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情報技術論 (2013/05/13)パーコレーション:浸透の数理
増田 直紀
工学部 計数工学科h+p://www.stat.t.u-‐tokyo.ac.jp/~masuda
masuda@mist.i.u-‐tokyo.ac.jp
• 抽象化:–山火事、感染症、環境破壊 → つながっていたものがつながらなくなること(またはその逆)
• モデル化:–パーコレーション
• 情報技術–インターネットウイルス、情報伝搬などへの応用
サイト・パーコレーション
4
● 確率 q○ 確率 1 - q
一度決めたら動かない(静的)
q < qc q > qcつながりが小さい つながりが大きい
0v 0v
5
● 金属○ 絶縁体
パーコレーションは強力なモデル• 歴史:
– 1941: ブローリー & ストックマイヤー (物理)
– 1957: ブロードベンド & ハマスレー (数学)現象 頂点 枝 ● ○山火事 土地の区画 区画の隣接 木 空き地
混合物 物質の区画 区画の隣接 金属 絶縁体
感染症 人 人の接触 病気 健康
コンピュータ・ウイルス
端末など ケーブル等 感染 正常
インターネットの稼働
端末など ケーブル等 正常 故障
生態系 (1) 生息地 道 正常 機能×
生態系 (2) 生物種 捕食ー被食 種がある 種が絶滅
q(黒石の確率)
(最大)黒石ネットの大きさ
10
?
?
真っ黒真っ白
?
q 10真っ黒真っ白 臨界値(臨界確率)
qc
(最大)黒石ネットの大きさ
•相転移•臨界現象•qc はネットワーク依存
qcqc qq
2つの相の解釈現象 q ≤ qc q > qc山火事混合物感染症
コンピュータ・ウイルス
インターネットの稼働
生態系 (1)生態系 (2)
抑圧されている 広がる
絶縁体 伝導体
抑圧されている 蔓延
抑圧されている 蔓延
分断 全体として稼働
機能× 正常
分断し,不安定 連結で,安定
1次元格子
• q < 1 なら
• したがって qc=1(例外的)
v0
木• 次数 = k
• “遠方” に向かう k-1 頂点のうち1つが黒石ならよい.
• qc = 1/(k-1)
• 他にも
• 正方格子: qc ≈ 0.593
2 種類のパーコレーションサイト・パーコレーション ボンド・パーコレーション
0v0v
2つのパーコレーションの qc
サイト ボンド
1次元
2次元(正方格子)
3次元
木
1 1
約 0.593 0.5
約 0.312 約 0.249
1/(k-1) 1/(k-1)
Poisson Boolean model• ワイアレス機器
• 半径はノードごとに異なる場合も
ボンド・パーコレーションの威力
• 枝が「開いている」確率 = q
• 静的なモデルなのに,実は,動的な感染症モデルに対応
0v
SIR モデル (Kermack & McKendrick, 1927)
健康 (S)病気 (I)免疫 (R)
感染
治癒
λ
μ
• 2 回は感染しない(免疫 or 死)状況
• インフルエンザ
• エイズ
• SARS
• 黒死病
• はしか
• 噂
• 被害の大きさ = 最終的な R の数(割合)
最後は,S と R だけになる
R
I
S
時間
人数
SIR モデルの解析
22
dS(t)
dt=− λS(t)I(t)
dI(t)
dt=λS(t)I(t)− µI(t)
dR(t)
dt=µI(t)
健康 (S) 病気 (I) 免疫(or 死)(R)
�S(t = 0) ≈ 1
I(t = 0) ≈ 0 λ > µ λc = µ23
dS(t)
dt=− λS(t)I(t)
dI(t)
dt=λS(t)I(t)− µI(t)
dR(t)
dt=µI(t)
dI(t)
dt
����t=0
= [λS(t = 0)− µ] I(t = 0) > 0
のときに流行
SIR モデルの相転移
λλc
被害
qqc
ボンド・パーコレーション
q = 1 - exp(-‐λ/μ)
実際のネットワークは?
現象 ネットワーク
山火事
混合物
感染症
コンピュータ・ウイルス
インターネットの稼働
生態系 (1)
生態系 (2)
正方格子
3 次元格子
複雑
複雑
複雑
複雑
複雑
2つのパーコレーションの qc
サイト ボンド
1次元
2次元(正方格子)
3次元
木
スケールフリー
1 1
約 0.593 0.5
約 0.312 約 0.249
1/(k-1) 1/(k-1)
? ?
スケールフリーで何が起こる?
• サイト・パーコレーションで考える– ボンドでも結果は同じ
• スケールフリーとそうでないネットワークを比べる– 次数は揃えておく
• 結論:スケールフリーでは qc が小さく,つながりが広がりやすい– 感染症は広がりやすい
– インターネットや生態系は保たれやすい
0v
問題スケールフリー・ネットワークとスケールフリーでないネットワークでは,どちらが感染が広がりやすいか
説 1
• スケールフリーでは,ハブがたくさんの人に広めるから,スケールフリーの方が感染は広がりやすい.
→ 誤り!
ハブの効果スケールフリーでないネットワーク
スケールフリー・ネットワーク
注:感染ダイナミクスかのように扱っているが,静的としても結果は同じ
ハブ
•自分の友人は自分より有名•ネットワークを歩けばハブに当たる
?4/11
1/11
1/11
1/11
3/11
2/11
6/10
3/10
1/10
ハブがあると• ハブに感染が入りやすい
• ハブは感染を広めやすい
• スケールフリーでは感染が広がりやすい
• インターネットや生態系は保たれやすい
qc =�k�
�k2� − �k�
p(k) = ck−γ =⇒�k2
�=
∞�
k=1
ck2−γ = ∞ (γ ≤ 3)
数式を用いて言うと
• 少しの黒石の割合 q でも,大きく広がる!–嬉しいか嬉しくないか?
–実現象 → 抽象化モデル → モデルに対する数理的結果 → 実現象での解釈
次数の平均
次数の2乗平均
Albert, Jeong & Barabási, 2000; Cohen et al., 2000; Callaway et al., 2000
現象 q < qc q > qc スケールフリーでは
山火事 抑圧されている
広がる -‐
混合物 絶縁体 伝導体 -‐感染症 抑圧されて
いる蔓延 広がりやすい
コンピュータ・ウイルス
抑圧されている
蔓延 広がりやすい
インターネットの稼働
分断 全体として稼働
頑健
生態系 (1) 機能× 正常 頑健
生態系 (2) 分断し,不安定
連結で,安定
頑健
インターネット再考-‐ サイト・パーコレーションをもとに考える
-‐ インターネットなら
-‐ ● 正常稼働.確率 q
-‐ ○ 故障.確率 1−q
-‐ q=1 から q を徐々に減らしてみる
-‐ ○ が増える → 徐々に故障が増える
-‐ スケールフリーなら,大多数が故障 (q ≈ 0) してても浸透が起こる(大部分が1つにつながっている)
0v
選択的攻撃-‐ こちらの好みの順番で白石を置くこと.
-‐ ネットワークを分断するのが目的
-‐ コンピュータ・ウイルス開発者,テロリスト,スパイ
-‐ 感染症なら
-‐ 元のネットワークは「事前」のネットワーク
-‐ ● 健康
-‐ ○ 予防接種
-‐ 少ない予防接種で,感染症の潜在的な危険を減らしたい
-‐ ハブを狙うと効率的
選択的攻撃(ハブから)N=20
q = 1q = 0.95q = 0.9
ランダムな故障(パーコレーション)N=20
q = 1q = 0.95q = 0.9q = 0.85q = 0.8q = 0.75q = 0.7q = 0.65
選択的攻撃の解釈パーコレーション 選択的攻撃
ランダム・クラブ
スケールフリー
インターネットへの攻撃
感染症への予防
中程度 中程度
つながっていやすい 分断しやすい
効果少 効果大
難 容易
結果の善悪は,解釈次第
• ハブを狙って対処すればよい
• 予防接種
• 隔離
• スケールフリー・ネットワークは選択的攻撃に弱いとも.
• しかし,どうやってハブを見つける?
輪状接種• 友達はハブでありやすい
• あなたの友達は,あなたより有名!
• 知人を接種する
• 2 人以上の人から知人として挙げられた人を接種するのも効果的
• ↔ 集団(マス)接種
• ある地域の人を皆接種
• 輪状接種よりも効率が悪い
ハブが全て?
ハブ
橋渡し頂点
→ 「媒介中心性」などの利用
コミュニティ構造をもつネットワーク
広がらない 局所的に広がる 大局的に広がる
重要でない,と見なしたい
故障と攻撃の両方に備える
•次数は2種類だけ • ハブが選択的にやられても大丈夫• ネットワークの
設計
N=10094 頂点は k=36 頂点は k=17
三角形のパーコレーション
コミュニティ検出
• 私の HP の「書籍紹介」 http://www.stat.t.u-tokyo.ac.jp/~masuda/books.html に拙著の情報
• そこからダウンロードできる赤い本の補遺 (PDF) には各種啓蒙書の情報も. 2010 20072006
専門的 一般向け
2012
課題(以下から2つを選択)
• 授業で触れなかった中心性の指標を2つ調べ,それぞれを5行以上で説明せよ.
• ページランクの応用例について,授業に触れなかったものを1つ挙げ(調べたものでも,自分で考えたものでもよい),8行以上で説明せよ.
• SIS モデルについて調べ,SIR モデルとの対比をしながら,10行以上で説明せよ.
• インフルエンザの流行をおさえるのは何故難しいのか.10行以上で自由に論ぜよ.
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