managerial decision modeling

1

Managerial Decision Modeling

Cliff Ragsdale6. edition

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE

Chapter 2Introduction to Optimization

and Linear Programming

2Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE

Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som:

- Naturressurser, som oljereserver

- Areal

- Tid

- Penger

- Ansatte

Innledning

BØK350 OPERASJONSANALYSE 3Rasmus Rasmussen

MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive måten å utnytte begrensede ressurser; for å oppnå målsettingen til et individ eller en organisasjon.

m.a.o. Optimering

Matematisk programmering

BØK350 OPERASJONSANALYSE 4Rasmus Rasmussen

Bestemme produksjonsmiks

Produksjonsplanlegging

Ruteplanlegging og logistikk

Finansiell planlegging

Anvendelser av Matematisk Optimering

BØK350 OPERASJONSANALYSE 5Rasmus Rasmussen

Beslutninger - Handlingsvariabler

Restriksjoner - Begrensninger

Målsetting - Målfunksjon

Karakteristika for optimeringsproblemer

BØK350 OPERASJONSANALYSE 6Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN): f0(X1, X2, …, Xn)

Slik at : f1(X1, X2, …, Xn)<=b1

:

fk(X1, X2, …, Xn)>=bk

:

fm(X1, X2, …, Xn)=bm

Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP).

Generell form på et optimeringsproblem

BØK350 OPERASJONSANALYSE 7Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP)

BØK350 OPERASJONSANALYSE 8Rasmus Rasmussen

Blue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes.

Eksempel på et LP Problem

Data Aqua-Spa Hydro-LuxPumper 1 1Arbeid 9 timer 6 timerRør 12 dm 16 dmDB/pr. stk $350 $300

Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rør tilgjengelig.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 9Rasmus Rasmussen

1. Forstå problemet.

2. Identifiser beslutningsvariablene.X1=antall Aqua-Spa produsert

X2=antall Hydro-Lux produsert

3. Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene.

MAX: 350X1 + 300X2

5 trinn i formulering av LP modeller:

BØK350 OPERASJONSANALYSE 10Rasmus Rasmussen

4. Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene.

1X1 + 1X2 <= 200 } pumper

9X1 + 6X2 <= 1566 } arbeid

12X1 + 16X2 <= 2880 } rør

5. Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene.

X1 >= 0

X2 >= 0

5 trinn i formulering av LP modeller:

BØK350 OPERASJONSANALYSE 11Rasmus Rasmussen

LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs

Max 350X1 + 300X2

S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200

9X1 + 6X2 <= 1566

12X1 16X2 <= 2880

X1 >= 0

X2 >= 0

BØK350 OPERASJONSANALYSE 12Rasmus Rasmussen

Idé: Hver Aqua-Spa (X1) skaper det største dekningsbidraget ($350), produser derfor så mange som mulig!

Hvor mange kan vi produsere?La X2 = 0

1. restriksjon: 1X1 <= 200

2. restriksjon: 9X1 <=1566 eller X1 <=174

3. restriksjon: 12X1 <= 2880 eller X1 <= 240

Hvis X2=0, så er den største mulige verdien av X1 lik 174 og totalt dekningsbidrag er $350*174 + $300*0 = $60,900

Denne løsningen er mulig, men er den optimal? NEI!

Løsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkel

BØK350 OPERASJONSANALYSE 13Rasmus Rasmussen

Restriksjonene i et LP problem definerer et mulighetsområde.

Det beste punktet i mulighetsområdet er den optimale løsningen av problemet.

For LP problemer med 2 variabler er det lett å plotte mulighetsområdet og finne den optimale løsningen.

En akse for hver variabelEn linje for hver restriksjonEn linje for målfunksjonen

Løsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkel

BØK350 OPERASJONSANALYSE 14Rasmus Rasmussen

Vi må gjøre ulikhetene om til likheter for å kunne tegne restriksjonene.

For bruk av pumper må vi gjøre om: 1·X1 + 1·X2 ≤ 200 1·X1 + 1·X2 = 200

Om vi bare har X2 på venstre side får vi:1·X2 = 200 – 1·X1 X2 = 200/1 – 1/1·X1

Vi får dermed: X2 = 200 – 1·X1

Dette kan vi tegne inn i et diagram.

Tegne restriksjonene

BØK350 OPERASJONSANALYSE 15Rasmus Rasmussen

Plotte den første restriksjonen

X1

X2Bruk av pumper: X2 = 200 – 1·X1

200

X1 = 0 X2 = 200 (punkt på Y-aksen)

X2 = 0 200 – 1·X1 = 0 1·X1 = 200 X1 = 200/1 = 200 (punkt på X-aksen)

200

Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200

Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 ≤ 200

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0Merk ikke-negativitet:X2 ≥ 0

BØK350 OPERASJONSANALYSE 16Rasmus Rasmussen

Plotte den andre restriksjonen

X1

X2

Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

X1 = 0 6X2 = 1566 X2 = 1566/6 = 261 (punkt på Y-aksen)

X2 = 0 9X1 = 1566 X1 = 1566/9 = 174 (punkt på X-aksen)

261

174

Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 = 1566

Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 ≤ 1566

BØK350 OPERASJONSANALYSE 17Rasmus Rasmussen

Felles mulighetsområde

X1

X2

200

200

Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200

261

174

Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 = 1566

Område som tilfredsstiller begge restriksjonene

BØK350 OPERASJONSANALYSE 18Rasmus Rasmussen

Plotte den tredje restriksjonen

X1

X2

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

X1 = 0 16X2 = 2880 X2 = 2880/16 = 180 (punkt på Y-aksen)

X2 = 0 12X1 = 2880 X1 = 2880/12 = 240 (punkt på X-aksen) 180

240

Bruk av rør:12X1 + 16X2 = 2880

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 ≤ 2880

BØK350 OPERASJONSANALYSE 19Rasmus Rasmussen

Felles mulighetsområde

X1

X2

200

200

Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200

261

174

Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

Område som tilfredsstiller alle restriksjonene

180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

BØK350 OPERASJONSANALYSE 20Rasmus Rasmussen

Vi ønsker å maksimere DB = 350X1 + 300X2.

Anta at vi f.eks. produserer X1 = 100 og X2 = 0. Da blir DB = 350·100 + 300·0 = 35 000.

Om vi skal ha samme DB men lar X1 = 0, må: DB = 350·0 + 300· X2 = 35 000 300· X2 = 35 000 X2 = 35 000/300 ≈ 116,67.

Begge disse punktene: (100, 0) og (0, 116,67) gir samme DB = 35 000 .

Tegne målfunksjonen

BØK350 OPERASJONSANALYSE 21Rasmus Rasmussen

Plotte nivåkurver for målfunksjonen

X1

X2

200

200

Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200

261

174

Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

100

116

DB =350X1 + 300X2

Totalt DB= 35 000

BØK350 OPERASJONSANALYSE 22Rasmus Rasmussen

Ny nivåkurve for målfunksjonen

X1

X2

100

116

DB =350X1 + 300X2

Totalt DB= 52 500

150

175

(0,175)

(150, 0)

Første nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 100.Andre nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 150.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 23Rasmus Rasmussen

I figuren har vi tegnet isobidragslinjen for totalt dekningsbidrag lik 52 500.

Alle punkt på denne linjen har samme DB.

Om vi parallellforskyver linjen oppover (nordøst) i diagrammet vil DB øke (jo mer vi produserer av produktene jo større blir DB).

Når isobidragslinjen akkurat tangerer mulighetsområdet har vi maksimalt DB, en større produksjon er ikke mulig.

Denne tangeringen vil alltid skje i ett (eller 2) hjørnepunkt.

Maksimalt dekningsbidrag

BØK350 OPERASJONSANALYSE 24Rasmus Rasmussen

Parallellforskyve nivåkurver

X1

X2

100

116DB: 350X1 + 300X2= 52 500

150

175

DB: 350X1 + 300X2= 35 000

Optimal løsning

Størst mulig dekningsbidrag når nivåkurven ligger lengst nordøst, og samtidig tangerer mulighetsområdet.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 25Rasmus Rasmussen

Optimal løsning

X1

X2

200

200

Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200

261

174

Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

DB =350X1 + 300X2

Optimal løsning der restriksjonene for arbeid og pumper krysser hverandre

BØK350 OPERASJONSANALYSE 26Rasmus Rasmussen

Den optimale løsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser.Det skjer når de er like:

X1 + X2 = 200 (1)9X1 + 6X2 = 1566 (2)

Fra (1) får vi, X2 = 200 -X1 (3)

Setter vi (3) for X2 inn i (2) får vi,9X1 + 6 (200 -X1) = 1566Som forenkles til X1 = 122

Så den optimale løsningen er, X1=122, X2= 200 – X1 X2 =200 – 122 = 78

Totalt DB = $350122 + $30078 = $66,100

Beregne den optimale løsningen

BØK350 OPERASJONSANALYSE 27Rasmus Rasmussen

Undersøke alle hjørneløsninger

X1

X2

(0,0)Målfunksjon = 0

(0,180)Målfunksjon = 54 000

(80,120)Målfunksjon = 64 000

(122,78)Målfunksjon = 66 100

(174,0)Målfunksjon = 60 900

MERK:Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsområdet ikke er lukket.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 28Rasmus Rasmussen

1. Plott grenselinjen for hver restriksjon.

2. Identifiser mulighetsområdet.

3. Finn optimal løsning enten ved:1. Plott nivåkurver for målfunksjonen,

eller2. Beregn alle hjørneløsningene.

Sammendrag Grafisk løsning av LP Problemer

BØK350 OPERASJONSANALYSE 29Rasmus Rasmussen

Forskjellig unormale forhold kan inntreffe i LP problemer:

Alternative optimale løsninger

Overflødige restriksjoner

Ubegrenset gode løsninger

Ingen mulige løsninger

Spesielle tilfeller av LP Modeller

BØK350 OPERASJONSANALYSE 30Rasmus Rasmussen

Alternative optimale løsninger

X1

X2

Alle punktene på linjestykket har like stort dekningsbidrag, inklusive endepunktene, som er hvert sitt hjørnepunkt.I tillegg til disse to hjørnepunktene er altså også alle punkt imellom like gode.

DB: 450X1 + 300X2= 78 300

(122,78)

(174,0) MERK:Alternative optimale løsninger er gunstig. En har flere valgmuligheter.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 31Rasmus Rasmussen

Overflødig restriksjon

X1

X2

225

225

Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 225

261

174

Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566

180

240

Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880

MERK:«Overflødige» restriksjoner bør ikke fjernes. De er nødvendige når en skal foreta sensitivitetsanalyse.

Pumper påvirker ikke lenger mulighetsområdet

BØK350 OPERASJONSANALYSE 32Rasmus Rasmussen

Ubegrenset løsning

X1

X2

400

600

-1·X1 + 2·X2 ≤ 400800

400

Max: X1 + X2

200

800

X1 + X2 ≥ 400

MERK:Ved ubegrenset løsning vil det ikke fungere å beregne alle hjørnepunkter for å finne optimal løsning.

Mulighetsområdet er ikke lukket i alle retninger.

Kan øke verdien på målfunksjonen i de uendelige.Problemet har derfor en ubegrenset god løsning.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 33Rasmus Rasmussen

Ingen mulig løsning

X1

X2

150

150

X1 + X2 ≤ 150

200

Max: X1 + X2

200

X1 + X2 ≥ 200

MERK:Ved ingen mulig løsning er det ofte feil fortegn, eller feil retning på restriksjonsgrensene, eventuelt feil verdi på noen restriksjonsgrenser.Hvis alle data er riktig, må en vurdere tiltak for å gjøre problemet løsbart. (Øke kapasitet)

Mulighetsområdet er tomt.

Det finnes ingen områder som tilfredsstiller alle restriksjonene samtidig.

BØK350 OPERASJONSANALYSE 34Rasmus Rasmussen

Slutt på kapittel 2

BØK350 OPERASJONSANALYSE 35Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

LP på generell form

BØK350 OPERASJONSANALYSE 36Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk

:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm

Merk at alle restriksjonene er på formen ”<=”

LP på standard form

BØK350 OPERASJONSANALYSE 37Rasmus Rasmussen

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

Multipliser gjennom med -1:

-1| ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk

-ak1X1 - ak2X2 - … - aknXn <= -bk

Tilsvarende erstattes en ”=” med både ”<=” og ”>=”:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm

og am1X1 + am2X2 + … + amnXn >= bm

dvs. am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm

og -am1X1 - am2X2 - … - amnXn <= -bm

Omformulering til standard form

BØK350 OPERASJONSANALYSE 38Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN):

Slik at:

LP på kompakt form

1

n

i ii

c X

1

n

ij i ji

a X b j = 1, ... , m

0 iX i = 1, ... , n

BØK350 OPERASJONSANALYSE 39Rasmus Rasmussen

MAX (eller MIN):

Slik at:

Der:

LP på matriseform

CXAX B

1 2, ,..., nC c c c1

2

:

n

XX

X

X

11 1

1

n

m mn

a aA

a a

1

2

:

m

bb

B

b