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Problemi di struttura del nucleo atomico
Giampaolo Co’
INFN - Lecce
Lecce 20 Giugno 2008
Giampaolo Co’ Nuclei
Iniziativa specifica PI31
Titolo
Microscopic theories of strongly interacting many-body systems
Iniziativa specifica PI31
Titolo
Microscopic theories of strongly interacting many-body systems
Sedi
Firenze, Genova, Lecce, Pisa, Roma 1, Trento, Torino, Trieste15 Strutturati, 10 Dottorandi-Assegnisti
Iniziativa specifica PI31
Titolo
Microscopic theories of strongly interacting many-body systems
Sedi
Firenze, Genova, Lecce, Pisa, Roma 1, Trento, Torino, Trieste15 Strutturati, 10 Dottorandi-Assegnisti
Coordinatore nazionale
Omar Benhar, Roma 1
Iniziativa specifica PI31
Titolo
Microscopic theories of strongly interacting many-body systems
Sedi
Firenze, Genova, Lecce, Pisa, Roma 1, Trento, Torino, Trieste15 Strutturati, 10 Dottorandi-Assegnisti
Coordinatore nazionale
Omar Benhar, Roma 1
A Lecce
Giampaolo Co’, Viviana De Donno, Chiara MaieronIn collaborazione conMarta Anguiano, Fernando Arias de Saavedra, Antonio M. Lallena,Miguel Moreno-Torres (Granada)
Ipotesi di lavoro
Nucleoni come gradi di liberta fondamentali.
Sistema a molticorpi non relativistico.
Ipotesi di lavoro
Nucleoni come gradi di liberta fondamentali.
Sistema a molticorpi non relativistico.
Ipotesi di lavoro
Nucleoni come gradi di liberta fondamentali.
Sistema a molticorpi non relativistico.
Il sistema nucleare e descritto dall’equazione di Schrodinger, el’interazione nucleone-nucleone da un potenziale.
L’interazione
V (i , j) =∑
p=1,18
vp(rij)Opij
Op=1,14ij =
[
1,σi · σj ,Sij , (L · S),L2,L2(σi · σj), (L · S)2]
⊗ [1, τ i · τ j ]
Op=15,18ij = [1,σ i · σj ,Sij , ] ⊗ [Tij , τzi + τzj ]
Sij = 3(σi · r)(σj · r)
r2− σi · σj
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-100
0
100
200
300
AV18AV8UV14
[M
eV]
V1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-400
-300
-200
-100
0
100
V3
[M
eV]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-20
0
20
40
60
V5
[M
eV]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-500
-400
-300
-200
-100
0
V7
[M
eV]
r12 [fm]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-500
-300
-100
100
V2
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-200
0
200
400
V4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00
20
40
60
V6
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-600
-400
-200
0
V8
r12 [fm]
3H Binding energyExp 8.48 MeV
2 N potential 2N
CD Bonn 7.953Nijm II 7.709Nijm I 7.731Nijm 93 7.664Reid 93 7.648AV14 7.683AV18 7.576
Giampaolo Co’ Nuclei
Forza a 3 corpi
V
V
π
π
∆
V
V
3H Binding energyExp 8.48 MeV
2 N potential 2N 2N + 3N
CD Bonn 7.953 8.483Nijm II 7.709 8.477Nijm I 7.731 8.480Nijm 93 7.664 8.480Reid 93 7.648 8.480AV14 7.683 8.480AV18 7.576 8.479
Giampaolo Co’ Nuclei
Monte Carlo
S.C. Pieper and R.B. Wiringa, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 51 (2001) 53.
Giampaolo Co’ Nuclei
Teoria perturbativa
H = H0 + H1
H0|Φ0〉 = E0|Φ0〉
H0|Φ0〉 =∑
i
hi
∏
k=1,A
|φk〉 =∑
i
εi
∏
k=1,A
|φk〉
E = 〈Φ0|H0|Φ0〉 + 〈Φ0|H1
∞∑
n=0
(
1
E0 − H0H1
)n
|Φ0〉c
= E0 + 〈Φ0|H1|Φ0〉 + 〈Φ0|H11
E0 − H0H1|Φ0〉c + · · ·
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r12 [fm]
V(r)
ψ(r12)
φ(r12)
Giampaolo Co’ Nuclei
CBF - Teoria della Funzione della Base Correlata
Principio Variazionale
Ψ(1, 2, ...,A) = F (1, 2, ...,A)Φ(1, 2, ....,A)
F =∏
i<j
f (rij)
δE [Ψ] = δ
[
< Ψ|H|Ψ >
< Ψ|Ψ >
]
= δ
[
< Φ|F †HF |Φ >
< Ψ|Ψ >
]
= 0
Correlazioni scalari
< Φ|F †VF |Φ >
< Φ|F 2|Φ >=
< Φ|VF 2|Φ >
< Φ|F 2|Φ >=
∫
dx1dx2V (x1, x2)g(x1, x2)
g(x1, x2) =
A(A − 1)
∫
dx3 . . . dxAΦ∗(x1, . . . , xA)F ∗ FΦ(x1, . . . , xA)
ρ2
∫
dx1dx2 . . . dxAΦ∗(x1, . . . , xA)F ∗ FΦ(x1, . . . , xA)
Giampaolo Co’ Nuclei
F 2 =∏
i<j
f 2(rij )
f 2(rij ) = 1 + h(rij)∏
i<j
f 2(rij) = f 2(r12)[1 + h(r13)][1 + h(r14)]....[1 + h(r34)]....
1
j
2
i j
1 21 2
Giampaolo Co’ Nuclei
Fermi HyperNetted Chains
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
A B
C D
E F
G H
Ndd
Nde
Nee
Ncc
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
ρ [fm-3]
E
/A [
MeV
] V18+UIX
V18
Giampaolo Co’ Nuclei
Risultati
12C 16O 40Ca 48Ca 208Pb
T 27.13 32.33 41.06 39.64 39.56V 6
2−body -29.13 -38.15 -48.97 -46.60 -48.43
VLS -0.51 -0.70 -0.85 -0.79 -0.80v ′8 + VCoul 0.67 0.86 1.96 1.57 3.97
UIX T + V (2) -1.84 -5.66 -6.83 -6.24 -5.80V3−body 0.66 0.86 1.76 1.61 1.91E -1.17 -4.80 -5.05 -4.62 -3.78
T 24.63 29.25 37.70 36.47 36.48V 6
2−body -27.08 -35.84 -47.16 -44.86 -46.87
VLS -0.06 -0.10 -0.10 -0.09 -0.08v14 + VCoul 0.68 0.88 2.02 1.59 4.03UVII T + V (2) -1.83 -5.81 -7.54 -6.89 -6.44
V3−body 0.54 0.69 1.28 1.15 1.41E -1.29 -5.12 -6.26 -5.74 -5.03
Eexp -7.68 -7.97 -8.55 -8.66 -7.86
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 1.0 2.0 3.0 4.010-610-510-410-310-210-1100
n(
k) [
fm3 ]
12C
0.0 1.0 2.0 3.0 4.010-610-510-410-310-210-1100
16O
n(
k) [
fm3 ]
0.0 1.0 2.0 3.0 4.010-610-510-410-310-210-1100
n(
k) [
fm3 ]
k [fm-1]
40Ca
0.0 1.0 2.0 3.0 4.010-610-510-410-310-210-1100
48Ca
0.0 1.0 2.0 3.0 4.010-610-510-410-310-210-1100
208Pb
k [fm-1]
f6f1
IPM
Giampaolo Co’ Nuclei
-60 -50 -40 -30 -20 -10 00.0
0.5
1.0
1.5
E A - E A-1 [MeV]
occupation numbers
208 Pb
Data: M. F. van Batenburg, Ph.D. Thesis Utrecht (Nederlands) (2001)
Stati eccitati
Ψn(1, 2, ...,A) = F (1, 2, ...,A)Φn(1, 2, ....,A)
En =< Φn|F
†HF |Φn >
< Φn|F 2|Φn >=< Φn|H
eff |Φn >
Giampaolo Co’ Nuclei
E
r
εF
MF
Giampaolo Co’ Nuclei
Stati di singola particella del 208Pb
εF
1h9/2 (-3.798)
3s1/2 (-8.001)
protoni
1g9/2 (-3.936)
3p1/2 (-7.3674)
neutroni
Energie di eccitazione 4.20 e 3.43 MeVMultipoli compatibili 4−, 5−
Giampaolo Co’ Nuclei
Stati di singola particella del 208Pb
εF
1h9/2 (-3.798)
3s1/2 (-8.001)
protoni
1g9/2 (-3.936)
3p1/2 (-7.3674)
neutroni
Energie di eccitazione 4.20 e 3.43 MeVMultipoli compatibili 4−, 5−
Il primo stato eccitato del 208Pb e un 3− a 2.63 MeV.
Giampaolo Co’ Nuclei
Random Phase Approximation
|ν >= Q†ν |0 > Qν |0 >= 0
Q†ν =
∑
ph
Xpha†pah −
∑
ph
Ypha†hap
(εp − εh − ω)Xph +∑
p′h′
[vph,p′h′Xp′h′ + uph,p′h′Yp′h′ ] = 0
(εp − εh + ω)Yph +∑
p′h′
[uph,p′h′Xp′h′ + vph,p′h′Yp′h′ ] = 0
vph,p′h′ = < ph′|V |hp′ > − < ph′|V |p′h >
uph,p′h′ = < pp′|V |hh′ > − < pp′|V |h′h >
< ν|T |0 >=∑
ph
[Xph < p|T |h > −Yph < h|T |p >]
Giampaolo Co’ Nuclei
E
r
εF
RPA
Giampaolo Co’ Nuclei
Calcoli RPA
Input richiesto
Energie e funzioni d’onda di singola particella.Interazione tra nucleoni.
Giampaolo Co’ Nuclei
Calcoli RPA
Input richiesto
Energie e funzioni d’onda di singola particella.Interazione tra nucleoni.
Interazione a range finito.
Inclusione dei canali tensoriali.
Approccio fenomenologico.Teoria di Landau dei liquidi fermionici.
Giampaolo Co’ Nuclei
Calcoli RPA
Input richiesto
Energie e funzioni d’onda di singola particella.Interazione tra nucleoni.
Interazione a range finito.
Inclusione dei canali tensoriali.
Approccio fenomenologico.Teoria di Landau dei liquidi fermionici.
Giampaolo Co’ Nuclei
Calcoli RPA
Input richiesto
Energie e funzioni d’onda di singola particella.Interazione tra nucleoni.
Interazione a range finito.
Inclusione dei canali tensoriali.
Approccio fenomenologico.Teoria di Landau dei liquidi fermionici.
Giampaolo Co’ Nuclei
Spettro del 208Pb
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
3-
5-4-5-6-2-
0-
1+
12-14-12-1+
LM LMtt FR FRtt exp
ω
[M
eV]
208Pb
Giampaolo Co’ Nuclei
Densita di transizione del 3− del 208Pb
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
Tran
sitio
n D
ensi
ty [
e/fm
3 ]
r [fm]
3- 208Pb(e,e’)208Pb
LM
LMtt
FR
FRtt
exp
Giampaolo Co’ Nuclei
Spettro del 16O
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
3-
2-
0-
0-
4-4-
LM LMtt FR FRtt exp
ω
[M
eV]
16O
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.010-6
10-5
10-4
10-3
10-2
R
L [M
eV -1
]
3- (6.13 MeV) 16O(e,e’)16O
LMLMttFRFRtt
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
Tr
ansi
tion
Den
sity
[e/
fm3 ]
LMLMttFRFRttexp
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.010-6
10-5
10-4
10-3
10-2
R
L [M
eV -1
]
qeff [fm -1]
LMLMttFRFRtt
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
Tr
ansi
tion
Den
sity
[e/
fm3 ]
r [fm]
LMLMttFRFRttexp
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.010-12
10-10
10-8
10-6
10-4
R
T [M
eV -1
]
qeff [fm -1]
14-(6.74 MeV) 208Pb(e,e)208Pb
LMLMttFRFRtt
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.010-12
10-10
10-8
10-6
10-4
R
T [M
eV -1
]
qeff [fm -1]
10-(7.36 MeV) 90Zr(e,e’)90Zr
LMLMttFRFRtt
208Pb [(1j15/2)(1i13/2)−1ν ]
90Zr [(1h11/2)(1g9/2)−1ν ]
Giampaolo Co’ Nuclei
1.0 1.5 2.0 2.5 3.010-9
10-8
10-7
10-6
10-5 12- (6.43 MeV) 208Pb(e,e’)208Pb
R
T [M
eV-1
]
LMLMttFRFRtt
1.0 1.5 2.0 2.5 3.010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5 12- (7.08 MeV) 208Pb(e,e’)208Pb
R
T [M
eV -1
]
qeff [fm-1]
LMLMttFRFRtt
Giampaolo Co’ Nuclei
Spettro del 12C
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
2+
3-1-2-1+2-
1+
4-4-
LM LMtt FR FRtt exp
ω
[M
eV]
12C
Giampaolo Co’ Nuclei
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
20 25 30 35 4010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
dσ
/ dω
[10
-42 c
m 2
MeV
-1]
εν [MeV]
12C (ν,ν’) 12C
1+ IV
1+ IS
Giampaolo Co’ Nuclei
12C : 1+ Isoscalare
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.010-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
R
T [M
eV -1
]
qeff [fm -1]
1+(12.71 MeV) 12C(e,e’)12C
LMLMttFRFRtt
Giampaolo Co’ Nuclei
12C : 1+ Isovettoriale
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.010-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
R
T [M
eV -1
]
qeff [fm -1]
1+(15.11 MeV) 12C(e,e’)12C
LMLMttFRFRtt
Giampaolo Co’ Nuclei
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
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10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
20 25 30 35 4010-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
dσ
/ dω
[10
-42 c
m 2
MeV
-1]
ω [MeV]
208Pb (ν,ν’) 208Pb
1+ (IV) 7.302- 4.23
1+ (IS) 5.85
Giampaolo Co’ Nuclei
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0100
101
102
103
104
B
[e2 fm
6]
E [MeV]
3- 16O
44 58 100
Giampaolo Co’ Nuclei
0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ψ
[fm
-3/2
]
r [fm]
cwf1015202530
16O
s1/2
Giampaolo Co’ Nuclei
Continuum Random Phase Approximation
Q†ν =
∑
ph,εp<0
Xph(εp)a†pah −∑
ph,εp<0
Yph(εp)a†hap
+∑
[p]h
∫
dεpXph(εp)a†pah −∑
ph
∫
dεpYph(εp)a†hap
(εp − εh − ω)Xph(εp) +
dis∑
p′h′
[vph,p′h′Xp′h′ + uph,p′h′Yp′h′ ]
+∑
p′h′
∫
dεp′ [v(εp, ε′p)ph,p′h′Xp′h′(ε
′p) + u(εp , ε′p)ph,p′h′Yp′h′(ε
′p)] = 0
(εp − εh + ω)Yph(εp) + ...... = 0
Giampaolo Co’ Nuclei
Continuum Random Phase Approximation
f[p],h(r) =
0∑
p=εF
Xph(εp)Rp(r , εp) +
∫
dεpXph(εp)Rp(r , εp)
g[p],h(r) =
0∑
p=εF
Yph(εp)Rp(r , εp) +
∫
dεpYph(εp)Rp(r , εp)
(h0 − εh − ω)f[p],h(r) = −∑
[p′]h′
∫
dr ′r ′2[
f[p′],h′(r ′)Rh′(r′)Rh(r)v
dirph,p′h′(r , r
′) −
f[p′],h′(r ′)Rh′(r′)Rh(r)v
excph,p′h′(r , r
′) +
g[p′],h′(r ′)Rh′(r′)Rh(r)u
dirph,p′h′(r , r
′) −
g[p′],h′(r ′)Rh(r′)Rh′(r)u
excph,p′h′(r , r
′)]
+ BST
Giampaolo Co’ Nuclei
10 20 30 40 50 600.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
16O
1 -
dσ
/dω
[m
b]
ω [MeV]10 20 30 40 50 60
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
ω [MeV]
% sum rule
Giampaolo Co’ Nuclei
0 30 60 90 120 1500.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
16O
2 +
dσ
/dω
[m
b]
ω [MeV]0 30 60 90 120 150
0.0
0.2
0.5
0.8
1.0
ω [MeV]
% sum rule
Giampaolo Co’ Nuclei
0 40 80 120 160 2000.000
0.010
0.020
0.030
16O
3 -
dσ
/dω
[m
b]
ω [MeV]0 40 80 120 160 200
0.0
0.2
0.5
0.8
1.0
ω [MeV]
% sum rule
Giampaolo Co’ Nuclei
0 20 40 60 80 1000.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
16O
1 +
dσ
/dω
[m
b]
ω [MeV]0 50 100 150 200 250
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2 -
ω [MeV]
Giampaolo Co’ Nuclei
Conclusioni
Stato Fondamentale Stati eccitati
Giampaolo Co’ Nuclei
Conclusioni
Stato Fondamentale
Calcoli con interazionirealisticheinterazione a 3 corpifunzioni di struttura...
Stati eccitati
Giampaolo Co’ Nuclei
Conclusioni
Stato Fondamentale
Calcoli con interazionirealistiche
Stati eccitati
RPA con interazioni a rangefinito e tensore
Trattazione degli spettri discretie continui
Calcoli autoconsistenti neldiscreto
Calcoli autoconsistenti nelcontinuo
Electron e neutrino scatteringcon CRPA
Eccitazioni di cambio carica
Estensione RPA (2p2h)
Giampaolo Co’ Nuclei
Conclusioni
Stato Fondamentale
Calcoli con interazionirealistiche
Stati eccitati
2p-2h RPA con interazioni effettive
Costruzione dell’hamiltoniana effettiva dalla teoria CBF
Giampaolo Co’ Nuclei
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