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Leif Walter Institute of
Flight System Dynamics
Optimal Control in Air Traffic Management
DGLR Workshop
“Bestimmung optimaler Trajektorien im Air Traffic Management”
23.04.2013
Deutsche Flugsicherung GmbH, Langen
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Leif Walter Institute of
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. Hintergrund und Motivation
. Optimalsteuerung
. Initiale Resultate und Roadmap
Inhalt
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Hintergrund und Motivation
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Hintergrund und Motivation
• Lösung des Space Shuttle Reentry Problems mit Methoden der Optimalsteuerung
• Optimierung in ATM:
– Wegpunkt-Optimierung und Approximation der Trajektorien durch B-Splines
– Multi-Agent Optimierung
– Lineare Optimierung zur Wegpunkt-Generierung
– ...
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Hintergrund und Perspektive
• Perspektive der Optimalsteuerung
– Betrachtung des Flugverkehrs aus einer Gesamtansicht
– Automatische und optimale Steuerung aller beteiligten Flugzeuge unter Einhaltung von Pfadbeschränkungen
Verkehrssituation
Generierung eines Optimal
Control Problems
Ground-System Optimierung
Ground-to-air
Data Comm
FMS/Pilot Realisierung
Steuere alle Flugzeuge simultan
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Optimalsteuerung
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Optimalsteuerung
• Finde einen optimalen Steuerungsverlauf u(t), der einen dynamischen Prozess dx/dt = f(t,x,u) von seinem Anfangszustand x0, zu seinem Endzustand xf, auf optimaler Weise führt.
• Der Prozess sei dabei Gegenstand von Pfadbeschränkungen auf Zustandsvariablen x(t) und Steuergrößen u(t).
US Navy, SM-3 Interceptor Soyuz Spacecraft
Nissan Skyline GT-R34
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Direct Transcription – Zustands-Diskretisierung und Steuerungs-Parametrisierung
Optimalsteuerung: Direkte Methode (1/2)
min J(u,x)
s.t. dx/dt = f(t,x,u)
g(t,x,u) = 0
h(t,x,u) ≥ 0
Ceq(tf,xf) = 0
Cineq(tf,xf) ≥ 0
min F(ω)
G(ω) = 0
H(ω) ≥ 0
Optimal Control Solver • NLP Solver based on Sequential Quadratic
Programming • State Discretization • BFGS Hessian Approximation • Numerical Integrator • Armijo Line Search • …
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Optimalsteuerung: Direkte Methode (2/2)
• Schritt 1: Transkription
– Zustandsdiskretisierung
– Parametrisierung der Steuergrößen
• Schritt 2: Lösen des NLP
– Iterativer Abstiegsalgorithmus
• ωk+1 = ωk + αkdk
• Erhalte Suchrichtung dk aus Lösung eines quadratischen Hilfsproblems
• Bestimme Schrittweite αk durch Armijo-Bedingung o.ä.
• Für jede Iteration – Überprüfe
– Nebenbedingungen
– Endpunkt-Bedingungen
– Zielfunktion
• Schritt 3: Re-Transkription der Lösung
– Erhalte finale Trajektorien aus Lösung
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All-at-once Perspektive: Multiple Shooting
• Beispiel: Lotka-Voltera Räuber-Beute-Dynamik
• Simuliere Prozess und optimiere Steuerungen parallel
– Identifiziere Multiple Shooting Stützstellen si [Simulation]
– Identifiziere Steuerungen u(t) und Parameter p [Optimierung]
2 Zustände, 4 Parameter, 1 Steuerungsfunktion – 20 Variablen, ω=(s,p,u)T
2.6 s
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minp ½pTHkp + (δFk/δx)Tp + Fk
(δG/δx)Tp + Gk = 0
(δH/δx)Tp + Hk ≥ 0
minp ½pTHkp + (δFk/δx)Tp + Fk
(δG/δx)Tp + Gk = 0
(δH/δx)Tp + Hk ≥ 0
Nichtlineare Optimierung (1/2)
• Aufgabe: Löse nichtlineares Optimierungsproblem für Vektor ω
• Lagrange-Ansatz
– δL/δx = δF/δx – (δG/δx)Tλ – (δH/δx)Tμ = 0
– Erhalte Suchrichtung dk aus quadratischem Hilfsproblem
• Taylorentwicklung von L
• Linearisierung der Nebenbedingungen
min F(ω)
G(ω) = 0
H(ω) ≥ 0
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Nichtlineare Optimierung (2/2)
• Gradienten-Matrix bzw. Hesse-Matrix enttscheidend für die Performance des Algorithmus
– Ausnutzen der Struktur („Kondensierung“)
– Verwendung effizienter Update Verfahren zur Erzeugung der Hesse-Matrix (BFGS ...)
– Geschickte Problemskalierung
• Idealfall: Hessematrix nahe Identität in optimalem Punkt
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Optimalsteuerung: Zusammenfassung
• Optimalsteuerung im Bereich ATM bedeuted nicht
– Entscheidungsbäume
– Instrinsische Lösungsheuristik
– Verschiedene Lösungen untersuchen
• Stattdessen ↔ F‘(x) = 0
– Übersetzung des Problems in ein mathematisches Optimierungsproblem
– Übersetzung der mathematischen Lösung in eine realisierbare und kommunizierbare Situationslösung
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Initiale Resultate und Roadmap
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Convergence achieved – Hmm...
• Erstes Resultat – August 2011
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Lessons Learned
• Abbildung des Optimalsteuerungsproblems muss zu adäquaten Lösungen führen
– Zielfunktion
– Nebenbedingungen
– Dynamisches System
• Algorithmische Details
– Lokale Minima vermeiden
– Wahl der Hesse-Matrix Approximation
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Beispielszenario (1/2)
• Lösung eines menschlichen Lotsen
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Beispielszenario (2/2)
• Lösung des Algorithmus, MinSep 7.5 NM
Flugzeuge von links nach rechts
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Ergebnisse (1/3)
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Ergebnisse (2/3)
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Ergebnisse (3/3)
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Roadmap
• Initiale Fragestellungen (Anfang 2012)
– Welche Schwierigkeiten ergeben sich aus einer multikriteriellen Zielfunktion?
– Wie kann man adäquate Anfangswerte für die Optimierung generieren?
– Generierung von kommunizierbaren Lösungen
– Betrachtung von kontinuierlichen Szenarien mit „vielen“ Flugzeugen
– Closed-Loop Algorithmen zur Kompensierung von Fehlern und Ungenaugkeiten
• Ausblick (April 2013)
– Erweiterung der Modellierung auf 3D Szenarien
– Interface zum AFS Simulator
– Implementierung von Wind- und Wettereffekten
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