mathematics - kerala · sunil kumar v. p. janatha hss, venjaramoodu thiruvananthapuram...

Post on 22-Mar-2020

9 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

Part - 1

Standard VIII

MATHEMATICS

State Council of Educational Research and Training (SCERT)

2015

Government of KeralaDepartment of Education

Prepared by:State Council of Educational Research and Training (SCERT)

Poojappura, Thiruvananthapuram 695 012, Kerala

Website: www.scertkerala.gov.inE-mail: scertkerala@gmail.com

Phone: 0471-2341883, Fax: 0471-2341869Typesetting and Layout: SCERT

Printed at: KBPS, Kakkanad, Kochi-30© Department of Education, Government of Kerala

India is my country. All Indians are my brothers andsisters.I love my country, and I am proud of its rich and variedheritage. I shall always strive to be worthy of it.I shall give respect to my parents, teachers and allelders and treat everyone with courtesy.I pledge my devotion to my country and my people.In their well-being and prosperity alone lies myhappiness.

THE NATIONAL ANTHEM

PLEDGE

Jana-gana-mana adhinayaka, jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Punjab-Sindh-Gujarat-MarathaDravida-Utkala-BangaVindhya-Himachala-Yamuna-GangaUchchala-Jaladhi-tarangaTava subha name jage,Tava subha asisa mage,Gahe tava jaya gatha.Jana-gana-mangala-dayaka jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Jaya he, jaya he, jaya he,Jaya jaya jaya, jaya he!

Dr. S. Raveendran NairDirectorSCERT

Dear children,We have travelled muchIn the world of mathLet's continueOur explorationsOur findingsWe have much more to go aheadIn MathematicsTo the ever widening world of NumbersTo the precise reasoning of GeometryTo the higher levels to AlgebraLet's continue our search...

T. P. PrakashanGHSS, Vazhakadu, Malappuram

Unnikrishnan M. V.GHSS, Kumbala, Kasaragode

Narayanan K.BARHSS, Bovikkanam,Kasaragode

Mohanan C.GHSS, Angadikkal South, Chenganoor

Ubaidulla K. C.SOHSS, Areacode, Malappuram

Vijayakumar T. K.GHSS, Cherkkala, Kasaragode

Sreekumar T.GGHSS, Karamana, Thiruvananthapuram

V. K. BalagangadharanGMHSS, Calicut University CampusMalappuram

NarayananunniDIET, Palakkad

Abraham KurianCHSS, Pothukallu, Nilambur

Sunil Kumar V. P.Janatha HSS, VenjaramooduThiruvananthapuram

Krishnaprasad M.PMSA HSS, ChappangadiMalappuram

CoverRakesh P. Nair

Experts

Dr. E. KrishnanProf. (Rtd) University College, Thiruvananthapuram

Academic Co-ordinatorSujith Kumar G.Research Officer, SCERT

State Council of Educational Research and Training (SCERT)Vidya Bhavan, Thiruvananthapuram

TEXTBOOK DEVELOPMENT

Participants

Venugopal C.Asst. Professor,

Govt. College of Teacher Education,Thiruvananthapuram

Dr. E. KrishnanProf.(Rtd) University College,Thiruvananthapuram

ENGLISH VERSION

Academic Co-ordinatorSujith Kumar G.

Research Officer, SCERT

Equal Triangles .......................7 - 32

Equations .............................. 33 - 44

Polygons ................................ 45 - 60

Identities................................ 61 - 86

Money Maths......................... 87 - 96

1

2

3

4

5

Certain icons are used in this textbookfor convenience

Computer Work

Additional Problems

Project

Self Assessment

For Discussion

���������

���� � �

��������

����

����

���� ����

������������������������

��������������������� ����������� �������� ����������������������� ��

����� ������������� ������������� ������������� �������

������������������ ����

����������� ����� ��

!��� ����� �"

����������� ������������ �������� ������#���"

!��� ������������ ������� ������#���"

������������� $��� ������� ���������%����� �����#������������

&����������������#����� ������ '' ������ �������� ���

����

����

����

����

��������

������������ ����������������������������������������������� ����� ����� ��������� ������ ������������ ��������������������������������������������������� ������� ���������������!����"����������������������������� ���� ������ ��� ����� ������� ��� ��������� ��������

����������� ���� �� ��������������������������� ���������������

����� ������������ ���� ��������� ������������������� ����� ��������� � ������������������������������! "������������� ������

#�$��������������������������������� ���� ������������ ��������������

����

����

����

����

����

����

��� � �

������� ��������

������������� ������ ���� ��� ���'�'���������� �������������� ���� � ��� ������������������� �����#����� ������ '' �

����%����� ������ � ����������������� � ������(�������

�������� ������������������������������ ����� ����� �� ���� ����'�� )� ���

������������������������������ ���

*��(���� ������������������'� � '�������������������������"

������������������������������������������������������������������������������������������������������

*��������������� ����"

+ ���� ���������%��������������������#���%����

����� �������������������� ���%������������������������,�������������������������

� ������� ���%����������

��� ����������������� ������

� ��� ����������������� ������

+�

�� - �����������

.����� ������������������������� ����������� �����

�� - �����������

&��������� ���� /��������

�� - �����������

%���

&���� �

� �

���� &���

%���

����

�������

#����������������������������������������������������������

����������������������������������������������$���������%�����������������

����

����

&'�

&'�

����

'��� ����

'���

(�������������������������������)��

�����������������������������������������������������������$����

��

���������

���� � �

%���� �

���� ����

�� ''���

����� �������������������������%������������ �����

����

��������

����

%���

�������������

&�������� ���� ������#������ ���� �����

+ ��������������������������� ���������%�����������������������#���%���������� ��

�����-���� �����-����

�� �������������

#���������������������������

�����

&���

����

&���

����

&���

�����

&���

�������%�����������������&�������������*������������(�����������������������������������������������������������$����

+�������������������������"�����$�������������������������

+�����������������������$����

+�����������������������������������������������������������������������������

����������� �� ���� ������������������������� ���������� ����0������������''�� ����� ��� ��� �������� ��� �����������������

&� ������������������� �������� ��� ���''�� ����������������� ������0

������� �������� �������� ��� ���''�� ���������� ���� /���� �������

��� ����������� ������

+����������� ����������� ����#������ �� ��������������� �"

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

*��(������������ �������� ������� �� �����1���������� ��������#�����

.������������������� ����#���������� ���� ����������

��

��� � �

������� ��������

����������������������������������#������� �

�������� �����'� ������������� ����+ ������ ������

�����%���������� ���������������'��������

+ � �������������������'���������2��������$'�� �����3

+������ ����'�������������2�������� �����������

�������������������������������� ���������������$�#���3

.����������������� '�������������� � � ���� ���� �������� 4� ��� ������� ������� ����� 5��� �������

%���� �

�����

%���

����

���� ����

�(���

)*�������

���'������������������������������������

��,

263 �������� �����#�����

���-��� ���-��� ���-���

� ���� ���

��������� ������

�����������������������������������������$�������������������������������������� ����� ���"������� ��� �������� -���������������

��� ���� ���� ��� �� � ������� ������� ��� ���� ���� ��� ������ � ������� ����� ������ � ������ � �������

������������� ���� "�������������� �.����������������������������#�����/�����������������+������������0��!�����1���#����������� ������2�����������������������������0������1���������������������������$�������������������������

� �

)*���

����

(���

27� �������'� ������� �����#������� �����'� ����������� ����������� �����������

3

��

���������

���� � �

283 �������� �����#�����

���-��� ��-��� ���-���

���'������������� ���������#������ �����

2�3

&�������������������������%���� ������ �����#��������

2�� ������%���� ����������������#�����

���-�� ���-��

(���%���

%���(���

���

����

���'������������������������%���� ��������

���������������

3��� ���� ������� ����������� ���

����������������������������"�

����������������4

��� ���� ���� ��� �� � ������� �

������ ��� ���� ���� ��� ������

� ������� ����� ���� � ������� � �

���� �����

��� ���

� �

� �

��

��� � �

������� ��������

������������������������������������������������������������������������������������������

� ����������������

9 ���������������������� ���������������������� ����� ���� ������ ��������������������#����������� ���

������������������ ������������� ��������������� ������0��������������������������:;�

������������������ ����

������#�������� ����� �"

������

����

����

���

����

����

!��� ����� �"

���������������� ������������ ����������� ������#���"

����

����

&������������

&��������� ���� ������������� ����������%����

&������ ������ ����������������������� �������'����� �� �� ������'�� � ������������������

������������������� � ���

���������� ��������������������

������� �� �����������������5�6� ����7�'���������������������������&�'��8����������������������&���'���8��#���� ��� ���� ����� ��� ���� ������9����������� ���������������������!������������������,��(�����������!������ %����� ��� ��������� ������� ����������������5�:�

���

����

����

��

���������

���� � �

*��(���� ��������#������ ��������������'� � '��"

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������������������

+����������� ����"

����� ������������������#������� ���������%������������ ��������������������#�������

�����

+���#����������������������������� ���� �����������

�������������������������%���0����������

�%��������������� ������������������

� ������� ���%�����������

<%��������������''�� ����%����� ����

�� ���''�� �������� ��������������

����� ��� ����������%���������� ����0�����������

�''�� ��� �����

+������-����

+ � ��������������������������-���2��������$'�� �3

����� �������� ���������������������������� ����������������4

�������������������������������!����������������� ���� �%��� ���� ������������������ �����������������%����������

(��������������� �� ����� �� ���� ������������������������������������������!����� ��������������������������

����

(����

���

(���

����

� �

���

;����������������������"����������������������������������������������������������������� ������������������"����������������

<��������������������������

=��������7������������������������������������������������������7������������

��� � �

������� ��������

���

� �

����

&����

=����#������� �������� ������2�������� ���� ������������������������"���������������� ���������������$�#���3

��������������

�� - �� - ����� �����

�� - �� - 8���� �����

�� - �� - 8:;

&�������� �����������%����

#��������������$��������������������������������

��������������������������������

27� �������'� ������� �����#������� ������'� ����������� ���������� ������������

3

3

���

����&����

� �

���

���

%���

��

����

����

%���

����

&���

����

.������������������ ����"

���

&���

�����

���������

���� � �

26� ������� ����#����������������'��������� ��"

3 &������������������������%����� ���

3 &��������'��������� ���

28� ������� ������ �������'����)��������� ���

���

���� �

2�� ������� ����#������ � ������� ��'� ���������� ��������'������������������������� �����

���

� �

2�3 ������� ����#����������� ���������������'����������>� ������� ��'� ��������

����� � �

� �

����

%��� %��

��� ���

� � �

� �%���

)'���

�� �������������

+������ ���� �� ������������� ���������������������%�����.�����������������7��������������<���������������������������� ��� ��%������� ��� �������� �������������������������������������������� ����

2���������������������������������������������������������������<���������������������� ���� ������� ������������� �������������������� ���������������������������������������

<�����������������������������������������������������"��������������������������������������������>������������������������������������������������������������������������������

������

��� ���� ���� �

���○

%���

%���

;����������������������������������������������$����9����,�(����������������� ���� ����� ����� ������ ��� �$���� ��� �����������"�����������������������������������������

��

��� � �

������� ��������

3 ���'������������������ �� ������ �

3 ���� �� �'�� ��� �#���� ���� %���� �������� � � �� ���

������������ ������

�������� ����������� ���������'�� � ��������������� �0� ������� �������������������#������������'�� � ������������������������������ ����

���� ������������������ ����������������������#���� �����������'�� � ���

!���� ��� ��5���� ���������������������� ������������:;����4:;������������������� ����

������#�������� ����� �"

��� �����'�� � ��������������������������������� ����� �"

������

(���

��������������������"

������

���

������

��� ���

(���

(���

&������������

������������� ������������ ������� ��5:;�2����3

�����#������������������� ����

��

���������

���� � �

���������������������� �������������������� ���� � ���� ������������������������� ��������������%������ ���

+��������������� ���������'� � '��"

�������������������������������������������������

������������������������������������������������

���� ����� ���� ��� ����������������������������� ��

��������������������������������

������� �������������������������������� ��75:���+��� ������������������������ ������������������������������� ���

����� ��������������������� ���������%������������������������������ ��������������� ������������������%����

+�''�������'� ������ ��������������%����� ���������������� ���������#��%����

1���������� ������ ��������"

��� ������ ���

���� �������� ����������������� ����

(��� (���

��� ������ ���

������

(���(���

#���������������$�������������������������������������������������������������������

��

��� � �

������� ��������

*��(���������''� ��� ���������������'� � '�����������#������������ )����#���������� ����'�����������"

����� ��������''�� ���� ����������������''�� ���� ������������'��������

1��� ������ ����������������'� �� �� ��������� ����"

� �

� �

��#�������������������� ��� �����

&��������������� ��������%����

�����������������������������������#������� �������� �����'� ����������'��������� ���

+��

���� - ���

+ � ��������������������������

���� - ���

2?���3

����� ����������������� ������������������� ������������%�����+�������� �����''�� ����%������������������%������� ������

���-�� ��-���

�� �� ��������������'������������

������������������������������������������

������ ����

�������������������������������������!� ��7���������� ����������� -�� �� ����������� ������ ������������������ 9����������������������������������"�������������������������������������,�����$����� ���� ���� �������� ���� ������9��������������������������������������������$���,����������%������

;��������������������������&��8��?���!���������

� �

� �

�������������������������8��?��:*���!���������

@������� ���� ����� ��� "���� �������� ����� ����� ���� ������ 9A��� ��� ���������������"���������������������������������%������������,

+���� �� ������ ��������� ��%����������9������ ����� ��� ���� �����,� ���� �$����������������������������������

��

���������

���� � �

� �

� �

���������� ����� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������� �����������@����������������������!������� ����������� ���� �������� ������������������������� ����

��������������� ������������������������������������������������� ������������������������

*����������������� ���������������������������

� ���������������%����� �����#������������������� �

����

����������������������������������

�������������-����

&�������������%����

����������������������������#������� �������� ����

'� �����������'��������� ����+�����������������%����

����� ����������������� �����������������%���0

������������������ ����������������%�����+������� ���

�''�� ����%�������������������%����

����� ������-������-��

���������������@� ������� ��'� �����#��������� ��������

�����

��������������������� ������������ �������������� ��

��������������������������������

������ ��'������������������ �'� ������������������������������ ���

� ��# �����������������+��������������������#����'� � '���� ����� �"

������������������������������������������������

���������������������"����������������9������������������������������ ����������������������� ������ �������������,��������������������� �����������������������������������

��

��� � �

������� ��������

��� ���

! "��

��� ���

# $

%

��

���

���

� �

��

��� ���

� �

��

�$

� � � �

��

273 ��������'� ������� �����#������� ������� �'� ������� �������� ������ �������

�,

9B3 ������� ���������������%�������'������������ ��������������������������� ����������'� ���� ������� �������������� ������������ �

�, &�������� ���������$���%������������ �������� ��� ���

��, ���� ���'�� ����#��������'�� � ����� �����

���, 1������� ��������� �����������A� ��������%����������������� �'� ������� ��� ��

9*3 ������� ����������� ����'������ �������� ��������������������������������������������� /�������� ������������ �$������� ����� ���� � �����$����������������

�, &�������� ������������%������������ ����������� ���

��, &��� ���� � ��������� ������ ��������%����� ���

��

���������

���� � �

� � �

� �

� �

$

%

� �

&

2�3 ��������������������#�����

���-��� ���-��� ���-���

����� ��� ��������$�����������������

�, &������������������ ���� ���%����� ���

��, ���� ����������� ��#�����������������������%���� �����������

��������� ����&1.�

243 &������������ ��������������������%����� ���

3 &���������%����� ���

3 ���� ����������� ��#������������������������������

2�3 ������%���� �����������������#����������� ���������������

'���������>� ������� �'� ���������� ������

��

��� � �

������� ��������

������������������������5�*������7�5

:6������� ������� ��� � ����� 8������

������������������ ���������� ���������

@��������������������������������;��

���������������"�������������������

�������������������������������������

��%�� ���� �$���� ������� ���� �"���� ���

������ ���� ���� ���� ����� ���

��5�8�

� $ �

��

��

� �

������������������

+����� ���� ������������ ���� ���������%����

1�(�����������������#������������������#��%����

����������'�'����� ����� ����� ������������������ ������+������������%����� ������ � ������������������� � ����� ���

�����������������%����

*��(������������ ��������� � ������ ���������� ���B� �������'��������������� �'� ��������#������� ��"

.����������������� ������ ������ �������� �����������������%����

+ ��� � ������� �'� ������������������ ����� ��%����

��#������ ������������ ���� ��� ��� �

+ �������� ������������� �������������������������''�)� ����%����� ��������������%����

+���������������''�� �������� ����>� ������� ���������%����

*��(���� ����� �������������'� � '���

������������������������������������������������������������������������

�������������������� ��� ������ � ��� ����� ������''�� ��������%����� ����&�����,�0�������������������������%����

��

���������

���� � �

� �

� �

-������������������������������������������������+��������������;����������������

+ ��������������������� ������ ����������� ���>����� ������ ��75:;�

+��������������������� ��C:;

����� �������� ���>� ��'��'�� ���������&,�

.�������������"� ������������'� � '�������� ���������

����� ��� ������������������ ���������%�������������� �����''�� �������

������%����

*��(���������' ������

������������������-��������%���� �� �����������-��

*��(���'� �������� ���� ����������#�������?����� �� ���������� ���������������'��'�� ��������������������������������B� ����������� �'� �����������#������

��� ����� ������#��������������������������������������������

#����� ���� �����#�����������������������������

�������������-��

&�����������- C:��-����

+��������� �����������������������������%����2����3

��� � �

������� ��������

+�������������� ��������������� ����

+�����%������C������5�6�������7�5�?6����������������������8�

��������������������������������5���5��������������������������������!�����������������

;�������� ���� ����� ����������� ��������� ��� ��� �� (��� ���� ���� ���������������������� ���������������"����������������������5�86��� ����"������5�&'���

� �

����

���

���

����� ��������� ���������� �������������� ������������%����

+�������� �����''�� ����%�������������������%����������������������&�

���,�������%����

��� ���������� ��� �� �������� ��� ������ ���� ��� ����

������������������������������

&��� ����� �������� �����%����� ����������� ����������� )

�����&����� ��������������'� � '������������� )

������ �������������%������������� ���������

+����� ���� ����

��������������� ����� ����� ���� �������������� �����%����

������������%� ���������� ����

�������������#�������-����������������

�''�� ���������� ���������%�����&����&,�-�&���+���������

�������''�� ���������� ��������������%�������������������

���������� ���� ���������%�����+ ����������������������

��75:;����������������������� ��75:;���8�-�4:;

��������������������������������������%&'

!��������������������� ����� ������������4:;�� �����%� ���������� )

����2��������$'�� �����3�

���������

���� � �

����

��

���

���

���

� �

'

���'�������������

273 +���� ����������� ��������������#��������������������� �� ���D �����������������

263 !����������� ����������� ���� ��C:;�� ���������������������

�����

283 !����������� ����������� ���� ��4:;�� ���������������������

�����

2�3 ��� ����#�������� �������������������� ������������������'� ����

����� �����

��

��� � �

������� ��������

� � �

� �

� �� � ��

'

� �$

� �

������������������������"��������

� �$

����������������������

�� ������� ����#������!� �������������������� ��������&��,�������'� ���������� �����

�������������������������

���������

+����� ��� ����

������������� �����������������%�������� ������'��)

'�� ������������������

��������������������� ����������������������

�������������������+�����-���������� ������# ���������

&� �����������������%�����+����������������

����� �����# �������������

������� �������� �������� ��������������� ����� ��

������(�������������������������������������������

��������������������������������������

&�� ��� � � ���� ����������� ��������%����'����� �

���������# ������������� ������ �����#���������� ����� ���

# ����������������������+ ��� �� ��'��'�� ���������&,

������ �� �������������'��'�� ������# �������������

���������� ��%����� �������������� ��� �����

���������"�������������������

��

���������

���� � �

� �

� � �

� � �

� � �� �

� � �� �

○ ○

;�������������������������������(�����������������������������������(��������������������������� �����������������������������������

� � �� �

○ ○

� �

����������������������<���������������� ������������� ��� ��������������������������������

2�����������������������������������$�������������������

;�7�������D��������������������������������

���������������� �� ����� ������ ����������"�����'��'�)� ������# �������������'���������������

���������������� ����������� ����

�����

&������'��'�� ������# ���������

���'�������������������'������$

��������������� �����

+��������������'��'�� �����

# ����������&,�� �����

����B� �����������'� ��

����$���������

����������� ������������������'� ����� ����+�����

���������'��'�� ������# ���������������������������

�� ������&����������������������������� ����

���0������������������'����� ����

�� �����������'� ���������������� ������������������

��������������# ����������#���$������#����������������� ����� �"

��

��� � �

������� ��������

� �

� �

� �

� �

;��������������������������������!����"��������������

○○

� �� �

○○

� �○

○○

����������� �� ����������������# ���������������������

D �������������� ����������� ���� ���� ��� ������� ����� �"

.�����������������������'��'�� ������# �������������

� ���@E���������

?��������������������������#���� ��������� ��# ������

'�������������,�2����3��+���������������������'� �

���� ��# �������

273 1������� ��4������ ������������������ ���'��'�)

� ������# �������

263 1�������%������������ ���8������� ����������

283 1�������������������������� ���# �������

2�3 1������� ����������� ���6�6����� �������

2�3 1���������� � ������ -� 4� ������ -� 66 1

2;�

��-�4� 1

2;�

���������������������� ������������������������� ��� �� �����������������������������������<����������������������������������������������������

2��������������������������������������!���������������������%����7����"�����������+����� ���������������������� ������������������ ������������������������������������������������������������������������

��

���������

���� � �

98� 1�������� �����������'��'�� ������# ���������������������� �����1�

����������# �������� ���������������������'� ��

9E� 1�������� �����������# ����������������������������������������# )

�������� ��������������������'� ��

9F� @���������� ��#����'� �������''�� ���� ���������%���� �������������%����

���� �� ����'������������

� � �

� � �

����� ���

����%���������

)������� ���� �����������%�

��7������������������

�-�������������������������������

���������������������������������-

�������������������������������"�

������������������������

9����������,������������� �����

��������

-�������������������������

����������������������������������

(����������������������������

���������������������"�����������

����4� ���������������������������

"������������7��������������

�����������G�����������������

��������"���������������������

�������

;������������������������

������������������������

�������������������%�

�����������������

����������������������

@������������� ����'������������

9:6� @���������� ������� ���������'�����������������%�������������� ����� ������'��'�� ������# �������������������

9::� ������� ����#�������� �������������������� ����

������ ����� ���������� ����'� ��������� �����

�, ���'���������

��, 1������������ ����� ����� ���� ������ ������

��#������������ /�������'������������������

���� �

'

9?� ������� ����#���������� ����'�����������������-����

��

��� � �

������� ��������

9:B� ������� ����#�������� �������������������� ���������� ����� �������

�� ����'� ��������� �����

���� �

'

������������ ���������� ���������������������������� �������������� ������������ ������������������������� �����������������������

����������������� ��������������� ������������������ ����� ������ ���������� ���������� �������������������� �������������������

3 ���'���������

3 1������������ ����� ����� ������ ������ /������������

���������������

������� ������� ��� ��� ������� ������������ (��������������������������������������������������������

278� ?�������� ������� ����������� ��������#�������� ����������:��������� �������� �������

27�� 1����������� ������-���������-�4�o1

2����-�7����� �����

�� ���'����������

��

���������

���� � �

����������

!������������� �� ��������

��������

�������"�� ���������

� <$'�� �������� ���������� ��� ��������%���) ��������������������������� ���� �'�������%��� ���������������������

� D��� ������������������ ��'� � '�������������'� � '�����#������ �����

� 1���� # �������� �����������������������'��'�� ������# ������������� ���������# ���)��������������

� 1���� # �����������������'��'�� ������������ ���������'� ��������� ������������'� ����������� ��

��

���������

���� � �

���������������������

+�������'������������)#�$���������������� ��F?��������������

�����(�����������������F������� �������������'������(�������������

� ���G�����������������'���'�������

?���������������������� �����#�$�

����'���������������������:���'������� ��������������������:������

�����:�����-��8�

A ��'���5���'������������ �����������������������#�����'���.�����

�����6���'����������?�������� ��� ���������������5���'�������������� �

�6���'����

+�������������� ��5�����������60������ ����6�H�5�-��:�

273 F+ $����������������������(������������������������ ���������

����G��=�B�����������?�������������� �����������������

263 >����������4:���'�������* ��������#�� �#������+�������#���

����78���'����������D������������������ ������#���#�����

283 9�'����#�������#�������#����������������������������� �����

������������.��������������4��?�������#����������������

����#����

2�3 I ������'���748���'�������'' ���������������67����'����

?�������������� ��������������� ����

2�3 �64���������������#��������� ����6�� ���� ��������#���

243 7C5���#�����������������#��������� ��748�� ���� ��������#���

������������������������

���� ����������������������������'�� �������#���� �� $�������

������#�����������������'����� ���������������������������#�

��'�� ������

7::::� �����#������� �������0�������� ���������������#����������7::::0

����� ����:::�

��� � �

����������

D����'��'���� � ��������'��� ��������������������#���#�� �������J���

��������������� ������������'����� ���� ������������'��� ��

7�::� ��1

4��������'��� �0����������'��� �� ����� ����7�::0

����� ���-�7�::����-�4:::�

273 �������'�������������(��������� ��� ���� ��������������'�������

�����������::::���'������������?���������������'��������

�����

263 ��������������������' � ���'� ���%������������6::���'�����'���

<��������78::���'�����?�����������������������������

283 &���#������� '� ���#��76� ������4�� ���� ��������#����

2�3 &���#���� � ����#��67� ������4�� ���� ��������#����

��������������

*��������� ��'��#���"

68���'���������'��� �#�� ���������#����������'����

��������'����� ���� ������'� �����������#����

*��(���������� ��� ����� ������������������#������68��������'�����8

��'�������������#������+�''��������'���������#�����

��������������������#�������6:���'������� ��6:���'���� ������'� �����

����#������+�������'� ��������#����� ��7:���'�����.������(������������ �

��������������#������7:���'���������������6:���'���0����8���'�������

����'��

&����������68���'����

*��������������'��#���"

�������#��� ���� '���������������������� ���#�����

�:�� ���� ��������#���

���������

���� � �

���������-����������������������������B�������"���� ���������� ������"���"��������������"������B�� �����������������������������"�������B��+����������"���"�����������������B��#�������������������"���"��������������������������������"��B������������%����"��BG���������"��������"��������������!����������%����"��B������������������"��B�+��� -���������������� ��������!����������������������������"����#��(����<��������"���������������������������������%�������+���4

)������ �������*� ���+�����+���� ������� ������� (���� ������,������� �������,��������� (����� ���� �� ���� ������ �-� ,���(�� ���*� �� �������(�� ���*� �� ��� �����(����*� �� ��� ,���(��

&� ����� ��#���� � �������� '� ��� #�� 8� ��� ���� 6� �����

�����:�

�* H�B

� � '6

������������ �����#���#���������������������������

6�������� ����������:0����#����������� �������#�

�:���6�-��5

�* H�B

� &F '6

��B.��� ���� ������ ��� #���� ��� ���� �� ��� ��#��

������5�

����������� '� ��� ��#��8������������50����������� ��

��#��� ���5���8�-�74

�* H�B

:8 &F '6

��* ��B

*��(�����������'��#���"

��� �� ��#��� �� �� '���� ��� ���� ��#��������� �

#�������:������� ��������#���

?����������#����#��������#����� �6�� ��������������

#����:�H�6�-��6�

�� ��������������� '�� �#��80����#����������� ������

�����#�����6���8�-�7���������� �����#��� ��7��

�* ��B:& &B &6

��* HB

*��������������'��#���"

�������������������#��� �����������������#����8:� �����

���� ��������#���

��

��� � �

����������

������������ ���������������5

4����������#���������

5

4����������#��

��8:�

+��������#��� ��4

5�����8:�

����� ��8:��4

5�-�6�

9:� & ������������ ����#�����'����D���� ���'���#�������������

����������� �����������������'������� ������������86���'�����?��

�����#���������'�����'������������������������������������

�'���

263 ����'�� ������������������� ��6������������������ ��

� ��� ������������?�������������� ������������� ���

283 ���������������'��#�����#���������������������� �����

�'���� ���������#��� �� ����D ��������#���

2 3 ������������������#��� ��7:7�

2 3 ��������������� '��� ��7:7�

2 3 ��������#����������������#��� ��7:7�

2 �3 ������#��������������� '��� ��7:7�

2�� ?��������#������������������#��� ����777�� ���� �

������#���

2�� &�' ����������������"����� ��������������������# ����

F?���������������G

&�# �����'� ���

���������� � �������������&�������������� ����������� ����������������G

?�������# ��������������

������������ ���������� ���������

����������������������������� ������

�������� ���

�%��������������������������������

������������ ����� ��� �����������

���������+��������� �����������������

����� ����� ��������� ������ ��� ����

����������������#���� ��� ����� ��������

������������������������������%�����"�

��������������

(���� ��� ������ ��������������������

���"����������������������������=�

�������������� ���������� ���"��������

������:8'6�����%�����������������

����"����� ��������������������������

������������������������������������

-�� ��� ������� ���� �������������� � ��

���������%�����������������@������

9(���� ������� �����%����� "�� ���� ��!

��������� ��7�����/����� ��� ��� ����

�����������/������������,

-���������������"��������������������

��������

��

���������

���� � �

���������������

���� �������������������������������'��#������������������������

���������������� �������'���� ��������������#��� �� ��0���

���� �������� �����#���

?���� �������� ������� ��������������'���� ��������������� ����

���������������������������� �����D����$��'�������������� ��'��#���"

=��� ���#�������� �������������������������������������� ����

�����������7:���'����������������'���78:���'����� ���� �����

'� ���������� ��������������

D ��������� ����� �� �����������"

�������#��� ������ '� ���#�������7:�������������

78:�� ���� ��������#���

?���������� �������� �����#����D ������#���������

� ���7:������0������ � ���#���������#���� ��� �����

���� '� ���� ���������� �

278:�K�7:�3�����-�76:�������-8:

���������������������'� ���������� ����������� ��8:

��'����

.������������� ��'��#���"

&����������������� �����#��#������������

�������������������������#���������������

��������#�������� �����������#�������������

#�������

D ��������(���� �������'��#������ �������#���������'�� �����

������������� ���� �������������� �����������#��������?����

����������������#��7��������������#��������+�����������������

���#�����������������������#����������7��������������#�������

���������'��#���� ���� ��"

���������������#������7���������� ������� '� ���#��6� ��7:�

���� ��������#���

9��� �� ������������������ '� ��� ��#��6�� �����#��'���� ����� �"

���������������#������7���������� �� ����� ���� �����

��#���

#��� �����

���))����� �������������

����������4

���"�������������������������

�%���:'�� ��������������"���

+����������������%��������������4

&������������������������������%��

'�� ������:'��-�����*����������'�

(����%��������������:B���������

���������������&�

���������������������������

-�����������������$�������

��

��� � �

����������

��������#��������#��������������� ��������������������� �� ���%������

�������������� ���������#����=����#������ ��� �� ����������2���

���� ���*���������������������������������������������3

����������������� �� ����������� �������� ��� �� ����#���

��H�2��H73�-�6��H�7��������������#�����

*��(�������� �� �����'��#������������ ����� ��������������������

�������#��� ��� ��'��#������������������'��#����#��������� ��

���6��H�7�-��������� ����

���� ��������� ������ ��� �������#��� �����#�������7���������

��� ��#���������������� ��������#���

������ ��������#���#�� ���� ��

�2�����73���6�-�6�

+�������#���������������������� ��6��������������������

8��������

+���� ����� �� ������ ��������������'��#�������

���#�����������������#� ��*��������� ��'��#����

����'� ����������� ���������#����������� ����::

��'���������'� ������������#��� ��7:::���'��������

������������������� ��� ���� ������'� �����������

*��(�����������'� ������������� ���������'�����+ ������

'� ������������#��� ��7:::���'���������� �� ���H�7:::

��'�����+������� ���������#�� ��������������'��#����

�����H�2��H�7:::3�-���::������� ���

?������������� �����H�2��H�7:::3��

��H�2�H�7:::3�-��6��H�7:::

+������'��#����#������

���6��H�7:::�-���::������� ����

���� �� ������ �

������������������������

-�������������"��� �������"���� ��

������"������������������"���������

���� ��"������ �������������� �� ��

����������������"������

9.�H�,�I���5�.������������"����.����

�����������������������������

-��.�H���5�*������.�5�*�I���

+��������������"�����������������������

�����������������"�����%�����

�����������������������"��������

����������

���.�I���5�*������.�5�*�H���

+��������������"�����������������������

�����������������"�����%�

������� ��� ��"������� ��������"��

��������

��

���������

���� � �

�������#��� ������ '� ���#��6��������7:::������� ���

��::�� ���� ��������#���

�� �� ��B�������������'��#����� �����#������������ ���

������ ��������#���#�� ���� ���*��(���� ������������� ����#���

��� ��������� ���������#��������::���7:::�-�8�::�

����� ��

6��-���::���7:::�-�8�::

�������� ��������#��� ���������8�::���6�-�7��:�

� � ��� �� ����#���

��-�8�::���6�-�7��:

.�����������#������������� ���'��#����������

���������'� ������������� �� ��7��:���'�����������'� ��

���������#��� ��6��:���'����

*��(������������������'��#���"

&����������'�������������������������

��������'������������������� ������?������

��������

*��(�������������#��������������'������������0����

������#�����������'�������� ��������

����������'�������������6:����'����������������'������������7:�2�����3���'����

&���������6:��H�7:�2�����3���'��������� �������� ��7::���'����

+������'��#����� ����#���� ���� �"

���6:��H�7:�2�����3�-�7::������� ����

���� ���������� �'� ���6:��H�7:�2�����3

6:��H�7:�2�����3�-�6:��H��:���7:��-�7:��H��:

A� ��� ������������� �������'��#����

���7:��H��:�-�7::������� ����

�������������������������

(�����������������������������"���"����������������������������"���"���������%�������%����"�����������������(��������������������"���"�������������������$����������������

���������"��������%�����+�������������������"����������

���������4

����-����������+���*,�����������b

a

��-����x

a�-��������������

+����������������"���������������������������%�������������%������"�����������������

�����$�������

��

��� � �

����������

����������� ������#��� ������ '� ���#��7:� ����:� ������ ��� ���

�'������� ����7::��+�� ������ ������#��� ����������� ��� ��#�����

�:������7::����� � ���#��7:�������#�� ��������

��-�27::����:3���7:�-�8:���7:�-�8

������������������������ ���'��#���� ��8�������K��'��������������K

��'��������

27� ���� '�� ������ ��� �� �������� �� 5:�������� ��� ��� ����� �

�������������������� �������#�������� �������� ����������

#�������

26� D���� �� '� �� �� �� � ��� ������� � �� �� ��� #�

����������������������������� ��� ���:������

������������������������� ����?�������� �����

������������

28� ����'� ��� ��� �� #���� �� �� ��'��������� ���� ���

'� ��������'�������'� ��������'�� �� ��6���'��������

��������'� ����������'�������������'� ��������#�����

6�'������8�'�� ��� �������'����� ���� ������'� ��

��������

2�� 3 ������������������������ ������������#���� �

84�� ��������������#����

3 ������������������������ ���������#���� �

84�� ��������������#����

3 ��������������������������� ���������#���

#��84�� ���

�3 ������������������������ ���������#���� ��88�

��������������#����

�3 ������������������������ �����������#���� �

88�� ��������������#����

2�� 3 ����������������%���������������#���� ���������

�����������������#���� ��5:�� �����������

��#����

�����$��������� �%

��"������� ���������� ��� ������

�����/������������������������!

��������� ��"���7����+�������������!

���� ���� ����������� ������������

@�������� �!������)���

<����%������������������������� ��

+�� �������� ���������"���� ��

������� ��"�����������0���1�

.�%�������B���"�����������������"��

�%��� '����� ���� B� ��� '� ��� ��� ���

��"���"����� �I������)�������������

���������� "�� ���� ��"� ����� 0��

/�* ��� +������������� J���� ��

���������+������������������* �

�������%�������������

-��������������������� �����������

����������!"�!���������������������%�

�����"����9����������� �����������,�

+��������� ��� ����%��� ����� ��������

��!������)���

���������

��

���������

���� � �

3 &��%�������� ����#���� ��������� ��������������������������

��������#���� ��C:�� ��������������#����

���������� ����

+����� ��'��#���"

��������������� �������#���������� ���� ����������#��� ���� ��������#���

?���������(��� ��������#���#�� ���� ���� ����,����������� ��� ���� �"�������� ���� ���������#����������� ���������#���������������������#���������#���

2�������� ���*������������� ������������+�����������������������������������$�#���3

������'��#���������� �������� ������+������#���������#��� ����������������'����������#������� ���

?����#������ � ������� ����#���

����������������� �����#�������������'��#���������

8��H�7:�-���

�������������������������8������������������6��

����� ��

8��H�6�-����

������'��#����� ���� �����������8����������� ��7:"

�����6��-�7:���������-���

*��(�����������'��#������ ����"

84����������78�� ��������#��� ����87�� ���������#���� ���� ��������#���

������87�� ��������#��������78�� �������������� ���������#��������#��������

87���78�-�75��� ������ ���

������'��#���������� �������� ��84��+���75�� ����������#�� ��84����������#��� ��6�

?����#�����������#������� �������#������������'��#���

���������������������� ���������� ���� ����� �"

���������

���� ��������� ���

'��.�&�-�&��.�'���� ������#�������

����� 8� ������ ��� 6� � ���� ���

��#�������6����������8�� ���

������#��� ��������������������

�� �� ����������� ��-�7��&��#�� �

����������� ����� ����� �����������

�����'���� �������#���� ������

����� �������� ���� �������� ������

�%��� ���

��

��� � �

����������

78��H�84 - 87�

87����78� - 75�

75� - 84

� - 6

.������������� ��'��#���"

76����������8�� ��������#��� ���%�������6������������ ����������#��������� ��������#���

��� �������#�����������������'��#������������#��� ����

8��H�76�-���H�6

�����������6�����������8����������������������H6�������������6�������� ���

����� ��

8��H�26��H�63�-���H�6

������'��#���������� �������� ��76�

+��

6��H�6�-�76

.������������'������#�� ���� �"

��-�276���63���6�-��*��(��������������������'��#����"

����������&''�(��������� �� ��� ������������&''���&���� ��������� ��������#��������� ����� ����������� ���������

��������#����� �&''�(��������������+�������� ��������'��#����� �������(����� ��C�����

&�����C�������

&''�(�����������#����H�C��

>�����(�����������#��C���H�C�

,������� ���� �� �����'��#�����������(���������������#��8�� ����&''�(���0������ ��8�2���H�C3�-�8��H�6��

.����������� ������������'��#���������� ����#���

8��H�6��-�C��H�C

���������������#�����������8��������C��H�C�

&���'��(�����

+����������!�������"���������?

��� ���� ���� ��������������� ��� ���

�������2����7�����������������B?�����

����������������B�H�?�5�::�����������

��� ���������� ���B��?�5�:F����� ������������::�H�:F�5�B?�

-�� ����� ����� �������� ���!�������"���

������?�

+����������"������:6.�H�?����������

����������������"������������

�������������%�������������������

���������������������������$�����

:6�.�H�0�5�.�H�0�H�.0�

��

���������

���� � �

�����#�� ��������2C��H�C3���8�-�4��H�C

������'��#���������� �������� ��6���+��

4��H�C�-�6�D������ ���������4��-�6����C�-�75�����:��-�8�������&''�L����� ��8����������L��6��

273 � �������������������� �����$� # � �� ��7:���'������������ ������64��'�������������������:���'�����������������:�'�������?�������� ��������������

263 &����������������������#������ �������#�����!���� ���#���������#��������'��� �����������������������#������ �����������#��������#������#����� ���� ��������#������#������� ����

283 &B���� ���������������������I B�����.�$��������&B���(����������#�����#�����������I B����� ����������� ���������

2�3 D ���� ��������#��� ���%�������������� ���������������������#�������� ���� ��������#���

2�3 ������)�'���� ������ �����������#��������� ����� ���������#�����������6C���������74���������B� ���������� ���������������#��������� �����#���������#������������?���������������������� �������� �������� ����

����������

!������������� �� ��������

��������

�������"�� ���������

� +��� �� �'���'��#���������#����#� ���� �

� A� ����#���������� ��������� �'��#������ ��� ����� #��� ������� ������� ������ ���� ��

)��'� ���

+�������������������

�����������������(���

"����������������������

�������������� ��

�����"�������������������

���"���������������

�������������"��������

�����������������

�������������"�����<��

�������������<��

����"�����

���� � ��

���������

������

+����� ��' �����"

*��������������(���������������4

+���������������������������������������� (�� ������� ����� ������ ���� ����������������������������������������� ����������� ����� ������� ����������� ���� �������������� ���%������������������������������������������ �������+���� ��� "����������� ���������������������������������������������������������

1 ����������'���#��B� ������

�����������B� ��������������� ����

D�����%���� ��������

.��������������'����B� �� �������"

���������?����������� �����?�������� ����

1���������'��� ���� $����� ����

?�������� ����

&� � ����� ��� � ������� ���� ��� � ��� � ���� �� ������� �'������&�� ����� ���� $����� �������� $�� ���� ��������$����2�������� ����������������������'�������������(����� ���������������$�#���3��+����� ������ ����������������� �����������������������'������

� Polygons 47

Class - 8

And the sum of the angles of the pentagon is the sum of the angles of thisquadrilateral and triangle.

Sum of angles We have seen in class 7 that the sum of the angles of a triangle is 180°.Do we get the same sum for the angles of all quadrilaterals?Draw a quadrilateral and a diagonal.

Now the quadrilateral is split into two triangles. The diagonal splits theangles at two corners into two parts each; one of these in one triangle andthe other angle in the other triangle. Thus the angles of the quadrilateralare now angles of two triangles. So, the sum of the angles of the quadri-lateral is equal to the sum of the angles of two triangles.

That is, 2 ��180o = 360o.

Thus we can see that in any quadrilateral, the sum of all angles is 360o.

How about a pentagon?

Taking a vertex, skipping a nearby vertex and joining with the next, wecan divide it into a quadrilateral and a triangle:

Part - 148

Mathematics

1 2

3

4

56

7

8

1 2

3

4

56

7

8

Around a pointLook at this figure:

Many angles at the same point.What is the sum of all these angles?Making all sides equal, we can draw acircle like this:

So we can make a full circle by puttingthese angles together without overlap.In other words, these angles are got byslicing the circle. So, the sum of all theseis 360° by definition of the degreemeasure.

What we have seen now can be put likethis: The sum angles around a point is360°.

That is,

360o + 180o = 540o

In other words, the pentagon can be divided into three triangles, and thesum of the angles of the pentagon is the sum of the angles of all thesetriangles.

Next, let’s look at a polygon of eight sides (octagon)

How many triangles can we divide this into, as before?

Vertex 1 can be joined to vertices 3, 4, 5, 6, 7

Five lines, six triangles.Sum of angles is 6 � 180° = 1080°What about a polygon of 12 sides?Let’s think about it, without drawing any picture.

� Polygons 49

Class - 8

Another divisionWe can divide a polygon into triangles,by joining all vertices to a point withinalso:

An n-sided polygon is divided into ntriangles this way. Thus sum of all theangles is n � 180��Of these angles the sum of all exceptthose at O, is the sum of the angles ofthe polygon. We have seen that the sumof the angles around O is 360°. So thesum of the angles of the polygon is

(n ��180�) ��(2 ��180�) �(n ��2) ��180� .

O

We can think like this : starting with one vertex , we can join it with allother vertex except the ones just next to it on either side, making 9 linesand 10 triangles; so the sum of angles is

10 ��180o = 1800o

We can say this using algebra. In a polygon of n vertices (and sides), if wechoose one vertex, there are n � 1 vertices remaining. If we join with allthese, except the ones just next to the chosen one on either side, we get(n � 1) � 2 = n � 3 lines.

We get one new triangle and a remaining polygon on drawing each ofthese lines; the final line gives a new triangle and what remains is anothertriangle. Altogether (n � 3) � 1 = n � 2 triangles and the sum of the anglesis (n � 2) � 180°.

The sum of the angles of an n-sided polygon is(n ����� 2) ����� 180°

Now a question:

Is the sum of the angles of any polygon equal to 2700o?

The sum of the angles of any polygon is a multiple of 180o;right?

So, we need only check whether 2700 is a multiple of 180;for this, we divide by 180.

2700 � 180 = 15

So, 2700 = 180 � 15

According to our general principle, for a polygon of15 + 2 = 17 sides, the sum of the angles is 2700°.

(1) What is the sum of the angles of a 52 sided polygon?

(2) The sum of the angles of a polygon is 8100°. How manysides does it have?

Part - 150

Mathematics

A

B C D

A

B C

E

D

(3) Is the sum of the angles of any polygon 1600°? How about 900°?

(4) All the angles of a 20 sided polygon are the same. How much is each?

(5) The sum of the angles of a polygon is 1980°. What is the sum of theangles of a polygon with one side less? What about a polygon withone side more?

Outer angles

Draw a triangle and extend one side. We then get a new angle outside thetriangle:

This angle is called an outer angle or exterior angle of the triangle.

There is also an angle of the triangle at C itself. We call it the inner angle orinterior angle at C.

What is the relation between the outer angle ACD and the inner angleACB? Since they form a linear pair, �ACD = 180° � �ACB. Now if weextend the side AC, we get another outer angle at C itself.

.

� Polygons 51

Class - 8

35o 105o

AB

C

Is there any relation between these outer angles? They are a pair of op-posite angles formed when the lines AE and BD cross each other. So�ACD = �BCE.

Thus the two outer angles at the same vertex are equal.

So, when we talk about the size of an outer angle at a vertex, it doesn’tmatter which we means.

We can draw outer angles at all three vertices of a triangle:

Similarly, we can draw the outer angles at all vertices of a quadrilateral ora pentagon:

The inner and outer angles at each vertex form a linear pair, right?

(1) Two angles of a triangle are 40o and 60o. Calculate all its outer angles.

(2) Compute all angles in the figure below.

���� � ��

���������

:*6�E6�

86�

F6�

F'�

?'�

E6�

:&'�

:66�

::'�E'�

8'� *'��

283 ���'��������������������������%���� �������������#�����

2�3 ���'����������������������������� �����#����"

2�3 @���������� ������ �����������������������������$� ���%��������������������� ����������������������������� ����

��������

���������������������������� ��������������'�������������������������#������� ����� ����#�����������������������������*��(��������� ����� ����

����������'��������������������������� ������������� ���

� Polygons 53

Class - 8

The sum of the inner and outer angles at A is 180°. Simi-larly we get the sum 180° at B and C. So, adding all innerand outer angles at the three vertices, we get,

3 � 180o = 540o

In this, the sum of the angles of the triangle is 180°.

So, the sum of the outer angles alone is540o � 180o = 360o.

What about a quadrilateral? The sum of the inner and outerangles at each vertex is again 180°.

So altogether we have,

4 � 180o = 720o

To get the sum of outer angles, wesubtract the sum of the angles of thequadrilateral, which is 360°.

720o --� 360o = 360o

Outer angle at A is 180o � 65o = 115o

At B, 180o � 35o = 145o

Inner angle at C is 180o � (65o + 35o) = 180o � 100o

= 80o

Outer angle at C 180o � 80o = 100o

Sum of outer angles is

115o + 145o + 100o = 360o

Is the sum of outer angles360o for all triangles?see the figure

AB

D C

C

AB

Finally, what if there is no triangle at all?

Sticky MathMake a triangle as shown below usingeerklkil bits and mark outer angles.

Place three other sticks, parallel to these,to make a smallertriangle.The angles are thesame.How about shrinkinga little more?

What is the sum of the angles marked inthis figure?So, what about it in the first figure?

���� � ��

���������

::6�

'6�

&�

��

*����'����������>���� ������ ������ �� ��������������������� ������ ��� ��� ������ ��������

(��� ������ �������

�����������������������������������������

�����"�������������������������������������������������������������

973 &�������� ���75�� ����'����������%�����?������� �����������������

263 ����� ������������������%���� �������������#��������'������������'�������� ������������������������%���)� ��������

283

��������������������������������%���� �������� �������84:��

���'����� ����� ��������'������������$���

*��(���� ���#������)� ����'������ ������������ ���

������ ����'� ���������#�� ������������������������

�����$��&������������ ����'� �����������������������������

����75:������� �������������� �������� ��2���63��75:��+������������������������ �

���:F6����9����B,��:F6�

5 B��:F6�

5 *86�

����������������������� �������"

������������������������������

�����������,%&'

1������%���� ��������������������������������������������������� ��#��������������������������������� ����������������������������� ����

� Polygons 55

Class - 8

Now the circle can be hidden. Use theAngle tool to mark the outer angles.Change a and see what happens.

(4) In a polygon with all angles equal, one outer angle istwice an inner angle.

i) How much is each of its angles?

ii) How many sides does it have?

(5) The sum of the outer angles of polygon is twice thesum of the inner angles. How many sides does it have?What if the sum of outer angles is half the sum of innerangles? And if the sums are equal?

Regular Polygons

If all angles of a triangle are equal, how much is each angle?

Since the angles of this triangle are equal, so are the sides(the section, Isosceles triangles of the lesson EqualTriangles)

On the other hand, if the sides of a triangle are equal, soare the angles; and it is such triangles we call equilateral.

If the angles of a quadrilateral are equal, is it necessary thatthe sides are also equal?

The angles of a rectangle are equal, but sides may not beequal, If sides are also equal. then it is a square.

On the other hand, if the sides of a quadrilateral are equal, should theangles also be equal?

A parallelogram with equal sides maynot have equal angles.

If the angles are also equal, it also must be a square.

Make a slider a with min = 0.01, max = 2,increment = 0.01. Draw a circle of ra-dius a and mark five or six points on it.Join them as shown in the picture (theRay tool can be used)

���� � �

���������

� �

+�������������������������

/����"��� ������ ������� ������������������7������������������

�� ��� ����� �� ������� ������ "�������EBK��������������������

�������������������$���� ����� ������������������#��������������������D������������!�����

A� ����������%��������������'� ������ ����� ����%����'����� ��������� �����������

���� �������'����������������� ������%�������?����#������6�)� ����������'�����

:6F� :6F�

:6F�:6F�

:6F�

�����������/������C��������������������� ����������� �� ���� ������� -� �������!���������������������������%�������"������%��������9�����,��������������������

�������������������%����� ����%���� ��������� ����%����� ���

����%���������

�����������������%���� �������������%�������������� �������

�������������������������'����� ��8��75:��-���:�

+������������ �o

5405

�-�7:5�����+������������'����

� ����%����������������

������������������7:5�����

����������$����� ���������������

����� ���������%����

�����������������'����

� ���� �������������%����

+������'����� ����������

�������'����

+ � ���������(������������

��$���� ����%����� ������

�����

&�'������ ����%����� ������

����� ������������������'�����

*��������� ��' ������

� Polygons 57

Class - 8

E

D

C

A B

108o 108o

Any other regular polygons?

What about non-regular Polygons?

E

D

C

A B

108o 108o

36o 36o

36o 36o

E C

A B

36o 36o36o

D

ABCD is a regular pentagon. Can you calculate the threeangles at the vertex D?

Since it is a regular pentagon, all angles are 108°.

Likewise, what other equal regular poly-gons can we put together around a point?The sum of the angles around a point is360°. So to fit equal regular polygonsaround a point, an angle of the polygonmust be a factor of 360°.

See this picture:

Putting togetherSee six equilateral triangles put togetheraround a point :

The sum of the three angles at D is again 108°. So theremaining angle ADB is

�108o ���(36o + 36o) = 36o.

Thus the lines AD and BD divide the angle at D into three equal parts.

�AED and �BCD are isosceles (why?) So, we can calcu-late their other two angles (how?)

Part - 158

Mathematics

Now the two new angles at D are also 36o each, right?Why?

Another question:

One angle of a regular polygon is 144o .

So each outer angle is 36o.

Since the sum of the outer angles is 360°, the number ofsides is

o

o

36036 = 10

Thus the polygon has 10 sides.

(1) Draw a hexagon of equal sides and unequal angles.

(2) Draw a hexagon of equal angles and unequal sides.

(3) How much is each angle of a 15 sided regular polygon? How much iseach outer angle?

(4) One angle of a regular polygon is 168o. How many sides does it have?

(5) Can we draw a regular polygon with each outer angle 6o? Whatabout 7o?

E C

A B

36o 36o36o

D

What happens when n is less than 6? Andwhen n is greater than 6? What aboutn = 6?

Next in this figure, draw a line through D, parallel to AB.

Choose slider and select the Integer op-tion (Integer means whole number). Takemin = 3, max =8. Make a regular poly-gon, giving the number of sides as nsliding n to 8 makes a regular octagon.Take Reflect about line and click withinthe octagon and on each side to makethe figure below.

� Polygons 59

Class - 8

P

QR

F

E

A B

C

D

A

F

B C

D

E

A

B

C

CompassWithout measuring angles using setsquare or protractor, we can use acompass to draw regular polygons. Wehave seen how we can draw equilateraltriangles, squares and regular hexagonslike this, in various classes. There arevarious ways to draw a regular pentagonusing compass. One simple method canbe found at the webpage.

www.cu t - the -knot .o rg /py thagoras /PentagonConstruction

The famousmathematician Gaussproved that a 17 sidedpolygon can be drawnusing compass, this hedid when he wasjust 19.

More details of this can be found at

en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

(8) In the figure, ABCDEF is a regular hexagon. Prove that�BDF, drawn joining alternate vertices is equilateral.

(9) In the figure, ABCDEF is a regular hexagon. prove thatACDF is a rectangle.

(6) The figure shows a regular pentagon anda regular hexagon put together. Howmuch is �PQR?

(7) The figure shows a square, a regular pentagon and a regular hexagonput together. How much is �BAC?

���� � ��

���������

����������

!������������� �� ��������

��������

�������"�� ���������

M <$'�� ���� ������������������'�� �������������������������'�����

M <$'�� ���������� ��#������ ���������������������'����

M <$'�� ���������������������������������������������

M 1 �� � �� ��������'����������'���)���

M �������� �������#������� ���������������'������ ��������� ��������

���� � ��

���������

E

:B

E

:B *

EB:

:B

E

E

:B *

E

:B

E

B

:B

:B

B&

����������

+����$�����'��.�&�-�&��.�'��������

���������.�5�:�� �����"��������$�����

��.�+��.�),�-�'��.�)

�-����������������%����"���������������.�(�����$����������������� ��������������"�������

����������������

!��������������

���� ����� ��� �� �������� �� 76��� ������� ��� ��� #������� �� ���� �������� ���� �� ��������

������������ ���������� ����� � ��������#��8���� �������

,����������� ����������� ��������

���������������� ����� �"������� ������������5�"����������������� �7�����-�7:������������ ������� ��7:����5��-�67

������������� ��� �������������� �����'����������'�������"�

276�H�83����-�276����3�H�28����3�-�276����3�H�67

D������ ���������������������� ������� ��67�

.�����''���� � ������ ��� ������������ ������� ����#�������#�6���� ������� �����"

��������'��������� ������� ������� ����� �"

76���2��H�63��-�276����3�H�276���63�-�276����3�H�6�&���� �� �������� ����������6��

�� ��������� �

��� � �

E

:B

B

E

*

EB:

B&

:B

:B

8

*

B

B

E

*

B:

B&

:B

E

:B

.�����''������� ����������������#��8���� �������������������#������#��6���� �������

&������������������� ������� �������� ����� ���������� ��670������� ������� �������� ����� �����#������� ��6���������������� ������� �67�H�6��-�68�

,����������'�� ������������������������ ����������������������������������������������

D����� ���������������������� ������� ������ ��67�H�6���H�4�-��7�

*��(������������ �� �������������������������������� ���������� ��76���������������������������������������� ��7����C�� �����������������������������������'����������������� ����'�������

7���C��-�276����3�H�6��H�67�H�4

*��(���� ���������#������������������'�������"

7���C��-�276����3�H�276���63�H�28����3�H�28��63

�����

276�H�83��2��H�63�-�276���3�H�276��63�H�28���3�H�28��63

����� �������������

������7���C������76���

� 7���C� ���'� �����276�H�83��2��H�63

� �����6���������� '� ���#��76

���� � ��

���������

<��������������������������B&��*8�

B& �*8

:&&EB6

F8&<�������������������������������

B& �*8

:&&EB6

F8&

��8��9&�H�B6,�5�B&�H�:B6��*6��9&�H�B6,�5�:B6�H�866

�������������

� �����6��������� '� ���#��8

� &���������'�����������������

*��(��������������������7����74������78���7��

7���74 - 278�H�73��27��H�73

- 278��7�3�H�278��73�H��27��7�3�H�27��73

��#����'��#������������� '� ���������#�������������� ���� �������������������������� ��

� ���������������� ��� ��������������������� ��� ������������������������������������������ ������������������������������������������

*��(�����64������� ��� �"

64���� - 26:�H�43��2�:�H��3

- 26:���:3�H�26:���3�H�24���:3�H�24���3

- 7�::�H�5:�H��6:�H�6�

- 7C6�

?����#����7:8��6:��

7:8��6:� - 27::�H�83�26::�H��3

- 27::��6::3�H�27::���3�H�28��6::3�H�28���3

- 6::::�H��::�H�4::�H�7�

- 6777�

.������(���� ����� �� ������ ����#���

*��(������������ �������������H�������������������������H� ������ ����� ��'������������������������'������������ ������� �

����������'� � '����#������������������� �"

-��.��/�-��.��/�0����.����.����.�����������������������$�����������������

�� ���������

��� � �

!�������'��#���"

1 1

2 36 8 -

1

26� �

� �� ��

�� 1

38� �� �� ��

- � � 1 1 1 1

3 2 2 36 8 6 8� � � � � �� � �� � � � � �� � � � � �

- �5�H�6�H���H�1

6

-1

6

54

*��(������������������� �� ����������� ������������������ ������

����� ���#���������������#������������������2�������� ���1���

������������� ����������2���������������+����������3�������3�

.������(������������ ��#������� ��'��������

���������������������������������������#���� ����%����"

������ ����� ������ �������� ������� ������ ��������

� ! "

# $ % & ' �� ��

� �! �" �# �$ �% �&

�' � � ! " #

$ % & ' !� !�

>��� '�������� �����'� ��"

:&��8 5 F&

:*��E 5 ?:

��� ��� �������� �

?:���F& 5 E

.����������������������#���� ����%������������� ��"

BB��*6 5 886

B*��B? 5 88E

88E��886 5 E

���� � �

���������

����������������������

*��(���������#������������ ��

��� ������ ������#��� ������%�������������������������#��� ����� ���#����"

� �H�7

�H�� �H�5

2 ������������� �� ���������� ��������� ��1�������������������������+����������3�������3�

*��(��� ������� �����'��������

�2�H�53�!��"5�

?����������'� ������'�������2�H�73�2�H��3�

2�H�73�2�H��3�-���"��"�"#!��"5�"�

*���������������'�������������� �������� ����� �(�� ��

?���������������������#�������0��� ���������� �������� ����'������������������

&������ �����>���������� '� ��� ����#���� ����� �"

7 6 8 � � 4 � 5 C

6 � 4 5 7: 76 7� 74 75

8 4 C 76 7� 75 67 6� 6�

� 5 76 74 6: 6� 65 86 84

� 7: 7� 6: 6� 8: 8� �: ��

4 76 75 6� 8: 84 �6 �5 ��

� 7� 67 65 8� �6 �C �4 48

5 74 6� 86 �: �5 �4 4� �6

C 75 6� 84 �� �� 48 �6 57

� Identities 67

Class - 8

As in the calendar, mark four numbers in a square:

12 15

16 20

Instead of diagonal products, find the sums:

12 + 20 = 32

16 + 15 = 31

Let’s test another four numbers:

35 40

42 48

35 + 48 = 83

40 + 42 = 82

Why is the difference 1 always?

In the table, all numbers in one row are multiples of the same number.

Generally, we can write the numbers in a row like this:

x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x

Let’s look at the next row also:x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9 x

x + 1 2 (x + 1) 3 (x + 1) 4 (x + 1) 5 (x + 1) 6 (x + 1) 7 (x + 1) 8 (x + 1) 9 (x + 1)

We can take a general number from the first row as yx. Then next numberin this row is the next multiple of x; that is, (y + 1) x.

What is the number below yx in the next row?

It’s a multiple of x + 1. Which multiple?

What is the next number in this row?

So the general form of four numbers in a square is this:

yx (y + 1) x

y (x + 1) (y + 1) (x + 1)

���� � ��

���������

���� ��2��H�73� - ���H��

0�9.�H�:, 5 0.�H�0

������ ������ �

90�H�:,�.�H�0�9.�H�:, 5 B0.�H�0�H�.

����������������'�������������������������� �� �������?���������$'���2��H�$3�2��H�73�

90�H�:,�9.�H�:, 5 0.�H�0�H�.�H�:

+�����������������������'� �����'�������� �

0.�H�90�H�:,�9.�H�:, 5 B0.�H�0�H�.�H�:

��������� ��������� ��6��H���H���������������� ���6��H���H���H�70������ ��� �������� ��7�

��� ��� ������ ��� ��� ��$��������������� �����

-��.�4/�-��.�4/�0����.���.���.�4�

5�������� ����� ����� ��� �� ������ ��������� ��� �����������������1�������� ������������������� �����������������

#�����������2�6� ����������4� ��������

9:, � �����#����� ����� �"

: B * & '

8 E F ? :6

:: :B :* :& :'

:8 :E :F :? B6

B: BB B* B& B'

� &�� ������������0�������������#���� ����%��������� ������ ������������ �����'������������ ��������������������%���������������#����

� <$'�� ������� �� �������� ����#���

�� ��������� �

��� � �

� �������������%���������������#�������������%�������� ����)#�����������������������#�����������������������

F ? :6

:* :& :'

:F :? B6

���� ������� ������������ �����'���������<$'�� ��� ����#���

263 ���������� '� ��� ����#������������ ������������%�������� ����)#����� �����������������������������#����������������������"

8 F :6

? :B :'

:B :8 B6

� ���� ������� ������������ ����������

� <$'�� ��� ����#���������� ��� �������� ������������������������%������

� ���� �������������%��������� $������#����

283 *������������"

7���� - 26���83���6

6���� - 28����3���6

8���4 - 2�����3���6

����� - 2����43���6

� � ��������$������� ��� ��� ��'������

� ����������������������� ������������#���������� ����������� �#����������'���������������� ������������������������'�������������� ���������

� � ����� �������������'� � '��� ����#�������$'�� � ��

���� � ���

���������

2�3 +����#����� ������������������'��������4��65�

����6�-�5 5��7:: 5::

2����53�H�24��63�-��� ����7: ��:

4��5 �5

�4��65 7655

� �������� ����������������������������� ����#����

� <$'�� ������� �� ������������� ����#����2=�����������������)� ����#������#���� ����7:��H����������� ��������� ����� (��)�����������������������*���������+�)���� ��������������$�#���3

�"�������������

���� ���7��

���������������������� ���� ��� ����������������� '� ��� ��� ��������2�������� ���*7����������������������8���������8�����3���3�

&����� ������ �������������������:�����7�����:���

�7���-��:���H��:�H��7�-�64:7

��� ���� ��� ���

������� ������(���'� ���7�"

�7���-��7���7�-�2�:�H�73�2�:�H�73

������� ����� ���������������������'�������"

2�:�H�73�2�:�H�73 - 2�:����:3�H�2�:���73�H�27���:3�H�27��73

- 6�::�H��:�H��:�H�7

- 6�::�H��:�H��7

������'� ������%������ ����� ��

?����������� ����� �� ����#���

������2��H73���������������������������������$����#�����H�7�������

������������� �� ������������������������������������ '� ��� ���������"

�� ��������� ��

��� � �

2��H�73� - 2��H�73�2��H�73

- 2�����3�H�2���73�H�27���3�H�27��73

- ����H��"2�"�73

������������"2��H�73�-�6��H�7��+��

2��H�73� - ����H�6�"7

A� ��� ������������������

47��-�24:�H�73��-�4:��H�26��4:3�H�7�-�84::�H�76:�H�7�-�8�67

.�����''�����������������'����������������������������� ��#���� � � ����2���H�7�3�����������������������'��������

+�''��������� ��� �����2�:�H���3��

������'� ��� ����� �"

��� - 2�:�H��3�2�:�H��3

- �:���H�2�:���3�H�2����:3�H���

- �C::�H�8�:�H�8�:�H�6�

- �46�

?����#����7:8��

7:8� - 27::�H�83�27::�H�83

- 7::::�H�8::�H�8::�H�C

- 7:4:C

*��(���� ������������� �������� ����������"

�����,����� ������ ���� �� �������������������� ������,����� �������� ����������������������� �����

D����$��'���

21

210� �� �� �

�-�2

2

110 �

���

�� � �-�7:��H

1

22 10� �

� �� �

�H�2

1

2� �� �� �

�-�7::�H�7:�H�1

4�-�77:

1

4

������� ��� �� ����#���� ����� �"

-��.��/��0�����.�����.�6����������������������$����������

. 0

.

0

.�

.0

0.

0�

����%�������

������E������������$����

���������������������������

��� �$������

-�������$�������������

�$��������������

��� �$������

���� � ���

���������

273 .������'���������%�����������������#���� �����"

2 3 �6 2 3 7:� 2 3 6:1

22 �3 7:�6

A� ��� ��'� � '�����������������������������'����������'��������%������������

D����$��'������������������

7��8 - 8 - 6����76��� - 5 - 8����78��� - 7� - �����7

� ������������$������� ����1��������'��������� ���� ����� ��

��������%�����������������#����� ��������������'������������������������#����������� ��#�������������������%�������������� ''�����#���

*��(�������� ����#���

���������������#�������#�����������������H�6�

��� ��'������� ���2�"63�-����H�6��

?����������� ''�����#��� ����H�7�� ���� ��7���������� ����%�����

2�"73����7 - 2���H�6�H�73���7�-��"6�+��

�2�"63 - 2�H�73����7���� �� ����������������#����7�6�8�����������������������#����'������

*��(�����������������'������

8 - 6����7�

� - 8����6�

� - �����8�

�������� �������������#���������������7��������� ���������������%���������������� ������������#����

����������� ����������������������� �������������#���������������7 ����������6��H�7��2�������� ��9�������������������������*�������� ����3

?����������� ��� ���������� ����������������%�������������������� �����������#����

�� ��������� ��

��� � �

�����������������������#���2��H�73��������������������������6��H�7�

+���������6��H�7���������������#��������������2��H�73��

6�"7�-����"7����� �����

���� ��� ��������������7��6��8����������������������������#��������������7����6��H�7�

��������������������������#��������������7����#��� ������������ ������������������ ���'��������%������

��������������%������������'� � '�������$'�� �����������'��'��� �������%�����������

D����$��'���������%�������������������#���������� ������#����

��� ���� �����

�����%�����������������#��� ��������������26��H�73��

26�"73��-��26�3���H�26��6��73�H�7��-�����H����H�7

���� ����������� ��

���"�� - �2���H��3�-�����2��H�73

+��

26��H�73� - ���2��H�73�H�7

���� �����2��H�73� �������� '���������������� ���������#����+��7���������� �� ����������#���

?����������������������

���2��H�73�H�7�� � ����#���� ����7�������� ��������������������������%�����������������#����� � ����#����� �������� ����7�

*��(���� ����# �������

+ �������H�7����������������� ������������#���������������������#������ � ������� �� �������'���������2��H�73� ������

+�����2��H73� �������� '������5�

�������������������������%�����������������#����� � ����#��5������������ ����7�

E8� 5 'EE8

:E8� 5 *6?E8

BE8� 5 E8:E8

���������������$���������������������!

"����������E8�

���������������

��������������

����"���������E8����"��������

�����������:66.�H�E8�

9:66.�H�E8,���5�:6666.��H�:'B66.��H�'EE8�

����%�����"���"��.�����������������!

��������:6666.���H�:'B66.�����)������ ��

'EE8�����������������������������������"�!

�����E8�

�����������������!��������"�����%�

��������������

����2������:%

���� � ���

���������

273 ������������������������������'���������%�����������#����� ��

71

2���6

1

2��8

1

2�����<$'�� � ���� ����#���

263 9 ���#����� ������������������������8���

8��-�C C��7:: C::

6��28���3�-��6 �6��7: �6:

�� �C

8�� 784C

� �������� �������������������)� ����#����

� <$'�� ������� �� ������������� ����#���

� D �� �� ������������ ��� ���'���� �%������ ��� ��#���� � ���

283 *��������� ��'�����

7��H�2���63 - 8�

6��H�2���83 - ��

8��H�2����3 - ��

� � ��������$������� ���

� <$'�� �����������'� � '����� ����#���

2�3 <$'�� ��� ����#�����������������������%��������������������#���� ��� ����������� '������8������������� ����7���� � � ��#��8�

2�3 @��������������������������#����� � �8�� ����%��������� �C�

�����#������#������ � ����&����#������ � ���

!��������������������

��������������������'�����������#���'� �� ��������

D����$��'���

8:6��6:���-��28::�H�63��26::�H��3�-�4::::�H�7�::�H��::�H�7:-�47C7:

.�����''������������������������6C5��7C��

�� ��������� �

��� � �

������'� �� ����

6C5��7C� - 28::������63��26::����3

?����������'� ���� �����#������� ��������'��������

D ��������� �������

6C5��7C� - 28::����63��7C�

�� ���������'� ����

28::����63��7C� - 28::��7C�3���26��7C�3

.������(���� ���7C��-�6::����������'� �������'�������

8::��7C��-�8::��26::����3�-�4::::���7�::�-��5�::

6��7C��-�6��26::����3�-��::���7:�-�8C:

@��� ������������������

6C5��7C� - 28::���63��7C�

- 28::��7C�3���26��7C�3

- �5�::���8C:

&�%� ������� ��� ��#������ 8C:� �� ��� ��#������ �::� ������7:�

����� ��

�5�::���8C:�-��5�::����::�H�7:�-��5�77:

2�������� ���;�������������������������+���������3��������� ���������������$�#���3

*��(�������������� '� ��� �����8C��#��7CC�� ����� �"

8C���7CC - 2�::���83��7CC

- 2�::��7CC3���28��7CC3

�::��7CC - �::��26::���73

- 2�::��6::3����2�::��73

- 5::::����::

- �C4::

8��7CC - 8��26::���73

- 4::���8

- �C�

���������������'��� ���������������

(������� ��� ������� "�� *������������������������������������ ����� :B� ����������� ��"�������E�����������

)'

/ &��� ���� ����� ��� ���� ����� ��!��������� ���� ��� ���� �������������������

9:B���*,��E�5�9:B��E,���9*��E,

+���������,�

���� � ��

���������

*?E��:?? 5 E?866���'?E

������������#����� ��C��� �������� �� ����� ��������#������4::�������8��+��

8C���7CC�-��C4::���4::�H�8�-��C::8

*��(���� ����������'���� ����������"

8C���7CC�-�5::::����::���4::�H�8

� � � ������ ������

������������������������������������ �������

+ � ������

�������� �� ���������������

� ����������������������� �������

� ���������� ��

� ��� ��

� ���

��� ��������������� ��� ���� ���������������������'� )� '���������?����#�������#���

-�����/�-�����/�0���������������������������������$�������������������������������������

����������� �������������������������'���������%���������� ���������� ��� �"

2���3� - 2���3��2���3

- 2��3���2��3���2��3�H�2��3

- �����������H���

- �����������H���

���� ������� ������#��������������������������#������ ��������������

������������#����� ������������������ ����� ���������������#����������������H����-�6����2�������� ��� ������������������������������������+����������3������� ��������������$�#���3

�� �������� �����������

#���� ��� ����� �������� ��� ������� ���������"����������"����������

�������

����

+������,�+�����,

�������

����

+������,�+������,

���

-����� ��"������ ���� ������ ��� "���� ������������� ���� ��������� ���� ��������� �������� ��� ���� ���� �����������"�� ��"�������� ������

�������

����

+������,�+������,

+�� ����������������%�� ��� ���� ����������������

9.����0,�9������(,�5�.����.(���0��H�0(

�������

����

+������,�+������,

#��������������������4

�� ��������� ��

��� � �

����� ��

���������� - �����2��"��3�-������6��

.������(���������� �����������������������"

�������3�-������������H�����-������6��"���

*��(���� ����� �����������������'� � '���

��������/��0�����������6��

��������������$��������������������<��

�� ������������ ���� ��������������"

��� ��������� �������������� ����������$������� ������� ����� �������� ��������� ����� ��� ������� �����������

D����$��'���

CC� - 27::���73��-�7::��)�26��7::��73�H�7�

- 7::::���6::�H�7�-�C5::�H�7�-�C5:7

.������������� ��'�����"

6�26��H�7�3 - 7: - 8� H 7�

6�28��H�6�3 - 64 - �� H 7�

6�2���H�7�3 - �6 - 4� H ��

6�2���H�4�3 - 7:� - 7:�H 6�

����������'� ���������������#���������������������������������%�����0

��������� ����� ����� �������� ���������������'� �����'��������%������

���� ����������� ��#��������������� �'� ���������� ���'� ��

D �������������� �������������������� �'� �

���� ������������������ ��

���� � ���

���������

*��(���������#����+���� �� ��������������%���������������� ��2�"�3� - ��"���H�6��

�����������������������#����������'� �������������%������������ �������� �

2���3��-���H�����6��

���� ���������������������������������� ����+ ���6��� ������������#��������� ���� ����������� ��

2�"�3���H�2���3��-�6�2��"��3

�������� ��� �� �� � �������� ��� 6� 2��"��3� -� 2�"�3�

H�2���3��������������$'���� ������������ ���'������

����� ��������������%��������������������� ����������������#������������� ����������������� ���%������

���� �������#�����������%������������� �����������������%����������������

2�"�3�����2���3��-�2��"���"%��3����2��"�����6��3

�� �����������������������������#��������H�������6���������������#��������� ��� ������������ �����#���������)#���%���� �(�� ���2�������� ���-�������������������������������.�����)��)�/����� ��� ���������������$�#���3

2�"�3�����2���3��-�6�%��!���

� � ��� �� ���������

��� - 2�"�3�����2���3�

D����$��'���

5 - ���6��7 - 8����7�

76 - ���8��7 - �����6�

74 - �������7 - �����8�

6: - �������7 - 4������

* ����� ����������� '��������������� �� ���5�����#���� ����������� ���������������'��������%������

������������������

-�����������������"�����������������

����������������$��������������������

����$������������$���������������������

����� ����� �� C��������� �������� ��

��������������������E���7�"�����2��

�7������������

*��H�&��5�'�

*��&��'��������C����������������� �����

��"���������������"�������������"�

������B666�����%�������"����������

�������������

+����� ��� ��������� ��� ���� ���� ����

���������+��������������������"���

����������������.��0��1�����������4

. 2�������

0 2B��

1 2���3���

-�����������������������������

.��H�0��5�1�

����������%�

.��H�0� 5 9�������,��H�9B��,�

5 ���H�����B�����H�&����

5 ���H���H�B����

5 9���H� ��,�

5 1�

.����� �������������� ���� ����

�����$���������������*66���

�� ��������� ��

��� � �

273 ���'���������%�����������������#����

3���C 3 C5 3 �3

4 �3 C�6�

263 *��������� ��'�����"2

1

2� �� �� ��H�

21

21� �� �� �

- 6�1

26 - 6��7�

21

21� �� �� �

�H�2

1

22� �

� �� �- 5�

1

25 - 6��6�

21

22� �

� �� ��H�

21

23� �� �� �

- 75�1

275 - 6��8�

<$'�� �����������'� � '����� ����#���

283 +�������������#�������#���� ���������� ���������������'�������%������ �����������D����$��'���

6� - ��� ����� - �����7�

86 - C�� ����� - 4����6�

�: - 77����C�- �����8�

� <$'�� ��� ����#�������������������� � ��������� '�������5������ �� ���6���������� ���������������'��������%������ ���������

� ����������� �������������������� ������� '�������74�������) �� ����5��������� ���������������'��������%������

����������������

������������������'��������#���'� �� ���#���������������� ���������D����$��'���

������������ �������� ������� �� ��� ���������

������������������������������������������ ���������

���� ���������� �����������'� ��6:8��6C5�

6:8��6C5 - 26::�H�83��28::���63

������'������ ������� �����'� ������6:8�����#�����"

B6*��B?F 5 9B66�H�*,��B?F�5�9B66��B?F,�H�9*��B?F,

.�������'� ��6C5�������'������������'����������'�������"

B66��B?F 5 B66��9*66���B,�5�86666���&66�5�'?866

*��B?F 5 *��9*66���B,�5�?66���8�5�F?&

���� � ���

���������

@��� ���������������

6:8��6C5 - 26::�H�83��6C5

- 26::��6C53�H�28��6C53

- �C4::�H�5C�

- 4:�C�

����������������������'� � '�������(���� ����������'���� ����������

6:8��6C5 - 4::::����::�H�C::���4

����������� ��

26::�H�83��28::���63-�26::��8::3���26::��63�H�28��8::3���28��63* ����� ��

7:���7C� - 27::�H��3��26::���83

- 27::��6::3���27::��83�H�2���6::3���2���83

- 6::::���8::�H�7:::���7�

- 6::::�H��::���7�

- 6:45�

������� ����������#�� ������������ ������������"

-�����/�-�����/����������������������������������$��������������������������

A� ��� ��������������� �����������������������'��������'��������������������� �����������������#����

2�"�3�2���3 ! 2��3���2��3�H�2��3��2��3

! �����"�����

! �����

-�����/�-�����/���������

��������������$���������������������

?����#������ � ��� �� ���� ����������

����� ����� ������������������������ ���� �� ����������(�������������������� ��������,�����

�� ��������� ��

��� � �

D����$��'���

6:���7C� -26::�H��3��26::����3�-�6::�������-��::::���6��-�8CC��

C1

2��5 1

2-

1

29� �� �� �� �� 1

29� �� �� �

� �-�C���2

1

2� �� �� �-�57��� 1

4� �� �� ��-�5:�

4

3

�����������''����� �� ��������"

�������������� �������,����� ���� �� �������������������� ����� �������������������������

D����$��'���

745����746��-�2745�H�7463��2745���7463�-�88:��4�-�7C5:

������������������������������#�������#���� ������������ ��������������'��������%������������#����'� � '������#������������� ���

D����$��'������� �������� ���������� ����#���������������������H�����-����

�� ���������� ��

�� - 2�"�3�2���3

�� �������2�"�3����2���3������#����������������

������#���� ���������'���������������������� ���� ���������

�� - ����7

�� - 7���8

�� - C���

��� �������������������7�����(���� ���

�"� - ��

��� - 7

���������������������������������������#����� ����� ��������

� �����������������2�������� ���8�����������������������������

+����������3�����������������E3

+���� ������������������������7������� ���������� ��� ��������

� - 68 � - 66

+��

�� - 68����66�

��((��������(��������

. .�

.

. .�

0� 0

. .�

.���0

.���� 0�

○ ○ ○ ○ ○

.�H�0

.���0

+���

��,�+

����

�,

0

���� � ���

���������

+ � ���������(����������-��7���8����(������� ��� �������������

?���������������7�����8� ��C0����������� �������� ��4�

+��

�� - C����4�

?����#��������� �� ������-��C����

�� - �����6�

�������� ���������������#����������� ����������������%���������

�� ���������

D����$��'�������(�������7:�� �������7:�-��7:��7�

�?����������������������� �����1

20����������� �������� �����

1

2��+�������

�� ���

7: -2 2

1 1

2 25 4� � � ��� � � �� � � �

,�����������������%������������������#���0������ ������'��������%������

?����#������ �7:�-����6�

0����1���� ������������������� �����������������������(����� ���� ���������,�����

+���� ������� � ���'��������������� ����������������%���������������

���'���� ����� ���

D����$��'������� ����64����68������������ ��� ���������� ���������������%������

����������� ��������#�������������� ��64������'������� ��68���

� ���

&����������������������� ���������������������������� �����������64��

���68��������� ��6�����7����+��

64���-�6��H�7�� 68���-�6����7��

�������� �����

.���0

.���0

+���

��,�+

����

�,

.���0

.

0

. .�

.���00

. .�

0� 0

.���� 0�

. .�

�� ��������� ��

��� � �

A� ��� ��

����������������� ���������������������������������������������������

273 ���'�������������� � �����"

3 �3 45����86� #32 2

1 1

2 23 2� � � ��� � � �� � � �

�3 8�4����7���

�3 �3 6:7���7CC #3 6�1

3��7 2

3�3 7:����C�8

263 *��������� ��'�����"

2

2

11 �

���

��

���2

2

1����

��

- 6

2

2

12 �

���

��

���2

2

11 �

���

��

- �

2 21 1

2 23 2� � � ��� � � �� � � �

- 4

<$'�� �����������'� � '������ ����#���

283 D ����������������'���������������'� ��#������� ����������������� )'� ��� ��

3 6������ 64����

3 �4��6�� ����64

�3 7:�4��C��� 7:����C�4

2�3 ���'�������������� �� ��������"

3 276�����3 � 2764����3

3 276����43 � 2764����3

3 266���7�43 � 2664��7��3

�3 27:�8��C��3 � 27:����C�83

�3 277�8��7:��3 � 277����7:�83

���� � ���

���������

��1��� �������� ���������������������������������������� �������2 ��� �������� ���������)�������������������� ������������0������������������� ��� ������������)���� �����

9:, >�����������#�������� ����%����� ����������"

& '

:: :B

&��������%�������������� �����'� ������ ������� ����������������

����"

���H�76��-�74: 77��H����-�7�4 74:���7�4�-�7�

� 1���� �������������������#����

� <$'�� ��� ����#������������� �������� ��7���������

263 ����� ����#�������� ����%����� ���������������������������

��#������������������

* & '

:6 :: :B

:E :F :?

&��������%���������� �����'� ������� ������� ��������������������

8��H�7C��-�8�: 7���H����-�87� 8�:���87��-��4

� 1���� ����������������� ����#����

�� ��������� �

��� � �

� � <$'�� ��� ����#������������� �������� ����������4��2 �� ����)

�� �����������������#������������������������%���������K����

�������� ��� ����������2���������������+����������3������

�����������������$�#���3

283 ����� ����#�������� ����%����� ���������������������������

��#������������������

* & '

:6 :: :B

:E :F :?

>��� '�������� �����'� ������� ������� �����������������'��������

8��7C�-��� 7�����-�5� 5�������-�65

� 1���� ������������������%������

� <$'�� ��� ����#������������� �������� ���������65�2��� ����)�� �����������������#��������������������3�

���� � ��

���������

����������

!������������� �� ��������

��������

�������"�� ���������

M <$'�� ������������������� '�� �������#�������

M <$'�� ������%�������������������� �����������#�� ������

M <$'�� � ���� �%����� ��� �� � ������������� ������������#�� ������

M <$'�� �'��'��� ������'��������%�������� ���#���

M <$'�� � ���� ��������� �� ��� ��� � ��������#������ ��� ��� #�� �$'������� ��� ���� ������������'��������%������

M D � ���������'� ��� ��������������'�����������'� ��������#����� ����������������

L <$'���� ���#�������� ��� ��������� ���#���

���� � ���

���������

,����#���� ��� ������������������������������������������� ����'�� ���

�������������'�� ������� �������������������������������� �������

����������� ������������������'�� � ��������=����#������������

������ ���������

D����$��'������''����7�:::���'���� ����'�� ��������6����������7:N

�������

���� ������������� �����������������

*��������������'��#���"

&�����>�����'�� ��7��:::���'��������� ���#��� � �7:N� ������

��������&���������������&���� �������������� ��������� ���� � ������

�������'�� ���� ����������������&�������������������#����� ����������

�������������� ������������?�������������

>������� �����������6������������� ��

7�:::�� 10100

��6�-�8:::

+���������������������� ���������������������

7�:::�H�8:::�-�75:::���'���

�����#����&��

?��������� ������������ ��������(�� �������

�������������������

#����������������������"����

���� ������� ����� ����� ����� �������� ������ �������������

��������������������� �������������������������������

������� ���� ��

��� � �

7�:::�� 10100

�-�7�::

+������������ ������ �������� ����

7�:::�H�7�::�-�74�::

��� ���� ������������������)��'�� ����

+����������� ����������������������������������

74�::�� 10010

�-�74�:

���� ������������������

74�::�H�74�: - 757�:

?������������������&�����

��������������������� ������ ���������������� ��������(�� ����������

7�:::���'����

��������������� ��������������������� ����������������������������

�������� � ����������������$��������� �������������� ��������������)

��������������������������������� ������������'���� ���������������

����������������������� ��� ������������������ ���������� �'��� �������

.�������������������������#��� ����#�������������

+��������'�� ����7::::���'���� ���#����� ��� �����N

����������'��������������?�������������������������

6�������

D ��������(��#����� - 7::::���'���

D ��������(�� ������ -� 7::::��

5100

- �::���'���

+���������(��#����� - 7::::�H��::

- 7:�::

+���������(�� ������ - 7:�::��

5100

- �6����'���

���� � ���

���������

&�����+�������������������������

- 7:�::�H��6�

- 77:6����'���

273 +����'���'�� ����6�:::���'���� ���#����� ���'����5N� ������

���'��������������?��������������������#��������������������

263 �������������������������7�:::���'�����������#����� ���������

76N� �����������'��������������&�����6�����������'� ��#���

7::::���'�������������������������������������������'������������

���������������

283 ����� �'��� �����������N��������������� �������������6������� �

6::���'�������� ������� �����'�������������������������#�����

���������������������������������������������6�������

�������������

���������������� �� ������� �����'������������������7::::���'���

����� ���77:6�� ��'���� ������ 6��������*��(�� ����� ��� �������������

���'���� ���� ��D ���������� ������� ��5

100����7::::���'����������::

��'������������ �����������7::::���'������������7:�::���'����������

����������(�� ������� ��5

100������ ����� �� �����������6����'���� �������

���7:�::���'������������77:6����'������� ��� ��������������������

����������

+�''��������������� ����� ����������������������������'�������

�����������#������������������������5

100����77:6����'���� �����#�������

��� ��

����������������������5

100���������������#�����������#����������� ��

A� ����#����� �������������#������ ���������5

100������������#�������

��� ��

������� ���� ��

��� � �

������� ��

.��H�5

100�. 5

5100

1� �� �� �� �.

+��� ������������ �5

100��������#�������������������������������� '��

#��7�H�5

100������� �

&���������������������� ��7::::�� 5100

1� �� �� ��

&�����6�������7::::�� 5100

1� �� �� ��

&�����6�������7::::�� 5100

1� �� �� ��

���������A� ����#��������������������������� ��7::::� 5100

1� ��� ��

������ ������� ����������� ����� �������������#��������� �������

��������������������� �"

����� ������ ��� ��������� ������������)����)� �3��������� �� ���������������������� ����) ������������������

1001� �� �� ��

nr �

.������������� ��'��#���"

.������'�� ����7�:::���'���� ���#����� ���'����CN ����������'��������������?��������������������������6�������

&������������ �����#�����'������ �������

7�:::�2

9100

1� �� �� �� - �7�:::�

2100 9

100� ��� �� �

-�7�:::��

2109100

� �� �� �

-�7�:::��27�:C3�

- 7�:::��7�7557

- 7�567���-�7�567��'�����:�'� ��

��� �� ���������� �����������#�������:�'� ������7���'��� �����������7���'�����������������������:�'� ������� �����

+����.�������������7�566���'����������6�������

:6?��:6? 5 9:66�H�?,�

5 :6666�H�:F66�H�F:

5 ::FF:

:�6?� 5 :�:FF:

���� � ���

���������

273 �&�����'�� ����6::::���'���� ���#����� ���'����4N� ������

���'��������������?��������������������#����������8�������

263 1 �����'�� ����5:::���'���� ���#������ ��� ����7:N� ������

���'��������������&�����6������������� ��������:::���'����

&������������������������������������������� ������������

283 I����������������������6�:::���'�����������#������ ���������

77N� ����������'��������������?��'� ��#����7::::���'���

������6��������?������������������'�������������������������������

��������

����������

������������������ ��� ��� ������� ��������������� $�������� ��������

��������������� �����������������'��� �

&�# � ���'�� ����76:::���'���� ���#������ ���'���� ����������'�����

�����)������������������������� ������� ��5N��?��������������������

#������������������

+ ��� ������� �����'������������������� ��������������#������������

�� �����������+ ������� �������5N������������ �� ���N�����4�������

����������������� ����4������ - 76:::�� 4100

- �5:���'���

�� �� �����������76:::�������� ����������������$��4������� �

�����������

76:::�H��5: - 76�5:

�����������������$��4������ - 76�5:�� 4100

- �CC�6:���'����-��CC���'����6:�'� ��

������� ���� ��

��� � �

+�''���� �����'��#���������������� ���������������&�# � ����

�������7�1

2�������

��������������4

100��������#������������� $������������� �������������

���� '���#��7�H�4

100�

+���������������������7�1

2����������#�����'������ ���������

76:::��34

1001� �� �� �� -�76:::��

3

100

104����

��

-�76:::��27�:�3�

A� ����������������� �����#����������78�C5��845��+�������������������

���� ���78�C5���'���

������ � ���������������������������������� �������'�� �������� ���

����������������������� ��� ��� ������� �����'�����������������������

+������������� ���������%������������'��� �

+�''����&�# � ������������'�� �� ���#����� ������'����� ������

%���������

+������������6N� �������������8������

+������������������������������

76:::��4

2100

1� �� �� ��

�-�76:::��4

102100

� �� �� �

�-��76:::���7�:63�

���'������ ��� ����������������

9:, &�����'�� �����:::���'���� ���#����� ������'����� ���������������������>������'�� ������������������� ��������#���� ������'����� �������%��������������������������� ������� �4N����#��������#�����?�������������������>��������������������

263 &�'������������������������74�:::���'�����������#����� ��������� ����������'������%��������������������������� ������� �7:N��?������������������'���#����������C������������������������

���� � ���

���������

283 >�����'�� ����7��:::���'���� ���� �� �������#� �������� ��

'���� ����������'������������8�����������5N������������?��

�����������������#������������������

2�3 J�����'�� ����6�::���'����������� �������J������ ���#��������

������� �����'����������)����������4N������������!������ ������

J����������'�� ���6�::���'����������?���������������������� �� �

�����������������������������

2�3 =��������'�� ���8::::���'���� ���� �� �������#� �������� ���'��

����������CN���������������'������������������������?��

������������������#������������������

�������������������

����'������ ������������ �� ��������������������� $���������* ��� ���

����'� ����������� ��� ������� ������������������������� $�������������

��������������������������'�� ����'���� ������� �����������

�������������������������#������� ���'�������������������������'� ��

����������

>����'��'���������# ���'���������*��(��������������������'��#����

��� ����� ����������������'������������ ���# ���'����

��������'������ ��#��6:N���������������6:7�� ������

�#������������'������?�������������������� ���$'������

'������� �6:75�

���� �������6:N������ �������

*��(�����������������������'�� ���������������������'���� �������

.��#������'���������� �6:7� - ��������

.��#������'��������#������� �6:75 - �:::::::�4

20100

1� �� �� ��

A����������������������'������ ��

������� ���� �

��� � �

273 &���'������� �������)������ ����� �#��7�N������������������

�)������ �6:7�� ���#����C������������� ���� �������$'�����������

����)������ �6:6:�

263 &��I���������������������������'� ��������'��� ������������#���N

����������������������'� �������� �������� ��5:::���'����� ���

������#������'� ���������6�������

283 � ��� ������.�� ����& �������� ����#������������������������

D ����������8N����������������&����� ����������������

.�� ����� ����������� ��&����� ���������������7�::�� ���� ��� �

�6:77����������������� �������������� ����������#��������

6:74�

���� � ��

���������

����������

!������������� �� ��������

��������

�������"�� ���������

� <$'�� ������������������'�� � ������

#�����'��� � ����������� �������

� <$'�� ������������������'�� �������

����� ������� ���'������� ����� �������

%������������ �������%��� ���

� +��� �������'���� ����'��#�������� ����

�������������'���� �������

top related