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TEMA 8: INTEGRALES TRIPLES
1. UN EJEMPLO QUE CONDUCE AL CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE
Supóngase un cuerpo material
W, que ocupa una región R cerrada y
acotada en el espacio, siendo (P) ó
(x,y,z) la densidad de distribución de
masas en cada punto P = (x,y,z) de R.
Se trata de hallar la masa de dicho
cuerpo.
Para ello se efectúa una partición P de R en subregiones elementales Rk
(k=1,.......,N) R de Ro
k k
interior de respectivos volúmenes V(Rk), siendo R R k
k
N
1
y R Ro
i
o
j si i j .
En cada región elemental Rk se escoge un punto arbitrario Pk(xk,yk,zk) y se
supone como aproximación que en cada Rk la densidad es constante e igual a (xk,yk,zk).
La masa M(W) del cuerpo W será aproximadamente :
M W x y z V Rk k k kk
N
, ,
1
Intuitivamente se ve que estas aproximaciones a M(W) serán tanto mejores
cuanto menor sea el diámetro d(P) de la correspondiente partición P.
Puede imaginarse la masa de W, como un cierto límite de las sumas anteriores.
En esta idea se apoya el concepto integral triple.
No significa que una integral represente únicamente una masa. El concepto es
más amplio y se utilizará en cualquier problema real cuya resolución conduzca a
considerar ciertos limites de sumas como las anteriores citadas.
2. CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE
1
Es una generalización del concepto de integral doble.
Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R
cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones
elementales Rk (k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el
conjunto de tales particiones de R.
Actuando de forma análoga a la vista para las integrales dobles, tras la elección
de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en
R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:
S P eR ( , ) f x y z V Rk k k kk
N
, ,1
Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de
las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de
integral triple de f(x,y,z) en R.
Se escribe : lim( ) P 0 f x y z V Rk k k k
k
N
, ,
1
f x y z dVR
( , , )
Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría :
S P eR ( , ) f x y z x y zk k kk
p
j
m
i j ki
n
, ,111
Y el límite antes citado suele designarse como:
f x y z dxdydzR
( , , )
3.CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES INTEGRABLES
Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se
verifica :
a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del espacio, cerrada y acotada, entonces f es
integrable en R.
b) También es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es continua en la
misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el
conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un conjunto A del espacio se dice
2
de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de
intervalos del espacio, cuya suma de volúmenes sea tan pequeña como se quiera).
4.PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las
propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de
monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los
correspondientes para las integrales dobles.
5. INTEGRALES TRIPLES IMPROPIAS
El concepto y definiciones son análogos a los vistos para las integrales dobles.
6. CALCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS
CARTESIANAS.
En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite
dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es
necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos numéricos.
Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de
Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de
integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples
reiteradas.
De forma análoga a lo visto para las integrales dobles, puede demostrarse ahora:
6.1Caso en que la región R es un intervalo
“Si ( , , ) / , , ,x y z R a x a b y b c z c31 2 1 2 1 2
y f(x,y,z) es integrable en , entonces :
3
f x y z dxdydzR
( , , ) dx dy f x y z dza
a
b
b
c
c
1
2
1
2
1
2
( , , ) (1)
pudiendo variarse el orden de integración (6 formas distintas)
6.2 Casos de regiones de forma especial
6.2.1 Sea R la region de la Figura, es
decir:
R x y z R x y Rx y z x y
( , , ) / ( , ) ,
( , )
3
1 2 ( , ) donde
R es la proyección de R sobre el
plano XY. (R es tal que cualquier recta
paralela al eje OZ sólo cortará a la
superficie frontera de R en dos puntos a lo
sumo, o en un segmento).
Entonces: Si f(x,y.z) es continua en R, se verifica :
f x y z dxdydzR
( , , ) dxdy f x y z dz
Rx y
x y
( , , )( , )
( , )
1
2
(2)
Análogamente para las regiones R que cumplan las condiciones equivalentes
respecto a los otros ejes. Habría así otras dos formas posibles , proyectando sobre los
planos XZ ó YZ.
6.2.2 Si a su vez es :
R x y R x y x( , ) / a x b , ( )21 2 ( )
descomponiendo la integral doble de (2) extendida a R , en dos integrales simples
reiteradas, resulta :
f x y z dxdydzR
( , , ) dx dy f x y z dza
b
x
x
x y
x y
1
2
1
2
( )
( )
( , )
( , )
( , , ) (3)
4
También podría haberse hecho un cambio de variables en tal integral doble
sobre R .
6.2.3
Si pudiera determinarse fácilmente
la sección Rz de R por cada plano
perpendicular al eje OZ, a la altura z, se
tendría: f x y z dxdydzR
( , , ) =
dz f x y z dxdya
b
Rz
( , , ) (4)
Analogamente si se consideran secciones por planos perpendiculares a los otros ejes.
6.3 Otras regiones de integracion
Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta
descomponerla en subregiones Ri (i = 1,......,n) sin elementos interiores comunes,
siendo los Ri de los modelos antes citados.
Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es :
f x y z dxdydzR
( , , )
f x y z dxdydzR
i
n
i
( , , )1
7. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES TRIPLES
Como ampliación al caso de tres variables, de lo visto en el caso bidimensional,
se obtienen los resultados siguientes, que se enuncian sin demostrar:
7.1 Fórmula de cambio de variable
Sean R* y R dos regiones
en los espacios (u,v,w) y (x,y,z)
respectivamente.
Sea :
( , , )( , , )( , , )
x x u v wy u v wz u v w
5
un homeomorfismo de R* sobre R continuamente diferenciable sobre R* y tal que el
jacobiano J del mismo no cambie de signo en R*.
Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces :
f x y z dxdydzR
( , , )
f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdwR
( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , )* (5)
Como en el caso de las transformaciones en el plano, también aquí las
coordenadas cartesianas (u,v,w) de un punto P*de R*, se designan como coordenadas
curvilineas del correspondiente P=(x,y,z) de R.
La superficie en R correspondiente a u=uo, recibe el nombre de superficie
coordenada u=uo. Analogamente las superficies coordenadas v=vo ó w=wo.
El J representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al
aplicar .
El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es :
dV= J u v w dudvdw ( , , )
7.2 Caso particular de coordenadas cilíndricas (Semipolares)
La posición de un punto P en el
espacio se determina por los tres valores
(r,,z), donde r,,son las coordenadas
polares de la proyección P de P, sobre el
plano XOY.
Las superficies coordenadas r=cte, =cte,
z=cte representan respectivamente
cilindros circulares con eje OZ,
semiplanos que pasan por el eje OZ y
planos paralelos
6
al plano XY.
El cambio de coodenadas es : :cosx r
y r senz z
y
Jsen
r sen r
coscos
00
0 0 1 = r
Por tanto : Si f(x,y,z,) es continua en R, resulta :
f x y z dxdydzR
( , , ) f r r sen z r drd dzR
cos , ,* (6)
La expresión dV = r dr d dz es el elemento de volumen en coordenadas
cilindricas.
Estas coordenadas son especialmente útiles para trabajar con regiones limitadas
por superficies cilindricas de revolución en torno al eje Z, planos que contienen a dicho
eje y planos perpendiculares al mismo (Es decir para regiones limitadas por superficies
coordenadas).
Nota Obsérvese que la expresión para el elemento de volumen puede obtenerse
simplemente por consideraciones geométricas.
7
7.3 Caso particular de coordenadas esfericas (Polares del espacio)
La posición de un punto P(x,y,z)
en el espacio se determina por los tres
valores (,,) mostrados en la Figura..
Las superficies coordenadas = cte, = cte, = cte, son respectivamente esferas con centro en el origen
de coordenadas, semiplanos por el eje z, y conos de revolución en torno al eje OZ.
Es siempre : 0 0 0 2
El cambio de coordenadas es :cos
cos
x seny sen senz
Y se verifica : Jsen sen sensen sen sen sen
sen
cos cos coscos cos
cos 0
J sen 2
Por tanto : Si f(x,y,z) es continua en R, resulta :
f x y z dxdydzR
( , , ) f sen sen sen sen d d dR
cos , , cos 2 .. (7)
El elemento de volumen en coodenadas esfericas es : dV sen d d d 2
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