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LE RAYONNEMENT D’UN CORPS NOIR - solution

1. Il suffit de verifier que :

– ∆−→E − 1

c2∂2−→E∂t2 = 0 (equation de Maxwell)

– div(−→E ) = 0 (condition de Gauss)

– les conditions aux limites sont verifiees.

2.

Fig. 1 – vecteurs d’onde

Pour chaque triplet (l, m, n), le vecteur d’onde−→k du rayonnement est fixe. Il s’agit d’un point dans l’espace

(kx,ky,kz). Ceci peut etre represente dans la figure 1, ou le huitieme de sphere de rayon k est aussi represente.Fixer une frequence ν maximale revient a fixer une valeur maximale de k = 2πν/c. Le nombre nν de vecteursd’onde correspondant a une frequence maximale ν est donc le rapport entre le volume d’un huitieme de spherede rayon k = 2πν/c et le volume associe a un point, soit :

nν =18 (4πk3/3)

πLx

πLy

πLz

=4πν3

3c3LxLyLz

3. La condition −→e .−→k = 0 permet de fixer une des trois composantes de −→e (le vecteur est dans un plan de normale

−→k ). Donc, pour chaque triplet (l, m, n), il est possible de definir deux modes independants. Le nombre Nν estainsi le double du nombre de triplets (l, m, n) correspondant a une frequence comprise entre 0 et ν :

Nν = 2nν =8πν3

3c3LxLyLz

Le nombre de modes par unite de volume et unite de frequence (la densite de modes) est donc :

ρ(ν) =1

LxLyLz

dNν

dν=

8πν2

c3

4. Par definition, l’energie moyenne < E > d’un mode est de la forme :

< E >=

∫∞0EdP∫∞

0dP

Dans la statistique de Boltzmann on on obtient une energie moyenne constante < E >= kBT . La densite d’energieuν est alors obtenue en multipliant la densite de modes par l’energie moyenne de chaque mode. On obtient :

uν =8πν2

c3kBT

L’application numerique donne a 3000K et 1014Hz uν = 3,85.10−16J/Hz/m3, puis a 2.1014Hz uν = 15,4.10−16J/Hz/m3.On constate que ces valeurs s’eloignent fortement de la courbe experimentale. En fait, la fonction paraboliqueen ν n’est valable que pour des frequences tres faibles.

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5. En appliquant l’hypothese de Planck E = nhν, on obtient comme energie moyenne d’un mode :

< E >=∑∞

0 nhνe−nhν/kBT∑∞0 e−nhν/kBT

=hν

ehν/kBT − 1

La densite d’energie est alors :

uν =8πν2

c3

hν

ehν/kBT − 1

L’application numerique donne a 3000K et 1014Hz uν = 1,56.10−17J/Hz/m3, puis a 2.1014Hz uν = 5,2.10−17J/Hz/m3.On constate que ces valeurs sont plus proches de la courbe experimentale. On constate egalement que, pour desfrequences faibles (hν << kBT ), la formule de Planck coıncide avec celle issue de la statistique de Boltzmann.

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