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Análise do comportamento de lajes nervuradas formadas por vigotas treliçadas e sua interação com as vigas de borda

Analysis of structural behavior of slabs made by precast elements with lattice joist and border beams

Marcelo Buiate(1); Maria Cristina Vidigal de Lima(2)

(1) Eng. Civil, M.Sc.

[email protected]

(2) Professora Doutora, Faculdade de Engenharia Civil, UFU [email protected]

Avenida João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1Y, Campus Santa Mônica, 38400-902, Uberlândia, MG.

Resumo

Este trabalho tem como principal objetivo a análise numérica do comportamento de lajes pré-moldadas bidirecionais formadas por vigotas treliçadas apoiadas em vigas de borda. As análises levaram em conta variações nos vãos e nas seções das vigas de borda, bem como no contorno da laje, através do maciçamento de regiões próximas dos apoios. Os resultados dos modelos numéricos gerados no programa ANSYS foram comparados com os obtidos do dimensionamento manual, segundo as prescrições da norma brasileira NBR 6118 (2003). As análises numéricas foram desenvolvidas mediante o modelo de grelha, considerando a fissuração do concreto. As seções das vigas de borda analisadas foram retangular e L invertido. As principais conclusões do trabalho foram: a) vigas de borda com menores vãos influenciam positivamente no comportamento de lajes nervuradas com grandes vãos; b) o maciçamento através de console monolítico armado nas bordas de lajes nervuradas melhoram as vinculações entre as nervuras e as vigas de borda; c) a adoção de seções L invertido para as vigas de borda é uma solução mais eficiente do que a utilização de seções retangulares (com mesma altura) ou maciçamento das bordas das lajes e; d) a capacidade de engastamento entre as nervuras e as vigas de borda aumenta à medida que a altura da laje cresce.

Palavras-Chave: Laje pré-moldada, laje nervurada, laje treliçada, concreto armado.

Abstract

This work has as main objective the numerical analysis of the structural behavior of bi-directional slabs made by precast elements with lattice joist supported in border beams. The variation of the span and cross-sections of the border beams and the presence of simple concrete region of the slabs near the supports were taken into account in the analyses. The numerical models results generated in ANSYS software were compared with those obtained in the manual design, according to the prescriptions of the Brazilian Code NBR 6118 (2003). The numerical analyses were modeled as grid, considering the concrete cracking. The analyzed sections of border beams were rectangular and inverted L. The main conclusions of this work were: a) Border beams with smaller span have positive influence in the behavior of slabs with greater spans; b) The presence of reinforcement in the concrete region near the supports improves the connections between the precast elements of the slabs and the border beams; c) The adoption of inverted L sections for the border beams is an efficient solution compared to the use of rectangular beams (with same height) with or without simple concrete region near the border of the slabs; and d) The fixed end rotational capacity between the precast elements of the slab and the border beams increase as the slabs height grow.

Keywords: precast slab, ribbed slab, slab with lattice joist, reinforced concrete.

1o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado. 1

1 Introdução

A concepção arquitetônica de pavimentos com grandes vãos livres é uma realidade muito comum nos dias atuais e, para sua viabilidade, faz-se necessário o uso de elementos estruturais com grande performance de forma a atender tais requisitos.

A utilização de lajes maciças nesses pavimentos resulta em espessuras muito grandes, tornando a estrutura antieconômica, pois uma grande parte de sua capacidade estrutural destina-se a combater as solicitações devidas ao peso-próprio.

Uma solução bastante viável é o emprego de lajes nervuradas formadas por elementos pré-moldados tipo vigota com armação treliçada, também chamada simplificadamente de laje treliçada. Estas são normalmente empregadas para vencerem vãos de 4 a 12 metros, têm uma variação de altura da seção compreendida entre 10 e 30 centímetros e podem ser armadas em uma ou duas direções.

El Debs (2000) destaca que a utilização de vigotas pré-moldadas com armação em forma de treliça favorece a utilização das lajes armadas nas duas direções (lajes bidirecionais). Neste tipo de laje aplicam-se as indicações de projeto das lajes nervuradas ou mistas das estruturas de concreto moldado no local, com as particularidades do concreto pré-moldado apenas no que se refere às situações transitórias. Esta possibilidade de laje armada em duas direções tem sido explorada no país há algum tempo em pavimentos, com e sem vigas, principalmente utilizando enchimento, recuperado ou não, de EPS (Polietileno expandido - isopor).

Em relação ao sistema tradicional de lajes maciças, as lajes com armação treliçada apresentam as seguintes vantagens, segundo Muniz (1991): • Diminuição do peso-próprio da laje e o conseqüente alívio sobre as fundações; • A possibilidade de embutir todas as instalações elétricas entre a capa de concreto e a

base de concreto pré-moldado; • Em função do bom acabamento e regularidade superficial dos elementos pré-

moldados, na face inferior é requerida apenas uma fina camada de regularização; • Redução significativa de fôrmas; • Sensível redução do escoramento das lajes; • Em lajes contínuas, o uso de vigotas com armação treliçada permite a continuidade

estrutural pela colocação de armadura negativa sobre os apoios, sem que isto signifique qualquer problema para a sua fixação;

• Eliminam-se as perdas das pontas dos vergalhões utilizados na preparação da armadura no canteiro decorrente da armação treliçada ser fabricada a partir de rolos de fios de aço trefilados CA-60;

• Reduz a quantidade de estoque e movimentação de materiais e pessoas no canteiro de obras, diminui a mão-de-obra de ferreiros, armadores e carpinteiros e aumenta a rapidez da construção da estrutura. Ainda com relação à utilização das vigotas pré-moldadas com armação treliçada,

Droppa Júnior (1999) destaca também que: • Reduz o aparecimento de fissuras pela condição de aderência entre o concreto do

capeamento e o concreto da vigota pré-moldada; • Facilita a colocação de nervuras moldadas “in loco” na direção perpendicular às

vigotas; • Pode oferecer maior resistência ao cisalhamento em função da presença das

diagonais da treliça. Apesar das inúmeras vantagens apresentadas, como em qualquer outro sistema

construtivo, alguns cuidados devem ser tomados para que as lajes com elementos pré-moldados tipo armação treliçada apresentem um comportamento adequado, atendendo aos estados limites de utilização e estados limites últimos.


Dentre os cuidados adicionais em que os projetistas e construtores devem dar maior atenção na utilização deste sistema construtivo, os seguintes itens devem ser destacados: • A armadura das diagonais poderá ser considerada colaborante na resistência ao

cisalhamento somente se estiver eficazmente ancorada na região comprimida do concreto.

• Em lajes contínuas, deve-se verificar o posicionamento da armadura negativa durante o lançamento e adensamento do concreto, de modo a garantir o valor da altura útil (d) especificada em projeto.

• Sendo estas lajes formadas por elementos esbeltos, em edifícios com maior número de pavimentos deve-se analisar a resistência do plano da laje na transferência de ações horizontais, de modo que as lajes pré-moldadas com armação treliçada apresentem comportamento efetivo de diafragma e, além disso, verificar o comportamento para o estado limite de deformações excessivas. Diante desta realidade, o objetivo geral deste trabalho é o de contribuir com o estudo

de lajes pré-fabricadas tipo treliçadas com grandes vãos apoiadas em vigas de borda de concreto armado (CA), considerando o efeito da ligação entre ambas. 2 Análises Numéricas

As simulações numéricas foram desenvolvidas utilizando o programa computacional ANSYS, considerando lajes nervuradas bidirecionais com vãos de 8, 12 e 16m, cujas alturas das lajes variaram entre 25, 35 e 50 cm, respectivamente.

A análise consiste, através do emprego do modelo de grelha, na determinação dos esforços e deslocamentos das lajes e vigas de borda que compõem o sistema, observando a seguinte seqüência: 1. Dimensionamento das peças (vigas de borda e lajes) manualmente, de acordo com a

NBR 6118 (2003), onde se considera cada nervura como sendo viga isolada; 2. Determinação das características físicas dos elementos, baseado no

dimensionamento obtido no item anterior; 3. Geração dos modelos no programa ANSYS.

O enfoque principal das análises desenvolvidas é a influência das vigas de borda e da rigidez dos apoios no comportamento das lajes apoiadas. 2.1 Modelos, arranjos estruturais e dimensionamento manual

Foram analisados três tipos de situações diferentes, onde se procurou estudar a influência da variação da geometria e vãos dos apoios das vigas de borda, conforme enumerados a seguir: 1. Laje bidirecional quadrada apoiada em vigas de borda com seção retangular; 2. Laje bidirecional quadrada com maciçamento nas extremidades apoiada em vigas de

borda com seção retangular; 3. Laje bidirecional quadrada apoiada em vigas de borda com seção L invertido.

A Figura 1 representa esquematicamente os três casos analisados neste trabalho. Em todos os modelos gerados foi considerada a influência da rigidez à torção das vigas de borda, através da variação das características físicas das seções das mesmas e variação da rigidez dos apoios, entre apoio simples e engastamento perfeito.

O maciçamento das lajes, quando ocorre, é feito entre a viga de borda e a nervura paralela mais próxima, sendo a altura igual a da própria laje. Na prática, é muito freqüente ocorrer esta situação em função de nem sempre se ter os panos de lajes com dimensões proporcionais aos das peças que compõem o sistema de lajes treliçadas que, por sua vez, são padronizadas.


O parâmetro principal na determinação das dimensões geométricas das vigas de borda com seção L invertido foi a inércia à torção final da viga de borda correspondente com seção retangular.

(a) vigas de borda com seção retangular

(b) maciçamento e apoio em vigas de borda com seção

retangular

(c) vigas de borda com seção L invertido

Figura 1 - Lajes bidirecionais quadradas apoiadas em vigas de borda. Para as lajes foi considerando o EPS (isopor) como elemento de enchimento, sendo,

portanto, o intereixo das nervuras eqüidistantes de 50 cm. A espessura da capa de concreto foi de 5 cm em todos os casos.

Foi adotada, a fim de seguir as prescrições normativas da NBR 6118 (2003), uma Classe de Agressividade Ambiental II (CAA II - moderada), onde o ambiente selecionado encontra-se em área urbana e o risco de deterioração da estrutura é pequeno.

Por ser uma análise teórica, foram considerados os valores médios de resistência do concreto e do aço iguais aos valores característicos (k) destes materiais.

A resistência (fck) considerada para o concreto moldado no local e para o concreto da vigota pré-moldada foi de 25 MPa. A armadura utilizada nas lajes tem resistência à tração (fyk) igual a 500 ou 600 MPa (CA-50 ou CA-60) e para a armadura utilizada nas vigas de borda, aço CA-50. Os parâmetros do concreto e do aço foram determinados segundo a NBR 6118 (2003), conforme descrito na Tabela 1.

Tabela 1 – Parâmetros segundo a NBR 6118 (2003). Eci Ecs fctm Es

(MPa) (MPa) (MPa) (MPa)28000,00 23800,00 2,56 210000,00 8,824

Es/Ecs

Foi considerada uma sobrecarga acidental igual a 2 kN/m2. O peso-próprio decorre do peso da laje: vigotas pré-moldadas, concreto moldado no local e elementos de enchimento. Para a sobrecarga permanente (revestimento) adotou-se 1,2 kN/m2. Maiores detalhes referentes aos arranjos estruturais podem ser encontrados em Buiate (2004).

Na determinação do diagrama de momento fletor último positivo para a obtenção das dimensões das peças da laje (nervuras longitudinais e transversais), assim como as áreas de aço, foi considerado que a laje poderia ser submetida ao momento fletor máximo positivo igual a 8/2lp . Esta situação pode ocorrer por diversas razões, seja por uma redução significativa da inércia à torção das vigas de borda, problemas de ancoragem da armadura negativa nos apoios devido a uma falha na execução, dentre outras.

Da mesma forma, sabe-se que haverá fissuras nas regiões próximas aos apoios das lajes, onde as nervuras são armadas para uma taxa de armadura mínima conforme a NBR 6118 (2003) estabelece na página 90, na Tabela 17.3 – “Taxas mínimas de


armadura de flexão para vigas – Forma da seção: T (mesa tracionada)”. Para este caso, tem-se uma nervura com seção retangular, pois a geometria da seção resistente para momentos negativos despreza as abas da mesa pelo fato do concreto estar tracionado nesta região. Esta situação oferece também maior segurança estrutural com deformações menores para a laje.

Sabe-se que, segundo a NBR 6118 (2003) e a NBR 14859 (2002), pelo menos 50% da armadura positiva das lajes nervuradas para combater o momento positivo no meio dos vãos deve ser prolongada até o apoio. Essa armadura corresponderá à armadura de compressão para a laje na região de momento fletor negativo. Então, o momento negativo mínimo Mmín que esta seção será capaz de resistir, terá geometria de seção retangular, armadura negativa com área determinada conforme citado acima e armadura positiva com área de aço determinada pela taxa de armadura mínima desprezando a presença de armadura negativa.

Na prática, sabe-se que projetistas de estrutura de concreto armado, por falta de meios para estimar estes esforços ou até mesmo por arrojo ou falta de experiência, acabam adotando para as regiões próximas aos apoios das lajes, um momento fletor negativo entre 1/6 e 1/5 do momento fletor positivo máximo suposto no meio do vão, ou, às vezes, esforços até maiores.

O comprimento Negl de atuação do momento negativo Mmín nas nervuras é variável nas três situações analisadas neste trabalho, pois depende da geometria da seção, da taxa de armadura e do diâmetro das barras que determinam o comprimento de ancoragem para se fazer a decalagem.

O diagrama de momento fletor último final nas lajes está ilustrado na Figura 2 através da sobreposição dos diagramas de momento fletor positivo e momento fletor negativo.

Figura 2 - Diagrama de momento fletor último final para as lajes. Um cuidado especial foi tomado no dimensionamento das lajes, onde se evitou a

utilização de armaduras em mais de uma camada, por serem de difícil execução e não ser de uso corrente nas obras. Da mesma forma, a consideração de armadura dupla só ocorreu na determinação das características físicas das seções, pois desprezando a contribuição da armadura negativa a solução encontrada oferece uma maior segurança estrutural ao sistema.

Vale citar que, no dimensionamento das seções das nervuras submetidas ao momento fletor negativo, considera-se a resistência à compressão do concreto moldado no local e do concreto da vigota. Com isso, admite-se que existe perfeita aderência entre os concretos e que também as características físicas entre eles sejam bem próximas. A presença da sinusóide contribui significativamente para que tal comportamento aconteça.

Da mesma forma que foi adotado os momentos últimos atuantes nas lajes, estes esforços de momento foram adotados para as vigas de borda, à exceção do momento negativo que, pela variação possível da rigidez dos apoios (pilares), pela continuidade das vigas de borda e pelo fato do cálculo ser manual, foi adotado que o momento negativo último seria o maior momento negativo possível para vigas engastadas nos apoios, ou


seja, 12/2lp . O comprimento Negl de atuação do momento negativo nas vigas de borda é variável, assim como ocorre nas lajes, pois depende da geometria da seção, da taxa de armadura e do diâmetro das barras que determinam o comprimento de ancoragem para se fazer a decalagem.

De forma a simplificar as referências dos modelos desenvolvidos e analisados neste trabalho, foi criado uma notação conforme ilustrada na Figura 3.

Figura 3 - Notação de referência dos modelos e arranjos estruturais. A Tabela 2 mostra a variação dos vãos das lajes e das vigas de borda considerada

neste trabalho, assim como as alturas de lajes utilizadas. Apresentam-se na Tabela 3 as características geométricas das vigas de borda utilizadas nestas análises.

Tabela 2 – Modelos e arranjos estruturais

Vigas de bordaVãos dos apoios

(m)Altura (cm) Vão (m)

01L08VR04 - 4,0 25,0 8,002L08VR08 - 8,0 25,0 8,003L12VR04 - 4,0 35,0 12,004L12VR06 - 6,0 35,0 12,005L12VR12 - 12,0 35,0 12,006L16VR08 - 8,0 50,0 16,007L16VR16 - 16,0 50,0 16,0

08L08VR04-M Sim 4,0 25,0 8,009L08VR08-M Sim 8,0 25,0 8,010L12VR04-M Sim 4,0 35,0 12,011L12VR06-M Sim 6,0 35,0 12,012L12VR12-M Sim 12,0 35,0 12,013L16VR08-M Sim 8,0 50,0 16,014L16VR16-M Sim 16,0 50,0 16,0

15L08VL04 - 4,0 25,0 8,016L08VL08 - 8,0 25,0 8,017L12VL04 - 4,0 35,0 12,018L12VL06 - 6,0 35,0 12,019L12VL12 - 12,0 35,0 12,020L16VL08 - 8,0 50,0 16,0

j

3

Modelo Situação

Modelo de grelhaLajes

1

2

Maciçamento

Tabela 3 – Geometria das vigas de borda

bw (cm) bf (cm) h (cm) hf (cm)

01L08VR04 20,0 - 45,0 -02L08VR08 20,0 - 80,0 -03L12VR04 24,0 - 60,0 -04L12VR06 28,0 - 70,0 -05L12VR12 30,0 - 120,0 -06L16VR04 33,0 - 70,0 -07L16VR08 38,0 - 100,0 -

08L08VR04-M 20,0 - 45,0 -09L08VR08-M 20,0 - 80,0 -10L12VR04-M 24,0 - 60,0 -11L12VR06-M 28,0 - 70,0 -12L12VR12-M 30,0 - 120,0 -13L16VR04-M 33,0 - 70,0 -14L16VR08-M 38,0 - 100,0 -

15L08VL04 12,0 39,0 45,0 25,016L08VL08 14,0 52,0 80,0 25,017L12VL04 14,0 45,0 60,0 35,018L12VL06 20,0 55,0 70,0 35,019L12VL12 28,0 59,0 120,0 35,020L16VL04 30,0 58,0 70,0 50,021L16VL08 36,0 62,0 100,0 50,0

g g

3

Modelo Situação

Modelo de grelha

1

2

Vigas de borda

Os esforços últimos utilizados no dimensionamento manual, assim como as flechas admissíveis e estimadas estão apresentadas nas Tabelas 4, 5 e 6. Estes esforços foram extraídos dos diagramas de momento fletor apresentados anteriormente.

Para a determinação das dimensões das vigas de borda com seção L invertido, buscou-se obter uma inércia à torção próxima daquela obtida pela viga de seção retangular. Manteve-se também a altura inicial da viga com seção retangular a fim de obter espessuras menores de alma (bw), em face à dificuldade que os projetistas de estruturas de CA têm em sobrepor os projetos arquitetônico e estrutural, quando é exigido pelo projeto estrutural, espessuras maiores que as das alvenarias devido aos esforços.


Tabela 4 – Momentos últimos e flechas admissíveis e estimadas nas lajes.

Positivo Negativo Admissível Estimada

01L08VR04, 02L08VR08, 08L08VR04-M, 09L08VR04-M, 15L08VL04, 16L08VL08

21,80 1,92 3,2 1,78

03L12VR04, 04L12VR06, 05L12VR12, 10L12VR04-M, 11L12VR06-M,

12L12VR12-M, 17L12VL04, 18L12VL06, 19L12VL12

53,47 3,93 4,8 3,92

06L16VR04, 07L16VR08, 13L16VR04-M, 14L16VR08-M, 20L16VL04, 21L16VL08

106,82 8,30 6,4 5,36

Momento Fletor (kN.m)

Flecha (cm)Modelo

j

Tabela 5 – Momentos últimos e flechas nas vigas de borda com seção retangular.

Positivo Negativo Torçor Admissível Estimada01L08VR04,

08L08VR04-M43,61 29,07 15,36 1,6 0,86

02L08VR08, 09L08VR08-M

174,42 116,28 30,71 3,2 2,59

03L12VR04, 10L12VR04-M

71,29 47,53 31,48 1,6 0,40

04L12VR06, 11L12VR06-M

160,41 106,94 47,21 2,4 1,36

05L12VR12, 12L12VR12-M

641,62 427,75 94,43 4,8 4,21

06L16VR04, 13L16VR04-M

106,82 71,22 66,38 1,6 0,19

07L16VR08, 14L16VR08-M

427,29 284,86 132,76 3,2 1,68

Momento (kN.m) Flecha (cm)Modelo

Tabela 6 – Momentos últimos e flechas nas vigas de borda com seção L invertido.

Positivo Negativo Torçor Admissível Estimada15L08VL04 43,60 29,07 15,36 1,6 0,3916L08VL08 174,40 116,27 30,71 3,2 0,9517L12VL04 71,30 47,53 31,48 1,6 0,4618L12VL06 160,43 106,95 47,21 2,4 1,1719L12VL12 641,70 427,80 94,43 4,8 2,9820L16VL04 106,82 71,21 66,38 1,6 0,2621L16VL08 427,28 284,85 132,76 3,2 1,77

Momento (kN.m) Flecha (cm)Modelo

g ç

2.2 Modelagem computacional

As modelagens numéricas foram realizadas utilizando-se o programa computacional ANSYS. Para uma melhor compreensão, serão tomados como exemplo a planta de forma dos modelos 01L08VR04 e 08L08VR04-M, conforme ilustrado nas Figuras 4 (a) e (b). Para simular os apoios das vigas de borda, estes foram representados por pilares.

As lajes e vigas são discretizadas em uma grelha. Em função do valor do intereixo (distância entre o centro de duas nervuras consecutivas), define-se a malha da grelha nas direções paralelas às nervuras, através da inserção de elementos tipo barra, ou seja, os segmentos de nervuras serão representados por elementos tipo barra. As seções das barras da grelha que representam as nervuras da laje foram definidas segundo a NBR 6118 (2003), segundo uma seção do tipo T. As barras de grelha que representam as seções das vigas de borda foram definidas segundo as características físicas e geométricas da própria viga. A posição das barras da grelha que representam as nervuras da laje e as vigas de borda foi definida segundo o eixo da alma das nervuras e vigas. Para o caso onde a seção da viga de borda é retangular, o volume de concreto da mesa da laje entre a nervura com seção T e a viga de borda não contribui como elemento resistente, mas sim como sobrecarga permanente. A Figura 5 (a, b) mostra a posição das barras das grelhas, das nervuras e vigas de borda. As barras e placas dos modelos gerados estão no mesmo plano.

As vigas de borda com seção L invertido também foram representadas por elementos tipo barra nos modelos gerados nas análises numéricas, inclusive sua posição. Sabe-se que, na realidade, o comportamento da viga de seção L invertido não é o mesmo da viga


com seção retangular, pois a mesa desta viga terá um comportamento próximo do maciçamento feito no contorno das lajes apoiadas em vigas com seção retangular.

Para as análises numéricas lineares foram utilizados o elemento de barra “BEAM4-3D Elastic Beam”, que possui 6 graus de liberdade por nó (translação e rotação nas três direções), e o elemento de placa ”SHELL63-3D Elastic Shell”. Para o elemento BEAM4 são atribuídas as características físicas área, inércia à flexão e inércia à torção.

Para simular o maciçamento das bordas das lajes foi utilizado o elemento de placa SHELL93-3D. Este elemento também possui 6 graus de liberdade por nó (translação e rotação nas três direções), possuindo no total oito nós. Para este elemento, é atribuída a altura do maciçamento da laje equivalente à altura total da própria laje.

Em face à dificuldade que existe em determinar os coeficientes de mola da ligação viga-pilar e pela falta de dados experimentais, neste trabalho, conforme já citado, tentou-se gerar duas situações extremas que indicam uma tendência de comportamento: numa delas admitiu-se que a rigidez do pilar é mínima e este apoio apresenta apenas restrições de translação e, na outra situação, o apoio com rigidez máxima, com restrições quanto à translação e rotação. Nenhuma outra situação irá gerar esforços ou deformações fora da região determinada pelas duas hipóteses de vinculação previstas neste trabalho.

(a) Sem maciçamento (b) Com maciçamento Figura 4 – Forma do modelo (a) 01L08VR04 e (b) 08L08VR04-M.

(a) Nervuras longitudinais (b) Nervuras perpendiculares Figura 5 – Posição das barras da grelha para as nervuras - Modelo 01L08VR04.


Para todos os casos, os carregamentos foram aplicados diretamente nos nós da grelha, que se encontram nos cruzamentos entre as nervuras pré-moldadas e as nervuras transversais e nos cruzamentos entre as nervuras da laje e as vigas de borda. A área de influência de cada nó define os carregamentos incidentes sobre o mesmo.

Atribui-se, inicialmente, para todos os elementos tipo barra, a inércia à flexão das seções no Estádio II, que leva em consideração a fissuração do concreto. Faz-se um primeiro dimensionamento e, após terem sido obtidos os esforços de momento fletor atuantes em cada elemento, distinguem-se quais destes estão submetidos a esforços de momento fletor menores que o momento fletor de fissuração Mr. Assim, para os elementos de barra que estão submetidos a esforços de momento fletor menor que o momento fletor de fissuração, atribui-se a inércia à flexão das seções no Estádio I, e faz-se o cálculo novamente. De posse de uma nova leitura de resultados, faz-se a mesma verificação e correção de inércias, até que haja convergência neste processo.

Realizado este dimensionamento e obtidos os esforços e deslocamentos finais, verifica-se onde o momento atuante não pode ser maior que o momento de escoamento ou plastificação My.

Conforme já foi citado, a inércia à torção atribuída às nervuras das lajes e vigas de borda foi aquela equivalente à rigidez à torção do Estádio I.

No intuito de verificar a precisão dos modelos gerados, foram criadas malhas mais refinadas com nós distanciados um do outro de 25 cm para os modelos 02L08VR08, 09L08VR08-M e 16L08VL08. Na leitura dos resultados, pôde-se verificar que a variação se deu a partir da 4ª casa decimal após a vírgula, o que não justifica tal refinamento.

3 Resultados

Os resultados das análises numéricas desenvolvidas no ANSYS permitem observar a influência da rigidez dos apoios das vigas de borda nos esforços e nas deformações, bem como da variação dos vãos das vigas de borda e dos vãos das lajes.

As deformações, as flechas nas lajes e as rotações nas vigas de borda foram enfatizadas face à proporcionalidade que têm com os esforços e características físicas dos elementos estruturais. Estes esforços, por sua vez, são função da capacidade resistente que cada seção de cada elemento estrutural possui, além das condições de vinculação com os apoios e outros elementos. Os valores das deformações obtidas nas análises numéricas ultrapassaram os valores admissíveis prescritos na NBR 6118 (2003). Para a rotação, há restrição de giro relativo apenas quando há presença de alvenaria apoiada no elemento estrutural analisado, e como não há restrição de rotação para outro caso, este valor máximo foi assumido como limite, sendo utilizado nas comparações.

3.1 Análise comparativa

As Figuras 6, 7 e 8 mostram os valores da flecha nas lajes com vãos de 8, 12 e 16m, respectivamente, levando em conta o vão e a rigidez dos apoios das vigas de bordo, bem como o maciçamento no contorno das lajes.

Percebe-se que o maciçamento no contorno das lajes melhora sensivelmente a capacidade de vinculação das nervuras, uma vez que os elementos estruturais passam a combater esforços de menor intensidade, resultando em menores deformações.

Nos modelos com rigidez mínima nos apoios e com maciçamento, observa-se uma maior variação nas flechas quando os vãos das lajes e vigas de borda são menores, se comparados com os modelos sem maciçamento. No entanto, quando o vão das vigas de borda é maior, a variação das flechas quando ocorre o maciçamento é maior nas lajes com maiores inércias, se comparadas com as flechas dos modelos sem maciçamento. Nota-se que o maciçamento aumenta a eficiência em maior proporção das vigas de borda com maiores vãos, onde ocorre diminuição das rotações relativas sofridas pelas mesmas.


Para os modelos cuja rigidez dos apoios é infinita, o comportamento é idêntico com ou sem presença do maciçamento no contorno das lajes. Porém, a variação nas flechas das lajes foi sempre menor nos modelos com menores inércias das lajes.

Com relação às rotações, para os modelos com rigidez dos apoios mínima, onde a inércia à torção das vigas de borda para uma determinada direção passa a ser função da inércia à flexão da viga de borda em direção perpendicular, o maciçamento aumenta a eficiência em maior proporção das vigas de borda com maiores vãos.

3,43

4,13

3,27

1,87

3,14

3,76

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

Modelos

Flec

ha (c

m)

01L08VR0408L08VR04-M15L08VL04

02L08VR0809L08VR08-M16L08VL08

2,25

2,47 2,43

2,19

1,30

1,76

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

Modelos

Flec

ha (c

m)

01L08VR0408L08VR04-M15L08VL04

02L08VR0809L08VR08-M16L08VL08

(a) Rigidez mínima (b) Rigidez infinita

Figura 6 - Variação da flecha nas lajes com vão de 8m.

6,71

10,43 10,749,31

6,64

9,8110,80

9,25

12,57

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

Modelos

Flec

ha (c

m)

03L12VR0410L12VR04-M17L12VL04

04L12VR0611L12VR06-M18L12VL06

05L12VR1212L12VR12-M19L12VL12

6,43

4,65

6,446,53

4,76

6,58

7,55

5,81

7,74

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

Modelos

Flec

ha (c

m)

03L12VR0410L12VR04-M17L12VL04

04L12VR0611L12VR06-M18L12VL06

05L12VR1212L12VR12-M19L12VL12


Figura 7 - Variação da flecha nas lajes com vão de 12m.

7,98

9,72

7,819,24

18,88 19,30

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

Modelos

Flec

ha (c

m)

06L16VR0413L16VR04-M20L16VL04

07L16VR0814L16VR08-M20L16VL04

4,94

5,49 5,545,24

5,565,46

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Modelos

Flec

ha (c

m)

06L16VR0413L16VR04-M20L16VL04

07L16VR0814L16VR08-M20L16VL04


Figura 8 - Variação da flecha nas lajes com vão de 16m - apoios com rigidez mínima. Para os casos onde a rigidez dos apoios é infinita, o comportamento é padrão para os

casos com ou sem maciçamento, ou seja, pelo fato de estarem restringidos os apoios à rotação, quanto maior o vão, maior a rotação que a viga de borda sofre. Ocorre apenas


uma diminuição na grandeza dos valores de rotação sofrida pelas vigas de borda quando a laje é maciçada no seu contorno.

Para ilustrar os resultados obtidos nas análises no ANSYS, pode-se visualizar nas Figuras 9 e 10 os deslocamentos do modelo 02L08VR08, assim como as rotações em relação ao eixo horizontal “x” do modelo 02L08VR08-M, considerando os apoios com rigidez infinita e mínima para ambos os casos.

Pode-se perceber como as considerações das condições de vinculação dos apoios das vigas de borda interferiram nos resultados e, com isto, estimar a importância de se ter na obra um nível de exeqüibilidade que garanta as considerações de projeto.

Sabe-se que, na realidade, não ocorrerá nenhuma das situações supostas neste trabalho para os apoios das vigas de borda, e sim uma situação intermediária que será função da rigidez dos apoios e das taxas de armadura das seções dos elementos estruturais próximas desta região. No entanto, devido à fissuração, fluência do concreto e capacidade resistente das seções nos apoios, há uma tendência de que as lajes e vigas de borda tenham um comportamento mais próximo dos modelos gerados no ANSYS, onde a rigidez dos apoios é mínima. A presença de armadura e resistência do concreto são os fatores que determinam o nível de engastamento entre os elementos. Da mesma forma, uma elevada concentração de armadura negativa nos elementos estruturais a fim de melhorar este engastamento não se justifica, pois gera dificuldades para a execução.

(a) Rigidez infinita (b) Rigidez mínima Figura 9 – Deslocamentos normais ao plano da grelha do modelo 02L08VR08 [cm].

O cálculo manual confere resultados discrepantes dos valores reais por não levarem

em consideração uma série de fatores pertinentes ao conceito de grelha, como por exemplo, a relação que a inércia à torção de vigotas de lajes bidirecionais no sentido perpendicular tem com os esforços de momento fletor analisados para uma outra direção, dentre outros. A adoção de cálculo manual para estimativa de deformações dos elementos estruturais oferece resultados conservadores se comparados com os resultados de análises que levam em consideração os conceitos de grelha, por não considerar que a estrutura trabalha em conjunto, de forma que as deformações das vigas incrementam as deformações nas lajes apoiadas.

Portanto, como esperada, a deformação no centro das lajes foram superiores na maioria dos casos para os modelos cuja rigidez dos apoios das vigas de borda era mínima. Nos apoios ocorre grande rotação relativa nas vigas de borda, que geram momentos fletores negativos menores nas lajes.

Da mesma forma, os esforços de momento fletor positivo obtidos no dimensionamento manual para os apoios com rigidez infinita foram bastante


conservadores se comparados com os resultados numéricos. Isto se deve ao fato de que, no dimensionamento manual não foi levado em consideração o momento negativo nos apoios dos elementos estruturais, que diminui as deformações e esforços de momento fletor positivo no meio do vão. O dimensionamento manual não é muito preciso do ponto de vista do comportamento real da estrutura, porém, é bastante prático. O cálculo manual leva vantagem sobre outros modelos por superestimar alguns esforços, face à probabilidade de formação de rótulas plásticas nos apoios que possam levar os elementos estruturais à ruína. A ruína pode se dar por uma falha de execução ou imposição de carregamentos não previstos na fase de projeto.

Os resultados obtidos para os momentos fletores negativos atuantes nas nervuras das lajes nos modelos gerados no ANSYS foram bem superiores aos momentos de escoamento ou plastificação obtidos no dimensionamento manual, principalmente nos modelos em que os apoios têm rigidez infinita. Percebe-se que nos pontos de cruzamento entre nervuras e apoios das vigas de borda, estes conferem às nervuras uma maior rigidez e maior capacidade resistente para absorver esforços. Diante disso, deve ser prevista uma possível modificação no diagrama de esforços de momentos fletores ao longo do tempo, causado pela fluência, que diminua estes esforços.

Os momentos fletores negativos são grandes porque os carregamentos atribuídos não estão próximos daqueles em que haveria a ruptura de algum dos elementos. À medida que os carregamentos vão aumentando, o momento fletor positivo aumenta e o momento fletor negativo decresce, aumentando a rotação relativa das vigas de borda, que passam a estarem submetidas a esforços torçores menores.

(a) Rigidez infinita (b) Rigidez mínima

Figura 10 – Rotações em relação ao eixo horizontal “x” do modelo 02L08VR08-M [rad]. A NBR 6118 (2003) só define limites para rotação relativa de elementos que suportam

elementos não estruturais (parede) e, neste caso, o limite da flecha admissível é a metade da considerada neste trabalho. No entanto, os modelos que não ultrapassaram este valor foram aqueles com vãos menores das vigas de bordas e rigidez dos apoios infinita.

Pode-se constatar pela leitura dos resultados de deformações e esforços que a diminuição dos vãos dos apoios nas vigas de borda gera um efeito bastante positivo tanto para estas quanto para a laje apoiada, diminuindo significativamente as tensões e deformações no centro dos vãos. Além disso, as deformações e tensões se distribuem de maneira mais uniforme dentro da laje nas regiões próximas aos apoios (pilares). A Figura 11 (a, b) ilustra os deslocamentos relativos dos elementos segundo a variação dos vãos.

O maciçamento nas extremidades da laje em regiões próximas dos apoios contribuiu significativamente para a diminuição das flechas das lajes e rotações relativas das vigas de borda, pois a estas é conferida uma maior rigidez pelo contato que ocorre entre as


nervuras, as vigas de borda e a região maciçada. Houve uma redução de até 58,1% nas deformações no centro das lajes com extremidades maciçadas em relação ao modelo semelhante sem maciçamento. Quanto menores os vãos das vigas de borda menores são as diferenças entre as flechas devido ao maciçamento das bordas das lajes.

Como esperado, ocorre uma redução significativa de tensões nas nervuras nas regiões próximas aos apoios em lajes cujas extremidades estão maciçadas. As nervuras nestas regiões maciçadas passam a se comportar como lajes maciças, pois conseguem com as grandes inércias que estas áreas têm em função da altura da laje ser elevada, distribuindo melhor as tensões. Ou seja, melhoram-se as vinculações das nervuras das lajes nas regiões próximas à viga de borda, pois parte das tensões são absorvidas pelo concreto utilizado no maciçamento.

Os esforços de momento de torção (modelos do ANSYS) foram maiores que os obtidos no dimensionamento manual, em função do momento negativo das lajes ser muito acima do previsto, nos casos cuja rigidez dos apoios era mínima. Esses esforços tendem a diminuir à medida que as nervuras e vigas fissuram sob esforços de flexão, cisalhamento e fluência. Sob os efeitos da fissuração, a viga de borda sofre rotações pela perda da rigidez à torção, dificultando a vinculação das nervuras nos apoios.

Neste trabalho não foi considerada a perda de rigidez à torção nas nervuras devido à fissuração ocasionada pelos esforços de flexão e cisalhamento.

(a) Modelo 20L16VL04 (b) Modelo 21L16VL08

Figura 11 – Deslocamentos normais ao plano da grelha considerando rigidez dos apoios infinita [cm]. A rigidez à torção adotada nos modelos analisados no ANSYS foi a do Estádio I,

sendo esta alta rigidez à torção assumida a principal característica que gera maiores esforços de momento fletor negativo nas nervuras da laje, assim como menores deslocamentos. No entanto, uma perda acentuada de rigidez à torção para o Estádio II puro faz com que as rotações relativas das vigas de borda e deslocamentos das lajes sejam excessivamente grandes, de tal forma que os limites prescritos nas normas para as deformações sejam mais fáceis de serem ultrapassados e, com isso, pode-se chegar a soluções mais expressivas economicamente. Um modelo de análise numérica ideal deve considerar a parcela de perda de rigidez à torção dos elementos estruturais. O prejuízo em se considerar a inércia a torção no Estádio I está em se obter um maior consumo de material, além de subestimar um possível deslocamento excessivo da laje onde não se respeitaria os Estados Limites de Utilização impostos pelas normas.

Vale lembrar que a análise desenvolvida neste trabalho é linear, de tal sorte que os resultados encontrados são próximos dos que uma estrutura realmente estaria submetida.


Outro fato muito importante e que deve ser ressaltado é com relação à adoção de métodos como o Método de Elementos Finitos para este tipo de estudo, pois a adoção de certos critérios pode levar a situações bastante adversas.

Pode-se verificar numericamente que ocorre uma pequena variação nas deformações entre os modelos gerados com vigas de borda com seção retangular e com seção L invertido. Isto ocorre porque as características físicas entre tais elementos não são tão diferentes, pois têm que combater esforços próximos e possuem o mesmo arranjo estrutural nos modelos teóricos (elementos de barra). Em contrapartida, os modelos com vigas de seção L invertido apresentariam um desempenho próximo dos modelos com maciçamento nas bordas das lajes nas análises numéricas caso no arranjo estrutural fossem utilizados elementos sólidos, onde as abas da mesa das vigas com seção L invertido simulariam o maciçamento das bordas das lajes.

A substituição da viga de borda com seção retangular por seção L invertido de mesma altura se justifica, pois as espessuras da alma reduzem significativamente. Uma viga com seção L invertido diminui os contrastes que existem entre as dimensões estabelecidas nos projetos arquitetônicos e a padronização dos elementos que compõem o sistema lajes treliçadas. Além disto, a aba da mesa da viga com seção L invertido terá o mesmo comportamento do maciçamento das bordas das lajes, melhorando as condições de vinculação entre as nervuras e a viga. Porém, há um pequeno acréscimo no consumo de material da laje e das vigas.

O maciçamento nas bordas das lajes tem grande incidência face às discrepâncias que existem entre os projetos arquitetônicos e as medidas padronizadas das lajes nervuradas pré-moldadas com armação treliçada. Na prática, efeitos mais positivos na adoção do maciçamento de lajes apoiadas em vigas de seção retangular ocorrerão se forem armados como consoles monolíticos com as vigas. Neste caso, o projetista terá mais sucesso considerando-o como parte da mesa de uma viga com seção L invertido.

Pode-se verificar que quanto maior o vão da laje, menores são as influências sofridas, se analisadas as flechas no meio dos vãos das lajes, com a variação no vão dos apoios das vigas de borda, substituição de vigas com seção retangular por L invertido e maciçamento nas extremidades das lajes. Em contrapartida, à medida que os vãos das vigas diminuem, as rotações relativas das vigas de borda aumentam em maior proporção que o esforço de momento torçor diminui.

As rotações das vigas de borda onde se apóiam lajes com grandes vãos devem ser devidamente controladas, pois estas interferem sobremaneira nos esforços e deformações das nervuras da laje em contato, além de gerar patologias em elementos não estruturais que estejam apoiados, como por exemplo, paredes de fechamento.

4 Conclusões

As principais conclusões deste trabalho foram: a) vigas de borda com menores vãos influenciam positivamente no comportamento de lajes nervuradas com grandes vãos; b) o maciçamento através de console monolítico armado nas bordas de lajes nervuradas melhoram as vinculações entre as nervuras e as vigas de borda; c) a adoção de seções L invertido para as vigas de borda é uma solução mais eficiente do que a utilização de seções retangulares (de mesma altura) ou maciçamento das bordas das lajes; d) a capacidade de engastamento entre as nervuras e as vigas de borda aumenta à medida que a altura da laje cresce; e) a rigidez à torção, função da fissuração devido à flexão, influencia significativamente no comportamento dos modelos onde, num primeiro momento, atribui esforços consideráveis de torção às vigas e esforços de flexão aos apoios e, num segundo momento, com a perda de rigidez à torção, sujeita as nervuras das lajes a grandes deformações.


5 Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) NBR 6118: Projeto de

estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2002) NBR 14859-1: Laje pré-

fabricada – Requisitos – Parte 1: Lajes unidirecionais. Rio de Janeiro. BUIATE, M. (2004). Estudo do comportamento de lajes nervuradas formadas por

vigotas de concreto com armação tipo treliçada e vigas de borda. Dissertação (Mestrado). FECIV. Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia, MG.

EL DEBS, M.K. (2000). Concreto pré-moldado: fundamentos e aplicações. EESC. Universidade de São Paulo.São Carlos.

DROPPA Jr., A. (1999). Análise estrutural de lajes formadas por vigotas ré-moldadas com armação treliçada. Dissertação (Mestrado). EESC. Universidade de São Paulo. São Carlos.

MUNIZ, C. E. (1991). Mais competitivas: lajes treliçadas. Revista IBRACON, v.1, n.1, p-19-21, Jul-Ago.

análise do comportamento de lajes nervuradas formadas por ... · the numerical models results...

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