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EMBASAMENTO TEÓRICO

Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo

Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro

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EEL401

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

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CIRCUITOS TRIFÁSICOS

1 Geração de F.E.M.s Senoidais

1.1 Monofásicas

Da física tem-se que, quando um condutor é colocado em um campo magnético, desde

que haja uma variação deste campo no condutor, será induzida no mesmo uma força

eletromotriz - f.e.m. - dada pela equação:

( tEe MÁX ⋅⋅= )ωsen (1)

ωBSEMÁX =

sendo:

B - Indução ou Densidade de fluxo

S - Área da espira

ω - freqüência angular

Esta situação fica melhor esclarecida através da figura abaixo:

Figura 1 – Geração de f.e.m. senoidal.

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No caso da figura 1 a variação do campo magnético se dá pelo fato do condutor estar

girando embora os pólos indutores (N e S) permaneçam fixos.

Mas no caso de geradores reais, pode ocorrer que o condutor esteja fixo e os pólos

serem girantes, havendo, portanto, como anteriormente, uma variação de campo

magnético sobre o condutor. A figura 2 ilustra:

a a'N S

a a' - representa ocondutor (ou espira)

Figura 2 - Esquemático de um gerador monofásico.

Em realidade no gerador monofásico real não existe um único condutor, mas uma série

deles ligados entre si, de forma que tenhamos dois terminais, o que caracteriza o sistema

monofásico.

1 Trifásicas

As f.e.m.s trifásicas são geradas da mesma forma que as monofásicas. Um sistema

trifásico nada mais é que um conjunto de três sistemas monofásicos que estão defasados

entre si de 120º elétricos (defasagem dos fasores das f.e.m.s); para tanto os condutores

(espiras) estão conectados convenientemente como mostra a figura 3 a seguir.

Pelo sentido de giro dos pólos indutores (NS) na figura 3, teremos que na espira bb’

haverá a indução de f.e.m. cujo valor máximo ocorre 120º após a ocorrência do valor

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máximo da f.e.m. da espira aa' e o valor máximo da f.e.m. da espira cc' ocorrerá 240º

após o da f.e.m. da espira aa', de forma que pode-se escrever:

Figura 3 - Esquemático de um gerador trifásico.

)34sen(

)32sen(

−⋅=

MÁXcc

MÁXbb

MÁXaa

)32sen(

−⋅=

MÁXcc

MÁXbb

MÁXaa

Nota: Atente-se ao fato de que nos geradores trifásicos reais aa', bb' e cc' são bobinas

constituídas de diversas espiras e que ocupam todo o espaço, diferentemente daquilo

mostrado no modelo da Figura 3.

A partir do conjunto de equações (2) ou (3) pode-se fazer a representação fasorial das

f.e.m.s como a seguir:

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jaa EeE =

jbbE Ee

•−=

240 120'

j jccE Ee Ee

•−= =

onde: 2MAXEE =

2 Seqüência de Fases

O conjunto de equações (2) e (3) são válidas para o indutor (pólos indutores) girando no

sentido indicado na figura 3. Entretanto o mesmo poderia girar em sentido contrário e

então

)32sen(

−⋅=

MÁXcc

MÁXbb

MÁXaa

jaa EeE =

• o120'

jbb EeE =

•120

ccE Ee•

3'2'1' ,,••••••

=== EEEEEE ccbbaa

cujos fasores seriam:

Fazendo , têm-se os seguintes diagramas fasoriais,

correspondendo a chamada seqüência de fases direta ou positiva - equações (4) - e

seqüência de fases inversa ou negativa - equações (6):

Figura 4 - Seqüência de fases.

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3 F.E.M.s de Fase e de Linha

3.1 F.E.M.s Geradas por Gerador Conectado em Y (Estrela)

Como foi dito anteriormente o sistema trifásico nada mais é que a combinação de três

sistemas monofásicos defasados entre si de 120º. A representação de tal assertiva pode

ser feita como abaixo:

Figura 5 - Três sistemas monofásicos.

Em termos práticos é interessante, todavia, que, por exemplo, ligue-se os

terminais a', b' e c' entre si resultando em:

≡ b' a' ≡ c'

fase c

fase a

fase b

neutro

Figura 6 - Gerador Trifásico em Y.

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abE•

À conexão da figura 6 dá-se o nome de conexão Estrela e representa-se por Y. Ainda

mais, o ponto de coincidência entre a', b' e c' é chamado de ponto neutro e o condutor

dali retirado é chamado de fio neutro ou simplesmente neutro. Os condutores retirados

dos terminais a, b e c, são chamados de, respectivamente, fase a, fase b e fase c.

A partir daí pode-se construir o diagrama de fasores das f.e.m.s geradas em cada bobina,

ou seja:

Figura 7 - Diagrama fasorial para as f.e.m.s de fase.

As f.e.m.s acima representadas são aquelas entre fase e neutro, ou seja são as f.e.m.s nas

próprias bobinas. Entretanto, em termos práticos é bastante comum o interesse e a

necessidade das f.e.m.s entre, por exemplo, a fase a e a fase b, daí pode-se obter:

- f.e.m. entre as fases a e b - f.e.m. entre as fases bcE•

caE•

- f.e.m. entre as fases c e a

E agora define-se:

cnbnan EeEE•••

cabcab EeEE•••

- f.e.m.s entre fase e neutro ou f.e.m.s DE FASE

- f.e.m.s entre fases ou f.e.m.s DE LINHA

OBS.: A seqüência de fases

adotada é a direta

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Por outro lado, a análise da Figura 6 mostra:

abbanbnabnan

EEEEEEEEE

•••••••••

•••

=−=+−−=−

−−=

bnanab EEE•••

Analogamente:

cnbnbc EEE•••

−= e E ancnca EE•••

cnncbnnbanna EEeEEEE••••••

−=−=−= ,

ab an nb

bc bn nc

ca cn na

• • •

então pode-se escrever:

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−•

A união do conjunto de equações (7) com a figura 7, leva-nos a:

Figura 8 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha - Conexão Y.

Se se tomar, de acordo com a figura 8, as f.e.m.s de fase como sendo:

Tem-se, por exemplo:

0º 60º

cos0º sen 0º cos60º sen 60º

1 3 3 3 3 11 0 32 2 2 2 2 2

3 cos30º sen 30º

j jab an nb

E E E E e E e E j j

E j j E j E j

• • •

= + = + = + + + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ca cn nb ab

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Desenvolvimentos análogos levariam a:

−•

Portanto:

"F.e.m.s de linha são, na conexão Y, 3 vezes maior que as de fase e estão

desfasadas das mesmas, na seqüência de fases direta, de 30º ”, ou

º303 jfL eEE +

••= (8)

onde: - f.e.m. de linha LE•

- f.e.m. de fase correspondente

3.2 F.E.M.S Geradas por Gerador Conectado em Δ (Delta ou Triângulo)

Agora, poder-se-ia tomar as três bobinas da figura 5 e ligá-las da seguinte forma:

a(≡b')

b(≡c')

c(≡a')

fase c

fase a

fase b Figura 9 – Gerador Trifásico ligado em Δ

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abE•

À conexão da figura 9 dá-se o nome de conexão Triângulo ou Delta e representa-

se por Δ. Note que as f.e.m.s de linha, neste caso, são as próprias f.e.m.s geradas

nas bobinas, logo:

"F.e.m.s de linha são, na conexão Δ, as próprias f.e.m.s de fase"

Pode-se , por exemplo, fazer a seguinte representação fasorial, tomando na

referência:

bc Figura 10 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha – Conexão Δ

4 Cargas Trifásicas

As cargas elétricas podem ser classificadas segundo diversas formas, a saber:

4.1 Tipos de Carga Quanto ao Ângulo

º0,) ==→

ϕϕjeZZa

ϕϕ sencos jZZZ +=→

Sendo ϕ = 0º, não haverá defasagem entre a tensão aplicada a esta

impedância e a corrente que por ela circula, tem-se então a chamada carga

Puramente Resistiva.

fazendo Z cosϕ = R

Z senϕ = X,

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logo jXRZ +=→

entretanto ϕ = 0º, portanto R = Z e X = 0, logo:

RZ =→

º90,) ==→

ϕϕjeZZb

Sendo ϕ = 90º a corrente na impedância estará defasada de 90º em atraso com

relação à tensão aplicada à mesma, tem-se então a chamada carga Puramente

Indutiva.

sendo Z cosϕ = R

Z senϕ = X, vem jXRZ +=→

jXZ =→

º90,) −==→

ϕϕjeZZc

jXZ −=→

º90º0,) <<=→

ϕϕjeZZd

Como ϕ = 90º, tem-se R = 0 e X = Z, portanto:

Sendo ϕ = -90º, a corrente nesta impedância estará defasada de 90º adiantada

com relação à tensão na impedância, tem-se então a chamada carga Puramente

Capacitiva.

sendo Z cosϕ = R e Z senϕ = X, vem jXRZ +=→

Porém, sendo ϕ = -90º, tem-se R = 0 e -X = Z, portanto:

Neste caso, a impedância faz com que haja um defasamento da corrente para a

tensão de –90º < ϕ < 0º, portanto a carga é do tipo Resistiva e Indutiva.

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jXRZ +=∴→

R - parte Resistiva X - parte Indutiva

Como 0º< ϕ < 90º, vem:

jXRZ +=→

º0º90,) <<−=→

ϕϕjeZZe

Agora o defasamento da corrente com relação a tensão será de 0º < ϕ < 90º,.

logo a carga é do tipo: Resistiva e Capacitiva.

jXRZ +=→

Como -90º< ϕ < 0º:

jXRZ −=→

R - parte Resistiva X - parte Capacitiva

f) Carga com R, L, C

Este caso não é independente dos outros, pois dependendo das particularidades

da impedância em estudo tem-se ou o caso a) ou o d) ou o e).

f.1) R, L, C com equivalência de aspectos.

Se o aspecto indutivo da carga for equivalente a seu aspecto capacitivo,

tem-se a chamada ressonância, e então a carga será "vista" como sendo

simplesmente uma resistência, logo tem-se o caso a).

f.2) R,L,C, com preponderância do aspecto indutivo.

Se o aspecto indutivo da carga for preponderante ao aspecto capacitivo, a

carga será "vista" como sendo resistiva e indutiva e portanto aplica-se o

caso d).

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f.3) R,L,C, com preponderância do aspecto capacitivo.

Por outro lado, se o aspecto capacitivo da carga for preponderante ao

indutivo, a mesma será "vista” como sendo resistiva e capacitiva, logo

tem-se o caso e).

Todos estes casos são melhores visualizados através dos diagramas de

fasores de tensões e correntes:

R Z = RV

Caso a

L Z = j XLV

Caso b

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C Z = - j XCV

ICaso c

L Z = j XL

Caso d

R Z = R ϕ

= tg -1 XR

Caso e

R Z = R ϕ

C Z = -jXC

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4.2 Tipos de Cargas Quanto à Conexão

No item anterior, viu-se todos os tipos de cargas possíveis, quanto a variação do

ângulo da impedância. Agora , dependendo da forma como são conectadas, tem-se

as possibilidades existentes nos sistemas trifásicos.

Tomadas três impedâncias quaisquer, estas podem ser ligadas como a seguir:

a) Carga em Delta ou Triângulo (Δ)

ou Z3 Z1 Z2

Figura 12 - Carga trifásica ligada em Δ.

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ou como abaixo:

b) Carga em Estrela (Y)

Figura 13 - Carga trifásica ligada em Y.

4.3 Tipos de Cargas Quanto à Igualdade ou não das Impedâncias - Cargas

Equilibradas e Desequilibradas

Se as três impedâncias das figuras 12 ou 13, forem de tal forma que:

→→→

== ZZZ

→→→

≠≠ ZZZ 321

→→→

=≠ ZZZ 321

→→→

≠= ZZZ

- diz-se que a carga é Equilibrada.

Por outro lado, se:

ou ou ou , diz-se que

a Carga é Desequilibrada.

→→→

≠= ZZZ

OBS.: Para os objetivos deste trabalho, sempre serão consideradas carga

equilibradas.

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5 Correntes de Linha e de Fase

Seja um gerador alimentando uma carga como na figura a seguir,

Gerador Carga

Figura 14 - Gerador em Y alimentando carga em Y.

Na figura 14, tem-se:

- Gerador Trifásico Y - Carga Trifásica Y - Zc - Impedância da carga - Zg - Impedância do gerador

- - correntes do gerador para a carga (correntes de linha) CBA III•••

cba III•••

- - corrente da carga para o gerador

- - correntes na carga (correntes de fase)

As correntes nas linhas que chegam à carga , são chamadas de correntes de

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •••

CBA III ,,

As correntes nas impedâncias da carga , são chamadas de correntes de fase ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •••

cba III ,,

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5.1 Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em Y

Pela figura 14 observa-se que é a própria corrente , o mesmo acontecendo

com e e , e com e , ou seja para a carga em Y as correntes de linha são

as próprias correntes de fase.

Cálculo das Correntes

VI →

••

VI →

••

VI →

••

CNcnBNbnANan VVVVVV••••••

CNBNAN VeV•••

, CNBNAN EeEE•••

•→••

⋅+= AgANAN IZVE

ANE•

ANV•

•→

⋅ Ag IZ

Como não se considerou impedâncias para as linhas Aa, Bb e Cc (Vide figura 14),

pode-se dizer que:

1) V diferem das f.e.m.s pelas quedas de tensão

internas ao gerador e são chamadas de tensões. Para a fase A, p.ex., poderia ser

escrito: , onde:

- f.e.m. gerada

- Tensão nos terminais A e N

- Queda de tensão no gerador

VII →

•••

VII →

•••

VII →

•••

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Por outro lado, suponha-se que os terminais A, B, C e N do gerador estejam

curto-circuitados, então :

EI →

••

EI →

••

EI →

••

CBA IeII•••

CNBNAN VeV•••

, anbnan VeV•••

eVVeVVeVV

===→

−••

º120º120º0

Como tem mesmo módulo e estão defasadas entre si de 120º e

a impedância é sempre a mesma, pode-se afirmar que: têm mesmo

módulo e estão defasados entre si de 120º.

CNBNAN EeEE•••

Por extensão do raciocínio V e portanto V estariam

também defasados de 120º e teriam mesmo módulo, respectivamente.

Cálculo das Correntes

Então:

αα jja eIe

ZVI −−

== ( ) )120(120 αα +−+−•

== jjb eIe

(120 ) (120 )j jc

VI e I eZ

α α•

− −= =

cban IIII••••

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=−++++−−−+−=

=−+−++−++−=•

}º120cossencosº120sensenº120sencosº120cosº120cossencosº120sensenº120sencosº120cossen{cos

)]}º120sen()º120[cos()]º120sen()º120[cos()sen{(cos

αααααααααα

αααααα

jjjjjI

jjjII n

{cos sen 2cos120cos 2 sen cos120}

1 1cos sen 2 cos 2 sen2 2

{cos sen cos sen } {0}

I j j I

α α α α

α α α α•

= − + − =

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= − − + =

Conclusão: "Se a carga for equilibrada, a corrente no neutro da Y, será nula".

Pode-se, então fazer o seguinte quadro para a conexão Y:

º303 jfL

jf eVVeVV ±

•••== β

••

eII γ

(1) ±30º, dependendo então da seqüência de fases tomada. No caso da

seqüência direta temos +30º, e no caso da seqüência inversa tem-se -30º.

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5.2 Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em Δ

Seja e figura 15 abaixo:

I bcI ab

Gerador

Figura 15 - Gerador em Y alimentando carga em Δ

- Gerador trifásico em Y

- Carga trifásica em Δ

- Zc - impedância de carga

- - correntes de linha CBA III•••

cabcab III•••

- - correntes de fase

Cálculo das Correntes de Fase

(120 ) (120 )j jab bc caV V e V V e V V eϕ ϕ ϕ

• • •− − += = =

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então, sendo , vem: ϕjeZZ =→

º120º120º120º120º0º0 jjca

jjab eIe

ZVIeIe

ZVI ======

•−−

••

bccaCabbcBcaabA IIIIIIIII•••••••••

−=−=−=

Cálculo das Correntes de Linha

Aplicando Kirchoff à carga da figura 15, vem:

Calcule-se então. por exemplo :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=

=−−+==−=−=

•••

]º120senº120cosº0senº0[cos

º120º0

jjIeIeIIII jj

Multiplicando e dividindo por 3 , vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

233 jII A como )º30cos(

±= e )º210º30sen(21 ou−=

º303 jA eII −

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Analogamente:

º90º150 33 jC

jB eIIeII +

•−

ou seja:

"Na conexão Δ, as correntes de linha são 3 vezes maior que as correntes de

fase e estão defasadas das respectivas correntes de fase de ±30º (1)”

(1) ±30º dependendo aqui também, da seqüência de fases adotada. No caso

desenvolvido –30º que é de seqüência de fases direta.

Com isso, pode-se fazer o seguinte quadro para a conexão

º303 jfL

jf eIIeIIVVeVV ±

••••••

==== γβ

ψjeZ=→

Conclusão Final

Supondo três impedâncias em Y de valor Z , tem-se o seguinte Diagrama

Fasorial para a Seqüência de Fases Direta:

ca cn ab

30°ϕ

Figura 16 – Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em Y.

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Se as impedâncias estivessem agora em Δ, ter-se-ia:

Figura 17 – Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em Δ.

6 Conversão Δ-Y e Y-Δ

Por vezes é muito útil transformar uma carga Δ em uma equivalente em Y e vice-versa.

Neste caso, a equivalência de cargas significa dizer que: estando as cargas equivalentes

em Δ ou Y, as tensões e correntes de linha não são alterados, ou seja, continuam as

mesmas.

Sejam as cargas como as da figura abaixo:

Figura 18 - Cargas Equilibradas.

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Para a carga em Y, pode-se escrever:

BNANAB VVV•••

BAAB IZIZV•→•→•

−=∴ 54 (A)

Para a carga em Δ, tem-se:

0AB BC CA AB BC CV V V V V V• • • • • •

+ + = = − − A

B BC AB

BC B AB

CABCAB IZIZV•→•→•

−−= 32 (B)

I I IMas: I I I

• • •

AABCA III•••

AABABBAB IZIZIZIZV•→•→•→•→•

−−−−= 3322

CAABA III•••

Substituindo (C) e (D) em (B), vem:

Da figura 18, tem-se:

••

VI ABAB , logo:

•→•→

→→→•

•→•→

→•

•→

•→•→•

−=++

−=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

+−−−=

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BAAB IZZZ

ZZIZZZ

ZZV•

→→→

→→•

→→→

→→•

31 (E)

Comparando (A) e (E), vem:

314 →→→

→→→

ZZZ (F)

215 →→→

→→→

Por analogia:

326 →→→

→→→

Como (carga em Δ, equilibrada) e (carga em Δ,

equilibrada), pode-se fazer:

321→→→

== ZZZ 654→→→

== ZZZ

→→→→

=== ZZZZ 321

YZZZZ→→→→

=== 654

, donde a partir, por exemplo, de (F), vem:

→→ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→→

=∴ZZ Y

YZZ→

por outro lado:

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7 Circuito Monofásico Equivalente a um Circuito Trifásico

Desde que a carga do sistema trifásico seja equilibrada, uma simplificação pode ser

operada nos sistemas trifásicos. Uma vez que em sendo a carga equilibrada as correntes

e as tensões apenas diferem entre si quanto ao angulo de fase, pode-se calcular uma

grandeza e obter as outras duas através de defasagem de ±120º.

7.1 Carga em Y

Seja e carga Y a seguir:

I A IB IC

ψjjCA

jAB eZZeVVeVVeVV ====

•−

••º120º120º0

Tem-se:

(30 )º (150 )º (90 )º

3 3 3j j j

A B CV V VI e I e I e

Z Z Zψ ψ ψ

• • •− + − + −= = =

Ora, bastava calcular, por exemplo, e com ±120º obtém-se e . pode

ser obtido do seguinte circuito:

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Como º30

AN eV −

••

=V , poder-se-ia para a Seqüência de Fases Direta, fazer:

Figura 19 - Circuito 1∅ Equivalente, com carga em Y e SF Direta

7.2 Carga em Δ

No item anterior viu-se a equivalência Δ-Y, portanto a simplificação desenvolvida

no sub-item 7.1 pode ser agora aplicada para carga em Δ, como aquela a seguir:

IB I C

-j30°

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Supondo:

αjjCA

jAB eZZeVVeVVeVV ====

→•−

••º120º120º0

~ V AN

Vem: )120()120( ααα −•

+−•

−•

=== jCA

E portanto:

)90()150()30( 333 ααα −•

+−•

=== jC

Podemos simplificar a partir de:

I B I C

I ABI CA

I A I B I C

e portanto equivale a, por exemplo:

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º30º30

33jjAB

AN eVeVV −−

••

)º30()º30( 3

αα +−+−• ⋅

= jjA e

e º120)º30(3 jjB ee

ZVI −+−

• ⋅= α º120)º30(3 jj

VI α+−• ⋅

)º015(3 α+−• ⋅

= jB e

ZVI )º09(3 α+

• ⋅= j

VIDonde:

Portanto, para SF direta e carga em Δ, tem-se:

-j30°

Figura 20 - Circuito 1∅ equivalente com carga em Δ e SF direta.

De posse dos conhecimentos para o cálculo das correntes e das tensões em cargas

trifásicas, em Y ou Δ, resta agora o cálculo e a medição da potência nos sistemas

trifásicos.

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8 Cálculo e Medição de Potência em Sistemas Trifásicos

Seja uma carga ligada a um sistema monofásico como na figura 21

Z = Z e

Figura 21 - Circuito monofásico.

Z é dada por: A potência "consumida” pela carga

a) Potência Ativa, Real ou Wattada

ϕcosVIP = (14)

Onde ϕ além de ser o ângulo da carga é também o ângulo de defasagem entre a

tensão aplicada à carga e a corrente na carga.

b) Potência Reativa ou Dewattada

ϕsenVIQ =

c) Potência Aparente

Sendo as unidades:

| P | = W, kW, MW, etc.

| Q | = VAr, kVAr, MVAr, etc.

| S | = VA, kVA, MVA, etc.

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Das equações (14), (15) e (16) pode-se montar o chamado triângulo de Potências:

S = VI

P Figura 22 - Triângulo de Potências.

Por outro lado considerando uma carga do tipo onde ϕjeZjXRZ =+=→

RXtg 1−=ϕ , vem:

Figura 23 - Triângulo de Impedâncias.

Das figuras 22 e 23, temos:

ZRZRVIP ==== ϕϕϕ coscoscos

Como ZVI =

RIIP =

, vem:

2RIP = * (17)

ϕ ϕsenZX = ZX

=ϕsen ZXVIQ = senVIQ =

Como ZVI = , vem:

XIIQ = * (18) 2XIQ =

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E mais:

VIS = (19) IIZS = 2ZIS =

Resumindo:

ϕcosVIP = 2RIP = *

ϕsenVIQ = * (20) 2XIQ =

2ZIS =VIS =

* Desde que R e X estejam em série.

8.1 Potências para Carga em Y

Seja agora uma carga trifásica, por exemplo, ligada em Y. A B C

I BI A I C

Figura 24 – Circuito Trifásico em Y.

Na seqüência de fases direta tem-se:

º90º150,º30 ∠=−∠=−∠=•••

VVeVVVV CNBNAN , logo:

)90()120()30( ααα +→

••

+−→

••

+−→

••

====== jCNC

jANA e

fazendo IZV

= e de acordo com o que foi mostrado para circuito monofásico, vem:

ααα coscoscos VIPVIPVIP CBA ===

35 / 55

GQEEGQEE

PA - potência ativa consumida pela impedância da fase A;

PB - potência ativa consumida pela impedância da fase B; B

CCNBBNAAN IeVIeVIe••••••

PC - potência ativa consumida pela impedância da fase C;

α - É sempre o ângulo entre a tensão na impedância (tensão de fase) e, a corrente na

impedância (corrente de fase) (Vide ângulo entre V ) que

é o próprio ângulo da impedância.

A potência ativa total consumida pelas três impedâncias é:

αcos3VIPTOT = (21)

Como V é o módulo de V e CNBNAN VeV•••

, I é o módulo de pode-se

rescrever:

CBA IeII•••

αcos3 ffTOT IVP = (22)

fV fI - tensão de fase - corrente de fase

Portanto:

A potência ativa total é dada por três vezes o produto entre o módulo da tensão de

fase, o módulo da corrente de fase e o cosseno do ângulo entre o fasor tensão de fase

e o fasor corrente de fase.

Analogamente:

αsenVIQA = αsenVIQB = αsenVIQC =

αsen3VIQTOT = (23)

36 / 55

GQEEGQEE

αsen3 ffTOT IVQ = (24)

E mais:

VISVISVIS CBA ===

VISTOT 3= (25)

ffTOT IVS 3= (26)

Por outro lado, na conexão estrela, tem-se:

fLfL IIVV == 3

Logo em (22) temos:

αα cos3

33cos3

TOT IVIVP ==

αcos3 LLTOT IVP = (27)

Na equação (23), tem-se:

αα sen3

33sen3

TOT IVIVQ ==

αsen3 LLTOT IVQ = (28)

Finalmente na equação (26), vem:

TOT IVIVS3

LLTOT IVS 3= (29)

37 / 55

GQEEGQEE

LL Ie••

Atenção: Como para a conexão Y, a tensão de linha está defasada da tensão de fase,

o ângulo α não é, nas equações (27) e (28), o ângulo entre V .

8.2 Potências para Carga em Δ

Se a carga agora estiver em Δ, tem-se: A CB

IA IB I C

I BCI CA IAB

Figura 25 – Circuito Trifásico em Δ.

Para este caso:

−→

••

+−→

••

−→

••

IZ =Fazendo V e de acordo com o que foi mostrando para circuito monofásico,

tem-se:

ααα coscoscos VIPVIPVIP CBA ===

38 / 55

GQEEGQEE

ABI•

Note que α é sempre o ângulo entre tensão na impedância (tensão de fase) e

corrente na impedância (corrente de fase), veja o ângulo entre V e , V e

, e . BCI•

CAV•

CAI•

αcos3VIPTOT = (30)

Ou ainda

αcos3 ffTOT IVP = (31)

E mais:

αsen3VIQTOT = (32)

α (33) sen3 ffTOT IVQ =

VISTOT 3=

ffTOT IVS 3=

Por outro lado na conexão Δ, tem-se:

39 / 55

GQEEGQEE

Logo em (31) vem:

αα cos3

33cos3

IVIVP ==

αcos3 LLTOT IVP = (36)

Em (33), vem:

αα sen3

33sen3

IVIVQ ==

αsen3 LLTOT IVQ = (37)

Finalmente em (35), vem:

LTOTIVIVS ==

LLTOT IVS 3= (38)

ATENÇÃO: Como para a conexão Δ, a corrente de linha está defasada da corrente

de fase, o ângulo α não é, nas equações (36) e (37), o ângulo entre e . LV•

8.3 Medição de Potência

Uma vez que já foi mostrado o cálculo das potências em sistemas trifásicos,

mostrar-se-á agora como efetuar as medições.

Apresenta-se direto ao uso de dois wattímetros, conhecido como Conexão Aron

ou Processo de Blondel.

A conexão Aron é efetuada como a seguir:

40 / 55

GQEEGQEE

Figura 26 – Formas de medição de potência com dois wattímetros.

8.3.a Medição para carga em Y

Supondo a medição sendo efetuada como da forma abaixo:

41 / 55

GQEEGQEE

O wattímetro W1 indicará:

)cos(1 AACAAC IVIVW••••

)cos(1 AACAAC IVIVW••

º900,º0 <<==→•

ϕϕjjLAB eZZeVV

ANVBNV

º60º300º180 jLAC

jACCA eVVoueVVeVV −

••••==∴=

º60=••

ABAC VV

Do Diagrama Fasorial, tem-se:

ϕ+=••

º30ABA VI

Portanto:

30ºAACV I ϕ• •

42 / 55

GQEEGQEE

Então, como e LAC VV = LA II = , vem:

)º30cos(1 ϕ−= LL IVW (39)

Já o wattímetro W2 indicará:

)cos(2 BBCBBC IVIVW••••

)cos(2 BBCBBC IVIVW••

Do Diagrama Fasorial, vem:

º30=••

BNBC VV ϕ=••

BBN IV ϕ+=••

º30BBC IV

LBLBC IIeV

Como V ==

2 cos(30º )L LW V I

, vem:

ϕ= + (40)

8.3.b Medição para carga em Δ

Supondo a medição sendo efetuada como a seguir:

43 / 55

GQEEGQEE

O wattímetro W1 indicará:

)cos(1 AACAAC IVIVW••••

= )cos(1 AACAAC IVIVW••

Se º0jLAB eVV =

, 0 90ºjZ Z e ϕ ϕ→

= < < , vem

BC V AC V

BI Iab

Do Diagrama Fasorial, vem:

ϕ+=••

º30AAB IV

º60º180 jL

jCAAC eVeVV ==

••

º60=• •

ABAC VV

ϕ−=••

º30AAC IV

LAC V=

Como V e LA II = , vem:

)º30cos(1 ϕ−= LL IVW (41)

O wattímetro W2, por sua vez, indicará:

)cos(2 BBCBBC IVIVW••••

= )cos(2 BBCBBC IVIVW••

44 / 55

GQEEGQEE

Do Diagrama Fasorial, tem-se:

ϕ=••

BCbc VI º30=••

bcB II

ϕ+=∴••

º30BBC IV

Como e LBC VV = LB II = , vem:

2 cos(30º )L LW V I ϕ= +

[ ][ ][ ]ϕ

ϕϕϕϕ

Das equações (39), (40) ou (41), (42), vem:

cosº30cos2senº30sencosº30cossenº30sencosº30cos

)º30cos()º30cos(21

==−++=

=+ − + + =

ϕϕ cos3cos23221 LLLL IVIVWW =⎥

⎤⎢⎣

⎡=+∴

ϕcos311 LL IVWW =+ (43) ∴

Comparando-se a equação (43) com as equações (27) e (36), conclui-se:

“A soma algébrica – adiante ver-se-á porque algébrica – das indicações dos

dois wattímetros em conexão Aron é igual a potência ativa total da carga

trifásica”.

8.3.c Particularidades da Conexão Aron

c.1 Carga ôhmica - ϕ = 0º

º30cosº30cos

IVWIVW

45 / 55

GQEEGQEE

Ou seja: 21 WW =

Conclusão: Os dois instrumentos indicam o mesmo valor, portanto bastaria

o uso de um só, e multiplicar sua indicação por dois

c.2 Carga indutiva - ϕ = 30º

º60cosº0cos

IVWIVW

Logo: LLIVW =1 LLIVW21

º90cos)º30cos(

IVWIVW

Conclusão: Um dos wattímetros acusa o dobro do outro.

LL IVW23

1 = 02 =W

Conclusão: Um dos instrumentos tem indicação nula. Aumentando-se o

ângulo acima de 60º, o instrumento que indicava zero, respectivo a

cos(30º+ϕ), passará a indicar valores negativos; POR ISSO

ANTERIORMENTE AFIRMOU-SE: SOMA ALGÉBRICA.

º120cos)º60cos(

IVWIVW

46 / 55

GQEEGQEE

LLIVW21

1 = LLIVW21

2 −=

)º30cos()º30cos( 21

Conclusão: Os dois wattímetros indicam os mesmos valores, porém com

sinais contrários, o que resulta em WTOT = 0, que é coerente pois ϕ = 90º é

para carga puramente indutiva, ou seja, não consome potência ativa.

8.3.d Potência Reativa

Das equações anteriores temos:

ψ = ψ+−= LLLL IVWIVW

Então:

ψψψψ senº30sencosº30cossenº30sencosº30cos21 +=− LLIVWW

Então:

)senº30sen2(

IVWWIVWW

=−=−

Portanto:

ψsen3)(3 21 LLIVWW =−

Como , vem: QIV LL =ψsen3

(44) )(3 21 WWQ −=

Conclusão: Com a indicação dos dois wattímetros da Conexão Aron pode-se

também obter a potência reativa “consumida” pela carga equilibrada.

47 / 55

GQEEGQEE

9 Correção do Fator de Potência

9.1 Definição

O fator de potência é a relação entre a potência ativa e a potência aparente num

sistema, ou seja:

SPPF =..

No triângulo de potências de um sistema (figura 27), vê-se que o fator de potência

nada mais é que o cosseno do ângulo (ϕ) entre a potência ativa e a potência

aparente.

Figura 27 - Triângulo de Potências.

9.2 O porquê do aumento do F.P.

Veja alguns dos motivos que fazem com que haja a preocupação em aumentar

(melhorar) o f.p. (cosϕ) de um sistema.

48 / 55

GQEEGQEE

9.2.1 Sobrecarga nos Cabos

Na figura 28, observa-se que, para uma mesma potência ativa (produtora de

trabalho), existem dois valores de potência aparente (S1) e (S2).

22 VIS

Figura 28 - Comparação para cosϕ1>cosϕ2.

Ora observemos que para ϕ1 < ϕ2, temos S1 < S2, portanto Q1 < Q2 e P1 = P2.

Logo o ideal é transmitir S1, pois:

11 VIS = e =

21 II < Como S1 < S2, tem-se que:

Ou seja sendo maior que , ou todos os cabos estão sobrecarregados (foram

dimensionados levando em conta ) ou o seu custo foi mais alto (foram

dimensionados levando em conta ).

Portanto:

"Para uma mesma tensão, quanto menor o f.p.., maior será a corrente", o que não

é desejável.

49 / 55

GQEEGQEE

9.2.2 Aumento das quedas de Tensão

Com relação a figura 29 pode-se escrever o seguinte:

~Eg VPCarga

Figura 29 - Ilustração para aumento de quedas.

spgp IZEV•→••

sp IZ•→

- tensão em qualquer ponto do sistema (neste caso nos terminais de carga)

- f.e.m. da geração

- corrente na sistema

impedância total até a carga

Bem, é óbvio que quanto maior for a corrente, maiores serão as quedas de tensão

(Vide figura 29). Então é interesse diminuir o valor de . sI•

50 / 55

GQEEGQEE

9.2.3 Sobretaxa nas contas a pagar

Uma vez que os problemas resultantes do exposto nos itens 9.2.1 e 9.2.2, afetam

diretamente as concessionárias, as mesmas exigem que o f.p. mínimo de cada

instalação seja 0,92.

Se o f.p. de um determinado consumidor estiver abaixo desse mínimo o mesmo é

obrigado a pagar uma sobretaxa às concessionárias.

Isto faz com que os consumidores procurem melhorar (corrigir) o fator de

potência de sua instalação.

9.3 Causas de Baixo Fator de Potência

As causas mais comuns que fazem com que o f.p. de uma determinada instalação

seja baixo, são:

- nível de tensão elevada (acima do valor nominal);

- motores que trabalham, sem justa causa, grande parte do tempo a vazio (sem

carga);

- transformadores de grande potência alimentando, durante longo período,

pequenas cargas;

- transformadores que ficam por longo período a vazio (sem carga);

- motores superdimensionados para os respectivos acionamentos;

- luminárias com reator (quando usados reatores de baixo f.p.).

51 / 55

GQEEGQEE

9.4 Como Corrigir (melhorar) o Fator de Potência

9.4.1 Introdução

Seja a instalação mostrada na figura 30.a, que tem o triângulo de potências

mostrado na Figura 30.b.

P1 + j Q1 P2 + j Q2

P = P1 + P2

Q= Q1 + Q2

S = P + j Q

(a) (b)

Figura 30 - Configuração de uma instalação e seu triângulo de potências.

92,0cos <=SPϕ

ou seja: f.p. < 0,92

É conveniente que se melhore o f.p. (ou seja diminuir ϕ). Como as cargas

de uma maneira geral são do tipo indutivas (transformadores, reatores,

motores, etc.), para que se diminua ϕ basta que se coloque junto a esses

equipamentos, outros que tenham sob o aspecto da correntes, efeito

contrário. ou seja "cargas" do tipo capacitivas. A figura 31 esclarece.

52 / 55

GQEEGQEE

Figura 31 - Correção do f.p..

Supôs-se que uma carga indutiva "puxe " do sistema a potência S2 = P +

jQ2, e que o f.p. (cosϕ2) estava abaixo do desejável. Colocou-se então

cargas capacitivas cuja potência era Qc, de forma que o f.p. (cosϕ1)

melhorou com relação ao anterior.

Para que se evite problemas futuros é importante que se mostre o novo

jogo de potências:

Q2 - potência reativa necessária à carga (indutiva);

Qc - potência reativa imposta pela nova carga (capacitiva);

Q1 - potência reativa entregue pelo sistema à carga, após a melhoria do f.p.

Importante: "A carga do sistema sempre precisa de Q2 quando não há

correção, Q2 é fornecido pelo sistema. Quando há a correção Q2 é parte

fornecido pelo sistema (Q1) e parte pela carga capacitiva corretora (Qc).

53 / 55

GQEEGQEE

9.4.2 Cálculo de Qc

Observe-se na figura 31 que:

tgPQPQtg

Ora: cQQQ =− 12

Portanto:

2 1( )cQ P tg tgϕ ϕ= −

Nota: Há tabelas que dado o cosϕ2 (f.p. a ser corrigido) e o cosϕ1 (f.p.

desejado) nos dão diretamente o valor de (tgϕ2-tgϕ1). Basta então

multiplicar por P

9.4.3 Tipos de "cargas capacitivas" usadas para o fornecimento de Qc

Fundamentalmente há dois tipos de equipamentos usados para correção do

f.p., sejam:

- capacitores estáticos

- motores síncronos superexcitados

Os capacitores estáticos constituem a solução mais prática para as

indústrias em geral, pois os condensadores síncronos (motores síncronos

superexcitados) a par das suas vantagens, têm pelo menos uma

desvantagem muito grande, qual seja: contribuem para o curto-circuito

(quando de sua ocorrência) no sistema.

54 / 55

GQEEGQEE

9.4.4 Como Ligar

Deve-se ligar os capacitores em paralelo com a carga, pois em série

acarretariam quedas de tensão entre a linha e a carga. No caso de sistemas

trifásicos, a conexão triângulo (Δ) é mais vantajosa que a conexão estrela

(Y) (Vide observação no final). Seja:

1senº90sen3

=⇒== ϕϕϕ

Conexão Y:

XC XC XC

yC XVQ

55 / 55

GQEEGQEE

Conexão Δ:

VVQ2333 ==

VI = c

fL XVII 33 ==

Portanto: Sob o aspecto de potência a conexão Δ é melhor que a conexão

OBS: Entretanto, a tensão aplicada ao capacitor no sistema Δ é 3 vezes

maior que no sistema Y e portanto sob o aspecto de isolamento há o

encarecimento do capacitor. Logo se deve ter uma solução de

compromisso!

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tringulo de

da espira

por outro

fator de potncia

seguinte quadro

conjunto de

correntes

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