linear programming worked problem

Variables con subíndice

G. Edgar Mata Ortiz

Programación Lineal: Planteamiento de problemas

Programación Lineal.

¿Qué es programación lineal?

Es un método para obtener un resultado óptimo con base en un modelo matemático en el que todas las relaciones entre variables y constantes pueden expresarse linealmente.

Variables de decisión

Reciben el nombre de variables de decisión, las incógnitas cuyos valores deben ser determinados para alcanzar el objetivo señalado por la función objetivo.

𝒙 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝟏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒗𝒂𝒏 𝒂 𝒇𝒂𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒓

𝒚 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓á

𝒙𝟏 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒊𝒓𝒔𝒆

Variables de decisión

La elección de las variables de decisión viene determinada por las características del problema, generalmente no es sencillo cambiarlas, pero su representación puede variar considerablemente según la estrategia de solución. Pueden ser variables simples, con subíndice sencillo, doble o triple (o incluso mayor).

𝒙𝟏

Variables de decisión

La representación de las variables de decisión y su significado pueden aumentar o disminuir el nivel de dificultad en la resolución de un problema.

Es muy importante definir, por escrito, el significado de las variables de decisión.

Uso de variables de decisión con subíndices

dobles.

Ejemplo

𝒙𝒊,𝒋 = ⋯

Ejemplo

La fábrica “The Barn” produce tres tipos de combinaciones energéticas de semillas cuyos precios por libra se muestran en los paquetes.

Ejemplo

Las tres mezclas contienen los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo, aunque en diferentes proporciones. Los costos de los ingredientes, por libra, se muestran en las imágenes

$𝟎. 𝟗𝟎

$𝟏. 𝟔𝟎

$𝟏. 𝟓𝟎

Ejemplo

El precio de venta se ve afectado por las proporciones de los ingredientes presentes en cada mezcla.

La mezcla normal debe contener, al menos, 5% de cada ingrediente.

Ejemplo

El precio de venta se ve afectado por las proporciones de los ingredientes presentes en cada mezcla.

La mezcla especial debe contener, al menos, 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera de ellos.

Ejemplo

El precio de venta se ve afectado por las proporciones de los ingredientes presentes en cada mezcla.

La mezcla extra debe contener, al menos, 25% de pasas, y no más del 25% de maní.

Ejemplo

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles, por semana, un máximo de 1000 libras de maní, 2000 de pasas, y 3000 de algarrobo.

Ejemplo

Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas.

Por razones de mercado, la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total.

Plantea un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades.

Ejemplo: Análisis de la Información

Las variables de decisión serán las cantidades de ingredientes empleados en la elaboración de las mezclas.

Ejemplo: Análisis de la Información

Lo que debemos decidir ahora es: ¿Cómo identificar las variables de modo que faciliten el proceso de solución del problema?

Ejemplo: Análisis de la Información

Lo que debemos decidir ahora es: ¿Cómo identificar las variables de modo que faciliten el proceso de solución del problema?

La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.

Ejemplo: Análisis de la Información

La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.

𝒙𝟏,𝒏 = Maní empleado en la mezcla…

Ejemplo: Análisis de la Información

Ejemplo: Análisis de la Información

𝒙𝟏,𝟏

𝒙𝟏,𝟐

𝒙𝟏,𝟑

Maní empleado en la mezcla Normal

Maní empleado en la mezcla Especial

Maní empleado en la mezcla Extra

Ejemplo: Análisis de la Información

La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.

𝒙𝟐,𝒏 = Pasas empleadas en la mezcla…

Ejemplo: Análisis de la Información

Ejemplo: Análisis de la Información

𝒙𝟐,𝟏

𝒙𝟐,𝟐

𝒙𝟐,𝟑

Pasas empleadas en la mezcla Normal

Pasas empleadas en la mezcla Especial

Pasas empleadas en la mezcla Extra

Ejemplo: Análisis de la Información

La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.

𝒙𝟑,𝒏 =Algarrobo empleado en la mezcla…

Ejemplo: Análisis de la Información

Ejemplo: Análisis de la Información

𝒙𝟑,𝟏

𝒙𝟑,𝟐

𝒙𝟑,𝟑

Algarrobo empleado en la mezcla Normal

Algarrobo empleado en la mezcla Especial

Algarrobo empleado en la mezcla Extra

Ejemplo: Variables de decisión

𝒙𝟏,𝟏 𝒙𝟏,𝟐 𝒙𝟏,𝟑

𝒙𝟐,𝟏 𝒙𝟐,𝟐 𝒙𝟐,𝟑

𝒙𝟑,𝟏 𝒙𝟑,𝟐 𝒙𝟑,𝟑

Ejemplo: Variables de decisión

Ejemplo: Variables de decisión

Ejemplo: Variables de decisión

Ejemplo: Variables de decisión

Ejemplo: Variables de decisión

Ejemplo: Variables de decisión

𝒙𝟏,𝟏 𝒙𝟏,𝟐 𝒙𝟏,𝟑

𝒙𝟐,𝟏 𝒙𝟐,𝟐 𝒙𝟐,𝟑

𝒙𝟑,𝟏 𝒙𝟑,𝟐 𝒙𝟑,𝟑

Una vez identificadas claramente las variables de decisión, se plantean las restricciones indicadas por el problema.

Ejemplo: Restricciones.

En este problema existen diferentes restricciones.

Vamos a identificar las restricciones siguiendo el orden establecido en el problema.

Ejemplo: Restricciones.

En este problema existen diferentes restricciones.

Vamos a identificar las restricciones siguiendo el orden establecido en el problema:

Ejemplo: Restricciones.

En primer lugar veamos cómo se representa, algebraicamente, el contenido de la mezcla normal.

Debe ser el maní empleado en la mezcla normal, más las pasas empleadas en la mezcla normal, más el algarrobo empleado en la mezcla normal.

Al menos 5% de cada ingrediente

Ejemplo: Restricciones.

Debe ser:

El maní empleado en la mezcla normal,

Más las pasas empleadas en la mezcla normal,

Más el algarrobo empleado en la mezcla normal.

Al menos 5% de cada ingrediente

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla normal:

Al menos 5% de cada ingrediente

Ejemplo: Restricciones.

Al menos 5% de cada ingrediente

Ejemplo: Restricciones.

Cada ingrediente debe representar, al menos, el 5% de esta mezcla.

Al menos 5% de cada ingrediente

Ejemplo: Restricciones.

Cada ingrediente debe representar, al menos, el 5% de esta mezcla.

Al menos 5% de cada ingrediente

Ejemplo: Restricciones.

Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla especial:

Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla especial:

Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla especial:

Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla especial:

Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla especial:

Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla extra:

Al menos 25% de pasas, y no más del 25% de maní

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla extra:

Al menos 25% de pasas, y no más del 25% de maní

Ejemplo: Restricciones.

Mezcla extra:

Al menos 25% de pasas, y no más del 25% de maní

Ejemplo: Restricciones.

Ingredientes:

Maní

Pasas

Algarrobo

Disponible máximo: 1000 de maní, 2000 de pasas, y 3000 de algarrobo

Ejemplo: Restricciones.La cantidad de mezcla normal no debe exceder del 20% de la producción total.

Ejemplo: Función Objetivo.

Costo total

Ejemplo: Función Objetivo.

Ingresos

Ejemplo: Función Objetivo.

Ganancia = Ingresos – Costos

–

Ejemplo: Restricciones.

Ganancia = Ingresos – Costos

Al igual que con las restricciones, es necesario simplificar algebraicamente la función objetivo para poder utilizar algún software que resuelva el modelo.

Por su atenciónGracias

Fuentes de información en línea:http://licmata-math.blogspot.mx/http://www.scoop.it/t/mathematics-learninghttps://www.facebook.com/licematahttps://www.linkedin.com/in/licmatahttp://www.slideshare.net/licmataTwitter @licemata