other np complete problems 10 - wmich.eduelise/courses/cs6800/mohamed... · traveling salesman...

Other NP‐Complete Problems10.4

Mohamed M. El Wakil

mohamed@elwakil.netmohamed@elwakil.net

1

AgendaAgenda

• Why?Why?

• How to describe?

d d S bl• Independent Set Problem

• Node Cover Problem

• Directed Hamilton Circuit Problem

• Undirected Hamilton Circuit ProblemUndirected Hamilton Circuit Problem

• Traveling Salesman Problem

2

Remember?Remember?

• A problem P is NP‐Complete If:A problem P is NP Complete If:– P is in NP

• For every problem L in NP there is a polynomial timeFor every problem L in NP, there is a polynomial time reduction from L to P.

• Or, If P1 is NP‐Complete, and there is polynomial time reduction from P1 to P, then P is NP‐Complete.

3

Why?Why?

• When a problem is proved to NP‐CompleteWhen a problem is proved to NP Complete, there is no need to attempt finding an optimal solution for itsolution for it.

E NP C l bl• Every new NP‐Complete problem, re‐assures that all other NP‐Complete problems require 

i l i lexponential time to solve.

4

NP‐Complete problems descriptionNP Complete problems description 

• Name and abbreviationName, and abbreviation.

• Input: how it is represented.

O h h h ll b “ ”• Output: when the output shall be “Yes”

• The other NP‐Complete problem used to prove the NP‐Completeness of the problem at hand.

5

The Independent Set ProblemThe Independent Set Problem

6

Independent SetIndependent Set

• A subset I of the nodes of a graph G is calledA subset I of the nodes of a graph G is called an independent set, if no two nodes in I are connected by an edge in Gconnected by an edge in G.

The red nodes are independent sets– The red nodes are independent sets.

7

Source: MathWorld

The Independent Set Problem (IS)The Independent Set Problem (IS)

• Given a graph G=(V E) and integer k (|V|>k>1)Given a graph G=(V,E) and integer k (|V|>k>1), does G has an independent set of k or more nodes?nodes?

IS i NP C l• IS is NP‐Complete, as1. It is NP.

2. There is polynomial‐time reduction from 3SAT to IS.

8

1. IS is in NP1. IS is in NP

• An IS guess is verifiable in polynomial timeAn IS guess is verifiable in polynomial time using DTM:– Guess a set Gu of k nodes– Guess a set Gu of k nodes.

– Check that no two nodes make an edge in G.

• Hence, IS is in NP

9

2. 3SAT is reducible to IS in polynomial time

• Input :Input : – E=(e1)(e2)…(em). 

E is 3 CNF– E is  3‐CNF

– i.e. E has 3m literals

O t t• Output:– A graph G with 3m nodes, and some edges

– k.

10

NodesNodes• Every node is given a name n[i,j]

i i l b ( ≥i≥1)– i is a clause number (m≥i≥1)– j is a literal number (3≥j≥1)

E• E=– (x1+x2+x3)(~ 1 2 4)– (~x1+x2+x4)

– (~x2+x3+x5)(~x3+~x4+~x5)– (~x3+~x4+~x5)

• A column corresponds to a clause11

Edges 1/2Edges 1/2

• Put an edge between all pairs of nodes in aPut an edge between all pairs of nodes in a column.

12

Edges 2/2Edges 2/2

• Put an edge between every complementaryPut an edge between every complementary pair of nodes.

13

kk

• IS’s k is set to be 3SAT’s mIS s k is set to be 3SAT s m

h i ll!• That is all!

14

ExampleExample

15

The Vertex Cover ProblemThe Vertex Cover Problem

16

Node/Vertex Cover (NC/VC)Node/Vertex Cover (NC/VC)

• A vertex cover of a graph G=(V E) is a subsetA vertex cover of a graph G=(V,E), is a subset of V, such that for every edge in E=(u,v), either u or v is in Vu or v is in V.

V’ {1 3 5 6} i• V’={1,3,5,6} is vertex cover

• V’’={2,4,5} is another vertex coverSource: Wikipedia

17

Vertex Cover ProblemVertex Cover Problem

• Given a graph G=(V E) and integer kGiven a graph G=(V,E), and integer k (|V|>k>0), does G have a vertex cover with k or fewer nodes?or fewer nodes?

VC i NP C l• VC is NP‐Complete, as1. It is NP.

2. There is polynomial‐time reduction from IS to VC

18

1. VC is in NP1. VC is in NP

• A VC guess is verifiable in polynomial timeA VC guess is verifiable in polynomial time using DTM:– Guess Gu a set of k nodes– Guess Gu a set of k nodes.

– Check that each edge in G, has at least one end node in Gunode in Gu.

• Hence, VC is in NP

19

2. IS is reducible to VC in polynomial time

• VC is the complement of IS!VC is the complement of IS!

• If I is largest independent set of graph G=(V,E), then V I is a smallest vertex cover of Gthen V‐I, is a smallest vertex cover of G.– {1,3,5,6} is VC {2,4} is an IS

{2 4 5} i VC {1 3 6} i IS– {2,4,5} is VC  {1,3,6} is an IS

Source: Wikipedia

20

IS reduction to VCIS reduction to VC

• IS Reduction to VC:IS Reduction to VC:– The VC instance G is a copy of the VC instance G.

The VC instance k is |V| k where k is IS k– The VC instance k is |V|‐kis, where kis is IS k.

• Obviously, this could be done in polynomial time.

21

The Directed HamiltonThe Directed Hamilton Circuit ProblemCircuit Problem

22

A Hamilton CircuitA Hamilton Circuit

• A Hamiltonian circuit is a cycle in a graphA Hamiltonian circuit is a cycle in a graph which visits each vertex exactly once.

• Example:– Graph: Blue

– HC: Black

Source: Wikipedia

23

Directed Hamilton Circuit Problem ( )(DHC)

• Given a directed graph G, does it have aGiven a directed graph G, does it have a Hamilton circuit?

• DHC is NP‐Complete, as1 It is NP1. It is NP.2. There is polynomial‐time reduction from 3SAT to 

DHCPDHCP

24

Source: Wikipedia

1. DHC is in NP1. DHC is in NP

• A DHC guess is verifiable in polynomial timeA DHC guess is verifiable in polynomial time using DTM:– Guess Gu a cycle in G– Guess Gu a cycle in G.

– check if all needed edges are in G.

H DHC i i NP• Hence, DHC is in NP

25

2. 3SAT is reducible to DHC in l lpolynomial time

• This is rather lengthy so we will skip it!This is rather lengthy, so we will skip it!

26

The Undirected HamiltonThe Undirected Hamilton Circuit ProblemCircuit Problem

27

Undirected Hamilton Circuit Problem ( )(HC)

• Given an undirected graph G does G have aGiven an undirected graph G, does G have a Hamilton circuit?

• HC is NP‐Complete, as– HC is in NP

– There is a polynomial time reduction from DHC to HC. 

28

HC is in NPHC is in NP

• A HC guess is verifiable in polynomial timeA HC guess is verifiable in polynomial time using DTM:– Guess Gu a cycle in G– Guess Gu a cycle in G.

– check if all needed edges are in G.

H DHC i i NP• Hence, DHC is in NP

29

2. DHC is reducible to HC in polynomial time

• Input:Input:– Directed graph Gd

• Output– Undirected graph Gu

30

Constructing Gu ‐ NodesConstructing Gu Nodes

• For every node v in Gd there are three nodesFor every node v in Gd, there are three nodes (v0,v1,v2) in Gu

31

Constructing Gu ‐ EdgesConstructing Gu Edges

• Edges:Edges:– For all nodes in Gd, there are two edges in Gu(v0 v1) and (v1 v2)(v0,v1), and (v1,v2).

– If there is an edge (v w) in Gd, then add edge (v2,w0) to Gu(v2,w0) to Gu

32

The Traveling SalesmanThe Traveling SalesmanProblemProblem

33

Traveling Salesman

A salesman wants to visit all these cities, incurring the leastincurring the least possible cost.

In graph terminology, we want to have a Hamilton circuit  with the minimum summation of edges weights.

34

Traveling Salesman Problem (TSP)Traveling Salesman Problem (TSP)

• Given an undirected weighted graph G, and aGiven an undirected weighted graph G, and a number k, is there a Hamilton circuit in G, such that the sum of the weights on the edges of the HC is less than or equal k?

•• TSP is NP‐Complete, as

– TSP is in NP.– There is a polynomial time reduction from HC to TSP. 

35

TSP is in NPTSP is in NP

• A TSP guess is verifiable in polynomial timeA TSP guess is verifiable in polynomial time using DTM:– Guess an itinerary (i e cycle) in G– Guess an itinerary (i.e. cycle) in G

– Check if the sum of the weights of all involved edges is less than or equal kedges is less than or equal k.

• Hence TSP is in NP• Hence, TSP is in NP

36

2. HC is reducible to TSP in polynomial time

• Input:Input:– Undirected graph Ghc

• Output– Undirected weighted graph Gtsp

– Number k

37

Constructing TSP instanceConstructing TSP instance

• Gtsp nodes:tsp– A copy of Ghc nodes

G d• Gtsp edges:– A copy of Ghc edges– Set the weight of all edges to be 1Set the weight of all edges to be 1

• k– Set k to be the number of nodes of Ghchc

• Evidently, this is polynomial time reduction

38

Conclusion• Proving NP‐Completeness i !

Conclusion

is not easy!– The problem must be 

d b NPproved to be NP

– There should be a l i l ti d tipolynomial time reduction 

from another NP‐Complete problem!problem!

39

That’s all folks!That s all folks!

Questions?

40