2) alrededor delpunto x = 0. En este caso la funcion g esta definida para todox ∈ R; sin embargo su serie de Taylor converge solamente en elintervalo (−1, 1). (Este fenomeno esta relacionada con el hecho deque la funcion de variable compleja g(z) = 1/(1 + z2) no esta de-finida en los puntos z = ±

√−1, ambos con valor absoluto igual a 1).

Seccion 5 Series de Taylor 187

Si queremos obtener desarrollos finitos podemos escribir, respec-tivamente,

1

1− x= 1 + x+ · · ·+ xn +

xn+1

1− x, x 6= 1,

1

1 + x= 1− x+ · · ·+ (−1)nxn +

(−1)n+1xn+1

1 + x, x 6= −1,

1

1 + x2= 1− x2 + · · ·+ (−1)nx2n +

(−1)n+1x2n+2

1 + x2, x ∈ R .

En cada una de estas expresiones el ultimo sumando es el restode la formula de Taylor. En efecto, si llamamos, respectivamente,r, s y t a estos restos vemos facilmente que

lımx→0

r(x)

xn= lım

x→0

s(x)

xn= lım

x→0

t(x)

xn= 0 .

3. Funcion exponencial

La serie∑∞

n=0 xn/n! converge para todo x ∈ R, luego la funcion

f : R → R, definida como f(x) =∑∞

n=0 xn/n!, es de clase C∞.

Derivando termino a termino vemos que f ′(x) = f(x). Como f(0) =1, del Teorema 17, Capıtulo 9, se concluye que f(x) = ex para todox ∈ R. Por tanto:

ex = 1 + x+x2

2+x3

3!+ · · ·

es la serie de Taylor de la funcion exponencial en el punto x = 0.

4. Funcion logaritmo

Como la funcion logaritmo no tiene sentido cuando x = 0, con-sideraremos la funcion log(1 + x), definida para todo x > −1. Pordefinicion, log(1+x) =

∫ x

0dt/(1+ t). Integrando termino a termino

la serie de Taylor de 1/(1 + x), que acabamos de ver, obtenemos:

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · · =

∞∑

n=1

(−1)n+1xn

n,

la serie de Taylor de log(1 + x), que es convergente en el intervaloabierto (−1, 1), pues su radio de convergencia es 1. Por el Teo-rema de Leibniz (Teorema 3, Capıtulo 4) se tiene que esta serie

converge tambien para x = 1 (sin embargo diverge para x = −1).Serıa interesante saber si la funcion f : (−1, 1] → R, definida co-mo f(x) =

∑

n≥1(−1)n+1xn/n, que coincide con log(1 + x) cuando|x| < 1, tambien coincide con log(1 + x) en el punto x = 1. Estoes verdad, como veremos a continuacion. En efecto, si integramostermino a termino el desarrollo finito de 1/(1 + x) visto anterior-mente, obtenemos (llegando hasta el orden n en vez de n+ 1):

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3− · · ·+ (−1)n

xn

n+ rn(x) ,

donde

rn(x) = (−1)n∫ x

0

tn

1 + tdt .

Para x = 1, tenemos |rn(x)| ≤∫ 1

0tndt = 1

n+1.

Por tanto, lımn→∞

rn(1) = 0. De donde

log 2 = 1− 1

2+

1

3− · · ·+ (−1)n

n+ · · · .

Esta es una expresion interesante de log 2 como suma de una seriealternada que demuestra que la serie de Taylor

∑∞n=1(−1)n+1xn/n

representa log(1 + x) en el intervalo (−1, 1].

5. Funcion arctan x

De los cursos de Calculo es conocido que la funcion tan : (−π2, π2) →

R es una biyeccion de clase C∞ con derivada positiva, y que su in-versa arctan : R → (−π/2, π/2) tiene derivada igual a 1/(1 + x2),para todo x ∈ R. El desarrollo de tanx en serie de Taylor es com-plicado, mientras que el de arctanx es bastante simple; por esopasamos a exponerlo. Tenemos que arctanx =

∫ x

0dt/(1 + t2), para

todo x ∈ R. Cuando |x| < 1, podemos integrar termino a termino eldesarrollo de Taylor de 1/(1+ x2) visto anteriormente, obteniendo:

arctanx = x−x3

3+x5

5−· · ·+(−1)n

x2n+1

2n+ 1+· · · =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1.

Este argumento (integracion termino a termino) nos garantiza lavalidez de esta igualdad cuando −1 < x < 1. Sucede que la serie en

cuestion tambien converge en los puntos x = 1 y x = −1. Por tanto,es natural esperar que el desarrollo de arctan x en serie de Taylorvalga en todo el intervalo cerrado [−1, 1]. Para ver esto integramosel desarrollo finito de 1/(1 + x2), obteniendo:

arctan x = x− x3

3+x5

5− · · ·+ (−1)n−1 x

2n−1

2n− 1+ rn(x) ,

donde rn(x) = (−1)n∫ x

0t2n

1+t2dt.

Para todo x ∈ [−1, 1] tenemos

|rn(x)| ≤∫ |x|

0

t2ndt =|x|2n+1

2n+ 1≤ 1

2n+ 1,

luego lımn→∞

rn(x) = 0, por tanto vale la igualdad:

arctanx =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1

para todo x ∈ [−1, 1]. En particular, para x = 1, obtenemos laformula de Leibniz:

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · .

5. Ejercicios

Seccion 1: Convergencia puntual y Convergencia uniforme

1. Demuestre que la sucesion de funciones fn : [0,+∞) → R,dadas por fn(x) = xn/(1 + xn) converge puntualmente. De-termine la funcion lımite y demuestre que la convergencia noes uniforme.

2. Pruebe que la sucesion del ejercicio anterior converge uni-formemente en todos los intervalos de la forma [0, 1 − δ] y[1 + δ,∞); 0 < δ < 1.

3. Pruebe que la serie∑∞

n=1 xn(1− xn) converge cuando x per-

tenece al intervalo (−1, 1]. Ademas la convergencia es unifor-me en todos los intervalos de la forma [−1 + δ, 1 − δ], donde0 < δ < 1/2.

190 Sucesiones y series de funciones Cap. 12

4. Pruebe que para que una sucesion de funciones fn : X → Rsea uniformemente convergente es necesario y suficiente que,para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |fm(x)−fn(x)| < ε para cualquier x ∈ X . (Criterio de Cauchy).

5. Si la sucesion de funciones fn : X → R converge uniforme-mente a f : X → R, pruebe que f esta acotada si, y solo si,existen K > 0 y n0 ∈ N tales que n > n0 ⇒ |fn(x)| ≤ K paratodo x ∈ X .

6. Si la sucesion de funciones fn : X → R es tal que f1 ≥ f2 ≥· · · ≥ fn ≥ · · · y fn → 0 uniformemente en X , pruebe que laserie

∑

(−1)nfn converge uniformemente en X .

7. Si∑

|fn(x)| es uniformemente convergente en X , pruebe que∑

fn(x) tambien lo es.

Seccion 2: Propiedades de la convergencia uniforme

1. Si fn → f y gn → g uniformemente en el conjunto X , pruebeque fn+gn → f+g uniformemente en X . Pruebe tambien quesi f y g estan acotadas entonces fn ·gn → f ·g uniformementeen X . Finalmente, si existe c > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todox ∈ X , pruebe que 1/gn → 1/g uniformemente en X .

2. Sea p : R → R un polinomio de grado ≥ 1. Demuestre quela sucesion de funciones fn : R → R, dadas por fn(x) =p(x) + 1/n, converge uniformemente a p en R; sin embargo(f 2

n) no converge uniformemente a p2.

3. Considere la sucesion de funciones fn : [0, 1] → R, dondefn(x) = sen(nx)/

√n. Pruebe que (fn) converge uniformemen-

te a 0, pero que la sucesion de las derivadas f ′n no converge

en ningun punto del intervalo [0, 1].

4. Demuestre que la sucesion de funciones gn(x) = x + xn/nconverge uniformemente en el intervalo [0, 1] a una funcionderivable g y que la sucesion de derivadas g′n converge pun-tualmente en [0, 1]: sin embargo, g′ no es igual a lım g′n.

5. Sea g : Y → R uniformemente continua. Si la sucesion defunciones fN : X → R converge uniformemente a f , con

f(X) ⊂ Y y fn(X) ⊂ Y para todo n ∈ N, pruebe que g◦fn →g◦f uniformemente enX . Analice tambien el caso mas sencillofn ◦ g → f ◦ g.

6. Sean X compacto, U abierto y f : X → R continua tal quef(X) ⊂ U . Pruebe que si una sucesion de funciones fn : X →R converge uniformemente a f , entonces existe n0 tal quen > n0 ⇒ fn(X) ⊂ Y .

7. Si una sucesion de funciones continuas fn : X → R es unifor-memente convergente en un conjunto denso D ⊂ X , pruebeque (fn) converge uniformemente en X .

8. La sucesion de funciones fn : [0, 1] → R, fn(x) = nx(1− x)n,converge, pero no uniformemente. Demuestre que, no obstan-te, se tiene:

∫ 1

0

(

lımn→∞

fn

)

= lımn→∞

∫ 1

0

fn .

9. Dada una sucesion de funciones fn : X → R, suponga queexiste c ∈ R tal que n

√

|fn(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ Xy n ∈ N suficientemente grande. Pruebe que

∑ |fn| y∑

fnconvergen uniformemente en X .

10. En el ejercicio anterior suponga que fn(x) 6= 0 para todon ∈ N y x ∈ X y, en vez de n

√

|fn(x)| ≤ c < 1, suponga que|fn+1(x)/fn(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X y n suficientementegrande. Obtenga la misma conclusion.

Seccion 3: Series de potencias

1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias∑

an(x−x0)

n. Pruebe que si r ∈ R+ entonces r = 1/L, donde L es elmayor valor de adherencia de la sucesion acotada ( n

√

|an|).Por tanto, r = 1/(lım sup n

√an).

2. Pruebe que si lım n√

|an| = L entonces la series de potencias

∞∑

n=0

anx2n y

∞∑

n=0

anx2n+1

tiene radio de convergencia igual a 1/√L.

192 Sucesiones y series de funciones Cap. 12

3. Determine el radio de convergencia de las siguientes series:

∑

an2

xn,∑

a√nxn y

∑

nlog nn xn .

4. Pruebe que la funcion f : (−r, r) → R, dada por f(x) =∑∞

n=0 anxn, donde r es el radio de convergencia de la serie, es

una funcion par (respectivamente, impar) si, y solo si, an = 0para todo n impar (respectivamente, par). (Ver Ejercicio 2.4,Cap. 8).

5. Sea∑∞

n=0 anxn una serie de potencias cuyos coeficientes estan

determinados por las igualdades a0 = a1 = 1 y an+1 = an +an−1. Demuestre que el radio de convergencia de dicha seriees igual a (−1 +

√5)/2.

6. Pruebe que la funcion

f(x) =

∞∑

n=0

(−1)n1

(n!)2

(x

2

)2n

esta bien definida para todo x ∈ R y que f ′′ +f ′

x+ f = 0

para todo x 6= 0.

13

Soluciones delos ejercicios

Cada una de las doce seciones de este capıtulo tiene el tıtulo deuno de los doce capıtulos anteriores y contiene las soluciones de losejercicios propuestos en dicho capıtulo. La notacion p.q quiere decirq-esimo ejercicio de la seccion p del capıtulo correspondiente.

1. Conjuntos finitos e infinitos

1.2 El conjunto A de los multiplos de m mayores que n no es vacıopues (n + 1)m ∈ A. Sea (q + 1)m el menor elemento de A. Sin no es multiplo de m, qm < n < (q + 1)m, luego n = qm+ r,con r < m. Recıprocamente, si n = qm+ r con r < m entonces(q+1)m es el menor elemento de A, luego q esta univocamentedeterminado junto a r = n−mq.

1.3 Sea k el menor elemento de X . Si n ∈ X entonces n ≥ k. Ası,o n es multiplo de k o n = qk + r, con r < k. Ahora bien, n yqk pertenecen a X , luego r ∈ X , lo que es absurdo pues k es elmenor elemento de X . Por lo tanto, todo n ∈ X es multiplo dek.

1.4 n < x < n + 1⇒ x = n + p, p ∈ N⇒ n + p < n + 1⇒ p < 1,lo que es absurdo.

1.5 Sea X ⊂ N tal que 1 ∈ X y n ∈ X ⇒ n+1 ∈ X . Si X = N tomek =menor elemento de N−X . Se tiene 1 ∈ X , luego k = p+ 1

193

194 Soluciones de los ejercicios Cap. 13

con p < k, ası p ∈ X , luego p + 1 = k /∈ X , obtenemos unacontradiccion.

2.2 Si Y = X ∪{a}, donde a ∈ Y , entonces P(Y ) esta formado porlas partes de Y que no contienen a a unidos a las que contienena a. La primeras constituyen P(X), el numero de las segundases igual al de las primeras, luego P(Y ) = 2P(X). Ahora essuficiente aplicar el metodo de induccion sobre el numero deelementos de X .

2.3 Si X = X ′∪{a}, a /∈ X ′, entonces cada funcion f ′ : X ′ → Y sepuede extender de n maneras diferentes a una funcion f : X →Y , que corresponden a las n imagenes posibles de a, f(a) ∈ Y .Luego card F (X ; Y ) = card F (X ′; Y ) × n. Ahora es suficienteaplicar el metodo de induccion sobre el numero de elementosm de X .

3.3 Use la idea de Euclides: suponga que P es finito, considere elproducto de todos los numeros primos y sume 1 a este producto,ası se obtiene un numero n que no puede ser primo, por lo tantotiene un divisor propio. Llegue a una contradiccion.

3.4 Tome Xn = N− In = conjunto de los numeros naturales mayo-res que n. Entonces a ∈

⋂∞n=1Xn significa que a es mayor que

cualquier otro numero natural.

4.1 Para ver que f es inyectiva use la unicidad de la descomposicionen factores primos. Para ver que es sobreyectividad, dado k ∈ Nsea m el mayor numero natural tal que k es divisible por 2m.Entonces k = 2m · ℓ, donde ℓ es impar, luego ℓ = 2n− 1.

4.2 Tome g = π ◦ ϕ, donde ϕ : N × N → N es sobreyectiva yπ(m,n) = n.

4.3 Use el ejercicio anterior.

4.4 La funcion f : Pn → Nn = N× · · · × N definida como f(X) =(m1, m2, . . . , mn) si {m1 < m2 < · · · < mn} es inyectiva, por lo

tanto Pn es numerable, luego P =∞⋃

n=1

Pn tambien lo es.

Seccion 2 Numeros reales 195

4.5 Interprete cada subconjunto X ⊂ N como una sucesion de cerosy unos, donde el n-esimo termino es 1 si n ∈ X y 0 si n /∈ X .

4.6 X =⋃

y∈Y f−1(y).

2. Numeros reales

2.2 x = x − y + y⇒ |x| ≤ |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x − y|.Analogamente, |y|−|x| ≤ |x−y| luego ||x|−|y|| ≤ max{|x|−|y|, |y| − |x|} ≤ |x− y|.

2.3 No use el metodo de induccion. Escriba (1+x)2n = (1+2x+x2)n y use la desigualdad de Bernoulli.

2.6 Se deduce de 2.2.

2.7 Observe que f(λ) = aλ2 + bλ + c, donde a =∑

y2i , b =2∑

xiyi, c =∑

x2i .

3.3 Sea A = sup f . Se tiene f(x) ≤ A, de donde f(x)2 ≤ A2 paratodo x ∈ X , luego sup(f 2) ≤ A2. Por otra parte, si c < A2

entonces√c < A, luego existe x ∈ X con

√c < f(x) < A, y

ası c < f(x)2 < A2. Por lo tanto, sup(f 2) = A2.

3.4 De x < (2−a2)/(2a+1) se tiene a2+2ax+x < 2. Como x < 1,se tiene x2 < x, luego (a+x)2 = a2+2ax+x2 < a2+2ax+x <2. Por otra parte, como y < (b2−2)/2b entonces b2−2by > 2,de donde (b − y) > (b − 2y) > 0. Estas desigualdades nosdicen que si X = {a > 0 : a2 < 2}, entonces c = supX nopertenece ni a X ni al conjunto Y = {b > 0 : b2 > 2}. Luegoc2 = 2.

3.5 La correspondencia que asocia al polinomio p(x) = a0+a1x+· · ·+ anx

n la (n+1)-upla (a0, a1, . . . , an) es una biyeccion en-tre el conjunto Pn de los polinomios con coeficientes enterosde grado ≤ n y el producto cartesiano Zn+1 = Z × · · · × Z,luego Pn es numerable. Ası el conjunto P =

⋃∞n=0 Pn de los

polinomios con coeficientes enteros es numerable. Para cadanumero algebraico α fije, de una vez por todas, un polinomioPα con coeficientes enteros que tenga α como raız. La corres-pondencia α → Pα define una funcion del conjunto A de los

numeros algebraicos reales en el conjunto numerable P , talque la imagen inversa de cada elemento de P es finito. LuegoA es numerable.

3.6 Sean α = ınf I y β = sup I, escribiremos α = −∞ (resp. β =+∞) si I no esta acotado inferiormente (resp. superiormente).Basta probar que (α, β) ⊂ I. Ahora bien, x ∈ (α, β)⇒ α <x < β⇒ (por la definicion de ınfimo y supremo) existena, b ∈ I tales que a < x < b, luego, por hipotesis, x ∈ I.

3. Sucesiones de numeros reales

1.2 Dado ε > 0, existen n1, n2 ∈ N tales que n > n1 ⇒ |xn−a| < εy n > n2 ⇒ |yn − a| < ε. Tome n0 = max{2n1, 2n2 − 1}. Sim = 2k, entonces n > n0 ⇒ 2k > 2n1 ⇒ k > n1 ⇒ |zn − a| =|xk − a| < ε. Si n = 2k − 1, entonces n > n0 ⇒ 2k − 1 >2n2 − 1⇒ k > n2 ⇒ |zn − a| = |yk − a| < ε. Por tanto,lım zn = a.

1.3 Basta observar que ||xn| − |a|| ≤ |xn − a|.

1.5 Para el conjunto B, tome una descomposicion N = N1 ∪N2 ∪ · · · donde Nk son infinitos y disjuntos 2 a 2, escribaxn = k si n ∈ Nk. Para el conjunto C, tome una numera-cion x1, x2, . . . , xn, . . . de los numeros racionales en el intervalo[0, 1].

1.6 Para ver que es condicion suficiente tome sucesivamente ε =1, 1/2, 1/3, y obtenga n1 < n2 < n3 < · · · tales que |xnk

−a| <1/k.

2.3 Existe ε > 0 tal que |xn − a| ≥ ε para un conjunto infinitoN′ de valores de n. Por el Teorema de Bolzano Weierstrass, lasucesion (xn)n∈N′ tiene una subsucesion convergente: N′′ ⊂ N′

y lımn∈N′′

xn = b. Se tiene |b− a| ≥ ε, luego b 6= a.

2.4 Sea a el unico valor de adherencia de (xn). Por el ejercicioanterior se tiene lım xn = a.

2.5 La sucesion dada tiene 0 como unico valor de adherencia, sinembargo, no converge pues no esta acotada.

Seccion 3 Sucesiones de numeros reales 197

2.6 Sea a < b. Como la media aritmetica es mayor que la mediageometrica, se tiene a < x1 < x2 < · · · < y2 < y1 < b.Luego existen x = lım xn e y = lım yn. Haciendo n → ∞ enyn+1 = (xn + yn)/2 se tiene y = (x+ y)/2, de donde x = y.

2.7 (a) Tomando ε = 1 se ve que existe n0 ∈ N tal que |xm−a| < 1para todo m > n0, donde a = xn0+1. Entonces los terminos dela sucesion pertenecen al conjunto {x1, . . . , xn0}∪[a−1, a+1],que esta acotado.(b) Si lım

n∈N′

xn = a y lımn∈N′′

xn = b con |a − b| < 3ε, entonces,

existen ındices arbitrariamente grandes tales que |xm−a| < εy |xn−b| < ε. Como 3ε = |a−b| ≤ |a−xm|+ |xm−xn|+ |xn−b| ≤ 2ε + |xm − xn|, de donde |xm − xn| > ε, concluyendoseque (xn) no es de Cauchy.(c) Se deduce de los apartados anteriores y del ejercicio 2.4.

3.1 Observe que 1 < n+p√n < n

√n.

3.3 La sucesion es estrictamente creciente, pues x1 < x2, y supo-niendo que xn−1 < xn, se tiene x

2n = a+xn−1 < a+xn = x2n+1,

de donde xn < xn+1. Ademas, si c es la raız positiva de laecuacion x2 − x − a = 0, o sea c2 = a + c, se tiene xn < cpara todo n. Esto es verdad si n = 1, como xn < c, resultax2n+1 = a + xn < a + c = c2, luego xn+1 < c. Por lo tanto,existe lım xn. Haciendo n→ ∞ en la igualdad x2n+1 = a+ xnse tiene que lım xn = c.

3.5 Observe que x2 = 1/(a+x1) y x3 = 1/(a+x2) = (a+x1)/(a2+

ax1+1). Se tiene x1 < c = 1/(a+c) < 1/(a+x1) = x2. Luego,x1 < x2 = 1/(a + x1)⇒ x1(a + x1) < 1⇒ (multiplicandopor a y sumando x1) x1(a

2 + ax1 + x1) < a + x1 ⇒ x1 <(a+x1)/(a

2+ax1+x1), ası x1 < x3 < c < x2. Analogamente,se ve que x1 < x3 < c < x4 < x2, y ası sucesivamente. Porlo tanto, existen lımx2n−1 = ξ y lım x2n = η. En la relacionxn+2 = (a+xn)/(a

2+axn+1), si tomamos el lımite, tenemosξ = (a + ξ)/(a2 + aξ + 1) y η = (a + η)/(a2 + aη + 1), luegoξ2 + aξ − 1 = 0 y η2 + aη − 1 = 0. Como ξ y η son positivosse tiene ξ = η = c.

3.6 Obverve que yn+1 = a + xn.

3.7 Basta observar que xn+1 = 1/(1 + xn).

4.1 Por el Ejemplo 9, dado cualquier A > 0, existe n0 ∈ N tal quen > n0 ⇒ n! > An ⇒ n

√n! > A, luego lım n

√n! = +∞.

4.2 Recuerde que√A−

√B = (A−B)/(

√A+

√B).

4.3 Para todo n suficientemente grande, n!/(nk · an) > n!/(an ·an) = n!/(a2)n, luego lım

n→∞n!/(nkan) = +∞. Escribiendo

xn = (an · n!)/nn, obtenemos sen xn+1/xn = a · (n/(n + 1))n,por lo tanto lım(xn+1/xn) = a/e. Del Ejemplo 8 se dedu-ce que lım xn = +∞ si a > e lım xn = 0, evidentementelım yn = +∞ si a ≥ e. Cuando a < e, el cociente yn+1/yn =[(n+1)/n]k · (xn+1/xn) tiene lımite a/e < 1, luego lım yn = 0.

4.4 Observe que [log(n+1)/ log n]−1 = log(1+1/n)/ logn tiendea cero cuando n lo hace para +∞.

4.5 Sean Xn = xn+1−xn e Yn = yn+1−yn. Dado ε > 0, existe p ∈N tal que, para todo k ∈ N, los numerosXp/Yp, . . . , Xp+k/Yp+k

pertenecen al intervalo (a−ε, a+ε). Del Ejercicio 2.8, Capıtu-lo 2, se deduce que (Xp + · · · + Xp+k)/(Yp + · · · + Yp+k) ∈(a−ε, a+ε), o sea, xp+k+1−xp/(yp+k+1−yp) ∈ (a−ε, a+ε) paradicho p y todo k ∈ N. Divida el numerador y el denominadorpor yp+k+1, haga k → ∞ y concluya que lım(xn/yn) = a.

1. Es una consecuencia inmediata del ejercicio anterior.

4. Series de numeros

1.1 Observe que bn = log n+1n

= log(n+ 1)− logn.

1.4 Agrupe los terminos de uno en uno, de dos en dos, de cuatro encuatro, de ocho en ocho, etc, y compare con la serie armonica.

1.5 Use el metodo del Ejemplo 5.

1.6 Para n suficientemente grande, log n <√n.

1.7 Observe que na2n ≤ an+1 + · · · + a2n ≤ an+1 · · · = s − sn,luego na2n → 0, de donde (2n)a2n → 0. Tambien, na2n−1 ≤an+ · · ·+a2n−1 ≤ an+ · · · = s− sn−1 → 0, luego na2n−1 → 0,

Seccion 4 Series de numeros 199

de donde (2n)a2n−1 → 0 y (2n− 1)a2n−1 → 0- Ası, sea n paro impar, se tiene lımnan = 0.

2.4 Observe que s2p < s4p < s6p < · · · < s5p < s3p < sp, que2np ≤ i ≤ (2n+1)p⇒ s2np ≤ si ≤ s(2n+1)p, y, finalmente, ques(2n+1)p − s2np 0,

existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |bn| < ε/2A y |an|+ |an+1|+· · · < ε/2B. Entonces, n > 2n0 ⇒

|cn| = |a1bn + · · ·+ an0bn−n0 + an0+1bn−n0+1 + · · ·+ anb1|≤ (|a1|+ · · ·+ |an0|)

ε

2A+ (|an0+1|+ · · ·+ |an|)B

<Aε

2A+

ε

2BB = ε , por lo tanto lım cn = 0 .

2.7 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

(

n∑

i=1

|ai||bi|)

≤n∑

i=1

a2i ·n∑

i=1

b2i

para todo n ∈ N.

2.8 Si∑

an es absolutamente convergente entonces cualquier su-ma finita S de terminos an es menor que p y mayor que −q,donde, con la notacion del Teorema 4, p =

∑

pn y q =∑

qn.Recıprocamente, si las sumas finitas de terminos an formanun conjunto acotado entonces, en particular, las sumas parcia-les de las series

∑

pn y∑

qn estan acotadas, luego estas dosseries son convergentes, y ası

∑

an converge absolutamente.

3.3 No hay dificultad en usar el criterio ed Cauchy. El criterio de

d’Alambert da an+1

an= log(n+1)

n+1·(

nn+1

)n ·(

log(n+1)logn

)n

. El primer

factor tiene lımite cero, el segundo 1/e, luego basta probarque el tercer factor esta acotado. Para n ≥ 3, tenemos [(n +1)/n]n < n, por lo tanto (n+1)n < nn+1, tomando logaritmosn log(n + 1) < (n + 1) logn, de donde log(n + 1)/ log(n) <(n+1)/n. Entonces (log(n+1)/ log(n))n < ((n+1)/n)2 < e,luego lım(an+1/an) = 0.

3.4 Escriba zn = x1x2 · · ·xn y use el Teorema 7.

3.5 −1 < x < 1, x = 0, −∞ < x < +∞, x = 0, −1 ≤ x ≤ 1.

4.1 Sume los primeros terminos positivos hasta que, por primeravez, la suma sea ≥ 1, sume despues un unico termino negati-vo. A continuacion sume los terminos positivos, en su orden,hasta que, por primera vez, la suma sea ≥ 2, sume entoncesun unico termino negativo. Continue. Esta reordenacion tienesuma +∞. Analogamente para −∞.

4.2 Siga la receta del Teorema 9.

4.3 (a) Dado ε > 0, sea J1 ⊂ N finito tal que J1 ⊂ J ⊂ N, Jfinito, implique 1s −

∑

n∈J an| < ε. Tome J0 ⊂ N y tal queϕ(J0) = J1. Entonces J ⊃ J0 ⇒ ϕ(J) ⊃ ϕ(J0) = J1. Por lotanto J : 0 ⊂ J ⊂ N, J finito, implica

∣

∣

∣

∣

∣

s−∑

n∈Jbn

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

s−∑

n∈Jaϕ(n)

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

s−∑

m∈ϕ(J)am

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ε .

(b) Para simplificar, para cada J ⊂ N finito, sea sJ) =∑

n∈J an. En vista del Ejercicio 2.8, basta probar que el con-junto de las sumas sJ , J ⊂ N finito, esta acotado. Ahora bien,dado ε = 1 existe J0 ⊂ N finito tal que J ⊃ J0 ⇒ |s−sJ | < 1.Escribiendo α =

∑

n∈J0 |an|, se ve que, para todo J ⊂ N fi-nito, vale |s − sJ | = |s − sJ∪J0 − sJ0−J | < 1 + α, luego sJpertenece al intervalo de centro s y radio 1 + α.(c) Sean s =

∑

an = u − v, u =∑

pn, v =∑

qn, comoen la demostracion del Teorema 4. Para cada J ⊂ N finito,sean sJ =

∑

n∈J an, uJ =∑

n∈J pn y vJ =∑

n∈J qn, de dondesJ = uJ − vJ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, escribiendoJ0 = {1, . . . , n0}, J ⊃ J0 ⇒ |u − uJ | < ε/2, |v − vJ | < ε/2,luego J ⊃ J0 ⇒ |s− sJ | ≤ |u− uJ |+ |v − vJ | < ε.

5. Algunas nociones de topologıa

1.1 Para todo a ∈ int (X) existe, por definicion, ε > 0 tal que(a − ε, a + ε) ⊂ X . Basta probar que (a − ε, a + ε) ⊂ X .Si y ∈ (a− ε, a+ ε), sea δ el menor de los numeros positivos

Seccion 5 Algunas nociones de topologıa 201

y−(a−ε), (a+ε)−y. Entonces, (y−ε, y+ε) ⊂ (a−ε, a+ε) ⊂X , luego y ∈ int (X).

1.2 Si A no fuese abierto existirıa un punto a ∈ A que no serıainterior. Entonces para cada n ∈ N, se podrıa encontrar xn ∈(a − 1/n, a + 1/n), xn /∈ A. Ası lım xn = a, lo que es unacontradiccion.

1.5 frX = {0, 1}, fr Y = {0, 1, 2}, fr Z = R, frW = W .

1.6 Sean an < bn los extremos de In. Entonces a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1. Si α = sup an y β = ınf bn,entonces α = β⇒ ∩ Jn = {α} pues la interseccion es novacıa. Si α < β entonces α < x < β⇒ an < x < bn paratodo n, luego (α, β) ⊂ I. Por otra parte, c < α⇒ c < an paraalgun n⇒ c /∈ In ⇒ c /∈ I. Analogamente c > α⇒ c /∈ I.Por lo tanto (α, β) ⊂ I ⊂ [α, β]. Esto nos garantiza que Ies un intervalo cuyos extremos son α y β. Como los In sondistintos dos a dos, al menos una de las sucesiones (an) o (bn),por ejemplo la primera, tiene infinitos terminos diferentes.Entonces, para todo n ∈ N existe p ∈ N tal que an < an+p ≤α < β ≤ bn, luego α ∈ (an, bn) ⊂ In. Por lo tanto, α ∈ I e Ino es un intervalo abierto.

2.1 Del Teorema 2 se deduce que D ⊂ X es denso en X si, y solosi, existen puntos de D en todo intervalo (x−ε, x+ε), x ∈ X .Si n es tal que kn > 1/ε, los intervalos [m/kn, (m + 1)/kn]tienen longitud 1/kn < ε, luego si m es el menor entero talque x+ ε < (m+ 1)/kn entonces m/kn ∈ (x− ε, x+ ε)

2.2 Si a ∈ X , entonces o a ∈ X o todo entorno de a contienepuntos de X y de R−X (a saber, el propio a), luego a ∈ frX .

2.3 Decir que a /∈ intX es lo mismo que afirmar que todo entornode a contiene puntos que no estan en X , esto es, que a ∈R−X.

2.4 Sean X abierto y a ∈ A cualquiera. Para todo ε > 0 sufi-cientemente pequeno, (a− ε, a+ ε) ⊂ X . Si ninguno de estosintervalos estuviese contenido en A, cada uno contendrıa pun-tos de B, ası a ∈ A∩B, lo que es absurdo. Luego existe ε > 0

tal que (a− ε, a+ ε) ⊂ A y A es abierto. Analogamente paraB. Si X es cerrado y a ∈ A entonces a ∈ X . No es posibleque a ∈ B, pues en tal caso a ∈ A ∩ B 6= ∅. Luego a ∈ A yA es cerrado. Analogamente para B.

2.5 Si frX es vacıo entonces X ⊃ frX y X ∩ frX = ∅, luego Xes cerrado y abierto.

2.6 De X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y se concluye que X ⊂ X ∪ Ye Y ⊂ X ∪ Y . Recıprocamente, si a ∈ X ∪ Y entonces a =lım zn con zn ∈ X ∪ Y . O infinitos terminos de esta sucesionestan en X (y entonces a ∈ Y ). Luego a ∈ X ∪ Y . Por lotanto, X ∪ Y ⊂ X ∪Y . Ademas, de X ∩Y ⊂ X y X ∩Y ⊂ Yse deduce X ∩ Y ⊂ X y X ∩ Y ⊂ Y , de donde X ∩ Y ⊂X ∩ Y . Si X = [0, 1) e Y = (1, 2] entonces X ∩ Y = ∅, luego∅ = X ∩ Y ⊂ X ∩ Y = [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}.

2.7 Evidentemente, X∪A ⊂ X. Recıprocamente, si a ∈ X, enton-ces o a ∈ X o, en caso contrario, todo entorno de a contienealgun xn 6= a. Escriba n1 = menor n ∈ N tal que |xn−a| < 1,y una vez definidos n1 < · · · < nk tales que |xni

− a| < 1/i,escriba nk+1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1/k + 1 y< |xnk

− a|. Entonces, lım xnk= a ∈ A.

3.2 Escoja en cada intervalo I de la coleccion un numero racio-nal rI . La correspondencia I → rI es inyectiva. Como Q esnumerable la coleccion tambien lo es.

3.3 Para cada x ∈ X existe εx tal que (x− εx, x+ εx)∩X = {x}.Sea Ix = (x − εx/2, x + εx/2). Dados x 6= y ∈ X , sea, porejemplo, εx ≤ εy. Si z ∈ Ix ∩ Iy entonces |x − z| < εx/2 y|z−y| < εy/2, luego |x−y| ≤ |x−z|+|z−y| < εx/2+εy/2 ≤ εy,de donde x ∈ Iy, lo cual es un absurdo.

3.4 Por los dos ejercicios anteriores, todo conjunto tal que todossus puntos son aislados es numerable.

4.1 Si a /∈ A entonces, por el Ejercicio 1.7 del Capıtulo 3, existeε > 0 tal que ningun punto del intervalo (a−ε, a+ε) pertenecea A. Luego A es cerrado.

4.3 Fn = [n,+∞) y Ln = (0, 1/n).

Seccion 6 Lımites de funciones 203

4.4 Sea α = ınf{|x − y| : x ∈ X y y ∈ Y }. Existen sucesionesde puntos xn ∈ X e yn ∈ Y tales que lım(xn − yn) = α.Considerando una subsucesion, si ası fuese necesario, se puedesuponer que lım xn = x0 ∈ X . Como |yn| ≤ |yn−xn|+ |xn|, sededuce que (yn) esta acotada. Considerando nuevamente unasubsucesion, se tiene lım yn = y0 ∈ Y . Luego |x0 − y0| = α.

4.5 Todo conjunto infinito acotado tiene un punto de acumulaciona. Si X es compacto, a ∈ X . Los ejemplos son X = N eY = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .}.

4.6 Es facil probar que los conjuntos dados estan acotados. Parademostrar que S es cerrado, suponga que lım(xn + yn) = z,xn, yn ∈ X . Existe N′ ⊂ N infinito tal que lımn∈N′ xn = x0 ∈X . Entonces, como yn = (xn + yn) − xn, existe lımn∈N′ yn =y0 ∈ X , ası z = lımn→N′(xn + yn) = x0 + y0 ∈ S. La demos-tracion para D,P y Q se hace de forma analoga.

5.1 Pertenecen al conjunto de Cantor los numeros 1/3 = 0, 1 =0, 0222 . . . , 1/4 = 0, 0202 . . . , 1/9 = 0, 01 = 0, 00222 . . . y1/10 = 0, 00220022 . . . (desarrollos en base 3).

5.2 Demuestre en primer lugar que dado un numero de la formaa = m/3n (que en base 3 tiene un desarrollo finito), existenx, y ∈ K tales que x − y = a. Observe despues que, como Kes compacto, el conjunto D de los numeros |x− y|, x, y ∈ K,es compacto. Como las fracciones m/3n son densas en [0, 1],se deduce que D = [0, 1].

5.4 Los extremos de los intervalos retirados son los puntos de Kque tienen desarrollo finito en base 3. Los puntos restantes sonlımites de estos. (Ejemplo: 0, 20202 = lım xn, donde x1 = 0, 2,x2 = 0, 20, x3 = 0, 202, etc.)

6. Lımites de funciones

1.2 Basta probar que si xn, yn ∈ X − {a} y lım xn = lım yn = aentonces lım f(xn) = lım f(yn). Para esto, defina (zn) escri-biendo z2n−1 = xn y z2n = yn. Se tiene lım zn = a, luego(f(zn)) converge, ası lım f(xn) = lım f(yn), pues (f(xn)) yf((yn)) son subsucesiones de (f(zn)).

1.5 Tome a ∈ R con sen a = c y haga xn = 1/(a+ 2πn).

2.1 Basta observar que si lımxn = a y xn > a para todo n ∈ N,entonces (xn) posee una subsucesion decreciente (que, natu-ralmente, coverge a a).

2.2 Haga lo mismo que en el ejercicio anterior.

2.5 El intervalo [−1, 1]. En efecto, si −1 ≤ c ≤ 1, tome unasucesion de numeros xn < 0 tal que lım xn = 0 y sen 1/xn =c para todo n ∈ N, (como en el Ejercicio 1.5). Entonces,f(xn) = c/(1 + 21/xn) tiene lımite c.

3.1 Escriba p(x) = xn[(a0/xn) + (a1/x

n−1) + · · ·+ (an−1/x) + an].

3.2 Cuando 2πn− π2≤ x ≤ 2πn+ π

2, la funcion x sen(x) alcanza

todos los valores comprendidos entre π2− 2πn y π

2+ 2πn.

Dado c ∈ R, existe n0 ∈ N tal que π2− 2πn ≤ c ≤ 2πn + π

2

para todo n ≥ n0. Luego, para todo n ≥ n0, existe xn ∈[2πn− π

2, 2πn+ π

2] tal que xn sen xn = c. Entonces lım xn = ∞

y lım f(xn) = c.

3.3 Mt y mt son funciones monotonas de t (decreciente y crecien-te, respectivamente), ambas acotadas. Luego existen lım

t→+∞Mt =

L, lımt→+∞

mt = ℓ y lımt→+∞

ωt = L−ℓ. Comomt ≤ f(t) ≤Mt para

todo t ≥ a, si lımωt = 0 entonces existe lımx→+∞

f(x) = L = ℓ.

Recıprocamente, si lımx→+∞

f(x) = A entonces, para todo ε > 0,

existe t ≥ a tal que A − ε ≤ f(x) ≤ A + ε para todo x > t,luegoMt−mt < 2ε. Se sigue que lımMt = lımmt y lımωt = 0.

7. Funciones continuas

1.1 Observe que ϕ(x) = 12[f(x) + g(x) + |f(x)− g(x)|] y ψ(x) =

12[f(x) + g(x)− |f(x)− g(x)|].

1.2 A = A1 ∩ A2, donde A1 = {x ∈ X : f(x) < g(x)} y A2 ={x ∈ X : f(x) > g(x)}, y F = F1 ∩ F2, donde F1 = {x ∈ X :f(x) ≤ g(x)} y F2 = {x ∈ X : f(x) ≥ g(x)}.

Seccion 7 Funciones continuas 205

1.5 Si f es discontinua en el punto a ∈ R existen ε > 0 y unasucesion (xn) tales que lım xn = a y |f(xn) − f(a)| > ε paratodo n ∈ N. Entonces, tomando X = {x1, . . . , xn, . . .}, setiene a ∈ X y f(a) /∈ f(x), luego f(X) * f(x). El recıprocoes obvio.

1.7 Claramente, existen ε > 0 y una sucesion de puntos xn ∈ Xtales que lım xn = a y |f(xn) − f(a)| > ε para todo n ∈ N.Existe un conjunto infinito {n1 < n2 < · · · < nk < · · · }de ındices para los que la diferencia f(xn) − f(a) tiene elmismo signo (supongamos que positivo.) Entonces, escribimosxk = xnk

y tenemos f(xnk) > f(a) + ε para todo k ∈ N.

2.1 Fije a ∈ I. Haciendo A = {x ∈ I : f(x) = f(a)} y B = {x ∈I : f(x) 6= f(a)} se tiene I = A ∪ B. Como f es localmenteconstante, cada x ∈ A tiene un entorno disjunto de B, luegox /∈ B. Ası, A ∩ B = ∅. Analogamente, A ∩ B = ∅, por lotanto I = A ∪ B es una escision. Como a ∈ A, se sigue queA 6= ∅, de donde A = I y f es constante.

2.2 Suponga que f es creciente. Dado a ∈ intI, sean ℓ = lımx→a−

f(x)

y L = lımx→a+

f(x). Si f es discontinua en el punto a entonces

ℓ < L. Si tomamos x, y ∈ I tales que x < a < y y z tal queℓ < z < L, se tiene f(x) < z < f(y), y, sin embargo, z /∈ f(I),luego f(I) no es un intervalo. (Razonamos de forma analogasi a es un extremo de I).

2.4 Si f es discontinua en el punto a ∈ I, existen ε > 0 y unasucesion de puntos xn ∈ I tales que lım xn = a y (por ejem-plo) f(xn) > f(a) + ε. Si tomamos c ∈ (f(a), f(a) + ε), lapropiedad del valor medio nos asegura que para cada n ∈ Nexiste zn comprendido entre a y xn tal que f(xn) = c. Evi-dentemente, el conjunto de los zn ası obtenidos es infinito, loque es absurdo.

2.5 Defina ϕ : [a, 1/2] → R como ϕ(x) = f(x + 1/2) − f(x).Entonces ϕ(0) + ϕ(1/2) = 0, luego existe x ∈ [0, 1/2] tal quef(x) = f(x + 1/2). En el otro caso tome ψ : [0, 2/3] → R,ψ(x) = f(x + 1/3) − f(x) y observe que ψ(0) + ψ(1/3) +ψ(2/3) = 0, luego ψ cambia de signo y por lo tanto se anulaen algun punto x ∈ [0, 2/3].


3.1 Tome cualquier a ∈ R. Existe A > 0 tal que a ∈ [−A,A]y |x| > A⇒ f(x) > f(a). La restriccion de f al conjuntocompacto [−A,A] alcanza su valor mınimo en un punto x0 ∈[−A,A]. Como f(x0) ≤ f(a), se deduce que f(x0) ≤ f(x)para todo x ∈ R.

3.2 Basta observar que el conjunto de las raıces x de la ecuacionf(x) = c es cerrado y (como lım

x→+∞f(x) = +∞ y lım

x→−∞f(x) =

−∞) acotado.

3.3 Como el intervalo [a, b] solo tiene dos puntos extremos, o elvalor mınimo o el maximo de f (supongamos que este) sealcanzara en un punto interior de [a, b], y en otro punto d ∈[a, b]. Entonces existe δ > 0 tal que en los intervalos [c− δ, c),(c, c+δ] y (caso d no sea el extremo inferior del intervalo [a, b])[d − δ, d) la funcion toma valores menores que f(c) = f(d).Sea A el mayor de los numeros f(c−δ), f(c+δ) y f(d−δ). Porel Teorema del Valor Medio existen x ∈ [c− δ, c), y (c, c+ δ)y z ∈ [d − δ, d) tales que f(x) = f(y) = f(z) = A, lo que esabsurdo.

3.4 Tome x0, x1 ∈ [0, p], los puntos en que f |[0,p] alcanza valoresmınimo y maximo.

3.5 En caso contrario existirıa ε > 0 con la siguiente propiedad:para todo n ∈ N hay puntos xn, yn ∈ X tales que |xn−yn| ≥ εy |f(xn)−f(yn)| ≥ n|xn−yn|. Considerando una subsucesion,se tendrıa lım xn = a ∈ X y lım yn = b ∈ X donde |b− a| ≥ εy

+∞ = lım[|f(xn)− f(yn)|]/|xn − yn| = |f(b)− f(a)|/|b− a| ,

lo que es absurdo.

4.1 Si Y no es cerrado, tome a ∈ X − X y considere la funcioncontinua f : X → R, definida como f(x) = 1/(x− a). Comono existe lım

x→af(x), f no es uniformemente continua. Por otra

parte, N no es compacto, y sin embargo toda funcion f : N →R es uniformemente continua.

4.2 Tome xn =√

(n + 1/2)π e yn =√nπ. Entonces, lım(xn −

yn) = 0 pero f(xn)− f(yn) = 1 para todo n ∈ N.

1.5 Vuelva al Ejercicio 1.3. El Ejemplo pedido puede ser la funcionf(x) = x sen(1/x) o cualquier funcion con (f(−x) = −f(x))que no tenga derivada en el punto x = 0.

2.1 Por la Regla de la Cadena las derivadas de orden superior def en x 6= 0 son el producto de e−1/x2

por un polinomio en

1/x. En el punto x = 0 se tiene f ′(0) = lımh→0

e−1/h2

h= 0, como

puede verse escribiendo 1/h = y. Suponiendo f ′(0) = · · · =f (n)(0) = 0 se tiene f (n+1)(0) = lım

h→0

1

hf (n)(h) = lım

h→0

P (1/h)

h·

e−1/h2

= lımh→0

Q(1/h) · e1/h2

= 0.

2.5 Derive k veces en relacion a t la igualdad f(tx) = tk · f(x)y obtenga f (k)(tx) · xk = k!f(x). Haga t = 0 y concluya que

f(x) = f(k)(0)k!

xk.

3.1 Tome f(x) como en el Ejemplo 7.

3.2 Para fijar ideas suponga que f ′′(c) > 0. Por el Corolario 2 delTeorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c +δ⇒ f ′(x) < 0 < f ′(y). Entonces c−δ < x < c⇒ f(x) > f(c),pues si tuviesemos f(x) ≤ f(c), como la derivada f ′(x) esnegativa, el mınimo de f en el intervalo [x, c] no se alcanzarıani en x ni en c, sino en un punto z ∈ (x, c), por lo tanto f ′(z) =0, lo que contradice la hipotesis z ∈ (c− δ, c). Analogamentese demuestra que c < y < c + δ⇒ f(y) > f(c). Luego c espunto de mınimo local. En el caso en que f ′′(c) < 0, c es unpunto de maximo local.

3.3 Por el Corolario 2 del Teorema 4, existe δ > 0 tal que c− δ <x < c < y < c + δ⇒ f ′(x) < 0 < f ′(y), luego c es el unicopunto crıtico de f en el intervalo (c− δ, c+ δ).

3.4 f ′′(c) = lımn→∞

f ′(cn)− f ′(c)

cn − c= 0, pues f ′(cn) = f ′(c) = 0 para

todo n.

3.5 Sea M el conjunto de los puntos de maximo local estrictode f . Para cada c ∈ M tomamos numeros racionales rc, sctales que rc < c < sc y x ∈ (rc, sc), x 6= c⇒ f(x) < f(c).

Seccion 8 Derivadas 209

Si d ∈ M es diferente de c entonces los intervalos (rc, sc) y(rd, sd) son distintos porque d /∈ (rc, sc) o c /∈ (rd, sd), enefecto, d ∈ (rc, sc)⇒ f(d) < f(c) y c ∈ (rd, sd)⇒ f(c) <f(d). Como Q es numerable, la correspondencia c → (rc, sc)es una funcion inyectiva de M en un conjunto numerable.Luego M es numerable.

4.1 Suponga que A < B. Tome ε > 0 tal que A + ε 0 tal que c − δ ≤ x < c < y ≤ c + δ⇒ g(x) <A + C B − ε. Si tomamos ahora d 6= g(c) en el intervalo(A + ε, B − ε) no existe x ∈ (c − δ, c + δ) tal que g(x) = d.Luego, por el Teorema de Darboux, g no es la derivada deninguna funcion f : I → R.

4.5 Un ejemplo es f(x) = x3. Como cada punto de X es lımitede puntos de Y se tiene X ⊂ Y , de donde X ⊂ Y . Por otraparte, Y ⊂ X por el Teorema del Valor Medio, luego Y ⊂ X .

4.6 Las hipotesis implican que f ′(x) no esta acotada ni superiorni inferiormente. En efecto, si tuviesemos f ′(x) ≥ A para todox ∈ (a, b), la funcion g(x) = f(x)−Ax tendrıa derivada ≥ 0,luego serıa monotona y acotada, por lo tanto existirıan loslımites de g (y en consecuencia los de f) cuando x → a yx→ b. Analogamente, no es posible que f ′(x) ≤ B para todox ∈ (a, b). Ası, dado cualquier c ∈ R existen x1, x2 ∈ (a, b)tales que f ′(x1) < c < f ′(x2). Por el Teorema de Darboux,existe x ∈ (a, b) tal que f ′(x) = c.

4.7 Sabemos que f es creciente. Si f no fuese estrictamente cre-ciente, existirıan x < y en [a, b] con f(x) = f(y), entonces fserıa constante y f ′ igual a cero en el intervalo [x, y].

4.8 Supongamos, por reduccion al absurdo, que existan a 0, entonces, en al menos unade las mitades del intervalo [a, b], por ejemplo [a1, b1], tenemos|f(b1)−f(a1)| ≥ α/2 > 0. Razonando analogamente se obtie-ne una sucesion de intervalos [a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃· · · tales bn − an = (b − a)/2n y |f(bn) − f(an)| ≥ α/2n. Sian ≤ c ≤ bn para todo n, entonces |f ′(c)| = lım |f(bn) −f(an)|/|bn − an| ≥ α/(b− a) > 0.

4.10 Para todo x 6= c en (a, b) existe z comprendido entre x y ctal que [f(x) − f(c)]/(x − c) = f ′(z). Por lo tanto, f ′(c) =lımx→c

[f(x)− f(c)]/(x− c) = lımx→c

f ′(x) = L.

4.11 Como f ′ esta acotada, existen lımx→a+

f(x) y lımx→b−

f(x). Para que

la propiedad del valor medio sea valida para f tales lımitestienen que ser iguales a f(a) y f(b), respectivamente (Cfr.solucion de 4.1).

4.12 |f(x)− f(a)|/(x− a) ≤ c|x− a|α−1. Como α− 1 > 0, se tieneque f ′(a) = 0 para todo a ∈ I. Luego f es constante.

4.13 Observe que [f(xn) − f(yn)]/(xn − yn) = f ′(zn), donde znesta comprendido entre xn e yn, luego zn → a. Por la conti-nuidad de f ′ en el punto a, el cociente tiende a f ′(a).

9. Formula de Taylor y aplicaciones de la derivada

1.1 Sea f(x) = 1/(1 − x), −1 < x < 1. Escribiendo p(h) = 1 +h+ · · ·+hn y r(h) = hn+1/(1−h) se tiene r(h) = f(h)−p(h).Como p(h) es un polinomio de grado n y lım

h→0r(h)/hn = 0 se

deduce que p(h) es el polinomio de Taylor de f en el punto 0,luego f (i)(0) = i! para i = 0, 1, . . . , n.

1.2 Como f(x) = x5−x11 + · · ·+(−1)nx6n+5+(−1)nx6n+11/(1+x6), se tiene que f (i)(0) = 0 si i no es de la forma 6n + 5,mientras que f (i)(0) = (−1)ni! si i = 6n+5. Luego f (2001)(0) =0 y f (2003)(0) = (−1)333(2003)!.

1.3 Se tiene f(x) = pn(x) + rn(x) donde pn(x) es el polino-mio de Taylor de orden n en torno del punto x0. Por laformula del resto de Lagrange existe z entre x y x0 tal quern(x) = f (n+1)(z)/(n + 1)!, luego |rn(x)| ≤ K/(n + 1)!. Sededuce que lım

n→∞rn(x) = 0 para todo x ∈ I, ası el resultado

esta demostrado.

1.4 Vea “Curso de Analisis Matematico”, vol. 1, pagina 232.

1.5 Si f ∈ C2, escriba f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) + f ′′(a)2

(x −a)2 + r(x), donde lım

x→ar(x)/(x − a)2 = lım

x→ar′(x)/(x− a) = 0.

Seccion 9 Formula de Taylor y aplicaciones de la derivada 211

Entonces ϕ(x) = f ′(a)+ f ′′(a)2

(x−a)+ r(x)/(x−a) y ϕ′(x) =f ′′(a)/2 + r′(x)/(x − a) − r(x)/(x − a)2, luego lım

x→aϕ′(x) =

f ′′(a)/2. Del Ejercicio 4.10 del Capıtulo 8 se sigue que ϕ ∈ C1.Para f ∈ C3 se procede de forma analoga.

1.6 Por la formula de Taylor infinitesimal, haciendo x = a+ h, osea, x−a = h, se puede escribir p(a+h) =

∑ni=0(p

(i)(a)/i!)hi+r(h), donde las n primeras derivadas de r(h) en el punto 0 sonnulas. Como r(h) es un polinomio de grado ≤ n (diferenciaentre dos polinomios), se tiene que r(h) es identicamente nulo.

1.7 Sea ϕ(x) = f(x) − g(x). Entonces ϕ : I → R es dos vecesdiferenciable en el punto a, ϕ(x) ≥ 0 para todo x ∈ I y

ϕ(a) = ϕ′(a) = 0. Entonces, ϕ(x)) = ϕ′(a)(x− a) + ϕ′′(a)2

(x−a)2 + r(x), donde lım

x→ar(x)/(x − a)2 = 0. Ası, ϕ(x) = (x −

a)2[

ϕ′′(a)2

+ r(x)(x−a)2

]

. Si, se tuviese ϕ′′(a) < 0, entonces existirıa

δ > 0 tal que, para 0 < |x − a| < δ, la expresion de dentrode los corchetes, y en consecuencia ϕ(x), serıa < 0, lo que esabsurdo. Luego, necesariamente, ϕ′′(a) > 0, esto es, f ′′(a) >g′′(a).

2.2 Para fijar ideas, sea f ′′(c) > 0. Existe δ > 0 tal que c − δ <x < c+ δ⇒ f ′′(x) > 0. Entonces f es convexa en el intervalo(c− δ, c+ δ).

2.3 La suma de dos funciones convexas es convexa, sin embargopara el producto esto no es siempre verdad. Ejemplo: (x2 −1)x2.

2.4 Si f es convexa, sea X = {x ∈ I : f(x) ≤ c}. Dados x, y ∈ X ,y x < z < y, se tiene z = (1 − t)x + ty, donde 0 ≤ t ≤ 1.Entonces, f(z) = f((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f(x) + tf(y) ≤(1 − t)c + tc = c, luego z ∈ X . Ası, X es un intervalo y f esquasi-convexa.

2.5 Sean c = max{f(x), f(y)} y z = (1−t)x+ty, donde 0 ≤ t ≤ 1.Entonces f(x) ≤ c, f(y) < c y z pertenece al intervalo deextremos x e y. Luego, f(z) ≤ z.

2.6 Si el mınimo de f se alcanza en el punto a, entonces dados x <y en [a, b], se tiene x ∈ [a, y], luego f(x) ≤ max{f(a), f(y)} =

f(y), por lo tanto f es creciente. Analogamente, si el mınimose alzanza en el punto b, f es decreciente. De aquı se deduceque si f alcanza su mınimo en el punto c ∈ (a, b) entonces fes decreciente en [a, c] y creciente en [c, b].

2.8 La existencia de c es consecuencia del Teorema del Valor Me-dio. Falta probar su unicidad. Si existiesen c1, c2 tales quea < c1 < c2 < b y f(c1) = f(c2) = 0, se tendrıa c1 =ta + (1 − t)c2, donde 0 < t < 1. Entonces, por la convexidadde f , 0 = f(c1) ≤ tf(a) + (1 − t)f(c2), de donde tf(a) ≥ 0,lo que es absurdo.

3.1 Basta probar que x ∈ I ⇒ f(x) ∈ I. Ahora bien, x ∈ I ⇒ |x−a| ≤ δ⇒ |f(x)− a| ≤ |f(x)− f(a)|+ |f(a)− a| ≤ k|x− a|+(1− k)δ ≤ kδ + (1− k)δ = δ⇒ f(x) ∈ I.

3.2 a = 0,76666469.

3.3 Use el Teorema 10 y el Ejercicio 3.1.

3.4 Observe que (f ′(x)) ≤ 1/a < 1.

10. La integral de Riemann

1.1 Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que 1/2n < ε/2. La restriccionde f1 de f al intervalo [1/2n, 1], es una funcion escalonada,por lo tanto integrable. Existe entonces una particion P1 deeste intervalo tal que S(f ;P1) − s(f ;P2) < ε/2. La particionP = {0}∪P1 del intervalo [0, 1] cumple S(f ;P )−s(f ;P ) < ε.

1.2 Si f es impar, basta probar que∫ 0

−af(x)dx = −

∫ a

0f(x)dx.

Ahora bien, a cada particion P de [0, a] le corresponde unaparticion P de [−a, 0], obtenida cambiando el signo de lospuntos de division. Como f(−x) = −f(x), si en el intervalo[ti−1, ti] de P el ınf y el sup de f son mi y Mi, entonces,en el intervalo [−ti,−ti−1] el ınf y el sup son −Mi y −mi,respectivamente. Por lo tanto S(f ;P ) = −s(f ;P ) y s(f ;P ) =−S(f ;P ). Ahora la afirmacion es inmediata. Analogamentepara el caso f par.

Seccion 10 La integral de Riemann 213

1.3 Evidentemente, f es discontinua en los racionales. Sea c ∈[a, b] irracional. Dado ε > 0 el conjunto de los numeros na-turales q ≤ 1/ε, y por lo tanto el conjunto de los puntosx = p/q ∈ [a, b] tales que f(x) = 1/q ≥ ε, es finito. Seaδ la menor distancia entre c y uno de estos puntos. Enton-ces x ∈ (c − δ, c + δ)⇒ f(x) < ε, y ası f es continua enel punto c. Toda suma inferior s(f ;P ) es cero pues todo in-tervalo no degenerado contiene numeros irracionales, luego∫ b

af(x)dx = 0. En cuanto a la integral superior, dado ε > 0,

sea F = {x1, x2, . . . , xn} el conjunto de los puntos de [a, b]para los que se tiene f(xi) ≥ ε/2(b− a). Con centro en cadaxi tome un intervalo de longitud < ε/2n, escogido de formaque estos n intervalos sean disjuntos dos a dos. Los puntosa, b, junto con los extremos de los n enteros que pertenezcana [a, b], forman un particion P tal que S(f ;P ) < ε. Luego∫ b

af(x)dx = 0.

1.4 Sea m = f(c)/2. Existe δ > 0 tal que f(x) > m para todox ∈ [c− δ, c+ δ]. Entonces, para toda particion que contengaa los puntos c− δ y c + δ, se tiene s(f ;P ) > 2mδ. De donde∫ b

af(x)dx ≥ s(f ;P ) > 0.

1.5 Para todo particion P de [a, b] se tiene s(ϕ;P ) = S(g;P ) y

S(ϕ;P ) = S(g;P )+(b−a). Luego∫ b

−aϕ(x)dx =

∫ b

−ag(x)dx y

∫ b

aϕ(x)dx =

∫ b

ag(x)dx+(b−a). En particular, para g(x) = x,

∫ b

aϕ(x)dx = (b2 − a2)/2 y

∫ b

af(x)dx = (b2 − a2)/2 + (b− a).

2.1 Para x, y ∈ [a, b]

|F (x)− F (y)| =∣

∣

∣

∣

∫ y

x

f(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤M |x− y| ,

donde M = sup{|f(t)| : t ∈ [a, b]}.

2.2 ϕ = 12[f + g+ |f − g|], ψ = 1

2[f + g−|f − g|], f+ = max{f, 0}

y f− = −mın{f, 0}.

2.3 La desigualdad de Schwarz para integrales resulta del hecho deque en el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b],

〈f, g〉 =∫ b

af(x)g(x)dx define un producto interno. Lectores

que todavıa no esten familiarizados con el Algebra Lıneal,pueden probar esta desigualdad con los argumentos usadosen el Capıtulo 2, Ejercicio (2.7), considerando el trinomio de

grado 2 p(x) =∫ b

a(f(x) + λg(x))2dx.

3.1 El conjunto de los puntos de discontinuidad de f es Q∩ [a, b],por lo tanto numerable, y en consecuencia de medida nula.

3.2 Dada una funcion monotona f : [a, b] → R basta probar queel conjunto D de los puntos de discontinuidad de f en (a, b) esnumerable. Para cada x ∈ D sean ax el menor y bx el mayorde los tres numeros lım

y→x−

f(y), lımy→x+

f(y) y f(x). Como f es

discontinua en el punto x se tiene ax < bx. Ademas, como fes monotona, si x 6= y en D entonces los intervalos abiertos(ax, bx) y (ay, by) son disjuntos. Para cada x ∈ D escoja unnumero racional r(x) ∈ (ax, bx). La funcion x → r(x), de Den Q, es inyectiva, luego D es numerable.

3.3 Todos los puntos del conjunto D −D′ son aislados, luego, envirtud de Ejercicio 3.4, Capıtulo 5, dicho conjunto es numera-ble. Se deduce que D es numerable, pues D ⊂ (D−D′)∪D′.

4.1 La funcion f : [0, 1] → R. igual 1 en los racionales y 0 enlos irracionales, se anula fuera de un conjunto de medida nulapero no es integrable. Por otra parte, si f : [a, b] → $ esintegrable e igual a cero fuera de un conjunto de medida nula,en cualquier subintervalo de [a, b] el ınfimo de f es cero, luego∫ b

af(x)dx = 0, de donde

∫ b

af(x)dx = 0.

4.2 (a) Si X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik entonces X ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk, dondeJi es un intervalo con el mismo centro y el doble de longitudque Ji. Luego

∑

Ii < ε⇒∑

Ji < 2ε, y se concluye que Xtiene contenido nulo.(b) Todo conjunto de contenido nulo esta acotada, luego elconjunto Q, que tiene medida nula, no tiene contenido nulo.Ademas, Q ∩ [a, b], aunque esta acotada, tiene medida nulapero no tiene contenido nulo, en virtud del apartado (a), puessu cierre es [a, b], cuyo contenido no es nulo.(c) Use Borel-Lebesgue.(d) La diferencia g − f : [a, b] → R es igual a cero excepto

Seccion 11 Calculo con integrales 215

en un conjunto X de contenido nulo. Sea M = supX(f − g).Todas las sumas inferiores de g − f son nulas. En cuanto alas sumas superiores, dado ε > 0 existen intervalo I1, . . . , Iktales que X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik y |J1| + · · · + |Jk| < ε/M . Sinperdida de generalidad podemos suponer que los intervalosIj estan contenidos en [a, b]. Los extremos de estos intervalosjunto a a y b forman una particion de [a, b]. Los intervalos dedicha particion que contienen puntos de X son los Ij. Como∑ |Ij| < ε/M , se sigue que S(f ;P ) < ε. En consecuencia,∫ b

a|g − f | = 0. Ası, g − f es integrable y su integral es cero.

Finalmente, g = f + (g − f) es integrable y∫ b

ag =

∫ b

af .

11. Calculo con integrales

1.2 Dada cualquier particion P = {t0, t1, . . . , tn} del intervalo deextremos c y x, se tiene f(x) − f(c) =

∑

[f(ti) − f(ti−1)].Aplique el Teorema del Valor Medio a cada f(ti)− f(ti−1) yconcluya qie s(f ;P ) ≤ f(x)− f(c) ≤ S(f ;P ) para cualquierparticion P .

1.3 Es sabido que f es creciente. Si f no fuese estrictamente cre-ciente existirıan x < y en [a, b] tales que f(x) = f(y). Enton-ces f serıa constante y f ′ nula en el intervalo [x, y], que notiene contenido nulo.

1.4 f(b)− f(a) = ınfba f′(x)dx = f ′(c) · (b− a), a < c < b.

1.5 Fijando c ∈ (a, b) se tiene ϕ(x) =∫ β(x)

cf(t)dt−

∫ α(x)

cf(t)dt.

Entonces basta considerar ϕ(x) =∫ α(x)

cf(t)dt. Ahora bien,

ϕ = F ◦ α, donde F : [a, b] → R es dada como∫ x

cf(t)dt. Use

la Regla de la Cadena.

1.7 Integre por partes.

2.2 Basta probar que si f no esta acotada entonces, para todaparticion P y todo numero A > 0, existe una particion pun-tuada P ∗ = (P, ξ) tal que |

∑

(f ;P )| > A. En efecto, dadaP f no esta acotada en, al menos, uno de sus intervalos, su-pongamos que [ti−1, ti]. Una vez tomados los puntos ξ, en los

demas intervalos, se puede escoger ξi ∈ [ti−1, ti] de forma que|∑

(f ;P ∗)| > A.

2.3 Dado ε > 0, existe P = {t0, t1, . . . , tn} tal que |∑

(f ;P ∗) −L| < ε/4 se cual fuere la forma de puntuar la particion P .Tome P y puntue de dos formas. Primero escoja en cada[ti−1, ti] un punto ξi tal que f(ξi) < mi+ε/2n(ti−1− ti), obte-niendo P ∗ tal que

∑

(f ;P ∗) < s(f ;P ) + ε/4. Analogamente,obtenga P# tal que S(f ;P#) − ε/4 <

∑

(f ;P#). De don-de S(f ;P ) − s(f ;P ) <

∑

(f ;P#) −∑

(f ;P ∗) + ε/2. Pero,como |

∑

(f ;P ∗) − L| < ε/4 y |∑

(f ;P#) − L|ε/4, se tiene∑

(f ;P#−∑

(f ;P ∗) < ε/2. Luego S(f ;P )− s(f ;P ) < ε y f

es integrable. Evidentemente, por el Teorema 7,∫ b

af(x)dx =

L.

2.4∑

f(ξi)g(ηi)(ti − ti−1) =∑

f(ξi)g(ξi)(ti − ti−1) +∑

f(ξi) ·[g(ηi) − g(ξi)](ti − ti−1). El segundo sumando del segundomiembro tiende a cero cuando |P | → 0, ya que |f(ξi)| ≤ M .

2.7 Por el Ejercicio 2.6,∫ b

af(x)dx/(b− a) = lım

n→∞M(f ;n). Como

f es convexa, M(f ;n) ≥ f[

1n

∑ni=1(a+ ih)

]

, donde h = (b−a)/n. Ahora bien, 1

n

∑ni=1(a + ih) = n−1

na+b2

→ (a + b)/2cuando n→ ∞.

2.8 Escriba xn = n!en/nn. Integrando por partes se tiene∫ n

alog xdx =

n log x− n+ 1 = An. Si Bn es la suma superior de la funcionlog x relativa a la particion {1, 2, . . . , n} del intervalo [1, n] setiene An < Bn =

∑nk=2 log k = log(n!). Una aproximacion por

exceso de An se puede obtener considerando, para cada k =2, . . . , n, el area del trapecio de base el intervalo [k−1, k] en eleje de las x, con dos lados verticales y cuyo lado inclinado es latangente al grafico y = log x en el punto (k−1/2, log(k−1/2)),tal area vale log(k − 1/2). Sea cn =

∑nk=2 log(k − 1/2) la su-

ma de las areas de estos trapecios. Se tiene An < Cn < Bn ypor el Teorema del Valor Medio, k − 1/2 ≤ θk ≤ k. Como laserie armonica es divergente, se deduce que

∑

1/θk = +∞,luego lım(Bn − An) ≥ lım(Bn − Cn) = +∞. Finalmente, co-mo Bn −An = log n!− n log n+ n− 1 = log(n!en−1 · n−n), seconcluye que lım xn = +∞.

Seccion 11 Calculo con integrales 217

3.1 Para todo x ∈ R, f(x) = f(x/2 + x/2) = (f(x/2))2 ≥ 0.Si existiese c ∈ R tal que f(c) = 0 entonces f(x) = f(x −c)f(c) = 0 para todo x ∈ R. Luego f(x) > 0 para cualquierx. Ademas, f(0) = f(0 + 0) = f(0) · f(0), luego f(0) = 1.Tambien f(−x) · f(x) = f(−x + x) = f(0) = 1, por lo tantof(−x) = f(x)−1. De aquı, f(px) = f(x)p para todo p ∈ Z.Tambien, para todo q ∈ N, f(x) = f(x/q + · · · + x/q) =f(x/q)q, de donde f(x/q) = f(x)1/q. Entonces, para todo r =p/q ∈ Q, tal que q ∈ N, se tiene f(r) = f(p/q) = f(1)p/q =f(1)r. Sea f(1) = ea. Se deduce que f(r) = ear para todor ∈ Q. Como f es continua, se tiene f(x) = eax para todox ∈ R. La segunda parte se prueba de forma analoga (v.Corolario 1 del Teorema 15) o usando el hecho de que lasfunciones exp y log son una la inversa de la otra.

3.2 Como xn − xn−1 = log(1 + 1/n) − 1/(n + 1), basta observarque el mınimo de la funcion 1/x en el intervalo [1, 1+ 1/n] es

n/(n+ 1), luego log(1 + 1/n) =∫ 1+1/n

1dx/x > 1

nn

n+1= 1

n+1.

3.3 Escribiendo x = 1/y, se tiene lımx→0

x · log x = lımy→∞

− log y

y= 0.

3.4 Escribiendo x/n = ym se obtiene (1 + x/n)n = (1 + y)x/y =[(1 + y)1/y]x, luego lım

n→∞(1 + x/n)n = lım

y→0[(1 + y)1/y]x = ex.

4.1 Divergente, divergente y convergente.

4.2 Las tres son convergentes.

4.3 La integral en cuestion vale∑∞

n=0(−1)nan, donde an es elvalor absoluto de

∫

√(n+1)π

√nπ

sen(x2)dx .

Como | sen(x2)| ≤ 1, se tiene 0 < an ≤√

(n+ 1)π − √nπ,

luego lım an = 0. En la integral cuyo valor absoluto es an+1,haga el cambio de variable x =

√u2 + π, dx = udu/

√u2 + π,

observe que√

(n+ 1)π ≤ x ≤√

(n+ 2)π ⇔ √nπ ≤ u ≤

√

(n+ 1)π y deduzca que an+1 < an. Por el Teorema de Leib-niz la integral converge. La concavidad de la funcion | sen(x2)|

en el intervalo [√nπ,

√

(n + 1)π] implica que an es mayor queel area del triangulo isosceles de base dicho intervalo y altu-ra 1. Luego la serie

∑

an diverge y la integral∫ +∞0

| sen(x2)|tambien.

4.4 El metodo es el mismo que el del ejercicio anterior. Escribien-do a = 4

√nπ y b = 4

√

(n+ 1)π se tiene∫ b

a|x sen(x4)|dx <

area del triangulo cuya base es el intervalo [a, b] y cuya alturaes b. Como b4 − a4 = π = (b − a)(a3 + a2b + ab2 + b3), talarea vale b(b − a) = bπ/(a3 + a2b + ab2 + b3), luego tiendea cero cuando n → ∞, Haciendo c = (n + 2)π, el cambiode variable x = 4

√u4 + π nos da an+1 =

∫ c

b|x sen(x4)|dx =

∫ b

a|u sen(u4)| u2

4√

(u4+π)2du, luego an+1 < an =

∫ b

a|x sen(x4)|dx.

Por el Teorema de Leibniz, la serie∑∞

n=0(−1)nan converge alvalor de la integral en cuestion.

4.5 Sea ϕ(x) =∫ x

af(t)dt, x ≥ a. Por hipotesis existe L = lım

x→+∞ϕ(x).

Luego dado ε > 0, existe A > 0 tal que x > A⇒ L − ε <ϕ(x) < L. De donde x > 2A⇒ L − ε < ϕ(x/2) < ϕ(x) < L,ası ε > ϕ(x) − ϕ(x/2) =

∫ x

x/2f(t)dt ≥ (x/2)f(x), pues f es

creciente. Luego lımx→+∞

(x/2)f(x) = 0, y se sigue el resultado.

4.6 Defina ϕ : [a,+∞) → R mediante ϕ(t) =∫ t

af(x)dx. Si t ≥ a,

sean Mt = sup{ϕ(x); x ≥ t}, mt = ınf{ϕ(x); x ≥ t} y ωt =Mt − mt. Entonces ωt = sup{|ϕ(x) − ϕ(y)|; x, y ≥ t}, (Cfr.Lema 2, Seccion 1). La condicion del enunciado equivale aafirmar que lım

t→+∞ωt = 0. El resultado se deduce entonces del

Ejercicio 3.3. del Capıtulo 6.

12. Sucesiones y series de funciones

1.1 Se tiene lım fn = f , donde f(x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f(1) = 1/2y f(x) = 1 si x > 1.

1.2 La convergencia fn → f es monotona, tanto en [0, 1 − δ]como en [1 + δ,∞). Por el Teorema de Dini, la convergenciaes uniforme en [0, 1− δ], pues este intervalo es compacto. Enel otro intervalo basta observar que cada fn es estrictamente

Seccion 12 Sucesiones y series de funciones 219

creciente, luego fn(1 + δ) > 1− ε⇒ fn(x) > 1− ε para todox ≥ 1 + δ.

1.3 Sea a = 1−δ. Entonces x ∈ [−1+δ, 1−δ] significa |x| ≤ |a| <1. Ademas, |x| ≤ a < 1⇒

∑

i≥n |xi(1 − xi)| ≤∑

i≥n |xi| ≤∑

i≥n |ai| = an/(1− a). Luego, para todo ε > 0 existe n0 ∈ Ntal que n > n0 ⇒

∑

i≥n |xi(1−xi)| < ε, lo que nos asegura laconvergencia uniforme. La afirmacion inicial es obvia.

1.4 La necesidad de la condicion es evidente. Respecto a la sufi-ciencia, observe que, para todo x ∈ X , la sucesion de numerosreales fn(x), n ∈ N, es de Cauchy, luego por el Ejercicio 2.7del Capıtulo 3, existe lım

n→∞fn(x) = f(x). Esto define una fun-

cion f : X → R tal que fn → f puntualmente. Para probarque la convergencia es uniforme, tome ε > 0 y obtenga n0 ∈ Ntal que m,n > n0 ⇒ |fm(x)− fn(x)| < ε/2 para todo x ∈ X .Fije n > n0 y haga m → ∞ en esta desigualdad. Concluyaque n > n0 ⇒ |f(x)− fn(x)| ≤ ε/2 < ε.

1.5 Si fn → f uniformemente en X entonces, dado ε = 1, existen0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ ||fn(x)|−|f(x)|| ≤ |fn(x)−f(x)| < 1para todo x ∈ X , Luego n > n0 ⇒ |fn(x)| < |f(x)| + 1 y|f(x)| < |fn(x)|+ 1. De aquı se deduce el resultado.

1.6 Adapte la demostracion del Teorema de Leibniz (Teorema 3,Capıtulo 4).

1.7 Para todo x ∈ X la serie∑∞

n=1 fn(x) converge, luego tie-ne sentido considerar rn(x) = fn(x) + fn+1(x) + · · · , como|rn(x)| ≤ Rn(x) = |fn(x)| + |fn+1(x)| + · · · , se deduce quelımn→∞

rn(x) = 0 uniformemente en X , luego∑

fn converge

uniformemente.

2.1 Observe que |fn(x)+gn(x)− (f(x)+g(x))| ≤ |fn(x)−f(x)|+|gn(x)− g(x)|, que |fn(x)gn(x)− f(x)g(x)| ≤ |fn(x)||gn(x)−g(x)| + |gn(x)||fn(x) − f(x)|, y que |1/gn(x) − 1/g(x)| ≤(1/|g(x)gn(x)|)|gn(x)− g(x)|.

2.3 Como f ′n(x) =

√n cos(nx), solo existe lım

n→∞f ′n(x) cuando lım

n→∞cos(nx) =

0. Teniendo en cuenta que cos(2nx) = cos2(nx) − sen2(nx),

haciendo n → ∞ se obtendrıa 0 = −1. Luego no existelımn→∞

f ′n(x), sea cual fuere x ∈ [0, 1].

2.6 El conjunto f(X) es compacto, disjunto del conjunto cerradoR−U . Por el Ejercicio 4.4 del Capıtulo 5, existe ε > 0 tal quex ∈ X e y ∈ R− U ⇒ |x− y| ≥ ε, luego x ∈ X , |f(x)− z| <ε⇒ z ∈ U . Tome n0 ∈ N tal que |fn(x) − f(x)| para todon ≥ n0 y todo x ∈ X . Entonces fn(X) ⊂ U si n ≥ n0.

2.7 Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |fm(d) −fn(d)| < ε/2 para todo d ∈ D, luego |fm(x)−fn(x)| ≤ ε/2 < εpara todo x ∈ X , pues x es el lımite de una sucesion de puntosde D. Por el criterio de Cauchy, (Ejercicio 1.4), (fn) convergeuniformemente en X .

2.8 Integre fn por partes y haga n→ ∞.

2.9 Adapte la demostracion del criterio de d′Alembert, usando, sile parece, el Teorema 5.

2.10 Adapte la demostracion del criterio de Cauchy, usando, si leparece, el Teorema 5.

3.1 Sean a, b tales que a < 1/r < b. Entonces r < 1/a, luego1/a /∈ R, por lo tanto existen infinitos ındices n tales quea ≤ n

√

|an|. Ademas, 1/b < r, luego existe ρ ∈ R. Ası, para

todo N suficientemente grande, se tiene n√

|an| < 1/ρ < b.Con otras palabras, solamente hay un numero finito de ındicesn tales que b ≤ n

√

|an|. De donde 1/r es un valor de adherencia

de la sucesion n√

|an| y ningun mayor que 1/r tiene dichapropiedad.

3.2 Se tiene∑

anx2n =

∑

bnxn, donde b2n = an y b2n−1 = 0. Ası,

los terminos de orden impar de la sucesion n√

|bn| son iguales

a cero y los de orden par forman la sucesion√

n√

|an|, cuyolımite es

√L. Por lo tanto, la sucesion ( n

√

|bn| tiene dos valo-

res de adherencia: 0 y√L. Por el ejercicio anterior, el radio

de convergencia de∑

A − nx2n es 1/√L. Un razonamiento

analogo vale para la otra serie.

Seccion 12 Sucesiones y series de funciones 221

3.3 El radio de convergencia de∑

an2xn es +∞ si |a| < 1, 0 si

|a| > 1 e igual a 1 si |a| = 1.

3.4 Use el Corolario 2 del Teorema 9 (Unicidad de la representa-cion en series de potencias).

3.5 Vea el Ejercicio 3.7, Capıtulo 3.

Lecturas recomendadas

Para profundizar, y complemento de algunos topicos abordados eneste libro, la referencia natural es

1. E. L. Lima, Curso de Analisis Matematico, vol. 1. (8a edicion).Proyecto Euclides, IMPA, 1994.

Para una presentacion del tema logarıtmos, siguiendo las mis-mas ideas del texto, aunque de caracter bastante mas elemental,con numerosos ejemplos y aplicaciones, vea:

2. E. L. Lima, Logaritmos, Sociedade Brasileira de Matematica,Rio de Janeiro, 1994.

Otros libros que pueden ser de gran utilidad para comprender mejorlos temas aquı estudiados, tratandolos con enfoques diferentes yabordando puntos que aquı no fueron considerados, son

3. R. G. Bartle, Elementos de Analise Real, Editora Campus,Rio de Janeiro, 1983.

4. D. G. Figueiredo, Analise I. L.T.C. Rio de Janeiro, 1995 (2a

edicion).

5. P.R. Halmos, Teoria Ingenua dos Conjuntos. Ed. USP, SaoPaulo, 1970.

6. A. Hefez, Algebra, vol. 1, Colecao Matematica Universitaria,IMPA, Rio de Janeiro, 1997 (2a edicion).

7. L.H. Jacy Monteiro, Elementos de Algebra, Ao Livro TecnicoS.A., Rio de Janeiro, 1969.

8. W. Rudin, Princıpios de Analisis Matematica, Ed. UnB e AoLivro Tecnico, Rio de Janeiro, 1971.


9. M. Spivak, Calculo Infinitesimal, 2 vols. Editorial Reverte,Barcelona, 1970.

Tambien recomendamos:

10. R. Courant, Differential and Integral Calculus, vol. 1, Inters-cience, New York, 1947.

11. O. Forster, Analysis 1, Vieweg, Braunschweig, 1987 (en ale-man).

12. S. Lang, Analysis 1, Addison-Wesley, Reading Massachus-sets, 1969.

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