universiti putra malaysia satu kaedah …kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat ilahi kerana...
Post on 04-May-2021
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA
SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH
SITI HASANA BINTI SAPAR
FSAS 2001 51
brought to you by COREView metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
provided by Universiti Putra Malaysia Institutional Repository
SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH
SIT I HASANA BINTI SAPAR
MASTER SAINS UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA
2001
SATU KAEDAH PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH
Oleh
SITI HASANA BINTI SAPAR
Tesis Yang Dikemukakan Sebagai Memenubi Keperluan Untuk Ijazab Master Sains di Fakulti Sains Dan Pengajian Alam Sekitar
Universiti Putra Malaysia
Februari 2001
Salam kasih dan sayang
SaparDimen AishahKassan
Ajwad Abu Hassan Nurul Atikah
Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains.
SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH
Oleh
SITI HASANA BINTI SAP AR
Februari 2001
Pengerusi : Profesor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan
Fakulti Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar
menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan 1 suatu
polinomial dalam X berpekalikan unsur dalam Z. Hasil tam bah eksponen
2m/(x) yang disekutukan dengan 1 ditakrifkan sebagai S(/; q) = Ie q yang
dinilaikan bagi semua nilai x di dalam set reja lengkap modulo q.
Peranan anggaran S(/; q) adalah penting dalam beberapa bidang kajian teori
nombor analisis. Ianya dapat membantu menghasilkan keputusan-keputusan
yang lebih jitu dalam masalah-masalah yang berkaitan. Seperti yang telah
ditunjukkan oleh beberapa penyelidik terdahulu, antaranya Loxton dan Smith,
nilai S( I; q) adalah bersandar kepada penganggaran bilangan unsur IVI yang
terdapat dalam set
III
v = tKmod q I [K == QmodqJ
dengan f menandakan polinomial-polinomial terbitan separa f terhadap -K
Kajian yang dijalankan merupakan lanjutan daripada kajian pengkaji-pengkaji
dahulu. Penyelidikan ini menumpukan kepada masalah penentuan mencari
pensifar dalam kes-kes berlakunya pertindihan di bucu dan sisi-sisi
gambarajah penunjuk bagi polinomial berdarjah dua dan tiga, seterusnya
mencari penganggaran hasil tambah eksponen bagi polinomial-polinomial
tersebut. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan menggunakan kaedah p-
adic dan Teknik Polihedron Newton yang disekutukan dengan polinomiaI-
polinomial terbabit.
IV
Abstract of thesis presented to the Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science
A METHOD FOR AN ESTIMATION OF EX�ONENTIAL SUM IN TWO VARIABLES
By
SITI HASANA BINTI SAPAR
February 2001
Chairman: Professor Dr. Kamel Arimn Bin Mohd Atan
Faculty : Faculty of Science and Environmental Studies
Let X = (x) , x2 , ••• , xn ) be a vector in a space Zn with Z ring of integer and let q a positive integer and f a polynomial in X with coefficients in Z. The
2mj(x) exponential sum associated to f is defined as S(f;q) = Ie q , where the sum is taken over a complete set of residues modulo q.
Estimation of S(f;q) is important in several areas of Analytic Number Theory .
It could help to yield a more accurate result in related problems. As shown by
several previous researchers , among them Loxton and Smith, they show that the
value of S(f;q) depends on the estimation of the number lVi, the number of
elements contained in the set
v = {X modq I Lx == Qmodq}
with f K
as the partial derivative of f with respect to X = (x) , x2 , ••• , xn ) .
v
Our research is a continuation of research done before. This research concentrates
on the problem of determining the common zeroes in cases where overlapping
occurs at vertices and line segments of indicator diagrams associated for second
and third degree polynomials. Subsequently estimations for of an exponential sum
for these polynomials are arrived at. The approach is done by using p-adic
method and the Newton Polyhedron Techniques which are associated with these
polynomials.
vi
PENGHARGAAN
Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Mengasihani.
Kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat Ilahi kerana dengan limpah
kumianya dapat saya menyiapkan tesis ini.
Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi lawatankuasa
Penyeliaan iaitu Professor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan diatas segala
kesabaran, sokongan, bantuan, dorongan dan bimbingan beliau dapat saya
menyiapkan tesis ini.
Ribuan terima kasih juga diucapkan kepada Dr. Hj . Ismail bin Abdullah dan
Dr. Mohd Rushdan bin Md. Said kerana bantuan dan tunjukajar yang telah
mereka berikan disepanjang saya menyelesaikan tesis ini.
Akhir sekali saya mgm merakamkan penghargaan buat ahli keluarga
terutamanya Ibu, Abah, suami dan anak kerana tidak jemu memberi
dorongan dan semangat sehinggalah penulisan ini selesai.
VII
Saya mengesahkan bahawa lawatankuasa Pemeriksa bagi Siti Hasana bt. Sapar telah mengadakan pemeriksaan akhir pada 20hb. Februari, 2001 untuk menilai tesis Master Sains beliau yang bertajuk "Satu Kaedah Penganggaran Hasil Tambah Eksponen Dua Pembolehubah" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah Lanjutan) 1 980 dan Peraturan-peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 198 1 . lawatankuasa pemeriksa memperakukan bahawa cal on ini layak dianugerahkan ijazah tersebut. Anggota lawatankuasa Pemeriksa adalah seperti berikut:
Haj i Harun Budin, Ph.D. Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)
Kamel Ariffin Mohd Atan, Ph.D. Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Ahli)
Haji Ismail Abdullah, Ph.D. Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Ahli)
Mohd Rushdan Md. Said, Ph.D. Fakulti Sains -dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Ahli)
Profes Timbalan Dekan Pengaj ian Siswazah Universiti Putra Malaysia
Tarikh : 2 0 MAR 2001
Vlll
resis ini telah diserahkan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi keperluan untuk Ijazah Master Sains.
IX
KAMIS A WANG, Ph.D. Profesor Madya Dekan Pusat Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia
Tarikh :
Saya mengaku bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang telah diberikan penghargaan di dalam tesis. Saya juga mengaku bahawa tesis ini tidak dimajukan untuk ijazah-ijazah lain di Universiti Putra Malaysia atau institusi-institusi lain.
Siti Hasana bt. Sapar
Tarikh: ;)0 - � - ;loo I
x
KANDUNGAN
DEDIKASI ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN LEMBARAN PENGESAHAN PENYAT AAN KEASLIAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
BAB
I
II
III
IV
V
PENGENALAN Latar Belakang Permasalahan
POLIHEDRON NEWTON DAN GAMBARAJAH PENUNJUK Polihedron Newton Normal ke Polihedron Newton Gambarajah Penunjuk
PENSIFAR DAN PERSILANGAN G�BARAJAH PENUNJUK Pensifar Persilangan Gambarajah Penunjuk
PENGANGGARAN KEKARDINALAN SET PENYELESAIAN PERSAMAAN KONGRUEN
Penganggaran Kekardinalan Set V (IT' iy ; P a )
PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA DAL� DUA PEMBOLEHUBAH Hasil Tambah Eksponen
xi
Muka surat
11 111 v
V11 Vlll
x Xlll XIV
XV11
1 1 7
12 12 20 21
28 28 28
84 84
92 92
VI KESIMPULAN DAN CADANGAN Hasil Kajian Kesimpulan Cadangan
BIBLIOGRAFI VITA
XII
1 04 1 04 109 1 1 2
1 1 3 1 1 6
Jadual
SENARAI JADUAL
Permukaan maksimum yang terbentuk oleh
polinomial
xiii
Muka Surat
1 7
SENARAI RAJAH
Rajah Muka sura1
1 Gambarajah Newton bagi f(x,y) = 3x2 + 2xy - y2 + 27 dengan p = 3 13
2 Gambarajah Newton bagi f(x,y) = 9x2 + x2y2 + 3xy + x + 1 8 dengan p =3 13
3 Gambarajah Newton bagi f(x, y) = 2X2 + 6y2 + 3xy + x + 9 dengan p =3 14
4 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 9 + 3x + xy dengan p = 3 1 5
5 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 3x2 + 2xy - / + 27 dengan p = 3 1 5
6 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x, y) = 9x4 + 3x3y + xy2 + 9xy + 3y2 + 27 dengan p =3 16
7 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 3x2 y + xy + 3xy2 + 9 dengan p = 3 1 6
8 Gambarajah penunjuk yang dikaitkan dengan N f yang berasal dari polinomial f(x,y) = 9 + 3x + xy dengan p = 3 24
9 f(x,y) = 3x2 + 2xy - y2 + 27 dengan p=3 denganNf dipaparkan dalam Rajah 7 25
1 0 f(x,y) = 9x4 + 3x3 Y + xy2 + 9xy + 3y2 + 27 dengan p=3 dan N f dipaparkan dalam Rajah 6 25
1 1 Gambarajah penunjuk bagi f(x, y) = 8x + 5 y - 1 5 dan g(x,y) = l Ox + 12y + 30 dengan titik persilangan ( 1 , 1 ) 30
12 Rajah 12(a) hingga 12(t) gabungan gambarajah penunjuk f(x, y) = ax + by + c dan g(x, y) = rx + sy + ( 35 - 37
XIV
1 2
1 3
14
1 5
16
17
1 8
19
20
2 1
Rajah 1 2(g) gabungan gambarajah penunjuk f(x, y) = ax + by + e dan g(x, y) = rx + sy + t
Rajah 1 3(a) hingga 1 3(1) gabungan gambarajah penunjuk bagi f(x, y) = ax2 + by2 + m dan g(x, y) = dx2 + e/ + e
Rajah 14(a) hingga 14(c) adalah gabungan gambarajah penunjuk bagi fx(x,y) = 3ax2 + by2 + e dan fy (x,y) = 2bxy + d
Rajah 1 5( a) hingga Rajah 1 5( c), gabungan gambarajah penunjuk bagi h(x,y) = 3ax2 + by + d dan g(x,y) = bx + e
Gabungan gambarajah penunjuk bagi fx (x, y) = 3ax2 + c (garis lurus) dan fy (x,y) = 3by2 + d
Gabungan gambarajah penunjuk fAx,y) = 3ax2 + 2bxy + ey2 + e
(garislurus) dan fy (x,y) = bx2 + 2exy + 3dy2 + m (garis putus-putus)
Gabungan gambarajah penunjuk fAx,y) = 3ax2 + 2bxy + ey2 + e (garislurus) dan f/x,y) = bx2 + 2exy + 3dy2 + m (garis putus-putus)
Gabungan gambarajah penunjuk bagi G(X,y) = aX2 + by2 + 2axoX + 2byoY + fo (xo , yo ) (garis lurus) dan H(X, y) = dJ(2 + ey2 + 2dxoX + 2eyoY + go (xo ,Yo ) (garis pututs-putus)
Gabungan gambarajah penunjuk bagi G(X,Y) = 2aX + bY + fx (xo , yo ) (garis lurus) dan H(X,y) = bX + 2eY + f/xo ,yo ) (garis putus-putus)
Gabungan gambarajah penunjuk G(X,Y) = 3aX2 + by2 + 6axoX + 2byoY + fAxo Yo ) (garis lurus)
H(X,Y) = 2bXY + 2bxoY + 2byoX + fy (xo ,yo )
xv
40
46 - 49
55 -56
60 - 6 1
64
66
71
75
78
80
22 Gabungan gambarajah penunjuk bagi G(X,Y) =: 3aX2 + 6axoX + fx(xo ,Yo ) dan
H(X, Y) = 3by2 + 6byoY + f/xo ,Yo )
xvi
82
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
p
a.
z
Q
[a.] x
I
darjhl
Qp S(/; q)
VI
D(/)
E
L
Nombor perdana
Eksponen nombor perdana
Gelanggang Integer
Medan Nombor Nisbah
Gelanggang Integer p-adic
Medan Nombor Nisbah p-adic
Perluasan medan tutupan aljabar
Integer terbesar yang kecil atau sarna dengan a. n-rangkap pembolehubah (XPX2, . .. , XJ, n � 1
m-rangkap polinomial (j;, 12 , ... , IJ, m � 1
DaIjah polinomial I
Matriks Jacobian bagi I ,
Kuasa tertinggi p yang membahagi a.
Tutupan Aljabar Qp Hasil tambah eksponen
Kecerunan I
Pembeza layan I
Polihedron Newton
Bucu pada Nf Sisi pada Nt Unjuran sisi pada N f Pembezalayan
Set L!modpa :/=Omodpa}
XVll
N(/;pa) Gf(u)
maks
mm
mod
eksp
ek (f(t» L A inf
sup
penJf
Kekardinalan bagi set V (f; p a ) HasH tambah Gaussian
Maksimum
Minimum
Modulo
Eksponen 2ml(t){
e k
Hasil tambah
Pembezalayan separa
Infimum
Supremum
Penentu Matriks Jacobian bagi f
XVlll
BAB I
PENGENALAN
Latar Belakang
1
Dalarn Teori Nombor Analisis, rarnai pengkaji telah memperihalkan peranan
penting hasil tambah eksponen di antaranya ialah Davenport( 1 959) , Igusa( 1 978)
dan Schmidt(1 982). Hasil tambah eksponen ditakritkan sebagai
S(f;q) = Leq(f(�»
dengan hasil tambah dinilaikan bagi � dalarn set lengkap reja mod q.
Hardy dan Littlewood ( 19 19), Deligne ( 1 974), Loxton dan Vaughan ( 1985) dan
rarnai lagi telah mengkaj i hasil tarnbah S(f;q) dengan f polinomial tak linear
dalarn z[x]. Hasil tambah S(f;q) dalarn kes satu pembolehubah telah dikaji oleh
Hardy dan Littlewood ( 19 19) berhubung dengan masalah Waring.
Pada tahun 1 940, Hua telah mendapati bahawa untuk sebarang & > 0 , maka
I S(f;q) I� Cpl-(Ym�&
dengan c pemalar yang bersandar kepada m dan & sahaja. Keputusan Hua telah
diperbaiki oleh ling-Run Chen (1 977) yang menunjukkan bahawa jika kandungan
bagi f -f(O) perdana relatifterhadap q, maka
IS(f;q)1 � e7(n+l)ql-(n�J
Anggaran Hua telah digunakan oleh Stechkin ( 1980) bagi menunjukkan bahawa
IS(/;q)1 � emql-Ym(e(/),q)Ym
2
untuk pemalar mutlak positif e tertentu, dengan e(f) menandakan kandungan bagi
1 - 1(0) .
Pada tahun 1 974 pula Deligne menunjukkan bahawa untuk suatu nombor perdana
p,
IS(/;p)1 � (m -IY p"h.
dengan m menyatakan jumlah darjah bagi sesuatu polinomial f, apabila bahagian
homogen bagi 1 berdarjah terbesar tak singular modulo p. Kajian Deligne ini
membuka jalan bagi mendapatkan anggaran yang lebih tepat bagi IS(/;q)1 untuk
polinomial am 1 dalam beberapa pembolehubah. Contohnya pada tahun 1985,
Loxton dan Vaughan telah mendapat anggaran yang lebih tepat bagi hasil tambah
IS(/;q)l. Walaubagaimanapun keputusan yang umum bagi polinomial untuk
beberapa pembolehubah masih lagi dalam pencarian.
Peranan Poligon Newton bagi mendapatkan sifat-sifat pensifar polinomial dalam
satu pembolehubah telah diketahui umum. Misalnya dalam membuktikan Teorem
Puiseux, iaitu dalam memperkembangkan siri kuasa bagi fungsi algebra, Poligon
Newton telah digunakan. Sathye ( 1983) juga menggunakan kembangan am
Newton Puiseux, walaupun dengan menggunakan kaedah yang berlainan. Loxton
3
dan Smith ( 1986) telah mengkaji penggunaan Poligon Newton bagi mendapatkan
keputusan yang sama dengan Sathye(1983).
Dalam kes p-adic pula, Po ligon Newton dapat menghasilkan maklumat yang
lengkap mengenai saiz dan bilangan pensifar bagi polinomial satu pembolehubah
dengan pekali dalam Op iaitu tutupan aljabar bagi medan nombor p-adic Q p •
Pada tahun 1977 pula Koblitz memperkenalkan Poligon Newton dalam kes p-adic
bagi polinomial siri kuasa dalam Op[X] dengan Op perluasan medan tutupan
aljabar bagi Qp. Beliau menunjukkan bahawa jika A kecerunan bagi suatu
tembereng pada Po ligon Newton bagi suatu polinomial f dengan beza N, antara
ordinat-ordinat-x titik hujung tembereng itu, maka terdapat N pensifar bagi f
dengan peringkat p-adic - A .
Bagi sebarang perdanap, tuliskan f = U;,f2 , ••• , fn ) untuk menandakan vektor n
polinomial dengan pekali dalam Z p set integer p-adic dan � = (XI' x2 , ••• xn ) .
Pertimbangkan
V(f;pa ) = {�modpa I f(�) E Qmodpa }
dan biarkan N (f;pa ) menandakan kekardinalan bagi V(f;pa) dengan a > 0
dan � mengambil nilai dalam set reja lengkap modulo pa .
4
Loxton dan Smith ( 1982) mengkaji penggunaan Poligon Newton dan
memperolehi keputusan yang berikut :
Katakan K medan nombor aljabar yang dijanakan oleh �, pensifar kepada f{x)
dalarn Z[x] dengan 1 < i ::s; m , maka
jika a > 8" Di sini m adalah bilangan punca yang berlainan j{x) dan
8 = ord p D(/) dengan D(/) merupakan persilangan unggulan pecahan K yang
dijana oleh
e,l , i > 1
dengan e, gandaan pensifar �,"
Dengan menggunakan Lema Hensel, Chalk dan Smith ( 1982) memperolehi hasil
yang berbentuk sarna dengan 8 = maks ord pI, dengan f, pekali Taylor
e,l
pada pensifar-pensifar yang berlainan �, "
Loxton dan Smith ( 1 982) pula menunjukkan bahawa bagi I = (1; ,/2 '"""' In)
jika a ::S; 28
jika a > 28
dengan 8 = ord pl1([ ) dengan 11([) menandakan pembezalayan [ "
Mohd Atan dan Loxton ( 1986) memperkembangkan idea poligon Newton dalam
kes p-adic dalam dua pembolehubah dan dikenali sebagai Kaedah Polihedron
Newton. Kaedah ini telah digunakan oleh para pengkaji diantaranya Mohd Atan
( 1986) , Abdullah ( 1992) , Chan ( 1997) dan Heng ( 1999). Berikut adalah diantara
keputusan yang telah diperolehi untuk mendapatkan penganggaran hasil tam bah
dengan menggunakan kaedah polihedron Newton.
Katakan A perwakilan matriks bagi polinomial linear I dengan pekali dalam
gelanggang p-adic Zp dan a > 0 , Mohd Atan ( 1988) menunjukkan bahawa
jika a 5, 0
jika a > 0
dengan 0 minimum peringkat p-adic bagi r x r submatrik tak singular bagi A.
Beliau juga menunjukkan kes khusus iaitu apabila n = 2 maka
dengan f dan g polinomial linear dalam Zp[XJI] dengan a > 0 dan 0 = ord pJ fg'
iaitu peringkat p-adic bagi Jacobianl dan g .
Seterusnya Mohd Atan ( 1988) mengkaji polinomial [ = (Ix ' Iy ) dengan lx , Iy
pembezaan separa terhadap x dan y bagi polinomial
top related