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Produccion Comportamiento empresa Costes

Microeconomia Avanzada 1

Sjaak Hurkens

Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 1/53

Teorıa de la Empresa

produccion

costes

conducta de la empresa

Produccion

Definicion (Plan de produccion)

Un plan de produccion para la empresa j, es un vectorl-dimensional yj = (yj1, ..., yjl) ∈ IRl donde yjk > 0 denota unoutput para la empresa j, yjk < 0 denota un input, y yjk = 0representa que la mercancıa k no forma parte del proceso deproduccion de la empresa j.

Produccion

Definicion (Conjunto de prosibilidades de produccion)

El conjunto de posibilidades de produccion de la empresa j, quedenotamos como Yj ⊂ IRl , es el conjunto de todos los planes deproduccion tecnicamente viables.

Produccion

output

input0

Figure: El conjunto de posibilidades de produccion

Produccion

Definicion (Tecnologıa)

Una tecnologıa para una empresa es un proceso que permitetransformar unas mercancıas (inputs) en otras (outputs).

Produccion: supuestos propiedades de Yj

(i) Yj es no vacıo y cerrado.

(ii) Sin input no hay output (no free lunch).

(iii) Posibilidad de suspender la actividad.

(iv) “Free disposal”.

(v) Irreversibilidad de la produccion.

(ii) Sin input no hay output (no free lunch).No es posible producir algo a partir de nada. Formalmente, siyj ∈ Yj tal que ∀k , yjk ≥ 0, entonces, yj = 0.

(iii) Posibilidad de suspender la actividad.Esta propiedad dice 0 ∈ Yj .

(iv) “Free disposal”.Esta propiedad nos dice que la empresa puede eliminar sincoste las mercancıas (inputs o outputs) que tiene en exceso.Formalmente, si y 1

j ∈ Yj y y 2j es tal que

y 2jk ≤ y 1

jk , k = 1, 2, . . . , l , entonces y 2j ∈ Yj .

(v) Irreversibilidad de la produccion.Esta propiedad dice que no es posible cambiar el papel de losinputs y de los outputs en el proceso de produccion, exceptoen el caso trivial de la inactividad. Formalmente, siyj = (yj1, yj2, . . . , yjl) es un plan de produccion, el plan deproduccion −yj = (−yj1,−yj2, . . . ,−yjl) que obtenemoscambiando los inputs por outputs y viceversa no es factible.

Produccion: posibles propiedades

(vi) rendimientos no crecientes a escala:

yj ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λyj ∈ Yj

(a) (b)0

output

input0

output

!yj!yj

Figure: Rendimientos no crecientes a escala.

(vi) rendimientos no crecientes a escala:

yj ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λyj ∈ Yj

(a) (b)0

output

input0

output

!yj!yj

Figure: Rendimientos no crecientes a escala.

(vii) rendimientos no decrecientes a escala:

yj ∈ Yj , λ ≥ 1⇒ λyj ∈ Yj

(viii) rendimientos constantes a escala:

output

Figure: Rendimientos constantes a escala.

(viii) rendimientos constantes a escala:

output

Figure: Rendimientos constantes a escala.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 10/53

(ix) aditividad:

y 1j , y

2j ∈ Yj ⇒ y 1

j + y 2j ∈ Yj

(x) convexidad:

y 1j , y

2j ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λy 1

j + (1− λ)y 2j ∈ Yj

(x) convexidad:

y 1j , y

2j ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λy 1

j + (1− λ)y 2j ∈ Yj

La convexidad combina varias ideas:- La perfecta divisibilidad de los planes de produccion- Los rendimientos no crecientes ( si 0 ∈ Yj)- Si consideramos dos planes de produccion que generan el mismooutput pero utilizan diferentes combinaciones de inputs, podemosconstruir un nuevo plan de produccion utilizando una mediaponderada de los inputs de los dos planes de produccion anterioresy el output resultante sera como mınimo tan grande como elcorrespondiente a los planes de produccion iniciales.

(x) convexidad:

output

Figure: ConvexidadSjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 12/53

Produccion

Distingir inputs (z) y outputs (y):

yj = (zj1, zj2, . . . , zjν ; yjν+1, yjν+2, . . . , yjl) = (zj , yj),

donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yj ∈ Yj ⊂ IRl−ν . Dada la convencion deinputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν yyjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l .

Definicion (Conjunto de necesidades de inputs)

Dado un vector de outputs yj ∈ Yj , el conjunto de necesidades deinputs asociado es

Vj(yj) = {zj : (zj , yj) ∈ Yj}.

Produccion

Distingir inputs (z) y outputs (y):

yj = (zj1, zj2, . . . , zjν ; yjν+1, yjν+2, . . . , yjl) = (zj , yj),

donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yj ∈ Yj ⊂ IRl−ν . Dada la convencion deinputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν yyjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l .

Definicion (Conjunto de necesidades de inputs)

Dado un vector de outputs yj ∈ Yj , el conjunto de necesidades deinputs asociado es

Vj(yj) = {zj : (zj , yj) ∈ Yj}.

Produccion

Sobre el conjunto Vj(yj) vamos a introducir dos propiedades:

(i) Vj(yj) es comprensivo.Formalmente, ante dos vectores de inputs z1

j y z2j si

z1j ∈ Vj(yj) y z2

j ≤z1j , entonces z2

j ∈ Vj(yj).

(ii) Vj(yj) es convexo.

(iii) nesting: Si y 1j ≥ y 2

j , entonces Vj(y 1j ) ⊆ Vj(y 2

Produccion

j y z2j si

z1j ∈ Vj(yj) y z2

j ∈ Vj(yj).

Produccion

j y z2j si

z1j ∈ Vj(yj) y z2

j ∈ Vj(yj).

Produccion

Qj(yj)

Vj(yj)

Vj(y2j )

Vj(y1j )

(a) (b)

Figure: Conjunto de necesidades de inputs

Produccion

Definicion (Isocuanta)

Dado un vector de outputs yj , definimos la isocuanta asociadacomo la frontera de su conjunto de necesidades de inputs.Formalmente,

Qj(yj) = {zj : (zj , yj) ∈ Yj ,

(zj , y′j ) 6∈ Yj , para cualquier y

′j ≥ yj , y

′j 6= yj

Produccion

Definicion (La funcion de transformacion)

Fj : IRl → IR tal que

Yj = {yj ∈ IRl : Fj(yj) ≤ 0}.

input0

outputyj

{yj : Fj(yj) = 0}

Yj = {yj : Fj(yj) ! 0}

Figure: La funcion de transformacion.

Produccion

Definicion (La funcion de transformacion)

Fj : IRl → IR tal que

Yj = {yj ∈ IRl : Fj(yj) ≤ 0}.

input0

outputyj

{yj : Fj(yj) = 0}

Yj = {yj : Fj(yj) ! 0}

Figure: La funcion de transformacion.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 17/53

Produccion

Definicion (tasa marginal de transformacion)

TMThk(y j) = −

∂Fj(y j)

∂yjh

∂Fj(y j)

∂yjk

TMT es la pendiente de la frontera de transformacion.

Produccion

Caso especial: un unico output

Definicion (funcion de produccion)

fj : IRl−1 → IR

input0

output

y = fj(z)

Figure: La funcion de produccion.

Produccion

Definicion (relacion tecnica de de sustitucion)

RTS = TMT

RTShk(y) = −

∂fj(zj)

∂zjh

∂fj(zj)

∂zjk

RTS es la pendiente de la isocuanta correspondiente al nivel deproduccion y .

Produccion

Ejemplo (La tecnologıa Cobb-Douglas)

Conjunto de produccion

Y = {(−z1,−z2, y) ∈ IR2−×IR/y ≤ zα1 zβ2 }, α, β ∈ IR+

Cuando α + β > 1 la tecnologıa exhibe rendimientoscrecientes; si α + β = 1 los rendimientos sonconstantes; si α + β < 1 tenemos rendimientosdecrecientes.

Produccion

Conjunto de necesidades de inputs

V (y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2−/y ≤ zα1 zβ2 }

Produccion

IsocuantasQ(y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2

−/y = zα1 zβ2 }

Produccion

Funcion de produccionf (z1, z2) = zα1 zβ2

Produccion

Ejemplo (La tecnologıa Leontieff)

Conjunto de produccion

Y = {(−z1,−z2, y) ∈ IR2− × IR/y ≤ min{az1, bz2}}

Produccion

Conjunto de necesidades de inputs

V (y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2−/y ≤ min{az1, bz2}}

Produccion

Isocuantas

Q(y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2−/y = min{az1, bz2}}

Produccion

Funcion de produccion

f (z1, z2) = min{az1, bz2}

Produccion

V (y2)

Figure: Las tecnologıas Cobb-Douglas y Leontieff.

Produccion

Propiedades de la funcion de produccion

(i) fj es no decreciente. (free disposal)

(ii) fj es cuasiconcava. (convexidad conj. nec. de inputs)

(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si

∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).

(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si

∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).

(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si

∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).

Produccion

La elasticidad de sustitucion mide la variacion porcentual delcociente entre dos inputs h y k con respecto a la variacionporcentual de la RTS asociada en un punto y . Formalmente,

Definicion (elasticidad de sustitucion)

σhk =

∂(zjk/zjh)

(zjk/zjh)

∂RTShk

∣∣∣y

=∂(zjk/zjh)

∂RTShk

(zjk/zjh)

∣∣∣y.

Ejemplo CES: f (z1, z2) = (zρ1 + zρ2 )1/ρ (ρ < 1, ρ 6= 0)

1− ρ

Produccion

La elasticidad de sustitucion mide la variacion porcentual delcociente entre dos inputs h y k con respecto a la variacionporcentual de la RTS asociada en un punto y . Formalmente,

Definicion (elasticidad de sustitucion)

σhk =

∂(zjk/zjh)

(zjk/zjh)

∂RTShk

∣∣∣y

=∂(zjk/zjh)

∂RTShk

(zjk/zjh)

∣∣∣y.

Ejemplo CES: f (z1, z2) = (zρ1 + zρ2 )1/ρ (ρ < 1, ρ 6= 0)

1− ρ

Produccion

! = 0 ! =!

Figure: Convexidad y substituibilidad.

Produccion

La elasticidad de escala mide el aumento porcentual queexperimenta el nivel de produccion cuando se aumentan todos losfactores en la misma proporcion. El interes de esta medida vienedado porque una funcion de produccion puede presentarrendimientos crecientes a escala para ciertos niveles de los factoresy rendimientos decrecientes a escala para otros. Ello genera lanecesidad de definir una medida local de los rendimientos a escala.

Produccion

Definicion (La elasticidad de escala)

e(zj) =

∂fj(αzj)

fj(αzj)

∣∣∣∣∣α=1

=∂fj(αzj)

fj(αzj)

∣∣∣α=1

∑nk=1

∂fj∂zjk

fj(zj)

e(zj) > 1: rendimientos crecientes localmentee(zj) = 1: rendimientos constantes localmentee(zj) < 1: rendimientos decrecientes localmente

Produccion

Observacion: elasticidad de produccion del input k

∂fj∂zjk

fj(zj)=

PMargk

PMedk= ek(zj)

Ejemplo: f (z1, z2) = A(1 + z−α1 z−β2 )−1 (α, β > 0)

Comportamiento de la empresa

Suponemos que la empresa esta intersada en maximizar beneficios:

maxyj∈YJ

Πj(p, yj) = maxyj∈YJ

o, equivalente,

pkyjk s.a. Fj(yj) ≤ 0

No siempre existe una solucion!

Comportamiento de la empresa

Suponemos que la empresa esta intersada en maximizar beneficios:

maxyj∈YJ

Πj(p, yj) = maxyj∈YJ

o, equivalente,

pkyjk s.a. Fj(yj) ≤ 0

No siempre existe una solucion!

Comportamiento empresa

tg! = "

tg# = !p1

(a) (b)

Figure: Equilibrio y RCE.

si α >p1

p2no hay equilibrio puesto que la empresa puede

escoger yj arbitrariamente grande y obtener beneficiosarbitrariamente grandes.

tg! = "

tg# = !p1

(a) (b)

si α =p1

p2cualquier plan de produccion es una solucion al

problema del productor. En todos estos equilibrios, sinembargo el beneficio de la empresa es nulo.

tg! = "

tg# = !p1

(a) (b)

si α <p1

p2hay un unico equilibrio en el que la empresa obtiene

beneficios nulos.

Si la funcion de transformacion es diferenciable, podemoscaracterizar la solucion del problema del productor a partir de lascondiciones de primer orden,

∂Πj(yj)

∂yjk= pk − λ

∂Fj(yj)

∂yjk= 0, k = 1, 2, . . . , l .

TambienTMThk(yj) = −ph

correspondencia de oferta

ηj(p) = {yj ∈ Yj :l∑

pkyjk es maximo}.

Si este conjunto tiene un unico elemento lo denotamos y∗j (p) y lodenominamos la funcion de oferta.

Si la funcion de transformacion es diferenciable, podemoscaracterizar la solucion del problema del productor a partir de lascondiciones de primer orden,

∂Πj(yj)

∂yjk= pk − λ

∂Fj(yj)

∂yjk= 0, k = 1, 2, . . . , l .

TambienTMThk(yj) = −ph

correspondencia de oferta

ηj(p) = {yj ∈ Yj :l∑

pkyjk es maximo}.

Si este conjunto tiene un unico elemento lo denotamos y∗j (p) y lodenominamos la funcion de oferta.

El caso de un output:

maxzj≥0

pfj(zj)−l−1∑

wk · zjk .

Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0))

p∂fj(zj)

∂zjk− wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1

El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk/p).(ingreso marginal = coste marginal)La relacion tecnica de sustitucion entre dos inputs es igual al ratiode sus precios,

RTShk = −wh/wk

maxzj≥0

pfj(zj)−l−1∑

wk · zjk .

p∂fj(zj)

∂zjk− wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1

El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk/p).(ingreso marginal = coste marginal)

La relacion tecnica de sustitucion entre dos inputs es igual al ratiode sus precios,

RTShk = −wh/wk

maxzj≥0

pfj(zj)−l−1∑

wk · zjk .

p∂fj(zj)

∂zjk− wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1

El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk/p).(ingreso marginal = coste marginal)La relacion tecnica de sustitucion entre dos inputs es igual al ratiode sus precios,

RTShk = −wh/wk

.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 33/53

!F (yj(p))

tg! = !p1/p2

{yj :!

pkyjk = !}

{yj :!

pkyjk = "!}

Figure: La maximizacion del beneficio.

Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)

i) Πj(p) es homogenea de grado uno;

ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces

Yj = {yj ∈ IRl :∑

k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es

un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y

∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.

i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;

iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces

∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;

iv) Si Yj es convexo, entoncesYj = {yj ∈ IRl :

∑k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};

v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es

∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces

k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};

v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es

∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;

vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) esun conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;

vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;

vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

∗jl )}, entonces

∂Πj

∣∣∣p

= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;

Demostracion Lema de HotellingSea ηj(p∗) una solucion del problema del productor a los preciosp∗. Da beneficios Πj(p∗) = p∗ηj(p∗).

Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k .Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continuautilizando ηj(p∗).

pky!jk +

p!hy!jh

!j(p!1, . . . , p

!k"1, p

!k+1, . . . , p

Figure: El lema de Hotelling.

Dado que las dos funciones son tangentes en el punto p∗k , lasderivadas de ambas funciones deben ser iguales, y la derivada de lafuncion lineal es y∗jk .

Demostracion Lema de HotellingSea ηj(p∗) una solucion del problema del productor a los preciosp∗. Da beneficios Πj(p∗) = p∗ηj(p∗).Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k .Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continuautilizando ηj(p∗).

pky!jk +

p!hy!jh

!j(p!1, . . . , p

!k"1, p

!k+1, . . . , p

Demostracion Lema de HotellingSea ηj(p∗) una solucion del problema del productor a los preciosp∗. Da beneficios Πj(p∗) = p∗ηj(p∗).Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k .Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continuautilizando ηj(p∗).

pky!jk +

p!hy!jh

!j(p!1, . . . , p

!k"1, p

!k+1, . . . , p

Ejemplo: Cobb-Douglasf (z1, ..., zn) =

∏ni=1 zαi

i donde αi > 0 y∑αi < 1.

Calcularla funcion de oferta,la funcion de beneficios.

La oferta agregadaSea yj la oferta (plan de produccion) de la empresa j .Entonces y =

∑j yj es la oferta agregada.

El conjunto de produccion total esY =

⊎j Yj := {y1 + ...+ yN : yj ∈ Yj}.

Entonces

0 ∈ Y ,

−IRl+ ⊂ Y ,

Y es convexo,

Y ∩ (−Y ) ⊂ {0}. (este es un supuesto!)

La oferta agregadaSea yj la oferta (plan de produccion) de la empresa j .Entonces y =

∑j yj es la oferta agregada.

El conjunto de produccion total esY =

⊎j Yj := {y1 + ...+ yN : yj ∈ Yj}.

Entonces

0 ∈ Y ,

−IRl+ ⊂ Y ,

Y es convexo,

Y ∩ (−Y ) ⊂ {0}. (este es un supuesto!)

Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) comoη : IRl

+ ⇒ Y ,

η(p) =⊎

ηj(p).

Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada

1 η(p) es homogenea de grado cero en p;

2 η(p) es cerrado y convexo para todo p ∈ IRl+;

3 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, η(p) es

hemicontinua superior en p.

4 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, los

beneficios agregados se maximizan si y solo si cada empresamaximiza sus beneficios individualmente, cuando las empresastoman el sistema de precios p como dado.

Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) comoη : IRl

+ ⇒ Y ,

η(p) =⊎

ηj(p).

Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada

1 η(p) es homogenea de grado cero en p;

2 η(p) es cerrado y convexo para todo p ∈ IRl+;

3 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, η(p) es

hemicontinua superior en p.

4 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, los

beneficios agregados se maximizan si y solo si cada empresamaximiza sus beneficios individualmente, cuando las empresastoman el sistema de precios p como dado.

Costes

El problema de la empresa de minimizar costes de produccion estamuy relacionado con su problema de maximizar beneficios.Ademas, minimizar costes es siempre posible, incluso cuandoexisten rendimientos crecientes de escala o cuando el mercado deoutputs no es competitivo.

Costes

minimizar costes

wzj sujeto a zj ∈ Vj(yj)

La solucion z∗j (w , yj) la denominamos funcion de demandacondicionada de los factores.

El valor de la combinacion de inputs solucion de esteproblema (wz∗j (w , y)) es una funcion cj(w , yj) que denominamosfuncion de coste.

Costes

minimizar costes

Costes

minimizar costes

Costes

La figura representa la solucion del problema de minimizacion decoste para el caso de dos inputs. En esta figura representamos lafuncion de costes a partir del mapa de lıneas isocoste y el conjuntode requerimientos de inputs asociado al vector de produccion yj .

Vj(yj)

z!j2 zj2

Figure: La minimizacion del coste.

Costes

Las propiedades de la funcion de coste cj(w , yj) son las siguientes:

i) La funcion de coste es homogenea de grado uno en w ;

ii) La funcion de coste es no decreciente en yj ;

iii) La funcion de coste es concava en w ;

iv) La funcion de coste es continua en w .

Costes

Cj(w!1, . . . , w

!k"1, w

!k+1, . . . , w

w!k wk

wkz!jk +

Figure: La concavidad de la funcion de coste.

Costes

La funcion de demanda condicionada de factores z∗j (w , yj)satisface las propiedades siguientes:

i) z∗j es homogenea de grado cero en w . Es decir, si z∗jsoluciona el problema de la minimizacion de coste para(w , yj), entonces tambien es una solucion minimizadora decoste para (αw , yj), α > 0.

ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones delproblema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;

iii) (Lema de Shephard) Entonces,

z∗jk =∂cj(w , yj)

∣∣∣(w∗,yj )

, k = 1, 2, . . . , n.

iv) Si z∗j (w) es una funcion diferenciable en w , entonces

Dzj(w , yj) = D2cj(w , yj) es una matriz simetrica ysemidefinida negativa con Dz∗j (w , yj)w = 0.

Costes

i) z∗j es homogenea de grado cero en w .

ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones delproblema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;Si Vj(yj) es estrictamente convexo, la solucion es unica.

∣∣∣(w∗,yj )

, k = 1, 2, . . . , n.

Costes

i) z∗j es homogenea de grado cero en w .ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones del

problema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;iii) (Lema de Shephard) Supongamos que cj(w , yj) es

continuamente diferenciable en w (para un yj dado) al vectorde precios w∗. Sea z∗j una solucion del problema deminimizacion del coste para (w∗, yj). Entonces,

∣∣∣(w∗,yj )

, k = 1, 2, . . . , n.

Costes

i) z∗j es homogenea de grado cero en w .

ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones delproblema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;

∣∣∣(w∗,yj )

, k = 1, 2, . . . , n.

Costes: dualidad costes y produccion

Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

z2 =βw1

αw2z1

y = Azα1 zβ2 = Azα1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

RTS12 = −w1/w2

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

RTS12 = −w1/w2

−Aαzα−11 zβ2

Aβzα1 zβ−12

= −w1

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

−Aαzα−11 zβ2

Aβzα1 zβ−12

= −w1

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

minz1,z2

w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y

z2 =βw1

αw2z1

)β= A

)βzα+β

z1 = z1(w , y) =

(yA−1

)−β) 1α+β

z2 = z2(w , y) =

(yA−1

)−α) 1α+β

Costes

Ejemplo (cont.) Funcion de coste:

c(w , y) = w1z1(w , y) + w2z2(w , y)

α+β A−1

) −βα+β

) −αα+β

α+β A−1

[(αβ

) βα+β

+(αβ

)− αα+β]w

αα+β

c(w , y) = w2y − w 22

la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?

Entoncesy = z2 +

2w1(1)

2w1= z

Finalmente, obtenemos la funcion de produccion:

f (z) = y = z12

1 + z2.

c(w , y) = w2y − w 22

la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores:

z∗1 (w , y) =∂c

∂w1=

z∗2 (w , y) =∂c

∂w2= y − w2

2w1(2)

Entoncesy = z2 +

2w1(3)

2w1= z

f (z) = y = z12

1 + z2.

c(w , y) = w2y − w 22

la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores:

z∗1 (w , y) =∂c

∂w1=

z∗2 (w , y) =∂c

∂w2= y − w2

2w1(2)

Entoncesy = z2 +

2w1(3)

2w1= z

f (z) = y = z12

1 + z2.

c(w , y) = w2y − w 22

la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?Entonces

y = z2 +w2

2w1(1)

2w1= z

f (z) = y = z12

1 + z2.

Costes

En general, podemos recuperar la tecnologıa o funcion deproduccion a partir de la funcion de costes cj(w , y):

fj(zj1, . . . , zjl−1) = max{y :l−1∑

wkzjk ≥ cj(w , y),w ∈ IRl−1+ }.

Costes

En el caso de una funcion de produccion continua, estrictamentecreciente y estrictamente cuasi-concava y, que ademas eshomotetica, calcular funcion de coste y demandas condicionadas defactores es mas facil.

!z1!z1

f(!z) = !y f(!z) != !y

f(z) = yf(z) = y

Figure: Homogeneidad y homoteticidad.

Costes

Definicion (Homoteticidad)

Una funcion fj es homotetica si

∀(z1j , z

2j ) ∈ Zj tal que fj(z1

j ) = fj(z2j ) yα ∈ IR+

entonces fj(αz1j ) = fj(αz2

!z1!z1

f(!z) = !y f(!z) != !y

f(z) = yf(z) = y

Costes

!z1!z1

f(!z) = !y f(!z) != !y

f(z) = yf(z) = y

Costes

Teorema

Si la funcion de produccion es continua, estrictamente creciente,estrictamente cuasi-concava y homotetica, entonces

1 c(w , y) = h(y)c(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente

2 z(w , y) = h(y)z(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente

Si la funcion de produccion es homogenea de grado r > 0

1 c(w , y) = y 1/r c(w , 1)

2 z(w , y) = y 1/r z(w , 1)

Costes

Teorema

Si la funcion de produccion es continua, estrictamente creciente,estrictamente cuasi-concava y homotetica, entonces

1 c(w , y) = h(y)c(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente

2 z(w , y) = h(y)z(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente

Si la funcion de produccion es homogenea de grado r > 0

1 c(w , y) = y 1/r c(w , 1)

2 z(w , y) = y 1/r z(w , 1)

Costes

tg(!) = CMe(y)tg(!) = CMg(y)

CMe(y)

CMg(y)

CMe(y) = CMg(y)

Figure: Tecnologıa y coste (1).

Costes

CMe(y)

CMg(y)

CMe(y)

CV Mg(y)

Figure: Tecnologıa y coste (2).

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