methode rotations
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7/29/2019 Methode Rotations
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Cours de- mcanique -
_______________________________________________
METHODE DES ROTATIONS :
Application de la mthode des dplacements
aux ossatures nuds fixes.
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SOMMAIRE
1. GNRALITS SUR LE CALCUL DES STRUCTURES PAR LA MTHODE DES DPLACEMENTS ________________ 3
1.1. GNRALITS SUR LE CALCUL DES STRUCTURES.......................................................................................31.2. HYPOTHSES RELATIVES LA MTHODE DES DPLACEMENTS : .................................................................31.3. OSSATURES NUDS FIXES :DFINITION..................................................................................................3
2. LES DPLACEMENTS ET DEGRS DE LIBERT (DDL)__________________________________________ 5
2.1. DFINITION DES DEGRS DE LIBERT ........................................................................................................52.2. NOTATIONS POUR UNE BARRE ..................................................................................................................72.3. MTHODOLOGIE DANS LE CAS OU LES DFORMATIONS DEFFORT NORMAL SONT NGLIGES.......................92.4. PRINCIPE DE LA MTHODE ......................................................................................................................11
3. ACTIONS NODALES, SOLLICITATIONS, ACTIONS DE BLOCAGE DES EXTRMITS DES BARRES______________ 13
3.1. ACTIONS NODALES .................................................................................................................................133.2. LES SOLLICITATIONS...............................................................................................................................14
4. QUATIONS INTRINSQUES OU RELATIONS DE COMPORTEMENT DUNE BARRE A Ai j OU MATRICE DE RIGIDIT
LMENTAIRE__________________________________________________________________ 15
4.1. EQUATIONS INTRINSQUES.....................................................................................................................154.2. SIGNIFICATION DES TERMES DE LA MATRICE DE RIGIDIT. ........................................................................164.3. ASSEMBLAGE MATRICIEL ........................................................................................................................164.4. ALGORITHME DTUDE............................................................................................................................174.5. PRISE EN COMPTE DES RELAXATIONS : CONDENSATION STATIQUE. ..........................................................234.6. BARRES COMPORTANT DES EXTRMITS LIBRES (CONSOLES)..................................................................264.7. STRUCTURES GOMTRIE SYMTRIQUE SYMTRIQUEMENT CHARGE ...................................................26
5. FORMULAIRE : ACTIONS DE BLOCAGE AUX EXTRMITS DES BARRES _____________________________28
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1. Gnralits sur le calcul des structures par la mthode des dplacements
1.1. Gnralits sur le calcul des structures
La mthode des dplacements permet dtudier les structures hyperstatiques voire isostatiques. Dans lamthode des forces (ou mthode des coupures), les inconnues sont soit des actions extrieures statiquement
indtermines (actions de liaison indterminables par application du PFS), soit des sollicitations extriorisespar la cration de coupures. La rsolution du problme repose sur le respect de conditions cinmatiques (nullitdu dplacement relatif des lvres de la coupure ou des dplacements des inconnues hyperstatiques auxappuis). Dans la mthode des dplacements, les inconnues sont les composantes du vecteur dplacement descentres de gravit de sections droites (origine et extrmit) dlimitant les barres ainsi que les rotations de cessections droites. Ces centres de gravit de sections droites sont appels nuds. Ces inconnuesindpendantes que nous appellerons degrs de libert DDL sont calculs compte tenu de conditionsstatiques respecter appliques aux diffrents nuds de la structure. Do le nom de cette mthode.
Suivant la structure tudier, le choix de la mthode utiliser pour le calcul manuel est important. Il fautdonc comparer le nombre dinconnues hyperstatiques et le nombre de degrs de libert de la structure pourchoisir la meilleure mthode utiliser.
Notons que la plupart des logiciels de calcul des structures sont bass sur la mthode des dplacements.
Pour ltude dune structure, lobjectif principal est de dterminer les sollicitations ainsi que les dplacementspour pouvoir vrifier les 2 critres principaux : le critre de rsistance et celui de flche admissible.
1.2. Hypothses relatives la mthode des dplacements
Restriction de ltude au cas des structures planes, en considrant des dplacements petits appartenantau plan de la structure, le matriau utilis suit la loi de comportement lastique ( pas de plasticit ), pasdinstabilit.
La structure est compose de barres droites.
Les forces sont appliques dans le plan de symtrie, pas de torsion.
Les liaisons sont parfaites (pas de dissipation dnergie)
Nous ngligeons les dformations dues leffort tranchant (cette hypothse est justifie sauf si lespoutres sont ajoures ou de grande hauteur ou si nous tudions un treillis assimil une poutreprismatique).
Remarque : la mthode des dplacements peut tre formalise pour des structures spatiales comprenantdes barres de section variable, avec prise en compte de la torsion, de la contribution de leffort tranchantdans les dformations de la structure, de grands dplacements pour ltude des instabilits,...
Nous allons restreindre ltude dans ce fascicule aux structures, dites ossatures nuds fixes qui sont trssimples tudier.
1.3. Ossatures nuds fixes : dfinition
Ossatures ou portiques plans, chargs dans leur plan, dont on nglige la dformation axiale des barres (due leffort normal) et dont les nuds sont bloqus au niveau des dplacements en translation : Par un noyau rigide (bton arm). Par raison de symtrie. Pour une structure gomtrie symtrique et charge symtriquement.Les nuds ne peuvent que tourner.
Nglige la dformation axiale des barres barre de longueur invariable donc connueQuelques exemples :
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2. Les dplacements et degrs de libert (DDL)
2.1. Dfinition des degrs de libert
La structure est discrtise (dcompose) en barres (tronons droits) et en nuds. La structure est dcritecomme tant un assemblage fini de barres et de nuds. Si vous souhaitez connatre les dplacements en un
point quelconque kA , il faut crer un nud en ce point. Si vous voulez tudier manuellement la structure, ilfaut placer un nombre minimum de nuds.
Exemple
1
pEI
tEI
h
L
0A
1A 2A
p
Y
X
Y
X
OX
Y
Z repre global
la structure est compose de 3 nuds et de 2 barres.
pEI
tEI
h
L
1Ap
Y
X
Y
X
OX
Y
Z repre global
2A
0A
12
0A
Reprsentation du schma mcanique faisant apparatre les barres et les nuds.
Le repre global : pour dfinir les coordonnes des inconnues cinmatiques (DDL)
Le repre local : il est dfini pour chacune des barres, par un sens de parcours depuis lorigine Ai vers
lextrmit Aj , il donne le sens de x.
Le plan xy est le plan de symtrie de la barre, il est confondu avec le plan XY du repre global. De mmelaxe des z est confondu avec laxe Z du repre global perpendiculaire au plan de la structure.
Matriau constitutif
module dYoung E
module de dformation transversal G , uniquement si on prend en compte les dformations dues leffort tranchant,gnralement elles sont ngliges.
La gomtrie
barre A Ai j de longueur Lij , et les caractristiques gomtriques de la section droite. ( ijI moment
quadratique par rapport laxe Gz , (laire de la section droite ijA nintervient pas:).
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Analyse de la dformation de cette structure
A2
A0
A1
p
Y
X
A'1 A'1
A1U1
V11Z
Y
X
Y
X
Les degrs de libert (DDL) sont les dplacements nodaux indpendants, ces dplacements crentdes sollicitations dans la structure.
Les DDL sont les inconnues cinmatiquesindpendantes entre-elles. Pour lexemple ci-dessus, 3 degrsde libert.
Les dplacements des nuds en tant quinconnues du problme seront exprims par leurs coordonnes
(composantes) par rapport au repre global : on distingue la translation Ur
et la rotation du nud Zr
.
Z
UV
U
UU
r
rrr
1
21
1
10
0
0
0
00
0
0
Pour simplifier, nous noterons :
0
00
0
00
2
1
1
1
10 UVU
UUrrr
-
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2.2. Notations pour une barre
Isolons une barre A Ai j , nous allons prciser les notations utilises. Pour ne pas alourdir le dessin nous
avons volontairement omis de reprsenter les ventuelles charges appliques sur la barre.
Nous avons reprsent les actions des nuds sur les extrmits des barres. Ces actions sont toujours descoordonnes (composantes) par rapport au repre local de la barre. On les nomme actions nodales.
Ai
A'j
G(x)
Uj(x)i
yj
xj
zjMj i
zj
zj
A'i
Nij xj
Vij yj
zjMij
Nj ixj
j zj
MzzVy y
xN
UjUi
ligne moyenne dforme
Vj i yjzjj
Lij
Les dplacements des nuds reprsents ci-dessous sont ici exprims dans le repre local de la
barre ji AA .
xj
Ui
ui
vi yj
i zj
Ai
A'i
r r
U
u
v U
u
vii
i
i x y z
j
j
j
jx y zj j j j j j
Aj
A'j
Uj
j zj
uj
vj yj
xj
-
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Les inconnues cinmatiques que sont les composantes
U
Vi
i
i XYZ
, exprimes dans le repre global,
des vecteurs dplacement des nuds iA de la structure sont appeles inconnues primaires. Certaines
composantes sont linairement dpendantes entre elles, elles peuvent sexprimer en fonction de celles qui sontlinairement indpendantes.
Les seules inconnues indpendantes DDL constituent les degrs de libert de la structure ouinconnues cinmatiques. Les DDL (degrs de libert) permettent de dfinir entirement le champ dedplacement de celle-ci.
Les composantes des dplacements des extrmits des barres qui interviennent dans les quationsintrinsques doivent tre exprimes dans le repre local.
Ai
A 'iij
ik
j
k
Ui
Les rotations des extrmits des barres sont diffrentes ij ik La rotation du nud i na pas de signification
physique.
Ai
A'i
ij
i
j
k
Ui
L
i
La rotation du nud Ai est i i= , elle esttotalement diffrente de la rotation de lextrmitde la barre articule ij
La rotation dun nud articul nest pas un DDL, cest une inconnue primaire qui sexprime en fonctiondes DDL :
en utilisant, pour la figure de gauche, lquation 0ijM et 0ikM
pour la figure de droite 0ijM .
On dit que lon effectue des condensations statiques. 5.1
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2.3. Mthodologie dans le cas ou les dformations deffort normal sont ngliges
Pour certaines poutres de forte section, on peut ngliger la dformation due leffort normal. Cettehypothse est exclue pour les lments de treillis, les cbles (haubans) ou les tirants de prcontrainte.
Cette hypothse dincompressibilit ou dinextensibilit permet dtablir une relation cinmatique entre lesdplacements en translation des extrmits des barres.
Soit ij la rotation densemble de la barre, A Ai j' ' reprsentant la corde de la barre dplace voir 2.2
tude dans le repre global : ( )jiij
Z. 'A'A,xjjrrr
=
jijij AAUUrrrr ijijjij x.LZUU rrrr
+
=
+
=
00
0
0
00ijijji
ijijji
ij
ij
ij
j
i
i
j
j
cos.L.V
sin.L.U
sin
cos
LV
U
V
U
ijijjij sin.L.UU ijijjij cos.L.VV ijij
ij
ijij
ij
jsin.L
UU
cos.L
VV
=
j peut sexprimer en fonction des dplacements en translation des nuds dextrmit, nous avons donc
4 inconnues en translation jiji V,V,U,U et la rotation densemble j lies par 2 quations, soit 3
inconnues indpendantes.
La connaissance de jji ,U,U entrane celle de ji V,V . Cela se traduit par une diminution des DDL entranslation et par consquent du volume de calcul.
Dans le repre local, nous avons u ui j=
( )( )
v y v y z L x v L yv v
Lj ij i ij j ij ij ij i j ij ij jj i
ij
r r r r r
= + = + =
Dmarche. Nous pouvons procder analytiquement ou graphiquement. Cette dernire mthode est
trs rapide
r r r
r
U U Z L xj i j ij ij= + . . Il faut penser que le vecteur jijijijj AAZxLZ
rr
r
r
= estorthogonal la barre dans sa configuration initiale.
ij
ij
ij
ij
jij
ij
j
i
i
j
j
yy
UU
xx
VV
yy
xxZ
V
U
V
U
=
=
+
=
r
On distingue deux types dossatures :
Les ossatures nuds indplaables (on dit aussi nuds fixes) qui ne possdent que desDDL en rotation i . (objet de ce fascicule)
Pour une structure nuds fixes, nous devons obtenir toutes les rotations densemble des barresnulles : 0j .
voir fig. 2.2
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On utilisera la mthode des rotations pour les structures dont les nuds sont fixes , car seulesinterviennent, dans lquilibre des nuds, les quations des moments nodaux.
Parmi ces paramtres de dplacement, certains peuvent tre connus parce que les proprits de symtriede la structure conjointement au proprits de symtrie du chargement les rendent nuls ou gaux en valeurabsolue.
En outre pour les barres articules une de ses extrmits, la rotation peut tre dtermine en fonction dela rotation de lautre extrmit (condensation statique).
Dans une structure, si nous plaons une articulation tous les nuds de celle-ci y compris lesnuds correspondant aux appuis encastrs:
- si la structure obtenue est isostatique ou hyperstatique cest dire stable, la gomtrie estinvariable et les nuds ne peuvent subir des translations , cest une structure nuds fixes ;
- si la structure obtenue est un mcanisme (hypostatique) on doit distinguer :
- avec un chargement symtrique, cest une structure nuds fixes.
- avec un chargement quelconque, cest une structure nuds dplaables.
Les ossatures nuds dplaables qui comportent aussi des DDL en translation, seronttudies par la mthode des dplacements. (elles ne font pas lobjet du prsent expos)
5.1
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2.4. Principe de la mthode
A2
A0
A1
p
Y
X
A'1
L
h
tEI
pEI
Du fait de lincompressibilit des barres, le nud 1A est fixe.
Les nuds 0A , 2A sont des encastrements : ces nuds, par
dfinition de la liaison, ne tournent pas.Si nous positionnons une articulation aux diffrents nuds 0A , 1A ,
2A nous obtenons une structure 3 articulations isostatique. Cestbien une structure nuds fixes.
Nous pouvons utiliser le principe de superposition dtats dquilibre(car la loi de comportement du matriau est lastique)Nous pouvons considrer ltat rel comme la superposition dun tatbloqu et dun tat dbloqu.
( ) ( ) ( )dbloqubloqu SSS +=
Pour simplifier la notation nous noterons ( ) ( ) ( )S S S= +0 ' lexposant0 indique ltat bloqu.
Ci-contre la structure ( )S
tat bloqu, nous avons visualis le
blocage en rotation du nud. ( )S0
A2
A0
p
Y
X
A'1
A1
tat dbloqu, cest un tat dfini par des dplacements imposs aux
nuds identiques ceux de la structure initiale. ( )S'
En 1A , sexercent des actions nodales, gnrant des dplacements
nodaux identiques ceux de ltat rel ( )S
A2
A0
A1
Y
X
A'1
tat bloqu ( )S0 : La structure est cinmatiquement dtermine. La rotation du nud 1A est nulle.On considre quun oprateur par lintroduction dlments infiniment rigides bloque en rotation les nuds desextrmits des barres de la structure. Le nombre dlments de blocage est gal au nombre de DDL (DegrsDe Libert). Le seul dplacement possible concerne le dplacement de la ligne moyenne des barres soumisesau chargement.
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tat dbloqu ( )S' : Nous venons de le dfinir comme tant un tat de dplacement impos desnuds de la structure identique celui de ltat rel. Or on peut aussi dire que loprateur prcdent enlveces lments de blocage, mcaniquement cela revient exercer sur les nuds loppos des actions deblocage. Les dplacements rels des nuds de la structure sont identiques ceux de ltat dbloqu. On peutdonc remplacer les charges extrieures qui sont appliques sur les barres par loppos des actions de blocageappliques aux nuds, tout ce passe comme si la structure ntait plus sollicite que par les charges nodales.Sous leffet des charges appliques la structure, chaque section droite subit un dplacement. Mais seuls lesdplacements des sections droites dextrmits nous importent. Dans une barre, la connaissance des
dplacements une de ses extrmits suffit pour atteindre ceux de nimporte quelle section droite de celle-ci.Nous remarquons que les dplacements nodaux de ltat dbloqu sont identiques ceux de ltat rel. Si onne sintresse quaux dplacements des nuds et ce sont bien les inconnues que lon cherche dterminer,on peut donc tudier la structure dans ltat dbloqu. En ce qui concerne des dplacements ou sollicitationsdans les sections autres que les nuds, il faut appliquer la superposition des 2 tats dquilibre.
A2
A0
A1
p
Y
X
A'1
A2
A0
p
Y
X
A'1 A2
A0
A1
Y
X
A'1
A1
pL12
2 pL12
2pL2
pL2
pL2
pL2
pL12
2 pL12
2
( )S = ( )S0 + ( )S'
tat rel tat bloqu tat dbloqu
A2
A0
A1
Y
X
A'1
pL2 pL
12
2
tat dbloqu ( )S'
Comme en A2 dans ( )S' les actions appliques sont transmisesdirectement aux appuis, on peut remplacer ( )S par ( )S' pour cequi est de la recherche des dplacements nodaux qui ici serduisent 1.
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3. actions nodales, sollicitations, actions de blocage des extrmits des barres
3.1. Actions nodales
A0
A1
A2
1
2
p
L
h
Y
X
repre global
M21V21
N21N12
V12M12
-N12
-V12-M12
N10
V 10M10
M01
V01
N01
-N10-V10
-M10Pour simplifier la notation etprivilgier la lisibilit, nous navonspas indiqu les vecteurs unitairesdes diverses actions, sachez queles actions aux extrmits desbarres sont toujours exprimes parrapport aux repres locaux. Parapplication du Principe des ActionsMutuelles, les actions des barres surles nuds sont opposes.
A0
A1 A2
1
2
p
L
h
Y
X
repre global
pL12
2pL2 pL
12
2 pL2
( )S0 tat bloquA0
A1
A2
1
2
L
hY
X
repre global
M'21V'21
N'21N'12
V'12M'12
-N'12
-V'12-M'12
N'10
V'10 M'10
M'01
V'01N'01
-N'10-V'10 -M'10
pL2
pL12
2
( )S'tat dbloqu
Pour une barre A Ai j nous avons toujours par
rapport au mme repre local :
N
V
M
N
V
M
N
V
M
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
=
+
0
0
0
'
'
'
Les actions dans ( )S0 sont donnes dans un formulaire.Les actions dans ( )S0 sont facilement calcules par unemthode nergtique ou par application de la formule des3 moments. Il suffit de calculer ces actions en supposant
la poutre bi-encastre. Il est prfrable de connatre cesactions dans le cas dune charge uniformment rpartie.
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3.2. Les sollicitations
Le repre local (i, xj, yj, zj) est associ la barre j.
xj
yjMij
Vij
Nij
j
Mji
jVji
Njii
yj
xj
zj
yj
zj
xj
Le torseur de cohsion au point Ai
{ } ( )( )( )
=
=ij
ij
ij
Aizi
yi
i
Ai
cohAi
M
V
N
M
V
N
T
0
0
0
00
00
00
ziyii M,V,N reprsentent respectivement l'effortnormal, l'effort tranchant, le moment de flexion.
Au point Aj { }( )( ) ( )
=
=ji
ji
ji
Ajijzj
ijyj
ijj
Aj
cohAj
MV
N
LMLV
LN
T0
0
0
00
0
La barre ij tant isole, ijM reprsente la composante sur z du moment (ou couple nodal) en i. Les
composantes des dplacements apparaissant dans les formules doivent tre dtermines par rapport au reprelocal.
Reprsentationdun tronon de barrepour faire apparatreles sollicitations dansune section droitequelconque p M
zj(x)
Vyj(x)
Nj(x)Mij jVij
Nij
x
zj
yj
xjyj zj
xjxj
yj
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4. quations intrinsques ou relations de comportement dune barre A Ai j ou matrice de
rigidit lmentaire
4.1. Equations intrinsques
Les actions aux extrmits des barres de la structure sexpriment en fonction des dplacements nodaux etdes efforts de blocage par ces relations linaires que lon nomme quations intrinsques.
n0
24ijj
ij
ij
i
ij
ij
ij ML
EI
L
EIM +
o0
24jii
ij
ij
j
ij
ij
ji ML
EI
L
EIM +
Ces quations peuvent scrire sous forme matricielle
+
=
0
0
42
24
ji
ij
j
i
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ji
ij
M
M
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
M
M
[ ] iiiij FFU.K =+0 [ ]Kij matrice de rigidit de la barre ij, elle est symtrique
Cette matrice ne dpend que des caractristiques gomtriques de la barre et des caractristiques dumatriau constitutif de la barre. Elle est indpendante des charges appliques. Elle reprsente unecaractristique intrinsque de la barre A Ai j .
Pourquoi ce qualificatif dintrinsque ? Tout simplement parce que cette matrice de rigidit lmentaire,lorsquelle est exprime dans le repre local, est invariante quelle que soit la position du repre local et la barredans lespace. Elle permet de relier les actions et les dplacements aux extrmits de celle-ci. Elle traduit etreprsente le comportement mcanique de la barre. Cest sa carte didentit !
[ ]F i0 matrice colonne des actions des nuds sur les extrmits de la barre ji AA , considre comme bi-encastre et soumise au charges appliques. Cest un tat bloqu ou chargement sans dplacement. Cesactions doivent tre crites dans le repre local. Les charges appliques sur la barre ninterviennent quici.
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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n16/29
4.2. Signification des termes de la matrice de rigidit
Les termes correspondent des actions quil faut appliquer aux extrmits pour crer les dplacementsunitaires.
tat 1 :i = 1
0j
MEI
Lijij
ij
' =4
MEI
Ljiij
ij
' =2
Aj
i = 1Ai
6EIijLij2
4EIijLij
2EIijLij
6EIijLij2
tat 2 : j = 1
0i
MEI
Lijij
ij
' =2
MEI
Ljiij
ij
' =4
Ajj = 1
6EIijLij2
4EIijLij
2EIijL ij
6EIijLij2
Ai
4.3. Assemblage matriciel
Dans lquation dquilibre de chaque nud (uniquement ceux o il existe un DDL en rotation), on remplace
les moments nodaux par leur expression en fonction des DDL. Pour k barres lies en i, ( ) + ==
M Cijj
k
i1
0
Ci reprsente un couple appliqu au nud iA
Dans le cas de la structure nuds fixes, il y a finalement autant dquations que dinconnues. Cesont les rotations i des nuds iA . Soit n nuds, le nombre de DDL est gal n. Le nombre dquation est
gal aussi n. Les coordonnes (composantes) des rotations, par rapport au repre local et au repre global,sont identiques. ii = .
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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n17/29
4.4. Algorithme dtude
Dfinir le repre global
Dnombrer et dfinir les DDL :
Les degrs de libert sont les inconnues cinmatiques de rotation des nuds ( ces coordonnes exprimesdans le repre global sont les mmes exprimes dans le repre local car z du repre local est confondu avec Z
du repre global) ii = . Si ce nombre est plus grand que le degr dhyperstaticit, la mthode des rotationsest plus indique.
Si la structure admet un axe de symtrie, les rotations de 2 nuds symtriques sont opposes et la rotationdun nud situ sur laxe de symtrie est nul. Aux appuis encastrs, les rotations sont nulles.
Reprsenter le schma mcanique en y indiquant toutes les donnes gomtriques : longueur, momentsquadratiques, les caractristiques mcaniques, les actions, le sens de parcours et dfinir les repres locaux.
Dterminer les quations de rsolution du problme (quations dquilibre)
crire, pour chaque nud dont la rotation constitue un DDL, les quations dquilibre en moment .
crire les quations intrinsques qui interviennent dans les quations dquilibre.
dterminer les actions de blocage : moments,... M Mij ji0 0, (voir formulaire)
prendre en compte les relaxation dextrmit de barre, et effectuer les condensations statiques.
Effectuer lassemblage matriciel, mme classement des DDL et des quations associes
[ ] [ ] [ ]F K U= . La matrice obtenue doit tre dfinie, symtrique et positive.
Calculer les dplacements par inversion du systme matriciel. Il faut procder linversion de la matrice de
rigidit[ ] [ ] [ ]F.KU 1=
Calculer les M ij en injectant les valeurs des DDL [ ]U dans les quations intrinsques
Trac du diagramme des moments de flexion
Nous connaissons les moments nodaux, nous pouvons en dduire les moments de flexion aux extrmits,
Le moment de flexion au nud iA : ziM =loppos du moment nodal ( ijM )
Le moment de flexion au nud jA : zjM =moment nodal ( jiM )
Puis ajouter le diagramme des moments isostatiques (barre isostatique associe articule en iA et appuy
simplement en jA et soumise au chargement initial). On peut en dduire le champ des moments de flexion
M z sur lensemble de la structure.
Si lquation est demande : ( ) ( ) ] [ijij
zj
ij
zizjzj l,xpourl
x.M
l
x.MxMxM 0100
-
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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n18/29
diagramme des efforts tranchants
Les ijV (efforts nodaux sur y) ou efforts tranchants ( jiyjijyi VVVV = ) aux extrmits des barrespeuvent tre dtermins :
en appliquant le PFS aux barres ji AA ;
o les quations intrinsques. p [ ] 026 ijjiijijij VLEIV + q [ ] 026 jijiij ijji VLEIV + si le moment de flexion est une fonction affine (reprsent par une droite), utiliser V
dM
dxyz
=
si on demande les quations, ( ) ( ) ] [ijij
zizj
yjyj l,xpourl
MMxVxV 000
Par lquilibre des nuds, en forces, on peut en dduire les forces nodales axiales ijN et donc le diagramme
de leffort normal.
Les valeurs de N ij pourront tre dtermines en isolant les nuds et en crivant les 2 quations de
projection des forces sur le repre global, mais uniquement aprs avoir dtermin les efforts nodaux sury : ijV .
Dans le cas des lments supposs incompressibles, il ny a plus de relation directe entre les effortsnormaux et les dplacements. Les quations intrinsques ne fournissent aucune information sur les effortsnormaux, seules les 2 quations en moment sont utiles.
( )NEA
L u uijij
ijj i= avec ( )u uj i 0 et
EA
L
ij
ij Nij indtermin
Dans lquilibre des nuds, il nest pas question dutiliser les quations intrinsques relatives N ij mais
uniquement les quations intrinsques en moment. Ces quations sont suffisantes pour dterminer lesinconnues cinmatiques.
Reprenons lexemple prcdent :
pEI
tEI
h
L
0A
1A 2Ap
Y
X
Y
X
OX
Y
Z repre global
Soit ( )SMontrons que la structure est nuds fixes.
La barre 10AA a une longueur invariable, le dplacement en
translation du nud 1A tant orthogonal la barre, il ne peuttre quhorizontal.On peut ritrer ce raisonnement pour la traverse 21AA : le
dplacement en translation du nud 1A tant orthogonal labarre, il ne peut tre que vertical. Or nous avons montr que ledplacement du nud 1A devait tre horizontal, pourrespecter ces 2 conditions il doit tre fixe.Les inconnues cinmatiques sont les rotations des nuds.
0A et 2A sont des encastrement , ces nuds ne tournent
pas. Le seul degr de libert est donc 11 = .
-
7/29/2019 Methode Rotations
19/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n19/29
Cest une structure hyperstatique de degr 3La mthode des rotations est adapte ce problme, cest la plus efficace (rapidit et simplicit). quation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MMcrivons les quations intrinsques :
Barre 10AA : 1012
h
EIM
p= 110 4 h
EIM
p=Barre 21AA :
12
4 2
112
pL
L
EIM t +
12
2 2
121
pL
L
EIM t
Reprenons lquation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MM0
12
44 2
11 =pLL
EI
h
EItp
12
44 2
1
pL
L
EI
h
EItp
+
[ ]kEI hpLp +1482
1 avecLI
hIk
p
t=Barre 10AA :
+ k
pL
h
EIM
p
1
1
24
2 2
101
+ kpL
h
EIM
p
1
1
12
4 2
110
Barre 21AA : [ ]kpLpLLEIM t +1112124 22112
[ ]
+++ k
kpLpL
k
kpLpL
L
EIM t
1
23
241212412
2 2222
121
On vrifie que 1210 MM Diagramme des moments de flexion
+ kpL
M z 1
1
24
2
0 ;
+ kpL
M z 1
1
12
2
1 ;
++k
kpLM z 1
23
24
2
2
Diagramme des efforts tranchants :
Leffort tranchant dans le poteau : V dMdxy
z= ; ( ) ( )khpLhMMdxdMxV zzzy + 18
201
1
Pour la traverse on isole la traverse et on applique le PFS quation du moment en Pour la traverse on isole latraverse et on applique le PFS quation du moment en 1A .
02
2
212112 =pLL.VMM ; [ ]L
MMpLV 211221
2
+ ; ( )kpLkpLV +18221 ; ( )( )kkpLV + += 18 4521On isole la traverse et on applique le PFS : quation du moment en 2A .
02
2
122112 =pLL.VMM ; [ ] 1221122
VpL
L
MM = ; ( ) 12218 VpLkpLk =+ ; ( )( )kkpLV + += 18 4312On peut vrifier que 02112 =pLVVOn peut en dduire la distance entre 2A et la section droite ou leffort tranchant sannule :( )( ) akkLpV =++= 18 4521On en dduit la valeur du moment extremum dans la traverse : on se place dans cette section droite
paVpa
a.VMM ext,z =212
2121 2
( )( ) ( )
+
+=
+++
++
2
22222
21124
328051
818
45
1
23
242 k
kkpL
k
kLp
k
kpLpaMM ext,z
0ext,zM
-
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20/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n20/29
Diagramme des efforts normauxIsolons le nud 1A
( )( )kkpL + +18 43
( )khpL+182
XNxNr
r
121212
YNxNr
r
121010
1A
En projection sur X
( ) 0182
12 =+ khpL
N ( )khpLN +182
12
leffort normal dans la traverse est une compression ( )khpLN +182
2
En projection sur Y :( )( ) 018 4310 =+ + kkpLN ( )( )kkpLN + + 18 4310 leffort normal dans le poteau est une compression
( )( )kkpLN + + 18 431
zM
zM
8
2pL
+ k
pLM z
1
1
24
2
0
+ k
pLM z
1
1
12
2
1
++k
kpLM z
1
23
24
2
2
( )khpL+182
yV
yV
( )( )kkpL
++
18
45
( )( )kkpL + + 18 43( )( )kkL ++18 45
( )( )kkpL
N ++
18
43
1
( )khpLN +182
2
N
N
-
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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n21/29
pEI
tEI
h
L
0A
1A 2A
Y
X
Y
X
OX
Y
Z repre global
12
2pL2
pLSoit la structure ( )'S , tat dbloquOn peut montrer que la rotation du nud 1A est identique cellequi correspond aux charges uniformment rparties sur la traverse quation dquilibre du nud
1A : [ ] 0122
1210=pL
MMcrivons les quations intrinsques :
Barre 10AA : 1012
h
EIM
p= 110 4 h
EIM
p=Barre 21AA : 112
4 L
EIM t= 121 2
L
EIM t=
Reprenons lquation dquilibre du nud 1A :
012
44 2
11 =pLL
EI
h
EItp ;
12
44 2
1
pL
L
EI
h
EItp
+
12
44 2
1
pL
L
EI
h
EItp
+ est de la forme [ ] [ ] [ ]F K U= . La matrice de rigidit [ ]K ne
comprend quun terme. Elle est indpendante du chargement. Remarquez [ ]12
2pLF
Supposons que cette mme structure soit soumise un autre cas de chargement, il suffit de dterminerles actions de ltat dbloqu (seuls les couples interviennent) pour dterminer [ ]F , la matrice derigidit [ ]K tant la mme :
12
44 2
1
qh
L
EI
h
EItp =
+
pEI
tEI
h
0A
1A 2A
Y
X
Y
X
O X
Y
Z repre global
q
L
pEI
tEI
h
0A
1A
2A
Y
X
Y
X
O X
Y
Z repre global
L
12
2qh
2
qh
-
7/29/2019 Methode Rotations
22/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n22/29
Exemple n2
Cest une structure gomtriquement symtrique et symtriquement charge. Laxe de symtrie est
confondu avec la ligne moyenne de 32AA .
Montrons que la structure est nuds fixes.
La barre 10AA a une longueur invariable, le dplacement en translation du nud 1A tant orthogonal la
barre, il ne peut tre quhorizontal.On peut ritrer ce raisonnement pour la barre 10 'A'A : le dplacement en translation du nud 1'A ne peut
tre quhorizontal.De mme pour la barre 32AA , mais comme 2A appartient laxe de symtrie, il est fixe.
Sachant que 2A est fixe, on peut ritrer ce raisonnement pour la traverse 21AA : le dplacement en
translation du nud 1A tant orthogonal la barre, il ne peut tre que vertical. Or nous avons montr que le
dplacement du nud 1A devait tre horizontal, pour respecter ces 2 conditions il doit tre fixe.
Idem pour le nud 1'A qui est fixe.
Les inconnues cinmatiques sont les rotations des nuds 121 'A,A,A .
Or en raison de la symtrie 11 ' et comme 2A appartient laxe de symtrie 02 =Le seul degr de libert est donc 11 = .Les exercices n1 et n2 sont des problmes identiques qui admettent la mme solution.
Y
X
pEI
tEI
h
L
0A
1A 2A
p
pEI
tEI
L
0'A
1'A
pEI
3A
Y
X
X
Y
X
Y
OX
Y
Z
-
7/29/2019 Methode Rotations
23/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n23/29
4.5. Prise en compte des relaxations : condensation statique.
La rotation dextrmit dune barre lie un nud par une articulation nest pas un DDL. Il faut donclliminer des quations de comportement. La condensation statique consiste liminer la rotation en exprimantque le moment transmis est nul.
Cas ou la barre A Ai j est articule lorigine Ai M ij = 0
024
ijj
ij
ij
i
ij
ij
ij ML
EI
L
EIM + 024 jii
ij
ij
j
ij
ij
ji ML
EI
L
EIM +
+ 022
120 ijj
ij
ij
i
ij
ij
ij ML
EI
L
EIM 002
2
14jiijj
ij
ij
j
ij
ij
ji MML
EI
L
EIM +
+
MEI
L
EI
L
v v
LM Mji
ij
ijj
ij
ij
j i
ijji ij=
+
3 3 1
20 0
Cas ou la barre A Ai j est articule lextrmit Aj M ji = 0 ;
002
13jiiji
ij
ij
ij MML
EIM
Exemple 3 :
pEI
tEI
h
L
0A
1A 2A
p
Y
X
Y
X
OX
Y
Z
On peut monter que la structure est nudsfixes.Voir exemple n1Le seul degr de libert est donc 11 = .Cest une structure hyperstatique de degr 2La mthode des rotations est adapte ceproblme, cest la plus efficace (rapidit etsimplicit).
quation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MMcrivons les quations intrinsques :
Barre 10AA : 1012
h
EIM
p= 110 4 h
EIM
p=Barre 21AA :
12
24 2
2112
pL
L
EI
L
EIM tt +
12
24 2
1221
pL
L
EI
L
EIM tt
Or 1
2
2
2
1221
24
20
12
24 L
EIpL
L
EIpL
L
EI
L
EIM tttt
-
7/29/2019 Methode Rotations
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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n24/29
8
3
1224
4
12
24 2
1
2
1
2
1
2
2112
pL
L
EIpL
L
EIpL
L
EIpL
L
EI
L
EIM ttttt +
8
3 2
112
pL
L
EIM t +Reprenons lquation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MM
08
34 2
11=pL
L
EI
h
EItp [ ]kEI
hpL
p 348
2
1 + avec LIhI
k p
t=Barre 10AA :
+ kpL
h
EIM
p
34
1
4
2 2
101
+ k
pL
h
EIM
p
34
1
2
4 2
110
Barre 21AA : [ ]
+
+ kpLpL
kEI
hpL
L
EIpL
L
EIM
p
tt
34
1
28348
3
8
3 2222
112
On vrifie que 1210 MM Diagramme des moments de flexion
+ k
pLM z
34
1
4
2
0 ;
+ k
pLM z
34
1
2
2
1 ; 02 =zM Diagramme des efforts tranchants :
Leffort tranchant dans le poteau : VdM
dxyz
= ; ( ) ( )kh pLhMM
dx
dMxV zzzy 344
3 2011 +
Pour la traverse on isole la traverse et on applique le PFS quation du moment en Pour la traverse on isole latraverse et on applique le PFS quation du moment en 1A .
02
2
2112 =pLL.VM ;L
MpLV 1221 2
;
+ k
pLpLV
34
1
2221;
( )( )kkpLV 342 1321 + +=On isole la traverse et on applique le PFS : quation du moment en 2A .
02
2
1212 =pLL.VM ; 1212 2 VpLLM = ; 12234 12 VpLkpL = + ; ( )( )kkpLV 342 3512 ++=On peut vrifier que 02112 =pLVVOn peut en dduire la distance entre 2A et la section droite ou leffort tranchant sannule :( )( ) akkLpV =++= 342 1321On en dduit la valeur du moment extremum dans la traverse : on se place dans cette section droite
paVpa
a.VM ext,z =21221 2( )( )
22
34213
22 ++= kkLppaM ext,z0ext,zM
Diagramme des efforts normauxIsolons le nud 1A
-
7/29/2019 Methode Rotations
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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n25/29
XNxNr
r
121212
YNxNr
r
121010
1A
( )kh pL344 32
+
( )( )kkpL 342 35++En projection sur X
( ) 0344 32
12 =+ khpL
N ( )kh pLN 344 32
12 +leffort normal dans la traverse est une compression
( )kh pLN 344 32
2 +En projection sur Y :
( )( ) 0342 3510 =++ kkpLN ( )( )kkpLN 342 3510 ++leffort normal dans le poteau est une compression( )( )kkpLN 342 351 ++
zM
zM
8
2pL
yV
yVN
N
+ k
pLM z
34
1
4
2
0
+ kpL
M z34
1
2
2
1
( )( )kkpL 342 13 + +
( )( ) akkL =++342 13
( )kh pL344 32
+ ( )( )kkpL 342 35++
( )( )kkpLN 342 351 ++
( )kh pLN 344 32
2 +
-
7/29/2019 Methode Rotations
26/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n26/29
4.6. Barres comportant des extrmits libres (consoles)
A2
Ai
A1
p
Y
X Aj
a aL
A2
Ai
A1
p
Y
X Aj
papa
2
2pa
2
2
pa
Ces barres tant statiquement dtermines, il est prfrable de les enlever, sans oublier de les remplacerpar leur action sur le reste de la structure.
4.7. Structures gomtrie symtrique symtriquement charge
Dans le cas de structures gomtrie symtrique symtriquement charge, afin de simplifier la rsolution, ilen faut en tenir compte pour linventaire des degrs de libert en rotation. Par exemple pour la structure ci-dessous, un seul degr de libert car : 12 .
-
7/29/2019 Methode Rotations
27/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n27/29
Exemple 4
X1A
2A
3A
4A
L
Y
h
La a
5A
6A7A
8A
GzI2
3
GzI GzI GzI
traverse: pente 10%
GzI2
3
, moment quadratique constant
p
X1A 3A
4A
L
Y
h
L
5A
6A
7AGzI
2
3
GzI GzI GzI
traverse: pente 10%
GzI2
3
, moment quadratique constant
p
papa
2
2pa
2
2pa
On peut simplifier la structure
en remplaant les consoles.
1) Montrer que cette structureest nuds fixes. Montrerque le seul degr de libert est
44 = . La rotation 7 estaussi une inconnuecinmatique, quelle est sonexpression ?
2) Dterminer cette rotation
4 .
3) Montrez que :
06
74 =Lasi ;tracez alors les diagrammesdes sollicitations dans lastructure complte.
-
7/29/2019 Methode Rotations
28/29
Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n28/29
5. Formulaire : actions de blocage aux extrmits des barres
Nous nindiquons que les actions nodales non nulles.
Aj
p
AiL
Aj
p
AiL
M pL
M pL
ij ji0
20
2
12 12= =
V pL
V pL
ij ji0 0
2 2= =
Aj
p
Ai
L
b ca
( )( ) ( ) ( )[ ]Mpb
Lb c a L b b c b aij
02
2 2 3 3
244 2 4 2 2 2= + + + +
( )( ) ( ) ( )[ ]M pbL b a c L b b a b cji0
22 2 3 3
244 2 4 2 2 2= + + + +
Vpb
La
b M M
Ljiij ji0
0 0
2= +
+
Vpb
Lc
b M M
Lijij ji0
0 0
2= +
+
+
Aj
F
Ai
LL/2
M FL
M FL
ij ji0 0
8 8= =
VF
VF
ij ji0 0
2 2= =
-
7/29/2019 Methode Rotations
29/29
Aj
F
Ai
L
ab
2
20
2
20
L
baFM
L
abFM jiij ==
( ) ( )3
20
3
20 33
L
abaFV
L
babFV
jiij
+=
+=
Aj
F
Ai
La
F
a
( )M M Fa
LL a
V V F
ij ji
ij ji
0 0
0 0
= =
= =
Aj
C
Ai
L
a b
( ) ( )
3
00
2
0
2
0
6
22
L
abCVV
L
abaCM
L
babCM
jiij
jiij
==
=
=
Aj
p
AiL
M pL
M pL
V p L V p L
ij ji
ij ji
02
02
0 0
30 20
320
720
= =
= =
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