lectures in applied econometrics 06

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 1/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Κ εφάλαιο 6.Περισσότερα

ΟικονομετρικάΠροβλήματα

1. Σφάλματα στις ερμηνευτικές μεταβλητές

Συνήθως, είναι όταν οι ερμηνευτικές μεταβλητές μπορούν ναμετρηθούν μόνο με σφάλματα όπως ακριβ!ς, άλλωστε, και ηε"αρτημένη μεταβλητή#. $"άλλου πολλές οικονομικές μεταβλητέςσυ%κεντρ!νονται και κατα%ράφονται από τις ί&ιες υπηρεσίες π'την $Σ($# και έτσι είναι πιθανό να υπόκεινται στα ί&ια σφάλματαμέτρησης.

)ο υπό&ει%μα που θα μπορούσαμε να έ'ουμε, είναι*

*

t t t β = × +y x u ,

*

t t t = +x x e ,

όπου *

t x  είναι η ά%νωστη, αληθινή τιμή της μεταβλητής και t 

x  είναι

η τιμή την οποία έ'ουμε στην πρα%ματικότητα και παρατηρούμε.

Σαν παρά&ει%μα, t y  είναι η επέν&υση μιας επι'είρησης, *

t x  είναι η

πρα%ματική από&οση την οποία έλαβε υπό+η της η επι'είρηση κατάτο σ'ε&ιασμό της επέν&υσης και t 

x  είναι η λο%ιστική της από&οση

όπως προκύπτει από τα στοι'εία του ισολο%ισμού. Στη &ιάθεσήμας, έ'ουμε μόνο τη λο%ιστική από&οση. α υποθέσουμε ότι ηπρα%ματική και λο%ιστική από&οση &ιαφέρουν μόνο ε"αιτίαςτυ'αίων παρα%όντων-.

μέθο&ος /0 &εν μπορεί να ο&η%ήσει, σε καμία περίπτωση σεαμερόληπτες ή συνεπείς εκτιμητές. 1πορούμε να &εί"ουμεσυμβολικά το λό%ο, ως ε"ής*

1

  Αυτό υποθέτει ότι ο manager  είναι σε θέση να έχει τη σωστή προσδοκία, κατά μέσον όρο, για τηναπόδοση της επένδυσης που πραγματικά θα επιτευχθεί. Τέτοιες υποθέσεις έγονται, συχνά,

!ορθοογικές προσδοκίες".

1#1

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 2/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Πιο συ%κεκριμένα, θα έ'ουμε*

( )*

t t t t t t t t  β β β = + = − + =y x u x e u x + v ,

όπου t t t β = −v u e . 2ς υποθέσουμε ότι*

( ) ( ) $t t 

= =u eE E ,

( )   ( ) ( )* * $t t t t t t  

= = =u e x u x eE E E  

και ( ) %

t ar    σ =

  eeV  .

Στην περίπτωση αυτή θα έ'ουμε*

( )   ( ) ( )

( )   ( )   ( )

( )

*

* * %

% %

& '

  $.

t t t t t t  

t t t t t t t  

t 

β 

β β 

β βσ 

= + − =

− + − =

− = − ≠e

x v x e u e

u x e x e u e

e

E E

E E E E

E

Στην περίπτωση, λοιπόν, που οι ερμηνευτικές μεταβλητέςμετρούνται με σφάλματα, μια βασική υπόθεση της μεθό&ου /0παραβιά3εται και η εφαρμο%ή της ο&η%εί σε ασυνεπείς εκτιμητές.

Σε τέτοιες περιπτ!σεις μπορεί να είναι 'ρήσιμη η μέθοδος τωνβοηθητικν μεταβλητν instrumental variables, 45#. ια νακατανοήσουμε τη μέθο&ο αυτή, ας υποθέσουμε το κλασσικό

%ραμμικό υπό&ει%μα* t t t β = +y x u , %ια κάθε 1, ,t n=   L .

$ίναι σαφές ότι αν πολλαπλασιάσουμε και τα &υο μέλη με t x , θαέ'ουμε %

t t t t  vβ = +x y x u . 2ν είμαστε σε θέση να υποθέσουμε ότι

( ) $t t    =x uE , ο εκτιμητής /0, 1

%

1

(

n

t t 

t 

n

t 

t 

=

=

=∑

∑

x y

β

x

 θα είναι αμερόληπτος. 2υτή

είναι βέβαια μια εναλλακτική παρουσίαση της μεθό&ου /0. $άν,

όμως, τα t x   και t u   συσ'ετί3ονται, τότε &εν μπορούμε να

εφαρμόσουμε αυτή την τε'νική.

1#%

( )*

* 

t t t 

t t t t t t t t  

t t t t 

β β β β 

= × +   ⇒ = × − + ⇒ = × + − ×= +     v

y x uy x e u y x u e

x x e   142 43

)πομένως το t e  επιδρά στο t 

v  και στο t x  οπότε τα ( ),

t t x v  θα πρέπει να

συσχετίονται.

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 3/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

 2ν ωστόσο "εκινήσουμε με τη σ'έση t t t β = +y x u   και θεωρήσουμε

μια μεταβλητή t z  με την οποία πολλαπλασιά3ουμε και τα &υο μέλη

%ια να έ'ουμε*

t t t t t t  β = +z y z x z u ,

τότε, αθροί3οντας και &ιαιρ!ντας με n , προκύπτει*

1 1 1

1 1 1

n n n

t t t t t t  

t t t 

n n nβ − − −

= = =

= +∑ ∑ ∑z y z X z u .

 2πό τη σ'έση αυτή, ο εκτιμητής*

1

1

(  +

n

t t 

t 

 IV    n

t t 

t 

=

=

∑

∑

z y

β

z x ,

θα ήταν συνεπής, αν κανείς μπορούσε να υποθέσει &υο πρά%ματα*

-.1

1

- $n

t t 

t 

 p n−

=

  ÷  

≠∑z x ,

7.1

1

- + $n

t t 

t 

 p n−

=

  ÷  

∑z u .

-# μας λέει ουσιαστικά ότι τα t z και t x   δεν  πρέπει να είναι

ασυσ'έτιστα, εν! η 7# μας λέει ότι τα t z  και t u  !ρέ!ει να είναι

ασυσ'έτιστα.

8ι παραπάνω υποθέσεις, είναι &ιατυπωμένες σε όρους plim  αλλά&εν πρέπει να μας προβληματίσουν. νωρί3ουμε τον 9όμο των1ε%άλων 2ριθμ!ν 912# ο οποίος λέει ότι αν έ'ουμε τυ'αίο

&εί%μα 1 %, , , nw w wL  από κάποια κατανομή με πεπερασμένο μέσο μ,

τότε1

1

n

t 

t 

n−

=

=   ∑w w , &ηλα&ή ο &ει%ματικός μέσος, είναι συνεπής

εκτιμητής του μ, &ηλα&ή έ'ουμε ( )1

1

-n

t t 

t 

 p n   µ −

=

 = = ÷

 ∑w wE . :άτω από

ορισμένες υποθέσεις, είναι λο%ικό να έ'ουμε ανάλο%α, από τον912 ότι*

( )1

1

- $n

t t t t  

t 

 p n−

=

 = ≠ ÷

 ∑z x z xE  και ( )1

1

- $n

t t t t  

t 

 p n−

=

 = = ÷

 ∑ z u z uE .7

%  /ι συγκεκριμένες αναμενόμενες τιμές δεν είναι παρά συνδιακυμάνσεις.

1#0

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 4/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Σε μια τέτοια περίπτωση, λοιπόν, η t z   λέ%εται βοηθητική

μεταβλητή. Στην ουσία, το πρόβλημα είναι ότι λό%ω της

συσ'έτισης μετα"ύ t x   και t u , &εν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη

μέθο&ο /0.

 2ν, ωστόσο, υπάρ'ει μια μεταβλητή που δεν συσ'ετί3εται με το t u

αλλά έ"ει κάποια σ'έση με το t x , τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε

τη μέθο&ο 45 και να έ'ουμε συνεπείς εκτιμητές.

#έτοιες μεταβλητές$ δεν ε%ναι &ενικά !ροφανές α!ό !ο'!ροέρ"ονται αλλά ό!ως θα δο'με !αρακάτω$ σε ορισμένεςσημαντικές !ερι!τσεις ε%ναι δυνατόν να τις!ροσδιορ%σουμε.

Στη συνέ'εια θα &ιερευνήσουμε τη συμπεριφορά των εκτιμητ!ν /0και 45 με τη 'ρήση προσομοίωσης. Σαν παρά&ει%μα, ας υποθέσουμε

$$n   = , $,1u

σ   = , $,e

σ   =  και * 2t 

  t n=x .

Σαν βοηθητική μεταβλητή, έ'ουμε την *

t t t = +z x w , ( )%3 $,

t wiidN    σ w ,

&ηλα&ή σαν βοηθητική μεταβλητή έ'ουμε μια άλλη προσέ%%ιση της*

t x . α υποθέσουμε ότι το wσ   μπορεί να λάβει τις τιμές ;,<, -, 7

και 7,=. θα 'ρησιμοποιήσουμε -;.;;; επαναλαμβανόμενα&εί%ματα. Στα επόμενα &ια%ράμματα, με συνε'ή %ραμμή φαίνεται ηκατανομή &ει%ματολη+ίας του εκτιμητή /0 και με &ιακεκομμένη

%ραμμή η κατανομή &ει%ματολη+ίας του εκτιμητή 45. 8ι σ'ετικοίυπολο%ισμοί έ%ιναν με το πακέτο WinGauss.

Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 89$:.

1#4

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 5/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 81.

1#

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 6/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 8;.

Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 8;$<.

$ίναι φανερό ότι όσο 'ειρότερη είναι η t z  σαν προσέ%%ιση της *

t x ,

&ηλα&ή όσο αυ"άνεται η τιμή του σ w , ο εκτιμητής 45 παραμένει μεν

αμερόληπτος αλλά η κατανομή του %ίνεται έντονα ασυμμετρική

προς τα &ε"ιά. 2υτό το πρόβλημα είναι %νωστό στην οικονομετρική

1#5

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 7/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

βιβλιο%ραφία με τον όρο >ασθενείς βοηθητικές μεταβλητές? weakinstruments#.

8 εκτιμητής /0 είναι φυσικά πάντα μεροληπτικός.

1ια περίπτωση στην οποία είναι προφανές ποιες είναι οιβοηθητικές μεταβλητές, είναι η επόμενη.

;. Συστήματα ε=ισσεων>*ια εφαρμο&ή της μεθόδου των βοηθητικν μεταβλητν

 2ς θεωρήσουμε το βασικό :ε@νσιανό υπό&ει%μα*

t t t β = × +C Y u ,

t t t = +Y C G ,A

%ια κάθε 1, ,t n=   L , $ 1β ≤ < .

ανη%μένη μορφή του υπο&εί%ματος είναι*

 +1

t t t 

β 

β 

× +−

G uC , +

1

t t t 

β 

+−

G uY .

$ίναι προφανές ότι ( ), $t t Cov   ≠Y u   αφού t t →u Y #B  και επομένως η

εκτίμηση της συνάρτησης κατανάλωσης με τη μέθο&ο /0, &ηλα&ή

1

%

1

(

n

t t 

t 

n

t 

t 

=

=

= ∑∑

C Yβ

Y

, θα ο&η%ήσει σε ασυνε!ε%ς εκτιμητές.

 2ν το t G  είναι μη στο'αστικό, ή τουλά'ιστον ( ), $t t Cov   =G u =, τότε

το t G  συσ'ετί3εται με το t Y  αφού t t →G Y # αλλά ό"ι με το t u  και

επομένως, μπορεί να 'ρησιμοποιηθεί σαν βοηθητική μεταβλητήστην εφαρμο%ή της μεθό&ου 45.

1πορεί να απο&ει'θεί ότι (- p   β >β , πρά%μα που σημαίνει ότι C /0

εκτιμητής υπερεκτιμά τη πρα%ματική οριακή ροπή %ια κατανάλωσησε με%άλα &εί%ματα, στη ρεαλιστική περίπτωση που έ'ουμε 1β  < .

0  6 ταυτότητα δεν περιέχει στοχαστικό όρο και άγνωστες παραμέτρους γιατί αυτός είναι ακρι78ς ο

ορισμός του Α)9.4  Το 7έος έχει, εδ8, την έννοια ότι η μια μετα7ητή επιδρά στην άη και όχι την έννοια της

στοχαστικής σ:γκισης.  ;ια τέτοια υπόθεση, είναι ογική. Τα σ<άματα στη συνάρτηση κατανάωσης, u, είναι η !μη

προγραμματισμένη κατανάωση" των ιδιωτ8ν και επομένως δεν μπορο:ν να συσχετίονται με το G,

εκτός αν αυτό περιέχει συνιστ8σες που α<ορο:ν επιδοτήσεις προς τα νοικοκυριά. =υσικά, το Gπεριέχει και συνιστ8σες όπως η ιδιωτική επένδυση και οι καθαρές ε>αγωγές, που είναι ογικό να είναι

ασυσχέτιστες με το u.

1##

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 8/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Dστόσο η εφαρμο%ή της μεθό&ου 45 ε%ναι  &υνατή σε τέτοιαυπο&εί%ματα και με%άλο μέρος της οικονομετρίας έ'ει ασ'οληθείμε την εύρεση καλύτερων εκτιμητ!ν, όπως είναι οι εκτιμητές των&υο και τρι!ν στα&ίων ελά'ιστων τετρα%!νων two-three stageleast squares, 70/0 και A0/0# ο εκτιμητής μέ%ιστης πιθανοφάνειαςμε πλήρη πληροφόρηση  full information maximum likelihood,E4F/# και ο εκτιμητής μέ%ιστης πιθανοφάνειας με περιορισμένηπληροφόρηση limited information maximum likelihood, /4F/#.

Στη συνέ'εια θα &ιερευνήσουμε, με προσομοίωση, τη συμπεριφοράτων εκτιμητ!ν /0 και 45 70/0# στο υπό&ει%μα της κατανάλωσης,

με $,?β  = , $,σ   =u  και 1$,1 $,?t t t −= + × +G G w , %ια κάθε %, ,t n=   L , 1 1G  = ,

( )%3 $, $,1t    iid N w  και μέ%εθος &εί%ματος 4$n   = .6  Gρησιμοποιήθηκαν

7;.;;; επαναλαμβανόμενα &εί%ματα και οι κατανομές&ει%ματολη+ίας φαίνονται στο επόμενο &ιά%ραμμα.

Κ(#()Ο*-Σ ,-/*(#Ο0+(Σ #2) -Κ#*+#2) 34 Κ(5 ?;434@ Σ#Ο ΣAΣ#+*( #+Σ ΣA)(B#+Σ+Σ Κ(#()(02Σ+Σ

5  6 ε>ειδίκευση σημαίνει ότι οι δημόσιες δαπάνες ακοουθο:ν μια !ομαή πορεία" διαχρονικά,

δηαδή ένα αυτοπαίνδρομο σχήμα πρ8του 7αθμο: με σημαντική αυτοσυσχέτιση. 6 αρχική τιμή 1απά καθορίει τις μονάδες μέτρησης. /ι δημόσιες δαπάνες στη σταθερή κατάσταση & steady state'

είναι επίσης 1 και έτσι έχουμε ένα αυτοπαίνδρομο σχήμα που κινείται στη σταθερή κατάσταση.

1#@

+ μεροληC%α του εκτιμητή 34$ μας δε%"νει ότι δεν μ!ορε%να εφαρμοσθε% σε συστήματα ε=ισσεων ?simultaneous

equation models@ ό!ως το !αρα!άνω.

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 9/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Hλέπουμε καθαρά τη θετική μερολη+ία του εκτιμητή /0 και τηνσυ%κέντρωση του εκτιμητή 45 %ύρω από την αληθινή τιμή τηςπαραμέτρου. :αι οι &υο κατανομές &ει%ματολη+ίας, εμφανί3ουναρνητική ασυμμετρία.

Παρότι φαίνεται ότι η μερολη+ία είναι πολύ μικρή περίπου ;,;7# η&ιαφορά %ίνεται ευ&ιάκριτη αν θεωρήσουμε τη κατανομή&ει%ματολη+ίας των αντίστοι'ων πολλαπλασιαστ!ν του

εισο&ήματος &ηλα&ή1

1π 

β =

−# που προκύπτουν από τη 'ρήση

των &υο μεθό&ων, όπως φαίνεται στο παρακάτω &ιά%ραμμα.

Κ(#()Ο*-Σ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) ΠΟ00(Π0(Σ(Σ#2) ?!@ Σ#Ο ΣAΣ#+*( #+Σ

ΣA)(B#+Σ+Σ Κ(#()(02Σ+Σ

1#?

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 10/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

D. ,υναμικά υ!οδε%&ματα με αυτοσυσ"έτιση στασφάλματα

Σαν μια άλλη εφαρμο%ή ας θεωρήσουμε ένα δυναμικό υ!όδει&μαμε αυτοσυσ'έτιση στα σφάλματα*

1t t t β  −= +y y u ,

1t t t  ρ  −= +u u e ,

( )%3 $,t    iid    σ ee .

1πορεί να απο&ει'θεί, πολύ εύκολα, ότι η εφαρμο&ή τηςμεθόδου 34$ δεν οδη&ε% σε συνε!ε%ς εκτιμητές. $&! φυσικάέ'ουμε μια περίπτωση στην οποία η αυτοσυσ'έτιση &εν είναι τόσοαθ!α, &ηλα&ή ο&η%εί σε μεροληπτικούς και ασυνεπείς /0εκτιμητές και ό'ι απλά σε εκτιμητές με λανθασμένες

&ιακυμάνσεις.

Πρα%ματικά, αν λάβουμε πρ!τες &ιαφορές έ'ουμε*

1 % 1t t t β − − −= × +y y u .

 2πό τις σ'έσεις μας είναι προφανές ότι 1t t −   →u u   και 1 1t t − −→u y ,

οπότε τα t u   και 1t −y   στην αρ'ική ε"ίσωση &εν μπορεί να είναι

ασυσ'έτιστα, εφόσον επηρεά3ονται από τον ί&ιο κοινό παρά%οντα,

&ηλα&ή το 1t −u .

1ια άλλη ερμηνεία του ί&ιου πρά%ματος, είναι ε"ίσου&ιαφωτιστική. 2ν πολλαπλασιάσουμε με  ρ   και λάβουμε πρ!τες&ιαφορές στην αρ'ική σ'έση θα έ'ουμε*

1 % 1t t t  ρ βρ ρ − − −= +y y u .

 2ν αφαιρέσουμε από την πρ!τη ε"ίσωση έ'ουμε*

( )1 1 %t t t t t   ρ β ρ − − −− = − +y y y y e ,

την οποία μπορούμε να %ρά+ουμε στη μορφή*

( ) 1 %t t t t  β ρ βρ  − −= + − +y y y e .

Στην μορφή αυτή ωστόσο είναι φανερό ότι το σωστό υπό&ει%μα

είναι εκείνο που μόλις %ρά+αμε. 2υτό &ιαφέρει από το αρ'ικόυπό&ει%μα, %ια τον λό%ο ότι λανθασμένα έ'ουμε παραλεί+ει τη

1@$

-!ομένως μια βασική υ!όθεση της 34 !αραβιάEεται κιFέτσι δεν μ!ορο'με να ελ!%Eουμε ότι καταλή&ει σε

συνε!ε%ς εκτιμητές.

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 11/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

μεταβλητή %t −y   και, επομένως η μέθο&ος /0 θα έ'ει μεροληπτικό

σφάλμα.

1@1

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 12/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

G. Hαινομενικά άσ"ετες !αλινδρομήσεις> *ια εφαρμο&ήτης μεθόδου I34

 2ς υποθέσουμε ότι η επέν&υση   tmy # της επι'είρησης m  στο έτος t ,

ε"αρτάται από τα κέρ&η της επέν&υσης   ti x # και ότι ένα λο%ικό

υπό&ει%μα είναι tm tm tm xβ = +y u , %ια 1, ,m M =   L   και 1, ,t n=   L , &ηλα&ή

έ'ουμε  M  επι'ειρήσεις και n  'ρονικές περιό&ους.

 2ν ο συντελεστής β    είναι κοινός %ια κάθε επι'είρηση, είναιπιθανό ότι θα μπορούσαμε να κερ&ίσουμε σε αποτελεσματικότητααν εκτιμούσαμε το σύστημα των  M  επι'ειρήσεων από κοινού, αντίνα εκτιμήσουμε το β   με τη μέθο&ο /0 %ια μια μόνο επι'είρηση. )οί&ιο θα συνέβαινε, αν υπήρ'αν περιορισμοί μετα"ύ των

παραμέτρων mβ   που θα μπορούσαν, %ενικά, να &ιαφέρουν μετα"ύ

των επι'ειρήσεων.

Στη συ%κεκριμένη περίπτωση μπορούμε να υποθέσουμε ότι τασφάλματα της κάθε ε"ίσωσης, έ'ουν μέση τιμή μη&έν και &εναυτοσυσ'ετί3ονται.

Jα υ!οθέσουμε όμως ότι τα σφάλματα δυο ε!ι"ειρήσεωνμ!ορο'ν να συσ"ετ%Eονται στην %δια "ρονική !ερ%οδο αλλάό'ι σε άλλες περιό&ους#. λο%ική της υπόθεσης αυτής, είναι ότι οιεπεν&ύσεις &ιαφορετικ!ν επι'ειρήσεων μπορούν να έ'ουνεπηρεασθεί από μια κοινή μακροοικονομική &ιαταρα'ή και

επομένως, &εν μπορούν να θεωρηθούν ως ανε"άρτητες.

Πιο %ενικά ας υποθέσουμε το ακόλουθο σύστημα των  M ε"ισ!σεων*

1 1 1 1

% % % %

,

,

  ...

,

t t t 

t t t 

tM M tM tM  

 x

 x

 x

β 

β 

β 

′= +′= +

′= +

y u

y u

y u

%ια κάθε 1, ,t n=   L .$ναλλακτικά έ'ουμε*

1 1

1 1 1 1& 1' & ' & 1' & 1'n n k k n

 X    β × × × ×

= +y u ,

% %

% % % %& 1' & ' & 1' & 1'n n k k n

 X    β × × × ×

= +y u ,

I

& 1' & ' & 1' & 1' M M 

 M M M M n n k k n

 X    β × × × ×

= +y u .

α υποθέσουμε ότι*

1@%

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 13/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

( )1

%

& '& 1'3 $ ,

t 

t 

t  M M  M 

tM 

iid ××

≡ Σ

u

uU

u

M, %ια κάθε 1, ,t n=   L .

α συμβολίσουμε με

1

%

 +

m

m

m

tm

nm

u

u

uu

u

M

M

,

 το &ιάνυσμα των στο'αστικ!ν όρων της ε"ίσωσηςm

 %ια κάθε1, ,m M =   L # %ια όλες τις παρατηρήσεις.

ια απλότητα ας υποθέσουμε ότι έ'ουμε μόνο &υο επι'ειρήσεις καιτο σύστημά μας είναι

1 1 1 1

% % % %

,

.

t t t 

t t t 

 x

 x

β 

β 

= +

= +

y u

y u

ια να μετατρέ+ουμε το σύστημα σε μια ε"ίσωση< μπορούμε να το%ρά+ουμε στη μορφή*

11 11

%1 %1

1 1

1 1

1% 1%

%% %%

% %

% %

  $

  $

$

$  +

$

$

$

$

t t 

n n

t t 

n n

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

M M

M M

M M

M M

11

%1

1

11

% 1%

%%

%

%

t 

n

t 

n

β 

β 

  × +    

u

u

u

u

u

u

u

u

M

M

M

M

.

μορφή αυτή, απαιτεί φυσικά έναν κατάλληλο ορισμό της μήτρας X , όπως φαίνεται στα παραπάνω. 2πό τη μορφή αυτή, ωστόσο,

#

  / όγος είναι, <υσικά, ότι γνωρίουμε τρόπους εκτίμησης μιας εκτίμησης αά όχι τρόπουςεκτίμησης ενός συστήματος. )πομένως, είναι ογικό να σκε<το:με τρόπους με τους οποίους το

σ:στημα μπορεί να αναχθεί σε μια ε>ίσωση.

1@0

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 14/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

είναι φανερό ότι τα σφάλματα θα είναι ετεροσκε&αστικά και θασυσ'ετί3ονται μετα"ύ τους, εφόσον*

8ι όροι 1t u  και %t u  θα έ'ουν &ιαφορετική &ιακύμανση και

οι όροι 1t u  και %t u  %ενικά θα συσ'ετί3ονται,

%ια κάθε 1, ,t n=   L .

$πομένως η κατάλληλη μέθοδος εκτ%μησης$ ε%ναι η I34. 8εκτιμητής αυτός, λέ%εται και 0JK από τον όρο seemingly unrelated regressions# .

8 υ!ολο&ισμός του KI34 εκτιμητή, στηρί3εται στα ε"ήςβήματα*

-. :άθε ε"ίσωση εκτιμάται με τη μέθο&ο /0, η οποία%νωρί3ουμε ότι &ίνει αμερόληπτους και συνεπείς εκτιμητές.

7. 2πό τα κατάλοιπα των ε"ισ!σεων, υπολο%ί3εται μιαεκτίμηση (Σ  της μήτρας συν&ιακύμανσης των σφαλμάτων.

A. 1ε βάση τη μήτρα (Σ , υπολο%ί3εται η %νωστή EL/0 εκτίμηση

των παραμέτρων β  .

&ια&ικασία αυτή υπάρ'ει σε όλα τα οικονομετρικά πακέτα καιέτσι &εν είναι ανά%κη να απασ'ολήσει τον 'ρήστη. α πούμε

μόνον ότι με βάση τα κατάλοιπα της μεθό&ου /0, έστω 1(t u  και %(t u , ηεκτίμηση της μήτρας Σ , θα είναι*

1 % 1

1 1 %

1 1

1 1 %

1 % %

1 1

( ( ( 

+

( ( ( 

(  

n n

t t t 

t t 

n n

t t t 

t t 

n u n u u

n u u n u

− −

= =

− −

= =

Σ∑ ∑

∑ ∑.

 (=%Eει να σημειωθε% ότι με&άλο μέρος της εφαρμοσμένηςοικονομετρ%ας στη θεωρ%α Eήτησης και στη θεωρ%α!αρα&ω&ής$ στηρ%Eεται σε τέτοια συστήματα. -!ομένως$ ηε=οικε%ωση με τα βασικά "αρακτηριστικά της μεθόδου$ε%ναι α!αρα%τητη.

Σαν ένα άλλο απλό παρά&ει%μα των &υνατοτήτων της μεθό&ου0JK, ας θεωρήσουμε το ακόλουθο σύστημα που έ'ει πολλά από τα'αρακτηριστικά των συστημάτων που θα συναντήσουμε στηθεωρία 3ήτησης και στη θεωρία παρα%ω%ής*

1@4

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 15/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

1 1 1 % % 1

% % 0 0 4 %

,

,

t t t t  

t t t t  

 X X 

 X X 

β β 

β β 

= + += + +

Y u

Y u

με τον επιπλέον περιορισμό* % 0 1β β + = .

Στο υ!όδει&μα αυτό έ"ουμε !εριορισμο'ς στις!αραμέτρους μιας ε=%σωσης ?της δε'τερης@ αλλά και!εριορισμο'ς μετα=' των !αραμέτρων των ε=ισσεων*

παράμετρος %β  , εμφανί3εται και στις &υο ε"ισ!σεις.

)ο σύστημα θα μπορούσε να %ραφεί στην εναλλακτική μορφή*

1 1 1 % % 1

% 0 0 4 4 %

,

,

t t t t  

t t t t  

 x x

 x x

β β 

β β 

= + +

= + +

y u

y u

με τους περιορισμούς % 0 $β β − =   και 0 4 1β β + = . Hυσικά

ε!ιτρέ!ουμε στα σφάλματα των ε=ισσεων νασυσ"ετ%Eονται μετα=' τους στην %δια "ρονική !ερ%οδο.

1πορεί να απο&ει'θεί ότι ο 0JKMEL/0 εκτιμητής, είναι ί&ιος μετον εκτιμητή /0 κάθε ε"ίσωσης "ε'ωριστά, σε &υο περιπτ!σεις*

Nταν τα σφάλματα της κάθε ε"ίσωσης δεν συσ'ετί3ονται με τασφάλματα των υπόλοιπων ε"ισ!σεων και

όταν όλες οι ε"ισ!σεις έ'ουν τις %διες  ερμηνευτικέςμεταβλητές.

$πομένως, αν μια τουλά'ιστον# από τις περιπτ!σεις αυτές ισ'ύει,τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε την κάθε ε"ίσωση "ε'ωριστά με /0,'ωρίς να είναι ανά%κη να καταφύ%ουμε στη μέθο&ο 0JK. 1ια πολύεν&ιαφέρουσα τέτοια περίπτωση, είναι η ακόλουθη.

<. ,ιανυσματικά αυτο!αλ%νδρομα σ"ήματα

Oνα εν&ιαφέρον υπό&ει%μα στο οποίο η εφαρμο%ή της μεθό&ου 0JK είναι ισο&ύναμη με τη μέθο&ο /0, είναι το υπό&ει%μα LM  vector autoregression#.

1@

+ μέθοδος 4NMOKI34 μ!ορε% να ε!εκταθε% &ια να εκτιμήσειτέτοια συστήματα$ τα ο!ο%α !ου έ"ουν !εριορισμο'ς στις

!αραμέτρους μετα=' των ε=ισσεων ?cross equationrestrictions@ και ο εκτιμητής αυτός υ!άρ"ει σε όλα$

σ"εδόν$ τα οικονομετρικά !ακέτα.

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 16/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

 2ς υποθέσουμε ότι μας εν&ιαφέρει η επί&ραση της νομισματικήςπολιτικής στο εισό&ημα. 2ς ορίσουμε το &ιάνυσμα*

  +t 

t 

tM

XY

,

όπου t M   είναι η ποσότητα 'ρήματος και t Y   είναι το εθνικό

εισό&ημα.

)ο υπό&ει%μα 5PK είναι*

11 1% 1 10 1 1

%1 %% 1 %0 1 %

,

,

t t t t  

t t t t  

β β β 

β β β 

− −

− −

= + + += + + +

M M Y u

Y M Y u

το οποίο μπορεί να %ραφεί στη μορφή*

1% 10 1 111

%1 %% %0 1 %

 t t t 

t t t 

β β β 

β β β 

−

−

= + × +

M M u

Y Y u, &ηλα&ή

1 1t t t  Bβ  −= + × +X X u ,

όπου*

11

1

%1

β β 

β 

= 

 και

1% 10

%% %0

  B

β β 

β β 

= 

.

$φόσον κάθε ε"ίσωση περιέ'ει ακριβ!ς τις ί&ιες ερμηνευτικέςμεταβλητές, το υπό&ει%μα μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθο&ο /0 καιαυτή θα είναι ισο&ύναμη με τη μέθο&ο 0JK, ακόμη και αν

( )1 %, $t t Cov   ≠u u .

Στο συ%κεκριμένο υπό&ει%μα ο συντελεστής 10β   &ίνει την επί&ραση

της νομισματικής πολιτικής στο εισό&ημα.

Oνα άλλο εν&ιαφέρον υπό&ει%μα είναι το υ!όδει&μα

α!οτ%μησης της α&οράς κεφαλα%ου  capital asset pricingmodel, PLQR#.

 2ς υποθέσουμε ότι έ'ουμε τις  M   υπερβάλλουσες απο&όσειςQ

μετο'!ν, tmR  , 1, ,m M =   L , %ια τις 'ρονικές περιό&ους 1, ,t n=   L . 2ν

t R   είναι η υπερβάλλουσα από&οση της α%οράςR, το SPTF λέει ότι*

tm m m t tmα β = + +R R u , 1, ,m M =   L , 1, ,t n=   L .

@

  Αν  Χ  είναι η απόδοση μιας μετοχής και r  είναι η 7έ7αιη απόδοση &πχ η απόδοση των τραπεικ8νκαταθέσεων ή των τίτων του δημοσίου' η υπερ7άουσα απόδοση ορίεται σαν  Χ Ar .?  Αυτή δεν είναι παρά η απόδοση του γενικο: δείκτη μείον τη 7έ7αιη απόδοση.

1@5

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 17/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

 2κόμη και αν υποθέσουμε, όπως είναι λο%ικό, ότι τα σφάλματασυσ'ετί3ονται %ια την ί&ια 'ρονική περίο&ο, το υπό&ει%μα μ!ορε%να εκτιμηθεί με τη μέθο&ο /0 %ια την κάθε μετο'ή "ε'ωριστά αν

0n ≥ #, εφόσον κάθε ε"ίσωση περιλαμβάνει την ί&ια ερμηνευτική

μεταβλητή, &ηλα&ή την *

t R   .

6. Sνα !αράδει&μα μη &ραμμικής εκτ%μησης

Oνα ρεαλιστικό παρά&ει%μα είναι το ακόλουθο. )ο υπό&ει%μά μας,είναι*

1 1 1 % % 0 % 1

%

% 1 0 1 4 % 1 %

,

,

t t t t t  

t t t t t  

β β β 

β β β 

= + + +

= + + +

y x x y u

y x x y u

με τον περιορισμό 1 % 0 $β β β + + = . Uυσικά η πρ!τη ε"ίσωση μπορείνα %ραφεί στη μορφή* ( )1 1 1 % % 1 % % 1t t t t t  β β β β  = + − + +y x x y u .

 2υτό είναι ένα σύστημα ταυτό'ρονα προσ&ιορι3όμενων ε"ισ!σεωνsimultaneous equations model# με περιορισμούς στις παραμέτρουςκάθε ε"ίσωσης και μη %ραμμικούς περιορισμούς στις παραμέτρους*

8 συντελεστής της 4t x   στη &εύτερη ε"ίσωση ισούται με το

τετρά%ωνο του 1β  . 8ι παράμετροι που πρέπει να εκτιμήσουμε, είναι

τα 1β   και %β  .

κατάλληλη μέθο&ος εκτίμησης είναι η LFF στην οποία

'ρησιμοποιούνται σαν βοηθητικές μεταβλητές οι 1t x , %t x , 0t x   και 4t x .

Oνα βασικό πλεονέκτημα της μεθό&ου είναι, ασφαλ!ς, ότιεπιτρέπει να έ'ουμε VPS τυπικά σφάλματα. Στον επόμενο πίνακα&ίνονται τα στοι'εία και ακολουθούν οι εκτιμήσεις με τη μέθο&οLFF. )α τυπικά σφάλματα είναι VPS με &ιόρθωσηαυτοσυσ'έτισης.

y1   y2   x1   x2   x3   x4

1,412344 2,920948 0,150645 0,147622 0,164130 0,805968 4,246618 5,064032 1,183424 1,063464 1,204891 1,067046 0,388842 1,643424 0,214647 0,121320 -0,040345 0,086820-4,576535 -3,553341 -1,109765 -1,085179 -1,385549 -1,045268-6,237492 -5,360389 -1,249125 -0,981696 -2,577468 -1,505484-1,312643 0,850305 -0,425001 -0,456285 -0,671712 0,307213-0,011813 -0,679121 -0,242983 -0,346230 1,389806 -0,968318-6,213443 -5,868868 -1,145942 -1,062972 -2,950327 -1,079733-2,673456 -1,938396 -0,836925 -0,873152 -0,306150 -0,714004 2,234125 2,332337 0,714011 0,504589 0,637706 0,434801

8ι εντολές %ια την ε"ει&ίκευση του συστήματος στο EViews είναι

οι ακόλουθες* Y1=C(1)*X1+C(2)*X2-(C(1)+C(2))*Y2

1@#

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 18/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

 Y2=C(1)*X3+(C(1)^2)*X4+C(2)*Y1INST X1 X2 X3 X4

Estimation Method: Generalized Method of Momentsam!le: 1 10"n#l$ded o%ser&ations: 10'otal s(stem )%alan#ed* o%ser&ations 20+ernel: artlett, andidth: .i/ed )2*, o !rehitenin"terate #oeffi#ients after one-ste! eihtin matri/on&eren#e a#hie&ed after: 1 eiht matri/, 7 total #oef iterations

oeffi#ient td Error t-tatisti# ro%

)1* -1733600 0063891 -2713371 00000)2* 0750779 0014716 5101923 00000

eterminant resid$al #o&arian#e 9174316-statisti# 0434524

E$ation: 1)1*;1<)2*;2-))1*<)2**2"nstr$ments: ;1 ;2 ;3 ;4 =%ser&ations: 10

>-s$ared 0777198 Mean de!endent &ar -1274345 ?d@$sted >-s$ared 0749348 de!endent &ar 3594128

E of reression 1799407 $m s$ared resid 2590291$r%in-Aatson stat 1022123

E$ation: 2)1*;3<))1*B2*;4<)2*1"nstr$ments: ;1 ;2 ;3 ;4 =%ser&ations: 10

>-s$ared 0697137 Mean de!endent &ar -0458907 ?d@$sted >-s$ared 0659279 de!endent &ar 3666004E of reression 2139893 $m s$ared resid 3663315$r%in-Aatson stat 3024393

$ίναι %νωστό ότι σε μικρά &εί%ματα οι &ιάφοροι εκτιμητές μπορείνα &ίνουν &ιαφορετικά αποτελέσματα. 1ια πρ!τη αίσθηση

μπορούμε να πάρουμε αν εκτιμήσουμε το υπό&ει%μα με τη μέθο&οτης μέ%ιστης πιθανοφάνειας %ια την οποία τα αποτελέσματα είναιτα ακόλουθα.

1@@

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 19/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα

Estimation Method: .$ll "nformation Ma/im$m CiDelihood )Mar$ardt*am!le: 1 10"n#l$ded o%ser&ations: 10'otal s(stem )%alan#ed* o%ser&ations 20on&eren#e a#hie&ed after 42 iterations

oeffi#ient td Error z-tatisti# ro%)1* -0593399 1947801 -0304651 07606)2* 1302706 1136112 0114663 09087

Co CiDelihood -3973450eterminant resid$al #o&arian#e 3587270

E$ation: 1)1*;1<)2*;2-))1*<)2**2=%ser&ations: 10

>-s$ared -1702049 Mean de!endent &ar -1274345 ?d@$sted >-s$ared -2039805 de!endent &ar 3594128E of reression 6266376 $m s$ared resid 3141397$r%in-Aatson stat 1210823

E$ation: 2)1*;3<))1*B2*;4<)2*1=%ser&ations: 10

>-s$ared 0860643 Mean de!endent &ar -0458907 ?d@$sted >-s$ared 0843224 de!endent &ar 3666004E of reression 1451553 $m s$ared resid 1685605$r%in-Aatson stat 0615210

α μπορούσαμε να συνο+ίσουμε την συ3ήτησή μας, λέ%οντας ταακόλουθα.

-. 1πορούμε να εκτιμήσουμε συστήματα που είναι μη %ραμμικάστις παραμέτρους και στις μεταβλητές και έ'ουν %ραμμικούςή μη %ραμμικούς περιορισμούς στις παραμέτρους μιαςε"ίσωσης ή μετα"ύ των ε"ισ!σεων.

7. 8ι ε"ισ!σεις μπορούν να εκτιμηθούν από κοινού ή 'ωριστάανάλο%α με το πόσο βέβαιοι είμαστε %ια τη συναρτησιακήε"ει&ίκευση του συστήματος.

A. Uυσικά η ύπαρ"η παραμετρικ!ν περιορισμ!ν μετα"ύ τωνε"ισ!σεων, ο&η%εί από μόνη της στην από κοινού εκτίμησητου συστήματος.

B. 1πορούμε να &ούμε άτυπα κατά πόσο το σύστημα είναι ορθάε"ει&ικευμένο, συ%κρίνοντας τις εκτιμήσεις που προέρ'ονταιαπό την LFF μέθο&ο εκτίμησης του συστήματος και τηνLFF μέθο&ο εκτίμησης μιας ε"ίσωσης μεμονωμένα ή ενόςυποσυνόλου των ε"ισ!σεων.

=. μέθο&ος LFF είναι σε πολλές περιπτ!σεις μια λο%ικήμέθο&ος εκτίμησης, που είναι αρκετά ευέλικτη σε ότι αφοράτην επιλο%ή των βοηθητικ!ν μεταβλητ!ν και τα VPS τυπικάσφάλματα τα οποία είναι εύρωστα στην ύπαρ"ηαυτοσυσ'έτισης ή ετεροσκε&αστικότητας.

6. 1η %ραμμικές συναρτήσεις των βοηθητικ!ν μεταβλητ!ν,μπορούν επίσης να 'ρησιμοποιηθούν. )έτοιες συναρτήσειςείναι τα τετρά%ωνα και οι αλληλεπι&ράσεις των βασικ!νβοηθητικ!ν μεταβλητ!ν.

1@?

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 20/20

6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα