transséries et analyse complexe e ective

Transséries et Analyse Complexe E�ective

Soutenance d'habilitation de Joris van der Hoeven

Orsay, 29 avril 2008

http://www.TEXmacs.org

Partie I : Transséries

[LN] JvdH. Transseries and real di�erential algebra, volume 1888 of Lecture Notes in Mathematics .Springer-Verlag, 2006.

[CT] M.C. Schmeling. Corps de transséries . PhD thesis, Université Paris-VII, 2001.

[1] JvdH. Operators on generalized power series. Journal of the Univ. of Illinois , 45(4):1161�1190, 2001.

[2] JvdH. A differential intermediate value theorem. In B. L. J. Braaksma, G. K. Immink,M. van der Put, and J. Top, editors, Di�erential equations and the Stokes phenomenon,pages 147�170. World Scienti�c, 2002.

[3] Matthias Aschenbrenner, Lou van den Dries, and JvdH. Di�erentially algebraic gaps. SelectaMathematica, 11(2):247�280, 2005.

[4] JvdH. Transserial Hardy �elds. Prépublication 2006-37, Univ. Paris-Sud, 2006. Accepted forpublication.

[5] JvdH. Complex transseries solutions to algebraic di�erential equations. Prépublication 2001-34, Orsay, 2001.

Partie II : Analyse Complexe E�ective

[1] JvdH. E�ective complex analysis. JSC , 39:433�449, 2005.

[2] JvdH. On e�ective analytic continuation. MCS , 1(1):111�175, 2007.

[3] JvdH and J.R. Shackell. Complexity bounds for zero-test algorithms. JSC , 41:1004�1020,2006.

[4] JvdH. A new zero-test for formal power series. In Teo Mora, editor, Proc. ISSAC '02 , pages117�122, Lille, France, July 2002.

[5] JvdH. Counterexamples to witness conjectures. JSC , 41:959�963, 2006.

[6] JvdH. Computations with e�ective real numbers. TCS , 351:52�60, 2006.

[7] JvdH. E�ective real numbers in Mmxlib. In D. Saunders, editor, Proc. ISSAC '06 , Genova,Italy, July 2006.

[8] JvdH. Zero-testing, witness conjectures and di�erential diophantine approximation. Prépu-blication 2001-62, Orsay, 2001.

[9] JvdH. Majorants for formal power series. Prépublication 2003-15, Orsay, 2003.

[10] JvdH. D-algebraic power series. Prépublication 2001-61, Orsay, 2001.

Partie II : Analyse Complexe E�ective

[11] JvdH. Fast evaluation of holonomic functions. TCS , 210:199�215, 1999.

[12] JvdH. Fast evaluation of holonomic functions near and in singularities. JSC , 31:717�743,2001.

[13] Joris van der Hoeven. E�cient accelero-summation of holonomic functions. JSC , 42(4):389�428, 2007.

[14] JvdH. Around the numeric-symbolic computation of di�erential Galois groups. JSC , 42:236�264, 2007.

[15] JvdH. Lazy multiplication of formal power series. In W. W. Küchlin, editor, Proc. ISSAC '97 ,pages 17�20, Maui, Hawaii, July 1997.

[16] JvdH. Relax, but don't be too lazy. JSC , 34:479�542, 2002.

[17] JvdH. Relaxed multiplication using the middle product. In Manuel Bronstein, editor, Proc.ISSAC '03 , pages 143�147, Philadelphia, USA, August 2003.

[18] Joris van der Hoeven. New algorithms for relaxed multiplication. JSC , 42(8):792�802, 2007.

[19] JvdH. Newton's method and FFT trading. Prépublication 2006-17, Orsay, 2006.

Perspectives

� Transséries

� Théorème de valeurs intermédiaires pour les fonctionnelles

� Correspondance avec les nombres surréels

� Lien avec la désingularisation des champs de vecteurs

� Accéléro-sommation de transséries

� Théorie des modèles pour les H-corps et les corps asymptotiques

� Analyse complexe e�ective

� Implantations dans Mathemagix

� Algorithmique e�cace aux di�érents niveaux de la hiérarchie numérique

� Columbus : outil d'exploration graphique de fonctions analytiques

� Fonctions analytiques calculables en plusieurs variables

� Etc.

Transséries

� Exemples

f1 =1x+

+ ��

f2 = x+ log x+ log log x+ ��

f3 = ex+

log x+

log2 x+��

log x+

log2 x+��

log x+

log2 x+��

x2+ ��

� Motivations et histoire

� Calcul asymptotique universel pour des fonctions réelles

� L-fonctions de Hardy et corps de Hardy

� Non-oscillation ¡! ordres de croissance

� Dé�nition

(Dahn-Göring, Écalle, vdH)

Soit x� 1 une variable � in�niment grande �

Une transsérie f 2T est une série formelle généralisée

avec fm2R et où les transmonômes m2T sont de la forme

m = loglx= log ��l�log x ou

m = exp g; g 2T�

avec T�= ff 2T: supp f � 1g

� Opérations

(Écalle, vdH, van den Dries/Macintyre/Marker)

¡ T est un corps

¡ T est totalement ordonné par 6

¡ T est un corps asymptotique (valué) pour 4

¡ T est stable pour @ etR, qui sont compatibles avec 6 et 4

¡ T est stable par � et �¡1, qui sont compatibles avec 6, 4 et @

¡ T est réel clos

¡ T est di�érentiellement réel clos

Exemples

� Transséries réticulées

Mmx � #use"numerix";#use"algebramix";#use"symbolix";#use"analyziz";#use"multimix";

Mmx � x := in�nity(0x);

Mmx � 1

1¡ x¡1¡ exp(¡x)

Mmx � integrate(exp(¡x2); x)

Mmx � lengthen (product(x; x); 2)

Mmx � integrate(xx; x)

Mmx � product(logx; x)

Mmx �

� Transséries à échelle �nie

Mmx � �(x)

Mmx � ��x2+

��(x)

Mmx � �xed_point(f 7! x+ f � xp

Mmx �

� Transséries bien fondées

Mmx � �xed_point�f 7! 1

x+ f �x2+ f � exp(log(x)2)

Mmx � �xed_point(f 7! x+ f � log(x))

x+ f � exp(x)

x+ f � (exp(x)+x)

Mmx �

� Transséries imbriquées

f =e xp

+f(log x)=e xp

+e log xp

+e log log xp

+elog log log x

��

� Transséries de forces supérieures

exp!(x+1) = eexp!(x)

exp!2(x+1) = exp!(exp!2(x))��

Équations algébriques asymptotiques

Algèbre Algèbre asymptotique

P (f)= 0

P (f)= 0 P (f)= 0; (f � v)

degP deg�vP

P (f)= 0 P (f)= 0; (f � v)

degP deg�vP

�P(f)= valP+f

P (f)= 0 P (f)= 0; (f � v)

degP deg�vP

�P(f)= valP+f �P ;�v(f)= val�vP+f

P (f)= 0 P (f)= 0; (f � v)

degP deg�vP

�P(f)= valP+f �P ;�v(f)=deg�vP+f

P (f)= 0 P (f)= 0; (f � v)

degP deg�vP

�P(f)= valP+f �P ;�v(f)=deg�vP+f

F F F F

Polygones de Newton di�érentiels

P (f)= p(f ; f 0; :::; f (r))= 0; f � v

Pentes ne se lisent pas directement à partir du � polygone de Newton �

P =P0+ ��+Pd

P2=(F 0)2¡FF 00+ ��

Ascensions

P " unique polynôme di�érentiel avec

(P ")(f � ex)=P (f) � ex

Par exemple :

F 0" =F 0

F 00" =F 00¡F 0

F 000" =F 000¡ 3F 00+2F 0

��

Ascensions

(P ")(f � ex)=P (f) � ex

Par exemple :

P = (F 0)2¡FF 00

P " =(F 0)2¡FF 00+FF 0

P "" =FF 0

ex e2ex +

(F 0)2¡FF 00+FF 0

e2x e2ex

��NP = FF 0

Ascensions

(P ")(f � ex)=P (f) � ex

Par exemple :

P = (F 0)2¡FF 00

P " =(F 0)2¡FF 00+FF 0

P "" =FF 0

ex e2ex +

(F 0)2¡FF 00+FF 0

e2x e2ex

��NP = FF 0

Conséquence :

1� log `� log x =) P (`)� ` `0

Polynômes de Newton di�érentiels

Théorème. Il existe un unique NP 2RfF g, tel que

cP "l=NP

pour tout l su�samment grand, et

NP 2R[F ] (F 0)N:

Dé�nition. m� v est un monôme débuteur () NP�m2/RFN

Monômes débuteurs

Lemme. Pour i< j avec Pi=/ 0, Pj=/ 0, il existe un unique (i; j)-égalisateur e2T tel queN(Pi+Pj)�e

ne soit pas homogène.

Monômes débuteurs

Lemme. Pour i avec Pi=/ 0, on a

m est un monôme débuteur pour Pi(f)= 0

mest une solution de RPi(g)= 0 modulo

1x log x log2x ��

Résultats

Théorème. Il existe un algorithme théorique pour trouver toutes les solutions à une équationdi�érentielle asymptotique algébrique.

Théorème. Toute solution transsérielle d'une équation di�érentielle algébrique à coe�-cients réticulés est à nouveau réticulée.

Corollaire. �(x) et f(x)= 1

elog2 x

elog4 x

+ �� sont di�érentiellement transcendants surR.

Théorème. Soient P 2TfF g et f < g 2T avec P (f)P (g)< 0. Alors il existe un h2Tavec f <h< g et P (h)= 0.

Corollaire. Tout P 2TfF g de degré impair admet une racine dans T.

Corollaire. Tout L2T[@] monique se factorise en facteurs de la forme

@ ¡ a ou @2¡ (2 a+ by) @+(a2+ b2¡ a0+ a by):

Résultats

elog2 x

elog4 x

@ ¡ a ou @2¡ (2 a+ by) @+(a2+ b2¡ a0+ a by):

Résultats

elog2 x

elog4 x

@ ¡ a ou @2¡ (2 a+ by) @+(a2+ b2¡ a0+ a by):

Résultats

elog2 x

elog4 x

@ ¡ a ou @2¡ (2 a+ by) @+(a2+ b2¡ a0+ a by):

Généralisations

Construction. 9 corps Tcx de transséries complexes réticulées.

La construction fait intervenir une in�nité de choix comme

z �� 1

eiz �� 1

ezeiz �� 1

La construction en tant que � corps fort � est unique.

Construction. Tout corps de transséries admet une clôture imbriquée.

Construction. 9 des corps de transséries de forces supérieures.

Conjecture. Pour un corps de transséries su�samment grand, le théorème des valeurs inter-médiaires est vraie pour des fonctionnelles faisant intervenir la dérivation et la composition.

Conjecture. Il existe une correspondance entre la classe des nombres surréels et la classedes corps de transséries de forces ordinales.

Généralisations

Théorème. Tout équation di�érentielle asymptotique P (f) = 0; f � v sur Tcx admet aumoins deg�vP solutions dans Tcx.

Corollaire. Tout P 2TcxfF g nTcx admet une racine dans Tcx.

Corollaire. Tout L2T[@] se factorise en facteurs d'ordre 1.

Remarque. Tcx n'est pas di�érentiellement clos.

Généralisations

Transséries et théorie des modèles

Dé�nition. Corps de Hardy transsériel : corps de Hardy & souscorps de T.

Théorème. Soit T un corps de Hardy transsériel et T dalg sa clôture di�érentiellementalgébrique dans T. Alors T dalg peut être muni d'une structure de corps de Hardy transsérielétendant T.

Théorème. T : corps de Hardy transsériel. H�T : extension di�érentiellement algébriquede corps de Hardy. H Liouville clos et di�érentiellement Hensélien. Alors H se modélisecomme corps de Hardy transsériel.

Dé�nition. H-corps : corps di�érentiel avec 6 appropriée.

Dé�nition. Corps asymptotique : corps di�érentiel avec 4 appropriée.

Proposition. Si un H-corps K admet une lacune � 1

x log x+ ��, alors K admet deux

clôtures Liouvilliennes avec expR ��1.

Théorème. (ADH) 9 corps Liouville clos de transséries K, avec 2/ K, mais % � 1

x2 log2x + �� 2K. Or %� 2 0+ 2.

Analyse complexe e�ective

� Objectif

Automatiser autant de l'analyse complexe que possible

� Rôle central de l'analyse complexe

� La plupart des problèmes explicites de l'analyse et du calcul formel admettent dessolutions analytiques ou semi-analytiques.

� Abordable en temps raisonnable, car arithmétique e�cace :

séries formelles nombres �ottants en précision multiple.

� Représentable en espace raisonnable :

prolongement analytique germe en un point su�t.

� Analyse automatique des singularités :

maîtrise des singularités contrôle numérique.

� Exemple fondamental

� Entrée

f 0=�(f) : système d'équations di�érentielles algébriques sur Q[i]

f(0)= c2Q[i]n : conditions initiales non singulières dans Q[i]n

z 2Q[i] : point où f(z)2Cn converge

"2Q> : tolérance

� Sortie

f~(z)2Q[i]d avec kf~(z)¡ f(z)k<"

Bases théoriques

� Nombres calculables

x�"2Q> x~2Qjx~¡xj<"

x2Rcom

� Pièges

(Turing) Il n'existe pas d'algorithme pour tester si x2Rcom est nul.

(Grzegorczyk) Toute fonction calculable Rcom!Rcom est continue.

(Denef-Lipschitz) Pour f et z comme dans l'exemple fondamental, il n'y a pas d'algo-rithme pour tester si f (z)= f0+ f1 z+ �� converge.

� Fonctions analytiques calculables

Dé�nition 1. Germe analytique avec méthodes pour calculer

1. La série f0+ f1 z+ �� 2Ccom[[z]]com.

2. Borne �f 6 �f pour le rayon de convergence de f.

3. Borne ddf ee�>kf kr=supjzj<r jf(z)j pour tout r 2Rdig;>, r < �f.

4. Prolongement analytique f+z pour tout z 2Ccom, jz j<�f.

Dé�nition 2. Surface de Riemann Rf calculable (d'en bas) et un algorithme d'incar-nation � 2Rf

com 7!�f ;� dans chaque point.

Théorème. Pour f comme dans l'exemple fondamental, f est calculable sur sa surfacede Riemann.

� Tests de nullité

Théorème. (Denef-Lipschitz, Shackell, Péladan-Germa, vdH, ...) Soit f 2Q[i][[z]]n comme dans l'exemple fondamental. Alors pour tout P 2 Q[i][F1; :::; Fn],on peut tester si P (f1; :::; fn)= 0.

Théorème. Généralisations aux é.d.p.s. et au cas singulier.

Hiérarchie numérique

Problème d'analyse

Problème robuste

algorithme formel

Problème numérique

algorithme certi�é

algorithme numérique Solution numérique

Solution garantie

Solution analytique

algorithme algébriqueProblème arithmétique Solution exacte

Développements rapides en séries

� Multiplication de polynômes

C : anneau e�ectif

M(n): coût pour multiplier deux polynômes de degrés <n dans C[z]M(n)=O(n logn log logn) : multiplication FFT

� Multiplication de séries tronquées

Entrée : a0+ ��+ an¡1 zn¡1 et b0+ ��+ bn¡1 z

Sortie : (a b)0+ ��+(a b)n¡1 zn¡1

� Multiplication détendue

Entrée : �ux a0; a1; ::: et b0; b1; :::

Sortie : �ux (a b)0; (a b)1; :::

Contrainte : imprimer (a b)i dès que a0; :::; ai et b0; :::; bi soient connus

Z(a0 b):

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

b4 a0b4

b3 a1b3

b2 a2b2

b1 a3b1

b0 a4b0

a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 an

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

0 1 1 1

720(f 0)n

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

0 1 1 1 1 1

720(f 0)n

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

1 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

720(f 0)n

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

21 2 1 1

1 2 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

21 2 1 1 1

1 2 1 1 1 1 11

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

21 2 1 1 1

1 2 1 1 1 1 11

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

Nombres de Bell

b(z)=X

n!zn=ee

z¡1 b=ef =

Z(f 0 b)

n (b0)n bn Bn bn

6203720

5203120

52 1330

21 2 1 1 1

1 2 1 1 1 1 11

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

Multiplication détendue rapide

n (b0)n bn Bn bn

0 1 1 1

720(f 0)n

n (b0)n bn Bn bn

0 1 1 1 1 1

720(f 0)n

n (b0)n bn Bn bn

1 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

720(f 0)n

n (b0)n bn Bn bn

21 2 1 1

211 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

n (b0)n bn Bn bn

21 2 1 1

211 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

n (b0)n bn Bn bn

1625245

21 2 1 1

61 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

n (b0)n bn Bn bn

6203720

5203120

52 1330

1625245

21 2 1 1

61 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 11

720(f 0)n

b6 M(1)M(2)

M(4)b5 M(1)

b4 M(1)M(2)

b3 M(1)

b2 M(1)M(2) M(2) M(2)

b1 M(1)

b0 M(1)M(1)M(1)M(1)M(1)M(1)M(1)

a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 an

b6 M(1)M(2)

M(4)b5 M(1)

b4 M(1)M(2)

b3 M(1)

b2 M(1)M(2) M(2) M(2)

b1 M(1)

b0 M(1)M(1)M(1)M(1)M(1)M(1)M(1)

a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 an

R(n)6 2�2M

�+4M

�+ ��+nM(1)

�6 2M(n) log2n:

Nombres de Bell (suite)

� Calcul exactMmx � use"numerix";use"algebramix";use"analyziz";

Mmx � B1:Series(Rational)== exp(exp(series(0; 1))¡ 1)

Mmx � 250!B1[250]

Mmx �* Précision double

Mmx � bit_precision := 64; time_mode();

Mmx � B2:Series(Floating)== exp(exp(series(0.0; 1.0))¡ 1.0);

Mmx � B2[10000]

Mmx �* Précision sextuple

Mmx � bit_precision := 192;

Mmx � B3:Series(Floating)== exp(exp(series(0.0; 1.0))¡ 1.0);

Mmx � B3[10000]

Mmx �

Instabilité numérique & calcul multi-précision

Fonctions holonomes

� Dé�nition(s) de fonction holonome sur K=Q[i] ou K= Q̂

Lr f(r)+ ��+L0 f =0 Li2K[z]

�s fn+s+ ��+�0 fn=0 �i2K[n]

f 0=Lf Li;j 2K(z)

fn+1=� fn �i;j 2K(n)

� Exemples

Fonctions élémentaires exp, log, sin, cos

Fonctions spéciales erf, Si, Ci, Ai, polylogarithmes, hypergéométriques, etc.

60% des fonctions spéciales dans Abramowitz & Stegun

Stabilité pour +, �, �, @,R, �, �, Borel, Laplace, etc.

� Constantes holonomes sur K

c= limz!1f(z), avec �f > 1, f0; :::; fr¡12K, Lr(0)=/ 0.

� Khol : �f > 1

� Krhol : f au pire régulier singulier en z=1

� Kshol : cas général

Évaluation rapide de fonctions holonomes

� Diviser pour régner

(Brent, Chudnovsky2, Karatsuba, vdH, ...)

�7�6�5�4�3�2�1�0

� Analyse en complexité

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

1 �e

!�1 10 1

��1 10 1

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

�7�6�5�4�3�2�1�0

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

(�7�6) (�5�4) (�3�2) (�1�0)

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

�6:::7�4:::5�2:::3�0:::1

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

(�6:::7�4:::5) (�2:::3�0:::1)

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

�4:::7�0:::3

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

(�4:::7�0:::3)

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

�0:::7

�0:::3

�0:::1

�0 �1

�2:::3

�2 �3

�4:::7

�4:::5

�4 �5

�6:::7

�6 �7

M(n logn)

��

(n/2)M(2 logn)

nM(logn)

�0:::7

Séries de type Li;j ; z 2Qalg Li;j 2Qalg, z 2Ccom

Pn=01 fn

(n!)�zn O(M(n) logn) O(M(n) log2n)

Pn=01 fn z

n O(M(n) log2n) O(M(n) log2n log logn)P

n=01 fn (n!)

� zn O(M(n) log3n) O(M(n) log3n)

Factorisation dans K(z)[@]

� Théorème de densité(Schlesinger, Écalle, Ramis, Martinet, vdH)

Soit L2K(z)[@] et z0 non singulier

Soit GalL;z0�GLr(C) le groupe de Galois di�érentiel en z0

On peut calculer M�GLr(Kshol) �ni, avec GalL;z0= hMi� Lien avec la factorisation

a) Si L=K1K2, alors GalL;z0 laisse kerK2 invariant.

b) Si V �Cr est invariant pour GalL;z0, alors L=K1K2 avec V = kerK2.

� Algorithme

1) Précision de calcul p := 64

2) Calculer un espace invariant V non trivial sous l'action de Ma) Un tel V n'existe surement pas ) retourner failed

b) Espace invariant V candidat ¡! factorisation candidat L=K1K2

3) Si L=/ K1K2, faire p := 2 p et retourner à l'étape 2

4) Retourner (K1; K2)

transséries et analyse complexe e ective

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