lecture (09) karnaugh maps 2 - dr. ahmed elshafee -...

Lecture (09)Karnaugh Maps 2

By:

Dr. Ahmed ElShafee

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١

Determination of Minimum Expansions Using Essential Prime Implicants

• Cover: A switching function f(x1,x2,…,xn) is said to

cover another function g(x1,x2,…,xn), if f assumes the

value 1 whenever g does.

• Implicant : Given a function F of n variables, a

product term P is an implicant of F iff for every

combination of values of the n variables for which

P=1 , F is also equal 1.That is, P=1 implies F=1.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢

• Prime Implicant: A prime implicant of a

function F is a product term implicart which is no

longer an implicant if any literal is deleted from it.

• Essential Prime Implicant: If a minterm is

covered by only one prime implicant, then that prime

implicant is called an essential prime implicant.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣

• On a Karnaugh Map

Any single 1 or any group of 1’s (2k 1’s, k=0,1,2,…)

which can be combined together on a map of the

function F represents a product term which is

called an implicant of F.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٤

• A product term implicant is called a prime implicant if it cannot be combined with another term to eliminate a variable.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥

• If a minterm is covered by only one prime implicant,

then that prime implicant is called an essential

prime implicant.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٦

Examples

• f=wx+yz, 

• g=wxy’

• g=1 (w=1,x=1,y=0) 

• implies 

• f=1.1+0.z=1, 

• f covers g.

• g is a product term, g is an implicant of f.

• g is not a prime implicant. 

• The literal y’ is deleted from wxy’, the resulting term wx is also an implicant of f.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٧

• f=wx+yz, 

• h=wx is a prime implicant. 

• The deletion of any literal (w or x) results a new product (x or w) which is not covered by f. 

• [w=1 does not imply f=1 (w=1,x=0,y=0,z=0 imply f=0)]

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٨

Example:

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٩

111

11

1

11

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٠

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

111

11

1

11

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١١

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

111

11

1

11

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٢

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

• The minimum sum‐of‐products expression for a

function consists of some (but not necessarily all) of

the prime implicants of a function.

• A sum‐of‐products expression consisting a term which

is not a prime implicant cannot be minimum.

• The essential prime implicant must be included in the

minimum sum‐of‐products.

• In order to find the minimum sum‐of‐products from a

map, we must find a minimum number of prime

implicants which cover all of the 1’s on the map.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٣

Example:

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٤

11

111

111

11

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٥

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٦

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٧

Example

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٨

11

1111

111

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I١٩

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٠

Essential prime implicates: BD,B′’C, AC

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢١

Example

• Simplify the function

• f (A, B,C,D) = Σm(0,1,2,4,5,7,11,15).

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٢

• f (A, B,C,D) = Σm(0,1,2,4,5,7,11,15).

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٣

11

11

111

1

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٤

Example

• Simplify the function

• f (A, B,C,D) = Σm(4,5,6,8,9,10,13) + Σd(0,7,15)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٥

• f (A, B,C,D) = Σm(4,5,6,8,9,10,13) + Σd(0,7,15)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٦

11x

111

xx

11

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٧

Example

• Find min min‐terms expansion 

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٨

1

111

111

1

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٢٩

1

111

111

1

00 01 11 1000

01

11

10

abcd

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٠

Other forms of 5‐Variable Karnaugh Maps•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣١

Example

• F(A,B,C,D,E) = Σm(0,1,4,5,13,15,20,21,22,23,24,26,28,30,31)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٢

00 01 11 1000

01

11

10

bcde 00 01 11 10

00

01

11

10

bcde

A=0A=1

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٣

Example

• F(A,B,C,D,E) = Σm(0,1,3,8,9,14,15,16,17,19,25,27,31)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٤

00 01 11 1000

01

11

10

bcde 00 01 11 10

00

01

11

10

bcde

A=0A=1

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٥

Quine‐McCluskeyMethodDetermination of Prime Implicants• the function must be given as a sum of minterms.

• all of the prime implicants of a function are systematically formed by combining minterms

To reduce the required number of comparisons, the binary minterms are sorted into groups according to the number of 1’s in each term

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٦

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٧

• Two terms in any two groups can be combined as they differ in exactly one variable.

• First, we will compare the term in group 0 with all of the terms in group 1. 

• Terms 0000 and 0001 can be combined to eliminate the fourth variable, which yields 000–.

• Similarly, 0 and 2 combine to form 00–0 (a′b′d′), and 0 and 8 combine to form –000 (b′c′d′). The resulting terms are listed in Column II

• the corresponding decimal numbers differ by a power of 2 (1, 2, 4, 8, etc.).

• A term may be used more than once because X + X = X.Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٨

Example

• Find all of the prime implicants of the function

• f (a,b,c,d) = Σm(0,1,2,5,6,7,8,9,10,14)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٣٩

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٠

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤١

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٢

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٣

The terms which have not been checked off because they cannot be combined with other terms are called prime implicants.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٤٤

• All prim implicante

• Minimum form ???

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٤٥

The Prime Implicant Chart

• The minterms of the function are listed across the top of the chart, and the prime implicants are listed down the side.

• If a prime implicant covers a given minterm, an X is placed at the intersection of the corresponding row and column.

• If a minterm is covered by only one prime implicant, then that prime implicant is called an essential prime implicant

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٤٦

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٤٧

• A minimum set of prime implicants must now be chosen to cover the remaining columns

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٨

• A minimum set of prime implicants must now be chosen to cover the remaining columns

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٩

Example

• A prime implicant chart which has two or more X’s in every column is called a cyclic

• prime implicant chart. The following function has such a chart

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٥٠

• Derivation of prime implicants:

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٥١

• Select P1 first.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٥٢

• Select P2 first.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥٣

Simplification of IncompletelySpecified Functions•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥٤

Example

• Simplify

• F(A,B,C,D) = Σm(2,3,7,9,11,13) + Σ d(1,10,15)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥٥

• Treat the don’t cares (1,10,15) as required minterms

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥٦

F(A,B,C,D) = Σm(2,3,7,9,11,13) + Σ d(1,10,15)

• The don’t cares are not list at the top of the table

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥٧

F(A,B,C,D) = Σm(2,3,7,9,11,13) + Σ d(1,10,15)

Thanks,..

See you next week (ISA),…

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2017, Logic Design I٥٨