an introduction to the mechanics of deformable … & simulazione di dispositivi biomedici corso...

Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomediciCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Pavia, 2017

An introduction to the mechanics of deformable solids:

change of configuration, equilibrium

Ferdinando Auricchio 1 2

1Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura, Universita di Pavia, Italy2IMATI – Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche, CNR, Italy

May 5, 2017

F.Auricchio (UNIPV) Deformable body May 5, 2017 1 / 49

Outline I

Corpo deformabile

Cinematica (Analisi della deformazione)

Piccoli spostamenti Tensore della deformazione εεε

Significato fisico componenti εεε

Equilibrio statico (Analisi della tensione)

Assiomi di equilibrio (Statica) Vettore delle tensioni Tensore delle tensioni σ Significato fisico componenti σ Equazioni indefinite di equilibrio

Equilibrio dinamico

Cenni al problema


Corpo deformabile I

Oggetto in studio:

corpo materiale identificato con una regione Ω ⊂ R3

Corpo deformabile: distanza tra punti variabile

X2

X1

x2

x1

Esempi:

Pneumatico Fluido in un canale Disco intervertebrale Arteria Sangue


Corpo deformabile I

Cinematica: Corpo 2D: 2 gdl per punto

X x

⋆ X: vettore posizione iniziale⋆ x: vettore posizione corrente

Corpo 3D: 3 gdl per punto

Cinematica complessa ⇒ Analisi della deformazione


Analisi della deformazione I

Spostamento u: campo di maggior interesse

x(P) = X(P) + u(P) (1)

X x

u

Spostamento u: campo vettoriale che associa ad ogni punto (materiale) del corpoin posizione iniziale la posizione dello stesso punto in posizione finale

Il campo di spostamenti e assunto sufficientemente regolare (in modo da escluderefratture e compenetrazioni di materiale)

Esercizio. Assumendo un sistema di riferimento (O, e1, e2, e3), [ovvero un sistema di riferimento(O,X ,Y ,Z ) ], si esprimano i vettori x, X e u, nonche la relazione 1 in notazione compatta, indiciale,ingegneristica.

(O, e1, e2, e3) ⇒ X = X1,X2,X3 , u = u1, u2, u3

(O,X ,Y ,Z ) ⇒ u = u, v,w , X = X ,Y ,Z



Limitando l’attenzione ad un intorno (piccolo) di un punto, possiamo fermare losviluppo in serie del campo di spostamenti ai termini del primo ordine:

u(P) = u(P0) +

(

∂u

∂X

)

dX

u = u0 +∇u dX

(2)

Esercizio. Assumendo un sistema di riferimento (O, e1, e2, e3), [ovvero un sistema di riferimento(O,X ,Y ,Z ) ], si esprimano i vettori x, X e u, nonche la relazione 2 in notazione compatta, indiciale,ingegneristica

ui (P) = ui (P0) +∂ui

∂Xj

dXj ,

u = u0 +∂u

∂XdX +

∂u

∂YdY +

∂u

∂ZdZ

v = v0 +∂v

∂XdX +

∂v

∂YdY +

∂v

∂ZdZ

w = w0 +∂w

∂XdX +

∂w

∂YdY +

∂w

∂ZdZ



Introduciamo il gradiente degli spostamenti H:

H = ∇u

H e un tensore del secondo ordine, in quanto trasforma vettori in vettori (identificabilecon una matrice 3 × 3)

H e un campo tensoriale, ovvero e una quantita che dipende dal punto del corpo nelquale e valutato

Lo sviluppo in serie del campo di spostamento in un intorno elementare

u = u0 +HdX da cui u = u0 +WdX+ εεεdX (3)

dove:

W =1

2

(

H−HT)

=1

2

[

∇u− (∇u)T]

εεε =1

2

(

H+HT)

=1

2

[

∇u+ (∇u)T]

W: tensore emisimmetrico del 2o ordine (W = −WT ) εεε: tensore simmetrico del 2o ordine (εεε = εεε

T )


Analisi della deformazione II

Ipotesi di piccoli spostamenti:

∥

∥

∥

u

L

∥

∥

∥<< 1

con L una dimensione caratteristica e significativa del corpo deformabile

Grazie all’ipotesi di piccoli spostamenti possiamo dare un significato fisico ai termini

u = u0 +WdX+ εεεdX

X In 3 primo addendo (u0 +WdX) rappresenta un contributo di moto rigido

X In 3 secondo addendo (εεεdX) rappresenta un contributo puramente deformativo

εεε: tensore della deformazione

⋆ Concentriamoci per ora solo sul contributo deformativo !!


εεε: notazione indiciale I

Assumiamo un sistema di riferimento (O, e1, e2, e3) per cui indichiamo:

u = u1, u2, u3T X = X1,X2,X3

T

Il tensore εεε puo essere rappresentato come:

εεε =

ε11 ε12 ε13

ε12 ε22 ε23

ε13 ε23 ε33

dove:

ε11 =∂u1

∂X1

ε22 =∂u2

∂X2

ε33 =∂u3

∂X3

ε12 =1

2

(

∂u1

∂X2+

∂u2

∂X1

)

ε13 =1

2

(

∂u1

∂X3+

∂u3

∂X1

)

ε23 =1

2

(

∂u2

∂X3+

∂u3

∂X2

)

(4)

Esercizio. Partendo dalla definizione εεε = [∇u + (∇u)T ]/2, verificare le relazioni 4 sulle componenti dideformazione ed in particolare la relazione indiciale: εij = [ui,j + uj,i ]/2 dove la virgola indica derivazione.


εεε: notazione ingegneristica I

Assumiamo un sistema di riferimento (O,X ,Y ,Z ) per cui indichiamo:

u = u, v ,wT X = x , y , zT

Il tensore εεε puo essere rappresentato come:

εεε =

εxx1

2γxy

1

2γxz

1

2γxy εyy

1

2γyz

1

2γxz

1

2γyz εzz

dove:

εxx =∂u

∂x

εyy =∂v

∂y

εzz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+

∂v

∂x

γxz =∂u

∂z+

∂w

∂x

γyz =∂v

∂z+

∂w

∂y

(5)

Esercizio. Partendo dalla definizione εεε = [∇u + (∇u)T ]/2, verificare le relazioni 5 sulle componenti dideformazione.


Significato fisico componente εxx I

Introduciamo un sistema di riferimento (O, x , y , z)

Consideriamo un vettore di lunghezza infinitesima dX posto lungo l’asse x , quindi incomponenti:

dX = dX , 0, 0T

Indichiamo con dx l’elemento trasformato durante il cambio di configurazione(deformazione del corpo)

Indichiamo con εX l’allungamento relativo subito dal vettore dX, definito come:

εX =‖dx‖ − ‖dX‖

‖dX‖

dove ‖ · ‖ indica la norma del vettore, per cui

a = ax , ay , azT → ‖a‖ =

√

a2x + a2y + a2z


Significato fisico componente εxx II

Calcoliamo le componenti del vettore dx (considerando solo il contributo puramentedeformativo e trascurando la componente rigida del campo di spostamenti)

dx = [dX+ u(P)]− u(P0)

= dX+ [u(P0) + εεεdX]− u(P0)

= dX+ εεεdX

=

dX

00

+

εxx1

2γxy

1

2γxz

1

2γxy εyy

1

2γyz

1

2γxz

1

2γyz εzz

dX

00

=

(1 + εxx) dX

1

2γxydX

1

2γxzdX


Significato fisico componente εxx III

Calcoliamo le norme dei vettori dx e dX:

‖dx‖ =

[

(1 + εxx)2 +

(

1

2γxy

)2

+

(

1

2γxz

)2] 1

2

dX

‖dX‖ = dX

L’allungamento relativo quindi risulta:

εX =‖dx‖ − ‖dX‖

‖dX‖

=

[

(1 + εxx)2 +

(

1

2γxy

)2

+

(

1

2γxz

)2] 1

2

− 1

Trascurando i termini di ordine superiore:

εX ≈ [1 + 2εxx ]12 − 1 ≈ [1 + εxx ]− 1 = εxx


Significato fisico componente εxx IV

Quindi otteniamo:

εX = εxx

⋆ In conclusione:

La componente εxx del tensore di deformazione εεε rappresental’allungamento di una fibra di materiale parallela all’asse x

Analoghe considerazioni valgono per εyy e εzz

Esercizio. Dimostrare nel dettaglio che εX = εxx [si usi lo sviluppo in serie della funzione f (x) = x1/2]


Significato fisico componente γxy I

Introduciamo un sistema di riferimento (O,X ,Y ,Z )

Consideriamo due vettori di lunghezza infinitesima dX e dY posti lungo gli assi X eY , quindi in componenti:

X = dX , 0, 0T Y = 0, dY , 0T

Indichiamo con dx e dy gli elementi trasformati durante il cambio di configurazione(deformazione del corpo)

Indichiamo con θ(dx, dy) l’angolo compreso tra dx e dy e con cos[θ(dx, dy)] ilcoseno di tale angolo


Significato fisico componente γxy II

Ricordiamo il prodotto scalare · tra due generici vettori a e b

a = ax , ay , azT b = bx , by , bz

T

a · b = ‖a‖‖b‖ cos(a, b) = axay + ayby + azbz

Ricordando quanto trovato nella diapo 12 (i.e. dx = dX+εεεdX), calcoliamo i vettoridx e dy e le loro componenti

dx = dX+ εεεdX =

(1 + εxx) dX

1

2γxydX

1

2γxzdX

dy = dY + εεεdY =

1

2γxydY

(1 + εyy ) dY

1

2γyzdY


Significato fisico componente γxy III

Trascurando i termini di ordine superiore:

cos[θ(dx, dy)] =dx · dy

‖dx‖‖dy‖≈ γxy (6)

Indichiamo con γXY la variazione di angolo tra X e Y, ovvero:

γXY =π

2− θ(dx, dy)

Ricordiamo l’ipotesi di piccoli spostamenti, per cui abbiamo:

cos[θ(dx, dy)] = cos(

π

2− γXY

)

= sin(γXY) ≈ γXY

Quindi otteniamo:

γXY = γxy


Significato fisico componente γxy IV

⋆ In conclusione:

La componente γxy del tensore di deformazione εεε rappresenta lavariazione di angolo tra una fibra di materiale parallela all’asse x ed una

fibra di materiale parallela all’asse y

Analoghe considerazioni valgono per γyz e γxz

Esercizio. Dimostrare nel dettaglio relazione 6

Esercizio. Dimostrare nel dettaglio che γ = γxy


Direzioni principali di εεε I

Dato lo stato deformativo in un punto del corpo (i.e., εεε(P)), ci poniamo il problemadi determinare se esistono direzioni lungo le quali si hanno solo dilatazioni e nonscorrimenti angolari

Questo significa cercare una direzione dX nell’intorno (elementare) del punto, taleche

dx = dX+ λdX

Ricordando che in generale vale la relazione dx = dX+ εεεdX, mettendo a sistema ledue precedenti relazioni, otteniamo

εεεdX = λdX ⇔ εεεn = λn

⋆ Cercare la direzione lungo la quale si hanno solo dilatazioni, equivale a risolve unproblema di autovalori !


Direzioni principali di εεε II

Affinche il problema di autovalori abbia una soluzione non banale, deve essereverificata la condizione:

det(εεε− λ1) = 0 (7)

con 1 la matrice identita 3× 3

Problema 7 si riscrive nella forma:

λ3 − I1λ

2 + I2λ− I3 = 0 (8)

dove:I1 = εxx + εyy + εzz

I2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

εxx1

2γxy

1

2γxy εyy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

εxx1

2γxz

1

2γxz εzz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

εyy1

2γyz

1

2γyz εzz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

I3 = det(εεε)

I1, I2, I3 sono degli scalari con una proprieta interessante: il loro valore non dipendedal sistema di riferimento

I1, I2, I3 sono degli invarianti per il tensore delle deformazioni εεε


Direzioni principali di εεε III

Il tensore delle deformazioni εεε essendo un tensore ha un significato intrinseco →rappresenta la deformazione in un punto → quantita indipendente dal sistema diriferimento

La rappresentazione matriciale o ingegneristica [εεε] di εεε dipende dal sistema diriferimento

Dato che gli invarianti I1, I2 e I3 sono calcolati in funzione della rappresentazionematriciale [εεε] di εεε, si potrebbe concludere che anche essi dipendono dal sistema diriferimento → ERRATO !!

I1, I2, I3 sono scalari il cui valore non dipende dal sistema di riferimento→ invarianti

Esercizio. Partendo dalla condizione 7, ricavare la forma degli invarianti.


Direzioni principali di εεε I

Essendo εεε simmetrico, equazione 7 ammette tre radici reali, λ1, λ2, λ3,

λ1, λ2, λ3 sono gli autovalori di εεε e prendono il nome di dilatazioni principali

I corrispondenti autovettori, n1, n2, n3, prendono il nome di direzioni principali

Le dilatazioni principali rappresentano gli allungamenti massimi

Esercizio. Si consideri un corpo piano di forma rettangolare e lati b e h nonche un campo di spostamentidel tipo u = 2b + 0.1bX , 2hT . Per il problema indicato si disegni la configurazione indeformata e laconfigurazione deformata del corpo, si calcoli il gradiente degli spostamenti H, il tensore delladeformazione εεε nonche i relativi autovalori ed autovettori.

Esercizio. Ripetere l’esercizio di sopra per un campo di spostamenti del tipo: u = 2b + 0.1bY , 2hT .


Stato piano di deformazione I

Stato piano di deformazione: caratterizzato da avere tutte le componenti su unafaccia uguale a zero. Quindi, fissato j ,

εij = 0 for all i = 1, 2, 3

Esempio

εεε =

εxx εxy 0εxy εyy 00 0 0

Esempio: struttura infinitamente lunga, dotata di un piano di simmetria, caricata inmodo simmetrico rispetto al piano di simmetria geometrica


Corpo deformabile: forze I

Tipologie di forze

Forze distribuite superficiali t [ F L−2 ] Forze distribuite volumetriche b [ F L−3 ]

Ω

t

dV

bdV

⋆ Non sono possibili forze concentrate[in corrispondenza di una forza concentrata avrei uno spostamento infinito →fisicamente non accettabile]

⋆ Non sono ammesse coppie (!)

Esercizio. Confronta e discuti le differenze tra le tipologie di forze per il caso di corpo rigido e peril caso di corpo deformabile


Corpo deformabile: statica I

Assiomi di equilibrio: statica Risultante delle forze agenti su ogni parte P del corpo Ω uguale a zero Momento risultante delle forze agenti su ogni parte P del corpo Ω uguale a zero

R(P) =

∫

P

bdV +

∫

∂P

tdA = 0 ∀P ⊆ Ω

M(P) =

∫

P

x× bdV +

∫

∂P

x× tdA = 0 ∀P ⊆ Ω

Ω

tP

⋆ Equilibrio alla traslazione + equilibrio alla rotazione⋆ Forze contribuiscono all’equilibrio rotazionale⋆ Da definire le interazioni tra P e Ω \ P ⇒ azioni interne


Corpo deformabile: forze interne I

Forze interne: azioni che parti diverse del corpo si scambiano

Dividiamo idealmente il corpo Ω in due parti, Ω1 e Ω2, attraverso una superficie Σ

Ω

t

t

Ω

t

t

Dato che Ω1 ⊂ P e Ω2 ⊂ P , allora Ω1 e Ω2 devono soddisfare le equazioni diequilibrio alla traslazione


Corpo deformabile: forze interne I

Ipotesi: azioni che due parti di corpo si scambiano attraverso una genericasuperficie possono essere al piu forze superficiali [FL−2], funzioni del punto e dellanormale uscente dal corpo

Indichiamo con tn le azioni che il corpo Ω2 induce sul corpo Ω1

Indichiamo con t−n le azioni che il corpo Ω1 induce sul corpo Ω2

Ω

Ω1

2

P

P

n

t(n)

t(−n)

−n


Forze interne/vettore tensione I

Ricordando che Ω1 e Ω2 sono in equilibrio, e ponendo:

∂Ω1 = ∂P1 ∪ Σ ∂Ω2 = ∂P2 ∪ Σ

posso scrivere:

R(Ω1) =

∫

Ω1

bdV +

∫

∂P1

tdA+

∫

Σ

tndA = 0

R(Ω2) =

∫

Ω2

bdV +

∫

∂P2

tdA+

∫

Σ

t−ndA = 0

Sommiamo le due equazioni di equilibrio:∫

Ω1∪Ω2

bdV +

∫

∂P1∪∂P2

tdA+

∫

Σ

[tn + t−n] dA = 0 (9)

Notando che:Ω1 ∪ Ω2 = Ω ∂P1 ∪ ∂P2 = ∂Ω

e ricordando che l’intero corpo Ω e in equilibrio, l’equazione 9 diventa:∫

Σ

[tn + t−n] dA = 0


Forze interne/vettore tensione I

Attesa l’arbitrarieta della superficie Σ, l’argomento dell’integrale deve essere nullo

Vale quindi il principio di azione e reazione, ovvero:

tn = −t−n (10)

Il vettore tn prende il nome di vettore delle tensioni e dipende dal punto P e da unvettore n

Il vettore tn rappresenta la forza per unita di superficie trasmessa tra due parti dicorpo nel punto P attraverso una superficie ideale passante per P e di normale n

Esercizio. Si dimostri nel dettaglio Equazione 10, partendo dalle condizioni di equilibrio delle parti Ω1 eΩ2 (R(Ω1) = 0 , R(Ω2) = 0).


Teorema del tetraedro I

Vogliamo studiare la legge di variazione di tn con n

Prendiamo in esame un tetraedro retto T interno al corpo ed un sistema diriferimento con origine nel vertice dell’angolo retto

Indichiamo con ε1, ε2, ε3 le lunghezze dei lati del tetraedro, con ai le aree di normale−ei , con v il volume. Risulta:

ai =1

2Eijkεjεk = (n · ei ) an

v =1

6ε1ε2ε3

con Eijk il simbolo alternatore

Ω

t

t

P


Teorema del tetraedro I

Consideriamo l’equilibrio del tetraedro:

∫

v

bdv +3∑

i=1

∫

ai

t−ei da +

∫

an

tnda = 0

Indichiamo con < · > il valor medio della funzione ed applicando il teorema sul valormedio:

v < b > +

3∑

i=1

ai < t−ei > +an < tn > =

v < b > +3∑

i=1

an (n · ei ) < t−ei > +an < tn > = 0

Dividiamo per an, facendo il limite per ε1, ε2, ε3 a zero:

tn =3∑

i=1

(n · ei ) tei =

[

3∑

i=1

(tei ⊗ ei )

]

n

Il vettore trazione relativo alla generica superficie di normale n efunzione dei vettori trazione relativi alle superfici di normale ei


Tensore delle tensioni I

La relazione di dipendenza di tn da n puo essere espressa come:

tn = σn (11)

dove:

σ =

[

3∑

i=1

(tei ⊗ ei )

]

Dipendenza lineare da n attraverso un tensore del 2o ordine, σ, detto tensore delletensioni o tensore di Cauchy.

Noto σ in un punto, posso calcolare il vettore tensione in ogni direzione → σ

contiene in se tutte le informazioni relative allo stato tensionale nel punto

Esercizio. Si riportino ipotesi, tesi e dimostrazione del teorema del valor medio di una funzione reale.

Esercizio. Si dimostri nel dettaglio il teorema del tetraedro


Tensore delle tensioni II

Ricordiamo come si estraggono le componenti di un tensore

Aab = Aeb · ea

Partendo dalla definizione del tensore delle tensioni possiamo dimostrare

σab = σeb · ea

⋆ Componente ab del tensore delle tensioni σ: a-esima componente del vettoretrazione agente sulla faccia di normale uscente eb

⋆ Precisa convenzione sul segno positivo delle tensioni: componente positiva se direttasecondo gli assi sulla faccia di normale uscente positiva


Tensore delle tensioni III

Three-dimensional vision

x

y

z

σyy

x

y

z

τ xy

x

y

z

τ zy

Two-dimensional vision


Tensore delle tensioni IV

Dato un vettore trazione tn posso sempre decomporlo come segue: componente normale alla faccia, ovvero in direzione n, definita come

σn = (tn · n) n

componente tangenziale, ovvero giacente sulla faccia

τ = tn − σn


Tensore delle tensioni V

Notazione compatta:

σ =

[

3∑

i=1

(tei ⊗ ei )

]

Notazione indiciale:

σ = σij ei ⊗ ej con σij = ei · tej

Notazione ingegneristica:

[σ] =

σxx τxy τxz

τyx σyy τyz

τzx τzy σzz

=[

te1∣

∣ te2∣

∣ te3]


Equilibrio in forma puntuale I

Vogliamo scrivere equilibrio in forma differenziale

Scriviamo equazione di equilibrio alla traslazione in forma integrale

R(P) =

∫

P

bdV +

∫

∂P

tdA = 0 ∀P ⊆ Ω

Scriviamo equazione di equilibrio alla traslazione in forma integrale utilizzandorisultato del teorema del tetraedro

R(P) =

∫

P

bdV +

∫

∂P

σndA = 0 ∀P ⊆ Ω

Riscriviamo il tutto in notazione indiciale

Ri (P) =

∫

P

bidV +

∫

∂P

σijnjdA = 0 ∀P ⊆ Ω

Utilizziamo il teorema della divergenza trasformando l’integrale di superficie in unintegrale di volume

∫

∂P

σijnjdA =

∫

P

σij,jdV


Equilibrio in forma puntuale II

L’equazione di equilibrio diventa

Ri(P) =

∫

P

(bi + σij,j) dV = 0 ∀P ⊆ Ω

Sfruttando l’arbitrarieta nella scelta di P otteniamo l’equazione puntale e non piuintegrale

σij,j + bi = 0 ∀P ∈ Ω


Equilibrio in forma puntuale III

Possibile derivare la forma differenziale dell’equilibrio alla traslazione anche in modopiu “diretto”

Consideriamo un caso piano

Consideriamo l’equilibrio alla traslazione in direzione X

[

σxx +∂σxx

∂xdx

]

Ax − σxxAx +

[

τxy +∂τxy

∂ydy

]

Ay − τxxAy + bxV = 0

indicando con Ax e Ay le aree di normale x e y rispettivamente e con V il volumedell’elemento da equilibrare


Equilibrio in forma puntuale IV

Semplificando otteniamo

∂σxx

∂xdxAx +

∂τxy

∂ydyAy + bxV =

∂σxx

∂xdxdy +

∂τxy

∂ydydx + bxdxdy = 0

Dividendo tutti i membri per dxdy otteniamo

∂σxx

∂x+

∂τxy

∂y+ bx = 0


Equilibrio in forma puntuale V

Possibile derivare la forma differenziale dell’equilibrio alla rotazione anche in modopiu “diretto”

Consideriamo un caso piano

Consideriamo l’equilibrio alla rotazione intorno al punto A

−

[

∂σxx

∂xdxAx

]

dy

2+

[

∂σyy

∂ydyAy

]

dx

2+

−

[(

τxy +∂τxy

∂ydy

)

Ay

]

dy +

[(

τyx +∂τyx

∂xdx

)

Ax

]

dx − [bxV ]dy

2+ [byV ]

dx

2= 0


Equilibrio in forma puntuale VI

Eliminando gli infinitesi di ordine superiore otteniamo

− [τxyAy ] dy + [τyxAx ] dx = −τxydxdy + τyxdydx = 0

Dividendo l’ultima equazione per dxdy otteniamo:

−τxy + τyx = 0

ovvero una prima componente per la simmetria del tensore delle tensioni


Corpo deformabile: equilibrio I

Equazioni indefinite di equilibrio

Notazione compatta Equazioni di campo

div σ + b = 0 in Ω

σ = σT in Ω

Condizioni al contorno

σn = t su ∂Ωf ⊆ ∂Ω

Notazione ingegneristica

∂σxx

∂x+

∂τxy

∂y+

∂τxz

∂z+ bx = 0

∂τxy

∂x+

∂σyy

∂y+

∂τyz

∂z+ by = 0

∂τxz

∂x+

∂τyz

∂y+

∂σzz

∂z+ bz = 0

in Ω


Tensore delle tensioni: direzioni principali I

Dato lo stato tensionale in un punto del corpo (i.e., σ(P)), ci poniamo il problemadi determinare se esistono piani (individuati da una direzione uscente) sul quale sonopresenti solo tensioni normali, dirette quindi nella direzione della normale uscente

tn = αn

Ricordando che in generale vale la relazione tn = σn, mettendo a sistema le dueprecedenti relazioni, otteniamo

σn = αn

⋆ Cercare la direzione lungo la quale si hanno solo tensioni normali, equivale a risolveun problema di autovalori !


Tensore delle tensioni: direzioni principali II

⋆ Le direzioni principali di tensione (ovvero le direzioni lungo la quale si hanno solotensioni normali) coincidono anche con le direzioni di sforzo “massimo” e “minimo”

Immaginiamo di indicare in ogni punto le (tre) direzioni principali. Il loro inviluppodefinisce (tre) famiglie di curve mutuamente ortogonali (linee ipostatiche). Percostruzione sulle giaciture normali alle ipostatiche c’e solo tensione normale. Inoltrelungo le ipostatiche vi sono tensioni massime e minime.

Strutture con nervature disposte secondo le ipostatiche, e quindi rinforzate secondole direzioni in cui gli sforzi sono piu gravose, si trovano in natura e nelle opere dialcuni architetti.


Stato piano di stress I

Stato piano di stress: caratterizzato da avere tutte le componenti su una facciauguale a zero. Quindi, fissato j ,

σij = 0 for all i = 1, 2, 3

Esempio

σ =

σxx τxy 0τxy σyy 00 0 0

Esempio: struttura sottile caricata solo nel piano

Esercizio. Calcolare direzioni e tensioni principali per i seguenti tre stati di stress

σ =

10 0 00 0 00 0 0

, σ =

0 5 05 0 00 0 0

, σ =

10 0 00 10 00 0 0

Dopo averle calcolate, disegnare le azioni principali.


Corpo deformabile: dinamica/inerzia I

Caso dinamico (a 6= 0) → resistenza del corpo a cambiare configurazione

Definizione di massa/inerzia

⋆ densita di massa ρ (funzione del punto)⋆ massa del corpo Ω o di una parte del corpo P ∈ Ω:

m = m(Ω) =

∫

ΩρdA m(P) =

∫

P

ρdA

Ω

P

n

Misura della quantita di materiale in Ω o in P ⊆ Ω


Corpo deformabile: equilibrio dinamico I

Assiomi di equilibrio: dinamica

Equazioni di Newton [assiomi di equilibrio]

Risultante delle forze agenti su una parte P dell’intero corpo uguale alla variazione diquantita di moto della parte P

Momento risultante delle forze agenti su una parte P dell’intero corpo uguale allavariazione del momento di quantita di moto della parte P

R(P) =dQ(P)

dt

M(P) =dK0(P)

dt

dove:

R(P) =

∫

P

bdV +

∫

∂P

tdA

M(P) =

∫

P

x× bdV +

∫

∂P

x× tdA

Q(P) =

∫

P

ρdu

dtdV

K(P) =

∫

P

x× ρdu

dtdV


Corpo deformabile: dinamica I

Si dimostra:

dQ

dt=

d

dt

[∫

Ω

ρdu

dtdV

]

=

∫

Ω

ρd2u

dt2dV

dK0

dt=

d

dt

[∫

Ω

x× ρdu

dtdV

]

=

∫

Ω

x× ρd2u

dt2dV

(12)

dato che x e ρ sono funzioni solo del punto e non del tempo

Esercizio. Verificare analogie e differenze con il caso del punto materiale

Esercizio. Verificare analogie e differenze con il caso del corpo rigido

Esercizio. Dimostrare relazione 12.


an introduction to the mechanics of deformable … & simulazione di dispositivi biomedici corso...

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